Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta Susanna Vähämäki Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205

Tiivistelmä: Susanna Vähämäki, Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta, matematiikan pro gradu -tutkielma, 52 s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät 205. Tässä pro gradu -tutkielmassa käsitellään Fourier-analyysiä tarkastelemalla Fourier-sarjojen ja -muunnoksen yleisiä tuloksia ja joitakin sovelluksia. Fourier-analyysi on saanut nimensä ranskalaiselta matemaatikko ja fyysikko Joseph Fourier lta (768-830), joka teoksessaan Théorie analytique de la chaleur (Analyyttinen lämpöteoria) ratkaisi lämpöyhtälön olettaen, että jokainen jaksollinen funktio voidaan esittää trigonometristen funktioiden sarjana. Tutkielmassa määritellään aluksi Fourier-sarjojen perusominaisuudet, toisin sanoen, millaiselle funktiolle sarja voidaan muodostaa ja kuinka sen kertoimet lasketaan numeerisesti. Fourier-sarjojen pisteittäistä suppenemista tutkitaan osasummien suppenemisen kautta. Tuloksena saadaan Dirichlet n lause, jonka mukaan jaksollisen, derivoituvan funktion Fourier-sarja suppenee pisteittäin funktioon. Lisäksi selvitetään, että jaksollisen ja jatkuvan funktion Fourier-sarja Abel- ja Cesàro-summautuu alkuperäiseen funktioon ja saadaan tulos Fourier-sarjojen yksikäsitteisyydestä. Suppenemisteoria täydentyy, kun Fourier-sarjat määritellään -jaksoisten, neliöintegroituvien funktioiden avaruudessa, L 2 ([, π]). Tämä valinta on luonnollinen, sillä kompleksiset eksponenttifunktiot e inx = cos nx + i sin nx muodostavat avaruuteen L 2 ([, π]) ortonormaalin kannan, jonka avulla jokainen funktio f L 2 ([, π]) voidaan esittää lineaariyhdistelmänä f(x) = c n e inx, missä Fourier-kertoimet c n saadaan sisätulosta f, e inx. Funktion f Fourier-muunnos F [f] = f johdetaan jaksollisen funktion sarjakehitelmästä laajentamalla jakso koko reaaliakselin pituiseksi. Tutkielmassa käsitellään Fourier-muunnosta Lebesgue-avaruuksissa L (R) ja L 2 (R) sekä Schwartzin avaruudessa S(R) ja osoitetaan esimerkiksi, että funktio f voidaan palauttaa Fouriermuunnoksesta melkein kaikkialla käänteismuunnoksella F [ f]. Fourier-muunnoksen eräs hyödyllinen ominaisuus on derivoinnin ja konvoluution muuttaminen kertolaskuksi, mistä on erityisesti apua osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, mikä oli Fourier-sarjojen ja -muunnoksen ensimmäinen sovelluskohde. Tutkielman lopuksi tutustutaan muutamien eri alojen sovelluksiin; näytetään Fourier-muunnoksen avulla erään jatkuvan funktion ei-missään-derivoituvuus, osoitetaan, että polynomit ovat tiheässä jatkuvien funktioiden joukossa, todistetaan isoperimetrinen epäyhtälö ja ratkaistaan lämpöyhtälö Dirichlet n ongelman tapauksessa. i

Sisältö Johdanto Luku. Fourier-sarjojen perusominaisuuksista 3.. Määritelmiä 3.2. Fourier-sarjojen muodostaminen 4.3. Kosini- ja sinisarja 6 Luku 2. Fourier-sarjan suppenemisesta 9 2.. Sarjan suppenemisesta 9 2.2. Dirichlet n ydin ja osasummien suppeneminen 0 2.3. Poissonin ydin ja Abel-summautuvuus 5 2.4. Fejérin ydin ja Cesàro-summautuvuus 7 Luku 3. Fourier-sarjan derivointi ja integrointi 2 3.. Fourier-sarjan tasainen ja itseinen suppeneminen 22 Luku 4. Fourier-sarjat ja L 2 ([, π]) -avaruus 23 4.. Lineaariavaruuden määritelmiä 23 4.2. Neliöintegroituvien funktioiden avaruus L 2 ([, π]) 24 Luku 5. Fourier-muunnoksesta 3 5.. Johdanto 3 5.2. Määritelmiä ja tuloksia 3 5.3. Fourier-muunnos L (R)-avaruudessa 34 5.4. Fourier-muunnos L 2 (R)-avaruudessa 39 Luku 6. Sovelluksia 44 6.. Jatkuva, ei-missään derivoituva funktio 44 6.2. Weierstrassin approksimaatiolause 46 6.3. Isoperimetrinen epäyhtälö 47 6.4. Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa 49 6.5. Dirichlet n ongelma puolitasossa 5 Lähdeluettelo 53 ii

Johdanto Fourier-sarjojen kehitys alkoi kahden fysikaalisen ilmiön, värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisen, matemaattisen mallintamisen pohjalta. Jean le Rond d Alembertin, Daniel Bernoullin, Leonard Eulerin ja Joseph-Louis Lagrangen saavutukset värähtelevän jousen ongelman tutkimisessa 700-luvulla olivat esityönä Joseph Fourier n väitteelle, jonka mukaan mikä tahansa funktio voitaisiin esittää trigonometristen funktioiden sarjana. Myöhemmin muun muassa Gustav Lejeune Dirichlet ja Bernhard Riemann tarkensivat Fourier n tuloksia ja kehittivät Fourier-analyysiä eteenpäin. Vuonna 747 Jean le Rond d Alembert julkaisi aaltoyhtälön osittaisdifferentiaaliyhtälön, joka kuvaa värähtelevän jousen yksinkertaista, harmonista aaltoliikettä: 2 u t = 2 u 2 c2 x. 2 Jousi, kuten kitarankieli, on kiinnitetty välin 0 x l päätepisteisiin. Yhtälössä u(x, t) kuvaa jousen pystysuuntaista poikkeamaa kohdassa x ja ajanhetkellä t, ja kerroin c > 0 on liikkeen nopeus, joka riippuu jousen jännityksestä ja tiheydestä. Koska jousi on kiinnitetty pisteisiin 0 ja l, niin osittaisdifferentiaaliyhtälön raja-arvoehdot ovat u(0, t) = 0 = u(l, t). Lisäksi on selvitettävä jousen alkuasento ja nopeus hetkellä t = 0, eli yhtälön alkuehdot ovat u u(x, 0) = f(x) ja (x, 0) = g(x), t missä f ja g ovat funktioita välillä [0, l]. Yhtälö voidaan yksinkertaistaa tapaukseen c = ja l = π, jolloin se saa muodon 2 u t = 2 u 2 x, 0 x π. 2 Vuonna 753 Daniel Bernoulli esitti aaltoyhtälölle ratkaisutavan seisovien aaltojen avulla. Aaltoyhtälön ratkaisu on muotoa u(x, t) = ϕ(x)ψ(t), missä ϕ(x) on aallon alkuasento ja ψ(t) on ajasta t riippuva kerroin. Aaltoyhtälön lineaarisuuden nojalla ratkaisuja ovat myös tälläisten ratkaisujen kombinaatiot. Muotoa u(x, t) = ϕ(x)ψ(t) olevissa ratkaisuissa muuttujat on separoitu, jolloin aaltoyhtälö voidaan esittää yksinkertaisemmassa muodossa ϕ(x)ψ (t) = ϕ (x)ψ(t) ja siten saadaan yhtälö, jonka toinen puoli riippuu ainoastaan muuttujasta t ja toinen muuttujasta x, ψ (t) ψ(t) = ϕ (x) ϕ(x).

On siis olemassa vakio λ, jolle pätee { ψ (t) λψ(t) = 0 ϕ (x) λϕ(x) = 0. JOHDANTO 2 Jotta yhtälöiden ratkaisut ϕ ja ψ eroaisivat nollasta, täytyy olla λ < 0. Siten kirjoitetaan λ = n 2, jolloin yleisiksi ratkaisuiksi tulevat ψ(t) = A cos nt + B sin nt ja ϕ(x) = Ā cos nx + B sin nx. Koska jousi on kiinnitetty kohtiin 0 ja π, niin ϕ(0) = ϕ(π) = 0, mistä seuraa, että Ā = 0. Jos B 0, niin n on kokonaisluku. Jos n = 0, niin ϕ(x) = 0 kaikilla x ja jos n, niin vakioiden B ja B merkkiä vaihtamalla palaudutaan tapaukseen n. Siten päädytään aaltoyhtälön ratkaisuun u n (x, t) = (A n cos nt + B n sin nt) sin nx kaikille n. Koska aaltoyhtälö on lineaarinen, saadaan ratkaisuehdotukseksi superpositioperiaatteen nojalla ratkaisujen sarja u(x, t) = (A n cos nt + B n sin nt) sin nx u ja alkuehdoista, u(x, 0) = f(x) ja (x, 0) = g(x), seuraa t f(x) = A n sin nx ja g(x) = nb n sin nx, mihin Bernoulli päätyi tutkimuksessaan. Bernoulli ei kuitenkaan osannut ratkaista kertoimia A n ja B n ja siksi monet matemaatikot kritisoivat hänen työtään. Joseph Fourier (768-830) uskoi, että mikä tahansa jaksollinen funktio voitaisiin esittää trigonometristen funktioiden lineaariyhdistelmänä. Fourier esitti ratkaisukaavat sarjan kertoimille vuonna 822 julkaistussa teoksessaan Théorie analytique de la chaleur (Analyyttinen lämpöteoria), jossa hänen ratkaisunsa lämpöyhtälöön perustui funktioiden sarjaesitykseen, joka nykyisin kantaa hänen nimeään. Fourier-analyysi on kehittynyt laajaksi matematiikan osa-alueeksi ja sillä on sovelluskohteita esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, lukuteoriassa, todennäköisyysteoriassa, tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä, akustiikassa, optiikassa, röntgenkristallografiassa ja kvanttimekaniikassa. Tässä tutkielmassa esitetään päätuloksia Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta sekä tutustutaan muutamiin sovelluksiin. Cette remarque est importante, en ce qu elle fait connaitre comment les fonctions entiérement arbitraires peuvent aussi être développées en séries de sinus d arcs multiples. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 822.

LUKU Fourier-sarjojen perusominaisuuksista Tässä luvussa määritellään Fourier-sarja Riemann-integroituvalle funktiolle, muodostetaan ratkaisukaavat Fourier-kertoimille ja tutkitaan esimerkin avulla sarjan osasummien suppenemista. Aluksi annetaan tarvittavia määritelmiä:.. Määritelmiä Määritelmä.. Funktio f on jaksollinen, jos on olemassa vakio P, siten että f(x + P ) = f(x) kaikilla x, jotka kuuluvat funktion f määrittelyjoukkoon. Tällöin vakio P ja sen monikerrat kp, k N, ovat funktion f jaksoja. Määritelmä.2. Funktio f: [a, b] R on paloittain jatkuva, jos sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä välillä [a, b] ja jos jokaisessa epäjatkuvuuspisteessä toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa. Jaksollinen funktio on paloittain jatkuva, jos se on paloittain jatkuva jollain jaksonsa mittaisella välillä. Määritelmä.3. Paloittain jatkuva funktio on Riemann-integroituva jokaisen rajoitetun välin yli määrittelyjoukossaan. Erityisesti, jos funktio f on jaksollinen ja paloittain jatkuva, niin funktion f integraalit jakson P pituisilla väleillä ovat yhtäsuuret: a+p a f(x) dx = P 0 f(x) dx kaikilla a R. Muuttujanvaihdolla θ = πx/p jokaisesta 2P -jaksoisesta funktiosta saadaan jaksoinen funktio, joten tarkastellaan Fourier-sarjoja käsiteltäessä pääasiassa -jaksoisia funktioita. Esitettävät tulokset ovat kuitenkin yleistettävissä kaikille tarvittavat oletukset toteuttaville jaksollisille funktioille. Määritelmä.4. Funktio f on k kertaa jatkuvasti derivoituva, jos f on jatkuva ja sen derivaattafunktiot f, f,..., f (k) ovat olemassa ja jatkuvia. Tällöin merkitään f C k ja jos funktion kaikki derivaatat ovat olemassa ja jatkuvia niin f on C - funktio. Määritelmä.5. Jos väli [a, b] voidaan jakaa äärellisen moneen osaväliin [x k, x k ], k =,..., n, x 0 = a, x n = b siten, että toispuoleiset raja-arvot f(x k +) = lim f(y), y x + k f(x k ) = lim f(y) y x k ovat olemassa kaikilla k =,..., n ja funktio f on jatkuvasti derivoituva jokaisessa osavälissä [x k, x k ], niin f on paloittain jatkuvasti derivoituva. 3

.2. FOURIER-SARJOJEN MUODOSTAMINEN 4.2. Fourier-sarjojen muodostaminen Oletetaan, että -jaksoinen, paloittain jatkuva, kompleksi- tai reaaliarvoinen funktio f(θ) voidaan esittää yksikäsitteisesti funktioiden e inθ = cos nθ + i sin nθ, n Z, sarjakehitelmänä k (.) f(θ) = c n e inθ = lim c n e inθ, c n C. k n= k Laskemalla yhteen n:s ja n:s termi saadaan c n e inθ + c n e inθ = a n cos nθ + b n sin nθ, missä a n = c n + c n, b n = i(c n c n ) ja a 0 = c 0 + c 0 = 2c 0. Sarja voidaan siten kirjoittaa yhtäpitävästi muotoon (.2) f(θ) = 2 a 0 + (a n cos nθ + b n sin nθ), a n, b n C. Selvitetään kertoimet c n olettamalla, että sarja c ne inθ suppenee pisteittäin funktioon f(θ) ja että sarja voidaan integroida termeittäin. Kerrotaan yhtälön (.) molemmat puolet funktiolla e ikθ ja integroidaan yli jaksonpituisen välin: π π (.3) f(θ)e ikθ dθ = c n e i(n k)θ dθ, missä π { 0 kun n k e i(n k)θ dθ = kun n = k. Siis yhtälön (.3) sarjan termit ovat nollia muulloin kuin n = k, joten π mistä kertoimille c n ratkaistaan yhtälö c n = f(θ)e ikθ dθ = c k, π f(θ)e inθ dθ. Sarjan (.2) kertoimille a n ja b n muodostetaan tästä ratkaisut π a n = c n + c n = f(θ)(e inθ + e inθ ) dθ = f(θ) cos nθ dθ, π b n = i(c n c n ) = i π f(θ)(e inθ e inθ ) dθ = π f(θ) sin nθ dθ. π Määritelmä.6. Jos f on integroituva, -jaksoinen funktio, niin sen Fouriersarja on c n e inθ = 2 a 0 + (a n cos nθ + b n sin nθ), missä a n, b n ja c n ovat Fourier-kertoimia, a n = π π f(θ) cos nθ dθ, b n = π π π f(θ) sin nθ dθ ja c n = π f(θ)e inθ dθ.

Tällöin merkitään.2. FOURIER-SARJOJEN MUODOSTAMINEN 5 f(θ) c n e inθ. Integroituvalle, 2P -jaksoiselle funktiolle saadaan Fourier-sarja vastaavasti: f(x) c n e inπx/p tai f(x) ( 2 a 0 + a n cos nπx P + b n sin nπx ), missä P a n = P P P f(x) cos nπx P dx, b n = P c n = 2P P P P P f(x)e inπx/p dx. f(x) sin nπx P dx ja Huomautus.7. Jatkossa mainittaessa Fourier-sarja tai Fourier-kertoimet a n, b n tai c n viitataan määritelmän.6 kaavoihin. Määritelmä.8. Fourier-sarjan osasumma on k S k (f; θ) = c n e inθ = k 2 a 0 + (a n cos nθ + b n sin nθ), k N. n= k Esimerkki.9. Olkoon f -jaksoinen funktio, f(θ + k) = f(θ), k Z, ja {, θ < 0 f(θ) =, 0 θ < π. Funktio f on paloittain jatkuvana integroituva, joten sillä on olemassa Fourier-sarja. Määritetään funktion f Fourier-kertoimet a n ja b n : a n = π = π a 0 = π b n = π = π π / 0 f(θ) cos nθ dθ = π n sin nθ + π π f(θ) dθ = π π / 0 / π 0 0 f(θ) sin nθ dθ = π n cos nθ + π / π 0 0 cos nθ dθ + π sin nθ = 0 n dθ + π n 0 π 0 sin nθ dθ + π π 0 cos nθ dθ dθ = + = 0 ja π 2 2 cos πn cos nθ =. πn 0 sin nθ dθ Kun n on parillinen, niin b n = 0. Kun n on pariton, niin tällöin n = 2m, jollain m N ja 4 b n = π(2m ). Funktion f Fourier-sarja on siten 4 sin((2n )θ). π 2n

Sarjasta voidaan laskea osasummia, kuten.3. KOSINI- JA SINISARJA 6 S 3 = 4 π sin θ + 4 4 sin 3θ + sin 5θ 3π 5π ja S 5 = 4 π sin θ + 4 4 4 4 sin 3θ + sin 5θ + sin 7θ + sin 9θ. 3π 5π 7π 9π Kuvassa. on esitetty funktion f kuvaaja sekä sen Fourier-sarjan osasummat S 3, S 5 ja S 0. Osasummien kuvaajien perusteella näyttää siltä, että sarja suppenee kohti funktiota f pisteissä, joissa f on jatkuva. Epäjatkuvuuspisteissä θ = πk sarja saa arvon f(θ) = [f(θ+) + f(θ )] = 0. Luvussa 2 selvitetään tarkemmin millä ehdoilla 2 ja millä tavoin sarja suppenee alkuperäiseen funktioon. Kuva.. Osasummat S 3, S 5 ja S 0. Huomautus.0. Funktio f on parillinen, jos f(x) = f( x) kaikilla x. Jos funktiolle pätee f(x) = f( x), niin se on pariton. Esimerkissä.9 funktio on pariton ja koska kosinifunktio on pariton, niin f(θ) cos nθ on pariton. Tällöin a n = π π f(θ) cos nθ dθ = 0 ja Fourier-sarjan kosinitermit häviävät. Vastaavasti jos funktio on parillinen, niin sen Fourier-sarja on kosinisarja, koska f(θ) sin nθ on parillinen ja b n = π π f(θ) sin nθ dθ = 0..3. Kosini- ja sinisarja Määritelmä.. Funktio f(θ), joka on määritelty -pituisella välillä, kuten ] π, π], voidaan laajentaa -jaksoiseksi funktioksi koko reaaliakselille määrittelemällä f(θ + k) = f(θ) kaikilla θ ] π, π] ja k Z. Jos f on paloittain jatkuva välillä ] π, π], niin myös sen jaksollinen laajennus on paloittain jatkuva. Jos funktio f on määritelty välillä [0, π] voidaan tehdä puolen jakson laajennus: Määritelmä.2. Paloittain jatkuvan funktion f, f : [0, π] R, parillinen laajennus on f paril. = { f(θ) 0 θ π f( θ) θ 0 ja f paril. (θ + k) = f paril. (θ), k Z

ja pariton laajennus f(θ) 0 < θ < π f parit. = f( θ) < θ < 0 0 θ = 0, ±π.3. KOSINI- JA SINISARJA 7 ja f parit. (θ + k) = f parit. (θ), k Z. Laajennukset ovat paloittain jatkuvia ja -jaksoisia, joten niille voidaan määrittää Fourier-sarjan kertoimet: on Määritelmä.3. Välin [0, π] paloittain jatkuvan funktion f Fourier-kosinisarja 2 a 0 + a n cos nθ, missä a n = 2 π ja Fourier-sinisarja b n sin nθ, missä b n = 2 π π 0 π 0 f(θ) cos nθ dθ f(θ) sin nθ dθ. Kuva.2. Episykloidi ja osasumma S 5. Palataan vielä esimerkkiin.9: Kompleksitason C pisteen z liike r-säteisen, origokeskisen ympyrän kehällä voidaan parametrisoida muodossa z(t) = re iωt, missä ω = /P on ympyrän kulmataajuus (kulmanopeus). Jos piste liikkuu ympyrän kehällä, jonka keskipiste kulkee origokeskisen ympyrän kehällä, toisin sanoen episyklissä, saadaan vastaavasti z(t) = r e iω t + r 2 e iω 2t. Jos ympyröitä on ääretön määrä ja parametrisoitu käyrä sulkeutuu, niin kulmataajuudet ω n ovat peruskulmataajuuden ω 0 kokonaislukumonikertoja ja voidaan kirjoittaa z(t) = c n e inω0t, missä c n on ympyrän säde, ω 0 = /P 0 ja P 0 käyrän jakso. Muodostunut episykloidi vastaa siis P 0 -jaksoisen funktion Fourier-sarjaa.

.3. KOSINI- JA SINISARJA 8 Episykloidit tunnettiin kauan ennen Fourier-analyysin syntymistä. Esimerkiksi Klaudios Ptolemaios kuvasi 00-luvulla kirjoitetussa teoksessaan Almagest geosentrisen aurinkokuntamallinsa planeettojen liikettä episyklein. Kuvassa.2 on esitetty osasumma S 5 = 4 sin θ + 4 4 4 sin 3θ + sin 5θ + sin 7θ + π 3π 5π 7π 4 sin 9θ ja sitä vastaava episykloidi, missä n:n ympyrän säde on 4/π(2n ) ja kulmataajuus ω n = (2n 9π ).

LUKU 2 Fourier-sarjan suppenemisesta Edellisessä luvussa todettiin, että Riemann-integroituvalla, jaksollisella funktiolla on olemassa Fourier-sarja. Seuraavaksi tutkitaan, millä ehdoin ja millä tavoin sarja suppenee alkuperäiseen funktioon. Fourier-sarjan suppeneminen voidaan käsittää osasumman S k, k S k = c n e inθ, n= k suppenemisena raja-arvoon, kun k. Siten on selvitettävä, millaisen funktion tapauksessa osasummat suppenevat pisteittäin alkuperäiseen funktioon, eli milloin lim S k(f; θ) = f(θ) kaikilla θ. k Jos funktio on ainoastaan integroituva, niin ylläoleva ei ole totta kaikilla θ, koska funktiota voidaan muuttaa yksittäisissä pisteissä vaikuttamatta Fourier-sarjan kertoimiin. Funktion jatkuvuus ja jaksollisuus eivät myöskään ole riittäviä vaatimuksia (huomautus 2.28), vaan funktion sileydelle on lisäksi asetettava ehtoja. Dirichlet n lauseessa 2. todistetaan pisteittäinen suppeneminen -jaksoiselle, paloittain derivoituvalle funktiolle. Myöhemmin näytetään, että jatkuvan ja jaksollisen funktion f Fourier-sarja on Abel- ja Cesàro-summautuva funktioon f, ja että tällöin Fourier-sarja on yksikäsitteinen. Luvussa 3 saadaan tulos Fourier-sarjan tasaiselle ja itseiselle suppenemiselle ja luvussa 4 näytetään, että neliöintegroituvan funktion f Fourier-sarja suppenee L 2 - normin suhteen funktioon f. Määritellään aluksi sarjan suppenemiseen liittyviä käsitteitä ja esitetään kaksi suppenemistestiä: 2.. Sarjan suppenemisesta Määritelmä 2.. Jos funktiojonon {f n } 0 A R muodostama sarja 0 f n(x) suppenee kaikilla x A, niin sarja suppenee pisteittäin joukossa A. Sarjan suppeneminen on tasaista, jos osasummajono S k = k 0 f n suppenee tasaisesti, toisin sanoen kaikille ɛ > 0 on olemassa luonnollinen luku N siten, että S k (x) f(x) < ɛ, kun k > N ja x A. Sarja suppenee itseisesti, jos 0 f n(x) suppenee. Lause 2.2 (Dirichlet n testi). Olkoon {α n } lukujono, jolle pätee α n α n+ > 0 ja lim n α n = 0. Olkoon {β n } lukujono, jolle on N β n M kaikilla N N. Tällöin sarja 0 α nβ n suppenee. Todistus. Katso [2, s. 303]. 9

2.2. DIRICHLET N YDIN JA OSASUMMIEN SUPPENEMINEN 0 Seuraus 2.3. Oletetaan, että lukujono {α n } suppenee kohti nollaa, kun n. Tällöin sarja α n cos nθ suppenee monikertoja k lukuunottamatta kaikilla arvoilla, ja sarja α n sin nθ suppenee aina. Lause 2.4 (Weierstrassin M-testi). Olkoon {f n } 0 funktiojono, f n A R. Jos on olemassa vakiojono {M n } 0, M n > 0 siten, että (i) f n (x) M n kaikilla x A ja kaikilla n, ja (ii) 0 M n <, niin sarja 0 f n on itseisesti ja tasaisesti suppeneva. Todistus. Katso [2, s. 37]. Esimerkki 2.5. Olkoon funktio g(θ) = θ, kun θ ] π, π[ ja g(θ + k) = g(θ). Funktion g Fourier-sarja π 2 4 cos((2n )θ) π (2n ) 2 suppenee itseisesti ja tasaisesti, koska sarja cos((2n )θ) (2n ) 2 suppenee itseisesti ja tasaisesti Weierstrassin M-testin mukaan, kun valitaan M n = (2n ) 2. 2.2. Dirichlet n ydin ja osasummien suppeneminen Kuvasta 2. nähdään, että esimerkin.9 porrasfunktion epäjatkuvuuskohtien θ = πk läheisyydessä Fourier-sarjan osasummien S k kuvaajat poikkeavat selvästi funktion kuvaajasta. Gibbsin ilmiön mukaan poikkeama on kaikilla k N noin 9 % funktion hyppäyksestä epäjatkuvuuskohdassa, mikä esimerkin.9 tapauksessa tarkoittaa, että osasummien korkein piikki kohoaa lähelle lukua,8. Gibbsin ilmiö selittyy Dirichlet n ytimellä, joka määritellään lemmassa 2.7. Kuva 2.. Gibbsin ilmiö. Määritelmä 2.6. Integroituvien, -jaksoisten funktioiden konvoluutio välillä [, π] on (f g)(θ) = π f(ψ)g(θ ψ) dψ. Funktioiden jaksollisuuden perusteella voidaan tehdä muuttujanvaihdos, jolloin saadaan: (f g)(θ) = π f(θ ψ)g(ψ) dψ.

2.2. DIRICHLET N YDIN JA OSASUMMIEN SUPPENEMINEN Konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet: (i) f (g + h) = (f g) + (f h) (ii) (iii) (cf) g = c(f g) = f (cg) kaikille c C f g = g f (iv) (f g) h = f (g h) (v) f g on jatkuva (vi) c (f g)n = c fn c gn, missä c (f g)n, c fn, c gn ovat funktioiden f g, f ja g Fourierkertoimet. Lemma 2.7. Fourier-sarjan osasumma S n voidaan esittää integraalimuodossa S n (f; θ) = π n f(ψ)d n (θ ψ) dψ, missä D n (ϕ) = e ikϕ k= n on n:s Dirichlet n ydin. Todistus. Sijoittamalla Fourier-kerroin c n, c n = π f(ψ)e inψ dψ, osasumman yhtälöön saadaan n n S n (f; θ) = c k e ikθ π = f(ψ)e ik(θ ψ) dψ = π f(ψ)d n (θ ψ) dψ, k= n k= n kun merkitään D n (ϕ) = n k= n eikϕ. Fourier-sarjan osasumma S n (f; θ) on siis funktion f ja Dirichlet n ytimen konvoluutio. Lemma 2.8. Dirichlet n ytimelle pätee (i) 0 D n (ϕ) dϕ = π D n (ϕ) dϕ = 0 2 ja (ii) D n (ϕ) = ei(n+)ϕ e inϕ. e iϕ Todistus. (i) Todistetaan jälkimmäinen yhtäsuuruus, ensimmäinen lasketaan vastaavasti: π D n (ϕ) dϕ = π n e ikϕ dϕ = π dϕ + n π cos kϕ dϕ = 0 0 k= n 0 π k= 0 2. }{{} =0 (ii) Kirjoitetaan D n (ϕ) geometristen sarjojen osasummien summana: n n D n (ϕ) = e ikϕ = e ikϕ + e ikϕ. k= n k=0 k= n Merkitään e ikϕ = ω k ja lasketaan osasummat, jolloin saadaan D n (ϕ) = ωn+ ω + ω n ω = ωn+ ω n ω Toisaalta D n (ϕ) voidaan esittää sinifunktioiden avulla: D n (ϕ) = ωn+ ω n ω = ω n /2 ω n+/2 ω /2 ω /2 = ei(n+)ϕ e inϕ. e iϕ

2.2. DIRICHLET N YDIN JA OSASUMMIEN SUPPENEMINEN 2 Kuva 2.2. Dirichlet n ydin arvoilla n = 5, 0, 20. cos( nϕ ϕ/2) + i sin( nϕ ϕ/2) cos(nϕ + ϕ/2) i sin(nϕ + ϕ/2) = cos( ϕ/2) + i sin( ϕ/2) cos(ϕ/2) i sin(ϕ/2) sin(nϕ + ϕ/2) =. sin(ϕ/2) Kuvassa 2.2 on esitetty Dirichlet n ydin eri arvoilla. Syy Gibbsin ilmiöön on siis Dirichlet n ytimen aaltoliike x-akselin ympärillä. Myöhemmin tässä luvussa käsiteltävillä Poissonin ja Fejérin ytimillä ei sen sijaan ole vastaavaa ominaisuutta ja jatkuvan funktion f konvoluutio näiden kanssa suppeneekin tasaisesti funktioon f, kuten lauseissa 2.9 ja 2.24 osoitetaan. Lause 2.9 (Besselin epäyhtälö). Jos f on -jaksoinen, paloittain jatkuva funktio ja c n on sen Fourier-sarjan kerroin, niin c n 2 π f(θ) 2 dθ (2.) Todistus. Lasketaan funktion f ja osasumman S k erotuksen neliö: ( ) ) k 2 k k f(θ) c ne inθ = f(θ) c ne (f(θ) inθ c ne inθ n= k = f(θ) 2 n= k n= k k ( cnf(θ)e inθ + c nf(θ)e inθ) + n= k n= k n= k k m,n= k c mc ne i(m n)θ. Integroimalla yhtälö (2.) puolittain yli välin [, π] saadaan π k 2 f(θ) c ne inθ dθ = π k k f(θ) 2 dθ (c nc n + c nc n) + c nc n = π f(θ) 2 dθ k c n 2. n= k n= k

2.2. DIRICHLET N YDIN JA OSASUMMIEN SUPPENEMINEN 3 Koska vasemmanpuoleinen integraali ei voi olla negatiivinen, niin k c n 2 π f(θ) 2 dθ ja, kun k, niin n= k Lauseesta 2.9 seuraa: c n 2 π f(θ) 2 dθ. Lemma 2.0 (Riemann-Lebesguen lemma). Paloittain jatkuvan, -jaksoisen funktion Fourier-kertoimelle c n on c n 2 <, ja siten lim c n = 0. n ± Lause 2. (Dirichlet n lause). Olkoon f -jaksoinen paloittain derivoituva funktio. Funktion f Fourier-sarjan osasummat S n suppenevat pisteittäin kohti toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa [f(θ ) + f(θ+)]. Jos f on jatkuva ja paloittain derivoituva, niin osasummat suppenevat kohti funktiota 2 f. Todistus. On osoitettava, että seuraava erotus lähestyy nollaa, kun n. (2.2) S n (f; θ) [f(θ ) + f(θ+)] 2 = π f(ϕ + θ)d n (ϕ) dϕ f(θ ) 0 = 0 [f(ϕ + θ) f(θ )]D n (ϕ) dϕ + D n (ϕ) dϕ } {{ } = 2 π 0 π f(θ+) D n (ϕ) dϕ 0 }{{} = 2 [f(ϕ + θ) f(θ+)]d n (ϕ) dϕ. Lemman 2.8 (ii)-kohdan perusteella erotus (2.2) voidaan kirjoittaa muotoon π g(ϕ) = g(ϕ)(e i(n+)ϕ e inϕ ) dϕ, { f(ϕ+θ) f(θ ) missä e iϕ kun π ϕ < 0 f(ϕ+θ) f(θ+) e iϕ kun 0 < ϕ π. Funktio g on jatkuva välin [, π] pisteissä, joissa f(ϕ + θ) on jatkuva ja epäjatkuva, kun f(ϕ + θ) on epäjatkuva. Lisäksi kohdassa ϕ = 0 funktiolla g on olemassa toispuoleiset raja-arvot, sillä l Hôpitalin säännön mukaan f(ϕ + θ) f(θ+) lim g(ϕ) = lim ϕ 0+ ϕ 0+ e iϕ f (ϕ + θ) = lim ϕ 0+ ie iϕ = f (θ+) i ja lim g(ϕ) = ϕ 0 i f (θ ). Siis g on paloittain jatkuva funktio ja siten integroituva ja sille voidaan muodostaa Fourier-sarja. Riemann-Lebesguen lemman 2.0 mukaan funktion g Fourier-kertoimelle c n on lim c n = 0, missä c n = π g(ϕ)e inϕ dϕ. n ±

Siten erotukselle (2.2) on π 2.2. DIRICHLET N YDIN JA OSASUMMIEN SUPPENEMINEN 4 g(ϕ)(e i(n+)ϕ e inϕ ) dϕ = c n c n 0, kun n. Seuraus 2.2 (Fourier-sarjan yksikäsitteisyys). Jos f ja g ovat derivoituvia, jaksoisia funktioita, joilla on samat Fourier-kertoimet, niin f(θ) = g(θ). Todistus. Funktioilla on sama Fourier-sarja, joka suppenee lauseen 2. nojalla pisteittäin funktioon f ja toisaalta funktioon g, joten f(θ) = g(θ) kaikilla θ. Esimerkki 2.3. Esimerkin 2.5 funktio g, g(θ) = θ, kun θ < π ja g(θ + k) = g(θ), on paloittain derivoituva ja jatkuva kaikilla θ. Siten lauseen 2.2 perusteella sen Fourier-sarja suppenee funktioon g eli π 2 4 π cos((2n )θ) (2n ) 2 = g(θ) = θ. Sijoittamalla θ = 0 saadaan sarjakehitelmä luvulle π 2 /8 : (2n ) 2 = π2 8 = + 3 2 + 5 2 + 7 2 + Tästä voidaan edelleen johtaa Baselin ongelman ratkaisu eli sarjan S := n = + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 = ( + 3 + 5 ) ( + + 2 2 2 + 2 4 + ) 2 6 2 = π2 8 + ( + 2 4 + 3 ) + = π2 2 2 8 + S 4, joten n 2 = π2 6. n 2 summa: Jos f on paloittain derivoituva funktio välillä [0, π], niin sen parillinen ja pariton laajennus ovat paloittain derivoituvia koko reaalilukujen joukossa. Jos f(0) = f(0+) ja f(π) = f(π ), niin parillinen laajennus on jatkuva kohdissa 0 ja π. Pariton laajennus on näissä pisteissä epäjatkuva, jos f ei saa pisteissä arvoa nolla. Soveltamalla lausetta 2. parittoman ja parillisen laajennuksen tapaukseen saadaan seuraava tulos: Lause 2.4. Olkoon f paloittain derivoituva funktio välillä [0, π]. Funktion f Fourier-kosinisarja ja -sinisarja suppenevat arvoon [f(θ )+f(θ+)] kaikilla θ ]0, π[. 2 Kosinisarja suppenee arvoon f(θ+), kun θ = 0 ja arvoon f(π ), kun θ = π. Sinisarja suppenee molemmissa pisteissä nollaan.

2.3. POISSONIN YDIN JA ABEL-SUMMAUTUVUUS 5 2.3. Poissonin ydin ja Abel-summautuvuus Määritelmä 2.5. Kompleksilukujen sarja 0 z k on Abel-summautuva lukuun s, jos kaikille 0 r < sarja A(r) = k=0 z k r k suppenee ja lim A(r) = s. r Esimerkki 2.6. Sarja k=0 ( )k (k+) = 2+3 4+5... Abel-summautuu lukuun /4, sillä funktiolla f(x) =, x <, ( + x) 2 on Taylorin sarja ( ) k (k + )x k = 2x + 3x 2 +..., joten k=0 lim A(r) = lim r r k=0 ( ) k (k + )r k = lim r ( + r) = 2 4. Määritelmä 2.7. Funktiolle f ja sen Fourier-sarjalle c ne inθ määritellään vastaavasti Abel-summa A r f(θ) = r n c n e inθ. Koska funktio f ja kertoimet c n ovat rajoitettuja, niin sarja A r f(θ) suppenee itseisesti ja tasaisesti kaikilla 0 r <. Nyt ( π ) A r f(θ) = r n c n e inθ = r n f(ψ)e inψ dψ e inθ ja tasaisesta suppenemisesta seuraa A r f(θ) = π ( ) f(ψ) r n e in(θ ψ) dψ. Sarja A r f(θ) on funktion f ja Poissonin ytimen, P r (ϕ), konvoluutio A r f(θ) = π f(ψ)p r (θ ψ) dψ = (f P r )(θ), missä P r (ϕ) = Lemma 2.8. (i) Poissonin ytimelle pätee 0 (ii) Sarjalla on suljettu muoto P r (ϕ) dϕ = π 0 P r (ϕ) dϕ = 2. r n e inϕ. r 2 P r (ϕ) = + r 2 2r cos ϕ, 0 r <. (iii) Lisäksi kaikilla δ > 0 ja δ ϕ π, P r (ϕ) suppenee tasaisesti nollaan, kun r.

2.3. POISSONIN YDIN JA ABEL-SUMMAUTUVUUS 6 Todistus. (i) 0 Kuva 2.3. Poissonin ydin arvoilla r = i/0, i =,..., 9. P r (ϕ) dϕ = 0 r n e inϕ dϕ = 0 dϕ + 0 π r n cos nϕ dϕ, koska P r (ϕ) suppenee tasaisesti, niin summauksen ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa: 0 P r (ϕ) dϕ = 2 + 0 r n cos nϕ dϕ = π 2. π Vastaavasti P 0 r(ϕ) dϕ = /2. (ii) Jakamalla Poissonin ydin kahteen geometriseen sarjaan saadaan P r (ϕ) = r n e inϕ + r n e inϕ re iϕ = + reiϕ re iϕ = n=0 r 2 + r 2 2r cos ϕ. (iii) Olkoon δ > 0 ja δ ϕ π. Kohdan (ii) perusteella P r (ϕ) = r 2 +r 2 2r cos ϕ. Nyt + r 2 2r cos ϕ = ( r) 2 + 2r( cos ϕ), joten jos /2 r, niin + r 2 2r cos ϕ a δ > 0. Tällöin P r (ϕ) r2 a δ, kun δ ϕ π ja P r (ϕ) 0, kun r. Lause 2.9. Olkoon f -jaksoinen ja paloittain jatkuva funktio. Tällöin funktion Fourier-sarja on Abel-summautuva keskiarvoon [f(θ ) + f(θ+)], 2 lim A rf(θ) = [f(θ ) + f(θ+)] r 2 kaikilla θ. Jos f on jatkuva, niin A r f suppenee tasaisesti funktioon f, kun r. Todistus. Olkoon ɛ > 0 ja θ R. Valitaan δ > 0 siten, että f(θ +ϕ) f(θ+) < ɛ, kun 0 < ϕ < δ, ja f(θ + ϕ) f(θ ) < ɛ, kun δ < ϕ < 0. P r (ϕ) 0 kaikilla ϕ [, π], ja paloittain jatkuva, -jaksoinen funktio f on rajoitettu, toisin sanoen

2.4. FEJÉRIN YDIN JA CESÀRO-SUMMAUTUVUUS 7 on olemassa B > 0 siten, että f(θ) B kaikilla θ [, π]. Tällöin lemman 2.8 nojalla A rf(θ) 2 [f(θ ) + f(θ+)] = π f(θ + ϕ)p r (ϕ) dϕ 2 [f(θ ) + f(θ+)] = 0 δ P r (ϕ) f(θ + ϕ) f(θ ) dϕ + δ + δ P r (ϕ) f(θ + ϕ) f(θ ) dϕ + 0 π 0 0 P r (ϕ) f(θ + ϕ) f(θ+) dϕ + δ P r (ϕ) f(θ + ϕ) f(θ+) dϕ δ π < ɛ P r (ϕ) dϕ + P r (ϕ) [ ] f(θ + ϕ) + f(θ ) dϕ δ + π P r (ϕ) [ ] f(θ + ϕ) + f(θ+) dϕ δ ɛ π P r (ϕ) dϕ + B P r (ϕ) dϕ π δ ϕ π = ɛ + B P r (ϕ) dϕ ɛ, kun r. π δ ϕ π P r (ϕ) f(θ + ϕ) f(θ ) dϕ δ P r (ϕ) f(θ + ϕ) f(θ+) dϕ Jos f(θ) on jatkuva, niin se on tasaisesti jatkuva välillä [, π] ja siten jaksollisuuden nojalla tasaisesti jatkuva kaikilla θ R. Tällöin voidaan valita δ = δ ɛ kaikille θ, mistä seuraa tasainen suppeneminen A r f(θ) f(θ), kun r. 2.4. Fejérin ydin ja Cesàro-summautuvuus Määritelmä 2.20. Kompleksilukujen z k muodostama sarja 0 z k on Cesàrosummautuva, jos sen n:s Cesàro-summa σ n, suppenee, kun n. σ n = n s k, n k=0 missä s k on sarjan k:s osasumma, Esimerkki 2.2. Sarjan k=0 ( )k = + + osasummat muodostavat jonon {, 0,, 0,...}, jolla ei ole raja-arvoa. Sarjalle voidaan kuitenkin laskea Cesàrosumma σ: Jos n on pariton, niin ja jos n on parillinen, niin joten σ = /2. σ n = + 0 + + + 0 n σ n = + 0 + + n = n 2n 2, kun n = n + 2 2n, kun n, 2

n k=0 n k=0 0 2.4. FEJÉRIN YDIN JA CESÀRO-SUMMAUTUVUUS 8 Kuva 2.4. Fejérin ydin arvoilla n =,..., 0. Määritelmä 2.22. Fourier-sarjan n:s Cesàro-summa on σn(f) = n Sk(f). Koska Fourier-sarjan osasummalle on Sn(f) = f Dn, niin saadaan σn(f; θ) = (f Fn)(θ) = π f(θ + ϕ)fn(ϕ) dϕ, missä Fn(ϕ) on n:s Fejérin ydin, Fn(ϕ) = n Lemma 2.23. (i) Fejérin ytimelle on 0 Fn(ϕ) dϕ = (ii) Fejérin ytimellä on esitys Dk(ϕ). π Fn(ϕ) = sin 2 (nϕ/2) n sin 2 (ϕ/2). Fn(ϕ) dϕ = 2. (iii) Kaikilla δ > 0, δ ϕ π, Fn(ϕ) suppenee tasaisesti nollaan, kun n. Lause 2.24. Jos f on paloittain jatkuva ja -jaksoinen funktio, niin sen Fouriersarja on Cesàro-summautuva keskiarvoon [f(θ ) + f(θ+)], 2 lim σnf(θ) = [f(θ ) + f(θ+)] n 2 kaikilla θ. Jos f on jatkuva, niin σnf f tasaisesti, kun n. Todistus. Koska Fn(ϕ) 0 kaikilla ϕ [, π] ja Fejérin ytimellä on lemman 2.23 (i)- ja (iii)-kohtien mukaan Poissonin ytimen kaltaiset ominaisuudet, niin todistus vastaa lauseen 2.7 todistusta, kun vaihdetaan rajankäynniksi n. Seuraus 2.25. Jos f on jatkuva, -jaksoinen funktio, jolle cn = 0 kaikilla n, niin f(θ) = 0 kaikilla θ.

2.4. FEJÉRIN YDIN JA CESÀRO-SUMMAUTUVUUS 9 Kuva 2.5. Abel-summa A 0,995, n = 50, Cesàro-summa σ 50 ja osasumma S 50 esimerkin.9 porrasfunktiolle. Todistus. Funktion osasummat ja siten Cesàro-summat ovat nollia, joten seuraus saadaan lauseesta 2.24. Seuraus 2.26 (Fourier-sarjan yksikäsitteisyys). Jos f ja g ovat jatkuvia, jaksoisia funktioita, joilla on samat Fourier-kertoimet, niin f = g (vrt. seuraus 2.2). Todistus. Jatkuvalle, -jaksoiselle funktiolle f g on (f g)(θ) = f(θ) g(θ) kaikilla θ ja sen Fourier-kerroin c n = 0 kaikilla n, joten seurauksen 2.25 perusteella f = g. Seuraavan lauseen mukaan trigonometriset polynomit n k= n c ke ikx ovat tiheässä jatkuvien, -jaksoisten funktioiden avaruudessa: Lause 2.27 (Fejérin lause). Jos f on jatkuva, -jaksoinen funktio, niin sitä voidaan approksimoida tasaisesti trigonometrisellä polynomilla. Toisin sanoen, jos ɛ > 0, niin on olemassa trigonometrinen polynomi T siten, että f(x) T (x) < ɛ kaikilla x R. Todistus. Koska osasummat ja siten Cesàro-summat ovat trigonometrisiä polynomeja, niin väite seuraa lauseesta 2.24. Fejérin lauseen avulla näytetään luvussa 4, että trigonometriset polynomit ovat tiheässä neliöintegroituvien funktioiden avaruudessa ja luvussa 6 todistetaan Weierstrassin approksimaatiolause, joka antaa vastaavan tuloksen polynomeille ja kaikille jatkuville funktioille. Kuvassa 2.5 on esitetty Abel-summa, Cesàro-summa ja osasumma esimerkin.9 funktiolle, kun n = 50. Kuten nähdään Abel- ja Cesàro-summilla ei ole Gibbsin ilmiötä, koska Poissonin ydin tasoittaa osasummaa kertoimella r n ja vastaavasti Fejérin ydin keskiarvoistaa osasumman. Huomautus 2.28. Poissonin ydin ja Fejérin ydin ovat hyviä ytimiä (engl. good kernels), koska niillä on lemmoissa 2.8 ja 2.23 esitetyt ominaisuudet. Sen sijaan

Dirichlet n ydin ei ole hyvä ydin, sillä 2.4. FEJÉRIN YDIN JA CESÀRO-SUMMAUTUVUUS 20 π D n (ϕ), kun n. Jos Dirichlet n ydin olisi hyvä ydin, niin sillä olisi lauseita 2.9 ja 2.24 vastaava tulos, toisin sanoen funktion f Fourier-sarjan osasummat suppenisivat funktioon f pisteissä, joissa f on jatkuva. Paul du Bois-Reymond osoitti kuitenkin ensimmäisenä (v. 873), että on olemassa jatkuva, jaksollinen funktio, jonka Fourier-sarja hajaantuu jossain pisteessä.

LUKU 3 Fourier-sarjan derivointi ja integrointi Fourier-sarjojen eräs tärkeä sovellusala on osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen, joten määritetään seuraavaksi ehdot Fourier-sarjan derivoinnille ja integroinnille. Lause 3.. Olkoon f -jaksoinen k-kertaa derivoituva funktio. Olkoot c n ja c (k) n funktioiden f ja f (k) Fourier-kertoimet. Tällöin Todistus. Näytetään, että c n := c () n määritelmä saadaan c n = = π Väite seuraa induktiolla. f (θ)e inθ dθ = cos nπ (f(π) f()) }{{} =0 c (k) n = (in) k c n. / π = inc n. Osittaisintegroimalla kertoimen c n f(θ)e inθ + in π π f(θ)( ine inθ ) dθ f(θ)e inθ dθ = inc n. Seuraus 3.2. Olkoon f -jaksoinen ja k kertaa derivoituva funktio. Jos c ne inθ on funktion f Fourier-sarja, niin f (k) (θ) = (in) k c n e inθ kaikilla θ. Todistus. Lauseen 2. nojalla f (k) on Fourier-sarjansa summa kaikilla θ. Derivaattafunktion Fourier-sarjan yhtälö seuraa lauseesta 3.. Määritelmä 3.3. Jos f on paloittain jatkuva, -jaksoinen funktio, niin sen primitiivi F (θ) = θ f(ϕ) dϕ on jaksollinen, vain kun 0 π f(ϕ) dϕ = F (π) F () = 0, toisin sanoen, kun funktion f Fourier-sarjan vakiotermi c 0 on nolla. Lause 3.4. Olkoon f -jaksoinen ja paloittain jatkuva funktio, jonka Fourierkertoimet ovat c n tai a n ja b n. Oletetaan, että c 0 = a 2 0 = 0. Jos F on jatkuva, paloittain derivoituva funktio siten, että F = f pisteissä, joissa f on jatkuva, niin F (θ) = C 0 + n 0 c n in einθ = C 0 + missä C 0 on funktion F keskiarvo välillä [, π]. 2 ( an n sin nθ b n cos nθ n ),

Todistus. Koska 3.. FOURIER-SARJAN TASAINEN JA ITSEINEN SUPPENEMINEN 22 F (θ + ) F (θ) = θ+ θ f(ϕ) dϕ = π f(ϕ) dϕ = c 0 = 0, niin F on -jaksoinen. Siten lauseen 2. perusteella F on Fourier-sarjansa summa kaikkialla. Lauseen 3. nojalla sen Fourier-kertoimille C n on C n = c n /in kaikilla n 0. Vastaavasti A n = b n /n ja B n = a n /n, n 0. Huomautus 3.5. Jos funktion f Fourier-sarjan vakiotermille on c 0 0, niin lausetta 3.4 sovelletaan funktioon F (θ) c 0 θ. {, < θ < 0 Esimerkki 3.6. Esimerkin.9 funktio f(θ) = on paloittain, 0 < θ < π jatkuva ja sen integraalifunktio on esimerkin 2.5 funktio g(θ) = θ, θ < π. Funktion g Fourier-sarja saadaan siten lauseen 3.4 avulla: π 4 g(θ) = g(θ) dθ + π(2n ) cos((2n )θ) = π 2 2 4 cos((2n )θ). π (2n ) 2 Funktion g integraalifunktiolle G on joten G(θ) c 0 θ = 2 θ θ π 2 θ = 4 π G(θ) = π 2 θ 4 π sin((2n )θ) (2n ) 3. sin((2n )θ) (2n ) 3, Lauseen 3. avulla saadaan tulos koskien Fourier-sarjan tasaista ja itseistä suppenemista: 3.. Fourier-sarjan tasainen ja itseinen suppeneminen Lause 3.7. Jos f on -jaksoinen, jatkuva ja paloittain jatkuvasti derivoituva funktio, niin sen Fourier-sarja on itseisesti ja tasaisesti suppeneva. Todistus. Olkoot c n ja c n funktioiden f ja f Fourier-kertoimet. Lauseen 3. mukaan c n = c n/in, kun n 0, joten c n 2 ( c n 2 + n 2 ). Koska f on paloittain jatkuva, niin Besselin epäyhtälön mukaan sarja c n 2 suppenee. Koska myös sarja n 2 suppenee, niin c n suppenee. Nyt c n e inθ = c n, joten funktion f Fourier-sarja c n e inθ suppenee itseisesti. Lisäksi, koska c n <, niin Weierstrassin M-testin 2.4 nojalla Fourier-sarja suppenee tasaisesti.

LUKU 4 Fourier-sarjat ja L 2 ([, π]) -avaruus Luvussa määriteltiin Fourier-sarja integroituvalle, jaksolliselle funktiolle. Perustellaan määrittely samaistamalla funktiot lineaariavaruuden vektoreihin, jotka voidaan esittää summana ortonormaalin kannan avulla. Tässä luvussa osoitetaan, että joukko {e inx } on ortonormaali kanta neliöintegroituvien funktioiden avaruudelle L 2 ([, π]), toisin sanoen jokaiselle funktiolle f L 2 ([, π]) on f(x) = c n e inx, missä kertoimet c n saadaan sisätulosta f, e inx ja yhtäsuuruus tarkoittaa sarjan suppenemista L 2 -normissa. 4.. Lineaariavaruuden määritelmiä Määritelmä 4.. Kunnan F joukko V varustettuna yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla on vektori- eli lineaariavaruus, jos se toteuttaa ehdot -9 kaikilla vektoreilla a, b, c V ja skalaareilla α, β F : () a + b V (2) (a + b) + c = a + (b + c) (3) a + b = b + a (4) on olemassa nolla-alkio 0, jolle a + 0 = a (5) jokaiselle vektorille a löytyy vasta-alkio a, jolle a + ( a) = 0 (6) αa V (7) α(a + b) = αa + αb (8) (α + β)a = αa + βa (9) a = a, missä on kunnan F neutraalialkio. Esimerkki 4.2. Euklidinen avaruus R n skalaarikuntanaan R ja n-uloitteinen kompleksiavaruus C n skalaarikuntanaan C ovat lineaariavaruuksia. Kun lineaariavaruuteen liitetään sisätulon käsite, voidaan esimerkiksi määrittää avaruuden alkion normi tai alkioiden välinen kulma ja etäisyys. Euklidisessa avaruudessa määritellään sisätulo asettamalla x, y = n i= x iy i, vektorin x R n normi x = x, x /2 = ( n i= x2 i ) /2 ja vektorien x ja y etäisyys eli metriikka d(x, y) = x y. Vektorilla x = (x,..., x n ) R n on esitys x = n i= x ie i, x i = x, e i, missä vektorit e i muodostavat ortonormaalin kannan avaruuteen R n, toisin sanoen e j, e k = 0, kun j k ja e j, e k =, kun j = k. Jos vektoreille x ja y, x y, 23

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 24 on x, y = 0, niin ne ovat ortogonaaliset ja tällöin merkitään x y. Vektorille x voidaan muodostaa esitys myös ortogonaalisen kannan {u i } n i= suhteen, tällöin x = n i= a iu i, missä a i = x, u i / u i 2. Vastaavasti n-uloitteisen kompleksiavaruuden C n sisätulo on a, b = n i= a ib i ja vektorille a C n määritellään normi a = a, a /2 = ( n i= a2 i ) /2. (i) (ii) (iii) Määritelmä 4.3. Avaruuden V = (V,,, ) F sisätulolla on ominaisuudet: x, x 0 ja x, x > 0, kun x 0 (positiivinen definiittisyys) x, y = y, x (konjugaattisymmetrisyys) αx + βy, z = α x, z + β y, z, kun α, β F (bilineaarisuus) ja normille pätee: (iv) x 0 ja x > 0, kun x 0 (v) αx = α x, kun α F (homogeenisuus) (vi) kaikille x, y V on x + y x + y (kolmioepäyhtälö).. Lisäksi ortogonaalisuuden käsitteestä voidaan johtaa seuraavat tulokset: Lemma 4.4. Olkoon x ja y alkioita sisätuloavaruudessa V = (V,,, ). Tällöin on voimassa (i) Pythagoraan lause: jos x ja y ovat ortogonaaliset, niin x + y 2 = x 2 + y 2. (ii) Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö: kaikille x, y V on x, y x y. Avaruudet R n ja C n ovat äärellisulotteisia, mutta Fourier-sarjoja käsiteltäessä tarvitaan ääretönulotteisia lineaariavaruuksia: Esimerkki 4.5. Lineaariavaruus l 2 on kompleksiarvoisten, neliösummautuvien jonojen ääretönulotteinen avaruus: jos jono {a n } l 2, niin a n 2 <. Sisätulon jonojen A = {a n } ja B = {b n } välille antaa itseisesti suppeneva sarja A, B = a nb n ja normi on siten A = ( a n 2) /2. [5, s. 73-74]. 4.2. Neliöintegroituvien funktioiden avaruus L 2 ([, π]) Määritelmä 4.6. Olkoon A R n. Luku { } m (A) = inf l(i k ) : A I k, I k on n-uloitteinen väli kaikilla k N, k= k= missä l(i k ) on välin I k geometrinen mitta, on joukon A Lebesguen ulkomitta. Joukko A on Lebesgue-mitallinen, jos m (E) = m (A E) + m (E \ A) ja tällöin sen Lebesguen mitta on m(a) = m (A). kaikilla E R n

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 25 Määritelmä 4.7. Olkoon A R n Lebesgue-mitallinen. Joukolla A määritelty funktio f on Lebesgue-mitallinen, jos kaikilla a R alkukuva on mitallinen. f (]a, ]) = {x A : f(x) > a} Määritelmä 4.8. Olkoon (R, M, m) mitta-avaruus, missä M on Lebesgue-mitallisten joukkojen luokka ja m on Lebesguen mitta. Tällöin määritellään Lebesgueavaruus L p = L p (R) = {f : R C : f on mitallinen ja f p < }, missä L p -avaruuden normi on ( /p f p = f(x) dx) p ja p <. Kun p =, niin f = ess sup f(x) = inf { M R ( ) } m {x R : f(x) > M} = 0 x R L = L (R) = {f : R C : f on mitallinen ja f < }. Funktiota f L sanotaan (Lebesgue-)integroituvaksi ja funktiota f L 2 neliöintegroituvaksi. Lebesgue-avaruuksista L 2 on ainoa, jolle voidaan asettaa sisätulo, joka antaa vastaavan L p -normin. Kun valitaan tarkasteltavaksi funktiot, jotka ovat neliöintegroituvia välillä [, π], voidaan sisätulo painottaa kertoimella /: Määritelmä 4.9. Avaruus L 2 ([, π]) on välillä [, π] neliöintegroituvien funktioiden joukko, toisin sanoen funktio f L 2 ([, π]) on Lebesgue-mitallinen ja ( π /2 f 2 = f(x) dx) 2 <. Asetetaan avaruuteen L 2 ([, π]) sisätulo f, g = π f(x)g(x) dx. Funktiot f ja g ovat ortogonaaliset välillä [, π], jos f, g = 0. Funktiojono {ϕ n } on ortogonaalinen, jos ϕ m, ϕ n = 0, kun m n, ja ortonormaali jos lisäksi ϕ n = kaikilla n. Lisäksi määritetään avaruudelle L 2 ([, π]) metriikka eli funktioiden f ja g etäisyys ( π /2 f g 2 = f(x) g(x) dx) 2. Siten funktio f k suppenee L 2 -normin suhteen funktioon f, jos f f k 2 0, eli π f(x) f k (x) 2 dx 0, kun k. Huomautus 4.0. Avaruudessa L p ominaisuudesta f(x) p = 0 seuraa, että f(x) = 0 melkein kaikilla x: ja

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 26 Määritelmä 4.. Joukko A R on nollamittainen, jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa jono avoimia välejä {I k } k N pituuksinaan l k siten, että A j= I j ja j= < ɛ. Jos jokin väite pätee nollamittaista joukkoa lukuunottamatta kaikille x R, niin väite on totta melkein kaikkialla tai melkein kaikilla x, merkitään m.k. x. Määritelmä 4.2. Sisätuloavaruus H = (H,,, ) on Hilbertin avaruus, jos (i) Sisätulolla ja normilla on määritelmän 4.3 ominaisuudet, ja (ii) H on täydellinen; jokainen Cauchy-jono suppenee normin suhteen raja-arvoon x H. Esimerkiksi avaruudet R n, C n ja l 2 varustettuina sisätulolla ovat Hilbertin avaruuksia. Lause 4.3. Neliöintegroituvien funktioiden avaruus L 2 ([, π]) on Hilbertin avaruus. Todistus. Katso [6, s. 59-60]. Joukko {e n } L 2 ([, π]), e n (x) = e inx, on ortonormaali, sillä e m, e n = π e imx e inx dx = π e i(m n)x dx = { kun m = n 0 kun m n. Jos {e n } virittää avaruuden L 2 ([, π]), eli sen alkioiden äärelliset lineaarikombinaatiot ovat tiheässä välillä [, π] neliöintegroituvien funktioiden avaruudessa, niin {e n } on ortonormaali kanta avaruudessa L 2 ([, π]). Tällöin voidaan olettaa, että kaikille funktioille f L 2 ([, π]) on f = c n e n, jollain c n C, missä yhtäsuuruus tarkoittaa sarjan suppenemista L 2 -normin suhteen. Jos oletetaan lisäksi, että voidaan ottaa sisätulo termeittäin yhtälön molemmilta puolilta funktion e j kanssa, saadaan joukon {e n } ortonormaaliuden nojalla f, e j = c j kaikilla j, mikä on sama esitys kuin funktion f Fourier-sarjalla. Todistetaan, että tämä pätee, eli funktion f L 2 ([, π]) Fourier-sarja suppenee L 2 -normin suhteen funktioon f, toisin sanoen niin lim k π f(x) S k (f; x) 2 dx = 0. Lemma 4.4. Jos f on trigonometrinen polynomi, f = c n e n L 2 ([, π]), f 2 2 = c n 2. n k n k

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 27 Todistus. Kirjoitetaan funktio f muodossa f = f c n e n + c n e n. n k Koska f c n e n = 0, niin f c n e n c n e n ja Pythagoraan lauseen nojalla n k n k n k n k f 2 2 = f 2 2 c n e n + c n e n = c n 2 e n 2 2 = c n 2. n k 2 n k Lause 4.5. Seuraavat ortonormaalin joukon {e n } H ominaisuudet ovat yhtäpitäviä: 2 n k n k (i) Joukon {e n } äärelliset lineaarikombinaatiot ovat tiheässä avaruudessa H, k toisin sanoen kaikille f H on olemassa jono {g k } = a n e n H siten, että f g k 0, kun k. (ii) Jos f H ja f, e j = 0 kaikille j, niin f = 0. k (iii) Jos f H ja S k (f) = c n e n, missä c n = f, e n, niin osasummat S k (f) suppenevat normin suhteen funktioon f, kun k. (iv) Jos c n = f, e n, niin f 2 = c n 2. Todistus. (i) (ii): Olkoon f H, jolle f, e j = 0 kaikille j, ja olkoon {g k } H funktioiden e n äärellinen lineaarikombinaatio, jolle f g k 0, kun k. Tällöin f, g k = 0 kaikilla n ja siten Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöstä seuraa f 2 = f, f = f, f g k f f g k kaikille k. Kun k, niin saadaan f 2 0 eli f 2 = 0 ja siten f = 0. (ii) (iii): Olkoon f H, jolle k S k (f) = c n e n, missä c n = f, e n. Osoitetaan ensin, että S k (f) suppenee johonkin funktioon g H. Huomataan, että (f S k (f) S k (f)), joten Pythagoraan lauseesta ja lemmasta 4.4 seuraa k (4.) f 2 = f S k (f) 2 + S k (f) 2 = f S k (f) 2 + c n 2. Siten f 2 k c n 2 ja kun k, niin saadaan Besselin epäyhtälö (vrt. lause 2.9) c n 2 f 2,

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 28 mikä tarkoittaa, että sarja c n 2 suppenee. Tällöin S k (f) S m (f) 2 = k n=m+ c n 2, kun k > m, toisin sanoen {S k (f)} k= H on Cauchy-jono. Koska Hilbertin avaruus H on täydellinen, niin on olemassa g H siten, että S k (f) suppenee funktioon g, kun k. Kiinnitetään j N. Kun k j, niin f S k (f), e j = c j c j = 0. Koska S k (f) suppenee funktioon g, niin f g, e j = 0 kaikilla j. Siten oletuksen (ii) nojalla f = g ja väite on todistettu. (iii) (iv): Kun k, niin yhtälöstä 4. seuraa f 2 = c n 2. (iv) (i): Yhtälöstä 4. seuraa f S k (f) 0, kun k ja koska osasummat S k (f) ovat joukon {e n } alkioiden äärellisiä lineaarikombinaatioita, niin väite pätee. Jotta lausetta 4.5 voitaisiin soveltaa avaruudelle L 2 ([, π]) ja ortonormaalille joukolle {e inx }, on osoitettava, että kohta (i) pätee, mistä seuraa muiden kohtien paikkansapitävyys. Lause 4.6. Välillä [, π] jatkuvien funktioiden joukko C([, π]) on tiheä avaruudessa L 2 ([, π]). Todistus. Katso [7, s. 69]. Lause 4.7. Trigonometriset polynomit ovat tiheässä avaruudessa L 2 ([, π]). Todistus. Olkoon f L 2 ([, π]) ja ɛ > 0. Tällöin on olemassa välillä [, π] jatkuva funktio g siten, että f g 2 < ɛ 2. Fejérin lauseen 2.27 mukaan trigonometriset polynomit ovat tiheässä jatkuvien, jaksoisten funktioiden joukossa ja siten myös joukossa C([, π]). On siis olemassa trigonometrinen polynomi T (x) = k n= k a n e inx, jolle g T 2 < ɛ 2. Siten f T 2 f g 2 + g T 2 < ɛ, mistä väite seuraa. Lause 4.8. Olkoon f L 2 ([, π]). Tällöin on voimassa: (i) Parsevalin yhtälö: c n 2 = π f(x) 2 dx, missä c n = f, e n.

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 29 (ii) Rieszin-Fischerin lause: Funktiolle f L 2 ([, π]) on f = c n e n, missä c n = f, e n, jos ja vain jos c n 2 <. (iii) Funktion f Fourier-sarja suppenee L 2 -normin suhteen funktioon f, toisin sanoen π f(x) S k (f; x) 2 dx 0, kun k. Todistus. Sovelletaan lausetta 4.5 tapaukseen H = L 2 ([, π]). Lauseen 4.7 mukaan kohta 4.5 (i) on totta ja siten lause 4.5 pätee kokonaisuudessaan. Kohdasta (iv) seuraa tällöin Parsevalin yhtälö. (iii): Erotuksen f S k (f) L 2 ([, π]) Fourier-sarja on n >k c ne n, joten Parsevalin yhtälöstä seuraa f S k (f) 2 2 = π (ii): Jos {c n } l 2, niin f(x) S k (f; x) 2 dx = c n 2 0, kun k. n >k c n 2 < ja tällöin osasummajono {S k } = n <k c ne n on Cauchy-suppeneva, eli S k S m 2 2 0, kun k, m. Avaruuden L 2 ([, π]) täydellisyydestä seuraa, että on olemassa funktio f L 2 ([, π]) siten, että f S k 2 0, kun k. Kun k n, niin f, e n = f S k, e n + S k, e n = f S k, e n + c n ja Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöstä seuraa f S k, e n f S k 2 e n 2 = f S k 2 0, kun k. Siten f, e n = c n. Jos f = c n e n, niin Parsevalin yhtälöstä seuraa f 2 = c n 2 <. Rieszin-Fischerin lauseen mukaan avaruuksien L 2 ([, π]) ja l 2 välillä on bijektiivinen kuvaus, eli jokainen f L 2 ([, π]) vastaa Fourier-kerroinjonoa, joka on avaruuden l 2 alkio. Parsevalin yhtälön mukaan tämä kuvaus säilyttää sisätulon, joten se on isometrinen isomorfismi. Voidaan lisäksi näyttää, että kaikki ääretönulotteiset Hilbert-avaruudet ovat isometrisesti isomorfisia avaruuden l 2 kanssa. Luvussa 2 käsiteltiin Fourier-sarjojen Abel- ja Cesàro-summia ja näytettiin, että jatkuvalle funktiolle nämä summat suppenevat tasaisesti funktioon, kun taas osasummien tasainen suppeneminen vaatii funktion jatkuvasti derivoituvuutta. Seuraavan tuloksen mukaan Fourier-sarjan osasumma S k on kuitenkin yksikäsitteisesti paras approksimaatio funktiolle korkeintaan k:n asteen trigonometristen polynomien joukosta:

4.2. NELIÖINTEGROITUVIEN FUNKTIOIDEN AVARUUS L 2 ([, π]) 30 Lause 4.9 (Paras approksimaatio). Olkoon T k (x) = k n= k a ne n korkeintaan k:n asteen trigonometrinen polynomi ja S k (x) funktion f L 2 ([, π]) Fourier-sarjan osasumma. Tällöin f S k 2 f T k 2 ja yhtäsuuruus on voimassa vain, kun T k (x) = S k (x). Todistus. Selvästi f S k P k, missä P k on korkeintaan k:n asteen trigonometrinen polynomi, joten koska k f T k = f S k + b n e n, n= k missä b n = c n a n, niin Pythagoraan lauseesta seuraa k 2 f T k 2 2 = f S k 2 2 + b n e n f S k 2 f T k 2 n= k ja yhtäsuuruus on voimassa vain, kun c n = a n kaikilla n k. Osoitetaan Parsevalin yhtälölle 4.8 (i) yleistys: Seuraus 4.20. Jos funktioilla f, g L 2 ([, π]) on Fourier-sarjat c n e n ja dn e n, niin c n d n = π f(x)g(x) dx. Todistus. Soveltamalla Parsevalin yhtälöä funktioihin f + g, f ja g saadaan π f(x) + g(x) 2 dx = c n + d n 2 = ( c n 2 + 2 Re c n d n + d n 2 ) ja toisaalta Siten π π f(x) + g(x) 2 dx = ( f(x) 2 + 2 Re f(x)g(x) + g(x) 2 ) dx = c n 2 + Re π f(x)g(x) dx + d n 2. π Re 2 c n d n = Re π f(x)g(x) dx. Vastaavasti voidaan näyttää, että imaginääriosat ovat yhtäsuuret, mistä väite seuraa. Fourier-sarjojen suppenemista koskeva teoria on laaja Fourier-analyysin osa-alue, josta käsiteltiin tässä tutkielmassa muutamia päätuloksia. Esitetään vielä tulos pisteittäisestä suppenemisesta L 2 -avaruudessa, minkä Lennart Carleson todisti vuonna 966 ja Richard Hunt täydensi L p -avaruuteen kaikille p > : Lause 4.2. Jos f L 2 ([, π]), niin S k (f; x) f(x) melkein kaikilla x [, π], kun k.

LUKU 5 Fourier-muunnoksesta 5.. Johdanto Edellisessä luvussa näytettiin, että avaruuden L 2 ([, π]) funktiot voidaan esittää ortonormaalien kantafunktioiden e inx sarjakehitelmänä. Kun kokonaisluvut ja summat korvataan niiden jatkuvilla vastineilla eli reaaliluvuilla ja integraaleilla, voidaan myös tietyt jaksottomat funktiot esittää funktioiden e iξx, ξ R, avulla koko reaalilukuakselilla. Olkoon funktio f : R C. Oletetaan, että funktiolle voidaan muodostaa Fouriersarja välille [ l, l] kaikilla l > 0 siten, että f(x) = c n e iπnx/l, missä c n = l f(x)e iπnx/l dx. 2l Sijoitetaan ξ = π/l ja ξ n = n ξ = nπ/l, jolloin saadaan f(x) = c n e iξnx ξ, missä c n = l f(x)e iξnx dx. Oletetaan, että f saa arvon nolla, kun x l, jolloin c n = l l f(x)e iξnx dx = f(x) = l l f(x)e iξnx dx =: f(ξ n ) f(ξ n )e iξnx ξ, kun x < l. Riemannin integraalin määritelmän nojalla, kun l, niin ξ 0 ja (5.) f(x) = f(ξ)e iξx dξ, missä f(ξ) = f(x)e iξx dx. Ylläoleva päättely on melko suoraviivainen, mutta tulos on paikkansapitävä tietynlaisille funktioille, kuten myöhemmin todistetaan. Funktio f on funktion f Fouriermuunnos ja yhtälöä 5. sanotaan Fourier-käänteismuunnokseksi tai Fourier-integraaliksi. 5.2. Määritelmiä ja tuloksia Määritelmä 5.. Funktion f L Fourier-muunnos on (5.2) f(ξ) = f(x)e iξx dx. Integraali (5.2) on hyvin määritelty, sillä lauseessa 5.9 näytetään, että f f <. 3 ja