Optiikkaa. () 10. syyskuuta / 66

Transkriptio

1 Optiikkaa Kaukoputki on oikeastaan varsin yksinkertainen optinen laite. Siihen liitettävissä mittalaitteissa on myös optiikkaa, joskus varsin mutkikastakin. Vaikka havaitsijan ei tarvitsekaan tietää, miten optisia laitteita suunnitellaan, hänen on kuitenkin hyvä tietää, millaisia ongelmia ja rajoituksia ne voivat aiheuttaa havaintojen tarkkuudelle. Tässä kertaamme hieman optiikan perus-asioita. Erilaisia teleskooppeja ja niiden teknisiä ratkaisuja käsitellään myöhemmin. () 10. syyskuuta / 66

2 Geometrista optiikkaa Jos valon ajatellaan koostuvan hiukkasista, tuntuu luonnolliselta, että se etenee homogeenisessa väliaineessa suoraviivaisesti ja mahdollisesti muuttaa suuntaansa kohdatessaan väliaineiden rajapinnan. Tällä hiukkasmallilla voidaan selittää monien optisten laitteiden kuten linssien ja peilien toiminta. Suoraviivaisesti etenevien äärettömän ohuiden valonsäteiden seuraaminen palautuu geometriseksi ongelmaksi, ja niinpä tällaista optiikkaa sanotaankin geometriseksi optiikaksi. Sen oletuksena on, että optisen laitteen kaikki mitat ovat hyvin paljon valon aallonpituutta suurempia. Geometrinen optiikka on vain likimääräinen teoria, eikä selitä kaikkia ilmiöitä. Sitä on kuitenkin hyvin paljon helpompi käyttää kuin valon aaltoliikkeeseen perustuvaa teoriaa, jota tarkastelemme lyhyesti myöhemmin. () 10. syyskuuta / 66

3 Taitekerroin Väliaineen optisia ominaisuuksia kuvaa sen taitekerroin n. Valon nopeus väliaineessa on v = c/n, missä c on valon nopeus tyhjiössä, c = m/s. Tyhjiön taitekerroin on n 0 = 1 ja muiden aineiden taitekertoimet ykköstä suurempia. Valo etenee siis väliaineessa aina hitaammin kuin tyhjiössä avaruudessa. () 10. syyskuuta / 66

4 Taitekerroin riippuu hieman aallonpituudesta. Tämä aiheuttaa dispersiota: väliaineessa eri aallonpituudet etenevät eri nopeuksilla. Taitekerroin kasvaa aallonpituuden lyhentyessä joten sininen valo etenee hitaammin kuin punainen. n T = 30 C, P = 1050 hpa T = 0 C, P = 1013 hpa T = +30 C, P = 950 hpa violetti keltainen punainen aallonpituus [nm] Ilman taitekerroin kasvaa lyhyitä aallonpituuksia kohti. Lisäksi se riippuu ilman tiheydestä ja siten paineesta ja lämpötilasta. () 10. syyskuuta / 66

5 Peruslait Koko geometrinen optiikka voidaan johtaa Pierre de Fermat n ( ) esittämästä ääriarvoperiaatteesta: Valo noudattaa aina reittiä, jota pitkin matkaan kuluva aika on lyhin mahdollinen. () 10. syyskuuta / 66

6 Kun valonsäde kohtaa kahden erilaisen aineen rajapinnan, se jakautuu kahtia: osa valosta heijastuu ja osa taittuu. Valon kulkusuunta ilmoitetaan tavallisesti suhteessa rajapinnan normaaliin Normaalin n ja tulevan säteen välinen kulma θ 1 on tulokulma, normaalin ja heijastuneen säteen välinen kulma φ on heijastuskulma, ja taittuneen säteen ja normaalin välinen kulma θ 2 on taittumiskulma. n θ 1 φ n 1 n 2 θ 2 () 10. syyskuuta / 66

7 Fermat n periaatteen avulla voidaan johtaa seuraavat valon heijastumista ja taittumista koskevat lait: Snellin laki ja heijastuslaki φ = θ 1 (heijastuslaki) n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (Snellinlaki), missä n 1 ja n 2 ovat väliaineiden taitekertoimet. Jos Snellin laissa sin θ 1 = n 2 /n 1, on θ 2 = 90 deg, joten taittuva valonsäde kulkee pitkin väliaineiden rajapintaa. Vielä suuremmilla tulokulman arvoilla taittunut valonsäde katoaa ja rajapinta toimii täydellisen peilin tavoin. Ilmiötä kutsutaan kokonaisheijastukseksi. Kokonaisheijastus on mahdollinen vain, kun n 2 < n 1 eli valo tulee tiheämmästä aineesta harvempaan. Kokonaisheijastusta käytetään hyväksi joissakin optisissa elementeissä kuten prismoissa. () 10. syyskuuta / 66

8 Peilit Havaintovälineissä käytettävät peilit on hopeoitu tai aluminoitu etupuolelta, joten valo ei lainkaan kulje lasin läpi. Valonsäteen kulku peilissä voidaan siten laskea pelkän heijastuslain avulla. Optisen akselin suuntainen valonsäde osuu koveraan peiliin. Missä kohtaa peilistä heijastunut valonsäde kulkee optisen akselin poikki? y α α y = f (x) α α α u x d () 10. syyskuuta / 66

9 Olkoon peilin poikkileikkaus xy-tasossa y = f (x). Kuvassa ylhäältä tuleva valonsäde kohtaa peilin pisteessä (d, f (d)). Sekä saapuva että heijastuva säde muodostavat kulman α pinnan normaalin kanssa. Kuvasta nähdään, että heijastuvan säteen suunta muodostaa x-akselin kanssa kulman u = 90 deg 2α. Kulma α puolestaan saadaan ehdosta tan α = f (d). () 10. syyskuuta / 66

10 Siten tan u = tan(90 deg 2α) = 1 tan 2α = 1 tan2 α 2 tan α = 1 f (d) 2 2f. (d) Heijastunut säde etenee pitkin suoraa, jonka kulmakerroin on tan u ja yhtälö siis Tämä leikkaa y-akselin pisteessä y f (d) = 1 f (d) 2 2f (x d). (d) y = f (d) + d 1 f (d) 2 2f. (d) Jos peilin pinta on paraboloidi, on f (x) = Ax 2 ja f (x) = 2Ax, missä A on vakio, joten y = Ad 2 + d 1 4A2 d 2 = 1 4Ad 4A. () 10. syyskuuta / 66

11 Tämä on riippumaton etäisyydestä d, joten kaikki optisen akselin suuntaiset säteet leikkaavat samassa polttopisteessä joka on etäisyydellä 1/4A peilistä. Muista suunnista tuleville säteille näin ei kuitenkaan käy. Kovera peili toimii kuperan linssin tavoin ja kokoaa tulevan valon polttotasoon. Esimerkissä osoitettiin, että kaikki optisen akselin suuntaiset säteet heijastuvat samaan polttopisteeseen, kun peilin pinta on paraboloidi. Muunlaisille pinnan muodoille tämä ei yleensä pidä paikkaansa. () 10. syyskuuta / 66

12 Linssissä valo taittuu kulkiessaan kahdesti lasin ja ilman rajapinnan läpi. Valonsäteen kulku voidaan laskea taittumislain avulla. Positiivinen (kupera) linssi muodostaa kohteesta polttotasoon kuvan, joka voidaan vaikkapa valokuvata asettamalla filmi polttoasoon. Kuva muodostuu sitä kauemmas linssistä mitä lähempänä kohde on. Mikäli a on kohteen etäisyys linssistä ja b kuvan etäisyys linssistä on voimassa yhtälö 1 a + 1 b = 1 f missä f on linssin polttoväli. Tähtitieteessä kohteet ovat aina "äärettömän"kaukana, jolloin kuvan etäisyys linssistä on sama kuin linssin polttoväli. () 10. syyskuuta / 66

13 f f sininen punainen Kupera (konveksi) eli positiivinen linssi muodostaa kaukaisesta kohteesta kuvan polttotasoon. Kovera (konkaavi) eli negatiivinen linssi ei muodosta kuvaa. Valonsäteet näyttävät tulevan tietystä pisteestä linssin takaa, ja tämän pisteen etäisyyttä linssistä voidaan pitää linssin polttovälinä. Eri aallonpituudet taittuvat linssissä eri tavoin, joten polttoväli on hieman erilainen eri väreille. Myöhemmin kuvausvirheiden yhteydessä kerrotaan, miten tämä voidaan korjata. () 10. syyskuuta / 66

14 Aalto-optiikkaa Kun valon kulkutiellä on elementtejä, joiden mitat ovat samaa suuruusluokkaa kuin valon aallonpituus, geometrista optiikkaa ei voi enään käyttää. Sellaisia ovat esimerkiksi hyvin ohut kalvo tai tiheään uurrettu hila. Myös suurikokoinen objektiivi muuttaa tähden kuvaa tavalla, jota geometrinen optiikka ei pysty selittämään. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, jossa sähkäkenttä E ja magneettikenttä B värähtelevät toisiaan vastaan kohtisuorissa tasoissa. Yleisessä tapauksessa sähkökenttä on E = E 0 exp[i(k r ωt)] missä k on säteilyn etenemissuuntaan osoittava vektori ja ω värähtelyn kulmanopeus. () 10. syyskuuta / 66

15 Yksinkertaistetaan tilannetta olettamalla, että säteily tulee havaitsijaa kohti. Säteilyn sähkökenttää esittävä sähkövektori voidaan jakaa kahteen komponenttiin: E x = E 1 cos(ωt) E y = E 2 cos(ωt + δ), y E y E y E E x x E k z x () 10. syyskuuta / 66

16 Yleisessä muodossaan tämä esittää elliptisesti polarisoitunutta valoa: Sähkövektori piirtää ellipsin xy-tasossa. Mikäli δ = 90 deg ja E 1 = E 2, saadaan ympyräpolarisoitunutta valoa. Mikäli δ = 0 deg, valo on lineaarisesti polarisoitunutta. a) y b) y c) y E θ E E θ β x x x () 10. syyskuuta / 66

17 Stokesin parametrit Yleisessä tapauksessa sähkömagneettinen säteily voidaan jakaa kahteen komponenttiin, täysin polarisoitumattomaan komponenttiin (ns.luonnolliseen valoon), jonka intensitetti on I (1 P E ) ja täysin elliptisesti polarisoituneeseen komponenttiin, jonka intensiteetti on IP E, missä I on säteilyn kokonaisintensiteetti ja P E on polarisaatioaste (0 P E 1). () 10. syyskuuta / 66

18 Polarisoituneen valon sähkövektori piirtää taivaalla ellipsiä, jonka positiokulma θ määritellään ellipsin isoakselin ja pohjoisen väliseksi kulmaksi. Polarisoitunutta valoa kuvataan usein Stokesin parametrien avulla. Ne määritellään seuraavasti: I = intensiteetti, Q = IP E cos 2β cos 2θ = IP cos 2θ, U = IP E cos 2β sin 2θ = IP sin 2θ, V = IP E sin 2β = IP V, missä P = P E cos 2β on lineaarinen polarisaatioaste (0 P 1; ilmoitetaan yleensä prosentteina) ja P V = P E sin 2β ympyräpolarisaatioaste; tan β = b/a, missä a ja b ovat polarisaatioellipsin iso- ja pikkuakselit. Jos P V > 0, sanotaan, että valo on oikeakätisesti ympyräpolarisoitunutta; jos P V < 0, valo on vasenkätisesti ympyräpolarisoitunutta, () 10. syyskuuta / 66

19 Stokesin parametreilla voidaan siis kuvata osittain polarisoituneen kohteen tilaa. Yleensä astrofysiikassa P V = 0 ja polarisaatiolla tarkoitetaan lineaarista polarisaatiota. Huomaa myös, että IP E = (Q 2 + U 2 + V 2 ) 1/2. () 10. syyskuuta / 66

20 Määritelmistä nähdään, että P = (Q2 + U 2 ) 1/2 I θ = 1/2 arctan U Q P V = V I Usein merkitään myös P x = Q/I = P cos 2θ P y = U/I = P sin 2θ () 10. syyskuuta / 66

21 Lineaarisesti polarisoituneen kohteen tilaa voidaan kuvata P x P y - tasossa. P y P 2θ P x () 10. syyskuuta / 66

22 () 10. syyskuuta / 66

23 Stokesin parametreista muodostettu nelikko (I, Q, U, V ) on Stokesin vektori. Jos esimerkiksi kaksoistähden komponenttien säteilyä kuvaavat Stokesin vektorit ovat S 1 ja S 2, koko tähden säteilyä esittävä Stokesin vektori on näiden vektorisumma. Stokesin vektori antaa sähkömagneettisesta säteilystä muuten täydellisen kuvauksen, mutta ei ota huomioon aaltoliikkeen vaihetta. Kun valonsäde kohtaa jonkin optisen elementin, sen Stokesin vektori muuntuu tietyllä tavalla. Näitä muunnoksia voidaan kuvata Müllerin matriiseilla. Kun geometrisen optiikan avulla seurataan valonsädettä johon lisäksi liitetän Stokesin vektori, voidaan laskea myös säteilyn voimakkuus ja polarisaatio. () 10. syyskuuta / 66

24 Toinen formalismi, Jonesin vektorit ja niiden muunnoksia esittävät Jonesin matriisit, ottaa huomioon myös säteilyn vaiheen. Jonesin vektori kuvaa säteilyn sähkövektoria. Esitystapa soveltuu vain polarisoituneelle säteilylle. Edellä todettiin, että geometrisen optiikan avulla on mahdotonta päätellä, kuinka suuri osa säteilytehosta menee taittuneeseen ja heijastuneeseen säteeseen. Aalto-optiikan avulla voidaan laskea, miten intensiteetti jakautuu väliaineiden rajapinnalla. () 10. syyskuuta / 66

25 Fresnelin kaavat E E E θ 1 E θ 2 E E Saapuvaa säteilyä vastaa sähkökenttä, jonka heijastavan pinnan suuntainen komponentti on E ja tätä vastaan kohtisuora komponentti E. Heijastuneen säteilyn vastaavat suureet ovat E ja E ja taittuneen E ja E. Pilkulliset suureet voidaan laskea pilkuttomista Fresnelin kertoimien avulla: E = E R, E = E R, E = E T, () 10. syyskuuta / 66

26 missä heijastus- ja transmissiokertoimet ovat R = n 2 cos θ 1 n 1 cos θ 2 n 1 cos θ 2 + n 2 cos θ 1, R = n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 2 n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2, T = T = 2n 1 cos θ 1 n 1 cos θ 2 + n 2 cos θ 1, 2n 1 cos θ 1 n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2. () 10. syyskuuta / 66

27 Saapuvan säteilyn intensiteetti on I = E 2 + E 2, heijastuvan I = (E )2 + (E )2 ja taittuvan I = (E )2 + (E )2. Jos saapuva säteily on polarisoitumatonta, on E = E, joten r = I /I = 1/2(R 2 + R2 ). Snellin kaavan avulla voidaan kertoimien lausekkeista eliminoida taittuneen säteilyn suunta: sin θ 1 = n sin θ 2 eli cos θ 2 = n 2 sin 2 θ 1 /n, missä n = n 2 /n 1. Heijastunut säteily on polarisoitunutta; polarisaatioaste riippuu tulokulmasta θ 1. Kerroin R häviää kun cos θ 1 = 1/ n eli tan θ 1 = n, mikä tunnetaan Brewsterin ehtona. Tällöin heijastunut säteily on täydellisesti polarisoitunutta. () 10. syyskuuta / 66

28 Interferenssi Valoa kuvaa oleellisesti sähkövektori. Kun kaksi valonsädettä vuorovaikuttaa, on laskettava yhteen niiden sähkövektorit, ei vuontiheyksiä. Jos kahden säteen vaihe-ero muuttuu vain hitaasti, nähdään valoaaltojen interferenssikuvio. Atomien laukeamisesta syntyvä valo tulee kuitenkin hyvin lyhyinä pulsseina, joiden vaiheet vaihtelevat satunnaisesti. Niinpä interferenssikuviot muuttuvat niin nopeasti, ettei niitä juuri voi havaita. Tilanne on toinen, jos samasta kohteesta tuleva säde jakautuu kahtia ja vuorovaikuttaa itsensä kanssa. Silloin vaihe-ero pysyy vakiona niin kauan, että interferenssi voidaan havaita. Interferenssi-ilmiötä käytetään optiikassa hyväksi mm. kalvopinnoitteissa ja interferenssisuotimissa. () 10. syyskuuta / 66

29 Diffraktio Kun valo tulee kohteesta kaukoputken objektiivin tai muun aukon lävitse vaikkapa valokuvausfilmille, se voi kulkea äärettömän monta eri reittiä. Matkat näitä reittejä pitkin ovat erilaiset, joten eri teitä kulkeneet säteet tulevat perille hieman eri vaiheissa. Vaiheista riippuen säteet voivat vahvistaa tai heikentää toisiaan. Säteilyn määrä tietyssä pisteessä saadaan laskemalla yhteen kaikkia eri reittejä kulkeneiden säteiden amplitudit. Yleisessä tapauksessa saatava säteilyn jakauma tunnetaan Fresnelin diffraktiona. () 10. syyskuuta / 66

30 Fresnelin diffraktio johtaa melko työläisiin laskuihin. Jos kohde ja kuvataso ovat äärettömän kaukana diffraktiota aiheuttavasta aukosta, eri reittien pituudet poikkeavat toisistaan vain vähän. Silloin puhutaan Fraunhoferin diffraktiosta, jonka matematiikka on huomattavasti yksinkertaisempaa. Käytännössä esimerkiksi kaukoputken erotuskyky lasketaan juuri Fraunhoferin diffraktion avulla. Aukon aiheuttama diffraktio voidaan laskea alkeismatematiikallakin. Menetelmä on kuitenkin hankala, jos aukon muoto on mutkikas. Voidaan kuitenkin osoittaa, että diffraktiokuvio saadaan aukon Fourier n muunnoksen avulla. Muunnoksen laskemiseen taas on tehokkaita numeerisia menetelmiä () 10. syyskuuta / 66

31 a a 2 1 F hav. I a x u u Rakoa kuvaavan funktion (vas.) Fourier n muunnos on sinc-funktio (keskellä). Raon diffraktiokuvio on Fourier n muunnoksen amplitudi (oik.). Esimerkiksi äärettömän pitkää rakoa voidaan kuvata funktiolla rect(x; a) = 1, kun a/2 x a/2, 0, muulloin. () 10. syyskuuta / 66

32 Tämän Fourier n muunnos on R(u) = rect(x; a)e 2πiux dx = a/2 a/2 e 2πiux dx = 1 2πiu (e πiua e πiua ) = 1 πu eπiua e πiua /2i = sin πua πu sin πua = a = a sinc(πau), πua missä u = 2πν sin θ ja sinc(x) = (sin x)/x. Muunnoksen neliö antaa vuontiheyden polttotasossa () 10. syyskuuta / 66

33 Huygensin aallot rako varjostin Kapean raon aiheuttama diffraktio. () 10. syyskuuta / 66

34 Kahden kaukaisen pistelähteen muodostama kuva pyöreän apertuurin läpi havaittuna. () 10. syyskuuta / 66

35 Pyöreän aukon diffraktiokuvio saadaan samaan tapaan 2-ulotteisena integraalina. Tulokseksi saadaan I (θ) π2 R 4 m 2 (J 1(2m)) 2, missä R on aukon säde ja πr sin θ m =. λ Tässä esiintyvä funktio J 1 on Besselin funktio. Sitä ei voi lausua alkeisfunktioiden äärellisenä lausekkeena, mutta sille voidaan johtaa sarjakehitelm [ J 1 (x) = (x/2) 1 1/2(x/2) 2 ( 1) n ] + + n! 2 3 (n + 1) (x/2)2n +, () 10. syyskuuta / 66

36 Funktion J 1 nollakohdat voidaan etsiä jollakin numeerisella menetelmällä. Pienin nollakohta on , joten 2πR sin θ λ = Diffraktioympyrän säde kulmamitoissa saadaan siten ehdosta θ sin θ = λ/2πR 1.22λ/D, missä D = 2R on aukon halkaisija. I (θ):n minimit ovat kohdissa: 1.220λ/D, 2.233λ/D, 3.238λ/D,... () 10. syyskuuta / 66

37 Kaukoputken optiikan perussuureet: aukkosuhde, mittakaava, erotuskyky Olipa kaukoputken valoa keräävänä objektiivina peili tai linssi tai jokin niistä koostuva järjestelmä, objektiivin perusominaisuuksia voidaan kuvata muutamalla luvulla. Olkoon f objektiivin polttoväli ja D halkaisija eli aukko. Jos valoa kokoavaan järjestelmään kuuluu useita linssejä ja/tai peilejä, polttovälillä tarkoitetaan seuraavassa koko järjestelmää kuvaavaa efektiivistä polttoväliä. Objektiivi tuottaa polttotasoon kohteen kuvan, jonka mittakaava riippuu polttovälistä. Kameran objektiivi tuottaa sitä suuremman kuvan, mitä suurempi on sen polttoväli, ja sama pätee kaukoputkiin. () 10. syyskuuta / 66

38 f f u u D s Kun kohde näkyy kulmassa u, siitä muodostuu kuva, jonka korkeus s on: s = f tan u. Koska u on yleensä hyvin pieni kulma, on s fu. Kaukoputken objektiivi tuottaa polttotasoon kuvan, jonka mittakaava on s = fu. Suurennus ω = u/u on objektiivin ja okulaarin polttovälien suhde f /f. () 10. syyskuuta / 66

39 Aukkosuhde on polttoväli jaettuna aukon läpimitalla f /D. Mitä pienempi tämä luku on, sitä kirkkaamman kuvan objektiivi muodostaa ja sitä lyhyemmällä valotusajalla sen voi kuvata. Kuten valokuvauksessa, tähtitieteessäkin aukkosuhde ilmoitetaan yleensä merkinnällä f /n, missä n = f /D on polttovälin ja aukon suhde. Esimerkiksi f /8 tarkoittaa, että polttoväli on 8 kertaa aukon läpimitta. Kaukoputken erotuskyky tarkoittaa, miten lähekkäisiä kohteita sillä voidaan erottaa erillisinä. Diffraktion vuoksi tähden kuva leviää hieman, ja esimerkiksi ahtaan kaksoistähden komponenttien kuvat sulautuvat yhteen, joita ei voida erottaa toisistaan. Kaukoputken teoreettisen erotuskyvyn ilmoittamiseen käytetään usein Rayleigh n rajaa, joka saadaan ehdosta, että toisen kohteen keskipiste on toisen kohteen ensimmäisen pimeän diffraktiovyöhykkeen kohdalla. Edellisen perusteella kohteiden väliselle kulmalle θ pätee silloin sin θ θ = 1.22λ/D. () 10. syyskuuta / 66

40 Ykkösen luokkaa oleva kerroin ei ole kovin oleellinen. Niinpä käytännön muistisääntönä voidaan pitää, että kaksi kohdetta erottuvat toisistaan jos niiden välinen kulma on θ λ/d, [θ] = rad. Näkyvän valon alueella voidaan käyttää keltaisen valon aallonpituutta λ = 550 nm, jolloin esimerkiksi metrin peilikaukoputken teoreettinen erotuskyky noin 0.1. Kuitenkin seeing levittää kuvan tyypillisesti ainakin noin yhden kaarisekunnin suuruiseksi, joten teoreettista erotuskykyä ei maanpinnalta tehtävissä havainnoissa voida saavuttaa ilman erikoiskeinoja. Aivan pienimpiä kaukoputkia lukuunottamatta seeing onkin erotuskykyä eniten rajoittava tekijä () 10. syyskuuta / 66

41 Käytännön havainnoissa on otettava huomioon myös ilmaisimen (valokuvauslevyn tai CCD-kameran) erotuskyky. Valokuvauslevyn raekoko on luokkaa mm. Esimerkiksi 1 m:n polttovälillä on valokuvan mittakaava 1 mm = 206, joten 0.01 mm vastaa noin 2 kaarisekuntia. Tällainen erotuskyky saavutetaan visuaalihavainnoissa jo sellaisella kaukoputkella, jonka aukko on 7 cm. () 10. syyskuuta / 66

42 Nykyisin visuaalihavaintoja ei juuri tehdä, vaan ilmaisimena toimii yleensä CCD-kamera. Niinpä seuraavalla on mielenkiintoa lähinnä harrastajakaukoputkien käyttäjille. Kaukoputken suurennus ω kertoo, miten monta kertaa suuremmilta kohteiden kulmaläpimitat näyttävät kaukoputken läpi katsottaessa. Kun linsseihin sovelletaan edellä ollutta kaavaa, saadaan s = fu = f u, josta ω = u /u = f /f, missä f on objektiivin polttoväli ja f okulaarin polttoväli. () 10. syyskuuta / 66

43 f f D L Lähtöpupilli on okulaarin muodostama objektiivilinssin kuva, jonka kautta objektiivin läpi tullut valovirta kulkee okulaarin takana. Kuvasta sille saadaan arvo L = f /f D = D/ω. Suurennusta voidaan vaihtaa vain okulaaria vaihtamalla, joten se ei ole varsinainen kaukoputken ominaisuus. Objektiivin koosta kuitenkin määräytyvät tietyt rajat, joita suurempien ja pienempien suurennusten käyttö ei yleensä ole järkevää. Nämä rajat ovat seurausta silmän ominaisuuksista. () 10. syyskuuta / 66

44 Kun silmä on täysin mukautunut pimeään, silmän erotuskyky on noin 2. Objektiivin aiheuttama diffraktio puolestaan rajoittaa sitä, miten pieniä yksityiskohtia kohteesta voi erottaa. Jos kuvaa suurennetaan liikaa, uusia yksityiskohtia ei enää saada näkyviin, vaan esiin tulee diffraktiokuvio. Maksimisuurennus ω max eli suurin käyttökelpoinen suurennus, jota kaukoputkihavainnoissa kannattaa käyttää, saadaan silmän erotuskyvyn e 2 = rad ja kaukoputken erotuskyvyn θ suhteesta ω max = e/θ ed/λ = D D/1 mm. m Jos käytetään esimerkiksi 100 mm:n läpimittaista objektiivia, maksimisuurennus on noin 100. () 10. syyskuuta / 66

45 Todellisuudessa seeing rajoittaa erotuskykyä yleensä enemmän kuin diffraktio. Siksi suurennus kannattaa usein jättää maksimisuurennusta pienemmäksi. Suurella suurennuksella havaitseminen on hankalaa kuvan voimakkaan väreilyn vuoksi. Lisäksi suurta suurennusta käytettäessä lähtöpupilli on hyvin pieni ja valo tulee silmään hyvin ohuena sädekimppuna, ja sen osuessa silmän verkkokalvoon kohteen edessä näkyvät verkkokalvon verisuonet tummina varjoina. Toisaalta visuaalihavainnoista tiedetään, että joskus suuri suurennus parantaa himmeän kohteen näkymistä. Tämä johtunee siitä, että silmä aistii himmeän valon helpommin, jos sitä osuu useampaan aistinsoluun (kappale 5.1). () 10. syyskuuta / 66

46 Minimisuurennus tarkoittaa pienintä suurennusta, jota visuaalihavainnoissa kannattaa käyttää. Sen arvo saadaan ehdosta, ett kaukoputken lähtöpupillin läpimitan L on oltava pienempi tai yhtä suuri kuin silmän pupillin d. Pienemmillä suurennuksilla osa valosta ei enää osu silmän pupilliin, vaan menee hukkaan. Kaavan mukaan ehto L d tarkoittaa, ett ω D/d. Yöllä silmän pupillin läpimitta on noin 6 mm, joten 100 mm:n kaukoputken minimisuurennus on noin 17. () 10. syyskuuta / 66

47 Esimerkki: Kaukoputken objektiivin halkaisija on 90 mm ja polttoväli 1200 mm. a) Mikä polttoväli okulaarilla on oltava, jotta lähtöpupilli olisi yhtä suuri kuin silmän aukko, eli 6 mm? b) Mikä on tällöin suurennus? c) Mikä on Kuun kulmaläpimitta ko. kaukoputken läpi katsottaessa? () 10. syyskuuta / 66

48 a) L = f /f D f = f L/D = 1200 mm 6 mm/90 mm = 80 mm. b) Suurennus on ω = f /f = 1200 mm/80 mm = 15. c) Kuun kulmaläpimitta on noin α = 31 = 0.52 deg. Koska kulmat ovat pieniä, on Kuun läpimitta kaukoputkella katsottaessa ωα = 7.8 deg. () 10. syyskuuta / 66

49 Kuvausvirheet Ihanteellinen tapaus olisi, että kaukoputki muodostaa pistemäisestä kohteesta pistemäisen kuvan kaikkialla polttotasossa. Valon aaltoluonteen vuoksi tämä ei ole mahdollista, vaan parhaassakin tapauksessa tuloksena on säännöllinen diffraktiokuvio. Käytännössä tähänkään ei aina päästä, koska optisiin ratkaisuihin liittyy erilaisia kuvausvirheitä eli aberraatioita. () 10. syyskuuta / 66

50 Kromaattinen aberraatio eli värivirhe Lasin taitekerroin on aallonpituuden funktio, joten valon kulkiessa linssin läpi eri aallonpituudet taittuvat eri tavoin. Linssin poltoväli on siten erilainen eri aallonpituuksilla, ja terävin kuva syntyy etäisyydelle, joka riippuu valon aallonpituudesta. Värifilmille otetuissa kuvissa kirkkaiden kohteiden ympärillä näkyy värikkäät reunat ja mustavalkeat kuvat leviävät hieman tuhruisiksi. Tämä värivirhe eli kromaattinen aberraatio esiintyy vain linssiteleskoopeissa (ja laitteissa, joissa valo joutuu kulkemaan lasin tai muun dispersiivisen väliaineen läpi). Visuaalihavainnoissa kuva on parhaimmillaan, kun se fokusoidaan 550 nm:n aallonpituudelle, jolle silmä on herkin. Yleisin ratkaisu on tehdä linssi kahdesta eri lasilaadusta. Tällaisen akromaattilinssin polttoväli on sama kahdella aallonpituudella ja likimain sama kohtalaisen laajalla aallonpituusalueella. Seuraavassa taulukossa on esitetty joidenkin lasilaatujen taitekertoimia eri aallonpituuksilla: () 10. syyskuuta / 66

51 kruunulasi piilasi Akromaattilinssissä on kaksi eri lasilaaduista valmistettua linssiä, joiden värivirheet kumoavat toisensa niin, että kaksi aallonpituutta saadaan taittumaan samaan polttotasoon. () 10. syyskuuta / 66

52 361 nm 486 nm 589 nm 656 nm Kruunulasi (Crown) Korkean dispersion kruunulasi Kevyt piilasi (Light flint) Raskas piilasi (Dense flint) Voidaan myös käyttää kolmea tai useampaa linssiä Varsinkin kameraobjektiivit ovat yleensä tällaisia apokromaatteja, joilla värivirhe saadaan erittäin pieneksi. Kaukoputkissa sellaiset ovat melko harvinaisia. () 10. syyskuuta / 66

53 Esimerkiksi pallopeilin polttoväli lyhenee siirryttäessä kauemmas optisesta akselista, joten eri vyöhykkeiltä heijastuvat säteet eivät kohtaa samassa polttopisteessä (tehtävä 3.1). Tämä kuvausvirhe tunnetaan palloaberraationa. optinen akseli pallopeili säteet optisen akselin suuntaisia Palloaberraatio. Pallopeilin eri kohdista heijastuvat säteet eivät fokusoidu samaan kohtaan. Peilin palloaberraatio voidaan poistaa tekemällä se paraboloidiksi. Linssien palloaberraatiota voidaan pienent käyttämällä pallopinnasta poikkeavia (asfäärisiä) pintoja. () 10. syyskuuta / 66

54 Koma Koma tarkoittaa, että pistemäisen kohteen kuva muuttuu hieman komeettaa muistuttavaksi kuvioksi. Koma esiintyy voimakkaana paraboloidipeileissä, mutta myös monissa muissa peili- ja linssityypeissä Säteet, jotka eivät tule optisen akselin suuntaisesti, heijastuvat (taittuvat) peilin (linssin) eri vyöhykkeiltä renkaan muotoiselle alueelle. Nämä renkaat ovat sitä kauempana optiselta akselilta mitä ulommalta vyöhykkeeltä heijastuminen (taittuminen) tapahtuu. () 10. syyskuuta / 66

55 Koman vaikutuksesta kohteen kuva leviää komeettamaiseksi viuhkaksi. () 10. syyskuuta / 66

56 pisteet linssillä : pisteet polttotasolla : O Koma syntyy, kun vinosti tulevat steet heijastuvat tai taittuvat eri polttotasoon kuin suoraan tulevat. () 10. syyskuuta / 66

57 Koma on kääntäen verrannollinen aukkosuhteen f /D neliöön ja optiselta akselilta mitatun etäisyyden neliöön. Heikkolaatuisen kameraobjektiivin komaa voi siten vähentää huomattavasti himmentämällä aukkoa. Kun käytetään vain pientä optisen akselin ympärillä olevaa kuvakenttä, koma ei yleensä ole vakava ongelma. Virhe on korjattava, jos halutaan laajaa kuvakenttää, kuten esimerkiksi valokuvauksellisissa teleskoopeissa. Niissä se voidaan korjata asettamalla sopivasti muotoillut linssit polttotason lähelle. () 10. syyskuuta / 66

58 Astigmaattisuus Jos linssi tai peili ei ole täysin symmetrinen, "vaakasuorat"säteet taittuvat eri polttopisteeseen kuin "pystysuorat"säteet. Fokusoitaessa tähden kuva näkyy tietyssä kohtaa terävimmillään lyhyenä viivana, muuttuu sitten tarkennusta muutettaessa epätarkaksi ympyräksi ja sen jälkeen taas viivaksi, joka on edelliseen nähden kohtisuorassa.. Kuvan tapauksessa linssin polttoväli on vaakatasossa hieman lyhempi kuin pystytasossa. Tarkimman kuvan paikka on kahden polttovälin puolivälissä Astigmaattisen objektiivin muodostama tähden kuva on litistynyt läiskä, jonka asento kiertyy 90 deg fokusta muutettaessa. () 10. syyskuuta / 66

59 Kuvakentän kaarevuus Petzvalin pinta (paraboloidi) Objektiivin tuottama kuva ei välttämättä muodostu tasoon, vaan polttopinnalle, joka voi olla myös kaareva (ns. Petzvalin pinta). Esim. Schmidt-kamerassa (kappale 4.2) valokuvauslevy tai -filmi on asetettava kasettiin, joka taivuttaa sen sopivaan muotoon. Kuvakentän kaarevuus voidaan korjata myös käyttämällä sopivia linssiyhdistelmiä tai korjauslinssejä polttopinnan edessä. () 10. syyskuuta / 66

60 Vääristymät Optiikka voi aiheuttaa kuvaan erilaisia vääristymiä, jos mittakaava muuttuu kuvakentän alueella. Optinen systeemi on vapaa vääristymistä, jos tan θ/ tan φ on kaikissa suunnissa vakio. kuva θ φ kohde Tynnyrivääristymä (barrel distortion) Tyynyvääristymä (pincushion distortion) Objektiivin muodostama kuva on vääristynyt, jos mittakaava ei ole sama koko polttotasossa, Tynnyri- ja tyynypoikkeama ovat tällaisia vääristymiä. Tavallisimpia vääristymiä ovat tynnyri- ja tyynypoikkeama. Edellisessä neliö kuvautuu tynnyriä muistuttavaksi nelikulmioksi, jonka sivut ovat pullistuneet ulospäin. Tyynypoikkeamassa sivut puolestaan painuvat sisään. () 10. syyskuuta / 66

61 Muita Edellä kuvatut kuvausvirheet tunnetaan hyvin ja ymmärretään teoreettisesti. Niiden lisäksi optiikassa voi olla muita, satunnaisempia vikoja, jotka ovat kullekin objektiiville ominaisia. Tällaisia ovat objektiivin valmistusvirheet: optiset pinnat eivät ole aivan täsmälleen halutun muotoisia. Valon kulkutiellä voi myös olla esteitä, jotka aiheuttavat varjostusta (vinjetoitumista). () 10. syyskuuta / 66

62 () 10. syyskuuta / 66

63 Optiikan suunnittelusta Kaikkien edellämainittujen kuvausvirheiden korjaamiseksi ja systeemin optimoimiseksi optiikan suunnittelija voi käyttää eri keinoja: Linssien ominaisuuksiin voi niiden muodon lisäksi vaikuttaa käyttämällä eri lasilaatuja, joilla on erilaiset taitekertoimet. Aukkosuhteen valinta. Kuvausvirheet ovat yleensä suurimmillaan kun f /D on pieni. Peilin muoto. Yleensä muoto on kartioleikkaus eli pallo, paraboloidi, hyperboloidi tai ellipsoidi. Nykyisill tietokoneohjatuilla mittaus- ja hiontamenetelmillä on helppo valmistaa myös mutkikkaampia pintoja. Optisten elementtien määrää. Kameraobjektiiveissa on yleens pieni aukkosuhde, mutta vääristymiä ja värivirhettä ei sallita. Virheet korjataan tavallisesti käyttämällä suurta määrää linssejä. Voidaan käyttää erilaisia linssien ja peilien yhdistelmiä () 10. syyskuuta / 66

64 Kaukoputkissa aukkosuhde f /D on yleensä suurempi kuin kameroissa, mikä lieventää kuvausvirheitä. Lisäksi osa virheistä korjataan havaintoja käsiteltäessä. Havainnot tehdään yleensä käyttämällä jotakin suodinta, joka päästää lävitseen vain kapean aallonpituuskaistan. Siten pieni värivirhekään ei ole kovin vakava ongelma. Kaukoputkien objektiivit voivat kuitenkin olla hyvin suuria, joten erilaiset käytännölliset seikat rajoittavat mahdollisia ratkaisuja: hinta, paino, valmistamisen vaikeus. () 10. syyskuuta / 66

65 Käytännön suunnittelu tapahtuu nykyään tietokoneilla käyttäen geometrisen optiikan lakeja. Säteenjäljitystä (ray-tracing) käytettäessä lasketaan tietokoneella suuri joukko valonsäteitä optisen systeemin läpi ja katsotaan millaisen kuvan ne muodostavat polttotasolle. Optisten elementtien ominaisuuksia muunnellaan, kunnes säteet saadaan osumaan samaan polttopisteeseen vaaditulla tarkkuudella. polttotaso Ray-tracing-menetelmässä lasketaan valonsäteiden kulku optisen järjestelmän läpi. () 10. syyskuuta / 66

66 Pistekohteen diffraktiokuvio : 0.5" NOT-kaukoputken pääpeilin muodostama valonsäteiden "pistejoukko". Kuten näkyy, 80 % valosta osuu sisälle. () 10. syyskuuta / 66