Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate........................ 2 8.2 Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta....... 3 9 Keskimaksuhetki ja todellinen vuosikorko 4 0 Investointilaskelmia 5 Indeksiteoriaa 6 Keskiarvoista 6 2 Indeksiluvun käsite 7 3 Kuluttajahintaindeksi 8 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 9
5 Indeksiluvun muodostaminen 20 6 Keskilukumalli 20 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 22 8 Kokonaislukumallit 24 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 26 0 Fisherin indeksikriteerit 26 Kevään 203 kaksi viimeistä luentoa 28 2
I Finanssimatematiikka Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p prosenttia (%), niin uusi arvo on a + p 00 a = ( + p 00 ) a. Vastaavasti jos luku a vähenee p prosenttia, niin uusi arvo on a Lisäksi p prosenttia luvusta a on p 00 a = ( p 00 ) a. p 00 a. Esimerkki.. Paljonko 500 euron tuote maksaa 5 % alennusmyynnissä? Vastaus: 275 euroa. Montako prosenttia luku a on luvusta b? a b 00%. Esimerkki.2. Montako prosenttia luku a on luvusta b, kun a) a = 5 ja b = 90? b) a = 90 ja b = 5? Vastaus: a) 6,7 % b) 600 %. Kuinka monta % luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b: a b b 00%. Esimerkki.3. a) Kuinka monta prosenttia luku 60 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta prosenttia luku 25 on pienempi kuin 75? c) Kuinka monta prosenttia luku 20 on pienempi kuin 60? Vastaus: a) 700 % b) 85,7 % c) 87,5 % 3
Esimerkki.4. a) Mistä luvusta 24 on 32 %? b) Mitä lukua 80 on 20 % pienempi? c) Mikä luku on 5 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 0 % pienempi kuin luku 30? e) Mikä luku on 32 % luvusta 24? Vastaus: a) 75 b) 00 c) 57,5 d) 27 e) 7,58 2 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (luotosta tai talletuksesta). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka monta prosenttia pääoma kasvaa korkoa korkojakson aikana korkojakso korkokanta vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) kk, 2 kk i per kk, i per 2 kk Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan yhden korkojakson sisällä. Pääoma ajanhetkellä t on K t = K 0 ( + it), () missä K 0 = alkupääoma (ajanhetkellä t = 0), i = korkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Korko hetkellä t on K t K 0 = K 0 it. Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 4
Esimerkki 2.. Talletetaan 25 000 euroa 6 % vuosikorolla (6 % pa.). Määrää talletuksen arvo a) vuoden kuluttua. b) 8 kuukauden kuluttua. c) 6 kuukauden kuluttua. d) 6 kuukauden kuluttua ilman, että korko realisoidaan pääomaan korkojakson lopussa. Vastaus: a) 26 500 euroa b) 26 000 euroa c) 27 030 euroa d) 27 000 euroa Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit, kun ne maksavat korkoa talletuksille (yleensä). Toimenpidettä, jossa määrätään pääoman kasvavia arvoja siirryttäessä ajassa eteenpäin, kutsutaan prolongoimiseksi. Sanotaan myös, että pääoma siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 2.2. Mikä on alkupääoman 8 000 euroa arvo 0 kuukauden kuluttua, kun korkokanta on a) 8 % pa. b) 5 % ps. c) 5 % ps., mutta korkoa ei realisoida korkojakson lopussa. Vastaus: a) 9 200 euroa b) 9530 euroa c) 9 500 euroa Esimerkki 2.3. Mikä korkokanta i % pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa. Vastaus: 28 % pa. Esimerkki 2.4. Missä ajassa pääoma kasvaa 8 %, kun korkokanta on a) 0 % pa. b) 5 % ps. Vastaus: a) 9,6 kk b) 9,4 kk 5
3 Diskonttaus Mitä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? Toimenpide on virallinen diskonttaus (pääoma siirretään ajassa taaksepäin). Virallinen diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (), jolloin saadaan missä K 0 = K t + it, (2) K 0 = pääoman K t diskontattu arvo eli nykyarvo, i = diskonttauskorkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Kuten yksinkertainen korkolasku, kaavan (2) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Kun t 0, niin pääoman muutos eli diskontto on K t = K t ( it ). + it Korko ja diskontto ovat samat. Näin ollen prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. Esimerkki 3.. Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon 5 000 euroa? Vastaus: 45 euroa. Esimerkki 3.2. Mikä rahasumma kasvaa 5 kuukaudessa korkokannalla 8 % pa. arvoon 20 000 euroa? Vastaus: 8 55,4 euroa (diskontataan osissa). Käytännön pankkitoiminnassa virallinen diskonttaus on käytössä sijoitustodistusten kaupassa (ns. eurooppalainen diskonttaus). Sijoitustodistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltijalle pankki maksaa todistuksessa mainitun rahamäärän K t ajan t kuluttua. 6
Esimerkki 3.3. 50 000 euron sijoitustodistus erääntyy 8 kuukauden kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: 45 6 euroa. Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo, K 0 = K t ( it), (3) K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo, i = diskonttauskorkokanta, t = jaksosta kulunut aika korkojakson pituus (0 t ). Vekselidiskontto on K t = K t K 0 = K t K t ( it) = K t it. Esimerkki 3.4. Vekseli, jonka nimellisarvo on 9 000 euroa, erääntyy 5 kuukauden kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 2 % pa.? Vastaus: 8 550 euroa Esimerkki 3.5. Mikä olisi edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan? Vastaus: 8 57 euroa Esimerkki 3.6. Vekseli, jonka käteisarvo on 9 000 euroa, erääntyy 5 kuukauden kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 2 % pa.? Vastaus: 9 473,68 euroa (ratkaistaan K t yhtälöstä (3)) 7
4 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa yhtälön () mukaisesti. Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan ja seuraavassa korkojaksossa pääoma määräytyy tästä uudesta alkupääomasta jne. Näin edellisen korkojakson tuottama korko kasvaa korkoa seuraavalla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. Jos alkupääoma on K 0 ja korkojaksoja on n kappaletta, niin pääoma n:nnen korkojakson lopussa on K n = K 0 ( + i) n, kun n =, 2,... (4) Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua. Jaksollinen diskonttaus Kun ratkaistaan alkupääoma K 0 yhtälöstä (4), niin saadaan missä K 0 = K n ( + i) n, (5) K n = pääoman arvo n korkojakson jälkeen, i = korkokanta, n = kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Yhtälön (5) mukaista toimenpidettä, jossa määrätään pääoman K n arvo n korkojaksoa ajassa taaksepäin, sanotaan jaksolliseksi diskonttaukseksi. Jaksollinen prolongointi ja jaksollinen diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki 4.. Mihin arvoon 000 euroa kasvaa 6 vuodessa, kun korkokanta on a) 4 % pa. b) 2 % ps. c) % pq. d) aika on 6,5 vuotta ja korkokanta on 4 % pa. Vastaus: a) 265 euroa b) 268 euroa c) 270 euroa d) 290,62 euroa Esimerkki 4.2. Millä korkokannoilla a) pa. b) ps. pääoma kolminkertaustuu 8 vuodessa? 8
Vastaus: a) 4,7 % pa. b) 7, % ps. Esimerkki 4.3. Olkoon alkupääoma 30 000 euroa ja korkokanta 4 % ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50 000 euroa. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Vastaus: 6 vuotta 6 kuukautta ja 5 päivää. Esimerkki 4.4. Loppupääomaksi halutaan 50 000 euroa. Korkokanta on 4 % ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Vastaus: 3 230 euroa 5 Korkokannat Relatiiviset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia, jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. Relatiiviset korkokannat eivät anna samaa tuottoa pääomalle samassa ajassa. Konformiset korkokannat Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset, jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat konformiset, niin ( + i) /p = ( + j) /q j = ( + i) q/p. (6) Esimerkki 5.. Määritä korkokannan 7 % per 0 kk kanssa a) konforminen neljännesvuosikorkokanta. b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. Vastaus: a) 2,05 % pq. b) 2, % pq. 9
Esimerkki 5.2. Määritä korkokannalle 6 % pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. Vastaus: 2,96 % ps. 6 Jatkuva korko Miten korkolaskulle käy, jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Tällöin korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Jatkuva prolongointi missä K 0 = alkupääoma, K t = pääoman arvo ajanhetkellä t, K t = K 0 e it, (7) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6 % pa.), t = (kulunut aika), t 0. d Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan K 0 yhtälöstä (7), jolloin K 0 = K t e it = K t e it. (8) Jatkuva prolongointi ja jatkuva diskonttaus ovat toistensa käänteisiä toimituksia. Esimerkki 6.. Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3 % pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3 % pa. 8 vuoden kuluttua? Vastaus: 0,35 % Korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko) saadaan seuraavasti: i = ln( + ĩ) ĩ = e i. (9) 0
Esimerkki 6.2. Mikä on edellisen esimerkin korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Vastaus: 3,05 % 7 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n kappaletta (yhtä pitkiä) jaksoja ja jokaisen jakson lopussa on toistuva maksu k. Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on K n = k ( + i)n = k A n,i, (0) i missä luku A n,i = ( + i)n i on jaksollisten maksujen prolongointitekijä. Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) on missä K 0 = k ( + i)n i ( + i) n = k a n,i, () a n,i = ( + i)n i ( + i) n = A n,i ( + i) n on jaksollisten maksujen diskonttaustekijä. Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. Esimerkki 7.. Olkoon 6 000 euroa vuoden lopussa toistuva maksu 2 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo (. vuoden alussa), b) loppuarvo (2. vuoden lopussa), kun korkokanta on 5 % pa. Vastaus: b) 95 503 euroa a) 53 80 euroa. Esimerkki 7.2. Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 2 vuodessa maksusysteemin loppuarvo olisi 0 000 euroa, kun korkokanta on 6 % pa? Vastaus: 47,59 euroa.
8 Luotot ja korkolasku 8. Annuiteettiperiaate Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtana on yhtälö (). Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, maksuerä k on k = K 0 i ( + i) n ( + i) n. (2) Kaavaa (2) voidaan käyttää määrättäessä maksuerä k systeemille, jossa nimellisarvon K 0 suuruinen laina maksetaan takaisin eli kuoletetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannan ollessa i. Kuoletus=lyhennys+korko. Yleensä annuiteettiluottojen yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja. Esimerkki 8.. Kuinka suuren lainan pankki voi asiakkaalle myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain 50 000 euroa, laina-aika on 0 vuotta ja korkokanta on 2 % pa. Vastaus: 282 5,5 283 000 euroa. Esimerkki 8.2. Mikä on 2 vuodeksi annetun 300 000 euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 3 % pa. Vastaus: 25 09 euroa. Esimerkki 8.3. Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen tehtävän lainalle? Vastaus: 4 24 euroa Esimerkki 8.4. Nimellisarvoltaan 00 000 euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 4 % pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennyksen osuus kussakin annuiteetissa? Vastaus: Puolivuosittainen kuoletus on 29 523 euroa. 2
Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen 00 000 7 000 29 523 22 523 77 477 2 77 477 5423 29 523 24 00 53 377 3 53 377 3736 29 523 25 787 27 590 4 27 590 93 29 523 27 592 0 8.2 Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta Verrataan annuiteettiperiaatteella tapahtunutta lainan kuoletusta muihin tapoihin. Esimerkki 8.5. Nimellisarvoltaan 00 000 euron laina kuoletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 4 % pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Määrää kuoletuserien suuruudet ja koron ja lyhennyksen osuus kussakin kuoletuksessa. Vastaus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen 00 000 7 000 32 000 25 000 75 000 2 75 000 5 250 30 250 25 000 50 000 3 50 000 3 500 28 500 25 000 25 000 4 25 000 750 26 750 25 000 0 Esimerkki 8.6. Edellisen esimerkin laina kuoletetaan seuraavasti: 70 000 euroa lyhennystä vuoden kuluttua ja 30 000 kahden vuoden kuluttua. Määrää kuoletuserien suuruudet. Vastaus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus Lyhennys Lyh. jälkeen 00 000 4 000 84 000 70 000 30 000 2 30 000 4200 34 200 30 000 0 Efektiivinen korkokanta Olkoon M i maksuerä (kuoletus) ajanhetkellä t i. Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannalla i e (efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L 3
(tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). Efektiivinen korkokanta i e on siis yhtälön M j L = ( + i e ) t. (3) j ratkaisu. Esimerkki 8.7. 0 000 euron laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5 600 euroa. Laske efektiivinen korkokanta. Vastaus: 8 % pa. 9 Keskimaksuhetki ja todellinen vuosikorko Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä n T = a jt j n a, j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. Jos maksut ovat yhtäsuuret, eli a = a 2 =... = a n = k, niin n T = t j. n Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, eli t j t j = d kaikilla j = 2, 3,..., n, niin T = t + t n. 2 Todellinen vuosikorko Käytetään seuraavia merkintöjä: K = luottomäärä = käteishinta käsiraha = se osa hinnasta, jolle luotto saadaan R = luottokustannukset T = keskimaksuhetki (yksikkönä vuosi) 4
Todellinen vuosikorko p saadaan keskimaksuhetken T ja maksusysteemin rahallisen arvon K + R avulla. Keskimaksuhetkellä pätee yhtäsuuruus joten K + R = K( + pt ), p = R K T. (4) Esimerkki 9.. 50 000 euroa maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 2 % pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Vastaus: Kuukausiannuiteetti 66 euroa, keskimaksuhetki T =, 547 v, todellinen vuosikorko p = 2, 7 %. 0 Investointilaskelmia Investointi=sijoitettujen varojen ja tuottojen muodostama kokonaisuus. Investoinnin kannattavuutta voidaan tutkia eri menetelmillä: ) Nykyarvomenetelmä Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo. Tuotot ja kustannukset muutetaan nykyarvoiksi T NA ja KNA. Investointi on kannattava, jos T NA KNA. 2) Annuiteettimenetelmä Tuotot ja kustannukset muutetaan tasasuuruisiksi vuosimaksuiksi eli annuiteeteiksi T A ja KA. Investointi on kannattava, jos T A KA. 3) Efektiivisen korkokannan menetelmä Määritellään korkokanta i e, jolla T NA = KNA. Investointi on kannattava, jos i e tavoitekorkokanta. Esimerkki 0.. Koneen hankintahinta on 400 000 euroa ja arvioutu käyttöikä 5 vuotta. Vuosittainen investointituotto on 270 000 euroa ja käyttökustannukset 80 000 euroa. Jäännösarvo on 200 000 euroa ja laskentakorkokanta 5 % pa. Tutki, onko investointi kannattava. 5
II Indeksiteoriaa Keskiarvoista Olkoot x,..., x n reaalilukuja ja niiden painokertoimet v,... v n positiivisia reaalilukuja ja v = v +... + v n. Aritmeettinen keskiarvo A = n x j = n (x +... + x n ). Painotettu aritmeettinen keskiarvo A w = v v j x j = v (v x +... + v n x n ), missä v j on luvun x j painokerroin. Geometrinen keskiarvo G = ( n ) /n x j = (x... x n ) /n = n x... x n. Tällöin log G = n n log x j. Painotettu geometrinen keskiarvo G w = ( n Tällöin log G w = v n v j log x j. Harmoninen keskiarvo H = x v ) j /v j = (x v... xvn n ) /v = v x v... xvn n. n x j kun x j 0 kaikilla j =,... n. Tällöin = n +... + = x x n n H = n 6 x j., x j
Painotettu harmoninen keskiarvo H w = v v j x j = v kun x j 0 kaikilla j =,..., n. v +... + v n x = x n v v j x j Esimerkki.. Laske lukujen 2, 4 ja 6 edellä mainitut keskiarvot, kun painoina ovat 3, 2 ja., Vastaus: A = 4, A w = 0/3 3, 33, G = 2 3 6 3, 63, G w = 2 6 2 3, 03, H = 36/ 3, 27, H w = 36/3. 2 Indeksiluvun käsite Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen, eli muuttujan, kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan erikseen jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehitystä. Tilanteet voivat olla eri ajanhetkiä, henkilöryhmiä tms. Erilaisia indeksejä ovat esimerkiksi. hintaindeksi, joka mittaa hinnan muutoksia; 2. volyymi-indeksi, joka mittaa määrän muutoksia; 3. arvoindeksi, joka mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina). Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. Peruskohdassa indeksi saa arvon. Tavallisesti indeksit ilmoitetaan prosentteina ja puhutaan indeksipisteistä. Tällöin peruskohdan arvoa vastaa indeksin pisteluku 00 (00 %). Esimerkki 2.. Suomen asuntotuotanto vuosina 982-987: Vuosi 982. 983 984 985 986 987 Valm. huoneistot 47 997 50 500 50 337 50 306 4 90 43 635 Indeksi (982=00) 00 05,2 04,9 04,8 87,3 90,0 7
3 Kuluttajahintaindeksi Kuluttajahintaindeksi mittaa yksityisessä kulutuksessa käytettävien tavaroiden ja palveluiden hintakehitystä kahden ajankohdan välillä koko yksityisessä kulutuksessa (kokonaisindeksi) ja erikseen kulutuksen eri pääryhmissä. Kuluttajahintaindeksin kokonaisindeksiä käytetään tapahtuneen hintakehityksen kompensaatiotarkistuksiin (esim. palkat ja eläkkeet). Edelleen indeksiä käytetään hintatason ja rahan arvon muutosten osoittajana. Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti (inflaatioprosentti) on maassa vallitsevan keskimääräisen inflaation mittari. Indeksin pisteluvut lasketaan kuukausittain kullekin pääryhmälle ns. Laspeyresin hintaindeksikaavalla ja nämä yhdistetään kokonaisindeksiin painotetun keskiarvon menetelmällä. Esimerkki 3.. Kuluttajahintaindeksi (985=00) Pääryhmä paino (%) 989 990 0. Ravinto 8,7 2,0 6,6. Juomat ja tupakka 7,0 27,6 39,8 2. Vaatetus ja jalkineet 6,4 2,9 6,3 3. Asuminen, lämpö ja valo 8,4 23,0 33,3 4. Kotitalouskalusto ja tarvikkeet 6,9 6,9 22,3 5. Terveyden- ja sairaudenhoito 2,9 37,7 52,4 6. Liikenne 7,2 7,3 24,5 7. Vapaa-aika, virkistys ja koulutus 9,7 2,8 26,6 8. Muut tavarat ja palvelut 2,8 27,0 36,2 Kokonaisindeksi 00,0 20,0 27,5 Inflaatioprosentti Olkoot t ja t kaksi ajanhetkeä sekä P t ja P t näitä vastaavat kuluttajahintaindeksit. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P t P t = P t P t. (5) Ostovoima Kuluttajahintaindeksin käänteisluku /P t (tässä P t ei ole prosentteina) on rahan ostovoima hetkellä t verrattuna perusvuoteen. Ostovoiman muutos- 8
prosentti aikavälillä t t on P t P t P t = P t P t. P t Rahan reaaliarvo Rahamäärän x t reaaliarvo hetkellä t on x t P t. (6) Esimerkki 3.2. Kuluttajahintaindeksi on noussut vuoden 985 pisteluvusta 00 vuoden 989 pistelukuun 20,0. Millä vuoden 985 rahamäärällä on sama ostovoima kuin vuoden 989 00 markalla? Vastaus: 83,3 markkaa. 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi Olkoot x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoot lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahintaindeksit. Jos halutaan rahamäärän x t siirtyvän hetkestä t hetkeen t siten, että reaaliarvo säilyy (eli inflaatio otetaan huomioon), niin asetetaan kyseisten rahamäärien reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. (7) Jos t < t, niin kyseessä on inflatointi. Jos t < t, niin kyseessää on deflatointi. Esimerkki 4.. Kuluttajahintaindeksi nousi arvosta 20,0 arvoon 27,5. Henkilön nettopalkka kasvoi tuona aikana 3 prosenttia. Mikä on elintason (reaaliansioiden) muutos prosentteina? Vastaus: -3, %. Esimerkki 4.2. Teollisuustyöntekijöiden tuntiansiot vuosina 983-987 (hintaindeksin perusvuosi 98) olivat seuraavat: Vuosi Keskituloansiot (mk) KHI Deflatoidut ansiot ( t = 983) 983 29,07 8,3 984 32,00 27, 985 34,59 34,6 986 36,57 39,4 987 39,8 44,5 9
5 Indeksiluvun muodostaminen Vertaillaan jotain koko hyödyke- ja palveluryhmän yhteistä suuretta (esim. hinta tai määrä) eri ajankohtina. Eri hyödykkeiden ja palvelujen hintojen (määrien) muutokset yhdistetään koko ryhmän hintojen (määrien) muutosta kuvaavaksi indeksiksi käyttämällä painotuksia. Indeksiluvut voidaan muodostaa käyttämällä keskilukumallia tai kokonaislukumallia. Käytetään seuraavia merkintöjä: p = hinta q = määrä P = hintaindeksiluku Q = (määrä)volyymi-indeksiluku p it = hyödykkeen p i hinta hetkellä t q it = hyödykkeen p i määrä (kulutus) hetkellä t Peruskohta on t = 0. Lisäksi hyödykkeitä on n kappaletta ja ajanhetkiä on k tilannetta peruskohdan jälkeen, eli i =,..., n ja t = 0,,..., k. Esimerkki 5.. Hyödykkeen i kulutuksen arvo hetkellä t on p it q it. Kaikkien hyödykkeiden kulutuksen kokonaisarvo hetkellä t = 0 on p i0 q i0 = p 0 q 0 + p 20 q 20 +... + p n0 q n0 6 Keskilukumalli Määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja. Siten hintasuhteet ovat keskenään vertailukelpoisia, samoin kuin määräsuhteet. Hyödykeryhmään liittyvän hinnan (määrän) vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan jokin hyödykkeiden hintasuhteista (määräsuhteista) laskettu keskiarvo (aritmeettinen, geometrinen tai harmoninen). Hintaindeksiluvut Aritmeettinen hintaindeksi on hintasuhteiden aritmeettinen keskiarvo, eli P A 0t = 00 n p jt p j0, (8) 20
missä 0 ja t osoittavat vertailtavat tilanteet (peruskohtana on 0). Geometrinen hintaindeksi on hintasuhteiden geometrinen keskiarvo, eli ( n P0t G p ) jt /n = 00. (9) p j0 Harmoninen hintaindeksi on hintasuhteiden harmoninen keskiarvo, eli P H 0t = 00 n p jt /p j0 = 00n p j0 p jt (20) Esimerkki 6.. Viiden hyödykkeen hintoja vähittäiskaupassa: Hyödyke Yksikkö Hinta 983 Hinta 988 p 0 p maito litra 3,00 3,53 peruna 2,5 kg 7,05,26 sokeri kg 7,96 8,28 tomaatti kg 3,49 4,67 kahvi 0,5 kg 6,46 7,66 Laske edellä olevat hintaindeksi vuodelle 988 käyttäen perusvuotena vuotta 983. Vastaus: P A 0 9, 5, P G 0 7, 9, P H 0 6, 6. Hintaindeksien laskemisessa ei oteta huomioon kulutuksen määrää. Volyymi-indeksiluvut Aritmeettinen volyymi-indeksi on Q A 0t = 00 n q jt q j0. (2) Geometrinen hintaindeksi on ( n Q G q ) jt /n 0t = 00. (22) q j0 2
Harmoninen hintaindeksi on Q H 0t = 00 n q jt /q j0 = 00n. (23) q j0 q jt Esimerkki 6.2. Viiden hyödykkeen kulutusmääriä vähittäiskaupassa: Hyödyke Yksikkö Määrä 983 Määrä 988 q 0 q maito litra 74 50 peruna 2,5 kg 73 63 sokeri kg 37 36 tomaatti kg 7 8 kahvi 0,5 kg 0 Laske edellä olevat volyymi-indeksi vuodelle 988 käyttäen perusvuotena vuotta 983. Vastaus: Q A 0 0, 93, QG 0 0, 9, QH 0 0, 886. 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut Painotetut hintaindeksiluvut Hyödykkeen kulutuksen arvo on hinnan ja kulutusmäärän tulo. Keskilukumallin painotetut indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. Painoina voidaan käyttää mm.. perusvuoden kulutuksen arvoja p i0 q i0 ; 2. vertailuvuoden kulutuksen arvoja p in q in ; 3. jonkin muun vuoden kulutuksen arvoja p it q it ; 4. useamman vuoden kulutuksen arvojen yhdistelyjä (keskiarvoa). Aritmeettinen hintaindeksi, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen ar- 22
vot, on P A 0t = 00 (p j0 q j0 ) pjt p j0 = 00 p j0 q j0 p jt q j0. (24) p j0 q j0 Geometrinen hintaindeksi, kun painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot, on ( n ( P0t G pjt ) ) pjtq jt n = 00 p jtq jt. (25) p j0 Harmoninen hintaindeksi, kun painoina ovat perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen keskiarvot, on P H 0t = 00 p j0 q j0 + p jt q jt 2 ( v j pj0 ) p it. (26) Painotetut volyymi-indeksiluvut Painotetaan hyödykkeen kulutuksen määrän merkitystä kulutuksen arvon perusteella. Aritmeettinen volyymi-indeksi, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot, on (p j0 q j0 ) qjt p j0 q jt q Q A j0 0t = 00 = 00. (27) p j0 q j0 p j0 q j0 Geometrinen volyymi-indeksi, kun painoina ovat perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen keskiarvot, on ( n Q G 0t = 00 ) pj0qj0+pjtqjt ) 2 q j0 ( qjt n p j0 q j0 +p jt q jt 2. (28) 23
Harmoninen volyymi-indeksi, kun painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot, on p jt q jt p jt q jt Q H 0t = 00 p jt q jt qj0 q jt = 00. (29) p jt q j0 Esimerkki 7.. Laske aritmeettinen hintaindeksi Esimerkille 6. ja geometrinen volyymi-indeksi Esimerkille 6.2, kun painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot. Vastaus: 88, 3 ja 87, 4. 8 Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä ja hintoja sopivasti yhteen. Hintaindeksiluvut Hintojen painotettu kokonaissumma, kun painoina ovat hyödykkeiden kulutetut tai tuotetut määrät q i, on P 0t = 00 p jt q j. (30) p j0 q j Painoina q j voidaan käyttää mm.. perusvuoden kulutuksen määriä q j0 ; 2. vertailuvuoden kulutuksen määriä q jt ; 3. jonkin muun, yhden tai useamman vuoden kulutuksen määriä. Laspeyresin hintaindeksi 24
Valitaan hintojen painoiksi q j hyödykkeiden perusvuoden kulutuksen määrät: p jt q j0 Paaschen hintaindeksi P L 0t = 00. (3) p j0 q j0 Valitaan hintojen painoiksi q j hyödykkeiden kulutuksen määrät vertailuvuonna: p jt q jt P P 0t = 00 Marshall-Edgeworthin hintaindeksi. (32) p j0 q jt Valitaan hintojen painoiksi q j perusvuoden ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvot: P ME 0t = 00 p jt (q j0 + q jt ). (33) p j0 (q j0 + q jt ) Volyymi-indeksiluvut Kokonaislukumallin volyymi-indeksiluvut eli määrää kuvaavat indeksiluvut saadaan vastaavasti kuin hintaindeksit valitsemalla nyt määrien painoiksi hinnat p j samalla periaatteella. Laspeyresin volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j hyödykkeiden perusvuoden hinnat: Q L 0t = 00 q jt p j0. (34) q j0 p j0 25
Paaschen volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j hyödykkeiden hinnat vertailuvuonna: q jt p jt Q P 0t = 00. (35) q j0 p jt Marshall-Edgeworthin volyymi-indeksi Valitaan kulutusmäärien painoiksi p j perusvuoden ja vertailuvuoden hintojen keskiarvot: Q ME 0t = 00 q jt (p j0 + p jt ). (36) q j0 (p j0 + p jt ) Esimerkki 8.. Määrää Laspeyresin, Paaschen ja Marshall-Edgeworthin hintaja volyymi-indeksiluvut Esimerkissä 7.. 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys Laspeyresin hintaindeksi on aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hinnan ja määrän tulo). Paaschen hintaindeksi on harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot. Vastaavat tulokset pätevät myös volyymi-indekseille. 0 Fisherin indeksikriteerit Seuraavien kriteerien yhteydessä indeksien arvot ovat suhdelukuja eivätkä prosenttilukuja (esim.,26 eikä 26). Kriteerit jaetaan kolmeen ryhmään.. Peruskriteerit Identiteettikriteeri: P tt =. 26
-Jos vuotta verrataan itseensä, niin indeksin mukaan muutosta ei ole tapahtunut. Suhdekriteeri: Jos p jt = λ p j0 kaikille hyödykkeille j, missä λ on vakio, niin P 0t = λ. -Jos kaikki hinnat muuttuvat samassa suhteessa, niin indeksin tulee osoittaa ko. suhde. Yksikön vaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- tai määräyksiköistä. Esimerkki 0.. Laspeyresin hintaindeksi toteuttaa edellä mainitut ehdot. 2. Transitiivisuuskriteerit Ajankääntökriteeri: P 0t = P t0 eli P 0t P t0 =. (37) Ketjutuskriteeri: P 0s P st = P 0t, missä s t. (38) Esimerkki 0.2. Tavallinen geometrinen hintaindeksi toteuttaa transitiivisuuskriteerit. 3. Kertomakriteeri P 0t Q 0t = V 0t, (39) missä P 0t on hintaindeksi, Q 0t on volyymi-indeksi ja V 0t = p jt q jt p j0 q j0 on arvoindeksi, joka ilmoittaa kulutuksen arvosuhteen. Mikään käsitellyistä indekseistä ei toteuta kertomakriteeriä. Kertomakriteerin avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta vertaamalla tuloa P 0t Q 0t ihannearvoon V 0t. Esimerkki 0.3. Tutkitaan Esimerkin 8. indeksien luotettavuutta. Fisherin ihanneindeksit P F 0t = P0t L P 0t P (hintaindeksi) (40) 27
Q F 0t = Q L 0t QP 0t (volyymi-indeksi) (4) Esimerkki 0.4. Laske Esimerkin 7. hyödykkeille Fisherin ihanneindeksit. Kevään 203 kaksi viimeistä luentoa Lyhimmän takaisinmaksuajan menetelmä Perusajatuksena on lyhyesti Kuinka nopeasti investointi maksaa itsensä takaisin? Jos korkoa ei huomioida, niin takaisinmaksuaika (vuosina) on hankintamenot vuosittaiset nettotuotot Esimerkki.. Investoinnin hankintamenot ovat 00 000 euroa ja arvioitu vuotuinen nettotuotto 4 000 euroa. Takaisinmaksuaika on tällöin 00000 4000 = 7, 4 vuotta. Menetelmä painottaa investoinnin rahoitusvaikutuksia ja sen käyttö suosii investointeja, joihin sidottu pääoma kertyy nopeasti takaisin, Menetelmä ei kuitenkaan välttämättä ilmaise investoinnin todellista kannattavuutta, koska se ei ota huomioon takaisinmaksuajan jälkeisiä tapahtumia. Käytännössä investointi voi olla kannattava juuri siksi, että siitä saadaan nettotuottoja pitkään. Menetelmää kuitenkin käytetään yleisesti sen helppouden vuoksi. Korko voidaan ottaa huomioon käyttämällä diskonttaustekijää. Esimerkki.2. Investoinnin hankintamenot ovat 00 000 euroa, arvioitu vuotuinen nettotuotto on 4 000 euroa ja laskentakorkokanta 7 % pa. Jaksollisten maksujen diskonttaustekijä on a n,i = ( + i)n i ( + i) n. Tarkoituksena on siis ratkaista aika n, jolloin diskontatut vuosituotot antavat hankintahinnan, eli 4000 Tästä saadaan n 0, 24 vuotta., 07 n n 0, 07, 07 n = 00000. 28
Tuottoastemenetelmä Tuottoastemenetelmä on yksinkertaistettu efektiivisen korkokannan menetelmä. Tarkoituksena on selvittää investoinnin tuottoprosentti. Tämä lasketaan vuotuiset nettotuotot keskimäärin investointiin sidottu pääoma keskimäärin. Tässä investointiin sidottu pääoma keskimäärin on hankintamenot+jäännösarvo. 2 Tässä menetelmässä ei oteta huomioon suoritusten eriaikaisuutta. Tätä puutetta voidaa eliminoida ottamalla huomioon investoinnin vuotuinen poisto, joka on hankintamenot-jäännösarvo. investoinnin pitoaika Esimerkki.3. Investoinnin hankintahinta on 00 00 euroa, jäännösarvo on 0 000 euroa, arvioutu vuotuinen nettotuotto on 4 000 euroa ja pitoaika 8 vuotta. Investoinnin sitoma pääoma keskimäärin on 00000 + 0000 2 Jos poistoja ei huomioida, niin tuottoaste on Vuotuinen poisto on = 55000. 4000 00 = 25, 5%. 55000 00000 0000 8 = 250. Poistot huomioimalla tuottoasteeksi tulee 4000 250 00 = 5%. 55000 Jos tavoitetuotto on esim. 7 %, niin tämän menetelmän pohjalta investointi ei ole kannattava. Kustannus- ja tuottofunktio Jos yritys valmistaa jossain aikayksikössä x kpl tuotteita ja kokonaiskustannukset (kiinteät + muuttuvat kustannukset) ovat K(x), niin yksikkökustannus on K(x) x. 29