1C00100 Mallivastaukset 2. 1. Markkinahinnan aikasarja on esitetty kuvassa 1. Yksittäisten muutosten vaikutukset on kuvattu aikasarjan jälkeen. Hinta 2018 2019 2021 2022 2024 2025 Vuosi Kuva 1: Markkinahinnan aikasarja vuosille 2018-2025 Tasaisesti kasvava kysyntä nostaa markkinahintaa vuosittain vuosien 2018-2022 välillä. Vuonna 2019 tapahtuva positiivinen tarjontashokki alentaa hintaa pysyvästi. Muutos vuodesta 2018 vuoteen 2019 on havainnollistettu ensimmäisessä kehikossa. Katkoviivat kuvaavat uutta kysyntä- ja tarjontakäyrää. Uusi tasapainohinta on merkitty P Koska tarjonta on kysyntä on joustavaa, niin tarjontashokilla on suhteellisen pieni vaikutus hintaan. Vuonna 2021 tapahtuva negatiivinen tarjontashokki nostaa hintaa väliaikaisesti. Muutos on esitetty toisessa kehikossa. Huomaa samanaikaisesti tasaisesti kasvavan kysynnän hintaa noustava vaikutus. Vuonna taas 2022 iskee toinen samansuuruinen ja väliaikainen, mutta positiivinen tarjontashokki. Hinta laskee sen seurauksena väliaikaisesti, mutta vain vähän. Alati kasvavan kysynnän vaikutus on myös huomattava. Koska vuosien 2021 ja 2022 shokit ovat väliaikaisia, ne siirtää tarjontakäyrän vain tilapäisesti. Vuonna 2024 kysyntä laskee hieman ensimmäisen puolen vuoden aikana, alentaen tasapainohintaa. Huomaa, että vuosien 2022 ja 2024 välillä kysyntä ja tarjonta ja siten tasapainohinta pysyivät vakioina. 1
1C00100 Hinta Vuosi 2018-2019 Hinta Vuosi 2020-2021 P * P ** P ** P * Q * Q ** Määrä Q Q *** Määrä Hinta Vuosi 2021-2022 Hinta Vuosi 2024-2025 P * P ** P * P ** Q * Q ** Määrä Q Q *** Määrä 2. (a) Käännetään kysyntä ja tarjontakäyrät: Q D = 5 0.5p P D (Q) = 10 2q Q S = p 1 + ɛ P S (Q) = 1 ɛ Ratkaistaan ensin hinta, määrä ja kuluttajan ylijäämä markkinatasapainossa ɛ:in funktiona: Hinta: 5 0.5p = p 1 + ɛ p = 6 ɛ 2 p = 4 2ɛ Määrä: Q = 5 0.5p 2
1C00100 Q = 5 0.5 (4 2 ɛ) Q = 5 2 + 1 ɛ Q = + 1 ɛ Kuluttajan ylijäämä: CS = (10 (4 2 ɛ)) (+ 1 ɛ) 2 CS = (6+ 2 ɛ) (+ 1 ɛ) 2 CS = 81+18ɛ+ɛ2 9 Hyvä tapaus (ɛ = 1): Hinta: p = 4 2 1 p = 1 Määrä: Q = + 1 1 Q = 1 Kuluttajan ylijäämä: CS = 81+18 1+12 9 CS = 100/9 11.1 Huono tapaus (ɛ = 1): Hinta: p = 4 2 ( 1) p = 4 2 Määrä: Q = + ( 1 ) Q = 2 2 Kuluttajan ylijäämä: CS = 81+18 ( 1)+( 1)2 9 CS = 64/9 7.11 (b) Ääritapauksissa hinta on joko p rauha = 1 tai psota = 4 2. Koska molemmat ovat yhtä todennäköisiä, voidaan laskea odotusarvo tasapainohinnalle: E(p ) = 0.5( 1 ) + 0.5(4 2 ) = 4 Samalla tavalla saadaan odotusarvo tasapainomäärälle: E(Q ) = 0.5( 1 ) + 0.5(2 2 ) = Kuluttajan ylijäämän odotusarvo: E(CS) = 0.5(100/9) + 0.5(64/9) = 82/9 9.11 (c) Nyt ɛ on tasajakautunut välille [ 1, 1], eli sen todennäköisyysjakauman tiheysfunktio f saa arvon f(ɛ) = 1/2 välillä 1 ɛ 1 ja nolla muualla. Aiemmin ratkaistiin, että hinta riippuu tarjontashokin arvosta seuraavasti:
1C00100 p = 4 2 ɛ Tästä voidaan laskea odotusarvo hinnalle: E(p ) = 1 (4 2 s)f(s)ds 1 1 = 4 1 ( 2 2 1 s)ds = 4 1 ( 1 2 (1)2 1 ) ( 1)2 = 4 Vastaavasti kuluttajan ylijäämä riippuu tarjontashokin arvosta seuraavasti: Lasketaan odotusarvo: CS = 81 + 18ɛ + ɛ2 9 E(CS) = 1 81 + 18s + s2 ( )f(s)ds 9 1 1 = 9 + 1 (2s + 1 2 1 9 s2 )ds = 9 + 1 (((1) 2 + 127 ) 2 (1) (( 1) 2 + 127 )) ( 1) = 244/27 9.04 Koska hinta on shokin lineaarinen funktio, niin sen odotusarvon tätyy olla sama kuin edellisessä kohdassa (Tämän toteaminen riittäisi yhtä hyvin hinnan odotusarvon perusteluksi). Sen sijaan, koska kuluttajan ylijäämä ei ole lineaarinen, niin sen odotusarvon laskeminen vaatii integrointia. 4
1C00100. (a) Piirretään kysyntä- ja tarjontakäyrät: (b) Kokonaisylijäämä maksimoituu kun kirjansa myyvät niitä vähiten arvostavat omistajat ja ne ostavat niitä eniten arvostavat haluajat. Tässä tapauksessa kolme kirjaa vaihtaisi omistajaa. Huomaa, että sovitulla hinnalla ei ole väliä kokonaisylijäämän kannalta (kunhan molemmat suostuvat kauppaan) vaan se vaikuttaa vain ylijäämän jakautumiseen osapuolten kesken. T S = (180 40) + (85 55) + (80 65) = 185 (c) Lähetyskulut eivät vaikuta optimaaliseen allokaatioon, pelkästään omistajien ja haluajien ylijäämään (oletetaan tässä, ettei postia lasketa kokonaisylijäämään). T S = (180 40 12) + (85 55 12) + (80 65 12) = 149 5
1C00100 4. (a) Voiton maksimoiva tuotannon taso määräytyy ehdosta MR = MC, eli rajatuoton tulee olla yhtä suuri kuin rajakustannus. Muodostetaan aluksi käänteinen kysyntäkäyrä: Q(p) = 180 p/2 P (q)/2 = 180 q P (q) = 60 2q Nyt voidaan kirjoittaa: Tuotto: T R(q) = P (q) Q = (60 2q) q = 60q 2q 2 Rajatuotto: MR = T R (q) = 60 4q Kokonaiskustannukset: T C(q) = 000 + q 2 Rajakustannus: MC(q) = T C (q) = 2q Ratkaistaan seuraavaksi voiton maksimoiva tuotannon taso asettamalla M R = M C: 60 4q = 2q 6q = 60 Q = 60 6 = 60 Ratkaistuamme optimaalisen tuotannon tason voidaan tasapainohinta ratkaista käänteisestä kysyntäkäyrästä sijoittamalla siihen Q : P (Q ) = 60 2 60 = 240 Voitto tuotannon tasolla Q ja hinnalla P on: π(q ) = P (Q ) Q T C(Q ) = 240 60 000 60 2 = 7800 (b) Edetään niin kuin 4a kohdassa ja muodostetaan aluksi käänteinen kysyntäkäyrä: Q(p) = 120 p/2 P (q)/2 = 120 q P (q) = 240 2q Nyt voidaan kirjoittaa: Tuotto: T R(q) = P (q) Q = (240 2q) q = 240q 2q 2 Rajatuotto: MR = T R (q) = 240 4q Kokonaiskustannukset: T C(q) = 000 + q 2 Rajakustannus: MC = T C (q) = 2q Ratkaistaan seuraavaksi voiton maksimoiva tuotannon taso asettamalla M R = M C: 240 4q = 2q 6Q = 240 Q = 240 6 = 40 Ratkaistuamme optimaalisen tuotannon tason voidaan tasapainohinta ratkaista käänteisestä kysyntäkäyrästä sijoittamalla siihen Q : P (Q ) = 240 2 40 = 160 Voitto tuotannon tasolla Q ja hinnalla P on: 6
1C00100 π(q ) = P (Q ) Q T C(Q ) = 160 40 000 40 2 = 1800 Kustannusten pysyessä samana negatiivinen kysyntäshokki alentaa optimaalista hintaa. Voitot pienenevät rajusti. (c) Lasketaan vekottimien optimaalinen tuotantomäärä Ruotsin markkinoille. 4a kohdasta saadaan vekottimien tuotannon kustannukset: Kokonaiskustannukset: T C(q) = 000 + q 2 Rajakustannus: MC = T C (q) = 2q Kysyntä Ruotsissa on Q swe (p) = 240 p P swe (q) = 240 q T R swe = (240 Q swe ) Q swe = 240Q swe Q 2 swe MR swe = T R swe = 240 2Q swe Suomen rajatuotto saatiin tehtävän (a) kohdasta: MR fin = 60 4Q fin Optimaalinen tuotantomäärä saadaan yhtälöparista MR fin = MC(Q kok ) MR swe = MC(Q kok ) Sijoitetaan yhtälöpariin rajatuotot 60 4Q fin = 2(Q fin + Q swe ) 240 2Q swe = 2(Q fin + Q swe ) Ratkaistaan Q swe ensimmäisestä yhtälöstä (Q swe = 180 Q fin ) ja sijoitetaan se jälkimmäiseen yhtälöön: 240 2(180 Q fin ) = 2(Q fin + (180 Q fin )) 240 60 + 6Q fin = 2Q fin + 60 6Q fin 6Q fin = 4Q fin + 60 240 + 60 10Q fin = 480 Q fin = 48 Q swe = 180 48 = 6 Ruotsin markkinoille kannattaa siis tuottaa 6 vekotinta. Hinta Ruotsissa on P swe (Q swe) = 240 6 = 204. Hinta on alle 100 pienempi kuin Suomen hinta, joten firman ei tarvitse pelätä kuluttajien kuljettavan vekottimia Ruotsista Suomeen. Hinta Suomessa on vastaavasti P fin (Q fin ) = 60 2 48 = 264 Yrityksen voitot ovat: π kok = P swe Q swe + P fin Q fin T C(Q swe + Q fin ) = 204 6 + 264 48 000 (6 + 48) 2 = 9960 Voitot ovat korkeammat, kuin jos yritys myisi pelkästään Suomeen. 7
1C00100 5. (a) Tiedetään, että M C = 4 (vakioinen rajakustannus), eli meidän tarvitsee hinnoittelupäätöstä varten ratkaista vain M R. Tätä varten meidän täytyy tietää kysyntäkäyrä. Tasajakautunut arvostus tarkoittaa, että kullakin hinnalla P tiedetään osuus kuluttajista, jotka ovat sillä hinnalla valmiita ostamaan. Tehtävässä ostajat ovat tasajakautuneet välille [0, 0] eli hinnalla P osuus P/0 asiakkaista arvostaa tuotetta korkeintaan P:n verran, ja osuus 1 P 0 arvostaa tuotetta enemmän. Koska asiakkaita tiedetään olevan 8000, kysytty määrä voidaan kirjoittaa yhtälöksi: Q = 8000 (1 P 0 ) Laskemalla yhtälö auki saadaan tuotteen kysyntäkäyrä: Q = 8000 8000 0 P Nyt voidaan ratkaista M R. Käännetään ensin kysyntäkäyrä: Q = 8000 8000 0 P 8000 0 P = 8000 Q P = 0 800 Q Yrittäjän tuotto ja rajatuotto ovat T R(Q) = P (Q) Q T R(Q) = (0 800 Q) Q T R(Q) = 0Q 800 Q2 MR = T R (Q) = 0 400 Q Asetetaan MR = MC: 0 400 Q = 4 400 Q = 26 Q = 10400 466.67 467 (murto-osia pipoista ei voida myydä) Ratkaistaan tasapainohinta käänteiseltä kysyntäkäyrältä: P = 0 800 10400 = 17 Yrittäjän voitot ovat: π = P Q 4Q 12000 = 17 10400 4 10400 12000 = 99200 066.67 (b) Yrittäjä voi nyt kohdata kaksi yhtä todennäköistä skenaariota joissa ostajia on joko 6000 tai 10000. Tällä epävarmuudella ei ole merkitystä yrittäjän ongelman kannalta, koska voittoa maksimoiva hinta riippuu tasajakautuneen kysynnän tapauksessa vain jakaumasta eikä ostajien määrästä. Ostajien määrä vaikuttaa vain tuotettuun määrään (ja sitä kautta yrittäjän voittoihin), mutta tässä kohdassa tuotettua määrää ei tarvitse päättää etukäteen. Yrittäjän kannattaa siis edelleen asettaa hinta P = 17. (c) Nyt yrittäjän täytyy tehdä myös tuotantopäätös etukäteen ja ottaa huomioon mahdolliset tappiot ylituotannosta. Kustannukset riippuvat siis tuotetusta määrästä eikä 8
1C00100 kysytystä määrästä. Merkataan tuotettua määrää X. Yrittäjän kustannukset ovat nyt T C(X) = 4X + 12000. Yrittäjän mahdollisesti kohtaamat kaksi käänteistä kysyntäkäyrää ovat: P H (Q) = 0 0 10000 Q P L (Q) = 0 0 6000 Q Hinnan ja tuotetun määrän väliset yhteydet ovat vastaavasti P H (X) = 0 0 10000 X P L (X) = 0 0 6000 X 0 P 25 20 15 10 5 0 2000 4000 6000 8000 10 000 Q,X Kuva 2: Yrittäjän kohtaamat kysyntäkäyrät On selvää, että tuotetusta määrästä riippumatta yrittäjän ei kannata asettaa hintaa niin alas, että huiveja jäisi aina myymättä. Hinta tulee siis asettaa vähintään sille tasolle, että matalan kysynnän skenaariossa kaikki myydään. Alaraja hinnalle on siis P L (X). Samoin yrittäjän ei kannata asettaa hintaa niin korkealle, ettei kaikki ikinä menisi kaupaksi. Yläraja hinnalle on siis P H (X). Myöskään hintoja, joilla yrittäjä tekee aina tappiota, ei kannata pohtia. Näitä ovat kaikki P < MC. Näin ollen Q H (MC) = 10000 10000 0 4 = 26000 8666.67 on (ei-sitova) yläraja tuotetulle määrälle X. Annetulla X:llä optimihinta voi saada nurkkaratkaisun. Tiedetään, että jos tuotetaan hintaan P L (X) tullaan joko myymään juuri ja juuri kaikki huivit (L) tai ne loppuvat kesken (H). Kummassakin skenaariossa myydään siis kaikki tuotetut huivit. Vastaa- 9
1C00100 vasti jos tuotetaan hinnalla P H (X) jää huiveja joko myymättä L tai ne myydään juuri ja juuri loppuun (H). Tässä tapauksessa yrittäjä myy eri määrän huiveja riippuen toteutuneesta skenaariosta. Kirjotetaan odotetun voiton Eπ funktiot X:n suhteen. Tämän jälkeen maksimoidaan ne derivoimalla funktiot X:n suhteen ja etsimällä derivaattojen nollakohdat: Eπ L (X) = 0.5(P L (X) X 4X 12000) + 0.5(P L (X) X 4X 12000) Eπ L (X) = P L (X) X 4X 12000 Eπ L (X) = (0 0 X) X 4X 12000 6000 Eπ L (X) = X2 + 26X 12000 π L (X) X 200 = X + 26 = 0 100 X L = 2600 Eπ H (x) = 0.5(P H (X) Q L (P H (X)) 4X 12000) + 0.5(P H (X) X 4X 12000) Eπ H (x) = 0.5((0 0 0 10000 10000 X) X 4X 12000) X) (6000 6000 0 Eπ H (X) = 0.0024X 2 + 20X 12000 π H (X) X = 0.0048X + 20 = 0 X H 4167 Voiton maksimoivat hinnat ovat kussakin tapauksessa: P H (X) = 0 0 4167 = 17.5 10000 P L (X) = 0 0 2600 = 17 6000 0 (0 X)) 4X 12000)+0.5((0 10000 Odotetut maksimivoitot optimituotannolla XL ovat Eπ L(XL ) = 21800 ja optimituotannolla XH Eπ H(XH ) 29666.66. Voittofunktiot on esitetty kuvassa. Voittojaan maksimoivan yrittäjän kannattaa siis asettaa hinta tasolle P = 17.5 ja tuottaa määrä X = 4167. 10
1C00100 Eπ 0 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000 2000 4000 6000 8000 X Kuva : Odotetut voitot X:n funktiona. 6. (a) Voiton maksimoiva tuotannon taso määräytyy ehdosta MR = MC, missä MC = 0. Vakioinen rajakustannus mahdollistaa sen, että voiton maksimoivat tuotannon tasot ja hinnat voidaan laskea erikseen molemmille markkinoille. Lasketaan aluksi rajatulot MR eu ja MR km molemmilta markkinoilta. Käänteiset kysyntäkäyrät ovat: P km = 80 1Q km P eu = 240 Q eu Tuotot ovat: T R km = P km Q km = (80 1Q km) Q km = 80Q km 1 Q2 km T R eu = P eu Q eu = (240 Q km ) Q eu = 240Q eu Q 2 eu Rajatulot ovat: MR km = T R km = 80 2Q km MR eu = T R eu = 240 6Q eu Asetetaan M R = M C molemmilla markkinoilla erikseen. MR km = MC 80 2Q km = 0 Q km = 120 MR eu = MC 240 6Q eu = 0 Q eu = 40 Hinnat saadaan käänteisistä kysyntäkäyristä sijoittamalla niihin optimaalinen tuotannon taso: Pkm = 80 1 120 P km = 40 11
1C00100 P eu = 240 40 P eu = 120 Koska kuluja ei ole, saadaan yrityksen voitot kertomalla hinnat määrillä: π km = 40 120 = 4800 π eu = 120 40 = 4800 Lasketaan lopuksi kuluttajan ylijäämät voiton maksimoivalla tuotannon tasolla ja hinnalla: CS km = (80 40) 120 2 = 2400 CS eu = (240 120) 40 2 = 2400 Yrityksen maailmanlaajuiset voitot ovat siis 4800 + 4800 = 9600 ja kuluttajien yhteenlaskettu ylijäämä on 2400 + 2400 = 4800. (b) Lasketaan kokonaiskysyntä, kun molemmille markkinoille myydään samalla hinnalla. Choke price kehitysmaille on 80, joten kun hinta on P 80, vain EU ostaat ja kysyntä on Q = 240 P. Kun hinta on alle 80, molemmat markkinat ostavat ja voimme summata kysynnät: Q km + Q eu = 80 1 Q kok = P + 240 P = 20 10 P, kun P < 80 Q eu = 240 P, kun P 80 Tiedämme jo optimistrategian, jos lääkefirma myisi vain EU:ssa (ks. kohta a). Lasketaan seuraavaksi optimihinnoittelu, kun hinta on tasolla jolla molemmilta markkinoilta löytyy ostajia. Selvitetään ensin käänteinen kokonaiskysyntä kun P < 80: P kok = 20 10 Q kok 10 = 96 10 Q kok Tuotto on: T R(Q kok ) = (96 10 Q kok) Q kok = 96Q kok 10 Q2 kok Rajatuotto on: MR = T R (Q kok ) = 96 5 Q kok Voiton maksimoiva tuotannon taso saadaan jälleen kerran ehdosta M R = M C: 96 5 Q kok = 0 Q kok = 96/ 5 = 160 Hinta saadaan käänteisestä kysyntäkäyrästä: Pkok = 96 160 = 48 10 Voitto on: π = Q kok P kok = 160 48 = 7680 Voitto on enemmän kuin jos yritys myisi vain EU:hun (π km = 4800), mutta vähemmän kuin jos yritys voisi optimoida hinnat markkinakohtaisesti kuten edellisessä kohdassa (voitto, kun yritys myi optimihintaan molemmille markkinoille oli 9800). Kehitysmaissa hinta on korkeampi kuin aiempi differoitu hinta, minkä johdosta myyty määrä laskee, kuluttajien ylijäämä pienenee ja voitot laskevat: 12
1C00100 Q km = 240 48 = 96 Q km = 96 120 = 24 CS km = (80 48) 96 0.5 = 156 π km = 48 96 = 4608 CS km = 156 2400 = 864 π km = 4608 4800 = 192 Tehdään sama tarkastelu EU:lle, jossa hinta laskee ja siten myyty määrä ja kuluttajan yijäämät kasvavat. Yrityksen voitot laskevat hieman: Q eu = 80 1 48 = 64 Q eu = 96 64 = 2 CS eu = (240 48) 64 0.5 = 6144 CS eu = 6144 2400 = 744 π eu = 48 64 = 072 π eu = 072 4800 = 1728 Vaikutus koko maailman yhteenlaskettuun ylijäämään on positiivinen ja yrityksen voittoihin negatiivinen: CS kok = 156 + 6144 = 7680 CS kok = 7680 4800 = 2880 π kok = 072 + 4608 = 7680 π kok = 7680 9600 = 1920 (c) Kehittämisen kustannus C ei saa olla korkeampi kuin voitto kussakin tilanteessa. Yrityksen ei kannata lähteä kehittämään lääkettä, mikäli se tietää tekevänsä tappiota. i. Ratkaistaan, kuinka paljon kehittämisen kustannus C saa olla kun voitot ovat a-kohdan mukaiset: π C 0 = 9800 C 0 C 9800 ii. Ratkaistaan, kuinka paljon C saa olla kun voitot ovat b-kohdan mukaiset: π C 0 = 7680 C 0 C 7680 iii. EU:ssa saadaan edelleen a) kohdan mukaisesti voittoa eli π eu = 4800. Patenttisuojan puute tarkoittaa, että kehitysmaissa on kilpailua. Hinta määräytyy täydellisessä kilpailussa tasolle P = MC. Koska MC = 0, on P = 0 ja voitot jäävät nollaan: π km = 0. Kehityskustannus saa siis olla korkeintaa: π C 0 = 4800 C 0 C 4800 1