Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2003
|
|
- Pauliina Asta Alanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2003 Ilkka Holopainen 1 5. helmikuuta Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkka.holopainen@helsinki.fi
2 2 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Sisältö 0 Johdanto 2 1 R n :n Sobolev avaruudet W 1,p lyhyesti) Mitä ne ovat ja mihin niitä käytetään? Ekvivalentteja määritelmiä Epäyhtälöitä Lipschitz kuvaukset R n :n Lipschitz-funktioiden differentioituvuus Lipschitz-vakiot Lip ja lip Lipschitz-kuvausten jatkaminen Metristen avaruuksien upotukset Metristen avaruuksien suppeneminen Hausdorff-etäisyys Gromov-Hausdorff-etäisyys Ei-kompaktien metristen avaruuksien Gromov-Hausdorff suppeneminen Filtterit, ultrafiltterit ja ultraraja-arvot Ankkuroitujen metristen avaruuksien jonon ultraraja-avaruus Tangenttikartio ja asymptoottinen kartio Kuvauspakettien suppeneminen Funktiopaketit Kvasilineaariset funktiot Mittateorian kertausta ja täydennystä Kvasilineaariset funktiot, äärellisulotteisuus Tangenttifunktioiden kvasilineaarisuus Vahva mitallinen differentioituva struktuuri Määritelmä, päätulos ja alkuvalmisteluja Äärellisulotteisuus Lauseen 5.5 todistus Tangenttikimppu ja Sobolevin avaruus Mitallinen tangenttikimppu Sobolev-avaruus Poincarén epäyhtälö ja pisteittäiset Lipschitz-vakiot Poincarén epäyhtälö ja gradientin yksikäsitteisyys Johdanto Tällä kurssilla tutustutaan Jeff Cheegerin hiljattain kehittämään Lipschitz-funktioiden differentioituvuusteoriaan metrisisillä avaruuksilla. Tällainen teoria kuuluu viime aikoina paljon tutkittuun analyysiin metrisissä avaruuksissa, jonka yhtenä tärkeänä tavoitteena on etsiä vastineita ns. Sobolev-avaruuksille.
3 Syyslukukausi Palautetaan ensiksi mieliin differentioituvuuden käsite. Olkoon G R n avoin. Sanomme, että kuvaus f : G R m on differentioituva pisteessä x G, jos lineaarikuvaus Ax) LR n, R m ) s.e. fx + h) fx) Ax)h lim = 0. h 0 h Lineaarikuvausta Ax) sanotaan f:n differentiaaliksi pisteessä x ja sitä merkitään Ax) = f x) = Dfx). Kuvausta f voidaan siten approksimoida lineaarikuvauksella f x) pisteen x ympäristössä. Voisiko vastaava approksimointi olla mahdollista myös, jos kuvauksen määrittelyjoukko on muu kuin R n :n alue? Ongelma syntyy tietenkin) heti siitä, että lineaarikuvaus vaatii lähtö- ja maalijoukokseen vektoriavaruuden. Differentiaaligeometriassa tutkitaan sileitä topologisia monistoja. Tällaisia monistoja voidaan, karkeasti ottaen, lokaalisti approksimoida vektoriavaruuksilla ja siten myös kuvauksien approksimointi lineaarikuvauksilla on mielekästä. vektoriavaruuksia lineaarikuvaus f monistoja Todistamme piakkoin klassisen) Rademacherin lauseen, jonka mukaan Lipschitz-kuvaus f : G R m, G R n, on differentioituva m.k. G:ssä. Muistutetaan, että kuvaus f : X Y, missä X,d 1 ) ja Y,d 2 ) ovat metrisiä avaruuksia, on Lipschitz, jos on olemassa vakio L siten, että d 2 fx),fy) ) Ld1 x,y) x,y X. Koska Lipschitz-ominaisuus on mielekäs metristen avaruuksien välisille kuvauksille, voidaan myös kysyä päteekö jonkinlainen Rademacherin lauseen vastine metristen avaruuksien tapauksessa. Muun muassa tällaiseen kysymykseen etsimme vastausta tällä kurssilla. Kurssin aikana perehdytään myös muihin mielenkiintoisiin metrisiin avaruuksiin liittyviin käsitteisiin kuten upotus- ja konvergenssilauseisiin. Huomautus 0.1. Kurssin materiaali on koottu useasta eri lähteestä ks. kirjallisuusluettelo). Olen pyrkinyt luettelemaan joka luvun alussa ko. luvussa käytetyt lähteet. Lisäksi kurssin opiskelijat Saara Lehto, Aleksander Nuija ja Aleksi Vähäkangas ovat toimittaneet minulle materiaalia omista havainnoistaan ja muistiinpanoistaan. Aloitamme lyhyellä katsauksella klassisiin Sobolev-avaruuksiin. 1 R n :n Sobolev avaruudet W 1,p lyhyesti) Lähdemateriaalit: [EG], [HK], [HKM], [He1].)
4 4 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 1.1 Mitä ne ovat ja mihin niitä käytetään? Aloitetaan tarkastelemalla seuraavaa ongelmaa: Olkoon R n avoin rajoitettu joukko, 1 < p < ja h C 1 ) reaaliarvoinen funktio. Huom. Merkintä f C k ) tarkoittaa, että on olemassa avoin joukko U = U f ja funktio g C k U) siten, että U ja g = f.) Haluamme syystä tai toisesta) minimoida energian Iu) = u p dm, kaikkien niiden funktioiden u C 1 ) joukossa, joilla u = h :ssa. Kutsutaan tällaisia funktioita sallituiksi. Huomautus Yllä ux) = D 1 ux),d 2 ux),...,d n ux) ) = u x 1 x), u x 2 x),..., u x n x) ) on u:n gradientti x:ssä. 2. Koska on rajoitettu ja h C 1 ), kyseinen minimi on äärellinen. Mitä voimme tehdä? Yritys: Valitaan jono funktioita u i C 1 ), u i = h, siten, että Iu i ) inf{iu): u C 1 ),u = h } =: I 0. Koska supiu i ) < ja p > 1, niin L p -avaruuksien heikon kompaktisuuden nojalla on olemassa funktio v L p ; R n ) ja osajono u ij siten, että u ij v L p ; R n ):ssä. Lisäksi lim Iu ij ) v p dm. Voisiko v olla jonkun sallitun funktion u 0 gradientti? Silloin olisimme ratkaisseet minimointiongelman. Ongelma: Avaruudet C 1 ) ); p eivät ole täydellisiä. Jotta minimointiongelmalla olisi ratkaisu, joudumme laajentamaan sallittujen funktioiden luokkaa. Katsotaan asiaa toiselta kantilta. Oletetaan, että u C 1 ) on sallittu ja minimoi yo. energian. Jos ϕ C0 1 ), niin funktio u+tϕ on myös sallittu kaikilla t R. Koska u on minimoija, niin pätee Lasketaan vasen puoli: d dt Iu + tϕ) t=0 = d dt d dt Iu + tϕ) t=0 = 0. ) u + tϕ) p dm t=0 = d dt d = dt p = 2 u, u p u, ϕ dm = u p 2 u, ϕ dm. u + tϕ), u + tϕ) p/2 dm ) t=0 u + t ϕ, u + t ϕ p/2) t=0 dm
5 Syyslukukausi Johtopäätös: Jos sallittu funktio u C 1 ) on minimoija, niin se toteuttaa yhtälön 1.3) u p 2 u, ϕ dm = 0 kaikilla ϕ C 1 0 ). Kolmas näkökulma: Jos u,ϕ C 2 ), niin Diff II: tulon derivaatta eli Leibnizin sääntö) div ϕ u p 2 u ) = ϕdiv u p 2 u ) + u p 2 u, ϕ. Jos lisäksi ϕ C0 2 ), niin Gaussin lauseesta seuraa, että div ϕ u p 2 u ) dm = 0. Oletetaan sitten, että u C 2 ) on sallittu ja minimoija. Edellä olleen nojalla ϕdiv u p 2 u ) dm = u p 2 u, ϕ dm = 0 kaikilla ϕ C0 2 ). Tästä voimme päätellä, että u on 2. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälön 1.4) div ux) p 2 ux) ) = 0 x ratkaisu. Huomautus 1.5. Itseasiassa pätee myös kääntäen: Jos u C 2 ) toteuttaa 1.4):n, niin se toteuttaa selvästi myös 1.3):n. Samoin jos 1.3) pätee funktiolle u C 1 ), niin silloin u on minimoija. HT: Todista jälkimmäinen käyttäen arviota Todista myös yo. arvio.) x p y p > p y p 2 y,x y, x,y R n, x y. Opetus: Jos haluamme löytää minimointiongelman ratkaisun ja/tai ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joudumme työskentelemään sellaisessa järkevässä) funktioavaruudessa, josta kyseinen ratkaisu voi löytyä. Sobolev-avaruudet ovat juuri tällaisia funktioavaruuksia. Myös reuna-arvot u = h on tulkittava Sobolev-avaruus mielessä. 1.6 Ekvivalentteja määritelmiä Olkoon R n avoin ja 1 p <. Kun u C 1 ), niin merkitään u 1,p = u p + u p. Määritelmä 1.7. Sobolev-avaruus W 1,p ) on C 1 ):n täydellistymä normin 1,p suhteen. Toisin sanoen, u W 1,p ), jos ja vain jos u L p ) ja on olemassa jono u i C 1 ) ja R n -arvoinen) v L p ; R n ) s.e. u i u u i v L p ):ssa ja L p ; R n ):ssä, eli u i u p 0 ja u i v p 0. Merkitään v = u ja kutsutaan sitä u:n Sobolev-)gradientiksi. Lisäksi merkitsemme u 1,p, = u 1,p = u p + u p, kun u W 1,p ).
6 6 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Merkitään U, kun U on sellainen avoin joukko, että u W 1,p loc ), jos u W 1,p U) kaikilla U. Ū on kompakti. Sanomme, että Huomautus 1.8. Herää pari kysymystä: a) Onko v ja siten u yksikäsitteinen? Tarkemmin sanoen: Jos v i C 1 ) ja w L p ; R n ) ovat myös sellaisia, että v i u v i w L p ):ssa ja L p ω; R n ):ssä, niin onko w = v L p ; R n ):n alkiona)? b) Jos u C 1 ), niin onko tavallinen gradientti u = Sobolev-gradientti? Havainto: Jos vastaus a):han on kyllä, niin myös b):n vastaus on kyllä. Valitaan jonoksi u i = u i.) Osoitetaan, että vastaus molempiin on kyllä. Gradientin yksikäsitteisyyteen riittää osoittaa: 1.9) u i C 1 ), u i 0 L p ):ssa u i v L p ; R n ):ssä } v = 0. Todistetaan tämä osittaisintegroinnilla. Olkoon ϕ C0 1). Laajennetaan se C1 -funktioksi ϕ: R n R asettamalla ϕ R n \) = 0. Käyttämällä Fubinin lausetta ja analyysin peruslausetta) nähdään, että ) D 1 ϕx)dm n x) = D 1 ϕx)dm n x) = D 1 ϕt,y)dt dm n 1 y) = 0, R n R n 1 R sillä R D 1 ϕt,y)dt = 0 kaikilla y R n 1. Yllä kirjoitimme pisteen x R n muodossa x = t,y) R R n 1. Samoin nähdään, että D j ϕdm = 0 j = 1,...,n. Eritysesti, jos u C 1 ) ja ϕ C0 1 ), niin 0 = D j uϕ)dm = ud j ϕ + ϕd i u)dm, joten 1.10) ϕd j udm = ud j ϕdm Olkoon sitten ϕ C0 1) mielivaltainen sekä u i C 1 ) ja v = v 1,...,v n ) L p ; R n ) kuten 1.9):ssä. Nyt ϕd k u i dm = u i D k ϕdm i N, k {1,...,n}.
7 Syyslukukausi Siis ϕd k u i dm = u i D k ϕdm u i D k ϕ dm ) 1/p ) 1/q u i p dm D k ϕ q dm 0, } {{ } < kun i. Yllä q on p:n Hölder-konjugaatti q =, jos p = 1). Koska u i v L p ; R n ):ssä, niin D k u i v k L p ):ssa k {1,...,n}. Näin ollen ϕv k dm = ϕv k D k u i )dm + ϕd k u i dm ϕ v k D k u i dm + ϕd k u i dm kun i. Siis 1.11) 0, ) 1/q ϕ q dm } {{ } < ϕv k dm = 0 ) 1/p v k D k u i p dm } {{ } 0 ϕ C 1 0). + ϕd k u i dm } {{ } 0 Tästä voimme päätellä, että v k x) = 0 m.k. x, k {1,...,n}, eli v = 0 m.k. Olemme siten todistaneet Sobolev-gradientin yksikäsitteisyyden. HT: Todista, että 1.11) v k = 0 m.k.) Lause Sobolev-avaruus W 1,p ) on Banach-avaruus. Todistus. Selvästi W 1,p ) on vektoriavaruus ja 1,p on normi. Olkoon u i ) Cauchy-jono W 1,p ):ssa. Silloin u i ) on Cauchy-jono L p ):ssa ja u i ) on Cauchy-jono L p ; R n ):ssä. Siten on olemassa u L p ) ja v L p ; R n ) siten, että u i u p 0 ja u i v p 0. Osoitettava vielä, että v = u Sobolev-gradientti). Koska u i W 1,p ), on olemassa jono funktioita u i,j C 1 ) s.e. kun j. Jokaisella i N valitaan j i N s.e. u i,j u i p 0 ja u i,j u i p 0, u i,ji u i p < 1/i ja u i,ji u i p < 1/i. Nyt kun i. Siten v = u. u i,ji u p u i,ji u i p + u i u p 0 ja u i,ji v p u i,ji u i p + u i v p 0,
8 8 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Määritelmä Sanomme, että 1. u i u W 1,p ):ssa, jos u i u 1,p, 0, ja 2. u i u W 1,p loc ):ssa, jos u i u 1,p,U 0 kaikilla U. Yhtälön 1.10) motivoimana määrittelemme: Määritelmä Olkoon u L 1 loc ) ja i {1,...,n}. Sanomme, että g i L 1 loc ) on u:n heikko i:s osittaisderivaatta, jos ϕg i dm = ud i ϕdm kaikilla ϕ C 1 0 ). Merkitsemme g i = D i u Huomautus a) Jos heikko i:s osittaisderivaatta on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Vrt. 1.11):n todistus. b) Jos u C 1 ), niin tavallinen osittaisderivaatta) D i u on myös u:n heikko i:s osittaisderivaatta. c) Sanomme, että D 1 u,...,d n u) on u:n heikko gradientti, jos jokainen heikko osittaisderivaatta D i u, i = 1,...,n, on olemassa. Lause Jos u W 1,p ), 1 p <, niin Sobolev-gradientti u on u:n heikko gradientti. Todistus. Merkitään u = v 1,...,v n ). Hölderin epäyhtälöstä seuraa, että v k L 1 loc ) k = 1,...,n. Olkoon ϕ C0 1) ja u i C 1 ) s.e. u i u W 1,p ):ssa. Silloin ϕv k dm + ud k ϕdm Siis = = { }} { ϕv k dm + ud k ϕdm ϕd k u i dm + u i D k ϕdm) ϕv k D k u i )dm + u u i )D k ϕdm ϕ v k D k u i dm + u u i D k ϕ dm ) 1/q ϕ q dm } {{ } < 0, kun i. ) 1/p v k D k u i p dm } {{ } 0 =0 + ϕv k dm = ud k ϕdm ) 1/p u u i p dm } {{ } 0 ϕ C 1 0). ) 1/q D k ϕ q dm } {{ } < Palautetaan Reaalianalyysi I-kurssilta mieliin L p -funktioiden approksimointi C -funktioilla. Olkoot η: R R, { ) exp 1 t ηt) = 2 1, kun t < 1, 0, kun t 1,
9 Syyslukukausi ja ϕ i : R n [0, [, 1.17) ϕ i x) = a i ηi x ), missä i N ja a i on vakio s.e. R n ϕ i dm = 1 i N. Tällöin ϕ i C R n ). Merkitään i = {x : distx, ) > 1/i}, kun i N. Jos u L 1 loc ), niin määritellään u i = u ϕ i : i R, u i x) = uy)ϕ i x y)dy. Lause Olkoon u L p loc ), 1 p <. Oletetaan, että u:lla on olemassa heikot osittaisderivaatat D k u L p loc ), k = 1,...,n. Merkitään u i = u ϕ i. Silloin a) u i C i ), b) D k u i = D k u ϕ i, missä D k u on u:n heikko k:s osittaisderivaatta, k = 1,...,n, c) u W 1,p loc ) ja u i u W 1,p loc ):ssa. Todistus. Reaalianalyysin kurssilla todistettiin ks. [Ho2, L. 2.26, Huom. 2.28]), että u i C i ). Siten a) pätee. Samoin osoitettiin, että D k u i x) = u D k ϕ i x). Kiinnitetään x i ja merkitään hy) = x y ja ψ i = ϕ i h, jolloin ψ i y) = ϕ i x y). Nyt ψ i C ). Ketjusäännön nojalla D k ψ i y) = D k ϕ i x y), missä D k ϕ i x y) tarkoittaa tietenkin) funktion D k ϕ i arvoa pisteessä x y. Nyt D k u i x) = u D k ϕ i x) = uy)d k ϕ i x y)dy = uy)d k ψ i y)dy i) = D k uy)ψ i y)dy = D k uy)ϕ i x y)dy = D k u ϕ i x). Kohdassa i) käytettiin heikon osittaisderivaatan määritelmää. Näin ollen b) on todistettu. Reaalianalyysi I:ssä todistettiin myös, että u ϕ i u L p U):ssa aina kun U on avoin joukko, jolla Ū on kompakti ks. [Ho2, L. 2.34]). Samoin D ku ϕ i D k u L p U):ssa. Siten funktioille u i C 1 ) ja v = D 1 u,...,d n u) L p loc ) pätee u i u L p loc ):ssa ja u i v L p loc ):ssa. Siis u W 1,p loc ) ja u i u W 1,p ):ssa eli c) pätee. loc
10 10 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Lemma Olkoon u W 1,p ) ja ϕ C 1 0 ). Silloin ϕu W 1,p ) ja ϕ u + u ϕ on ϕu:n Sobolev gradientti. Todistus. Koska ϕ C0 1 ), on olemassa M R s.e. ϕx) M ja ϕx) M x. Siten ϕ u + u ϕ L p ; R n ). Olkoon u i C 1 ) s.e. u i u W 1,p ):ssa. Nyt ja ϕu i ϕu p M u i u p 0 ϕu i ) ϕ u + u ϕ) p = ϕ u i + u i ϕ ϕ u u ϕ p ϕ u i u) p + u i u) ϕ p M u i u p + M u i u p 0. Seuraava lause antaa ekvivalentin määritelmän Sobolev-avaruudelle. Lause Olkoon u L 1 loc ). Tällöin u W 1,p ), 1 p <, u L p ) ja u:lla on olemassa heikot osittaisderivaatat D k u L p ), k = 1,...,n. Todistus. Implikaatio seuraa Lauseesta Merkitään v = D 1 u,...,d n u). On osoitettava, että on olemassa jono funktioita u j C 1 ) siten, että u j u p 0 ja u j v p 0. Merkitään k N k = {x : distx, ) > 1/k} B0,k), 0 =, U k = k+1 \ k 1. Olkoon ζ k ) k=1 jono funktioita s.e. ζ k C0U 1 k ), 0 ζ k 1, ζ k x) = 1 x. k=1 Lauseesta 1.18 seuraa, että u W 1,p U k ) ja siten Lemman 1.19 nojalla uζ k W 1,p U k ). Lisäksi sptuζ k ) U k. Näin ollen ε > 0 ja k N kohti i ε,k N s.e. spt uζ k ) ϕ iε,k ) Uk, uζ k ) ϕ iε,k uζ k p < ε2 k, uζ k ) ϕ iε,k ) uζk ) p < ε2 k, missä ϕ i on kuten kaavassa 1.17). Sovelletaan edellä ollutta jokaisella j N arvoon ε = 1/j ja määritellään u j = uζ k ) ϕ iε,k. ε = 1/j) k=1
11 Syyslukukausi Jokaisella x on olemassa sellainen ympäristö, jossa yo. summassa on vain äärellisen monta nollasta poikkeavaa termiä. Siten u j C 1 ). Koska u = uζ k, k=1 niin u j u p u j v p uζ k ) ϕ iε,k uζ k p < ε = 1/j, k=1 ) uζ k ) ϕ iε,k uζk ) p < ε = 1/j. k=1 Siten u W 1,p ), v = u, ja u j u W 1,p ):ssa. Nyt voimme osoittaa, että monet tavalliset derivoimissäännöt pätevät myös heikoille osittaisderivaatoille. Lause L ) ja 1. Leibnizin sääntö ) Olkoot u,h W 1,p ) L ). Silloin uh W 1,p ) 1.22) D k uh) = ud k h + hd k u m.k. 2. Ketjusääntö ) Jos u W 1,p ), f C 1 R), f L R) ja f0) = 0, niin f u W 1,p ) ja 1.23) D k f u) = f u)d k u m.k. Jos m) <, niin oletus f0) = 0 on tarpeeton.) 3. Jos u W 1,p ), niin u +,u, u W 1,p ) ja u + = χ {u>0} u 4. u = 0 m.k. joukossa {x : ux) = 0}. m.k., u = χ {u<0} u m.k., u, m.k. joukossa {x : ux) > 0}; u = 0, m.k. joukossa {x : ux) = 0}; u, m.k. joukossa {x : ux) < 0}. Todistus. 1. Selvästi uh L p ) ja ud k h+hd k u L p ), joten riittää todistaa kaava 1.22). Olkoon ψ C 1 0 ) mielivaltainen ja U s.e. sptψ U. Merkitäään u i = u ϕ i ja h i = h ϕ i, missä ϕ i on kuten kaavassa 1.17). Tällöin u i u L p U):ssa ja L q U):ssa, h i h L p U):ssa ja L q U):ssa, D k u i D k u L p U):ssa ja D k h i D k h L p U):ssa,
12 12 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit joten Näin ollen 1.10):n nojalla u i h i uh L 1 U):ssa ja u i D k h i + h i D k u i ud k h + hd k u L 1 U):ssa. uhd k ψ dm = uhd k ψ dm U = lim u i h i D k ψ dm i U = lim u i D k h i + h i D k u i )ψ dm i U = ud k h + hd k u)ψ dm U = ud k h + hd k u)ψ dm. Siis 1.22) pätee. HT: Perustele konvergenssit.) 2. Ensin todetaan, että f u L p ) ja f u)d k u L p ) yksityiskohdat HT). Olkoot ψ, U, ja u i kuten edellä. Tällöin f u)d k ψ dm = f u)d k ψ dm U = lim f u i )D k ψ dm i U = lim ψf u i )D k u i dm i U = ψf u)d k udm U = ψf u)d k udm. Siis 1.23) pätee. HT: Perustele konvergenssit.) 3. Kiinnitetään ε > 0 ja määritellään f ε : R R, { t 2 + ε 2 ) 1/2 ε, jos t 0; f ε t) = 0, jos t < 0. Nyt f ε C 1 R), f ε L R), joten ketjusäännöstä 1.23) seuraa, että ψ C0 1) f ε u)d k ψ dm = ψf ε u)d kudm. Antamalla ε 0 saadaan u + D k ψ dm = ψχ {u>0} D k udm. Näin ollen ensimmäinen kaava 3:ssa pätee. Samoin muut pätevät, sillä u = u) + ja u = u + +u. 4. Tämä kohta seuraa 3:sta, sillä u = u + u.
13 Syyslukukausi Epäyhtälöitä Sobolevin avaruuksien teoriassa eräät epäyhtälöt ovat äärimmäisen tärkeitä. Tällaisia ovat esim. Poincarén epäyhtälö ja Sobolevin epäyhtälö. Emme tällä kurssilla valitettavasti) käsittele näitä kovin tarkkaan. Esitämme kuitenkin muutamia, joiden todistuksiin riittää Diff. II:n ja Reaalianalyysin tiedot. Tarkoitus on samalla oppia myös tyyppillisiä menetelmiä. Aloitetaan Poincarén tyyppisellä epäyhtälöllä. Oletamme koko ajan, että n 2. Merkitsemme Bx,r) = {y R n : x y < r}. Lemma Jokaista 1 p < kohti on olemassa vakio C = Cn, p) siten, että 1.26) Bx,r) uy) uz) p dy Cr n+p 1 Bx,r) uy) p dy y z n 1 kaikilla Bx,r) R n, u C 1 Bx,r) ) ja z Bx,r). Todistus. Jos y, z Bx, r), niin uy) uz) = Siten Hölderin epäyhtälön nojalla 1 0 u z + ty z) ),y z dt. 1 uy) uz) p y z p u z + ty z) ) p dt. Merkitään ũ = uχ Bx,r) ja g = u χ Bx,r), 0 jolloin voidaan olettaa, että ũ ja g ovat määritelty koko R n :ssä. Nyt 1.27) uy) uz) p dy = Bx,r) Bz,2r) ũy) ũz) p dy. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi voidaan edelleen olettaa, että z = 0, jolloin 1 ũy) ũ0) p y p g p ty)dt. 0 Muussa tapauksessa tehdään sopiva muuttujanvaihto. Arvioidaan integraalia 1.27) käyttäen pallokoordinaatteja y = θ,s) S [0, [, S = S n 1 0,1):
14 14 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit B0,2r) ũy) ũ0) p dy = 2r 0 2r S 0 S 2r τ=st = 0 2r = = = ũθ,s) ũ0) p dθ s n 1 ds 1 s p g p θ,ts)dt dθ s n 1 ds 0 s n+p 2 s n+p 2 s S 0 s 0 S 0 2r s n+p 2 0 B0,s) 2r s n+p 2 0 B0,2r) 2r s n+p 2 0 Bx,r) = 2n+p 1 n + p 1 rn+p 1 g p θ,τ)dτ dθ ds g p θ,τ) τ n 1 τn 1 dτ dθ ds g p w) ) w n 1 dw ds g p w) ) w n 1 dw ds uy) p y n 1 Bx,r) ) dy ds uy) p y n 1 dy. Otetaan käyttöön merkintä f A = A fy)dy = 1 fy)dy, ma) A kun A R n on mitallinen, ma) > 0 ja f on integroituva. Soveltamalla epäyhtälöä 1.26) tapauksessa p = 1 saadaan seuraava Rieszin) potentiaaliarvio. Korollari On olemassa vakio C = Cn) siten, että 1.29) uz) u Bx,r) C Bx,r) kaikilla Bx,r) R n, u C 1 Bx,r) ) ja z Bx,r). Todistus. Väite seuraa 1.26):ta, sillä uz) u Bx,r) = = uz) Bx,r) Bx,r) = 1 cr n Bx,r) uy) dy y z n 1 uy) dy uz) uy) ) dy uz) uy) dy Bx,r) uz) uy) dy.
15 Syyslukukausi Määritelmä Olkoon f L 1 loc Rn ) ei-negatiivinen. Sen 1. kertaluvun) Rieszin potentiaali on funktio I 1 fx) = y 1 n fy) f)x) = dy. x y n 1 Määritelmä Sanomme, että mitallinen funktio f : R n Ṙ kuuluu heikkoon Lp -avaruuteen weak-l p R n ), jos on olemassa vakio c = c f siten, että Kun 1 p < n, niin lukua sanotaan p:n Sobolev-konjugaatiksi. Sille pätee R n m {x R n : fx) > t} ) ct p t > 0. p = np n p 1 p = 1 p + 1 n, p > p. Lause Sublineaarinen kuvaus f I 1 f kuvaa L 1 R n ):n heikkoon L n/n 1) -avaruuteen weak-l n/n 1) R n ) ja L p R n ):n avaruuteen L p R n ), kun 1 < p < n. Itse asiassa on olemassa vakio c = cn, p) siten, että 1.33) I 1 f p c f p, 1 < p < n, ja 1.34) m {x R n : I 1 fx) > t} ) c f n/n 1) 1 t n/n 1). Todistus. Todistuksessa esiintyvä c on yleinen merkintä vakiolle, joka riippuu korkeintaan n:stä ja p:sta, ja sen arvo voi muuttua riviltä toiselle siirryttäessä. Olkoon f L p R n ), 1 p < n. Voimme olettaa, että f 0. Kun δ > 0, niin kirjoitetaan I 1 fx) = Bx,δ) = Ax) + Bx). fy) fy) dy + dy x y n 1 R n \Bx,δ) x y n 1 Ensimmäistä termiä voidaan arvioida maksimaalifunktiotekniikalla. Merkitään A j = Bx,2 j δ) \ Bx,2 j 1 δ), j = 0,1,.... Nyt Ax) = = c j=0 A j fy) dy x y n 1 2 j 1 δ) 1 n j=0 2 j δ j=0 cδmfx), Bx,2 j δ) Bx,2 j δ) fy)dy fy)dy
16 16 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit missä M f on f:n Hardy-Littlewood maksimaalifunktio ks. [Ho2]). Jälkimmäistä termiä voidaan arvioida tapauksessa p > 1) Hölderin epäyhtälöllä Bx) f p R n \Bx,δ) x y 1 n)q dy) 1/q, missä q = p/p 1) on p:n Hölder-konjugaatti. Tapauksessa p = 1 käytämme arviota Bx) δ 1 n R n fy)dy = f 1 δ 1 n. Jos p > 1, niin R n \Bx,δ) x y 1 n)q dy = S δ t 1 n)p/p 1) t n 1 dt dθ = cδ p n)/p 1). Siten Bx) c f p δ p n)/p kaikilla 1 p <. Näin ollen Minimoidaan oikea puoli valitsemalla jolloin saadaan arvio ) I 1 fx) c f p δ 1 n/p + δmfx). δ = n p 1) f ) p/n p, Mfx) I 1 fx) c f p/n p Mfx) 1 p/n. Jos p > 1, niin käyttämällä Hardy-Littlewoodin lausetta so. Mf p c f p, ks. [Ho2]) saadaan arvio I 1 fx) np/n p) dx c f p2 /n p) p Mfx) p dx R n R n Jos p = 1, niin Hardy-Littlewoodin lauseen mukaan c f np/n p) p. m {x R n : Mfx) > t} ) c f 1, t > 0, t joten m {x R n : I 1 fx) > t} ) {x ) n/n 1)} ) m R n : Mfx) > ct/ f 1/n 1 c f n/n 1) 1 t n/n 1). Muokkaamalla yo. todistusta saadaan seuraava lokaali) arvio kaikilla 1 < p <.
17 Syyslukukausi Lause Olkoon R n avoin, m) <, 1 < p p < n p ja κ = n p/n p p). Tällöin on olemassa vakio c = cn,p, p) s.e. kaikilla f L p ), sptf. Todistus. Koska spt f, niin I 1 f x) = Siten termille Bx) pätee arvio I 1 f κp cm) p 1 n p f p fy) dy. x y n 1 Bx) f p \Bx,δ) x y 1 n)q dy) 1/q. Jos p = p, niin käytetään arviota \Bx,δ) x y 1 n)q dy δ 1 n)q m). Jos p > p, niin käyttämällä toistamiseen Hölderin epäyhtälöä saadaan \Bx,δ) x y 1 n)q dy 1/α x y dy) 1 n)qα m) α 1)/α, \Bx,δ) missä α = p 1)/p p). Tämän jälkeen jatketaan kuten aiemmin valitsemalla nyt δ = n p p 1) f pm) p 1)/p Mfx) Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Yhdistämällä Korollari 1.28 ja Lauseet 1.32 ja 1.35 saadaan ns. Sobolev-Poincaré epäyhtälöt. ) p n p Lause Jokaisella 1 p < n on olemassa vakio c = cn, p) siten, että. 1.37) uy) u Bx,r) p dy Bx,r) ) 1/p c uy) p dy Bx,r) ) 1/p kaikilla Bx,r) R n ja kaikilla u W 1,p Bx,r)). Todistus. Merkitään lyhyemmin B = Bx,r). Osoitetaan arviot ensin funktioille u C 1 B) W 1,p B). Jos 1 < p < n, niin väite seuraa Korollari 1.28:sta ja Lause 1.32:sta. Tapauksessa p = 1, 1 = n/n 1), joudumme käyttämään ns. katkaisutekniikkaa, sillä Korollari 1.28:sta ja heikon tyypin epäyhtälöstä 1.34) saadaan vain arvio m { u u B > t} ) m {I 1 u > t/c} ) c u 1 /t) 1.
18 18 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Ideana on osittaa B erillisiin joukkoihin B j = {2 j < u u B < 2 j+1 }, j Z, ja yrittää) arvioida B u u B 1 dm j Z 2 j+1)1 mb j ) i) c 2 j+1)1 χ Bj u j1 j Z c u 1 1. Ongelmana on askel i). Tämän ratkaisemiseksi valitaan ensin sellainen b R, että ja tehdään havainto HT 2/3) m {u b} ) mb)/2 u u B 1 dm B ) 1/1 ja m {u b} ) mb)/2, 2 inf u c 1 dm c R B 2 u b 1 dm B ) 1/1 ) 1/1. Merkitään jolloin v + = maxu b,0) Merkitään lyhyemmin v = v + ja lisäksi B u b 1 dm = ja v = maxb u,0), B v+ 1 dm + v 1 dm. B v t 2 t1 = min max0,v t 1 ),t 2 t 1 ), kun 0 < t 1 < t 2 <. Jos ux) b, niin v t 2 t1 x) = 0, joten Harjoitustehtävä 2/2:n mukaan t > 0 pätee Siten supm {v t 2 t 0 m {v t 2 t1 = 0} ) m {u b} ) mb)/2. m {v t 2 t1 > t} ) 2 inf c R m { v t 2 t1 c > t/2} ). t1 > t} ) t 1 sup t 0 2 inf c R m { v t 2 t1 c > t/2} ) t/2) supm { v t 2 t1 v t 2 t1 ) B > t/2} ) t/2) 1 t 0 c u χ {t1 <v<t 2 } 1 1.
19 Syyslukukausi Nyt voimme arvioida B v 1 dm 2 k1 m {2 k 1 < v 2 k } ) k Z 2 k1 m {v 2 k 1 } ) k Z = 2 k1 m {v 2k k 2 } ) k 2 k Z c u χ {2 k 2 <v 2 k 1 } dm k Z B c u χ {2 k 2 <v 2 k 1 } dm k Z B = c u dm B Sama arvio pätee v :lle, joten 1.37) on voimassa. Itse asiassa käytimme yllä heikon tyypin arviota 1.34) katkaistuille funktioille, vaikka todistimme sen vain C 1 -funktioille. Arvion 1.34) todistus toimii kuitenkin myös katkaistuille funktioille. Olkoon sitten u W 1,p B) ja u i W 1,p B) C 1 B) s.e. u i u W 1,p B):ssä. Soveltamalla arviota 1.37) erotuksiin u i u j nähdään, että u i ) on Cauchy-jono L p B):ssä. Siten u L p B) ja toteuttaa arvion 1.37). Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Epäyhtälö 1.37) voidaan kirjoittaa muodossa Bx,r) uy) u Bx,r) p dy 1/p ) 1. cr Bx,r) ) 1 ) 1 uy) p dy Tällainen epäyhtälö pätee kaikilla 1 < p <. Nimittäin Korollari 1.28:sta ja Lause 1.35:sta saadaan seuraava lause. Lause Olkoon 1 < p p < n p ja κ = n p/n p p). Tällöin on olemassa vakio c = cn,p, p) s.e. 1 1/p κp 1.39) uy) u Bx,r) κp dy cr uy) p dy Bx,r) kaikilla Bx,r) R n, u W 1,p Bx,r) ). Bx,r) Huomautus Yllä oleva arvio on hyödyllinen tapauksessa p = n, sillä silloin κn saadaan mielivaltaisen suureksi valitsemalla p tarpeeksi läheltä 1:stä. Kuitenkaan tästä ei pidä päätellä, että funktio u W 1,n ) kuuluisi avaruuteen L ) ks. HT 2/4). 2. Tapauksessa p = n pätee ns. Trudingerin epäyhtälö: On olemassa vakiot c 1 = c 1 n) ja c 2 = c 2 n) siten, että ) c1 uy) u B n/n 1) exp dy c 2 u n B kaikilla B = Bx,r) R n ja u W 1,n B). Emme todista tätä. 1/p.
20 20 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 3. Jos u W 1,n R n ) ja Bx,r) R n, niin 1.39):n ja Hölderin epäyhtälön nojalla Bx,r) uy) u Bx,r) dy Bx,r) uy) u Bx,r) κn dy ) 1/n c u dm <. R n Siten u BMOR n ) =bounded mean oscillation). 1 κn Bx,r) u n dm Määritelmä Olkoot X,d 1 ) ja Y,d 2 ) metrisiä avaruuksia ja 0 < α < 1. Sanomme, että kuvaus f : X Y on Hölder-jatkuva eksponentilla α, jos on olemassa vakio L s.e. d 2 fx),fy) ) Ld1 x,y) α kaikilla x,y X. Sanomme myös, että f : X Y on lokaalisti Hölder-jatkuva eksponentilla α, jos jokaisella X:n pisteellä on olemassa ympäristö, jossa f on Hölder-jatkuva eksponentilla α. Tapauksessa p > n pätee seuraava Morreyn epäyhtälö. Lause a) Jokaisella n < p < on olemassa vakio c = cn, p) siten, että 1.43) uy) uz) cr 1/p u p dm kaikilla B = Bx,r) R n, kaikilla u W 1,p B) ja m.k. y,z B. b) Jos u W 1,p ) ja n < p <, niin raja-arvo 1.44) lim uy)dy =: u x) r 0 Bx,r) on olemassa kaikilla x. Lisäksi u = u m.k. ja u on lokaalisti Hölder-jatkuva eksponentilla 1 n/p. Tod. Olkoon u C 1 B) W 1,p B), p > n. Tällöin Korollari 1.28:n nojalla B 1/n uy) uz) uy) u B + uz) u B ) uw) uw) c dw + dw B w y n 1 B w z n 1 ) 1/p c u p dm w y 1 n)p p 1 dw B B ) p 1 p ) p 1) + w z 1 n)p p p 1 dw. B Toisaalta käyttämällä pallokoordinaatteja saadaan arviot w y 1 n)p p 1 dw w y 1 n)p p 1 B = c By,2r) 2r 0 = cr p n p 1 s 1 n)p p 1 s n 1 ds dw
21 Syyslukukausi ja Siten B uy) uz) cr p n p w z 1 n)p p 1 B dw cr p n p 1. 1/p u dm) p = cr u p dm Jos u W 1,p B), niin approksimoimalla u:ta sileillä funktioilla W 1,p B):ssä nähdään, että 1.43) pätee m.k. y,z B. Olkoon sitten u W 1,p ), p > n. Määritellään funktio ū: R, ūx) = lim sup udm. r 0 Bx,r) Perustele, miksi ūx) R x.) Tällöin Lebesguen differentioituvuuslauseen mukaan u = ū m.k. Olkoon x ja Bx,2r). Tällöin kaikilla y Bx,r) pätee yksityiskohdat HT) ūx) ūy) c x y Bx,2 x y ) B u p dm 1/p c x y 1 n/p Bx,2 x y ) u p dm c x y 1 n/p u p dm) 1/p. ) 1/p 1/p. Siten ū on lokaalisti Hölder-jatkuva eksponentilla 1 n/p. Koska ū on jatkuva, niin raja-arvo ūx) = lim ūdm = lim udm on olemassa x. r 0 Bx,r) r 0 Bx,r) Määritelmä Olkoon R n avoin ja 1 p <. Sobolev-avaruus W 1,p 0 ) on C 1 0 ):n täydellistymä normin 1,p suhteen. Lähes suoraan Korollari 1.28:sta saadaan arvio uy) 1.46) ux) c dy x y n 1 kaikilla u C0 1 ) ja x. Tällöin nimittäin sptu on kompakti ja valitsemalla r > 0 niin suureksi, että sptu Bx,r) sekä asettamalla u R n \ = 0 saadaan ux) u Bx,r) c Bx,r) uy) dy = c x y n 1 uy) dy. x y n 1
22 22 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Toisaalta u Bx,r) = Bx,r) udm cr n udm 0, kun r. Siten 1.46) pätee. Näin ollen saamme Sobolev-Poincaré epäyhtälöt funktioille u W 1,p 0 ): Lause a) Jokaisella 1 p < n on olemassa vakio c = cn, p) s.e. kaikilla u W 1,p 0 ). u p dm ) 1/p ) 1/p c u p dm b) Olkoon 1 < p p < n p ja κ = n p/n p p). Tällöin on olemassa vakio c = cn,p, p) s.e. Bx,r) u κp dm 1 κp cr Bx,r) u p dm 1/p kaikilla Bx,r) R n, u W 1,p ) 0 Bx,r). Huomautus Tässä luvussa käsiteltiin vain joitain Sobolevin avaruuksiin liittyviä ilmiöitä ja esimerkiksi tärkeät kompaktisuustulokset on jätetty käsittelemättä. Mainitaan kuitenkin seuraava, jossa oletus p > 1 on välttämätön. Jos u j ) on rajoitettu jono W 1,p ):ssa ja p > 1 so. u j 1,p c < ), niin on olemassa osajono u ji ) ja u W 1,p ) s.e. u ji u heikosti L p ):ssa ja u ji u heikosti L p ; R n ):ssä. Jos u j W 1,p 0 ), niin u W 1,p 0 ). Tämä johtuu siitä, että W 1,p ) on refleksiivinen, jos p > 1 ks. Funktionaalianalyysin kurssi). 2 Lipschitz kuvaukset Tässä luvussa tutkimme mm. R n :n Lipschitz-funktioiden differentioituvuutta, Lipschitz-kuvausten jatkamista sekä metristen avaruuksien upotuslauseita. Lähdemateriaalit: [EG], [He1], [He2], [HKM], [HKST], [K1].) Olkoot X,d 1 ) ja Y,d 2 ) metrisiä avaruuksia. Palautetaan mieliin, että kuvaus f : X Y on Lipschitz, jos on olemassa vakio L siten, että 2.1) d 2 fx),fy) ) Ld1 x,y) x,y X. Sanomme tällöin, että f on L-Lipschitz. Kuvaus f : X Y on lokaalisti Lipschitz, jos jokaisella X:n pisteellä on ympäristö, jossa f on Lipschitz. Jos L-Lipschitz kuvauksella f : X Y on käänteiskuvaus f 1 : Y X, joka on myös L-Lipschitz, niin f:ää kutsutaan L-bilipschitz kuvaukseksi. Kuvaus f : X Y on isometria, jos d 2 fx),fy) ) = d1 x,y) x,y X.
23 Syyslukukausi R n :n Lipschitz-funktioiden differentioituvuus Todistamme seuraavaksi Rademacherin lauseen edellä ollutta Morreyn epäyhtälöä käyttäen. Tätä varten tutkitaan ensin Lipschitz-funktioiden kuulumista Sobolevin avaruuksiin. Lause 2.3. Olkoon R n avoin ja u: R lokaalisti Lipschitz. Tällöin u W 1,p loc ) kaikilla p 1. Tod. Selvästi u on jatkuva, joten u L p loc ) p 1. Riittää osoittaa, että u:lla on heikot osittaisderivaatat D k u L p loc ), k = 1,...,n, p 1. Olkoon U. Koska u on lokaalisti Lipschitz, niin on olemassa vakio L s.e. u U on L-Lipschitz. Merkitään x = t,y) R R n 1. Kiinnitetään y R n 1 s.e. R {y} U. Tällöin funktio ϕ y : I R, ϕ y t) = ut,y), on L- Lipschitz jokaisella suljetulla välillä I, jolla I {y} U. Erityisesti ϕ y on absoluuttisesti jatkuva ja siten derivaatta ϕ yt) = D 1 ut,y) on olemassa m.k. t I ks. Reaalianalyysi I [Ho2]). Lisäksi ϕ yt) L m.k. t I. Funktiot D 1 ux) := lim sup i ut + 1/i,y) ut,y) 1/i ja D 1 ux) := lim inf i ut + 1/i,y) ut,y) 1/i ovat mitallisia, sillä ne ovat pisteittäisiä raja-arvoja jatkuvista funktioista = erotusosamääristä). Erityisesti joukko, jossa osittaisderivaatta D 1 u on olemassa ts. {x: D 1 ux) = D 1 ux) R}) on mitallinen. Fubinin lauseesta seuraa nyt, että D 1 u on olemassa m.k. U:ssa ja D 1 u L m.k. Siis D 1 u L p U) p 1, joten D 1 u L p loc ) p 1. Vielä on perusteltava, että D 1u on u:n heikko 1. osittaisderivaatta. Tämä seuraa siitä, että absoluuttisesti jatkuville funktioille pätee osittaisintegrointikaava ks. Reaalianalyysi I, HT 8/6 v. 2003)). Samoin voidaan käsitellä muut osittaisderivaatat D k u. Huomautus 2.4. Myös käänteinen tulos pätee. Toisin sanoen, jos u L loc ) ja sillä on heikot osittaisderivaatat D k u L loc ) k = 1,...,n, niin tällöin u:n ekvivalenssiluokassa on edustaja, joka on lokaalisti Lipschitz. Seuraava on Calderónin yleistys Rademacherin lauseesta. Lause 2.5. Olkoon R n avoin ja u W 1,p loc ) jollakin p > n. Tällöin u on differentioituva m.k. :ssa. Tod. Olkoon B mielivaltainen kuula, jolloin u W 1,p B). Lebesguen differentioituvuuslauseen mukaan 2.6) lim ux) ux 0 ) p dy = 0 r 0 Bx 0,r) melkein kaikilla x 0 B. Valitaan tällainen piste ja määritellään funktio vx) = ux) ux 0 ) ux 0 ),x x 0.
24 24 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Tällöin v W 1,p B) ja vx) = ux) ux 0 ) m.k. x B. Morreyn epäyhtälöstä 1.43) sovellettuna funktioon v saadaan uy) ux 0 ) ux 0 ),y x 0 = vy) = vy) vx 0 ) cr vx) p dx missä r = y x 0. Nyt 2.6):n nojalla = cr Bx 0,2r) Bx 0,2r) 1/p ux) ux 0 ) p dx 1/p, uy) ux 0 ) ux 0 ),y x 0 y x 0 0, kun r 0. Lisäksi kuvaus h ux 0 ),h on lineaarinen kuvaus R n R, joten u on differentioituva x 0 :ssa ja siten m.k. :ssa. Huomautus 2.7. Ehto p > n on tarkka, sillä on olemassa funktio u W 1,n ), R n, joka ei ole jatkuva missään :n pisteessä, eikä näin ollen voi olla differentioituva missään :n pisteessä. Tällainen funktio saadaan konstruoitua esimerkiksi seuraavasti: Numeroidaan kaikki :n rationaalipisteet {q 1,q 2,...} ja määritellään u: Ṙ, ux) = i=1 ) 2 i 1 log log 1 +. x q i Nyt u W 1,n ), mutta ei ole jatkuva missään pisteessä. Yksityiskohdat HT.) Lauseista 2.3 ja 2.5 seuraa nyt välittömästi. Korollari 2.8 Rademacherin lause). Olkoon R n avoin ja u: R lokaalisti Lipschitz. Silloin u on differentioituva m.k. :ssa. Huomautus 2.9. Rademacherin lause pätee myös lokaalisti Lipschitz kuvauksille f : R m, R n, sillä jokainen f:n koordinaattifunktio on differentioituva m.k Lipschitz-vakiot Lip ja lip Olkoon X,d) metrinen avaruus. Otetaan käyttöön yleinen) merkintätapa dx,y) =: x y, x,y X, vaikkei X olekaan vektoriavaruus. Olkoon f : X Y Lipschitz kuvaus. Merkitään LIP f:llä pienintä vakiota L, jolla 2.1) pätee. Toisin sanoen, LIPf = inf{l: f on L-Lipschitz}. Helposti nähdään, että tällöin f on LIP f-lipschitz. Seuraavat pisteittäiset Lipschitz-vakiot tulevat karkeasti ottaen vastaamaan gradientin normia.
25 Syyslukukausi Määritelmä Olkoon X,d) metrinen avaruus ja f : X R. Määritellään f:n ylempi pisteittäinen Lipschitz-vakio funktiona Lip f : X [0, + ], ) fx) fy) Lipfx) = lim sup r 0 r missä sup y Bx,r) = lim sup F s x), r 0 0<s<r F s x) = sup y Bx,s) fy) fx). s Samoin määritellään f:n alempi pisteittäinen Lipschitz-vakio funktiona lip f : X [0, + ], ) fx) fy) lip fx) = lim inf r 0 r sup y Bx,r) = lim r 0 inf 0<s<r F sx). Lemma Jos f : X R on jatkuva, niin Lip f ja lip f ovat Borel-funktioita. Tod. Osoitetaan ensin, että F s on alhaalta puolijatkuva, ts. {x: F s x) > t} on avoin t R. Riittää tarkastella arvoja t 0. Kiinnitetään t 0 ja olkoon x 0 {x: F s x) > t}. Tällöin on olemassa y Bx,s) s.e. fy ) fx 0 ) > st. Valitaan ε > 0 s.e. fy ) fx 0 ) > st + ε. Koska f on jatkuva x 0 :ssä, on olemassa r 0,s x 0 y ] s.e. fy) fx 0 ) < ε y Bx 0,r). Toisaalta, jos y Bx 0,r), niin y By,s) ja Siis F s y) > t y Bx 0,r), joten fy) fy ) fy ) fx 0 ) fx 0 ) fy) > st + ε ε = st. Bx 0,r) {x: F s x) > t} ja siten F s on alhaalta puolijatkuva. Tästä seuraa, että myös sup 0<s<r F s on alhaalta puolijatkuva HT) ja siten Borel. Koska on Lip f Borel. Osoitetaan lopuksi, että Lip fx) = lim sup F s x) = lim r 0 0<s<r i 2.13) inf 0<s<r F sx) = inf 0 < s < r s Q jolloin myös inf 0<s<r F s, ja siten lip f on Borel. Selvästi Toisaalta inf F sx) 0<s<r inf 0 < s < r s Q sup 0<s<1/i F s x), F s x). sf s s ε)f s ε ε > 0, F s x), joten jokaista x, s 0,r) ja ε > 0 kohti on olemassa s 0,r) Q s.e. Antamalla ε 0 nähdään, että 2.13) pätee. F s x) 1 ε)f s x).
26 26 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 2.14 Lipschitz-kuvausten jatkaminen Lause 2.15 McShane-Whitney jatkolause). Olkoon X metrinen avaruus, A X ja f : A R L-Lipschitz. Tällöin on olemassa L-Lipschitz funktio F : X R s.e. F A = f. Tod. Jokaisella a A määritellään L-Lipschitz funktio f a : X R, f a x) = fa) + L a x, x X. Määritellään F asettamalla Fx) = inf a A fa x), x X. Selvästi Fx) < x X. Kiinnitetään a 0 A, jolloin nähdään, että fa) + L a x fa) + L a a 0 L a 0 x fa 0 ) L a 0 x. Siten Fx) > kaikilla x X. Koska jokainen f a on L-Lipschitz ja Fx) > x, myös F on L-Lipschitz. Lisäksi jokaisella x A joten F A = f. Fx) f x x) = fx) fy) + L x y = f y x) y A, Korollari Olkoon X metrinen avaruus, A X ja f : A R n L-Lipschitz. Silloin on olemassa nl-lipschitz kuvaus F : X R n s.e. F A = f. Tod. Sovelletaan Lausetta 2.15 koordinaattifunktioihin. Huomautus Lause 2.15 pätee myös tapauksessa X R m, f : X R n, mutta todistus on paljon vaikeampi ns. Kirszbraunin lause). Jos käytetään R n :ssä l -normia, x 1,...,x n ) = max{ x i : i = 1,...,n}, niin kerroin n on tarpeeton Korollari 2.16:ssa. Itseasiassa pätee yleisempi tulos. Sitä varten palautetaan mieliin merkintä l Y ) = {s: Y R: sup sy) < }, y Y kun Y on mikä tahansa joukko. Nyt l Y ) varustettuna normilla s = sup y Y sy) on Banach avaruus. Korollari Olkoon X metrinen avaruus, A X, Y mikä tahansa joukko ja f : A l Y ) L-Lipschitz kuvaus. Tällöin on olemassa L-Lipschitz kuvaus F : X l Y ) s.e. F A = f. Tod. Jokainen l Y ):n piste s voidaan tulkita jonoksi sy) ) y Y. Siten voimme tulkita kuvauksen f : A l Y ) kuvauksena, jonka koordinaattifunktioita ovat reaaliarvoiset funktiot f y : A R, a fa)y), y Y. Sovelletaan sitten Lausetta 2.15 näihin koordinaattifunktioihin.
27 Syyslukukausi Metristen avaruuksien upotukset Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Sanomme, että kuvaus f : X Y on upotus, jos f : X fx) on homeomorfismi. [Huom. fx):ssä relatiivitopologia.] Erityisesti jokainen isometria on upotus. Lause 2.20 Kuratowski). Jokainen metrinen avaruus X voidaan isometrisesti upottaa Banachavaruuteen l X). Tod. Kiinnitetään x 0 X. Jokaisella y X, määritellään kuvaus f y : X R, Kolmioepäyhtälöstä seuraa, että f y x) = x y x x 0. f y x) y x 0 ja f y x) f y x) = x y x y y y kaikilla x X. Siten f y on rajoitettu eli f y l X) ja f y f y y y. Toisaalta f y y) f y y) = y y, joten f y f y = y y. Kuratowskin upotuslauseen heikkous on siinä, että maalijoukko l X) riippuu X:stä. Jos X on separoituva, voidaan maalijoukoksi valita Banach-avaruus l = l N). Muistutetaan, että topologinen avaruus X on separoituva, jos on olemassa numeroituva tiheä osajoukko {x 1,x 2...} X. Lause 2.21 Fréchet). Jokainen separoituva metrinen avaruus X voidaan isometrisesti upottaa Banach-avaruuteen l. Tod. Kiinnitetään numeroituva tiheä osajoukko {x 0,x 1,x 2,...} X. Silloin kuvaus x x x 1 x 1 x 0, x x 2 x 2 x 0,... ) määrittelee isometrisen upotuksen X l. Yksityiskohdat HT.) Huomautus Edellisen lauseen heikkous on, ettei l ole separoituva. Banach on todistanut, että jokainen separoituva metrinen avaruus uppoaa isometrisesti separoituvaan Banachavaruuteen C[0,1]), ). Emme todista tätä. Määritelmä Sanomme, että metrinen avaruus X on tuplaava eli kahdentava), jos on olemassa vakio c N s.e. jokainen joukko, jonka halkaisija on d, voidaan peittää c:llä joukolla, joiden halkaisija on korkeintaan d/2. Lemma Jokainen tuplaava metrinen avaruus on separoituva. Tod. Kiinnitetään y 0 X ja merkitään X k = X By 0,k). Koska X = k N X k, riittää löytää numeroituva tiheä X k :n osajoukko k N. Selvästi jokainen X k on tuplaava metrinen avaruus vakiolla c ja X k :n halkaisija on korkeintaan 2k. Voimme siten olettaa, että X on rajoitettu. Olkoon d = diam X. Voimme peittää X:n joukoilla A 1,1,...,A 1,c s.e. diam A 1,i d/2. Jokainen A 1,i voidaan edelleen peittää c:llä joukolla, joiden halkaisijat ovat korkeintaan d/2 2. Yleisesti X voidaan peittää joukoilla A i,1,...,a i,c i s.e diam A i,j d/2 i. Valitaan pisteet x i,j A i,j jokaisella i N, j = 1,...,c i. Tällöin joukko S = i,j {x i,j } on numeroituva ja tiheä.
28 28 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Lemma Jos X,d) on metrinen avaruus ja 0 < α < 1, niin X,d α ) on metrinen avaruus. Tod. HT Sanomme, että X,d α ) on X,d):n lumihiutale versio. Lause 2.26 Assouad). Jos X, d) on tuplaava metrinen avaruus, niin sen jokainen lumihiutale versio X,d α ) voidaan bi-lipschitz upottaa johonkin euklidiseen avaruuteen R N. Lisäksi N riippuu vain α:sta ja X,d):n tuplausvakiosta c. Lykkäämme Assouadin lauseen todistusta myöhemmäksi. Todistusta varten tarvitsemme lisää määritelmiä ja lemmoja. Palautetaan ensiksi mieleen Zornin lemma ks. esim. Algebra, Topologia II). Lemma 2.27 Zornin lemma). Olkoon Y, ) osittain järjestetty joukko. Jos jokaisella Y :n ketjulla on yläraja Y :ssä, niin Y :ssä on ainakin yksi maksimaalinen alkio. Määritelmä Olkoon X metrinen avaruus ja ε > 0. Sanomme, että X:n osajoukko A on ε-verkko, jos x y ε, x,y A, x y. Maksimaalinen ε-verkko N = NX, ε) on mikä tahansa ε-verkko, joka on maksimaalinen inkluusion suhteen. Tällöin X = Bx,ε). x N Lemma Jokaisella metrisellä avaruudella on olemassa maksimaalinen ε-verkko jokaisella ε > 0. Tod. Väite voidaan todistaa Zornin lemman avulla. Merkitään X:n ε-verkkojen joukkoa N ε X):llä. Tällöin N ε X), ) on osittain järjestetty joukko N ε X), jos X ). Jos K = {A α : α A} N ε X) on ketju ts. täysin järjestetty joukko), niin A α N ε X) α on K:n yläraja. Zornin lemman nojalla N ε X):ssä on ainakin yksi) maksimaalinen alkio N. Perustellaan vielä edellä ollut väite α A α N ε X). Olkoot x,y α A α, x y. Silloin x A α ja y A β joillakin indekseillä α,β A. Koska K on ketju, pätee joko A α A β tai A β A α. Erityisesti A α A β on ε-verkko, joten x y ε. Huomautus Edellä ei vaadita, että maksimaalinen ε-verkko olisi numeroituva. Esimerkki metrisestä avaruudesta, jonka jokainen maksimaalinen ε-verkko on ylinumeroituva, on R R,d), missä d on metriikka { dz,z y y, jos z = x,y),z = x,y ); ) = y + x x + y, jos z = x,y),z = x,y ),x x. 2. Joskus kirjallisuudessa määritellään ε-verkko äärellisenä osajoukkona F X s.e. X = Bx,ε). x F
29 Syyslukukausi Kutsumme tällä kurssilla) joukkoa F X ε-tiheäksi, jos X = Bx,ε). x F Jälkimmäiseen huomautukseen liittyy seuraava käsite. Käytämme sitä myöhemmin Lemman 2.32 kautta. Määritelmä Metrinen avaruus X on totaalisesti rajoitettu eli prekompakti), jos jokaisella ε > 0 on olemassa äärellinen ε-tiheä joukko F X. Lemma Metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos se on totaalisesti rajoitettu ja täydellinen. Tod. Jos metrinen avaruus X on kompakti, niin se on selvästi totaalisesti rajoitettu ja täydellinen Topologia I:n tiedot). Oletetaan kääntäen, että X on totaalisesti rajoitettu ja täydellinen. Olkoon y i ) jono X:n pisteitä. Koska X on totaalisesti rajoitettu, on olemassa äärellinen 1-tiheä) joukko {x 1,...,x k1 } s.e. X = k 1 i=1 Bx i,1). Siten on olemassa kuula Bx i,1), joka sisältää äärettömän monta jonon y i ) pistettä. Poimitaan nämä y i :t ja merkitään niiden muodostamaa osajonoa y 1,i ):llä. Edelleen on olemassa äärellinen 1/2-tiheä joukko ja siten kuula Bx, 1/2), joka sisältää äärettömän monta jonon y 1,i ) pistettä. Merkitään näiden muodostamaa osajonoa y 2,i ):llä ja jatketaan prosessia. Yleisesssä vaiheessa on olemassa äärellinen 2 j -tiheä joukko ja siten 2 j -säteinen kuula, joka sisältää äärettömän monta jonon y j 1,i ):n pistettä. Merkitään näiden muodostamaa osajonoa y j,i ):llä. Nyt diagonaalijono y i,i ) on Cauchy-jono ja se suppenee X:n täydellisyyden nojalla. Siis X on kompakti. Lemma Olkoon Z metrinen avaruus, jonka jokaisessa suljetussa kuulassa Bz,r) on korkeintaan M N alkiota. Silloin on olemassa kuvaus f : Z {1,...,M} s.e. fz) fz ), jos z z r. Tod. Olkoon F kaikkien niiden kuvausten g: Z g {1,...,M}, Z g Z, joukko, joilla gz) gz ), jos z,z Z g ja z z r. Selvästi F. Määritellään F:ään osittainen järjestys, Olkoon K F ketju. Olkoon g g Z g Z g ja g Z g = g. Z = g K ja määritellään h: Z {1,...,M} yhtälöllä hz) = gz), jos z Z g. Kuvaus h on hyvin määritelty, koska K on ketju. Lisäksi hz) hz ), jos z z r, joten h F. Nyt h on K:n yläraja, sillä Z g Z g K. Zornin lemman mukaan F:ssä on olemassa maksimaalinen alkio f : Z f {1,...,M}, jolle siis pätee, että fz) fz ), jos z z r. Oletetaan, että Z f Z ja valitaan z 0 Z \ Z f. Koska z 0 Bz 0,r) \ Z f ja oletuksen mukaan card Bz 0,r) M, niin cardz f Bz 0,r)) M 1. Valitaan k {1,...,M} s.e. fz) k kaikilla z Z f Bz 0,r). Jatketaan f kuvaukseksi f : Z f {z 0 } {1,...,M} asettamalla f z 0 ) = k ja f z) = fz), kun z Z f. Nyt f F ja f f, mikä on ristiriita f:n maksimaalisuuden kanssa. Siis on oltava Z f = Z. Lemma Olkoon X, d) metrinen avaruus. Oletetaan, että jollakin m N on olemassa jono funktioita ϕ j : X R m, j Z, ja vakiot A,B > 0 ja 0 < τ < 1 s.e. 1) ϕ j s) ϕ j t) A, jos τ j+1 < ds,t) τ j, ja Z g
30 30 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 2) ϕ j s) ϕ j t) B min{τ j ds,t),1} kaikilla s,t X. Tällöin jokaista 0 < ε < 1 kohti on olemassa L-bilipschitz upotus f : X,d ε ) R n jollakin n N. Lisäksi bilipschitz vakio L ja dimensio n riippuvat vain annetusta datasta: m,a,b,τ,ε. Lemman 2.34 samoin kuin Assouadin lauseen todistukset lisätään tähän myöhemmin kunhan ne on ensin käsitelty luennolla). 3 Metristen avaruuksien suppeneminen Lähdemateriaali: [BBI], [DS], [Gr], [He2], [Pe].) 3.1 Hausdorff-etäisyys Olkoon X metrinen avaruus, S X ja ε > 0. Joukko Sε) = {x X : distx,s) < ε} on S:n ε-ympäristö. Toisin sanoen Sε) = x S Bx,ε). Määritelmä 3.2. Joukkojen A X ja B X välinen Hausdorff-etäisyys on d H A,B) = inf{r > 0: A Br),B Ar)}. Joskus merkitsemme myös d X H = d H. Jos A, niin d H A, ) =. Asetamme d H, ) = 0. Lemma 3.3. Jos A,B,C X, niin d H A,B) d H A,C) + d H C,B). Tod. Voidaan olettaa, että d H A,C) < ja d H C,B) <. Valitaan r > 0 ja s > 0 s.e. 3.4) A Cr), C Ar), C Bs), B Cs). Tällöin Cr) Bs) ) r) Bs + r), joten A Bs + r). Samoin Cs) Ar) ) s), joten B Ar + s). Näin ollen d H A,B) s + r. Ottamalla inf yli sellaisten r:ien ja s:ien, joille 3.4) pätee, saadaan väite. Huomautus Helposti nähdään, että d H A,B) = max{sup a A dista,b),sup b B distb,a)}. 2. Jos r > 0, niin d H A,B) r dista,b) r a A ja distb,a) r b B. 3. d H ei välttämättä ole metriikka, sillä voi olla d H A,B) = esim. X = R 2, A on suora y = x ja B on suora y = x), tai d H A,B) = 0, vaikka A B esim. X = R = A, B = Q). Merkitään X:n kompaktien epätyhjien osajoukkojen joukkoa CX):llä. Lemma 3.6. Jos A,B X ovat suljettuja ja A B, niin d H A,B) > 0. Erityisesti d H määrittelee metriikan CX):ssä. Tod. Olkoot A,B X suljettuja ja A B. Voimme olettaa, että A \B. Olkoon x A \B. Koska B on suljettu, on olemassa r > 0 s.e. Bx,r) B =. Tällöin x Br), joten d H A,B) r > 0. Selvästi d H on ei-negatiivinen, symmetrinen, ja d H A,A) = 0. Koska metrisessä avaruudessa jokainen kompakti joukko on rajoitettu, on d H A,B) äärellinen, jos A CX) ja B CX). Kolmioepäyhtälö todistettiin Lemmassa 3.3. Näin ollen d H määrittelee metriikan CX):ssä.
31 Syyslukukausi Lause 3.7. Jos X on kompakti, niin CX),d H ) on kompakti. Tod. Lemman 2.32 nojalla riittää osoittaa, että CX),d H ) on täydellinen ja totaalisti rajoitettu. Olkoon S i ) i N Cauchy-jono CX):ssä. Merkitään S = {x X : Bx,r) S i r > 0, äärettömän monella i:n arvolla}. Osoitetaan, että S CX) ja d H S i,s) 0. Jos y X \ S, niin on olemassa r > 0 ja i r N s.e. By,r) S i = i i r. Tällöin Bz,r/2) S i = i i r ja z By,r/2). Näin ollen By,r/2) X \ S, joten S on suljettu. Koska X on kompakti, on myös S kompakti. Kiinnitetään ε > 0 ja olkoon i 0 N sellainen, että d H S i,s j ) < ε i,j i 0. Jos x S, niin on olemassa j i 0 s.e. Bx,ε) S j. Siis x y < ε jollakin y S j. Koska d H S i,s j ) < ε i i 0, niin disty,s i ) < ε ja distx,s i ) x y + disty,s i ) < 2ε i i 0. Siis S S i 2ε) i i 0. Olkoon sitten i i 0 ja x S i. Olkoon i 1 = i ja jokaisella k N valitaan i k N s.e. i k+1 > i k ja d H S j,s n ) < ε/2 k j,n i k. Olkoon x 1 = x ja jokaisella k > 1 valitaan pisteet x k S ik rekursiivisesti s.e. x k+1 x k < ε/2 k. Näin voidaan tehdä, sillä S ik S ik+1 ε/2 k ). Nyt x k ) on Cauchy-jono, sillä n 1 x k+n x k < ε/2 j = ε/2 k 1, j=k joka saadaan mielivaltaisen pieneksi kasvattamalla k:ta. Koska X on täydellinen, on olemassa y = lim x k X. Lisäksi y S konstruktion perusteella. Nyt k 1 x y = lim x x k lim x j x j+1 < 2ε. k k Näin ollen S i S2ε) i i 0. Olemme osoittaneet, että d H S i,s) 0 ja S CX), joten CX),d H ) on täydellinen. Olkoon ε > 0 ja olkoon N X äärellinen ε-tiheä joukko. Osoitetaan, että 3.8) CX) {C CX): d H C,S) < 2ε}, }{{} S PN) =B H S,2ε) jolloin olemme näyttäneet, että PN) on äärellinen 2ε-tiheä CX):n osajoukko eli CX),d H ) on totaalisesti rajoitettu. Olkoon K CX) ja j=1 S K = {x N : distx,k) < ε} PN). Jokaisella y K, on olemassa x N s.e. x y < ε, koska N on ε-tiheä. Tällöin x S K, sillä distx,k) x y < ε. Siten disty,s K ) < ε y K, joten K S K ε). Toisaalta S K :n määritelmän mukaan distx,k) < ε x S K, joten S K Kε). Siis d H K,S K ) < 2ε. Tämä pätee jokaisella K CX), joten 3.8) pätee. Korollari 3.9. Olkoon X kompakti ja S i CX), i N. Tällöin on olemassa osajono S ij ) ja S CX) s.e. S ij S CX):ssä eli d H S ij,s) 0).
32 32 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Merkitään BX) = {A X : A suljettu, rajoitettu ja epätyhjä}. Lemman 3.6 ja Lauseen 3.7 todistuksista saadaan seuraava tulos. Lause a) Hausdorff-etäisyys d H määrittelee BX):ään metriikan. b) Jos X on täydellinen, niin BX),d H ) on täydellinen. Myös käänteinen tulos on voimassa. Sitä varten todistetaan aputulos. Lemma Olkoot A, B X ja diam A <. Silloin ts. kuvaus A diam A on 2-Lipschitz. joten diam A diam B 2d H A,B), Tod. Voi olettaa, että myös diam B <. Tällöin r > 0, jolla A Br) ja B Ar), pätee diam A diam Br) diam B + 2r diam B diam Ar) diam A + 2r, diam A diam B 2r. Siis diam A diam B 2d H A,B). Määritellään kuvaus i: X BX), ix) = {x}. Selvästi d H {x}, {y}) = x y, joten i on isometrinen upotus metriseen avaruuteen BX),d H )). Lause a) Jos BX),d H ) on täydellinen, niin myös X on täydellinen. b) Jos BX),d H ) on kompakti, niin myös X on kompakti. Tod. Oletetaan, että BX),d H ) on täydellinen. Olkoon x j ) Cauchy-jono X:ssä, jolloin ix j ) ) on Cauchy-jono BX):ssä. Siten ix j ) A BX). Lemman 3.11 nojalla diama = 0, joten A = {x} = ix). Tästä seuraa, että x j x. Siten X on täydellinen. Oletetaan sitten, että BX),d H ) on kompakti ja olkoon x j ) jono X:ssä. Tällöin on olemassa osajono x jk ) ja A BX) s.e. ix jk ) A. Samoin kuin edellä päätellään, että A = ix) jollakin x X ja siten x jk x. Siis X on kompakti Gromov-Hausdorff-etäisyys Määritelmä Metristen avaruuksien X ja Y Gromov-Hausdorff-etäisyys on d GH X,Y ) = inf Z,ϕ,ψ dz H ϕx,ψy ), missä Z on metrinen avaruus ja ϕ: X Z, ψ: Y Z ovat isometrisia upotuksia. Separoituvien metristen avaruuksien tapauksessa Z:ksi voidaan valita l. Lemma Jos X ja Y ovat separoituvia metrisiä avaruuksia, niin d GH X,Y ) = inf ϕ,ψ dl H ϕx,ψy ), missä ϕ: X l ja ψ: Y l ovat isometrisia upotuksia.
8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotSobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen
Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007 Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä...................................
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 7 1 Metriset avaruudet 9 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotSOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015
SOBOLEV-AVARUUDET Pekka Koskela Kevät 2015 Luennot: Ti 1416 MaD 380, Ke 1214, MaD 302. Demot: To 1416, MaD 380. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Sergei L. Sobolev 1908-1989: On some
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotU β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)
1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotMitta ja integraali 1
Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotTasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista
Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko 243023 Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin
LisätiedotVille Suomala MITTA JA INTEGRAALI
Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotYleistettyjen jonojen käyttö topologiassa
Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen
Lisätiedot