Signaalien digitaalinen käsittely

Signaalien digitaalinen käsittely Antti Kosonen Syksy 25 LUT Energia Sähkötekniikka

Alkulause Luentomoniste pohjautuu kirjaan Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Proakis & Manolakis. Luentomoniste käsittelee kirjan kappaleet 8 poislukien kappale 6. Tämän takia luentomonisteen rakenne on jaettu seitsemään pääkappaleeseen. Pääkappaleet sisältävät omat alikappaleensa. Kappaleet sisältävät sekä teorian että esimerkit aihealueeseen liittyen. Luentomonisteessa olevista virheistä voi ilmoittaa tekijälle. Tämän luentomonisteen ensimmäinen versio ilmestyi vuonna 2. Vuoden 22 painokseen on korjattu merkittävä määrä painovirheitä. Vuoden 23 painokseen on tehty pieniä lisäyksiä, korjattu painovirheitä ja siitä on poistettu osa esimerkeistä, koska ne käydään läpi luennolla. Vuoden 25 painokseen on tehty hyvin pieniä lisäyksiä saadun palautteen perusteella.

Sisältö Johdanto 7. Signaalit, järjestelmät ja signaalinkäsittely... 7.. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän perusosat... 8..2 Digitaalisen signaalinkäsittelyn edut ja haitat... 8.2 Signaalien luokittelu... 9.2. Monikanavainen ja moniulotteinen signaali... 9.2.2 Jatkuva- ja diskreettiaikaiset signaalit....2.3 Jatkuva- ja diskreettiarvoiset signaalit....2.4 Deterministiset ja satunnaissignaalit... 2.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus... 3.3. Jatkuva-aikaiset sinisignaalit... 3.3.2 Diskreettiaikaiset sinisignaalit... 4.3.3 Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot... 6.4 A/D- ja D/A-muunnokset... 7.4. Näytteenotto... 8.4.2 Näytteenottoteoreema... 22.4.3 Kvantisointi... 24.4.4 Sinimuotoisten signaalien kvantisointi... 25.4.5 Kvantisoitujen signaalien koodaaminen... 26 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 29 2. Diskreettiaikainen signaali... 29 2.. Joitakin diskreettiaikaisia alkeissignaaleja... 3 2..2 Diskreettiaikaisten signaalien luokittelu... 32 2..3 Perusoperaatiot diskreettiaikaisille signaaleille... 35 2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät... 38 2.2. Järjestelmän tulo-lähtökuvaus... 38 2.2.2 Diskreettiaikaisten järjestelmien lohkokaavioesitys... 4 2.2.3 Diskreettiaikaisten järjestelmien luokittelu... 4 2.2.4 Diskreettiaikaisten järjestelmien kytkennät... 47 2.3 Diskreettiaikaisten LTI-järjestelmien analyysi... 48 2.3. Tekniikoita lineaaristen järjestelmien analyysiin... 48 2.3.2 Konvoluutiosumma... 49 2.3.3 Konvoluution ominaisuuksia... 5 2.3.4 Kausaaliset LTI-järjestelmät... 52 2.3.5 LTI-järjestelmien stabiilius... 53 2.3.6 FIR- ja IIR-järjestelmät... 54 2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä... 55 2.4. Rekursiiviset ja ei-rekursiiviset diskreettiaikaiset järjestelmät... 55 2.4.2 Vakiokertoimiset differenssiyhtälöt LTI-järjestelmille... 56 2.4.3 Lineaaristen vakiokertoimisten differenssiyhtälöiden ratkaiseminen... 59 2.5 Diskreettiaikaisten järjestelmien toteuttaminen... 63 2.5. LTI-järjestelmien toteutusrakenteet... 63 2.5.2 FIR-järjestelmien rekursiiviset ja ei-rekursiiviset toteutukset... 66 2.5.3 Diskreettiaikaisten järjestelmien ohjelmallinen toteuttaminen... 67 2.6 Diskreettiaikaisten signaalien korrelaatio... 68 2.6. Risti- ja autokorrelaatio... 69 2.6.2 Risti- ja autokorrelaation ominaisuuksia... 7 2.6.3 Jaksollisten signaalien korrelaatio... 7 2.6.4 Tulo-lähtökorrelaatiot... 72 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin 75 3. z-muunnos... 75 3.2 z-muunnoksen ominaisuuksia... 79 3.3 Rationaaliset z-muunnokset... 85 3.3. Navat ja nollat... 85 3.3.2 Navan sijainti ja kausaalisen signaalin käyttäytyminen aikatasossa... 86

3.3.3 LTI-järjestelmien siirtofunktio... 88 3.4 Käänteinen z-muunnos... 9 3.4. Pintaintegraalin laskenta... 9 3.4.2 Potenssisarjakehitelmä... 92 3.4.3 Osamurtokehitelmän ja taulukon käyttö... 92 3.5 LTI-järjestelmien analyysi z-tasossa... 96 3.5. Kausaalisuus ja stabiilius... 96 4 Signaalien taajuusanalyysi 99 4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi... 99 4.. Jatkuva-aikaisten jaksollisten signaalien Fourier-sarja... 4..2 Jatkuva-aikaisten jaksollisten signaalien tehotiheysspektri... 4..3 Jatkuva-aikaisten jaksottomien signaalien Fourier-muunnos... 4 4..4 Jatkuva-aikaisten jaksottomien signaalien energiatiheysspektri... 6 4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi... 9 4.2. Diskreettiaikaisten jaksollisten signaalien Fourier-sarja... 9 4.2.2 Diskreettiaikaisten jaksollisten signaalien tehotiheysspektri... 4.2.3 Diskreettiaikaisten jaksottomien signaalien Fourier-muunnos... 3 4.2.4 Fourier-muunnoksen suppeneminen... 4 4.2.5 Diskreettiaikaisten jaksottomien signaalien energiatiheysspektri... 7 4.2.6 Fourier- ja z-muunnoksen välinen yhteys... 8 4.3 Signaalin taajuus- ja aikatason ominaisuudet... 9 4.4 Diskreettiaikaisten signaalien Fourier-muunnoksen ominaisuuksia... 9 4.4. Fourier-muunnoksen symmetrisyysominaisuudet... 2 4.4.2 Fourier-muunnosteoreema ja sen ominaisuudet... 2 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi 25 5. LTI-järjestelmien taajuustason ominaisuudet... 25 5.2 LTI-järjestelmien taajuusvaste... 28 5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina... 28 5.3. Ideaalisen suodattimen ominaisuudet... 28 5.3.2 Suodatinten suunnittelu napoja ja nollia sijoittelemalla... 3 5.3.3 Käytännön suodatinten ominaisuudet... 3 5.3.4 Alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö- ja kaistanestosuodattimet... 3 5.3.5 Digitaaliset resonaattorit... 36 5.3.6 Notch-suodattimet... 39 5.3.7 Kampasuodattimet... 4 5.3.8 All-pass-suodattimet... 43 5.3.9 Digitaalinen sinioskillaattori... 46 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) 49 6. Taajuustason näytteistys: diskreetti Fourier-muunnos... 49 6.. Diskreettiaikaisten signaalien taajuustason näytteistys... 49 6..2 DFT... 5 6..3 DFT lineaarisena muunnoksena... 53 6..4 DFT:n yhteys muihin muunnoksiin... 54 6.2 Signaalien taajuusanalyysi DFT:n avulla... 56 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT) 63 7. DFT:n tehokas laskenta: FFT-algoritmit... 63 7.. DFT:n suora laskenta... 63 7..2 Hajota ja hallitse -menetelmä DFT:n laskennassa... 64 7..3 Radix-2-FFT-algoritmi... 66 Lähteet 7

7 Johdanto Digitaalinen signaalinkäsittely on kehittynyt voimakkaasti viimeisen 4 vuoden aikana. Kehityksen taustalla on ollut tietokoneiden ja mikroprosessorien laskentatehon kasvu, koon ja tehonkulutuksen pienentyminen sekä hintojen halpeneminen. Tämä on mahdollistanut kehittyneiden digitaalisten järjestelmien integroimisen moniin sovelluksiin. Järjestelmät pystyvät suorittamaan monimutkaisia digitaalisen signaalinkäsittelyn funktioita ja algoritmeja, jotka olisivat liian vaikeita ja/tai kalliita toteuttaa analogisilla järjestelmillä.. Signaalit, järjestelmät ja signaalinkäsittely Signaali on mikä tahansa suure, joka vaihtelee ajan, paikan tai minkä tahansa muuttujan tai muuttujien funktiona. Matemaattisesti signaali kuvataan yhden tai useamman muuttujan funktiona. Esimerkiksi funktiot 5 (..) 2 kuvaavat kahta signaalia, joista toinen muuttuu lineaarisesti ja toinen neliöllisesti riippumattoman muuttujan (aika) funktiona. Toinen esimerkkifunktio, 3 2 (..2) kuvaa signaalia, joka on kahden riippumattoman muuttujan ja funktio. Muuttujat voivat kuvata tässä tapauksessa paikkaa tasossa. Yhtälöissä (..) ja (..2) kuvatut signaalit kuuluvat luokkaan, missä funktionaalinen riippuvuus on tarkasti määritelty riippumattomilla muuttujilla. On kuitenkin olemassa tapauksia, jolloin funktionaalinen yhteys on tuntematon. Tällöin signaalin tarkka matemaattinen esittäminen ei ole mahdollista, kuten puhesignaalin tapauksessa. Esimerkki puhesignaalista on esitetty kuvassa... Amplitudi Kuva... Esimerkki puhesignaalista. Puhesignaali voidaan esittää eri amplitudisten ja taajuuksisten sinisignaalien summana seuraavasti sin2π.5.5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Aika [s] (..3) missä, ja ovat joukkoja sinisignaalien amplitudeja, taajuuksia ja vaiheita. Signaalin tuottamista voidaan ajatella järjestelmänä, joka vastaa herätteeseen. Järjestelmää kutsutaan tällöin signaalin lähteeksi. Järjestelmällä tarkoitetaan myös laitetta (eng. hardware), joka käsittelee signaalia, kuten esimerkiksi häiriöiden suodatus. Vastaavasti laitteen suorittamaa tehtävää nimitetään signaalinkäsittelyksi. Digitaalisen signaalinkäsittelyn yhteydessä järjestelmän määrittelyä on tarkoituksenmukaista laajentaa käsittämään konkreettisten laitteiden lisäksi myös operaatioiden ohjelmallisia toteutuksia (eng. software). Järjestelmä, johon implementoidaan menetelmä tai joukko sääntöjä ohjelmalla ja joka suorittaa vastaavat matemaattiset operaatiot, kutsutaan algoritmiksi (eng. algorithm).

8 Johdanto.. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän perusosat Useimmat signaalit, joita käsitellään, ovat luonteeltaan analogisia. Siten signaalit ovat jatkuvan muuttujan, kuten aika tai tila, funktioita ja voivat saada mitä tahansa arvoja. Tällöin signaalia voidaan käsitellä jollakin analogisella järjestelmällä (suodattimet, taajuusanalysaattorit tai taajuuskertojat), kuten on esitetty kuvassa..2, missä sekä tulo- että lähtösignaalit ovat analogisia. ) = C E A JK I EC = = E N = J ) = C E A I EC = = E I EJJA E O = J ) = C E A D J I EC = = E Kuva..2. Analoginen signaalinkäsittely. Digitaalinen signaalinkäsittely tarjoaa puolestaan vaihtoehtoisen tavan käsitellä analogista signaalia, kuten on esitetty kuvassa..3. ) = C E A = EF I J I K @ = JE ), K K E, EC EJ= = E A I EC = = E I EJJA E, ) K K E ) = C E A = EF I J I K @ = JE %! " # $ Kuva..3. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän lohkokaavio. Digitaalinen signaalinkäsittely tarvitsee rajapinnan analogisen signaalin ja digitaalisen signaalinkäsittelijän välille. Rajapintaa kutsutaan analogia-digitaalimuuntimeksi (eng. analog-to-digital converter, ADC), jonka lähtö on digitaalinen signaali. Vastaava rajapinta toisinpäin on digitaali-analogiamuunnin (eng. digital-toanalog converter, DAC). Huomaa, että kaikissa sovelluksissa ei välttämättä tarvita A/D- ja/tai D/Amuunninta. Kuvan..3 mukainen lohkokaavio voidaan jakaa seitsemään osaan:. Analoginen tulosignaali. 2. Analoginen alipäästösuodatin, jonka tehtävänä on suodattaa Nyquist-taajuuden yläpuoliset taajuudet mahdollisimman hyvin pois, jotta vältetään laskostuminen. 3. A/D-muunnin, joka näytteistää, kvantisoi ja koodaa analogiasignaalin ja muodostaa näin digitaalisen tulosignaalin. 4. Digitaalinen signaalinkäsittelijä, joka käsittelee signaalia digitaalisesti ja muodostaa digitaalisen lähtösignaalin. 5. D/A-muunnin, joka muodostaa jatkuva-aikaisen signaalin interpoloimalla käsitellyn diskreettiaikaisen signaalin näytteiden välille. 6. Analoginen alipäästösuodatin, jonka tehtävänä on suodattaa D/A-muunnoksen epäideaalisesta interpolaatiosta johtuvat suurtaajuiset häiriöt pois (Nyquist-taajuuden yläpuolelta). 7. Analoginen lähtösignaali...2 Digitaalisen signaalinkäsittelyn edut ja haitat On olemassa useita syitä, miksi kannattaa mieluummin käyttää digitaalista signaalinkäsittelyä analogisen signaalin käsittelyyn kuin analogista. Ensiksi, ohjelmoitavat digitaaliset järjestelmät ovat joustavia, jolloin muutosten tekeminen on helppoa ja se onnistuu ainoastaan muuttamalla ohjelmaa. Vastaava operaatio analogisella järjestelmällä vaatisi laitteistomuutoksen ja siten uudelleen suunnittelun. Tarkkuus on tärkeä parametri. Analogisissa piireissä komponenttien tarkkuus vaihtelee ja muuttuu jopa ajan myötä, jolloin tarkkuuden huomioon ottaminen suunnitteluvaiheessa on vaativaa. Toisaalta, digitaalisissa järjestelmissä tarkkuus on helpompi määritellä. Tarkkuus määräytyy A/D-muuntimen ja digitaalisen signaaliprosessorin (sananpituus, liukuvan pilkun vs. kiinteän pilkun aritmetiikka) mukaan. Tarkkuus voidaan siis määritellä matemaattisen tarkasti, esimerkiksi käytössä olevien bittien lukumäärän mukaan.

.2 Signaalien luokittelu 9 Digitaaliset signaalit voidaan tallentaa ilman häviöitä, jolloin niiden alkuperäinen laatu säilyy. Siten niitä voidaan analysoida off-line tilassa. Digitaalinen signaalinkäsittely mahdollistaa myös kehittyneiden ja monimutkaisten algoritmien toteuttamisen. Joissain tapauksissa digitaalinen implementointi on edullisempaa, mutta yksinkertaisissa tehtävissä se saattaa olla kalliimpaa kuin vastaavalla analogisella järjestelmällä ylimääräisen A/D-muunnoksen takia. Laajakaistaisten signaalien käsittelyssä digitaalisissa järjestelmissä tulee ongelmia laitteistorajoitusten takia. Laajakaistaiset signaalit tarvitsevat suurta näytteenottonopeutta A/D-muuntimilta ja nopeita digitaalisia signaaliprosessoreita ja täten ne voivat olla erittäin kalliita tai mahdottomia toteuttaa, koska ohjelman suorittaminen on hidasta johtuen laitteesta. A/D-muunnoksessa häviää informaatiota signaalin kvantisoinnin (rajallinen bittimäärä) takia..2 Signaalien luokittelu Signaalien luokittelun tarkoituksena helpottaa niiden matemaattista käsittelyä. Siten, signaalinkäsittelyssä tutkimus aloitetaan signaalien luokittelusta..2. Monikanavainen ja moniulotteinen signaali Signaali voi olla joko reaaliarvoinen, kuten sin3π tai vastaavasti kompleksiarvoinen, kuten cos3π sin3π Signaalit voivat olla minkä tahansa riippumattoman muuttujan funktioita, tavallisesti kuitenkin ajan. Signaali on monikanavainen (eng. multichannel), kun se sisältää useamman kuin yhden signaalikomponentin. Esimerkki tällaisesta signaalista on maanpinnan nopeus kolmen eri akselin suunnassa Nämä kolme signaalikomponenttia on esitetty kuvassa.2.. (a)

Johdanto (b) (c) Kuva.2.. Maanpinnan nopeuden kolme signaalikomponenttia (kolmikanavainen signaali). (a) Vaakasuunta. (b) Vaakasuunta. (c) Pystysuunta. Edellä olleet signaalit olivat yhden riippumattoman muuttujan funktioita. Tällöin signaalia kutsutaan yksiulotteiseksi (eng. one-dimensional). Signaalia kutsutaan -ulotteiseksi, jos se on :n riippumattoman muuttujan funktio. Kuvassa.2.2 esitetty valokuva on esimerkki kaksiulotteisesta signaalista, koska kirkkaus, jokaisessa pisteessä on kahden riippumattoman muuttujan funktio. Kuva.2.2. Kaksiulotteinen signaali.

.2 Signaalien luokittelu Toisaalta mustavalkotelevisiokuvassa kirkkaus,, esitetään ajan funktiona, jolloin se on kolmiulotteinen signaali. Vastaavasti väritelevisiokuva esitetään kolmen eri värin (punainen, vihreä, sininen) kirkkauden ajan funktiona. Siten väritelevision kuva on kolmikanavainen ja kolmiulotteinen signaali, joka voidaan esittää vektorina,,,,,,,, Tässä kurssimonisteessa käsitellään pääasiassa yksikanavaisia ja yksiulotteisia signaaleja, jotka voivat olla reaalisia tai kompleksisia..2.2 Jatkuva- ja diskreettiaikaiset signaalit Jatkuva-aikaiset (eng. continuous-time) tai analogiset (eng. analog) signaalit ovat määriteltyjä kaikilla ajanhetkillä jollakin aikavälillä (, ), missä voi olla ja voi olla. Signaalit voidaan siis kuvata matemaattisesti jatkuvan muuttujan funktiona. Diskreettiaikaiset (eng. discrete-time) signaalit ovat määriteltyjä vain tiettyinä ajanhetkinä. Ajanhetkien ei tarvitse olla tasavälisiä, mutta käytännössä ne kuitenkin ovat. Signaali,,,2, on esimerkki diskreettiaikaisesta signaalista. Jos ajanhetket ovat tasavälein, niin, missä on aikaindeksi ja aikaväli. Signaalin diskreettiaikaisuutta voidaan korostaa merkitsemällä signaalia :llä :n sijasta. Esimerkiksi sekvenssi,8, jos, muuten on diskreettiaikainen signaali ja se on esitetty kuvassa.2.3. (.2.) x(n).5 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n Kuva.2.3. Yhtälön (.2.) mukaisen diskreettiaikaisen signaalin graafinen esitys, kun 52. Diskreettiaikaisia signaaleja saadaan. Valitsemalla analogisen signaalin arvoja diskreetteinä ajanhetkinä: näytteenotto (eng. sampling). 2. Laskemalla yhteen muuttujan arvoa tietyn aikavälin aikana: esimerkiksi tietä ajavien autojen lukumäärä tunnissa..2.3 Jatkuva- ja diskreettiarvoiset signaalit Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien arvot voivat olla joko jatkuvia tai diskreettejä. Jos signaali voi saada kaikkia mahdollisia arvoja äärelliseltä tai äärettömältä väliltä, on se silloin jatkuva-arvoinen signaali. Vastaavasti, jos signaali saa ainoastaan tiettyjä arvoja äärellisestä joukosta, on se silloin diskreettiarvoinen. Signaalia kutsutaan digitaaliseksi (eng. digital) signaaliksi, jos se on diskreettiaikainen ja se saa vain diskreettejä arvoja. Kuvassa.2.4 on esitetty digitaalinen signaali.

2 Johdanto x(n) 2 3 4 5 6 7 8 n Kuva.2.4. Digitaalinen signaali, jolla on neljä amplitudin arvoa ja 8. Digitaalinen signaali saadaan analogisesta signaalista näytteistämällä se ensiksi diskreettiaikaiseksi ja sen jälkeen kvantisoimalla (eng. quantizing) se diskreettiarvoiseksi. Signaalit voidaan siis jakaa neljään eri kategoriaan riippuen niiden ominaisuuksista aikamuuttujan ja arvojen suhteen, kuten on esitetty kuvassa.2.5. Jatkuva-aikainen, jatkuva(-arvoinen) signaali Jatkuva-aikainen, diskreetti(arvoinen) signaali Diskreetti-aikainen, jatkuva(-arvoinen) signaali Diskreetti-aikainen, diskreetti(arvoinen) signaali 5 5 x a (t) x a (t) 5 2 3 4 5 t 5 2 3 4 5 t (a) (b) 5 5 x(n) x(n) 5 2 3 n 5 2 3 n (c) Kuva.2.5. Signaalin neljä eri kategoriaa sen aikamuuttujan ja arvojen suhteen. (a) Jatkuva-aikainen jatkuva signaali (analoginen signaali). (b) Jatkuva-aikainen diskreetti signaali. (c) Diskreettiaikainen jatkuva signaali. (d) Diskreettiaikainen diskreetti signaali (digitaalinen signaali). (d).2.4 Deterministiset ja satunnaissignaalit Signaalit voidaan myös jakaa niiden matemaattisen käsittelyn mukaan. Signaali on deterministinen (eng. deterministic), jos se voidaan yksilöidä matemaattisella mallilla. Tällöin signaali on siis tunnettava tarkasti ilman epävarmuutta. Monissa käytännön sovelluksissa signaaleja ei kuitenkaan tunneta, eikä niiden käyttäytymistä voida ennustaa. Siten niille ei voida muodostaa tarkkaa matemaattista malliakaan. Tällaisia signaaleja kutsutaan satunnaisiksi (eng. random) ja niitä käsitellään tilastollisesti. Signaalien luokittelu deterministiseksi tai satunnaiseksi on tärkeää, koska väärä luokittelu voi johtaa vääränlaisiin tuloksiin, koska jotkut menetelmät soveltuvat ainoastaan deterministisille ja toiset vain satunnaisille signaaleille. Luokittelu ei aina ole suoraviivaista.

.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus 3.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus Taajuus yhdistetään monesti jaksollisuuteen, kuten esimerkiksi sinisignaalin värähtelyyn. Taajuus on kääntäen verrannollinen aikaan. Jatkuva- ja diskreettiaikaisuus vaikuttaa siten myös taajuuteen..3. Jatkuva-aikaiset sinisignaalit Jatkuva-aikainen sinisignaali voidaan esittää seuraavasti cosω Θ, (.3.) missä alaindeksi a merkitsee analogista, on amplitudi, Ω kulmataajuus [rad/s] ja Θ (nolla)vaihekulma [rad]. Kulmataajuuden Ω sijaan käytetään usein taajuutta [Hz], missä Ω2π (.3.2) Siten yhtälö (.3.) voidaan kirjoittaa muotoon cos2π Θ, (.3.3) Yhtälön (.3.3) mukainen signaali on esitetty kuvassa.3.. N = J ) 6 F. )? I 3 J Kuva.3.. Yhtälön (.3.3) mukainen analoginen sinisignaali. Yhtälön (.3.3) mukaisella analogisella sinisignaalilla on seuraavat ominaisuudet: A. Signaali on jaksollinen, kun on vakio. Silloin missä on sinisignaalin perusjakso. A2. Eritaajuiset jatkuva-aikaiset sinisignaalit ovat eri signaaleita. A3. Taajuuden kasvattaminen johtaa värähdysten lukumäärän kasvamiseen tiettynä aikavälinä. Samat ominaisuudet pätevät myös kompleksisille signaaleille (.3.4) Kompleksinen signaali voidaan esittää Eulerin yhtälön avulla cos sin (.3.5) Taajuus on positiivinen suure, kun se esitetään jaksojen lukumääränä aikayksikköä kohden. Useissa tapauksissa käytetään kuitenkin negatiivista taajuutta ainoastaan matemaattisessa mielessä. Siten yhtälön (.3.) mukainen sinisignaali voidaan esittää cosω Θ 2 2 (.3.6) joka seuraa yhtälöstä (.3.5). Sinisignaali voidaan siis muodostaa summaamalla kaksi kompleksikonjugaattisignaalia, joilla on sama amplitudi. Näitä kutsutaan myös vaiheosoittimiksi ja ne on

4 Johdanto esitetty kuvassa.3.2. Vaiheosoittimet pyörivät vastakkaisiin suuntiin kulmataajuuksilla Ω [rad/s]. Siten positiivinen taajuus vastaa liikettä vastapäivään ja negatiivinen myötäpäivään. Analogisen signaalin taajuusalue on siten. ) 9 ) 9 J 3 9 J 3 4 A 9 Kuva.3.2. Kosinifunktion esittäminen kahdella vaiheosoittimella..3.2 Diskreettiaikaiset sinisignaalit Diskreettiaikainen sinisignaali voidaan esittää seuraavasti cos,, (.3.7) missä on kokonaislukumuuttuja (näytteen numero), sinisignaalin amplitudi, kulmataajuus [rad/s] ja vaihe [rad]. Kulmataajuuden sijasta voidaan käyttää taajuutta, joka on 2π (.3.8) silloin yhtälö (.3.7) saadaan muotoon cos2π,, (.3.9) Diskreettiaikaisen signaalin taajuutta merkitään siis pienellä kirjaimella ja jatkuva-aikaisen suurella kirjaimella. Kuvassa.3.3 on esitetty diskreettiaikainen sinisignaali, jonka taajuus π 6radiaania per näyte ( 2jaksoa per näyte) ja vaihe π 3rad. N ) Kuva.3.3. Diskreettiaikainen sinisignaali, kun π 6ja π 3. Diskreettiaikaisella sinisignaalilla on seuraavat ominaisuudet: B. Diskreettiaikainen signaali on jaksollinen vain, jos sen taajuus on rationaaliluku. Diskreettiaikainen signaali on jaksollinen, jos, (.3.) Pienin jakso, jolle yhtälö (.3.) pätee, on perusjakso. Todistus Yhtälön (.3.) mukaan sinisignaalille, jonka perusjakso on, pitää olla

.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus 5 cos2π cos2π Yhtälö pätee, jos on olemassa vakio, jolloin 2π 2π eli jos (.3.) Siten diskreettiaikainen signaali on jaksollinen vain, jos sen taajuus voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena (siis on rationaaliluku). Perusjakson selvittämiseksi, perustaajuus esitetään yhtälön (.3.) mukaisesti ja supistetaan yhteiset tekijät. Esimerkiksi, jos 3 6, on perusjakso 6, mutta jos 3 6, on perusjakso 2. B2. Diskreettiaikaiset sinisignaalit, joiden taajuuksien ero on 2π:n monikerta, ovat samoja. Todistus Tarkastellaan signaalia cos. Tällöin cos 2π cos 2π cos (.3.2) Siten siis kaikki sinimuotoiset sekvenssit cos,,, 2, (.3.3) missä 2π, π π ovat yhtäsuuria. Toisaalta kaksi eritaajuista sekvenssiä väliltä π π tai ovat eri sekvenssejä. Sinisignaalilla, jonka π tai 2, on ekvivalenttinen signaali, jonka π. Signaalia, jonka taajuus π, nimitetään vastaavan signaalin, jonka taajuus π, laskostumaksi (eng. alias). Siten kaikki taajuudet välillä ππ tai ovat yksilöityjä, kun taas kaikki taajuudet välillä π tai ovat laskostuneita. B3. Diskreettiaikaisen sinisignaalin suurin värähtelytaajuus saadaan, kun π (tai π) tai vastaavasti (tai ). Ominaisuutta voidaan kuvata tarkastelemalla sinisignaalia cos kun kulmataajuutta muutetaan välillä π. Tarkastellaan kulmataajuuksia, π 6, π 8, π 4, π 2 ja π, jotka vastaavat taajuuksia,,,, ja. Nämä puolestaan tuottavat jaksollisen sekvenssin, joiden jaksot ovat, 32, 6, 8, 4 ja 2, kuten on esitetty kuvassa.3.4. Kuvasta.3.4 huomataan, että sinisignaalin jakso pienenee (värähtely kasvaa), kun taajuus kasvaa. Katsotaan seuraavaksi mitä tapahtuu kulmataajuuksilla välillä π 2π. Tarkastellaan siten sinisignaalia, jonka kulmataajuudet ja 2π. Kulmataajuus vaihtelee siis π:n ja 2π:n välillä, ja π:n ja :n välillä. Sijoittamalla kulmataajuudet saadaan cos cos cos cos2π cos (.3.4) Siten on siis :n laskostuma. Jos kosinifunktion paikalla olisi ollut sinifunktio, lopputulos olisi ollut sama sillä erolla, että signaalien ja välillä olisi ollut 8 vaihe-ero. Kuvassa.3.5 on esitetty

6 Johdanto sinisignaali taajuuksilla,,,, ja. Kuvasta.3.5 nähdään, että sinisignaalit vastaavat täysin kuvan.3.4 sinisignaaleja, koska ne ovat laskostumia. f = f =.325 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.625 2 3 4 n f =.25 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.25 2 3 4 n f =.5 x(n) x(n) 2 3 4 n 2 3 4 n Kuva.3.4. Signaali cos2π eri taajuuksilla välillä. f = f =.96875 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.9375 2 3 4 n f =.875 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.75 2 3 4 n f =.5 x(n) x(n) 2 3 4 n 2 3 4 n Kuva.3.5. Signaali cos2π eri taajuuksilla välillä..3.3 Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot (eng. harmonically related complex exponentials) ovat joukko jaksollisia kompleksisia eksponenttisignaaleja, jotka ovat yksittäisen positiivisen taajuuden monikertoja. Vaikka tässä käsitellään kompleksisia eksponenttisignaaleja, on sinisignaaleilla samat ominaisuudet.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 7 Jatkuva-aikaiset eksponenttisignaalit Jatkuva-aikaiset harmoniset eksponenttisignaalit ovat,,,2, (.3.5) Signaali on jaksollinen kaikilla :n arvoilla ja sen ominaistaajuus on. Jaksonpituus on puolestaan. Lisäksi kaikilla :n kokonaislukuarvoilla saatavat signaalit voidaan erottaa toisistaan, eli jos, niin. Yhtälön (.3.5) peruseksponenttisignaaleista voidaan muodostaa lineaarikombinaatio (.3.6) missä,,, 2, ovat kompleksisia vakioita. Signaalin perusjakso on ja sen yhtälön (.3.6) mukaista esitystä kutsutaan signaalin Fourier-sarjaksi. Kompleksiset vakiot ovat Fourier-sarjan kertoimia ja signaalia kutsutaan signaalin :neksi harmoniseksi. Diskreettiaikaiset eksponenttisignaalit Vastaavat harmoniset eksponenttisignaalit voidaan muodostaa diskreettiaikaisille eksponenttisignaaleille. Koska diskreettiaikainen kompleksinen eksponenttisignaali on jaksollinen, jos sen taajuus on rationaaliluku, valitaan, siten,,,2, (.3.7) Toisaalta (.3.8) Siten onkin olemassa vain kappaletta toisistaan erotettavissa olevaa jaksollista kompleksista eksponenttisignaalia,,,2,, (.3.9) Lineaarikombinaatio (.3.2) on jaksollinen funktio, jonka perusjakso on. Tämä on puolestaan jaksollisen diskreettiaikaisen signaalin Fourier-sarja, jonka Fourier-kertoimet ovat. Sekvenssiä kutsutaan signaalin :neksi harmoniseksi..4 A/D- ja D/A-muunnokset Useimmat signaalit ovat käytännössä analogisia, kuten esimerkiksi ääni- ja videosignaalit. Analogisen signaalin digitaalinen käsittely vaatii signaalin muuntamista digitaaliseen muotoon. Muuntoprosessia kutsutaan analogia-digitaalimuunnokseksi (A/D) ja vastaavaa laitetta puolestaan A/D-muuntimeksi (ADC). A/D-muunnos voidaan jakaa kolmeen vaiheeseen, kuten on esitetty kuvassa.4... Näytteenotto (eng. sampling) Jatkuva-aikainen signaali muunnetaan diskreettiaikaiseksi signaaliksi ottamalla näytteitä jatkuva-aikaisesta signaalista diskreeteillä ajanhetkillä. Siten, jos on näytteistäjän tulo, on lähtö tällöin, missä on näytteenottoväli.

8 Johdanto ), K K E N = J O JJA A JJ N L = JEI E JE N G @ = K I ) = C E A I EC = = E Kuva.4.. A/D-muuntimen perusosat. 2. Kvantisointi (eng. quantization) Diskreettiaikainen jatkuva-arvoinen signaali muunnetaan diskreettiaikaiseksi diskreettiarvoiseksi (digitaaliseksi) signaaliksi. Diskreettejä arvoja on äärellinen määrä riippuen käytössä olevista bittien määrästä. Eroa kvantisoimattoman ja kvantisoidun signaalin välillä kutsutaan kvantisointivirheeksi,. 3. Koodaus (eng. coding), EI HA A JJE= E = E A I EC = = E L = JEI EJK I EC = = E Jokainen diskreetti arvo esitetään -bittisenä binäärilukuna., EC EJ= = E A I EC = = E Digitaalisen signaalin muuntamista analogiseksi kutsutaan digitaali-analogiamuunnokseksi (D/A). D/Amuunnosta ei tarvita kaikissa sovelluksissa. D/A-muunnos yhdistää diskreettiaikaisen signaalin pisteet jatkuva-aikaiseksi käyttäen jonkinlaista interpolointia. Kuvassa.4.2 on esitetty yksinkertainen interpolaattori, nollannen asteen pitopiiri (eng. zero-order hold). Toinen vaihtoehto on lineaarinen interpolaattori. ) F EJK @ E 6 " 6 $ 6 & 6 ) E = Kuva.4.2. Nollannen asteen pitopiiri (D/A-muunnos), missä alkuperäinen signaali on katkoviivalla ja porrasapproksimaatio yhtenäisellä viivalla..4. Näytteenotto Tarkastellaan jaksollista näytteenottoa, joka on eniten käytetty menetelmä käytännön toteutuksissa. Tämä voidaan kuvata seuraavasti,, (.4.) missä on näytteenottoväli (eng. sampling period or sample interval). on näytteenottotaajuus (eng. sampling frequency) [Hz]. Näytteenottoproseduuri on esitetty kuvassa.4.3.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 9 ) = C E A I EC = = E N = J O JJA A JJ. I 6 N N = 6, EI HA A JJE= E = E A I EC = = E N = J N N = J N N = 6 J! " # $ % & ' 6 6 # 6 ' 6 J 6 Kuva.4.3. Analogisen signaalin jaksollinen näytteistys. Jatkuva-aikaisen signaalin aikamuuttujan ja diskreettiaikaisen signaalin aika-indeksin välillä on yhteys (.4.2) Yhtälön (.4.2) seurauksena taajuusmuuttujien (tai Ω) ja (tai ) välillä on myös riippuvuussuhde. Tarkastellaan siten analogista sinisignaalia cos2π Θ (.4.3) joka näytteistetään jaksollisesti nopeudella näytettä sekunnissa, jolloin saadaan cos2π cos 2π (.4.4) Jos nyt verrataan yhtälöä (.4.4) yhtälöön (.3.9), huomataan, että taajuusmuuttujilla ja on lineaarinen riippuvuus (.4.5) tai vastaavasti Ω (.4.6) Yhtälön (.4.5) mukaista taajuutta kutsutaan suhteelliseksi (eng. relative) tai normalisoiduksi (eng. normalized) taajuudeksi. Edeltä muistetaan taajuusalueet jatkuva-aikaisille sinisignaaleille Ω Vastaavasti taajuusalueet diskreettiaikaisille sinisignaaleille (.4.7) 2 2 (.4.8) ππ Sijoittamalla yhtälöt (.4.5) ja (.4.6) yhtälöön (.4.8) saadaan diskreettiaikaisen signaalin taajuusrajoituksista rajoitukset näytteenottotaajuudella näytteistettävälle analogiasignaalille tai 2 2 2 2 (.4.9) π π Ωπ π (.4.)

2 Johdanto Koska diskreettiaikaisen signaalin suurin taajuus π tai, seuraa tästä se, että näytteenottotaajuudella vastaava jatkuva-aikaisen signaalin suurin taajuus, joka voidaan yksilöllisesti esittää, on 2 2 Ω π π Tarkastellaan seuraavaksi, mitä tapahtuu taajuuksille, jotka ovat taajuuden 2 yläpuolella. Esimerkki.4. Tarkastellaan kahta analogista sinisignaalia (.4.) cos2π (.4.2) cos2π5 jotka näytteistetään taajuudella 4 Hz. Vastaavat diskreettiaikaiset signaalit ovat cos2π 4 cosπ 2 (.4.3) cos2π 5 4 cos5π 2 missä cos5π 2 cos2π π 2 cosπ 2. Siten eli signaalit ovat identtisiä, eikä niitä pystytä erottamaan toisistaan. Taajuus 5 Hz on siis taajuuden Hz laskostuma, kun näytteenottotaajuus on 4 näytettä sekunnissa. On tärkeää huomata, että ei ole :n ainoa laskostuma. Jos näytteenottotaajuus on 4 näytettä sekunnissa, niin taajuus 9 Hz on myös taajuuden laskostuma, kuten myös taajuus 3 Hz, ja niin edelleen. Siten kaikki sinisignaalit cos2π 4,, 2, 3, 4, ovat identtisiä ja taajuuden Hz laskostumia, kun näytteenottotaajuus on 4 näytettä sekunnissa. Yleisesti, jatkuva-aikaisen sinisignaalin cos2π Θ (.4.4) näytteistäminen näytteenottotaajuudella tuottaa diskreettiaikaisen signaalin cos2π (.4.5) missä on sinisignaalin suhteellinen taajuus. Jos oletetaan, että 2 2, niin signaalin taajuus on alueella. Tässä tapauksessa taajuuksien ja yhteys on yksi yhteen ja siksi analoginen signaali on mahdollista rekonstruoida näytearvoista. Toisaalta, jos sinisignaalit cos2π Θ (.4.6) missä,, 2, (.4.7) ovat näytteitä näytteenottotaajuudella, on selvää, että taajuus on perustaajuusalueen 2 2 ulkopuolella. Siten näytteistetty signaali cos2π cos 2π 2π

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 2 cos2π on siis identtinen yhtälön (.4.5) mukaisen diskreettiaikaisen signaalin kanssa. Siten taajuudet ( 2) näyttävät samalta kuin taajuus. Yhteys jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuusmuuttujien välillä on esitetty kuvassa.4.4. B M F. I. I. I. I. F Kuva.4.4. Yhteys jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuusmuuttujien välillä jaksollisessa näytteenotossa. Esimerkki laskostumisesta on esitetty kuvassa.4.5, missä kaksi sinisignaalia, joiden taajuudet Hz ja Hz, antavat samat näytteen arvot, kun niistä otetaan näytteitä taajuudella Hz. Yhtälön (.4.7) perusteella saadaan, että ja siten Hz Hz..5 Amplitudi.5 2 3 4 5 6 7 8 Aika [s] Kuva.4.5. Laskostumisen havainnollistaminen. Esimerkki.4.2 Tarkastellaan analogista signaalia 3cosπ (a) Määritä miniminäytteistystaajuus, jotta vältytään laskostumiselta. (b) Oletetaan, että signaalista otetaan näytteitä taajuudella 2 Hz. Mikä on saatava diskreettiaikainen signaali näytteenoton jälkeen? (c) Oletetaan, että signaalista otetaan näytteitä taajuudella 75 Hz. Mikä on saatava diskreettiaikainen signaali näytteenoton jälkeen? (d) Mikä on sinisignaalin taajuus 2, josta saadaan samat näytearvot kuin kohdassa (c)? Ratkaisu.4.2 (a) Analogisen signaalin taajuus 5 Hz. Siten miniminäytteenottotaajuus, jotta vältetään laskostuminen, on Hz.

22 Johdanto (b) Jos 2 Hz, niin diskreettiaikainen signaali on 3cos π 2 3 cos π 2 (c) Jos 75 Hz, niin diskreettiaikainen signaali on 3cos π 75 3 cos 4π 3 3 cos 2π 2π 3 3cos2π 3 (d) Kun 75 Hz, niin 75 Kohdan (c) diskreettiaikaisen sinisignaalin taajuus. Siten 25 Hz ja rekonstruoitu analoginen sinisignaali 3cos2π 3cos5π Täten taajuus 5 Hz on taajuuden 25 Hz laskostuma, kun näytteenottotaajuus on 75 Hz..4.2 Näytteenottoteoreema Jos analogiasignaalin sisältämä suurin taajuus on ja signaalista otetaan näytteitä taajuudella 2 2, niin voidaan rekonstruoida tarkasti näytearvoistaan, kun käytetään interpolointifunktiota sin2π sinc2 (.4.8) 2π Näytteenottoteoreeman perusteella rekonstruoitu signaali voidaan ilmaista muodossa (.4.9) missä ovat näytteitä signaalista. Jos signaalista otetaan näytteitä miniminäytteenottotaajuudella 2, niin yhtälöstä (.4.9) saadaan sin 2π 2 2 2π 2 sinc 2 2 2 (.4.2) Tällainen rekonstruointi on ideaalinen, mutta vaadittu näytteiden ääretön määrä tekee käytännön toteuttamisen mahdottomaksi. Näytteenottotaajuutta 22 kutsutaan Nyquist-taajuudeksi. Kuvassa.4.6 on esitetty ideaalinen D/A-muunnosprosessi, jossa käytetään yhtälön (.4.8) mukaista interpolointifunktiota.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 23 N = J O JA N = JI J= 6 6 6 6 6 Kuva.4.6. Ideaalinen D/A-muunnos (interpolointi). J Esimerkki.4.3 Analogiasignaalia kuvaa funktio 3cos5π sin3π cosπ Mikä on signaalin Nyquist-taajuus? Ratkaisu.4.3 Signaali sisältää taajuudet 25 Hz, 5 Hz, 5Hz Siten 5 Hz ja Nyquist-taajuus 2. Siten 3 Hz Huomaa, jos 3 Hz, niin 3cos 5π sin 3π cos π 3 3 3 3cos π sinπ cos π 6 3 Tämän takia valitaan 3 Hz. Esimerkki.4.4 Tarkastellaan analogista signaalia 3cos2π 5sin6π cos2π (a) Mikä on signaalin Nyquist-taajuus? (b) Signaalista otetaan näytteitä näytteenottotaajuudella 5 Hz. Mitä taajuuksia saatava diskreettiaikainen signaali sisältää? Jos tapahtuu laskostumista, miltä taajuuksilta laskostuvat taajuudet näyttävät? (c) Mikä analoginen signaali saadaan signaalista, jos käytettävissä on ideaalinen interpolaattori? Ratkaisu.4.4 Esitetään luennolla. Laskostumista pyritään yleensä välttämään, mutta sille on olemassa muutamia hyödyllisiä käytännön sovelluksia, kuten stroboskooppi ja näytteenotto-oskilloskooppi. Tarkastellaan signaalia, joka sisältää suuritaajuisia komponentteja taajuuskaistalla, missä on signaalin kaistanleveys.

24 Johdanto Oletetaan, että. Tällöin signaalin sisältämät taajuuskomponentit ovat paljon suurempia kuin sen kaistanleveys. Tällaisia signaaleja kutsutaan kaistanpäästö tai kapeakaistaisiksi signaaleiksi. Jos tällaisesta signaalista otetaan näytteitä näytteenottotaajuudella 2, mutta, niin kaikki signaalin taajuuskomponentit ovat laskostumia taajuusalueella 2. Siten, jos tarkastellaan signaalin taajuussisältöä peruskaistalla 2, niin analogiasignaalin taajuussisältö tiedetään tarkasti, koska alkuperäinen taajuuskaista on tunnettu. Tällöin alkuperäinen signaali voidaan rekonstruoida näytteistä olettaen, että siitä on otettu näytteitä näytteenottotaajuudella 2, missä on kaistanleveys. Esimerkki.4.5 Eräästä signaalista tiedetään, että sen sisältämä energia on kokonaan taajuuksien 9 MHz ja MHz välissä. Signaalista muodostetaan näytteenotolla digitaalinen signaali. Mikä on tarvittava miniminäytteistystaajuus? Ratkaisu.4.5 Signaalin taajuuskaista MHz. Koska alkuperäinen taajuuskaista on tunnettu, eikä signaali sisällä muita taajuuksia, voidaan käyttää näytteenottotaajuutta 2, koska tällöin kaikki signaalin taajuuskomponentit laskostuvat taajuusalueelle 2. Siten, 2 MHz. MATLAB: sinc.4.3 Kvantisointi Diskreettiaikaisen jatkuva-arvoisen signaalin muuntamista digitaaliseksi signaaliksi kutsutaan kvantisoinniksi. Tällöin näytearvojen esittämiseen on käytössä äärellinen määrä arvoja (vrt. bittien määrä). Todellisen arvon ja kvantisoidun arvon välistä eroa kutsutaan kvantisointivirheeksi (eng. quantization error) tai kvantisointikohinaksi (eng. quantization noise). Kvantisointivirhe on siis (.4.2) Signaalin kvantisointi hävittää siis informaatiota. Kvantisointia voidaan havainnollistaa esimerkin avulla. Tarkastellaan diskreettiaikaista signaalia,9,, joka on saatu ottamalla näytteitä analogisesta eksponenttisignaalista,9, näytteenottotaajuudella Hz, kuten on esitetty kuvassa.4.7(a). Oletetaan nyt, että halutaan käyttää ainoastaan yhtä merkitsevää desimaalia. Muiden desimaalien poissulkeminen voidaan tehdä joko katkaisemalla (eng. truncation) tai pyöristämällä (eng. rounding). Taulukossa. on esitetty kvantisoitujen signaalien kymmenen ensimmäistä arvoa, kun kvantisoinnissa käytetään pyöristystä ja katkaisua. Pyöristysprosessi on esitetty myös graafisesti kuvassa.4.7(b). Arvoja, jotka ovat sallittuja digitaalisessa signaalissa, kutsutaan kvantisointitasoiksi. Vastaavasti peräkkäisten kvantisointitasojen väliä Δ kutsutaan kvantisointiaskeleeksi tai resoluutioksi. Kvantisointivirhe pyöristyksessä on rajoittunut Δ 2ja Δ 2välille, siten Δ 2 Δ 2 (.4.22) Siten hetkellinen kvantisointivirhe on rajoittunut puoleen kvantisointiaskeleesta. Jos ja ovat signaalin minimi- ja maksimiarvot ja kvantisointitasojen lukumäärä, niin silloin Δ (.4.23) Signaalin dynaaminen alue on. Edellisessä esimerkissä, ja, siten Δ,. Jos dynaaminen alue pysyy vakiona, silloin kvantisointitasojen lukumäärän kasvattaminen pienentää kvantisointiaskeleen kokoa, pienentää kvantisointivirhettä ja kasvattaa tarkkuutta. Analogisten signaalien kvantisointi hävittää aina informaatiota.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 25 & $ " N ' N = J ' J L = JE I E JE = K A & $ "! " # $ % & 6 N = J ' J (a) N G, L = JEI E JE J= I L = JEI E JE = I A (b) Kuva.4.7. Kvantisoinnin havainnollistaminen. (a) Näytteitä analogisesta signaalista. (b) Kvantisoidut näytteet analogisesta signaalista. Taulukko.. Kvantisointi yhden desimaalin tarkkuudella, kun kvantisointi tehdään katkaisemalla ja pyöristämällä.! " # $ % & 6 Diskreettiaikainen signaali Katkaisu Pyöristys Pyöristys,,,,9,9,9, 2,8,8,8, 3,729,7,7,29 4,656,6,7,439 5,5949,5,6,95 6,5344,5,5,344 7,4782969,4,5,273 8,434672,4,4,34672 9,38742489,3,4,25795 MATLAB: round, floor, ceil, fix.4.4 Sinimuotoisten signaalien kvantisointi Kuvassa.4.8 on esitetty analogisen sinisignaalin cosω näytteenotto ja kvantisointi käyttämällä suorakaideverkkoa. Käytännössä suorakaiteen muotoinen signaali saadaan käyttämällä nollannen asteen pitopiiriä. Kvantisointivirheen suuruutta voidaan kuvata signaali-kvantisointikohinasuhteen (eng. signal-toquantization noise ratio, SQNR) avulla. Sinimuotoiselle signaalille voidaan johtaa SQNR 3 2 2 (.4.24) missä on bittien lukumäärä, ja vastaavasti desibeleinä SQNRdB log SQNR log 3 2 2,766,2 (.4.25)

26 Johdanto Sananpituuden kasvattaminen yhdellä bitillä kasvattaa signaali-kvantisointikohinasuhdetta siis noin 6 db, mikä vastaa kvantisointitasojen lukumäärän tuplaamista. Esimerkiksi CD-standardin mukainen näytteenottotaajuus on 44 khz ja 6-bittinen näyteresoluutio, mikä vastaa siten yli 96 db:n kvantisointikohinasuhdetta. ) F EJK @ E @ EI HA J E JE ) E = @ EI HA J E JE ) F EJK @ E ",!,,,,,!, ", L = JEI EJK O JA N G 6 L = JEI E = J O JA N = 6 ) K F A H E A = = C E= I EC = = E N = J 6 6! 6 " 6 # 6 $ 6 % 6 & 6 ' 6 ) E =, ) K K JE A D J N G J L = JEI E JE = K A J, L = JEI E JE = I A L = JEI E JE J= I Kuva.4.8. Sinimuotoisen signaalin näytteenotto ja kvantisointi..4.5 Kvantisoitujen signaalien koodaaminen Koodauksessa kukin kvantisointitaso kuvataan omalla binääriluvulla. Jos kvantisointitasoja on kappaletta, tarvitaan vähintään eri binäärilukua. Sananpituudella bittiä voidaan kuvata 2 eri binäärilukua. Siten on oltava 2, joten tarvitaan vähintään log (.4.26) bittiä. Taulukon. esimerkissä tarvitaan siten vähintään 4 bittiä. Yleisesti voidaan sanoa, että mitä suurempi näytteenottotaajuus ja hienompi kvantisointi, sitä kalliimpi käytännön toteutus on. Esimerkki.4.6 PCM (eng. pulse code modulation) äänen välitykseen on käytössä kanava, missä 36 bps. Etsi sopivat arvot kvantisoinnissa käytettävälle bittimäärälle, kvantisointitasoille ja näytteistystaajuudelle oletuksella 3,2 khz. Ratkaisu.4.6 Kanavalle joten 36 bps, 2 64 Hz 36 b s 64 s 5,6 5 ja 2 2 32, 7,2kHz CD-standardi: 6, 44, khz 75,6 kbps kaksi kanavaa (stereo) 2,42 Mbps

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 27 2 log2 96 db (dynaaminen alue) Lisäksi virheenkorjausinformaatio yms.

29 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Tässä kappaleessa käsitellään diskreettiaikaisten järjestelmien aikatason ominaisuuksia. Erityisesti keskitytään lineaarisiin aikainvariantteihin (eng. linear time-invariant, LTI) järjestelmiin. LTI-järjestelmiä nimitetään myös siirtoinvarianteiksi (eng. shift-invariant) järjestelmiksi. LTI-järjestelmät ovat tärkeitä kahdesta syystä; LTI-järjestelmien analyysiin on olemassa paljon matemaattisia työkaluja ja monet käytännön järjestelmät ovat joko LTI-järjestelmiä tai niitä voidaan approksimoida LTI-järjestelminä. 2. Diskreettiaikainen signaali Diskreettiaikainen signaali on riippumattoman kokonaislukumuuttujan funktio. On tärkeää huomata, että diskreettiaikainen signaali on määritelty vain tietyillä ajanhetkillä ( kokonaisluku) ja muulloin sen tila on määrittelemätön ( muu kuin kokonaisluku). Diskreettiaikainen signaali tai sekvenssi voidaan esittää neljällä yleisimmin käytetyllä tavalla:. Graafisesti, kuten on esitetty kuvassa 2... N ' % # % % "!! " # Kuva 2... Diskreettiaikaisen signaalin graafinen esitys. 2. Funktiomuodossa, kuten, kun, 3 4, kun 2, muuten 3. Taulukkomuodossa, kuten & & (2..) 2 2 3 4 5 4 4. Lukujonona Äärettömän pituinen signaali tai sekvenssi, kun aikaorigo ( ) on merkitty symbolilla, voidaan esittää,,,, 4,,,, Vastaavasti jos, sekvenssi, kun, voidaan esittää,, 4,,,, Äärellisen pituinen sekvenssi voidaan puolestaan esittää (2..2) (2..3) 3,, 2, 5,, 4, (2..4) Yhtälö (2..4) sisältää siis seitsemän näytettä tai pistettä ajan suhteen ja sitä voidaan kutsua 7-pisteiseksi sekvenssiksi.

3 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 2.. Joitakin diskreettiaikaisia alkeissignaaleja Jotkut perussignaalit esiintyvät usein ja näyttelevät tärkeää roolia diskreettiaikaisissa signaaleissa ja järjestelmissä. Tällaisia signaaleja esitellään seuraavaksi.. Yksikkönäytejono (yksikköimpulssi) (eng. unit sample sequence) määritellään, kun, kun (2..5) Yksikköimpulssi on siis signaali, joka on nolla kaikkialla muualla paitsi hetkellä, missä sen arvo on yksi. Yksikköimpulssisignaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..2. δ (n).5... 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7... n Kuva 2..2. Yksikköimpulssisignaalin graafinen esitys. 2. Yksikköaskelsignaali (eng. unit step signal) määritellään, kun, kun Yksikköaskelsignaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..3. (2..6) u(n).5... 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7... n Kuva 2..3. Yksikköaskelsignaalin graafinen esitys. 3. Yksikköramppisignaali (eng. unit ramp signal) määritellään, kun, kun Yksikköramppisignaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..4. (2..7) u r (n) 7 6 5 4 3 2... 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7... n Kuva 2..4. Yksikköramppisignaalin graafinen esitys. 4. Eksponenttisignaali (eng. exponential signal) määritellään kaikilla : n arvoilla (2..8)

2. Diskreettiaikainen signaali 3 Jos parametri on reaalinen, myös on reaalinen signaali. Kuvassa 2..5 on esitetty eri parametrin arvoilla. < a < a > x(n) x(n)... 2 2 3 4 5 6 7 8 9...... 2 2 3 4 5 6 7 8 9... n n < a < a < x(n) x(n)... 2 2 3 4 5 6 7 8 9...... 2 2 3 4 5 6 7 8 9... n n Kuva 2..5. Eksponenttisignaalin graafinen esitys eri parametrin arvoilla. Jos parametri on kompleksiarvoinen, se voidaan esittää cos sin missä ja ovat nyt parametreja. Siten cos sin (2..9) Koska on nyt kompleksiarvoinen, voidaan se esittää graafisesti piirtämällä sekä reaaliosa cos (2..) että imaginaariosa sin (2..) :n funktiona. Kuvassa 2..6 on esitetty ja, kun,9, π ja 4. Kuvasta 2..6 huomataan, että signaalit ja ovat vaimeneva kosini- ja sinifunktio. Kulmamuuttuja on sinimuotoisen signaalin taajuus. Jos, vaimennus katoaa ja signaaleilla, ja on vakioamplitudi..5 x R (n).5 5 5 2 25 3 35 4 n (a)

32 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät.5 x I (n).5 5 5 2 25 3 35 4 n (b) Kuva 2..6. Kompleksiarvoisen eksponenttisignaalin reaali- ja imaginaarikomponentit, kun,9, π ja 4. (a) Reaaliosa. (b) Imaginaariosa. Vaihtoehtoisesti yhtälön (2..9) signaali voidaan esittää amplitudin (2..2) ja vaiheen (2..3) funktiona. Kuvassa 2..7 on esitetty ja, kun,9, π ja 4. A(n).5 5 5 2 25 3 35 4 n (a) π π/2 φ(n) π/2 π 5 5 2 25 3 35 4 n (b) Kuva 2..7. Kompleksiarvoisen eksponenttisignaalin amplitudi ja vaihe, kun,9, π ja 4. (a) Amplitudi,9. (b) Vaihe π välillä π,π. Kuvasta 2..7 huomataan, että vaihefunktio on lineaarinen :n suhteen. Vaihe on kuitenkin määritelty ainoastaan välillä π π tai vastaavasti välillä 2π ja siten myös on määritelty tälle välille. MATLAB: stem 2..2 Diskreettiaikaisten signaalien luokittelu Diskreettiaikaisten signaalien ja järjestelmien analyysissä käytettävät matemaattiset menetelmät ovat riippuvaisia signaalien ominaisuuksista. Diskreettiaikaiset signaalit voidaan luokitella useiden eri ominaisuuksien mukaan. Energia- ja tehosignaalit

2. Diskreettiaikainen signaali 33 Signaalin sisältämä energia määritellään seuraavasti (2..4) Yhtälöä (2..4) voidaan soveltaa sekä kompleksiarvoisiin, että reaalisiin signaaleihin. Signaalin energia voi olla äärellinen tai ääretön. Jos on äärellinen ( ), signaalia kutsutaan energiasignaaliksi (eng. energy signal). Energiaa voidaan myös merkitä käyttäen merkintää, jolla korostetaan, että on signaalin energia. Useilla signaaleilla, joilla on ääretön energia, on äärellinen keskimääräinen teho. Signaalin keskimääräinen teho lim 2 Jos signaalin energia määritellään äärelliselle välille, kuten voidaan tällöin signaalin energia esittää seuraavasti (2..5) (2..6) lim (2..7) ja signaalin keskimääräinen teho lim 2 (2..8) Tästä nähdään selvästi, jos signaalin energia on äärellinen, on keskimääräinen teho nolla. Toisaalta, jos on ääretön, voi keskimääräinen teho olla joko äärellinen tai ääretön. Jos taas on äärellinen ja nollasta poikkeava, signaalia kutsutaan tehosignaaliksi (eng. power signal). Esimerkki 2.. Määritä yksikköaskeleen (keskimääräinen) teho ja energia ja totea, onko signaali energia- vai tehosignaali. Ratkaisu 2.. Teho on lim 2 lim 2 lim 2 2 Yksikköaskelsekvenssi on tehosignaali ja sen energia on ääretön. Samaan tapaan voidaan näyttää, että kompleksisen eksponenttisignaalin keskimääräinen teho on ja se on siten tehosignaali. Toisaalta, yksikköramppisignaali ei ole teho- eikä energiasignaali. Jaksolliset ja jaksottomat signaalit Signaali on jaksollinen (eng. periodic) jaksolla ( ) jos ja vain jos (2..9) Pienin, jolle yhtälö (2..9) pätee, kutsutaan perusjaksoksi. Jos ei ole olemassa yhtään :n arvoa, joka toteuttaisi yhtälön (2..9), on signaali jaksoton (eng. nonperiodic, aperiodic). Kuten edellä on todettu, sinimuotoinen signaali sin2π (2..2)

34 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät on jaksollinen, jos sen taajuus on rationaaliluku (2..2) missä ja ovat kokonaislukuja (, ). Jaksollisen signaalin energia yhden jakson aikana on äärellinen, jos saa tuona aikana pelkästään äärellisiä arvoja. Jaksollisen signaalin kokonaisenergia ( ) on kuitenkin aina ääretön. Jaksollisen signaalin keskimääräinen teho on äärellinen ja se on suuruudeltaan sama kuin keskimääräinen teho yhden jakson aikana Siten jaksolliset signaalit ovat tehosignaaleja. Symmetriset (parilliset) ja antisymmetriset (parittomat) signaalit Reaaliarvoinen signaali on symmetrinen (parillinen) (eng. symmetric, even), jos (2..22) (2..23) Signaali on toisaalta antisymmetrinen (pariton) (eng. antisymmetric, odd), jos (2..24) Parittomilla signaaleilla. Kuvassa 2..8 on esitetty esimerkki molemmista signaaleista. 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a) x o (n) x e (n) 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b) Kuva 2..8. Esimerkkisignaalit. (a) Parillinen signaali. (b) Pariton signaali. Mielivaltainen signaali voidaan esittää parillisen ja parittoman signaalikomponentin summana. Parillinen signaalikomponentti muodostetaan seuraavasti (2..25) 2 toteuttaa siis symmetrisyysehdon (2..23). Vastaavasti pariton signaalikomponentti muodostetaan

2. Diskreettiaikainen signaali 35 (2..26) 2 toteuttaa siis antisymmetrisyysehdon (2..24). Nyt voidaan muodostaa mielivaltainen signaali näiden summana (2..27) 2..3 Perusoperaatiot diskreettiaikaisille signaaleille Riippumattoman muuttujan (aika) muunnokset Signaalin viivästäminen :lla näytteellä Signaalin edistäminen :lla näytteellä Talletettuja signaaleja voidaan sekä viivästää että edistää, mutta reaaliajassa käsiteltävää signaalia voidaan vain viivästää. Esimerkki 2..2 Signaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..9(a). Esitä graafisesti signaalit 3 ja 2. Ratkaisu 2..2 Signaali 3 saadaan viivästämällä signaalia kolmella aikayksikköllä. Tulos on esitetty kuvassa 2..9(b). Vastaavasti signaali 2 saadaan edistämällä signaalia kahdella aikayksikköllä. Tulos on esitetty kuvassa 2..9(c). Huomaa, että viive vastaa signaalin siirtämistä oikealle, kun taas edistäminen vasemmalle. x(n) x(n 3) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b)

36 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät x(n + 2) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (c) Kuva 2..9. Signaalin graafinen esitys. (a) Alkuperäinen signaali. (b) Viivästetty versio 3. (c) Edistetty versio 2. Toisessa hyödyllisessä signaalin muunnoksessa riippumaton muuttuja korvataan :llä. Huomaa, että korvaus ei tarkoita sijoitusta. Operaatiota kutsutaan heijastamiseksi (eng. reflection) tai taittamiseksi (eng. folding) ja tuloksena saadaan signaali taitettuna aikaorigon suhteen. On tärkeää huomata, että viivästäminen (tai edistäminen) ja heijastaminen eivät ole vaihdannaisia. Merkitään viivästämistä TD :lla ja heijastamista FD:llä, jolloin TD, FD Silloin (2..28) TD FD TD (2..29) FDTD FD (2..3) Kolmas riippumattoman muuttujan muunnos on näytteenottotaajuuden alentaminen (eng. down-sampling), jossa indeksi korvataan uudella indeksillä μ, missä μ on kokonaisluku. Esimerkki 2..3 Signaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..(a). Esitä graafisesti signaalit ja 2. Ratkaisu 2..3 Uusi signaali on esitetty kuvassa 2..(b). Huomaa, että on taitettu tai heijastettu aikaorigon suhteen. Vastaavasti signaali 2 on signaali viivästettynä kahdella aikayksiköllä. Tämä on esitetty kuvassa 2..(c). 4 3 x(n) 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a)

2. Diskreettiaikainen signaali 37 4 3 x( n) 2 x( n + 2) 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (c) Kuva 2... Signaalin graafinen esitys. (a) Alkuperäinen signaali. (b) Taitettu versio. (c) Taitettu ja viivästetty versio 2. Esimerkki 2..4 Signaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..(a). Esitä graafisesti signaali 2. Ratkaisu 2..4 Signaali saadaan, kun otetaan joka toinen näyte signaalista eli parittomat näytteet hypätään yli ja parilliset jätetään. Tulos on esitetty kuvassa 2..(b). x(n) 4 3 2 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a) 4 3 2 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b) Kuva 2... Signaalin graafinen esitys. (a) Alkuperäinen signaali. (b) Alinäytteistetty versio 2. x(2n)