Fysiikan perusteet 3 Optiikka

Fysiikan perusteet 3 Optiikka Petri Välisuo petri.valisuo@uva.fi 27. tammikuuta 2014 1

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 2 / 37 Sisältö 1 Heijastuminen ja taittuminen 4 1.1 Joitain hyödyllisiä yhtälöitä..................... 6 1.2 Sateenkaari............................. 6 2 Sironta 6 3 Diffuusi valaistus ja integroiva pallo 8 4 Diffuusi heijastus 8 4.1 Absorbtio ja Beer-Lambertin laki.................. 10 4.2 Absorbtiospektroskopia....................... 11 5 Radiometria ja fotometria 15 6 Peilit 17 6.1 Merkintöjä.............................. 17 6.2 Tasopeili............................... 17 6.3 Kovera pallopeili.......................... 19 6.4 Kupera pallopeili.......................... 19 6.5 Paraboliset peilit.......................... 22 7 Ohuet linssit 22 7.1 Linssilaskut............................. 23 7.2 Kupera linssi............................ 23 7.3 Kovera linssi............................ 25 7.4 Pallopoikkeama........................... 25 7.5 Väriaberraatio ja pallopoikkeama.................. 26 8 Linssijärjestelmät 27

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 3 / 37 8.1 Kaukoputki............................. 27 8.2 Kulma, avaruuskulma ja valovoima................. 29 9 Optiset sensorit 30 9.1 Charge Coupled Device, CCD................... 30 9.2 Complementary Metal Oxide Semconductor -kenno (CMOS)... 30 9.3 Kvanttitehokkuus ja kohina..................... 30 9.4 Sovellusesimerkki.......................... 30 10 Interferenssi 30 10.1 Koherentin lähteen interferenssi.................. 31 10.2 Michelsonin interferometri..................... 33 10.3 Heijastamattomat ja heijastavat pinnoitteet............. 34 11 Diffraktio 34 11.1 Esimerkki: Kameran linssin erottelykyky.............. 35 12 Muita ilmiöitä ja kokeita 36 12.1 Youngin koe............................. 36 13 Hila 36

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 4 / 37 θ 1 Ilma, n 1 Vesi, n 2 θ 2 Kuva 1: Snellin laki, valon taittuessa ilmasta veteen. 1 Heijastuminen ja taittuminen Kun aineesta, jonka taitekerroin on n 1 tuleva valonsäde, I 1, kohtaa materiaalien välisen sileän rajapinnan ja siirtyy toiseen materiaaliin, jonka taitekerroin on, n 2, osa valosta heijastuu takaisin, siirtymättä lainkaan toiseen materiaaliin ja osa valosta etenee toiseen materiaaliin, ja muuttaa samalla kulkusuuntaansa, eli taittuu. Snellin lain mukaan heijastuneen säteen kulma rajapinnan normaaliin nähden on sama kuin tulevan säteen kulma normaaliin nähden, θ 1. Taittuneen säteen kulma on eri kuin tulevan säteen kulma, ja sen suuruuden määrä taitekerrointen ero. Kulman voi laskea Snellin lain avulla, kts kuva (1). n 1 sin(θ 1 ) = n 2 sin(θ 2 ) (1) Kun valo taittuu epätasaiselta pinnalta, tulosuunnaltaan yhdensuuntaiset vierekkäiset säteet eivät ole enää yhdensuuntaisia heijastumisen tai taittumisen jälkeen, vaikka kukin säde erikseen noudattaakin Snellin lakia. Monimutkaisesta, "röpelöisestä"pinnasta tapahtuvan heijastumisen yksityiskohtainen mallintaminen ei yleensä ole mahdollista. Siksi tällaista ns. diffuusia heijastumista mallinnetaankin yleensä tilastollisesti. Yksinkertaisin tilastollinen heijastumismalli, on isotrooppisen heijastumisen mal-

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 5 / 37 li. Isotrooppisella heijastumisella tarkoitetaan sitä, että valo heijastuu tasosta joka suuntaan, koko puolipallon alueelle yhtä voimakkaasti: I(θ) = I 0 (2) Heijastuneen valon kokonaisenergia saadaan laskettua integroimalla: I tot = π/2 2π 0 0 I 0 R 2 cos(θ)dφdθ = 2πR 2 I 0 (3) Tällöin siis kaikkiin suuntiin lähtevän valon intensiteetti on: I 0 = I tot 2πR 2 (4) Monien ei-peilimäisten pintojen on todettu noudattavan käytännössä isotrooppisen heijastusfunktion sijaan ennemminkin ns. Lambertin kosinilakia. Sen mukaan tasomaisesta epätasaisesta pinnasta heijastuneen valon intensiteetti on suurin, I 0, pinnan normaalin suuntaisesti, ja pienenee heijastuskulman kasvaessa. Kulmaan θ heijastuneen valon intensiteeti on: I(θ) = I 0 cos(θ) (5) Heijastuneen valon kokonaisenergia saadaan laskettua integroimalla: I tot = π/2 2π 0 0 (I 0 cos(θ))r 2 cos(θ)dφdθ = 2πR 2 I 0 π 4 (6) Tällöin siis tiettyyn heijastuskulmaan lähtevän valon intensiteetti on: I 0 (θ) = 4I tot 2π 2 R 2 (7)

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 6 / 37 1.1 Joitain hyödyllisiä yhtälöitä Kun valo taittuu tyhjiöstä väliaineeseen, sen etenemisnopeus pienenee. Väliaineen taitekerroin on itse asiassa määritelty siinä kulkevan valonsäteen etenemisnpeuden suhteena valon etenemisnopeuteen tyhjiössä: n = c v, (8) missä c on valon nopeus tyhjiössä ja v on valon nopeus väliaineessa. Aaltoliikkeen etenemisnopeuden, taajuuden ja aallonpituuden välillä on voimassa yhtälö: λ = v f (9) Tämä yhtälö on hyödyllinen siksi, että aaltoliikkeen taajuus säilyy taittumisessa. 1.2 Sateenkaari Sateenkaari muodostuu, kun valo taittuu sadepisaran pinnasta, heijastuu takaisin vastakkaiselta pinnalta ja taittuu takaisin ilmaan. Veden taitekerroin on jonkin verran aallonpituudesta riippuvainen. Siksi eri väriset valot taittuvat vähän eri kulmaan, jolloin valkoinen valo hajoaa spektriksi. Tämä on esitetty kuvassa (2). 2 Sironta Kun valokvantti, eli fotoni, törmää väliaineen molekyyleihin tai atomeihin, se voi luovuttaa energiansa väliaineeseen ja absorboitua. Samalla molekyyli virittyy korkeampienergiseen tilaan. Usein molekyyli palautuu takaisin normaalitilaan välittömästi ja vapauttaa fotonin, jonka energia on täsmälleen sama kuin absorboituneen fotonin. Tällöin fotoni näyttää vain törmänneen molekyyliin ja muuttaneen suuntaansa. Sanotaan että fotoni on sironnut vuorovaikuttaessaan väliaineen molekyylien kanssa. Sironnassa fotoni menettää suuntainformaationsa ja se jatkaa etenemistään käytännössä satunnaiseen suuntaan. Joskus väliaineeseen viritetty tila voi purkautua välitilan kautta, jolloin aine emittoi matalaenergisempiä fotoneita kuin mitä se absorboi. Esimerkiksi ihimisen ihoa

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 7 / 37 n i r n nn Kuva 2: Satenkaaren muodostuminen, kun valkoinen valo hajoaa spektriksi sadepisaroissa.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 8 / 37 valaistaessa näkymättömällä ultraviolettivalolla, ihon kollageeni fluerosoi näkyvää valoa. Jos väliaine ei luovutakkaan fotonia heti, vaan vasta lyhyen ajanhetken t kuluttua, puhutaan fosforenssista. Kun fosforoivaa ainetta valaistaan, ja valo sammutetaan, aine jää hehkumaan, kunnes valon aiheuttamat viritystilat ovat purkautuneet. Fosforenssi ja fluoresenssi ovat samanlaisia ilmiöitä, mutta fosforenssissa viritystilojen purkautumisaika on pidempi. Myös Raman-sironnassa siroavan fotonin energia ja siten myös aallonpituus on eri kuin absorboidun fotonin. Raman sironnassa molekyyli virityy virtuaalitilaan, josta se palautuu, mutta toiseen viritystilaan kuin missä se oli alunperin. Alkuperäisen ja jälkimmäisen varsinaisen viritystilan energiatasoista riippuu, emittoiko molekyyli alkuperäistä fotonia pienempi vai suurempienergisen fotonien (Stokes ja anti-stokes sironta). Raman sirontaa voidaan hyödyntää spektroskopian lisäksi esimerkiksi lämpötilamittauksissa (Distributed Temperature Sensing, DTS). Yliopistolla on geonergiatekniikan tutkimuksessa käytössään DTS mittalaite, jolla voidaan mitata lämpötila metrin välein, usean sadan metrin mittaisesta valokuidusta. 3 Diffuusi valaistus ja integroiva pallo Diffuusi = hajanainen, jäsentymätön, epäselvä, epätarkka. Diffuusi valokenttä, on sellainen jossa valonsäteitä tulee yhtä paljon joka suunnasta. Täysin diffuusia valokenttää on aika mahdoton saada aikaiseksi, muuten kuin ympäröimällä kohde pallomaisella lähes täydellisellä, ei-peilimäisellä heijastusmateriaalilla, ja laittamalla sen sisälle sekä valonlähde että kohde. Integroiva pallo on optinen komponentti, jolla pyritään muodostamaan lähes optimaalinen diffuusi valokenttä, kts kuva (3). 4 Diffuusi heijastus Valon käyttäytymissä sameassa väliaineessa, on esitetty kuvassa (4). Osa kohteeseen tulevasta valonsäteestä I 0 heijastuu takaisin I F. Tätä heijastusta kutsutaan peilimäiseksi heijastukseksi, mikäli kappaleen pinta on sileä, ja se noudattaa Snellin lakia. Yleisemmin pinnan taitekertoimien erosta johtuvaa heijastusta kutsutaan Fresenlin heijastukseksi. Osa valosta tunkeutuu kappaleeseen sisälle ja taittuu. Taittuneesta valosta edelleen osa, I T B läpäisee koko kappaleen ja taittuu

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 9 / 37 Sample Baffle Baffle Detector Absorber Detector Light source a) b) Kuva 3: Integroiva pallo ja kaksi mittausasetelmaa. Vasemmanpuoleisella mitataan näytteen valonläpäisevyyttä ja oikealla näytteen heijastavuutta. Jos halutaan mitata pelkästää diffuusia heijastusta, avataan integroivan pallon "musta aukko", jonne peilimäinen heijastus absorboidaan. taas ukoreunalla. Nämä säteet säilyttävät hyvin alkuperäiset suhteelliset suuntansa ja kuljettavat mukanaan alkuperäistä geometrista tietoa, eli kappaleesta näkyy läpi. Loput fotoneista törmäilevät kappaleen molekyyleihin ja muuttavat suuntaansa satunnaisesti. I SS on heti pinnan alta siroava valo (subsurface scattering), kun taas I DR on syvemmältä kappaleesta takaisin tulosuuntaansa siroavaa valoa (diffuse reflectance). I T D on kappaleen siroamalla läpäisevä valo. Kaikki sironneet fotonit menettävät suuntainformaation, joten ne eivät vie mukanaan kuvainformaatiota vaan ainoastaan valoa. D I I SS DR I TD IF I 0 I TB Kuva 4: Valon käyttäytyminen sameassa väliaineessa.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 10 / 37 I 0 I T Kuva 5: Valon läpäisy (transmission). 4.1 Absorbtio ja Beer-Lambertin laki Kun valo etenee väliaineessa, aineen molekyylit tai atomit toisinaan absorboivat fotoneja. Siksi vain osa valonsäteestä pääsee kohteen läpi: I T < I 0, ja osa absorboituu kohteeseen. Läpäisevän valonsäteen intensiteettiä suhteessa sisääntulevan säteen intensiteettiin kutsutaan läpäisevyydeksi (transmission, T). T = I T I 0 (10) Pierre Bouguer tutki 1800 luvulla, miten valo läpäisee noetettuja lasilevyjä. Hän huomasi että kun useita lasilevyjä laitettiin päällekkäin, ne eivät absorboineet absoluuttisesti yhtä paljoa valoa, vaan kukin niistä vähensi valon määrää yhtä monta prosenttia. Lambert ja Beer pukivat tämän myöhemmin kaavaksi, jota kutsutaan Beer-Lambertin laiksi: T = I I 0 = 10 µ al, (11) missä µ a on aineen absorbtiokerroin ja l on matka, jonka valo kulkee aineessa. Kaava saadaan monesti käyttökelpoisempaan muotoon, ottamalla molemmilta puolilta kymmenkantainen logaritmi: ( ) IT log 10 (T ) = log 10 = µ a l (12) I 0

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 11 / 37 Absortiokertoimen ja matkan tulo kertoo kuinka paljon tietty kohde absorboi valoa. Sitä kutsutaan kohteen absorbtioksi, ja sitä merkitään A:lla. A = µ a l = log 10 ( 1 T ) ( ) I0 = log 10 I T (13) Optiikasta absorbtiosta käytetään usein nimitystä optinen tiheys (optical density, OD). Ylläolevaa muotoa Beer-Lambertin laista käytetään yleisesti kemiassa ja optiikassa, mutta fysiikassa ja biologiassa käytetään yleensä luonnollista logaritmia 10-kantaisen logaritmin sijasta. Tällöin: A = µ al = ln ( ) ( ) 1 I0 = ln T I T (14) Kaavoissa esiintyvät A ja µ a ovat eri suuria kuin A ja µ a. Niiden välillä pätee: µ a = µ a ln(10) (15) ja A = Aln(10) (16) Esimerkki: Optisen suodattimen optinen tiheys on 2.0. Laske kuinka paljon 100 W:n säteilytehosta läpäisee suodattimen. Paljonko pääsee kahden peräkkäin asetetun suodattimen läpi? 4.2 Absorbtiospektroskopia Spektroskopia tarkoittaa sitä, että mitataan valon spektriä, eli valon eri aallonpituuksien intensiteettejä. Absorbtiospektroskopiassa verrataan kohteen läpäisseen valon spektriä siihen syötetyn valon spektriin. Läpimenneen valon spektristä ovat ne aallonpituudet vaimentuneet, joita kohde on absorboinut. Tarkastelemalla mitkä aallonpituudet ovat vaimentuneet ja kuinka paljon, voidaan tehdä päätelmiä siitä, mistä kemikaaleista

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 12 / 37 tutkittava aine koostuu ja mitkä ovat näiden aineiden konsentraatiot. Kohdetta voidaan valaista esimerkiksi näkyvällä valolla tai laajakaistaisella lähi-infrapunavalolla. Lähi-infrapunavaloa käytettäessä puhutaan lähi-infrapunaspektroskopiasta (near infrared spectroscopy, NIRS). NIRS:illä voidaan korvata monia ns. märkäkemian mittauksia yksinkertaisemmilla optisilla mittauksilla, jolloin teollisuuden proseseja voidaan tehostaa. Sairaaloissa ja verenluovutuksessa veren hemoglobiinipitoisuus mitataan optisesti absorbtiospektroskopialla. Sairaaloissa käytettävä pulssioksimetrilla mitataan veren happikylläisyys, ja sekin perustuu absorbtiospektroskopiaan. Omassa tutkimuksessani tein kuvauslaitteen, jolla valaistiin kuvattavaa kohdetta, tässä tapauksessa ihoa, vuorotellen eri värisillä ledeillä. Kamera otti kuvan kullakin aallonpituudella ja siirsi kuvat tietokoneelle käsiteltäväksi. Tietokoneohjelma laski ihon diffuusireflektanssin kullekkin kuvatulle aallonpituudelle. Reflektanssin perusteella laskettiin kuinka paljon ihossa oli hemoglobiinia, melaniinia ja happea. Diffuusireflektanssi syntyy valosta joka heijastuu takaisin käytyään ihon alta, jonne osa aallonpituuksista absorboituu. Siksi, reflektanssispektroskopia toimii samalla tavalla kuin absorbtiospektroskopiakin, tosin siihen liittyvä matematiikka on paljon mutkikkaampaa. Kuvauslaitteella tutkittavan ihon tärkeimpien pigmenttien absorbtiospektrit on esitetty kuvassa (7).

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 13 / 37 Kuva 6: Spektroskooppiseen valokuvaukseen kehitetty laite, Spectrocutometri

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 14 / 37 Absorbtion coefficient / AU 0.01 0.05 0.50 5.00 Melanin Oxyhaemoglobin Deoxyhaemoglobin Water 400 500 600 700 800 900 1000 Wavelength / nm Kuva 7: Ihon tärkeimpien pigmenttien absorbtiospektrit

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 15 / 37 5 Radiometria ja fotometria Radiometria tutkii säteilytehon, esimerkiksi valon, etenemistä. Fotometria tutkii samaa, mutta ottaen huomioon silmän herkkyyden eri aallonpituuksilla. Silmän tappisolujen taajuusvasteet on esitetty kuvassa (8) ja sauvasolujen kuvassa (9). Kuva 8: Silmän tappisolujen vasteet eri aallonpituuksille. By BenRG (Own work, Public domain), via Wikimedia Commons Kuva 9: Silmän tappisolujen ja sauvasolujen vasteet eri aallonpituuksille. via Wikimedia Commons Valon voimakkuutta voidaan kuvat sen koostavien sähkökentän ( E ) ja magneettikentän ( B ) avulla. Sähkömagneettisen kentän etenemissuunta voidaan kuvata ns.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 16 / 37 Poynting-vektorin avulla: S = 1 µ 0 E B (17) Sähkömagneettisen kentän intensiteetti on Poynting-vektorin keskiarvo: I = S av = 1 2 ε 0cE 2 max (18) Säteilytehoa kuvataan SI-järjestelmän mukaisesti suureella Φ, jonka yksikkö on watti, W. Säteilylähteen intensiteetillä tarkoitetaan säteilylähteen tiettyyn avaruuskulmaan, ω, säteilemää tehoa: I = dφ dω [W/sr] (19) Radianssi, L, tarkoittaa radiometrisen säteen sisältämää tehotiheyttä. Matemaattisesti se määritellään pinta-ala-alkion da, avaruuskulmaan dω säteilemää tehoa: L = d 2 Φ da cos(θ)dω [L] = W/(sr msi 2 ) (20) Irradianssi, E, kuvaa pinta-ala-alkiolle, A, puoliavaruudesta tulevaa säteilytehoa. E = dφ da [W/m 2 ] (21) Fotometriset suureet on painotettu silmän valoherkkyyden mukaan. Fotometrian perussuure on valovoima I v, jonka yksikkö on kandela (cd). Kandelalla tarkoitetaan sellaisen säteilijän valovoimaa, joka säteilee 555 nm aallonpitutta ilmassa säteilylähteen intensiteetillä I = 1/683 W/sr. Radiometrisesta säteilylähteen intensiteetistä I, huomioidaan valovoimaa, I v, laskettaessa vain ne aallonpituudet, jotka ihminen näkee, ja nekin silmän herkkyydellä painottaen. Sama koskee muitakin fotometrisiä suureita.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 17 / 37 Luumen (lm), on SI-järjestelmän mukainen valovirran, Φ v, yksikkö. Se on valon määrä, jonka valovoimaltaan 1 kandelan valonlähde säteilee steradiaanin avaruuskulmaan: tämä valon määrä lankeaa metrin päästä kartion pohjalle, jonka (pallomainen) pinta-ala on neliömetri. Radianssin vastine fotometriassa on Luminanssi L v, jonka yksikkö on kandelaa per neliömetri (cd/m 2 ) tai (lm/sr/m 2 ). Radiometriikan irradianssia vastaa fotometrian valaistusvoimakkuus: E v, jonka yksikkö on luxi (lx), tai lm/m 2 (luumenia per neliömetri). Radiometristen ja fotometristen suureiden vastaavuudet: Säteilyteho Φ (W) Valovirta Φ v (lumen) Irradianssi E (W/m 2 ) Valaistusvoimakkuus E v (lx) Säteilylähteen intensiteetti I (W/sr) Valovoima I v (cd) Radianssi L (W/sr/m 2 ) Luminanssi L v cd/m 2 6 Peilit 6.1 Merkintöjä Linssit ja peilit ovat optisia komponentteja, joiden avulla etäisyydellä s oleva kohde voidaan kuvata etäisyydelle s. Komponentista rippuen kuva voi olla kohdetta isompi tai pienempi tai samankokoinen. Laskennassa käytettäviä merkintöjä: Kohteen etäisyys, s. Positiivinen, jos kohde on samalla puolella heijastavaa tai taittavaa pintaa kuin tuleva valonsäde. Kuvan etäisyys, s. Positiivinen, jos kuva on samalla puolella heijastava tai taittavaa pintaa, kuin lähtevä valo. Peilin tai linssin pinnan kaarevuussäde, R, on positiivinen, jos kaarevuskeskipiste, C on samalla puolella kuin lähtevä valo. Polttopiste: Piste, jossa valonsäteet, tai niiden jatkeet kohtaavat, kun valo tulee optisen akselin suuntaisesti. 6.2 Tasopeili

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 18 / 37 P P Kuva 10: Kohde ja sen peilikuva tasopeilistä katsottuna.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 19 / 37 6.3 Kovera pallopeili Koveran pallopeilin polttopiste, C, sijaitsee kaikkialla kaarevuussäteen, R, etäisyydellä peilipinnasta. Koveran peilin polttopiste (Focal point), F, sijaitsee optisella akselilla, etäisyydellä, f = R/2, peilipinnasta. Etäisyyttä, f, kutsutaan myös polttoväliksi. Kohteen ja kuvan etäisyyksien välillä on voimassa yhtälö, jota kutsutaan Gaussin kuvauslaiksi: 1 s + 1 s = 1 f (22) Koveran peilin suurennos (suurennussuhde), m saadaan kaavasta: m = y y = s s, (23) missä y on kohteen korkeus ja y on kuvan korkeus. 6.4 Kupera pallopeili Gaussin kuvauslaki (22) ja peilin suurennos (23) pätevät myös kuperalle peilille. Kuperaan peiliin osuvat optisen akselin suuntaiset säteet eivät leikkaa, mutta niiden jatkeet leikkaavat peilin takana sijaitsevasssa polttopisteessä. Siksi peilin muodostama kuva on peilin takana (s < 0)) sijaitseva valekuva.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 20 / 37 C F R f a) P C f P b) C s s c) Kuva 11: Kuvaus koveralla peilillä. a) optisen akselin kanssa yhdensuuntaiset säteet leikkaavat polttopisteessä (s = ) b) pisteen kuvautuminen, c) kohteen kuvautuminen, kaarevuuskeskipisteen kautta kulkeva säde heijastuu suoraan takaisin ja leikkaa kuvan kohdalla optiselle akselille osuvan säteen kanssa

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 21 / 37 P P f C a) P P f C b) C s c) s Kuva 12: Kuvaus kuperalla peilillä. a) optisen akselin kanssa yhdensuuntaisten säteiden jatkeet leikkaavat polttopisteessä (s = ) b) pisteen kuvautuminen, c) kohteen kuvautuminen, kaarevuuskeskipisteeseen suuntautuva säde heijastuu suoraan takaisin ja sen jatke leikkaa kuavn kohdalla optiselle akselille osuvan säteen jatkeen kanssa

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 22 / 37 6.5 Paraboliset peilit Koverien ja kuperien pallopeilien oletettiin heijastavan optisen akselin suntaiset säteet polttopisteeseen. Todellisuudessa tämä on vain likimääräistys, joka pätee vain kun valonsäteet tulevat lähelle peilin keskipistettä. Mitä kauempana keskipisteestä ne tulevat, sitä kauempana polttopisteestä ne leikaavat. Tästä syntyvää poikkeamaa kutsutaan pallopoikkeamaksi. Teoriassa ainoa peilipinta, joka heijastaa optisen akselin suuntaiset valonsäteet tarkasti polttopisteeseen, on parabolinen pinta (3D pinta, jonka poikkileikkaus on parabeli). Paraboloidisen peilin valmistaminen on kuitenkin paljon hankalampaa kuin pallopeilin. Siksi pallopeilejä käytetään, vaikka ne eivät olekkaan ihan tarkkoja. Lue lisää Wikipediasta: http://fi.wikipedia.org/wiki/pallopoikkeama 7 Ohuet linssit Linssit ovat yleisiä optisia välineitä. Linssi on kahden valoa taittavan rajapinnan muodostama järjestelmä. Yksinkertaisimmillaan linssin rajapinnat ovat pallopinnan muotoiset ja niin lähellä toisiaan, että niiden välinen etäisyys voidaan jättää huomiotta. Tällainen linssiä kutsutaan ohueksi linssiksi. Linssin rajapinnat voivat olla kuperat, jolloin linssi on keskittävä linssi tai vastaavasti koverat, jolloin kyseessä on hajottava linssi. Linssin eri puolet voivat olla myös erilaisia: ensimmäinen puoli voi olla esimerkiksi kupera ja toinen kupera, kovera tai tasainen. Vastaavasti ensimmäisen puolen ollessa kovera, toinen puoli voi olla myös kovera tai kupera tai tasainen. Tällöin linssin kokonaisvaikutuksen kertoo ns. linssintekijän yhtälö: 1 f ( 1 = (n 1) 1 ), (24) R 1 R 2 Missä R 1 ja R 2 ovat valon tulo ja lähtöpuolen kaarevuussäteet, ja n on linssimateriaalin taitekerroin. Yhtälöä käytettäessä tulee muistaa kaarevuussäteiden merkkissäännöt, jotka on lueteltu ala-kappaleessa (6.1). Linssin polttoväl, f, määrittää linssin tehokkuuden. Mitä lyhempi polttoväli, sitä tehokkaampi linssi. Kokoaville linsseille polttoväli on positiivinen (optisen akselin suuntaiset säteet leikkaavat polttopisteessä) ja hajottaville linsseille polttoväli on negatiivinen (optisen akselin suuntaisten säteiden jatkeet leikkaavat polttopisteessä).

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 23 / 37 Joillakin aloilla linssin tehokkuutta kuvataan taittovoimakkuudella, D. Taittovoimakkuus on polttovälin käänteisluku, ja sen yksikkö on Dioptria. D = 1 f (25) Jos esimerkiksi silmälasien taittovoimakkuus, D = 2 dioptriaa, se tarkoittaa että niiden polttoväli, f = 1/D = 0.5 m. Polttoväli on negatiivinen, joten kyseessä on hajottava linssi, jolla korjataan likinäköisyyttä. Ihmisen silmän taittovoimakkuus on enimmillään noin 60 dioptriaa. 7.1 Linssilaskut Myös linssin kuvan sijainti lasketaan käyttäen Gaussin kuvauslakia: 1 s + 1 s = 1 f (26) Linssin suurennussuhde määritellään samoin kuin pallopeilienkin suurennussuhde: m = y y = s s (27) Jos kuvan sijainti, s, on eri puolella kuin optisesta komponentista lähtevä valo, kuva muodostuu säteiden jatkeista ja on siis valekuva. Jos suurennussuhde, m, on negatiivinen, kuva on väärinpäin. Jos suurennussuhteen itseisarvo on pienempi kuin yksi, kuva on pienempi kuin kohde. 7.2 Kupera linssi Suurentava linssi, kokoava linssi, jne.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 24 / 37 F 1 F 2 a) P F 2 F 1 P f f s s b) Kuva 13: Kuvaus kuperalla ohuella linssillä. a) optisen akselin kanssa yhdensuuntaiset säteet leikkaavat polttopisteessä (s = ) b) kohteen kuvautuminen, optisen akselin suuntainen säde taittuu polttopisteeseen ja linssin keskipisteen kautta kulkeva säde kulkee suoraviivaisesti. Siinä missä säteet leikkaavat, on kohteen kuva.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 25 / 37 7.3 Kovera linssi Pienentävä linssi, hajottava linssi, jne. F 2 F 1 a) P F 2 P F 1 fs f s b) Kuva 14: Kuvaus kuperalla ohuella linssillä. a) optisen akselin kanssa yhdensuuntaiset säteet leikkaavat polttopisteessä (s = ) b) kohteen kuvautuminen, optisen akselin suuntainen säde taittuu polttopisteeseen ja linssin keskipisteen kautta kulkeva säde kulkee suoraviivaisesti. Siinä missä säteet leikkaavat, on kohteen kuva. 7.4 Pallopoikkeama Myös linssien pallomaiset pinnat ovat vain likimääräistyksiä. Oikeasti linssin pinnan pitäisi myös olla paraboloidi, mutta sellainen on paljon kalliimpi valmistaa kuin pallomainen linssin pinta. Siksi monet linssit aiheuttavat pallopoikkeamaa, jonka seurauksena esimerkiksi kameran ottama kuva ei aina olekaan reunoilta yhtä terävä kuin keskeltä. Sellainen ei-pallomainen linssi, jossa pallopoikkeamaa on

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 26 / 37 vähennetty, kutsutaan äsfääriseksi linssiksi (engl. a-spherical), koska niiden rajapinnat eivät ole pallomaisia. 7.5 Väriaberraatio ja pallopoikkeama Puhtaasti yhdestä lasista tehty linssi taittaa eri allonpituuksia eri tavalla. Siksi sininen, vihreä ja punainen valokin taittuu eri tavalla, ja niillä kaikilla on teoriassa oma polttopisteensä. Tämän seurauksena eri värit saattavat fokusoitua eri tavalla esimerkiksi kameran linssille tai verkkokalvolle kiikaria käytettäessä. Tällaista poikkeamaa sanotaan väriaberraatioksi. Väriaberraatiota voidaan korjata valmistamalla linssi eri lasimateriaaleista, jotta poikkeamia voidaan minimoida. http://fi.wikipedia.org/wiki/v%c3%a4riaberraatio

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 27 / 37 8 Linssijärjestelmät 8.1 Kaukoputki F f O f E a) F f O f E b) Kuva 15: Kaukoputki: a) Galileon kaukoputki b) Keplerin kaukoputki, jossa äärettömän kaukaa tulevat valonsäteet taittuvat objektiivissa polttopisteeseen F. Samassa pisteessä on myös okulaarin polttopiste, joten se taittaa oman polttopisteensä kautta kulkevat valonsäteet yhdensuuntaisiksi. Kuvassa 15 on esitetty kaaviokuva Keplerin ja Galileon kaukoputkien toimintaperiaatteista. Kaukoputken tarkoituksena on tuottaa kaukanaolevasta kohteesta suurennettu kuva, mahdollisimman suurella valovoimalla. Yleensä kaukoputkella katsottava kohde on hyvin kaukana, lähes äärettömyydessä, joten kaukoputken uloin linssi, eli objektiivi, taittaa valon polttopisteeseensä. Silmää lähinnä olevan linssin, eli okulaarin tarkoituksena on taittaa valonsäteet takaisin yhdensuuntaisiksi, jotta levossa oleva (äärettömyyteen tarkennettu silmä) taittaisi valonsäteet mahdollisimman tarkasti verkkokalvolle. Galilein kaukoputkessa okulaari on hajottava linssi, jonka taaimmainen polttopiste on samassa pisteessä objektiivin polttopisteen kanssa. Keplerin kaukoputkessa okulaari on kokoava linssi, jonka etummainen polttopiste on samassa pisteessä objektiivin polttopisteen kanssa. Galilein kaukoputki tuottaa oikein päin olevan kuvan ja Keplerin kaukoputki nurinpäin olevan kuvan. Keplerin kaukoputkella saadaan kuitenkin isompi suurennos kuin Galilein kaukoputkella.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 28 / 37 Mikäli kohde on lähempänä kuin äärettömyydessä, valonsäteet siitä eivät tulekaan ihan yhdensuuntaisena objektiiville, ja siksi myös kuva syntyy vähän kauemmaksi kuin polttopiste. Tällöin kaukoputken tarkennusta (focus) joudutaan säätämään, viemälä okulaaria kauemmaksi objektiivista. Kaukoputken suurennus on suoraan verrannollinen objektiivin polttoväliin, f O, ja kääntäen verrannolinen okulaarin polttoväliin, f E : m = f O f E (28) Mitä isompi objektiivi kaukoputkessa on, sitä enemmän valoa se pystyy keräämään, ja sitä kirkkaammalta kuva näyttää. Isoa objektiivia tarvitaan varsinkin hämärässä. Optimaalinen okulaarin koko on samaa luokkaa silmän pupillin koon kanssa. Pupilli on laajimmillaan noin 7 mm ja suppeimmillaan valoisassa noin 3 mm. Pupillia suurempi okulaari ei paranna kuvan laatua, mutta helpottaa silmän kohdistamista kaukoputkeen. Wikipedian artikkelissa on paljon lisätietoa linssikaukoputkista ja erilaisista okulaareista: http://en.wikipedia.org/wiki/refracting_telescope http://fi.wikipedia.org/wiki/okulaari. Huygensin okulaarissa on kaksi tasokuperaa linssiä. Niiden ansiosta voidaan kompensoida linssien akromaattisuutta (sitä että ne taittavat eri väristä valoa eri tavalla). Newtonin kaukoputkessa on objektiivin sijasta kovera peili. Kuva heijastetaan pääputken sivusta olevasta aukosta apupeilillä putken sivulle. Okulaari on linssi niin kuin linssikaukoputkessakin. Peili heijastaa kaikenväristä valoa samalla tavalla, joten sillä ei ole akromaattisuusongelmaa. Toisissa peilikaukoputkissa valo voidaan heijastaa erilaisilla apupeileillä okulaariin. http://en.wikipedia.org/wiki/reflecting_telescope Tähtikaukoputkia voi hankkia esimerkiski tähtitieteelliseltä yhdistykseltä, UR- SA:lta: http://www.ursa.fi/kaukoputket/kaukoputkikauppa.html. Kiikari toimii samalla periaatteella kuin linssikaukoputkikin, mutta siinä on oma "kaukoputki"kummallekkin silmälle. Polttoväli on saatu laskostettua lyhyeen putkeen kaksois-porro-prismojen tai kattoprismojen avulla. Samalla prismat myös kääntävät ylösalaisin olevan kuvan oikeankätiseksi. Joissain kiikareissa käytetään ns. kattoprismoja, jolloin objektiivi ja okulaari voivat sijaita samalla akselilla, ja kiikarista saadaan pienikokoisempi. Kiikarin keskeisimät optiset ominaisuudet ovat suurennus, objektiivin koko ja näkökentän laajuus. Ne voidaan ilmaista esimerkiksi muodossa 8x40, 133 m AT 1000 m. Sillä tarkoitetaan, että kiikarin suurennos on kahdeksankertainen, objektiivin koko on 40 mm, ja näkökentän leveys

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 29 / 37 on 133 metriä 1000 metrin etäisyydellä, eli noin 7,6 astetta eli 0,018 steradiaania. http://en.wikipedia.org/wiki/porro_prism http://en.wikipedia.org/wiki/binoculars 8.2 Kulma, avaruuskulma ja valovoima Erotetaan r-säteisen ympyrän kaaresta pätkä, jonka pituus on s, alla olevan kuvan mukaisesti. Tällöin kulman phi suuruus radiaaneina on: φ = s r (29) φ r s Vastaavasti avaruuskulman Ω suuruus on määritelty kyseisen kulman pallon pinnalta leikkaamaan pinta-alan suhteena säteen neliöön: Ω = A R 2 (30) Optiikan valovoimaa kuvataan f-numerolla. F-numero, N, on polttovälin, f, suhde objektiivin halkaisijaan, D: N = f D (31) Koska objektiivin halkaisijan määrittämä pinta-ala A = πd 2 /4 ja polttoväli, f, vastaa sädettä, niin f-luvun käänteisluvun neliö on suoraan verrannollinen avaruuskulmaan: Ω = A R 2 = πd2 /4 f 2 = π D 2 4 f 2 = π ( ) 1 2 (32) 4 N

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 30 / 37 Mitä pienempi f-luku on, sitä suurempi on optiikan valovoima. http://en.wikipedia.org/wiki/f-number 9 Optiset sensorit 9.1 Charge Coupled Device, CCD http://en.wikipedia.org/wiki/charge-coupled_device 9.2 Complementary Metal Oxide Semconductor -kenno (CMOS) http://en.wikipedia.org/wiki/active_pixel_sensor 9.3 Kvanttitehokkuus ja kohina 9.4 Sovellusesimerkki http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2336497 Luxeon R LED 10 Interferenssi Valo on sähkömagneettista säteilyä, joka vaihtelee sekä ajan että paikan funktiona. Kun kaksi tai useampi aaltoliike yhdistyvät, niiden yhteisvaikutus saadaan summaamalla kunkin aaltoliikkeen vaikutukset yhteen. Yhden sinimuotoisen aaltoliikkeen aiheuttaman poikkeaman tasapainopisteestä, kohdassa, x, ajan hetkellä, t, tasapainopisteestä ilmoittaa aaltofunktio: y(x,t) = Asin(ωt kx) (33) Superpositioperiaatteen mukaan, kahden aaltofunktion yhteisvaikutus kohdassa, x, on: y i (x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t) (34)

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 31 / 37 Tätä yhteisvaikutusta kutsutaan interferenssiksi. Interferenssi voi tapahtua myös useamman kuin kahden aaltofunktion tuloksena. Interferenssille pätee: Kun aaltoliike kohtaa väliaineen reunan se heijastuu. Jos heijastuminen tapahtuu kiinteämmän (optisesti tiheämmän) aineen rajapinnasta, aaltoliike heijastuu vastakkaisvaiheisena (λ/2 vaihe- siirto). Jos heijastuminen tapahtuu väliainetta harvemmasta aineesta (optisesti harvemman aineen rajapinnasta), heijastuminen tapahtuu samanvaiheisena (ei vaihesiirtoa). Kahden aaltoliikkeen yhteisvaikutus saadaan laskemalla niiden aaltofunktiot yhteen (superpositioperiaate). Aallot eivät kuitenkaan vaikuta toisiinsa, vaan kumpikin etenee toisistaan riippumatta, ja jatkaa matkaansa ohitettuaan toisensa. 10.1 Koherentin lähteen interferenssi 1 Vihreä valo (λ=550 nm) ajan funktiona 0.5 Amplitudi 0-0.5-1 0 2 4 6 8 10 Aika / ps Kuva 16: Valon amplitudi ajan funktiona.

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 32 / 37 Valonlähde voi tuottaa samanaikaisesti monia eri aallonpituuksi (moniväristä valoa). Esimerkiksi hehkulamppu tuottaa valkoista valoa, joka koostuu eri aallonpituuksien jatkumosta. Sellaista valoa, jossa on vain yhtä aallonpituutta (väriä) kutsutaan koherentiksi valoksi. Koherenttia valoa tuottavaa valonlähdettä kutsutaan vastaavasti koherentiksi lähteeksi. Koherentteja lähteitä ovat esimerkiksi LA- SER:it. LED:it voivat olla kapeakaistaisi, mutta eivät koherentteja, LASER-diodeja lukuunottamatta. Koherenttien aaltojen interferenssissä voi syntyy mielenkiintoisia erikoistapauksia silloin kun aallot ovat täsmälleen samanvaiheisia (vaihesiirto φ = 0) tai täsmälleen vastakkaisvaiheisia (φ = λ/2). Samanvaiheisten aaltojen maksimit ja minimit vahvistavat toisiaan. Kun aallot vahvistavat toisiaan, puhutaan vahvistavasta interferenssistä (constructive interference). Kun ne taas heikentävät toisiaan, puhutaan heikentävästä interferenssistä (destructive interference). y i (x,t) = A 1 sin(ωt kx) + A 2 sin(ωt + kx) = (A 1 + A 2 )sin(ωt + kx) (35) 2 1.5 1 Kahden koherentin lähteen interferenssi Lähde A Lähde B, vaihesiito=π A+B A+A 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Etäisyys / µ m Kuva 17: Koherenttien aaltofunktioiden vahvistava ja heikentävä interferenssi Lisätietoa interferenssistä voi lukea Wikipdediasta: http://en.wikipedia.org/ wiki/interference_%28wave_propagation%29

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 33 / 37 2 1.5 1 Kahden eritaajuisen (550 ja 560 nm) lähteen interferenssi Lähde A Lähde B A+B 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 1 2 3 4 5 Etäisyys / µ m Kuva 18: Eritaajuisten aaltofunktioiden interferenssi (huojunta). 10.2 Michelsonin interferometri Interferenssiä voidaan hyödyntää monenlaisissa mittauksissa. Esimerkkinä voit lukea lisätietoa Micheslosin interferometrista, jota käytetään esimerkiksi optisessa koherenssitomografiassa (Optical Coherence Tomography, OCT). http://en. wikipedia.org/wiki/michelson_interferometer

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 34 / 37 10.3 Heijastamattomat ja heijastavat pinnoitteet Usein optisten komponenttien pinnalta tapahtuvat heijastukset ovat epätoivottuja. Esimerkiksi kiikarin tai kameran optiikan linssien pinnoilta tapahtuvat heijastukset aiheuttavat häiriöitä kuvaan. Toisinaan taas heijastusta halutaan voimistaa, kuten esimerkisi yksisuuntaisten ikkunoiden, optisten suodattimien tai vaikka peiliaurinkolasien kohdalla. Heijastamattomia ja erityisen heijastavia pintoja saadaan tehtyä päällystämällä optiikan pinnat sopivilla kalvoilla. Heijastamattoman pinnan tapauksessa optisen komponentin pinta päällystetään ohuella kalvolla, jonka heijastuskerroin on lasia pienempi. Tuleva valonsäde heijastuu ensiksi kalvon ulkopinnalta. Heijastuvan säteen vaiheeseen syntyy λ/2:n vaihesiirto, koska heijastuminen tapahtuu optisesti tiheämmän aineen rajapinnalta. Kun sitten valo läpäisee kalvon, se heijastuu myös λ/2:n vaihesiirrossa, koska myöskin kalvon ja lasin välinen rajapinnalla tullaan optisesti tiheämpään aineeseen. Jos kalvon paksuus on λ/4, ja heijastuva valo joutuu läpäisemään sen kahdesti, kalvon kummaltakin rajapinnalta heijastuvien aaltojen vaihesiirto on λ/2, jolloin tapahtuu heikentävä interferenssi, ja heijastuneen valon kokonaisintensiteetti vähenee. Tällä tavalla voidaan esimerkiksi ilman ja lasin välinen heijastus vähentää noin 5%:sta noin 1%:iin. Jos taas kalvon taitekerroin onkin lasia suurempi, jälkimmäisessä heijastumisessa ei tapahdukkaan vaihesiirtoa, mutta koska valo joutuu kulkemaan kaksi kertaa λ/4 paksuisen kalvon läpi, siihen tulee kuitenkin sama λ/2:n vaihesiirto, mikä tapahtui kalvon ulkoreunan heijastuksessa. Tällöin eri kerroksista heijastuneet säteet interferoivat vahvistavasti, ja heijastuksen intensiteetti kasvaa. Lue lisää heijastuksia vaimentavista pinnoitteista Wikipediasta: http://en.wikipedia.org/wiki/anti-reflective_coating Optisten pinnoitteiden laskuohjelma: http://www.calctool.org/calc/phys/optics/thin_film Loistava dokumentti optisista pinnoitteista: http://www.cvimellesgriot.com/products/documents/technicalguide/ Optical-Coatings.pdf 11 Diffraktio Diffraktiolla tarkoitetaan Huygeneen periaatteen seurausta, jossa valo taittuu esteen taakse. Huygeneen periaatteen mukaanhan jokainen aaltorintaman piste on uuden aaltorintaman syntypiste. Eri pisteistä lähtevät uudet aaltoliikkeet kohtaavat toisensa vaihesiirrossa ja interferoivat keskenään. Tällöin syntyy alueita joissa

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 35 / 37 vallitsee vahvistava interferenssi ja alueita joissa vallitsee heikentävä interferenssi. Diffraktiota tapahtuu kokoa ajan, mutta monet tekijät peittävät sen alleen usein arkielämässä. Diffraktio saadaan hyvin esiin sopivilla koejärjestelyillä, joita ovat esimerkiksi: Monokromaattisen valon interferenssi yksinkertaisessa tai kaksoisraossa (double slit). Monokromaattisen valon interferenssi hilassa (optical grading) Kiinteän kohteen aiheuttaman varjokuvan reunan nauhoittuminen (fringing). Pyöreän aukon kautta kulkevan valon muodostaman varjon reunan nauhoittuminen. Diffraktion vuoksi optisen järjestelmän piirtämä kuva pehmenee, eikä kaikkein pienimpiä kohteita pysty näkemään tarkasti. Pyöreän aukon diffraktiolle on määritetty yhtälö: sin(θ 1 ) = 1.22 λ D (36) Lue lisää Wikipediasta: http://en.wikipedia.org/wiki/angular_resolution. 11.1 Esimerkki: Kameran linssin erottelykyky Kamera, jonka f-luku on f/2 ja polttoväli on 50 mm, muodostaa kuvan 9.0 metrin päässä sijaitsevasta kohteesta. Lasketaan mikä on diffraktion puolesta pienin kohde, joka voidaan vielä havaita. Kaavan (31) perusteella objektiivin koko on: D = f N = 50 mm 2 = 25 mm (37) Sijoitetaan kaavaan (36): ( θ 1 = arcsin 1.22 λ ) ( = arcsin 1.22 500 ) 10 9 m D 25 10 3 2.44 10 5 (rad)(38) m

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 36 / 37 Erottelukyky millimetreinä: y s = θ 1 (39) y = sθ 1 = 9.0 m 2.44 10 5 = 0.22 mm (40) Jos aukkoa pienennetään, niin että f-luku on 16, niin kuinka käy diffraktion rajoittama erottelykyvyn? Lasketaan uusi objektiivin koko: D = f N = 50 mm 16 = 3.125 mm (41) ( θ 1 = arcsin 1.22 λ ) ( = arcsin 1.22 500 ) 10 9 m D 3.125 10 3 1.95 10 4 (rad)(42) m Tällöin suurin erottelukyky on: y = sθ 1 = 9.0 m 1.95 10 4 1.8 mm (43) Kun aukkoa pienennettiin kahdeksasosaan, diffraktion aiheuttama epäterävyys kasvoi, ja erottelukyky huononi. Nyt voidaan havaita enää vain kahdeksan kertaa isompia kohteita. 12 Muita ilmiöitä ja kokeita 12.1 Youngin koe Diffraktio ohuessa raossa tai kaksoisraossa. slit http://en.wikipedia.org/wiki/double-slit_experiment http://en.wikipedia.org/wiki/young%27s_interference_experiment

FYSI.1040 Fysiikan perusteet III / Optiikka 37 / 37 13 Hila Diffractive grating http://en.wikipedia.org/wiki/diffraction_grating http://www.oceanoptics.com/products/benchoptions_hr.asp