Signaalien digitaalinen käsittely

Signaalien digitaalinen käsittely Antti Kosonen Syksy 25 LUT Energia Sähkötekniikka

Alkulause Luentomoniste pohjautuu kirjaan Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Proakis & Manolakis. Luentomoniste käsittelee kirjan kappaleet 8 poislukien kappale 6. Tämän takia luentomonisteen rakenne on jaettu seitsemään pääkappaleeseen. Pääkappaleet sisältävät omat alikappaleensa. Kappaleet sisältävät sekä teorian että esimerkit aihealueeseen liittyen. Luentomonisteessa olevista virheistä voi ilmoittaa tekijälle. Tämän luentomonisteen ensimmäinen versio ilmestyi vuonna 2. Vuoden 22 painokseen on korjattu merkittävä määrä painovirheitä. Vuoden 23 painokseen on tehty pieniä lisäyksiä, korjattu painovirheitä ja siitä on poistettu osa esimerkeistä, koska ne käydään läpi luennolla. Vuoden 25 painokseen on tehty hyvin pieniä lisäyksiä saadun palautteen perusteella.

Sisältö Johdanto 7. Signaalit, järjestelmät ja signaalinkäsittely... 7.. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän perusosat... 8..2 Digitaalisen signaalinkäsittelyn edut ja haitat... 8.2 Signaalien luokittelu... 9.2. Monikanavainen ja moniulotteinen signaali... 9.2.2 Jatkuva- ja diskreettiaikaiset signaalit....2.3 Jatkuva- ja diskreettiarvoiset signaalit....2.4 Deterministiset ja satunnaissignaalit... 2.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus... 3.3. Jatkuva-aikaiset sinisignaalit... 3.3.2 Diskreettiaikaiset sinisignaalit... 4.3.3 Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot... 6.4 A/D- ja D/A-muunnokset... 7.4. Näytteenotto... 8.4.2 Näytteenottoteoreema... 22.4.3 Kvantisointi... 24.4.4 Sinimuotoisten signaalien kvantisointi... 25.4.5 Kvantisoitujen signaalien koodaaminen... 26 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 29 2. Diskreettiaikainen signaali... 29 2.. Joitakin diskreettiaikaisia alkeissignaaleja... 3 2..2 Diskreettiaikaisten signaalien luokittelu... 32 2..3 Perusoperaatiot diskreettiaikaisille signaaleille... 35 2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät... 38 2.2. Järjestelmän tulo-lähtökuvaus... 38 2.2.2 Diskreettiaikaisten järjestelmien lohkokaavioesitys... 4 2.2.3 Diskreettiaikaisten järjestelmien luokittelu... 4 2.2.4 Diskreettiaikaisten järjestelmien kytkennät... 47 2.3 Diskreettiaikaisten LTI-järjestelmien analyysi... 48 2.3. Tekniikoita lineaaristen järjestelmien analyysiin... 48 2.3.2 Konvoluutiosumma... 49 2.3.3 Konvoluution ominaisuuksia... 5 2.3.4 Kausaaliset LTI-järjestelmät... 52 2.3.5 LTI-järjestelmien stabiilius... 53 2.3.6 FIR- ja IIR-järjestelmät... 54 2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä... 55 2.4. Rekursiiviset ja ei-rekursiiviset diskreettiaikaiset järjestelmät... 55 2.4.2 Vakiokertoimiset differenssiyhtälöt LTI-järjestelmille... 56 2.4.3 Lineaaristen vakiokertoimisten differenssiyhtälöiden ratkaiseminen... 59 2.5 Diskreettiaikaisten järjestelmien toteuttaminen... 63 2.5. LTI-järjestelmien toteutusrakenteet... 63 2.5.2 FIR-järjestelmien rekursiiviset ja ei-rekursiiviset toteutukset... 66 2.5.3 Diskreettiaikaisten järjestelmien ohjelmallinen toteuttaminen... 67 2.6 Diskreettiaikaisten signaalien korrelaatio... 68 2.6. Risti- ja autokorrelaatio... 69 2.6.2 Risti- ja autokorrelaation ominaisuuksia... 7 2.6.3 Jaksollisten signaalien korrelaatio... 7 2.6.4 Tulo-lähtökorrelaatiot... 72 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin 75 3. z-muunnos... 75 3.2 z-muunnoksen ominaisuuksia... 79 3.3 Rationaaliset z-muunnokset... 85 3.3. Navat ja nollat... 85 3.3.2 Navan sijainti ja kausaalisen signaalin käyttäytyminen aikatasossa... 86

3.3.3 LTI-järjestelmien siirtofunktio... 88 3.4 Käänteinen z-muunnos... 9 3.4. Pintaintegraalin laskenta... 9 3.4.2 Potenssisarjakehitelmä... 92 3.4.3 Osamurtokehitelmän ja taulukon käyttö... 92 3.5 LTI-järjestelmien analyysi z-tasossa... 96 3.5. Kausaalisuus ja stabiilius... 96 4 Signaalien taajuusanalyysi 99 4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi... 99 4.. Jatkuva-aikaisten jaksollisten signaalien Fourier-sarja... 4..2 Jatkuva-aikaisten jaksollisten signaalien tehotiheysspektri... 4..3 Jatkuva-aikaisten jaksottomien signaalien Fourier-muunnos... 4 4..4 Jatkuva-aikaisten jaksottomien signaalien energiatiheysspektri... 6 4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi... 9 4.2. Diskreettiaikaisten jaksollisten signaalien Fourier-sarja... 9 4.2.2 Diskreettiaikaisten jaksollisten signaalien tehotiheysspektri... 4.2.3 Diskreettiaikaisten jaksottomien signaalien Fourier-muunnos... 3 4.2.4 Fourier-muunnoksen suppeneminen... 4 4.2.5 Diskreettiaikaisten jaksottomien signaalien energiatiheysspektri... 7 4.2.6 Fourier- ja z-muunnoksen välinen yhteys... 8 4.3 Signaalin taajuus- ja aikatason ominaisuudet... 9 4.4 Diskreettiaikaisten signaalien Fourier-muunnoksen ominaisuuksia... 9 4.4. Fourier-muunnoksen symmetrisyysominaisuudet... 2 4.4.2 Fourier-muunnosteoreema ja sen ominaisuudet... 2 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi 25 5. LTI-järjestelmien taajuustason ominaisuudet... 25 5.2 LTI-järjestelmien taajuusvaste... 28 5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina... 28 5.3. Ideaalisen suodattimen ominaisuudet... 28 5.3.2 Suodatinten suunnittelu napoja ja nollia sijoittelemalla... 3 5.3.3 Käytännön suodatinten ominaisuudet... 3 5.3.4 Alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö- ja kaistanestosuodattimet... 3 5.3.5 Digitaaliset resonaattorit... 36 5.3.6 Notch-suodattimet... 39 5.3.7 Kampasuodattimet... 4 5.3.8 All-pass-suodattimet... 43 5.3.9 Digitaalinen sinioskillaattori... 46 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) 49 6. Taajuustason näytteistys: diskreetti Fourier-muunnos... 49 6.. Diskreettiaikaisten signaalien taajuustason näytteistys... 49 6..2 DFT... 5 6..3 DFT lineaarisena muunnoksena... 53 6..4 DFT:n yhteys muihin muunnoksiin... 54 6.2 Signaalien taajuusanalyysi DFT:n avulla... 56 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT) 63 7. DFT:n tehokas laskenta: FFT-algoritmit... 63 7.. DFT:n suora laskenta... 63 7..2 Hajota ja hallitse -menetelmä DFT:n laskennassa... 64 7..3 Radix-2-FFT-algoritmi... 66 Lähteet 7

7 Johdanto Digitaalinen signaalinkäsittely on kehittynyt voimakkaasti viimeisen 4 vuoden aikana. Kehityksen taustalla on ollut tietokoneiden ja mikroprosessorien laskentatehon kasvu, koon ja tehonkulutuksen pienentyminen sekä hintojen halpeneminen. Tämä on mahdollistanut kehittyneiden digitaalisten järjestelmien integroimisen moniin sovelluksiin. Järjestelmät pystyvät suorittamaan monimutkaisia digitaalisen signaalinkäsittelyn funktioita ja algoritmeja, jotka olisivat liian vaikeita ja/tai kalliita toteuttaa analogisilla järjestelmillä.. Signaalit, järjestelmät ja signaalinkäsittely Signaali on mikä tahansa suure, joka vaihtelee ajan, paikan tai minkä tahansa muuttujan tai muuttujien funktiona. Matemaattisesti signaali kuvataan yhden tai useamman muuttujan funktiona. Esimerkiksi funktiot 5 (..) 2 kuvaavat kahta signaalia, joista toinen muuttuu lineaarisesti ja toinen neliöllisesti riippumattoman muuttujan (aika) funktiona. Toinen esimerkkifunktio, 3 2 (..2) kuvaa signaalia, joka on kahden riippumattoman muuttujan ja funktio. Muuttujat voivat kuvata tässä tapauksessa paikkaa tasossa. Yhtälöissä (..) ja (..2) kuvatut signaalit kuuluvat luokkaan, missä funktionaalinen riippuvuus on tarkasti määritelty riippumattomilla muuttujilla. On kuitenkin olemassa tapauksia, jolloin funktionaalinen yhteys on tuntematon. Tällöin signaalin tarkka matemaattinen esittäminen ei ole mahdollista, kuten puhesignaalin tapauksessa. Esimerkki puhesignaalista on esitetty kuvassa... Amplitudi Kuva... Esimerkki puhesignaalista. Puhesignaali voidaan esittää eri amplitudisten ja taajuuksisten sinisignaalien summana seuraavasti sin2π.5.5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Aika [s] (..3) missä, ja ovat joukkoja sinisignaalien amplitudeja, taajuuksia ja vaiheita. Signaalin tuottamista voidaan ajatella järjestelmänä, joka vastaa herätteeseen. Järjestelmää kutsutaan tällöin signaalin lähteeksi. Järjestelmällä tarkoitetaan myös laitetta (eng. hardware), joka käsittelee signaalia, kuten esimerkiksi häiriöiden suodatus. Vastaavasti laitteen suorittamaa tehtävää nimitetään signaalinkäsittelyksi. Digitaalisen signaalinkäsittelyn yhteydessä järjestelmän määrittelyä on tarkoituksenmukaista laajentaa käsittämään konkreettisten laitteiden lisäksi myös operaatioiden ohjelmallisia toteutuksia (eng. software). Järjestelmä, johon implementoidaan menetelmä tai joukko sääntöjä ohjelmalla ja joka suorittaa vastaavat matemaattiset operaatiot, kutsutaan algoritmiksi (eng. algorithm).

8 Johdanto.. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän perusosat Useimmat signaalit, joita käsitellään, ovat luonteeltaan analogisia. Siten signaalit ovat jatkuvan muuttujan, kuten aika tai tila, funktioita ja voivat saada mitä tahansa arvoja. Tällöin signaalia voidaan käsitellä jollakin analogisella järjestelmällä (suodattimet, taajuusanalysaattorit tai taajuuskertojat), kuten on esitetty kuvassa..2, missä sekä tulo- että lähtösignaalit ovat analogisia. ) = C E A JK I EC = = E N = J ) = C E A I EC = = E I EJJA E O = J ) = C E A D J I EC = = E Kuva..2. Analoginen signaalinkäsittely. Digitaalinen signaalinkäsittely tarjoaa puolestaan vaihtoehtoisen tavan käsitellä analogista signaalia, kuten on esitetty kuvassa..3. ) = C E A = EF I J I K @ = JE ), K K E, EC EJ= = E A I EC = = E I EJJA E, ) K K E ) = C E A = EF I J I K @ = JE %! " # $ Kuva..3. Digitaalisen signaalinkäsittelyjärjestelmän lohkokaavio. Digitaalinen signaalinkäsittely tarvitsee rajapinnan analogisen signaalin ja digitaalisen signaalinkäsittelijän välille. Rajapintaa kutsutaan analogia-digitaalimuuntimeksi (eng. analog-to-digital converter, ADC), jonka lähtö on digitaalinen signaali. Vastaava rajapinta toisinpäin on digitaali-analogiamuunnin (eng. digital-toanalog converter, DAC). Huomaa, että kaikissa sovelluksissa ei välttämättä tarvita A/D- ja/tai D/Amuunninta. Kuvan..3 mukainen lohkokaavio voidaan jakaa seitsemään osaan:. Analoginen tulosignaali. 2. Analoginen alipäästösuodatin, jonka tehtävänä on suodattaa Nyquist-taajuuden yläpuoliset taajuudet mahdollisimman hyvin pois, jotta vältetään laskostuminen. 3. A/D-muunnin, joka näytteistää, kvantisoi ja koodaa analogiasignaalin ja muodostaa näin digitaalisen tulosignaalin. 4. Digitaalinen signaalinkäsittelijä, joka käsittelee signaalia digitaalisesti ja muodostaa digitaalisen lähtösignaalin. 5. D/A-muunnin, joka muodostaa jatkuva-aikaisen signaalin interpoloimalla käsitellyn diskreettiaikaisen signaalin näytteiden välille. 6. Analoginen alipäästösuodatin, jonka tehtävänä on suodattaa D/A-muunnoksen epäideaalisesta interpolaatiosta johtuvat suurtaajuiset häiriöt pois (Nyquist-taajuuden yläpuolelta). 7. Analoginen lähtösignaali...2 Digitaalisen signaalinkäsittelyn edut ja haitat On olemassa useita syitä, miksi kannattaa mieluummin käyttää digitaalista signaalinkäsittelyä analogisen signaalin käsittelyyn kuin analogista. Ensiksi, ohjelmoitavat digitaaliset järjestelmät ovat joustavia, jolloin muutosten tekeminen on helppoa ja se onnistuu ainoastaan muuttamalla ohjelmaa. Vastaava operaatio analogisella järjestelmällä vaatisi laitteistomuutoksen ja siten uudelleen suunnittelun. Tarkkuus on tärkeä parametri. Analogisissa piireissä komponenttien tarkkuus vaihtelee ja muuttuu jopa ajan myötä, jolloin tarkkuuden huomioon ottaminen suunnitteluvaiheessa on vaativaa. Toisaalta, digitaalisissa järjestelmissä tarkkuus on helpompi määritellä. Tarkkuus määräytyy A/D-muuntimen ja digitaalisen signaaliprosessorin (sananpituus, liukuvan pilkun vs. kiinteän pilkun aritmetiikka) mukaan. Tarkkuus voidaan siis määritellä matemaattisen tarkasti, esimerkiksi käytössä olevien bittien lukumäärän mukaan.

.2 Signaalien luokittelu 9 Digitaaliset signaalit voidaan tallentaa ilman häviöitä, jolloin niiden alkuperäinen laatu säilyy. Siten niitä voidaan analysoida off-line tilassa. Digitaalinen signaalinkäsittely mahdollistaa myös kehittyneiden ja monimutkaisten algoritmien toteuttamisen. Joissain tapauksissa digitaalinen implementointi on edullisempaa, mutta yksinkertaisissa tehtävissä se saattaa olla kalliimpaa kuin vastaavalla analogisella järjestelmällä ylimääräisen A/D-muunnoksen takia. Laajakaistaisten signaalien käsittelyssä digitaalisissa järjestelmissä tulee ongelmia laitteistorajoitusten takia. Laajakaistaiset signaalit tarvitsevat suurta näytteenottonopeutta A/D-muuntimilta ja nopeita digitaalisia signaaliprosessoreita ja täten ne voivat olla erittäin kalliita tai mahdottomia toteuttaa, koska ohjelman suorittaminen on hidasta johtuen laitteesta. A/D-muunnoksessa häviää informaatiota signaalin kvantisoinnin (rajallinen bittimäärä) takia..2 Signaalien luokittelu Signaalien luokittelun tarkoituksena helpottaa niiden matemaattista käsittelyä. Siten, signaalinkäsittelyssä tutkimus aloitetaan signaalien luokittelusta..2. Monikanavainen ja moniulotteinen signaali Signaali voi olla joko reaaliarvoinen, kuten sin3π tai vastaavasti kompleksiarvoinen, kuten cos3π sin3π Signaalit voivat olla minkä tahansa riippumattoman muuttujan funktioita, tavallisesti kuitenkin ajan. Signaali on monikanavainen (eng. multichannel), kun se sisältää useamman kuin yhden signaalikomponentin. Esimerkki tällaisesta signaalista on maanpinnan nopeus kolmen eri akselin suunnassa Nämä kolme signaalikomponenttia on esitetty kuvassa.2.. (a)

Johdanto (b) (c) Kuva.2.. Maanpinnan nopeuden kolme signaalikomponenttia (kolmikanavainen signaali). (a) Vaakasuunta. (b) Vaakasuunta. (c) Pystysuunta. Edellä olleet signaalit olivat yhden riippumattoman muuttujan funktioita. Tällöin signaalia kutsutaan yksiulotteiseksi (eng. one-dimensional). Signaalia kutsutaan -ulotteiseksi, jos se on :n riippumattoman muuttujan funktio. Kuvassa.2.2 esitetty valokuva on esimerkki kaksiulotteisesta signaalista, koska kirkkaus, jokaisessa pisteessä on kahden riippumattoman muuttujan funktio. Kuva.2.2. Kaksiulotteinen signaali.

.2 Signaalien luokittelu Toisaalta mustavalkotelevisiokuvassa kirkkaus,, esitetään ajan funktiona, jolloin se on kolmiulotteinen signaali. Vastaavasti väritelevisiokuva esitetään kolmen eri värin (punainen, vihreä, sininen) kirkkauden ajan funktiona. Siten väritelevision kuva on kolmikanavainen ja kolmiulotteinen signaali, joka voidaan esittää vektorina,,,,,,,, Tässä kurssimonisteessa käsitellään pääasiassa yksikanavaisia ja yksiulotteisia signaaleja, jotka voivat olla reaalisia tai kompleksisia..2.2 Jatkuva- ja diskreettiaikaiset signaalit Jatkuva-aikaiset (eng. continuous-time) tai analogiset (eng. analog) signaalit ovat määriteltyjä kaikilla ajanhetkillä jollakin aikavälillä (, ), missä voi olla ja voi olla. Signaalit voidaan siis kuvata matemaattisesti jatkuvan muuttujan funktiona. Diskreettiaikaiset (eng. discrete-time) signaalit ovat määriteltyjä vain tiettyinä ajanhetkinä. Ajanhetkien ei tarvitse olla tasavälisiä, mutta käytännössä ne kuitenkin ovat. Signaali,,,2, on esimerkki diskreettiaikaisesta signaalista. Jos ajanhetket ovat tasavälein, niin, missä on aikaindeksi ja aikaväli. Signaalin diskreettiaikaisuutta voidaan korostaa merkitsemällä signaalia :llä :n sijasta. Esimerkiksi sekvenssi,8, jos, muuten on diskreettiaikainen signaali ja se on esitetty kuvassa.2.3. (.2.) x(n).5 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n Kuva.2.3. Yhtälön (.2.) mukaisen diskreettiaikaisen signaalin graafinen esitys, kun 52. Diskreettiaikaisia signaaleja saadaan. Valitsemalla analogisen signaalin arvoja diskreetteinä ajanhetkinä: näytteenotto (eng. sampling). 2. Laskemalla yhteen muuttujan arvoa tietyn aikavälin aikana: esimerkiksi tietä ajavien autojen lukumäärä tunnissa..2.3 Jatkuva- ja diskreettiarvoiset signaalit Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien arvot voivat olla joko jatkuvia tai diskreettejä. Jos signaali voi saada kaikkia mahdollisia arvoja äärelliseltä tai äärettömältä väliltä, on se silloin jatkuva-arvoinen signaali. Vastaavasti, jos signaali saa ainoastaan tiettyjä arvoja äärellisestä joukosta, on se silloin diskreettiarvoinen. Signaalia kutsutaan digitaaliseksi (eng. digital) signaaliksi, jos se on diskreettiaikainen ja se saa vain diskreettejä arvoja. Kuvassa.2.4 on esitetty digitaalinen signaali.

2 Johdanto x(n) 2 3 4 5 6 7 8 n Kuva.2.4. Digitaalinen signaali, jolla on neljä amplitudin arvoa ja 8. Digitaalinen signaali saadaan analogisesta signaalista näytteistämällä se ensiksi diskreettiaikaiseksi ja sen jälkeen kvantisoimalla (eng. quantizing) se diskreettiarvoiseksi. Signaalit voidaan siis jakaa neljään eri kategoriaan riippuen niiden ominaisuuksista aikamuuttujan ja arvojen suhteen, kuten on esitetty kuvassa.2.5. Jatkuva-aikainen, jatkuva(-arvoinen) signaali Jatkuva-aikainen, diskreetti(arvoinen) signaali Diskreetti-aikainen, jatkuva(-arvoinen) signaali Diskreetti-aikainen, diskreetti(arvoinen) signaali 5 5 x a (t) x a (t) 5 2 3 4 5 t 5 2 3 4 5 t (a) (b) 5 5 x(n) x(n) 5 2 3 n 5 2 3 n (c) Kuva.2.5. Signaalin neljä eri kategoriaa sen aikamuuttujan ja arvojen suhteen. (a) Jatkuva-aikainen jatkuva signaali (analoginen signaali). (b) Jatkuva-aikainen diskreetti signaali. (c) Diskreettiaikainen jatkuva signaali. (d) Diskreettiaikainen diskreetti signaali (digitaalinen signaali). (d).2.4 Deterministiset ja satunnaissignaalit Signaalit voidaan myös jakaa niiden matemaattisen käsittelyn mukaan. Signaali on deterministinen (eng. deterministic), jos se voidaan yksilöidä matemaattisella mallilla. Tällöin signaali on siis tunnettava tarkasti ilman epävarmuutta. Monissa käytännön sovelluksissa signaaleja ei kuitenkaan tunneta, eikä niiden käyttäytymistä voida ennustaa. Siten niille ei voida muodostaa tarkkaa matemaattista malliakaan. Tällaisia signaaleja kutsutaan satunnaisiksi (eng. random) ja niitä käsitellään tilastollisesti. Signaalien luokittelu deterministiseksi tai satunnaiseksi on tärkeää, koska väärä luokittelu voi johtaa vääränlaisiin tuloksiin, koska jotkut menetelmät soveltuvat ainoastaan deterministisille ja toiset vain satunnaisille signaaleille. Luokittelu ei aina ole suoraviivaista.

.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus 3.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus Taajuus yhdistetään monesti jaksollisuuteen, kuten esimerkiksi sinisignaalin värähtelyyn. Taajuus on kääntäen verrannollinen aikaan. Jatkuva- ja diskreettiaikaisuus vaikuttaa siten myös taajuuteen..3. Jatkuva-aikaiset sinisignaalit Jatkuva-aikainen sinisignaali voidaan esittää seuraavasti cosω Θ, (.3.) missä alaindeksi a merkitsee analogista, on amplitudi, Ω kulmataajuus [rad/s] ja Θ (nolla)vaihekulma [rad]. Kulmataajuuden Ω sijaan käytetään usein taajuutta [Hz], missä Ω2π (.3.2) Siten yhtälö (.3.) voidaan kirjoittaa muotoon cos2π Θ, (.3.3) Yhtälön (.3.3) mukainen signaali on esitetty kuvassa.3.. N = J ) 6 F. )? I 3 J Kuva.3.. Yhtälön (.3.3) mukainen analoginen sinisignaali. Yhtälön (.3.3) mukaisella analogisella sinisignaalilla on seuraavat ominaisuudet: A. Signaali on jaksollinen, kun on vakio. Silloin missä on sinisignaalin perusjakso. A2. Eritaajuiset jatkuva-aikaiset sinisignaalit ovat eri signaaleita. A3. Taajuuden kasvattaminen johtaa värähdysten lukumäärän kasvamiseen tiettynä aikavälinä. Samat ominaisuudet pätevät myös kompleksisille signaaleille (.3.4) Kompleksinen signaali voidaan esittää Eulerin yhtälön avulla cos sin (.3.5) Taajuus on positiivinen suure, kun se esitetään jaksojen lukumääränä aikayksikköä kohden. Useissa tapauksissa käytetään kuitenkin negatiivista taajuutta ainoastaan matemaattisessa mielessä. Siten yhtälön (.3.) mukainen sinisignaali voidaan esittää cosω Θ 2 2 (.3.6) joka seuraa yhtälöstä (.3.5). Sinisignaali voidaan siis muodostaa summaamalla kaksi kompleksikonjugaattisignaalia, joilla on sama amplitudi. Näitä kutsutaan myös vaiheosoittimiksi ja ne on

4 Johdanto esitetty kuvassa.3.2. Vaiheosoittimet pyörivät vastakkaisiin suuntiin kulmataajuuksilla Ω [rad/s]. Siten positiivinen taajuus vastaa liikettä vastapäivään ja negatiivinen myötäpäivään. Analogisen signaalin taajuusalue on siten. ) 9 ) 9 J 3 9 J 3 4 A 9 Kuva.3.2. Kosinifunktion esittäminen kahdella vaiheosoittimella..3.2 Diskreettiaikaiset sinisignaalit Diskreettiaikainen sinisignaali voidaan esittää seuraavasti cos,, (.3.7) missä on kokonaislukumuuttuja (näytteen numero), sinisignaalin amplitudi, kulmataajuus [rad/s] ja vaihe [rad]. Kulmataajuuden sijasta voidaan käyttää taajuutta, joka on 2π (.3.8) silloin yhtälö (.3.7) saadaan muotoon cos2π,, (.3.9) Diskreettiaikaisen signaalin taajuutta merkitään siis pienellä kirjaimella ja jatkuva-aikaisen suurella kirjaimella. Kuvassa.3.3 on esitetty diskreettiaikainen sinisignaali, jonka taajuus π 6radiaania per näyte ( 2jaksoa per näyte) ja vaihe π 3rad. N ) Kuva.3.3. Diskreettiaikainen sinisignaali, kun π 6ja π 3. Diskreettiaikaisella sinisignaalilla on seuraavat ominaisuudet: B. Diskreettiaikainen signaali on jaksollinen vain, jos sen taajuus on rationaaliluku. Diskreettiaikainen signaali on jaksollinen, jos, (.3.) Pienin jakso, jolle yhtälö (.3.) pätee, on perusjakso. Todistus Yhtälön (.3.) mukaan sinisignaalille, jonka perusjakso on, pitää olla

.3 Jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuus 5 cos2π cos2π Yhtälö pätee, jos on olemassa vakio, jolloin 2π 2π eli jos (.3.) Siten diskreettiaikainen signaali on jaksollinen vain, jos sen taajuus voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena (siis on rationaaliluku). Perusjakson selvittämiseksi, perustaajuus esitetään yhtälön (.3.) mukaisesti ja supistetaan yhteiset tekijät. Esimerkiksi, jos 3 6, on perusjakso 6, mutta jos 3 6, on perusjakso 2. B2. Diskreettiaikaiset sinisignaalit, joiden taajuuksien ero on 2π:n monikerta, ovat samoja. Todistus Tarkastellaan signaalia cos. Tällöin cos 2π cos 2π cos (.3.2) Siten siis kaikki sinimuotoiset sekvenssit cos,,, 2, (.3.3) missä 2π, π π ovat yhtäsuuria. Toisaalta kaksi eritaajuista sekvenssiä väliltä π π tai ovat eri sekvenssejä. Sinisignaalilla, jonka π tai 2, on ekvivalenttinen signaali, jonka π. Signaalia, jonka taajuus π, nimitetään vastaavan signaalin, jonka taajuus π, laskostumaksi (eng. alias). Siten kaikki taajuudet välillä ππ tai ovat yksilöityjä, kun taas kaikki taajuudet välillä π tai ovat laskostuneita. B3. Diskreettiaikaisen sinisignaalin suurin värähtelytaajuus saadaan, kun π (tai π) tai vastaavasti (tai ). Ominaisuutta voidaan kuvata tarkastelemalla sinisignaalia cos kun kulmataajuutta muutetaan välillä π. Tarkastellaan kulmataajuuksia, π 6, π 8, π 4, π 2 ja π, jotka vastaavat taajuuksia,,,, ja. Nämä puolestaan tuottavat jaksollisen sekvenssin, joiden jaksot ovat, 32, 6, 8, 4 ja 2, kuten on esitetty kuvassa.3.4. Kuvasta.3.4 huomataan, että sinisignaalin jakso pienenee (värähtely kasvaa), kun taajuus kasvaa. Katsotaan seuraavaksi mitä tapahtuu kulmataajuuksilla välillä π 2π. Tarkastellaan siten sinisignaalia, jonka kulmataajuudet ja 2π. Kulmataajuus vaihtelee siis π:n ja 2π:n välillä, ja π:n ja :n välillä. Sijoittamalla kulmataajuudet saadaan cos cos cos cos2π cos (.3.4) Siten on siis :n laskostuma. Jos kosinifunktion paikalla olisi ollut sinifunktio, lopputulos olisi ollut sama sillä erolla, että signaalien ja välillä olisi ollut 8 vaihe-ero. Kuvassa.3.5 on esitetty

6 Johdanto sinisignaali taajuuksilla,,,, ja. Kuvasta.3.5 nähdään, että sinisignaalit vastaavat täysin kuvan.3.4 sinisignaaleja, koska ne ovat laskostumia. f = f =.325 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.625 2 3 4 n f =.25 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.25 2 3 4 n f =.5 x(n) x(n) 2 3 4 n 2 3 4 n Kuva.3.4. Signaali cos2π eri taajuuksilla välillä. f = f =.96875 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.9375 2 3 4 n f =.875 x(n) x(n) 2 3 4 n f =.75 2 3 4 n f =.5 x(n) x(n) 2 3 4 n 2 3 4 n Kuva.3.5. Signaali cos2π eri taajuuksilla välillä..3.3 Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot Harmonisessa suhteessa toisiinsa olevat kompleksiset eksponenttifunktiot (eng. harmonically related complex exponentials) ovat joukko jaksollisia kompleksisia eksponenttisignaaleja, jotka ovat yksittäisen positiivisen taajuuden monikertoja. Vaikka tässä käsitellään kompleksisia eksponenttisignaaleja, on sinisignaaleilla samat ominaisuudet.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 7 Jatkuva-aikaiset eksponenttisignaalit Jatkuva-aikaiset harmoniset eksponenttisignaalit ovat,,,2, (.3.5) Signaali on jaksollinen kaikilla :n arvoilla ja sen ominaistaajuus on. Jaksonpituus on puolestaan. Lisäksi kaikilla :n kokonaislukuarvoilla saatavat signaalit voidaan erottaa toisistaan, eli jos, niin. Yhtälön (.3.5) peruseksponenttisignaaleista voidaan muodostaa lineaarikombinaatio (.3.6) missä,,, 2, ovat kompleksisia vakioita. Signaalin perusjakso on ja sen yhtälön (.3.6) mukaista esitystä kutsutaan signaalin Fourier-sarjaksi. Kompleksiset vakiot ovat Fourier-sarjan kertoimia ja signaalia kutsutaan signaalin :neksi harmoniseksi. Diskreettiaikaiset eksponenttisignaalit Vastaavat harmoniset eksponenttisignaalit voidaan muodostaa diskreettiaikaisille eksponenttisignaaleille. Koska diskreettiaikainen kompleksinen eksponenttisignaali on jaksollinen, jos sen taajuus on rationaaliluku, valitaan, siten,,,2, (.3.7) Toisaalta (.3.8) Siten onkin olemassa vain kappaletta toisistaan erotettavissa olevaa jaksollista kompleksista eksponenttisignaalia,,,2,, (.3.9) Lineaarikombinaatio (.3.2) on jaksollinen funktio, jonka perusjakso on. Tämä on puolestaan jaksollisen diskreettiaikaisen signaalin Fourier-sarja, jonka Fourier-kertoimet ovat. Sekvenssiä kutsutaan signaalin :neksi harmoniseksi..4 A/D- ja D/A-muunnokset Useimmat signaalit ovat käytännössä analogisia, kuten esimerkiksi ääni- ja videosignaalit. Analogisen signaalin digitaalinen käsittely vaatii signaalin muuntamista digitaaliseen muotoon. Muuntoprosessia kutsutaan analogia-digitaalimuunnokseksi (A/D) ja vastaavaa laitetta puolestaan A/D-muuntimeksi (ADC). A/D-muunnos voidaan jakaa kolmeen vaiheeseen, kuten on esitetty kuvassa.4... Näytteenotto (eng. sampling) Jatkuva-aikainen signaali muunnetaan diskreettiaikaiseksi signaaliksi ottamalla näytteitä jatkuva-aikaisesta signaalista diskreeteillä ajanhetkillä. Siten, jos on näytteistäjän tulo, on lähtö tällöin, missä on näytteenottoväli.

8 Johdanto ), K K E N = J O JJA A JJ N L = JEI E JE N G @ = K I ) = C E A I EC = = E Kuva.4.. A/D-muuntimen perusosat. 2. Kvantisointi (eng. quantization) Diskreettiaikainen jatkuva-arvoinen signaali muunnetaan diskreettiaikaiseksi diskreettiarvoiseksi (digitaaliseksi) signaaliksi. Diskreettejä arvoja on äärellinen määrä riippuen käytössä olevista bittien määrästä. Eroa kvantisoimattoman ja kvantisoidun signaalin välillä kutsutaan kvantisointivirheeksi,. 3. Koodaus (eng. coding), EI HA A JJE= E = E A I EC = = E L = JEI EJK I EC = = E Jokainen diskreetti arvo esitetään -bittisenä binäärilukuna., EC EJ= = E A I EC = = E Digitaalisen signaalin muuntamista analogiseksi kutsutaan digitaali-analogiamuunnokseksi (D/A). D/Amuunnosta ei tarvita kaikissa sovelluksissa. D/A-muunnos yhdistää diskreettiaikaisen signaalin pisteet jatkuva-aikaiseksi käyttäen jonkinlaista interpolointia. Kuvassa.4.2 on esitetty yksinkertainen interpolaattori, nollannen asteen pitopiiri (eng. zero-order hold). Toinen vaihtoehto on lineaarinen interpolaattori. ) F EJK @ E 6 " 6 $ 6 & 6 ) E = Kuva.4.2. Nollannen asteen pitopiiri (D/A-muunnos), missä alkuperäinen signaali on katkoviivalla ja porrasapproksimaatio yhtenäisellä viivalla..4. Näytteenotto Tarkastellaan jaksollista näytteenottoa, joka on eniten käytetty menetelmä käytännön toteutuksissa. Tämä voidaan kuvata seuraavasti,, (.4.) missä on näytteenottoväli (eng. sampling period or sample interval). on näytteenottotaajuus (eng. sampling frequency) [Hz]. Näytteenottoproseduuri on esitetty kuvassa.4.3.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 9 ) = C E A I EC = = E N = J O JJA A JJ. I 6 N N = 6, EI HA A JJE= E = E A I EC = = E N = J N N = J N N = 6 J! " # $ % & ' 6 6 # 6 ' 6 J 6 Kuva.4.3. Analogisen signaalin jaksollinen näytteistys. Jatkuva-aikaisen signaalin aikamuuttujan ja diskreettiaikaisen signaalin aika-indeksin välillä on yhteys (.4.2) Yhtälön (.4.2) seurauksena taajuusmuuttujien (tai Ω) ja (tai ) välillä on myös riippuvuussuhde. Tarkastellaan siten analogista sinisignaalia cos2π Θ (.4.3) joka näytteistetään jaksollisesti nopeudella näytettä sekunnissa, jolloin saadaan cos2π cos 2π (.4.4) Jos nyt verrataan yhtälöä (.4.4) yhtälöön (.3.9), huomataan, että taajuusmuuttujilla ja on lineaarinen riippuvuus (.4.5) tai vastaavasti Ω (.4.6) Yhtälön (.4.5) mukaista taajuutta kutsutaan suhteelliseksi (eng. relative) tai normalisoiduksi (eng. normalized) taajuudeksi. Edeltä muistetaan taajuusalueet jatkuva-aikaisille sinisignaaleille Ω Vastaavasti taajuusalueet diskreettiaikaisille sinisignaaleille (.4.7) 2 2 (.4.8) ππ Sijoittamalla yhtälöt (.4.5) ja (.4.6) yhtälöön (.4.8) saadaan diskreettiaikaisen signaalin taajuusrajoituksista rajoitukset näytteenottotaajuudella näytteistettävälle analogiasignaalille tai 2 2 2 2 (.4.9) π π Ωπ π (.4.)

2 Johdanto Koska diskreettiaikaisen signaalin suurin taajuus π tai, seuraa tästä se, että näytteenottotaajuudella vastaava jatkuva-aikaisen signaalin suurin taajuus, joka voidaan yksilöllisesti esittää, on 2 2 Ω π π Tarkastellaan seuraavaksi, mitä tapahtuu taajuuksille, jotka ovat taajuuden 2 yläpuolella. Esimerkki.4. Tarkastellaan kahta analogista sinisignaalia (.4.) cos2π (.4.2) cos2π5 jotka näytteistetään taajuudella 4 Hz. Vastaavat diskreettiaikaiset signaalit ovat cos2π 4 cosπ 2 (.4.3) cos2π 5 4 cos5π 2 missä cos5π 2 cos2π π 2 cosπ 2. Siten eli signaalit ovat identtisiä, eikä niitä pystytä erottamaan toisistaan. Taajuus 5 Hz on siis taajuuden Hz laskostuma, kun näytteenottotaajuus on 4 näytettä sekunnissa. On tärkeää huomata, että ei ole :n ainoa laskostuma. Jos näytteenottotaajuus on 4 näytettä sekunnissa, niin taajuus 9 Hz on myös taajuuden laskostuma, kuten myös taajuus 3 Hz, ja niin edelleen. Siten kaikki sinisignaalit cos2π 4,, 2, 3, 4, ovat identtisiä ja taajuuden Hz laskostumia, kun näytteenottotaajuus on 4 näytettä sekunnissa. Yleisesti, jatkuva-aikaisen sinisignaalin cos2π Θ (.4.4) näytteistäminen näytteenottotaajuudella tuottaa diskreettiaikaisen signaalin cos2π (.4.5) missä on sinisignaalin suhteellinen taajuus. Jos oletetaan, että 2 2, niin signaalin taajuus on alueella. Tässä tapauksessa taajuuksien ja yhteys on yksi yhteen ja siksi analoginen signaali on mahdollista rekonstruoida näytearvoista. Toisaalta, jos sinisignaalit cos2π Θ (.4.6) missä,, 2, (.4.7) ovat näytteitä näytteenottotaajuudella, on selvää, että taajuus on perustaajuusalueen 2 2 ulkopuolella. Siten näytteistetty signaali cos2π cos 2π 2π

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 2 cos2π on siis identtinen yhtälön (.4.5) mukaisen diskreettiaikaisen signaalin kanssa. Siten taajuudet ( 2) näyttävät samalta kuin taajuus. Yhteys jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuusmuuttujien välillä on esitetty kuvassa.4.4. B M F. I. I. I. I. F Kuva.4.4. Yhteys jatkuva- ja diskreettiaikaisten signaalien taajuusmuuttujien välillä jaksollisessa näytteenotossa. Esimerkki laskostumisesta on esitetty kuvassa.4.5, missä kaksi sinisignaalia, joiden taajuudet Hz ja Hz, antavat samat näytteen arvot, kun niistä otetaan näytteitä taajuudella Hz. Yhtälön (.4.7) perusteella saadaan, että ja siten Hz Hz..5 Amplitudi.5 2 3 4 5 6 7 8 Aika [s] Kuva.4.5. Laskostumisen havainnollistaminen. Esimerkki.4.2 Tarkastellaan analogista signaalia 3cosπ (a) Määritä miniminäytteistystaajuus, jotta vältytään laskostumiselta. (b) Oletetaan, että signaalista otetaan näytteitä taajuudella 2 Hz. Mikä on saatava diskreettiaikainen signaali näytteenoton jälkeen? (c) Oletetaan, että signaalista otetaan näytteitä taajuudella 75 Hz. Mikä on saatava diskreettiaikainen signaali näytteenoton jälkeen? (d) Mikä on sinisignaalin taajuus 2, josta saadaan samat näytearvot kuin kohdassa (c)? Ratkaisu.4.2 (a) Analogisen signaalin taajuus 5 Hz. Siten miniminäytteenottotaajuus, jotta vältetään laskostuminen, on Hz.

22 Johdanto (b) Jos 2 Hz, niin diskreettiaikainen signaali on 3cos π 2 3 cos π 2 (c) Jos 75 Hz, niin diskreettiaikainen signaali on 3cos π 75 3 cos 4π 3 3 cos 2π 2π 3 3cos2π 3 (d) Kun 75 Hz, niin 75 Kohdan (c) diskreettiaikaisen sinisignaalin taajuus. Siten 25 Hz ja rekonstruoitu analoginen sinisignaali 3cos2π 3cos5π Täten taajuus 5 Hz on taajuuden 25 Hz laskostuma, kun näytteenottotaajuus on 75 Hz..4.2 Näytteenottoteoreema Jos analogiasignaalin sisältämä suurin taajuus on ja signaalista otetaan näytteitä taajuudella 2 2, niin voidaan rekonstruoida tarkasti näytearvoistaan, kun käytetään interpolointifunktiota sin2π sinc2 (.4.8) 2π Näytteenottoteoreeman perusteella rekonstruoitu signaali voidaan ilmaista muodossa (.4.9) missä ovat näytteitä signaalista. Jos signaalista otetaan näytteitä miniminäytteenottotaajuudella 2, niin yhtälöstä (.4.9) saadaan sin 2π 2 2 2π 2 sinc 2 2 2 (.4.2) Tällainen rekonstruointi on ideaalinen, mutta vaadittu näytteiden ääretön määrä tekee käytännön toteuttamisen mahdottomaksi. Näytteenottotaajuutta 22 kutsutaan Nyquist-taajuudeksi. Kuvassa.4.6 on esitetty ideaalinen D/A-muunnosprosessi, jossa käytetään yhtälön (.4.8) mukaista interpolointifunktiota.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 23 N = J O JA N = JI J= 6 6 6 6 6 Kuva.4.6. Ideaalinen D/A-muunnos (interpolointi). J Esimerkki.4.3 Analogiasignaalia kuvaa funktio 3cos5π sin3π cosπ Mikä on signaalin Nyquist-taajuus? Ratkaisu.4.3 Signaali sisältää taajuudet 25 Hz, 5 Hz, 5Hz Siten 5 Hz ja Nyquist-taajuus 2. Siten 3 Hz Huomaa, jos 3 Hz, niin 3cos 5π sin 3π cos π 3 3 3 3cos π sinπ cos π 6 3 Tämän takia valitaan 3 Hz. Esimerkki.4.4 Tarkastellaan analogista signaalia 3cos2π 5sin6π cos2π (a) Mikä on signaalin Nyquist-taajuus? (b) Signaalista otetaan näytteitä näytteenottotaajuudella 5 Hz. Mitä taajuuksia saatava diskreettiaikainen signaali sisältää? Jos tapahtuu laskostumista, miltä taajuuksilta laskostuvat taajuudet näyttävät? (c) Mikä analoginen signaali saadaan signaalista, jos käytettävissä on ideaalinen interpolaattori? Ratkaisu.4.4 Esitetään luennolla. Laskostumista pyritään yleensä välttämään, mutta sille on olemassa muutamia hyödyllisiä käytännön sovelluksia, kuten stroboskooppi ja näytteenotto-oskilloskooppi. Tarkastellaan signaalia, joka sisältää suuritaajuisia komponentteja taajuuskaistalla, missä on signaalin kaistanleveys.

24 Johdanto Oletetaan, että. Tällöin signaalin sisältämät taajuuskomponentit ovat paljon suurempia kuin sen kaistanleveys. Tällaisia signaaleja kutsutaan kaistanpäästö tai kapeakaistaisiksi signaaleiksi. Jos tällaisesta signaalista otetaan näytteitä näytteenottotaajuudella 2, mutta, niin kaikki signaalin taajuuskomponentit ovat laskostumia taajuusalueella 2. Siten, jos tarkastellaan signaalin taajuussisältöä peruskaistalla 2, niin analogiasignaalin taajuussisältö tiedetään tarkasti, koska alkuperäinen taajuuskaista on tunnettu. Tällöin alkuperäinen signaali voidaan rekonstruoida näytteistä olettaen, että siitä on otettu näytteitä näytteenottotaajuudella 2, missä on kaistanleveys. Esimerkki.4.5 Eräästä signaalista tiedetään, että sen sisältämä energia on kokonaan taajuuksien 9 MHz ja MHz välissä. Signaalista muodostetaan näytteenotolla digitaalinen signaali. Mikä on tarvittava miniminäytteistystaajuus? Ratkaisu.4.5 Signaalin taajuuskaista MHz. Koska alkuperäinen taajuuskaista on tunnettu, eikä signaali sisällä muita taajuuksia, voidaan käyttää näytteenottotaajuutta 2, koska tällöin kaikki signaalin taajuuskomponentit laskostuvat taajuusalueelle 2. Siten, 2 MHz. MATLAB: sinc.4.3 Kvantisointi Diskreettiaikaisen jatkuva-arvoisen signaalin muuntamista digitaaliseksi signaaliksi kutsutaan kvantisoinniksi. Tällöin näytearvojen esittämiseen on käytössä äärellinen määrä arvoja (vrt. bittien määrä). Todellisen arvon ja kvantisoidun arvon välistä eroa kutsutaan kvantisointivirheeksi (eng. quantization error) tai kvantisointikohinaksi (eng. quantization noise). Kvantisointivirhe on siis (.4.2) Signaalin kvantisointi hävittää siis informaatiota. Kvantisointia voidaan havainnollistaa esimerkin avulla. Tarkastellaan diskreettiaikaista signaalia,9,, joka on saatu ottamalla näytteitä analogisesta eksponenttisignaalista,9, näytteenottotaajuudella Hz, kuten on esitetty kuvassa.4.7(a). Oletetaan nyt, että halutaan käyttää ainoastaan yhtä merkitsevää desimaalia. Muiden desimaalien poissulkeminen voidaan tehdä joko katkaisemalla (eng. truncation) tai pyöristämällä (eng. rounding). Taulukossa. on esitetty kvantisoitujen signaalien kymmenen ensimmäistä arvoa, kun kvantisoinnissa käytetään pyöristystä ja katkaisua. Pyöristysprosessi on esitetty myös graafisesti kuvassa.4.7(b). Arvoja, jotka ovat sallittuja digitaalisessa signaalissa, kutsutaan kvantisointitasoiksi. Vastaavasti peräkkäisten kvantisointitasojen väliä Δ kutsutaan kvantisointiaskeleeksi tai resoluutioksi. Kvantisointivirhe pyöristyksessä on rajoittunut Δ 2ja Δ 2välille, siten Δ 2 Δ 2 (.4.22) Siten hetkellinen kvantisointivirhe on rajoittunut puoleen kvantisointiaskeleesta. Jos ja ovat signaalin minimi- ja maksimiarvot ja kvantisointitasojen lukumäärä, niin silloin Δ (.4.23) Signaalin dynaaminen alue on. Edellisessä esimerkissä, ja, siten Δ,. Jos dynaaminen alue pysyy vakiona, silloin kvantisointitasojen lukumäärän kasvattaminen pienentää kvantisointiaskeleen kokoa, pienentää kvantisointivirhettä ja kasvattaa tarkkuutta. Analogisten signaalien kvantisointi hävittää aina informaatiota.

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 25 & $ " N ' N = J ' J L = JE I E JE = K A & $ "! " # $ % & 6 N = J ' J (a) N G, L = JEI E JE J= I L = JEI E JE = I A (b) Kuva.4.7. Kvantisoinnin havainnollistaminen. (a) Näytteitä analogisesta signaalista. (b) Kvantisoidut näytteet analogisesta signaalista. Taulukko.. Kvantisointi yhden desimaalin tarkkuudella, kun kvantisointi tehdään katkaisemalla ja pyöristämällä.! " # $ % & 6 Diskreettiaikainen signaali Katkaisu Pyöristys Pyöristys,,,,9,9,9, 2,8,8,8, 3,729,7,7,29 4,656,6,7,439 5,5949,5,6,95 6,5344,5,5,344 7,4782969,4,5,273 8,434672,4,4,34672 9,38742489,3,4,25795 MATLAB: round, floor, ceil, fix.4.4 Sinimuotoisten signaalien kvantisointi Kuvassa.4.8 on esitetty analogisen sinisignaalin cosω näytteenotto ja kvantisointi käyttämällä suorakaideverkkoa. Käytännössä suorakaiteen muotoinen signaali saadaan käyttämällä nollannen asteen pitopiiriä. Kvantisointivirheen suuruutta voidaan kuvata signaali-kvantisointikohinasuhteen (eng. signal-toquantization noise ratio, SQNR) avulla. Sinimuotoiselle signaalille voidaan johtaa SQNR 3 2 2 (.4.24) missä on bittien lukumäärä, ja vastaavasti desibeleinä SQNRdB log SQNR log 3 2 2,766,2 (.4.25)

26 Johdanto Sananpituuden kasvattaminen yhdellä bitillä kasvattaa signaali-kvantisointikohinasuhdetta siis noin 6 db, mikä vastaa kvantisointitasojen lukumäärän tuplaamista. Esimerkiksi CD-standardin mukainen näytteenottotaajuus on 44 khz ja 6-bittinen näyteresoluutio, mikä vastaa siten yli 96 db:n kvantisointikohinasuhdetta. ) F EJK @ E @ EI HA J E JE ) E = @ EI HA J E JE ) F EJK @ E ",!,,,,,!, ", L = JEI EJK O JA N G 6 L = JEI E = J O JA N = 6 ) K F A H E A = = C E= I EC = = E N = J 6 6! 6 " 6 # 6 $ 6 % 6 & 6 ' 6 ) E =, ) K K JE A D J N G J L = JEI E JE = K A J, L = JEI E JE = I A L = JEI E JE J= I Kuva.4.8. Sinimuotoisen signaalin näytteenotto ja kvantisointi..4.5 Kvantisoitujen signaalien koodaaminen Koodauksessa kukin kvantisointitaso kuvataan omalla binääriluvulla. Jos kvantisointitasoja on kappaletta, tarvitaan vähintään eri binäärilukua. Sananpituudella bittiä voidaan kuvata 2 eri binäärilukua. Siten on oltava 2, joten tarvitaan vähintään log (.4.26) bittiä. Taulukon. esimerkissä tarvitaan siten vähintään 4 bittiä. Yleisesti voidaan sanoa, että mitä suurempi näytteenottotaajuus ja hienompi kvantisointi, sitä kalliimpi käytännön toteutus on. Esimerkki.4.6 PCM (eng. pulse code modulation) äänen välitykseen on käytössä kanava, missä 36 bps. Etsi sopivat arvot kvantisoinnissa käytettävälle bittimäärälle, kvantisointitasoille ja näytteistystaajuudelle oletuksella 3,2 khz. Ratkaisu.4.6 Kanavalle joten 36 bps, 2 64 Hz 36 b s 64 s 5,6 5 ja 2 2 32, 7,2kHz CD-standardi: 6, 44, khz 75,6 kbps kaksi kanavaa (stereo) 2,42 Mbps

.4 A/D- ja D/A-muunnokset 27 2 log2 96 db (dynaaminen alue) Lisäksi virheenkorjausinformaatio yms.

29 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Tässä kappaleessa käsitellään diskreettiaikaisten järjestelmien aikatason ominaisuuksia. Erityisesti keskitytään lineaarisiin aikainvariantteihin (eng. linear time-invariant, LTI) järjestelmiin. LTI-järjestelmiä nimitetään myös siirtoinvarianteiksi (eng. shift-invariant) järjestelmiksi. LTI-järjestelmät ovat tärkeitä kahdesta syystä; LTI-järjestelmien analyysiin on olemassa paljon matemaattisia työkaluja ja monet käytännön järjestelmät ovat joko LTI-järjestelmiä tai niitä voidaan approksimoida LTI-järjestelminä. 2. Diskreettiaikainen signaali Diskreettiaikainen signaali on riippumattoman kokonaislukumuuttujan funktio. On tärkeää huomata, että diskreettiaikainen signaali on määritelty vain tietyillä ajanhetkillä ( kokonaisluku) ja muulloin sen tila on määrittelemätön ( muu kuin kokonaisluku). Diskreettiaikainen signaali tai sekvenssi voidaan esittää neljällä yleisimmin käytetyllä tavalla:. Graafisesti, kuten on esitetty kuvassa 2... N ' % # % % "!! " # Kuva 2... Diskreettiaikaisen signaalin graafinen esitys. 2. Funktiomuodossa, kuten, kun, 3 4, kun 2, muuten 3. Taulukkomuodossa, kuten & & (2..) 2 2 3 4 5 4 4. Lukujonona Äärettömän pituinen signaali tai sekvenssi, kun aikaorigo ( ) on merkitty symbolilla, voidaan esittää,,,, 4,,,, Vastaavasti jos, sekvenssi, kun, voidaan esittää,, 4,,,, Äärellisen pituinen sekvenssi voidaan puolestaan esittää (2..2) (2..3) 3,, 2, 5,, 4, (2..4) Yhtälö (2..4) sisältää siis seitsemän näytettä tai pistettä ajan suhteen ja sitä voidaan kutsua 7-pisteiseksi sekvenssiksi.

3 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 2.. Joitakin diskreettiaikaisia alkeissignaaleja Jotkut perussignaalit esiintyvät usein ja näyttelevät tärkeää roolia diskreettiaikaisissa signaaleissa ja järjestelmissä. Tällaisia signaaleja esitellään seuraavaksi.. Yksikkönäytejono (yksikköimpulssi) (eng. unit sample sequence) määritellään, kun, kun (2..5) Yksikköimpulssi on siis signaali, joka on nolla kaikkialla muualla paitsi hetkellä, missä sen arvo on yksi. Yksikköimpulssisignaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..2. δ (n).5... 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7... n Kuva 2..2. Yksikköimpulssisignaalin graafinen esitys. 2. Yksikköaskelsignaali (eng. unit step signal) määritellään, kun, kun Yksikköaskelsignaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..3. (2..6) u(n).5... 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7... n Kuva 2..3. Yksikköaskelsignaalin graafinen esitys. 3. Yksikköramppisignaali (eng. unit ramp signal) määritellään, kun, kun Yksikköramppisignaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..4. (2..7) u r (n) 7 6 5 4 3 2... 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7... n Kuva 2..4. Yksikköramppisignaalin graafinen esitys. 4. Eksponenttisignaali (eng. exponential signal) määritellään kaikilla : n arvoilla (2..8)

2. Diskreettiaikainen signaali 3 Jos parametri on reaalinen, myös on reaalinen signaali. Kuvassa 2..5 on esitetty eri parametrin arvoilla. < a < a > x(n) x(n)... 2 2 3 4 5 6 7 8 9...... 2 2 3 4 5 6 7 8 9... n n < a < a < x(n) x(n)... 2 2 3 4 5 6 7 8 9...... 2 2 3 4 5 6 7 8 9... n n Kuva 2..5. Eksponenttisignaalin graafinen esitys eri parametrin arvoilla. Jos parametri on kompleksiarvoinen, se voidaan esittää cos sin missä ja ovat nyt parametreja. Siten cos sin (2..9) Koska on nyt kompleksiarvoinen, voidaan se esittää graafisesti piirtämällä sekä reaaliosa cos (2..) että imaginaariosa sin (2..) :n funktiona. Kuvassa 2..6 on esitetty ja, kun,9, π ja 4. Kuvasta 2..6 huomataan, että signaalit ja ovat vaimeneva kosini- ja sinifunktio. Kulmamuuttuja on sinimuotoisen signaalin taajuus. Jos, vaimennus katoaa ja signaaleilla, ja on vakioamplitudi..5 x R (n).5 5 5 2 25 3 35 4 n (a)

32 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät.5 x I (n).5 5 5 2 25 3 35 4 n (b) Kuva 2..6. Kompleksiarvoisen eksponenttisignaalin reaali- ja imaginaarikomponentit, kun,9, π ja 4. (a) Reaaliosa. (b) Imaginaariosa. Vaihtoehtoisesti yhtälön (2..9) signaali voidaan esittää amplitudin (2..2) ja vaiheen (2..3) funktiona. Kuvassa 2..7 on esitetty ja, kun,9, π ja 4. A(n).5 5 5 2 25 3 35 4 n (a) π π/2 φ(n) π/2 π 5 5 2 25 3 35 4 n (b) Kuva 2..7. Kompleksiarvoisen eksponenttisignaalin amplitudi ja vaihe, kun,9, π ja 4. (a) Amplitudi,9. (b) Vaihe π välillä π,π. Kuvasta 2..7 huomataan, että vaihefunktio on lineaarinen :n suhteen. Vaihe on kuitenkin määritelty ainoastaan välillä π π tai vastaavasti välillä 2π ja siten myös on määritelty tälle välille. MATLAB: stem 2..2 Diskreettiaikaisten signaalien luokittelu Diskreettiaikaisten signaalien ja järjestelmien analyysissä käytettävät matemaattiset menetelmät ovat riippuvaisia signaalien ominaisuuksista. Diskreettiaikaiset signaalit voidaan luokitella useiden eri ominaisuuksien mukaan. Energia- ja tehosignaalit

2. Diskreettiaikainen signaali 33 Signaalin sisältämä energia määritellään seuraavasti (2..4) Yhtälöä (2..4) voidaan soveltaa sekä kompleksiarvoisiin, että reaalisiin signaaleihin. Signaalin energia voi olla äärellinen tai ääretön. Jos on äärellinen ( ), signaalia kutsutaan energiasignaaliksi (eng. energy signal). Energiaa voidaan myös merkitä käyttäen merkintää, jolla korostetaan, että on signaalin energia. Useilla signaaleilla, joilla on ääretön energia, on äärellinen keskimääräinen teho. Signaalin keskimääräinen teho lim 2 Jos signaalin energia määritellään äärelliselle välille, kuten voidaan tällöin signaalin energia esittää seuraavasti (2..5) (2..6) lim (2..7) ja signaalin keskimääräinen teho lim 2 (2..8) Tästä nähdään selvästi, jos signaalin energia on äärellinen, on keskimääräinen teho nolla. Toisaalta, jos on ääretön, voi keskimääräinen teho olla joko äärellinen tai ääretön. Jos taas on äärellinen ja nollasta poikkeava, signaalia kutsutaan tehosignaaliksi (eng. power signal). Esimerkki 2.. Määritä yksikköaskeleen (keskimääräinen) teho ja energia ja totea, onko signaali energia- vai tehosignaali. Ratkaisu 2.. Teho on lim 2 lim 2 lim 2 2 Yksikköaskelsekvenssi on tehosignaali ja sen energia on ääretön. Samaan tapaan voidaan näyttää, että kompleksisen eksponenttisignaalin keskimääräinen teho on ja se on siten tehosignaali. Toisaalta, yksikköramppisignaali ei ole teho- eikä energiasignaali. Jaksolliset ja jaksottomat signaalit Signaali on jaksollinen (eng. periodic) jaksolla ( ) jos ja vain jos (2..9) Pienin, jolle yhtälö (2..9) pätee, kutsutaan perusjaksoksi. Jos ei ole olemassa yhtään :n arvoa, joka toteuttaisi yhtälön (2..9), on signaali jaksoton (eng. nonperiodic, aperiodic). Kuten edellä on todettu, sinimuotoinen signaali sin2π (2..2)

34 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät on jaksollinen, jos sen taajuus on rationaaliluku (2..2) missä ja ovat kokonaislukuja (, ). Jaksollisen signaalin energia yhden jakson aikana on äärellinen, jos saa tuona aikana pelkästään äärellisiä arvoja. Jaksollisen signaalin kokonaisenergia ( ) on kuitenkin aina ääretön. Jaksollisen signaalin keskimääräinen teho on äärellinen ja se on suuruudeltaan sama kuin keskimääräinen teho yhden jakson aikana Siten jaksolliset signaalit ovat tehosignaaleja. Symmetriset (parilliset) ja antisymmetriset (parittomat) signaalit Reaaliarvoinen signaali on symmetrinen (parillinen) (eng. symmetric, even), jos (2..22) (2..23) Signaali on toisaalta antisymmetrinen (pariton) (eng. antisymmetric, odd), jos (2..24) Parittomilla signaaleilla. Kuvassa 2..8 on esitetty esimerkki molemmista signaaleista. 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a) x o (n) x e (n) 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b) Kuva 2..8. Esimerkkisignaalit. (a) Parillinen signaali. (b) Pariton signaali. Mielivaltainen signaali voidaan esittää parillisen ja parittoman signaalikomponentin summana. Parillinen signaalikomponentti muodostetaan seuraavasti (2..25) 2 toteuttaa siis symmetrisyysehdon (2..23). Vastaavasti pariton signaalikomponentti muodostetaan

2. Diskreettiaikainen signaali 35 (2..26) 2 toteuttaa siis antisymmetrisyysehdon (2..24). Nyt voidaan muodostaa mielivaltainen signaali näiden summana (2..27) 2..3 Perusoperaatiot diskreettiaikaisille signaaleille Riippumattoman muuttujan (aika) muunnokset Signaalin viivästäminen :lla näytteellä Signaalin edistäminen :lla näytteellä Talletettuja signaaleja voidaan sekä viivästää että edistää, mutta reaaliajassa käsiteltävää signaalia voidaan vain viivästää. Esimerkki 2..2 Signaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..9(a). Esitä graafisesti signaalit 3 ja 2. Ratkaisu 2..2 Signaali 3 saadaan viivästämällä signaalia kolmella aikayksikköllä. Tulos on esitetty kuvassa 2..9(b). Vastaavasti signaali 2 saadaan edistämällä signaalia kahdella aikayksikköllä. Tulos on esitetty kuvassa 2..9(c). Huomaa, että viive vastaa signaalin siirtämistä oikealle, kun taas edistäminen vasemmalle. x(n) x(n 3) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b)

36 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät x(n + 2) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (c) Kuva 2..9. Signaalin graafinen esitys. (a) Alkuperäinen signaali. (b) Viivästetty versio 3. (c) Edistetty versio 2. Toisessa hyödyllisessä signaalin muunnoksessa riippumaton muuttuja korvataan :llä. Huomaa, että korvaus ei tarkoita sijoitusta. Operaatiota kutsutaan heijastamiseksi (eng. reflection) tai taittamiseksi (eng. folding) ja tuloksena saadaan signaali taitettuna aikaorigon suhteen. On tärkeää huomata, että viivästäminen (tai edistäminen) ja heijastaminen eivät ole vaihdannaisia. Merkitään viivästämistä TD :lla ja heijastamista FD:llä, jolloin TD, FD Silloin (2..28) TD FD TD (2..29) FDTD FD (2..3) Kolmas riippumattoman muuttujan muunnos on näytteenottotaajuuden alentaminen (eng. down-sampling), jossa indeksi korvataan uudella indeksillä μ, missä μ on kokonaisluku. Esimerkki 2..3 Signaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..(a). Esitä graafisesti signaalit ja 2. Ratkaisu 2..3 Uusi signaali on esitetty kuvassa 2..(b). Huomaa, että on taitettu tai heijastettu aikaorigon suhteen. Vastaavasti signaali 2 on signaali viivästettynä kahdella aikayksiköllä. Tämä on esitetty kuvassa 2..(c). 4 3 x(n) 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a)

2. Diskreettiaikainen signaali 37 4 3 x( n) 2 x( n + 2) 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b) 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (c) Kuva 2... Signaalin graafinen esitys. (a) Alkuperäinen signaali. (b) Taitettu versio. (c) Taitettu ja viivästetty versio 2. Esimerkki 2..4 Signaali on esitetty graafisesti kuvassa 2..(a). Esitä graafisesti signaali 2. Ratkaisu 2..4 Signaali saadaan, kun otetaan joka toinen näyte signaalista eli parittomat näytteet hypätään yli ja parilliset jätetään. Tulos on esitetty kuvassa 2..(b). x(n) 4 3 2 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (a) 4 3 2 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 n (b) Kuva 2... Signaalin graafinen esitys. (a) Alkuperäinen signaali. (b) Alinäytteistetty versio 2. x(2n)

38 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Skaalaus, yhteenlasku ja kertominen (eng. scaling, addition and multiplication) Signaalin amplitudiskaalaus vakiolla saadaan, kun kerrotaan signaalin kaikki arvot vakiolla, jolloin, Kahden signaalin ja summa on, Kahden signaalin tulo on vastaavasti, 2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät Diskreettiaikainen järjestelmä muuntaa diskreettiaikaisen herätesekvenssin (eng. input, excitation) diskreettiaikaiseksi vastesekvenssiksi (eng. output, response). Muunnos on yleisessä muodossa (2.2.) missä symboli on muunnos tai operaattori. Yhtälön (2.2.) mukainen matemaattinen yhteys on esitetty graafisesti kuvassa 2.2.. N 6 K I EC = = EJ= E D A H JA, EI HA A JJE = E = E A HA I JA O D J I EC = = EJ= E L = I JA Kuva 2.2.. Diskreettiaikaisen järjestelmän lohkokaavioesitys. 2.2. Järjestelmän tulo-lähtökuvaus Diskreettiaikaisen järjestelmän tulo-lähtökuvaus (eng. input-output description) on matemaattinen esitys, missä ei tarvitse tuntea järjestelmän sisäistä rakennetta. Järjestelmän voidaan siis ajatella olevan musta laatikko (eng. black box). Kuvan 2.2. graafinen esitys ja yhtälön (2.2.) muunnos voidaan vaihtoehtoisesti merkitä (2.2.2) joka tarkoittaa, että on järjestelmän vaste herätteelle. Esimerkki 2.2. Määritä seuraavien järjestelmien vaste, kun heräte on, 3 3, muuten (a) (b) (c) (d) 3 (e) max,, (f) 2 Ratkaisu 2.2. Herätesekvenssi on

2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät 39,, 3, 2,,,, 2, 3,, Tämän perusteella saadaan määritettyä kukin vaste tulo-lähtökuvauksesta. (a) Vaste on sama kuin heräte. Tätä nimitetään identiteettijärjestelmäksi. (b) Järjestelmä viivästää herätettä yhdellä näytteellä. Siten,, 3, 2,,,, 2, 3,, (c) Järjestelmä edistää herätettä yhdellä näytteellä. Siten,, 3, 2,,,, 2, 3,, (d) Vaste on nykyisen, edellisen ja seuraavan näytteen keskiarvo. Esimerkiksi vaste hetkellä on 3 3 2 3 Kun tämä toistetaan kaikilla :n arvoilla, saadaan vasteeksi,,, 5 3,2,,2 3,,2,5 3,,, (e) Järjestelmä valitsee vasteeksi suurimman nykyisestä, edellisestä, ja seuraavasta näytteestä. Siten vaste on,, 3, 3, 3, 2,, 2, 3, 3, 3,, (f) Järjestelmä on akkusummain (eng. accumulator), joka laskee kaikkien näytteiden summan nykyhetkeen asti. Vaste on,, 3, 5, 6, 6, 7, 9, 2, 2, 2, Monissa tapauksissa lähtö hetkellä riippuu sekä viimeisimmästä tulosta että menneistä ja tulevista tuloista. Tarkastellaan esimerkiksi akkusummainta, josta nähdään, että lähtö hetkellä riippuu sekä tulosta hetkellä että tuloista hetkillä, 2 ja niin edelleen. Siten akkusummaimelle voidaan kirjoittaa seuraava tulo-lähtökuvaus (2.2.3) Järjestelmä siis laskee nykyisen lähdön arvon summaamalla nykyisen tulon arvon edellisen lähdön arvon kanssa.

4 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Oletetaan, että tulosignaali viedään järjestelmään, kun. Siten halutaan määrittää järjestelmän lähtö, kun. Yhtälöstä (2.2.3) saadaan ja niin edelleen. Tästä huomataan, että :n laskennassa on ongelma, koska se riippuu arvosta, joka on riippuu siis kaikista tuloista, jotka on syötetty järjestelmään ennen hetkeä. Tämän takia akkusummaimen käynnistäminen mielivaltaisella hetkellä edellyttää alkutilan (eng. initial condition) tuntemista. Tätä kutsutaan myös alkuehdoksi. Esimerkki 2.2.2 Akkusummaimeen syötetään herätesekvenssi. Määritä lähtö, kun se on (a) nollatilassa (eng. initially relaxed) eli. (b). Ratkaisu 2.2.2 Esitetään luennolla. 2.2.2 Diskreettiaikaisten järjestelmien lohkokaavioesitys Summain (eng. adder) Kuvassa 2.2.2 on esitetty järjestelmä, joka suorittaa kahden signaalin yhteenlaskun. Yhteenlaskuoperaatio on muistiton, koska siinä ei tarvitse tallentaa arvoja lähdön saamiseksi. N O N N N Kuva 2.2.2. Summaimen lohkokaavioesitys. Vakiokerroin (eng. constant multiplier) Kuvassa 2.2.3 on esitetty järjestelmä, joka suorittaa tulon skaalauksen. Tämäkin operaatio on muistiton. N = O = N Kuva 2.2.3. Vakiokertoimen lohkokaavioesitys. Kertoja (eng. signal multiplier) Kuvassa 2.2.4 on esitetty järjestelmä, joka suorittaa kahden signaalin kertolaskun. Kuten kahdessa edellisessä tapauksessakin, operaatio on muistiton.

2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät 4 N O N N N Kuva 2.2.4. Kertojan lohkokaavioesitys. Yksikköviive (eng. unit delay) Yksikköviive on erikoisjärjestelmä, joka yksinkertaisesti viivästää signaalia yhden näytteen verran. Kuvassa 2.2.5 on esitetty tämä järjestelmä. Näyte tallennetaan muistiin hetkellä, josta se kutsutaan hetkellä Siten tämä peruslohko tarvitsee muistia. Symbolin käyttö viittaa yksikköviiveeseen. N O N Kuva 2.2.5. Yksikköviiveen lohkokaavioesitys. Yksikköedistys (eng. unit advance) Yksikköedistys siirtää tulosignaalia yhden näytteen verran eteenpäin, jolloin lähtö on. Kuvassa 2.2.6 on esitetty tämä järjestelmä, missä symboli viittaa yksikköedistykseen. On tärkeää huomata, ettei edistystä voida käyttää reaaliaikaisissa järjestelmissä. Edistystä voidaan käyttää ainoastaan tilanteissa, joissa näytteitä on tallennettu. N O N Kuva 2.2.6. Yksikköedistyksen lohkokaavioesitys. Esimerkki 2.2.3 Piirrä seuraavan järjestelmän lohkokaavio: 4 2 2 missä on järjestelmän tulo ja lähtö. Ratkaisu 2.2.3 Esitetään luennolla. 2.2.3 Diskreettiaikaisten järjestelmien luokittelu Järjestelmien suunnittelussa ja analyysissä on järkevää luokitella järjestelmät niiden yleisten ominaisuuksien mukaan. Sovellettavat matemaattiset menetelmät riippuvat järjestelmän ominaisuuksista. Staattinen vs. dynaaminen järjestelmä Diskreettiaikainen järjestelmä on staattinen (eng. static) tai muistiton, jos sen lähtö riippuu vain saman hetken tulosta. Staattisen järjestelmän tulo-lähtöyhtälö on muotoa, (2.2.4) Muissa tapauksissa järjestelmä on dynaaminen (eng. dynamic) eli sillä on muistia. Esimerkkejä staattisista järjestelmistä:

42 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät (2.2.5) (2.2.6) Esimerkkejä dynaamisista järjestelmistä: 3 (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) Yhtälöiden (2.2.7) ja (2.2.8) mukaisilla järjestelmillä on äärellinen muisti, kun taas yhtälön (2.2.9) mukaisella järjestelmällä on ääretön muisti. Aikainvariantti vs. aikavariantti järjestelmä Järjestelmä on aikainvariantti (eng. time-invariant), jos lähtö ei riipu siitä, millä hetkellä tulo menee järjestelmään. Eli jos niin (2.2.) (2.2.) Edellä esitetty voidaan myös ymmärtää siten, että tehdäänkö viivästäminen tuloon vai lähtöön ei ole aikainvariantissa järjestelmässä merkitystä. Tämä on esitetty myös kuvassa 2.2.7. N L EEL I JO I N 6 6 O O L EEL I JO I Kuva 2.2.7. Aikainvariantti järjestelmä. Aikainvarianttisuus voidaan testata seuraavasti:. Syötä järjestelmään sekvenssi, josta seuraa lähtö. 2. Viivästä. 3. Syötä järjestelmään viivästetty sekvenssi, josta saadaan,. 4. Järjestelmä on aikainvariantti, jos,. Jos järjestelmä ei täytä viimeistä ehtoa, se on aikavariantti (eng. time-variant). Esimerkki 2.2.4 Määritä onko kuvan järjestelmät aikavariantteja vai aikainvariantteja. N O N N (a)

2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät 43 N O N N (b) 6 (c) O N N O N? I M? I M (d) Kuva 2.2.8. Järjestelmät. (a) Differentiaattori. (b) Aikakertoja. (c) Taittaja. (d) Modulaattori. Ratkaisu 2.2.4 (a) Järjestelmän tulo-lähtöyhtälö (2.2.2) Viivästetään järjestelmän lähtöä :lla aikayksiköllä, niin saadaan (2.2.3) Viivästetään järjestelmän tuloa :lla aikayksiköllä ja syötetään järjestelmään, niin saadaan, (2.2.4) Koska,, on järjestelmä aikainvariantti. (b) Järjestelmän tulo-lähtöyhtälö (2.2.5) Viivästetään järjestelmän lähtöä :lla aikayksiköllä, niin saadaan (2.2.6) Viivästetään järjestelmän tuloa :lla aikayksiköllä ja syötetään järjestelmään, niin saadaan, (2.2.7) Koska,, on järjestelmä aikavariantti. (c) Järjestelmän tulo-lähtöyhtälö (2.2.8) Viivästetään järjestelmän lähtöä :lla aikayksiköllä, niin saadaan (2.2.9)

44 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Viivästetään järjestelmän tuloa :lla aikayksiköllä ja syötetään järjestelmään, niin saadaan, (2.2.2) Koska,, on järjestelmä aikavariantti. (d) Järjestelmän tulo-lähtöyhtälö cos (2.2.2) Viivästetään järjestelmän lähtöä :lla aikayksiköllä, niin saadaan cos (2.2.22) Viivästetään järjestelmän tuloa :lla aikayksiköllä ja syötetään järjestelmään, niin saadaan, cos (2.2.23) Koska,, on järjestelmä aikavariantti. Lineaarinen vs. epälineaarinen järjestelmä Nollatilassa ( ) oleva järjestelmä on lineaarinen (eng. linear), jos ja vain jos (2.2.24) kaikilla mielivaltaisilla tuloilla ja sekä vakioilla ja. Kuvassa 2.2.9 on esitetty superpositioperiaatteen lohkokaavio. N = N = 6 O N N 6 6 = = O Kuva 2.2.9. Superpositioperiaate. Järjestelmä on lineaarinen, jos ja vain jos. Yhtälössä (2.2.24) esitetty superpositioperiaate voidaan erottaa kahteen osaan. Jos, niin (2.2.25) Yhtälö (2.2.25) esittää siis lineaarisen järjestelmän skaalausominaisuutta. Jos taas, niin (2.2.26) Yhtälö (2.2.26) esittää siis lineaarisen järjestelmän summausominaisuutta. Superpositioperiaate perustuu näihin kahteen edellä esiteltyyn ominaisuuteen. Yhtälöä (2.2.24) voidaan laajentaa missä (2.2.27)

2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät 45,, 2,, (2.2.28) Jos nollatilassa ( ) oleva järjestelmä ei toteuta superpositioperiaatetta, on se epälineaarinen (eng. nonlinear). Esimerkki 2.2.5 Määritä onko seuraavat järjestelmät lineaarisia vai epälineaarisia, kun niiden tulo-lähtöyhtälöt ovat seuraavanlaisia (a) (b) (c) (d) (e) Ratkaisu 2.2.5 (a) Kahdelle tulosekvenssille Kahden tulosekvenssin lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.29) (2.2.3) Toisaalta kahden lähdön (2.2.3) lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.3) Koska yhtälöiden (2.2.3) ja (2.2.3) oikeat puolet ovat samoja, järjestelmä on lineaarinen. (b) Kahdelle tulosekvenssille Kahden tulosekvenssin lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.32) (2.2.33) Toisaalta kahden lähdön (2.2.34) lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.34) Koska yhtälöiden (2.2.33) ja (2.2.34) oikeat puolet ovat samoja, järjestelmä on lineaarinen. (c) Kahdelle tulosekvenssille Kahden tulosekvenssin lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.35) (2.2.36)

46 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 2 Toisaalta kahden lähdön (2.2.37) lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.37) Koska yhtälöiden (2.2.36) ja (2.2.37) oikeat puolet ovat erisuuret, järjestelmä on epälineaarinen. (d) Kahdelle tulosekvenssille Kahden tulosekvenssin lineaarikombinaatio tuottaa lähdön Toisaalta kahden lähdön (2.2.38) lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.38) (2.2.39) (2.2.4) Koska yhtälöiden (2.2.39) ja (2.2.4) oikeat puolet ovat erisuuret, järjestelmä on epälineaarinen. Syy, että järjestelmä on epälineaarinen tässä tapauksessa, ei ole epälineaarisuus (järjestelmä on kuvattu lineaarisella yhtälöllä), vaan vakion olemassaolo. Jos, järjestelmä ei ole alussa nollatilassa, mutta jos, järjestelmä on alussa nollatilassa ja lineaarisuusehto toteutuu. (e) Kahdelle tulosekvenssille Kahden tulosekvenssin lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.4) (2.2.42) Toisaalta kahden lähdön (2.2.4) lineaarikombinaatio tuottaa lähdön (2.2.43) Koska yhtälöiden (2.2.42) ja (2.2.43) oikeat puolet ovat erisuuret, järjestelmä on epälineaarinen. Kausaalinen vs. ei-kausaalinen järjestelmä Järjestelmä on kausaalinen (eng. causal), jos sen lähtö riippuu vain saman hetken ja edellisistä tuloista,,2, (2.2.44) missä on jokin mielivaltainen funktio. Jos järjestelmä ei täytä tätä ehtoa, se on ei-kausaalinen (eng. noncausal). Esimerkki 2.2.6 Määritä onko seuraavat järjestelmät kausaalisia vai ei-kausaalisia, kun niiden tulo-lähtöyhtälöt ovat seuraavanlaisia (a) (b)

2.2 Diskreettiaikaiset järjestelmät 47 (c) (d) 34 (e) (f) 2 (g) Ratkaisu 2.2.6 Esitetään luennolla. Stabiili vs. epästabiili järjestelmä Stabiilius on tärkeä ominaisuus käytännön järjestelmissä, koska epästabiili järjestelmä voi aiheuttaa äärimmäistä käyttäytymistä ja aiheuttaa ylivuodon. Järjestelmä on BIBO-stabiili (eng. bounded input bounded output stable), jos ja vain jos äärellinen tulo saa aikaan äärellisen lähdön, (2.2.45) kaikilla :n arvoilla. Jos järjestelmä ei täytä tätä ehtoa, se on epästabiili (eng. unstable). Esimerkki 2.2.7 Määritä, onko seuraava epälineaarinen järjestelmä stabiili vai epästabiili. Ratkaisu 2.2.7 Valitaan tulosekvenssiksi äärellinen signaali, missä on vakio. Oletetaan myös, että. Tällöin lähtösekvenssi,, 2,, Tällöin lähtö ei ole äärellinen, kun. Täten, järjestelmä on BIBO-epästabiili, koska äärellinen tulo tuottaa äärettömän lähdön. 2.2.4 Diskreettiaikaisten järjestelmien kytkennät Sarjaankytkentä (kaskadi) (eng. cascade) Ensimmäisen järjestelmän lähtö (2.2.46) ja vastaavasti toisen (2.2.47) Järjestelmät ja voidaan siis yhdistää yhdeksi kokonaisjärjestelmäksi (2.2.48) Vastaavasti tämän järjestelmän lähtö Yleisessä tapauksessa operaatioiden järjestyksellä on väliä, eli

48 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Jos järjestelmät ja ovat lineaarisia ja aikainvariantteja, niin on aikainvariantti ja. Sarjaankytkennän lohkokaavio on esitetty kuvassa 2.2.. N O 6 6 O 6? Kuva 2.2.. Sarjaankytkennän lohkokaavio. Rinnankytkentä (eng. parallel) Rinnankytkennässä järjestelmän lähtö on ja järjestelmän lähtö on. Siten rinnankytkennän lähtö missä Rinnankytkennän lohkokaavio on esitetty kuvassa 2.2.. 6 O N O! 6 O 6 F Kuva 2.2.. Rinnankytkennän lohkokaavio. 2.3 Diskreettiaikaisten LTI-järjestelmien analyysi Seuraavassa tarkastellaan lineaarisien, aikainvarianttien (LTI) järjestelmien analyysimenetelmiä. 2.3. Tekniikoita lineaaristen järjestelmien analyysiin LTI-järjestelmän vaste tunnetulla tulosignaalilla saadaan suoraan tulo-lähtöyhtälöstä (2.3.) missä kertoimet ja ovat vakioparametreja, jotka määrittävät järjestelmän ja ne ovat riippumattomia tulosta ja lähdöstä. Yhtälöä (2.3.) kutsutaan differenssiyhtälöksi. Toinen tapa vasteen laskemiseksi perustuu herätteen kirjoittamiseen alkeissignaalien summana (2.3.2) missä kertoimet ovat painokertoimia ja signaalit alkeissignaaleja. Alkeissignaalit valitaan siten, että järjestelmän vaste kullekin alkeissignaalille on helppo määrittää. Jos järjestelmän vaste alkeissignaaleille on, niin (2.3.3)

2.3 Diskreettiaikaisten LTI-järjestelmien analyysi 49 olettamalla, että järjestelmä on nollatilassa ja vaste signaalille on, joka on seurausta lineaarisuudesta. Laskemalla vasteen alkeiskomponentit yhteen saadaan järjestelmän kokonaisvaste tulolle (2.3.4) 2.3.2 Konvoluutiosumma Mielivaltainen signaali voidaan esittää viivästettyjen yksikköimpulssien painotettuna summana (2.3.5) Esimerkki 2.3. Määritä seuraava äärellinen sekvenssi yksikköimpulssien summana 2, 4,, 3 Ratkaisu 2.3. Koska sekvenssi on nollasta poikkeava ajanhetkillä,,2, tarvitaan kolme yksikköimpulssia seuraavasti 2 4 32 Johdetaan seuraavaksi lauseke mielivaltaisen lineaarisen järjestelmän vasteelle, kun herätteenä on mielivaltainen diskreettiaikainen signaali. Merkitään järjestelmän vastetta yksikköimpulssiherätteelle kohdassa seuraavasti:,, (2.3.6) missä on aikaindeksi ja parametri, joka osoittaa yksikköimpulssin paikan. Jos tulosignaali skaalataan tekijällä, on järjestelmän vaste lineaarisuuden perusteella,, (2.3.7) Olkoon tulosignaali yhtälön (2.3.5) mukainen mielivaltainen signaali, niin järjestelmän vaste voidaan silloin kirjoittaa seuraavasti, (2.3.8) Yhtälössä (2.3.8) käytettiin hyväksi lineaaristen järjestelmien superpositio-ominaisuutta. Saatu tulos pätee siis kaikille lineaarisille järjestelmille, myös aikavarianteille. Jos järjestelmä on aikainvariantti, voidaan tulosta (2.3.8) yksinkertaistaa. LTI-järjestelmän vaste yksikköimpulssille on, joten (2.3.9) Tällöin aikainvarianttisuusominaisuuden perusteella voidaan kirjoittaa

5 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät (2.3.) Joten yhtälö (2.3.8) yksinkertaistuu muotoon (2.3.) Lineaarinen aikainvariantti järjestelmä on siis täysin määritelty yhdellä funktiolla. Vastaavasti lineaarisen aikavariantin järjestelmän määrittelyyn tarvitaan ääretön määrä funktioita,, jotka vastaavat kaikkia mahdollisia viiveitä. Yhtälöä (2.3.), josta saadaan LTI-järjestelmän vaste tulosignaalin ja yksikköimpulssivasteen funktiona, kutsutaan konvoluutiosummaksi (eng. convolution sum). Lasketaan järjestelmän lähtö ajanhetkellä (2.3.2). Taitetaan sekvenssi indeksin suhteen ja muodostetaan. 2. Siirretään sekvenssiä :n verran oikealle (vasemmalle), jos on positiivinen (negatiivinen). Näin saadaan sekvenssi. 3. Kerrotaan sekvenssit ja keskenään, jolloin saadaan tulosekvenssi. 4. Lasketaan kaikki sekvenssin arvot yhteen, jolloin saadaan ajanhetkellä. On tärkeää huomata, että järjestelmän vaste lasketaan kaikille ajanhetkille ja siten askeleet 2 4 toistetaan myös kaikille mahdollisille ajansiirroille. Esimerkki 2.3.2 Erään LTI-järjestelmän impulssivaste, 2,, Määritä järjestelmän vaste tulosignaalille, 2, 3, Ratkaisu 2.3.2 Esitetään luennolla. Konvoluutio-operaatio on vaihdannainen, joten kumpi tahansa sekvensseistä ja voidaan taittaa ja siirtää (2.3.3) Esimerkki 2.3.3 Määritä LTI-järjestelmän lähtö, kun sen impulssivaste, ja herätteenä on yksikköaskel

2.3 Diskreettiaikaisten LTI-järjestelmien analyysi 5 Ratkaisu 2.3.3 Esitetään luennolla. MATLAB: conv 2.3.3 Konvoluution ominaisuuksia Konvoluutiolle on otettu käyttöön oma symboli, (eng. asterisk) missä merkinnän jälkeinen sekvenssi taitetaan ja siirretään, siten (2.3.4) (2.3.5) Identiteetti- ja siirto-ominaisuus (eng. identity and shifting properties) Yksikköimpulssisekvenssillä on konvoluutiossa identiteettielementti Jos sekvenssiä siirretään :lla yksiköllä, myös konvoluutiosekvenssiä siirretään :lla yksiköllä Vaihdantalaki (eng. commutative law) (2.3.6) Kuvassa 2.3. on havainnollistettu konvoluution vaihdantaominaisuutta. N D O D N O Kuva 2.3.. Konvoluution vaihdantaominaisuus. Liitäntälaki (eng. associative law) (2.3.7) Kuvassa 2.3.2 on havainnollistettu konvoluution liitäntäominaisuutta. N D D O N D D D O (a) N D D O N D D O (b) Kuva 2.3.2. Konvoluution ominaisuuksia. (a) Liitäntäominaisuus. (b) Liitäntä- ja vaihdantaominaisuus. Esimerkki 2.3.4 Määritä impulssivaste kahdelle kaskadikytketylle LTI-järjestelmälle, joiden impulssivasteet ovat 2

52 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 4 Ratkaisu 2.3.4 Esitetään luennolla. Liitäntälaki voidaan yleistää kaskadiin kytketyille LTI-järjestelmille, joita on kappaletta. Tällöin koko järjestelmän impulssivaste saadaan yksittäisten järjestelmien impulssivasteista seuraavasti (2.3.8) Vaihdantalain perusteella konvoluutioiden laskentajärjestyksellä ei ole väliä. Osittelulaki (eng. distributive law) (2.3.9) Kuvassa 2.3.3 on havainnollistettu konvoluution osittelulakia, kun järjestelmässä on kaksi rinnakkaista LTI-osajärjestelmää ja, joihin molempiin viedään sama tulo. D N O N D D D O Kuva 2.3.3. Konvoluution osittelulaki, jossa kaksi rinnakkaista LTI-järjestelmää voidaan korvata yhdellä järjestelmällä. Yhtälö (2.3.9) voidaan yleistää rinnakkain kytketyille LTI-järjestelmille, joita on kappaletta. Tällöin koko järjestelmän impulssivaste saadaan rinnakkaisten järjestelmien impulssivasteista, kun kaikkiin järjestelmiin viedään sama tulo, seuraavasti D (2.3.2) 2.3.4 Kausaaliset LTI-järjestelmät Edellä määriteltiin kausaalinen järjestelmä: lähtö ajanhetkellä riippuu vain signaalin arvoista eli ei tarvita arvoja tulevaisuudesta. Tarkastellaan LTI-järjestelmää, jonka lähtö ajanhetkellä on määritelty konvoluutiolla seuraavasti Jos summalauseke jaetaan kahteen osaan, joista toinen sisältää nykyiset ja edelliset tulon arvot ja toinen tulon tulevaisuuden arvot, saadaan 2 2 2 2 Siten LTI-järjestelmien kausaalisuusehdoksi saadaan

2.3 Diskreettiaikaisten LTI-järjestelmien analyysi 53, (2.3.2) jotta ei riippuisi signaalin arvosta, kun. Kausaalisuusehdon perusteella konvoluutiosumman rajat voidaan muuttaa seuraavasti (2.3.22) (2.3.23) Jos kausaalisen LTI-järjestelmän tulosekvenssi on lisäksi kausaalinen, eli, kun, voidaan konvoluutiosumman rajoja muuttaa edelleen (2.3.24) (2.3.25) Kausaalisen järjestelmän vaste kausaaliselle tulosekvenssille on myös kausaalinen, eli, kun. Esimerkki 2.3.5 Määritä yksikköaskelvaste LTI-järjestelmälle, jonka impulssivaste, Ratkaisu 2.3.5 Koska tulosignaali on yksikköaskel (kausaalinen signaali) ja järjestelmä on myös kausaalinen, voidaan hyödyntää konvoluutioyhtälön erikoismuotoa, joko yhtälöä (2.3.24) tai (2.3.25). Koska, kun, yhtälö (2.3.24) on yksinkertaisempi käyttää, koska taittaminen ja siirtäminen voidaan hypätä yli. Täten saadaan ja, kun. Huomaa! Vertaa esimerkki 2.3.3. 2.3.5 LTI-järjestelmien stabiilius Stabiilius on tärkeä ominaisuus käytännön järjestelmissä. Aikaisemmin määriteltiin BIBO-stabiilius, jos tulo on äärellinen, niin Vastaavasti, jos lähtö on äärellinen, niin kaikilla :n arvoilla. Siten LTI-järjestelmien stabiiliusehdoksi saadaan (2.3.26) LTI-järjestelmä on siis stabiili, jos sen impulssivaste on absoluuttisesti summautuva.

54 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Esimerkki 2.3.6 Määritä, millä parametrin arvoilla LTI-järjestelmä, jonka impulssivaste on stabiili. Ratkaisu 2.3.6 Esitetään luennolla. Esimerkki 2.3.7 Määritä, millä parametrien ja arvoilla LTI-järjestelmä, jonka impulssivaste,, on stabiili. Ratkaisu 2.3.7 Järjestelmä on ei-kausaalinen. Stabiilisuudelle Esimerkistä 2.3.6 saatiin, että ensimmäinen summatermi konvergoituu, jos. Toinen summatermi voidaan edelleen kirjoittaa muotoon missä, jotta geometrinen sarja konvergoituisi. Täten järjestelmä on stabiili, jos molemmat ja ehdot toteutuvat. 2.3.6 FIR- ja IIR-järjestelmät LTI-järjestelmät jaetaan usein kahteen luokkaan impulssivasteen pituuden perusteella; FIRjärjestelmällä (eng. finite-duration impulse response) on äärellisen pituinen impulssivaste ja IIRjärjestelmällä (eng. infinite-duration impulse response) on äärettömän pitkä impulssivaste. Kausaalisen FIR-järjestelmän impulssivaste on siis, ja Kausaalisen FIR-järjestelmän vaste voidaan siten laskea tulon painotettuna lineaarikombinaationa Vastaavasti kausaalisen IIR-järjestelmän vaste on FIR-järjestelmällä on äärellinen muistinpituus, kun taas IIR-järjestelmällä ääretön.

2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä 55 2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä Järjestelmän impulssivasteen avulla voidaan määrittää järjestelmän lähtö mielivaltaiselle tulosekvenssille konvoluutiosummalla (2.4.) Kuten edellä todettiin, FIR-järjestelmä tarvitsee äärellisen muistinpituuden, kun taas IIR-järjestelmä äärettömän. Tämä johtaa siihen, että IIR-järjestelmän vasteen laskeminen edellyttää äärettömän pitkän summan laskemista ja siten sen toteutus on käytännössä mahdotonta tällä tavalla. Siten IIR-järjestelmien toteutukseen on olemassa muita keinoja, joita tarkastellaan seuraavassa. 2.4. Rekursiiviset ja ei-rekursiiviset diskreettiaikaiset järjestelmät Edellä esitetyn perusteella konvoluutiosumma määrittelee LTI-järjestelmän lähdön eksplisiittisesti tulosignaalin perusteella. Tämä ei kuitenkaan ole aina tarpeellista, vaan lähtö voidaan määritellä sekä nykyisten että edellisten tulojen ja edellisten lähtöjen perusteella. Otetaan esimerkiksi signaalin kumulatiivinen keskiarvo välillä,,, (2.4.2) Kuten yhtälöstä (2.4.2) huomataan, tuloksen laskeminen vaatii näytteen tallentamista ja kun kasvaa, muistinmäärä kasvaa lineaarisesti ajan suhteen. Tämän takia on järkevää hyödyntää edellisiä lähdön arvoja, jolloin saadaan yhtälö (2.4.2) uuteen muotoon ja siksi (2.4.3) Nyt kumulatiivisen keskiarvon laskenta vaatii yhtälön (2.4.3) perusteella kaksi kertolaskua, yhden summauksen ja yhden muistielementin, kuten on havainnollistettu kuvassa 2.4.. Tämä on esimerkki rekursiivisesta järjestelmästä, koska lähdön tila riippuu myös edellisistä lähdöista. N O Kuva 2.4.. Kumulatiivisen keskiarvon laskenta rekursiivisella järjestelmällä. Tarkastellaan yhtälön (2.4.3) mukaista rekursiivista järjestelmää vielä tarkemmin ja aloitetaan prosessi, kun ja edetään ajan suhteen 2 2 2 2 3 3 2

56 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Laskennan aloittaminen jostain satunnaisesta kohtaa onnistuu, jos tunnetaan vain edellisen lähdön arvo ja uudet tulon arvot,, Siten Esimerkki 2.4. Neliöjuurialgoritmi Monet tietokoneet ja taskulaskimet laskevat positiivisen numeron :n neliöjuuren käyttämällä iteratiivista algoritmia 2,,, missä on alkuarvaus (estimaatti) :sta. Iteraatio konvergoituu, kun. Silloin. Tarkastellaan nyt rekursiivista järjestelmää 2 (2.4.4) mikä on toteutettu kuvan 2.4.2 mukaisesti. Syötetään järjestelmään heräte ja annetaan alkuarvaus :sta (karkea estimaatti). Järjestelmän vaste asettuu arvoon, kun kasvaa. N O O O Kuva 2.4.2. Neliöjuurialgoritmin toteutus. Nyt on määritelty kaksi yksinkertaista rekursiivista järjestelmää, missä lähtö riippuu edellisistä lähdöistä ja nykyisistä tuloista. Molemmat järjestelmät ovat kausaalisia. Rekursiivinen (eng. recursive) järjestelmä voidaan määritellä yleisesti seuraavasti,2,,,,,, (2.4.5) missä viittaa johonkin funktioon ja sen arvoihin. Vastaavasti ei-rekursiivinen (eng. nonrecursive) järjestelmä voidaan määritellä yleisesti seuraavasti,,, (2.4.6) 2.4.2 Vakiokertoimiset differenssiyhtälöt LTI-järjestelmille Vakiokertoimiset (eng. constant-coefficient) lineaariset differenssiyhtälöt ovat rekursiivisten ja eirekursiivisten järjestelmien alaluokka. Tarkastellaan siten ensimmäisen asteen differenssiyhtälöä (2.4.7) missä on vakio. Kuvassa 2.4.3 on esitetty vastaavan järjestelmän lohkokaavio.

2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä 57 N O = Kuva 2.4.3. Ensimmäisen asteen differenssiyhtälön lohkokaavio. Tarkastellaan yhtälön (2.4.7) lähdön peräkkäisiä arvoja, kun, aloittaen arvosta. Siten 2 2 2 eli tiivistetysti, (2.4.8) Järjestelmän vaste yhtälössä (2.4.8) koostuu kahdesta osasta:. Järjestelmän alkuehdosta riippuva osa. 2. Järjestelmän herätteestä riippuva osa. Jos, järjestelmän sanotaan olevan nollatilassa (eng. initially relaxed). Järjestelmän nollatilan vaste (eng. zero-state response) on siten, (2.4.9) Yhtälö (2.4.9) on muodoltaan konvoluutiosumma, missä tulo on konvoloitu impulssivasteen kanssa (2.4.) Ensimmäisen asteen differenssiyhtälön (2.4.7) lausekkeesta nähdään, että järjestelmä on kausaalinen. Siten yhtälön (2.4.9) konvoluutiosumman alaraja. Ensimmäisen asteen differenssiyhtälössä (2.4.7) kuvattu nollatilassa oleva rekursiivinen järjestelmä on siis lineaarinen aikainvariantti IIR-järjestelmä, jonka impulssivaste on esitetty yhtälössä (2.4.). Jos järjestelmä ei ole nollatilassa ( ) ja tulo kaikilla :n arvoilla, lähtöä kutsutaan nollatulon vasteeksi (eng. zero-input response) tai luonnolliseksi vasteeksi (eng. natural response), (2.4.) Järjestelmä voi siis tuottaa lähdön ilman herätettä, jonka aiheuttaa järjestelmän muisti. Järjestelmän kokonaisvaste on edellä esitetyn perusteella (2.4.2) Yleisessä tapauksessa rekursiivinen järjestelmä voidaan esittää differenssiyhtälönä tai vastaavasti (2.4.3)

58 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät, (2.4.4) Kokonaislukua kutsutaan differenssiyhtälön tai järjestelmän asteluvuksi. Järjestelmä on lineaarinen, jos se täyttää seuraavat kolme ehtoa:. Kokonaisvaste on nollatulon ja nollatilan vasteiden summa. 2. Superpositioperiaate pätee nollatilan vasteelle (eng. zero-state linear). 3. Superpositioperiaate pätee nollatulon vasteelle (eng. zero-input linear). Lineaarisuusehdon lisäksi voidaan tarkastella järjestelmän aikainvarianttisuutta. Yhtälön (2.4.4) mukainen järjestelmä on aikainvariantti, koska kertoimet ja ovat vakioita. Jos taas yksi tai useampi näistä kertoimista riippuisi ajasta, olisi järjestelmä aikavariantti, koska sen ominaisuudet muuttuisivat ajan funktiona. Siten rekursiivinen järjestelmä, joka on kuvattu lineaarisella vakiokertoimisella differenssiyhtälöllä, on lineaarinen ja aikainvariantti. Edellisten ominaisuuksien lisäksi voidaan tarkastella järjestelmän stabiilisuutta. Esimerkki 2.4.2 Määritä onko rekursiivinen järjestelmä, jonka differenssiyhtälö lineaarinen. Ratkaisu 2.4.2 Tarkastellaan kolmen lineaarisuusvaatimuksen toteutumista. Täten ensimmäinen vaatimus täyttyy. Tarkastellaan toista vaatimusta. Oletetaan, että. Tällöin saadaan Siksi toteuttaa superpositioperiaatteen ja täten järjestelmä on nollatilalineaarinen. Tarkastellaan kolmatta vaatimusta. Oletetaan, että. Tällöin saadaan Siksi toteuttaa superpositioperiaatteen ja täten järjestelmä on nollatulolineaarinen. Koska järjestelmä täyttää kaikki kolme vaatimusta lineaarisuudelle, se on lineaarinen. Esimerkki 2.4.3 Määritä onko rekursiivinen LTI-järjestelmä, jonka differenssiyhtälö stabiili.

2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä 59 Ratkaisu 2.4.3 Oletetaan, että tulosignaali on amplitudiltaan äärellinen eli kaikilla arvoilla. Nyt,,, Jos on äärellinen, on äärellinen ja lähtö on rajallinen riippumatta :n arvosta. Kuitenkin, jos, pysyy äärellisenä vain, jos, koska kun. Silloin. Siten järjestelmä on stabiili vain, jos. 2.4.3 Lineaaristen vakiokertoimisten differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Lineaaristen vakiokertoimisten differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen on kaksi vaihtoehtoa, suora ja epäsuora. Tässä kappaleessa tarkastellaan ainoastaan suoraa menetelmää, koska epäsuora menetelmä perustuu -muunnoksen hyväksikäyttöön ja siten se esitellään kappaleessa 3. Suora menetelmä olettaa, että kokonaisratkaisu koostuu kahdesta osasta (2.4.5) missä on homogeeninen (eng. homogeneous) ratkaisu ja erityisratkaisu (eng. particular). Differenssiyhtälön homogeeninen ratkaisu Määritetään ratkaisu homogeeniselle differenssiyhtälölle (2.4.6) Oletetaan, että ratkaisu on muotoa (2.4.7) Sijoitetaan tämä oletettu ratkaisu homogeeniseen yhtälöön (2.4.6), jolloin saadaan tai summa aukikirjoitettuna (2.4.8) Suluissa oleva polynomi on järjestelmän karakteristinen polynomi. Sillä on juurta,,,,, jotka voivat olla reaalisia tai kompleksisia. Kompleksiarvoiset juuret esiintyvät kompleksikonjugaattipareina. Osa juurista voi olla myös useampikertaisia eli yhtäsuuret juuret. Jos oletetaan, että kaikki juuret ovat erillisiä, homogeenisen yhtälön ratkaisu on siten (2.4.9) missä,,, ovat vakioita. Esimerkki 2.4.4

6 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät Määritä homogeeninen ratkaisu ensimmäisen kertaluvun järjestelmälle (2.4.2) Ratkaisu 2.4.4 Homogeeninen yhtälö on Tehdään yrite Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.4.2), jolloin saadaan Siten homogeenisen yhtälön ratkaisu on (2.4.2) Esimerkki 2.4.5 Määritä nollatulovaste järjestelmälle, jonka homogeeninen toisen asteen differenssiyhtälö 3 42 (2.4.22) Ratkaisu 2.4.5 Ensiksi, määritellään homogeenisen yhtälön ratkaisu. Oletetaan ratkaisun olevan muotoa Sijoitetaan tämä homogeeniseen yhtälöön 3 4 34 Täten, juuret ovat,4 ja homogeenisen yhtälön ratkaisu 4 (2.4.23) Järjestelmän nollatulovaste saadaan homogeenisen yhtälön ratkaisusta tarkastelemalla vakioita ja järjestelmän alkutilojen ja 2 perusteella. Nyt yhtälöstä (2.4.22) saadaan 3 42 3 4 33 42 4 3 22 Toisaalta tiedetään yhtälön (2.4.23) perusteella, että 4 Yhdistämällä edellä saadut yhtälöt, saadaan

2.4 Järjestelmien esittäminen differenssiyhtälöillä 6 3 42 4 3 22 Ratkaisemalla nämä, saadaan 5 4 5 2 6 5 6 5 2 Täten, järjestelmän nollatulovaste 5 4 5 2 6 5 6 5 24, (2.4.24) Esimerkiksi, jos 2 ja 5, silloin, 6 ja 4, Edelliset esimerkit kuvaavat homogeenisen yhtälön ratkaisua, kun sillä on erilliset juuret. Jos on - kertainen juuri, niin yhtälöstä (2.4.9) tulee (2.4.25) Differenssiyhtälön erityisratkaisu Erityisratkaisua tarvitaan, jotta differenssiyhtälö (2.4.4) toteutuisi tietylle tulosignaalille,. Erityisratkaisu on siis ratkaisu, joka toteuttaa yhtälön, (2.4.26) Erityisratkaisun löytämiseksi oletetaan, että se on samanmuotoinen kuin tulosignaali. Taulukossa 2. on esitetty erityisratkaisun yleinen muoto useille erilaisille herätteille. Esimerkki 2.4.6 Määritä erityisratkaisu seuraavalle differenssiyhtälölle 5 6 2 6 kun heräte 2, ja nolla muulloin. Ratkaisu 2.4.6 Erityisratkaisu on muotoa 2, Sijoittamalla annettuun differenssiyhtälöön, saadaan 2 5 6 2 6 2 2 2 Jotta :n arvo voidaan määrittää, täytyy yhtälöä tarkastella, kun 2, jolloin yksikään termi ei katoa. Nyt saadaan 4 5 6 2 6 4 ja siksi. Erityisratkaisu

62 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 8 5 2, Taulukko 2.. Erityisratkaisun yleinen muoto erilaisille tulosignaaleille. Tulosignaali, (vakio) cos sin Erityisratkaisu, cos sin Differenssiyhtälön kokonaisratkaisu Lineaaristen vakiokertoimisten differenssiyhtälöiden lineaarisuusominaisuuden perusteella saadaan kokonaisratkaisu (eng. total solution) yhteenlaskemalla homogeeninen ratkaisu ja erityisratkaisu yhtälön (2.4.5) mukaisesti. Kokonaisratkaisu sisältää vakioparametrit homogeenisessa ratkaisussa. Nämä vakiot voidaan määrittää alkuehdon perusteella. Esimerkki 2.4.7 Määritä seuraavan differenssiyhtälön kokonaisratkaisu, kun ja alkuehto on., (2.4.27) Ratkaisu 2.4.7 Esimerkin 2.4.4 yhtälöstä (2.4.2) saadaan homogeenisen yhtälön ratkaisu Koska on vakio, kun, oletetaan :n olevan myös vakio. Erityisratkaisun oletetaan siten olevan muotoa Sijoitetaan tämä :n lisäksi differenssiyhtälöön. Saadaan :n ratkaisemiseksi tarkastellaan yhtälöä, kun, jotta yksikään termi ei katoa. Silloin Siten erityisratkaisu on Kokonaisratkaisu on siten, (2.4.28) missä on vakio ja se määritetään siten, että alkuehto toteutuu. Sijoitetaan ratkaistavaan yhtälöön (2.4.27), jolloin saadaan

2.5 Diskreettiaikaisten järjestelmien toteuttaminen 63 Toisaalta sijoittamalla edellä saatuun kokonaisratkaisuun (2.4.28) saadaan Sijoittamalla :n arvo yhtälöön (2.4.28), saadaan, (2.4.29) Esimerkki 2.4.8 Määritä järjestelmän lähtö,, kun sen differenssiyhtälö 3 42 2 (2.4.3) ja tulosekvenssi 4 Ratkaisu 2.4.8 Esitetään luennolla. 2.5 Diskreettiaikaisten järjestelmien toteuttaminen Järjestelmäsuunnittelu ja toteutus tehdään käytännössä usein samanaikaisesti. Järjestelmäsuunnittelussa on yleensä rajoituksia, kuten hinta, laitteisto, koko ja tehonkulutus. Nämä määräävät järjestelmän käytännön toteutuksen. 2.5. LTI-järjestelmien toteutusrakenteet Tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun järjestelmää (2.5.) jonka toteutus on esitetty kuvassa 2.5.(a). Toteutuksessa käytetään erillisiä viiveitä (muistipaikkoja) sekä tuloille että lähdöille. Toteutus on ns. suora muoto I (eng. direct form I, DF I). Suora muoto I voidaan ajatella kahtena LTI-järjestelmänä kaskadikytkennässä. Ensimmäinen järjestelmä on ei-rekursiivinen järjestelmä (2.5.2) kun taas toinen on rekursiivinen järjestelmä (2.5.3)

64 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät LTI-järjestelmän kaskadikytkennässä osien järjestystä voidaan vaihtaa. Siten jos vaihdetaan rekursiivisen ja ei-rekursiivisen järjestelmän järjestystä, saadaan järjestelmän (2.5.) vaihtoehtoinen toteutusrakenne, joka on esitetty kuvassa 2.5.(b). Kuvasta saadaan kaksi differenssiyhtälöä (2.5.4) (2.5.5) Kuvasta 2.5. huomataan, että molemmat viive-elementit sisältävät saman tulon ja siksi saman lähdön. Siten nämä elementit voidaan yhdistää yhdeksi viive-elementiksi, kuten on esitetty kuvassa 2.5.(c). Verrattaessa saatua toteutusta suora muoto I rakenteeseen nähdään, että uusi toteutus tarvitsee ainoastaan yhden viiveen apumuuttujalle ja siksi se on tehokkaampi muistin käytön suhteen. Toteutus on suora muoto II (eng. direct form II, DF II). N > L O > = (a) N M > O = > (b) N M > O = > (c) Kuva 2.5.. LTI-järjestelmän toteutusrakenteen muuntaminen suora muoto I toteutuksesta suora muoto II toteutukseksi. (a) Suora muoto I toteutus. (b) Rekursiivisen ja ei-rekursiivisen järjestelmän järjestyksen vaihto. (c) Suora muoto II toteutus. Molemmat toteutusrakenteet voidaan esittää yleiselle rekursiiviselle LTI-järjestelmälle, joka on kuvattu differenssiyhtälöllä (2.5.6) Kuvassa 2.5.2 on esitetty suora muoto I toteutus yleisessä muodossa. Tämä toteutusrakenne tarvitsee viivemuistipaikkaa, kertolaskua ja yhteenlaskua.

2.5 Diskreettiaikaisten järjestelmien toteuttaminen 65 N > L O > = > = > = > = Kuva 2.5.2. Yhtälön (2.5.6) mukaisen järjestelmän suora muoto I toteutusrakenne yleisessä muodossa. Suora muoto I toteutuksen ei-rekursiivinen järjestelmä ja rekursiivinen järjestelmä (2.5.7) (2.5.8) Vastaavasti kuvassa 2.5.3 on esitetty suora muoto II toteutus yleisessä muodossa. Tämä toteutusrakenne tarvitsee puolestaan max, viivemuistipaikkaa, kertolaskua ja yhteenlaskua. N M > O = > = > = > = > Kuva 2.5.3. Yhtälön (2.5.6) mukaisen järjestelmän suora muoto II toteutusrakenne yleisessä muodossa. Suora muoto II toteutuksen rekursiivinen järjestelmä on

66 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät (2.5.9) ja ei-rekursiivinen järjestelmä (2.5.) Koska suora muoto II toteutusrakenne sisältää minimimäärän viive-elementtejä yhtälön (2.5.6) mukaisen järjestelmän toteutukseen, se on siten viiveiden suhteen kanoninen. Yhtälön (2.5.6) mukainen järjestelmä on FIR-tyyppinen, jos sen parametrit,,,. Tällöin differenssiyhtälö yksinkertaistuu (2.5.) joka on ei-rekursiivinen LTI-järjestelmä. Järjestelmän lähtö on tulon painotettu liukuva keskiarvo (eng. weighted moving average) ja siksi sitä kutsutaan liukuvan keskiarvon järjestelmäksi. Sen impulssivaste,, muuten Vastaavasti yhtälön (2.5.6) mukainen järjestelmä on puhtaasti rekursiivinen, jos. Siten (2.5.2) (2.5.3) Tässä tapauksessa järjestelmän lähtö on :n edellisen lähdön ja nykyisen tulon painotettu lineaarikombinaatio. 2.5.2 FIR-järjestelmien rekursiiviset ja ei-rekursiiviset toteutukset Edellä tehtiin ero FIR- ja IIR-järjestelmien välillä niiden impulssivasteen pituuden perusteella. Lisäksi eroteltiin rekursiiviset ja ei-rekursiiviset järjestelmät toisistaan. FIR ja IIR ovat siis LTI-järjestelmien perusominaisuuksia, kun taas ei-rekursiivinen ja rekursiivinen viittaavat puolestaan toteutusrakenteeseen. Edellä todettiin, että yhtälön (2.5.) mukainen järjestelmä on ei-rekursiivinen FIR-järjestelmä. Siten siis kaikki FIR-järjestelmät voidaan toteuttaa ei-rekursiivisesti, mutta toisaalta ne voidaan toteuttaa myös rekursiivisesti. Tarkastellaan signaalin liukuvan keskiarvon laskemista FIR-järjestelmällä Järjestelmän impulssivaste on selvästi (2.5.4), (2.5.5) Kuvassa 2.5.4 on esitetty järjestelmän ei-rekursiivisen toteutuksen rakenne. Muokataan yhtälöä (2.5.4), jolloin saadaan (2.5.6)

2.5 Diskreettiaikaisten järjestelmien toteuttaminen 67 N O Kuva 2.5.4. FIR-järjestelmän ei-rekursiivinen toteutus liukuvan keskiarvon laskemiseksi. Tämä on FIR-järjestelmän rekursiivinen toteutus. Kuvassa 2.5.5 on esitetty liukuvan keskiarvon järjestelmän rekursiivinen toteutusrakenne. N N O Kuva 2.5.5. FIR-järjestelmän rekursiivinen toteutus liukuvan keskiarvon laskemiseksi. 2.5.3 Diskreettiaikaisten järjestelmien ohjelmallinen toteuttaminen Ohjelmallinen toteutus voidaan tehdä esimerkiksi tavallisella mikroprosessorilla, digitaaliseen signaalinkäsittelyyn optimoidulla mikroprosessorilla eli digitaalisella signaaliprosessorilla (eng. digital signal processor, DSP) tai vaikka yleiskäyttöisellä tietokoneella. Ohjelmalliseen toteutukseen on olemassa useita vaihtoehtoja. Valintaan vaikuttavat muun muassa. Reaaliaikaisuus/ei-reaaliaikaisuus 2. Käytettävissä oleva muistin määrä FIR-järjestelmän ohjelmallinen toteutus perustuu konvoluutiosumman laskemiseen. Ajanhetkellä Tämän toteutus pseudokoodina: sum := for k :=,M sum := sum + h(k)*x(k) yout := sum Seuraavalla :n arvolla : Tällöin tulosignaalitaulukon arvoja siirrettävä yhden muistipaikan verran kuvan 2.5.6 mukaisesti for k :=,M- x(m-k) := x(m--k)

68 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät 2 Kuva 2.5.6. Tulotaulukon arvojen siirto yhden muistipaikan verran. Vastaavasti IIR-järjestelmän suora muoto I toteutus (jos ) pseudokoodina: x() := xin sum := for k := N,,- sum := sum + b(k)*x(k) sum := sum + a(k)*y(k) x(k) := x(k-) y(k) := y(k-) yout := sum + b()*x() y() := yout 2.6 Diskreettiaikaisten signaalien korrelaatio Korrelaatio (eng. correlation) on matemaattisesti lähellä konvoluutiota. Korrelaatiolla pyritään selvittämään signaalien samankaltaisuus. Signaalien korrelaatiota käytetään yleisesti tutkissa, digitaalisessa tiedonsiirrossa, tehospektrin estimoinnissa ja monissa erilaisissa sovelluksissa. Tutkan toimintaperiaate on esitetty kuvassa 2.6.. D A JA JJO I EC = = E D A E= I JK K JI EC = = E Kuva 2.6.. Tutkan toimintaperiaate. Oletetaan nyt, että on tutkan lähettämä signaali ja vastaanotettu signaali. Vastaanotettu signaali on siis tutkan lähettämä signaali vaimennettuna ja viivästettynä lisättynä kohinalla (2.6.) missä on vaimennuskerroin (eng. attenuation factor), kulkuaikaviive (eng. round-trip delay) ja kohinakomponentti (eng. additive noise). Vastaanotettu signaali sisältää ainoastaan kohinan, jos lähetetty signaali ei osu kohteeseen. Tutkan tehtävänä on selvittää, onko vastaanotetussa signaalissa kohteesta heijastunutta signaalia ja kohteen etäisyyden laskemiseksi on selvitettävä viive. Käytännön ongelmana on kuitenkin se, että kohina on huomattavan suuri verrattuna signaaliin

2.6 Diskreettiaikaisten signaalien korrelaatio 69, eikä siten signaaleja ja visuaalisesti vertaamalla löydetä välttämättä yhtäläisyyttä. Korrelaatio tarjoaa menetelmän havainnointiin. 2.6. Risti- ja autokorrelaatio Kahden reaalisen signaalin ja, joiden energiat äärelliset, ristikorrelaatio (eng. crosscorrelation) määritellään yhtälöllä,,,2, (2.6.2) tai vastaavasti,,,2, (2.6.3) Indeksi on ajansiirtoparametri ja alaindeksi viittaa korreloitaviin sekvensseihin. Sekvenssien järjestyksen vaihtaminen vaikuttaa seuraavasti,,,2, (2.6.4) tai vastaavasti,,,2, (2.6.5) Vertaamalla yhtälöä (2.6.2) yhtälöön (2.6.5) tai yhtälöä (2.6.3) yhtälöön (2.6.4), saadaan (2.6.6) Siten, on siis taitettu versio sekvenssistä, missä taitto on tehty suhteen. Esimerkki 2.6. Määritä ristikorrelaatiosekvenssi sekvensseille,,,2,,3,7,,2,3,,,,,,,, 2, 2, 4,, 2, 5,,, Ratkaisu 2.6. Esitetään luennolla. Korrelaatio on muodoltaan samanlainen kuin konvoluutio. Tarkastellaan ristikorrelaation laskentaa (2.6.7) Siten konvoluution laskentaohjelmaa voidaan hyödyntää ristikorrelaation laskennassa. Tällöin lasketaan sekvenssin ja taitetun sekvenssin konvoluutio, jolloin saadaan ristikorrelaatio. Jos, korrelaatiota kutsutaan autokorrelaatioksi (eng. autocorrelation), jolloin tai vastaavasti (2.6.8)

7 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät (2.6.9) Jos sekvenssit ovat äärellisen pituisia ( näytettä) ja kausaalisia (, kun ja ), voidaan risti- ja autokorrelaatiot laskea äärellisen pituisina summina ja missä,, kun ja,, kun. MATLAB: xcorr (2.6.) (2.6.) 2.6.2 Risti- ja autokorrelaation ominaisuuksia Jos kaksi sekvenssiä ja ovat energialtaan äärellisiä, voidaan niiden ristikorrelaatiosekvenssille johtaa seuraavaa (2.6.2) missä siis ja. Erikoistapauksena, kun, yhtälö (2.6.2) yksinkertaistuu (2.6.3) Signaalin autokorrelaatiosekvenssi saa siis maksimiarvonsa viiveellä nolla ( ) eli signaali ja sen viivästämätön versio vastaavat parhaiten toisiaan. Risti- ja autokorrelaatiosekvenssit voidaan normalisoida alueelle,. Normalisoitu autokorrelaatiosekvenssi on siten missä. Vastaavasti normalisoitu ristikorrelaatiosekvenssi missä. Edellä esitetyn perusteella voidaan kirjoittaa ristikorrelaatiosekvenssille (2.6.4) (2.6.5) (2.6.6) ja vastaavasti autokorrelaatiosekvenssille (2.6.7) Autokorrelaatiofunktio on parillinen ja siten riittää, kun lasketaan vain arvoilla. 2.6.3 Jaksollisten signaalien korrelaatio Tarkastellaan tehosignaalien, erityisesti jaksollisten signaalien korrelaatiota. Olkoon ja tehosignaaleja. Niiden ristikorrelaatiosekvenssi on siten lim 2 ja vastaavasti autokorrelaatio, kun, (2.6.8)

2.6 Diskreettiaikaisten signaalien korrelaatio 7 lim 2 (2.6.9) Jos ja ovat jaksollisia (jakso ), on yhtälöiden (2.6.8) ja (2.6.9) keskiarvot äärettömällä aikavälillä sama kuin keskiarvot yhden jakson yli. Siten ja (2.6.2) (2.6.2) Sekä ja ovat jaksollisia (jakso ) korrelaatiosekvenssejä. Kerroin voidaan ajatella olevan normalisointikerroin. Korrelaatiota voidaan käyttää kohinaisen signaalin jaksollisuuden selvittämiseen. Tarkastellaan signaalia (2.6.22) missä on jaksollinen signaali, mutta jakso on tuntematon, ja summautuva satunnaishäiriö. Havainnoidaan signaalia näytettä eli, missä. Oletetaan, että, kun ja. Siten signaalin autokorrelaatiosekvenssi Jos sijoitetaan yhtälö (2.6.22) yhtälöön (2.6.23), saadaan (2.6.23) (2.6.24) Signaalin autokorrelaatio on jaksollinen, koska signaali on jaksollinen. Huiput ovat kohdissa,, 2, Satunnaiskohinan (eng. random interference) ja signaalin ristikorrelaatio on hyvin pieni, koska kohina on riippumaton signaalista. Kohinasekvenssin autokorrelaatio sisältää huipun kohdassa, mutta sekvenssin satunnaisuuden takia sen autokorrelaatio on muilla :n arvoilla pieni. Siten. Esimerkki 2.6.2 Signaaliin sinπ 5, 99 on summautunut häiriö. Häiriön peräkkäiset arvot ovat toisistaan riippumattomia ja ne ovat jakautuneet tasaisesti välille Δ 2,Δ 2. Havainnoitu signaali on. Määritä signaalin autokorrelaatiosekvenssi ja siten määritä signaalin jaksonpituus. Ratkaisu 2.6.2 Kuvassa 2.6.2(a) on esitetty näyte häiriösignaalista ja kuvassa 2.6.2(b) havainnoidusta signaalista, kun SNR = db. Vastaavasti autokorrelaatiosekvenssi on esitetty kuvassa 2.6.2(c). Kuvista nähdään, että havainnoitu signaali tuottaa jaksollisen autokorrelaatiosekvenssin, jonka jaksonpituus. Kohinasignaalin vaikutus nähdään piikkiarvona hetkellä, kun taas, korrelaatiosekvenssi. Tällaista kohinaa kutsutaan yleisesti valkoiseksi kohinaksi (eng. white noise), koska häiriön peräkkäiset arvot ovat toisistaan riippumattomia.

72 2 Diskreettiaikaiset signaalit ja järjestelmät w(n) y(n) 3 2 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 n 3 2 2 (a) 3 2 3 4 5 6 7 8 9 n 3 2 (b) r yy (n) 5 4 3 2 2 3 4 5 n (c) Kuva 2.6.2. Autokorrelaation käyttö signaaliin, joka on häiriöinen, jaksollisuuden selvittämiseksi. (a) Häiriösignaali. (b) Havainnoitu signaali. (c) Autokorrelaatiosekvenssi. 2.6.4 Tulo-lähtökorrelaatiot Oletetaan, että signaali, jonka autokorrelaatio on tunnettu, syötetään LTI-järjestelmään, jonka impulssivaste on. Tällöin saadaan lähtö Lähdön ja tulon välinen ristikorrelaatio on siten tai vastaavasti (2.6.25) Siten järjestelmän tulon ja lähdön välinen ristikorrelaatio on tulon autokorrelaation ja impulssivasteen konvoluutio. Ristikorrelaation voidaan siis ajatella olevan LTI-järjestelmän vaste herätesekvenssillä, kuten on esitetty kuvassa 2.6.3.

2.6 Diskreettiaikaisten signaalien korrelaatio 73 JK H N N 6 HA I JA D D J H O N Kuva 2.6.3. Ristikorrelaation tulo-lähtökuvaus. Yhtälöä (2.6.25) voidaan muokata korrelaation ominaisuuden perusteella seuraavaksi (2.6.26) Lähdön autokorrelaatiolle voidaan kirjoittaa (2.6.27) Impulssivasteen autokorrelaatio on olemassa, jos järjestelmä on stabiili. Lasketaan yhtälö (2.6.27), kun, jolloin saadaan (2.6.28) joka on lähtösignaalin energia (tai teho). Yhteys pätee siis sekä energia- että tehosignaaleille. Lähdön autokorrelaatio on siis (2.6.29)

3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Muunnokset ovat tärkeitä työkaluja signaalien ja LTI-järjestelmien analyysissä. Tässä kappaleessa esiteltävällä -muunnoksella (eng. -transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTIjärjestelmien analyysissä kuin Laplace-muunnoksella jatkuva-aikaisten analyysissä. 75 3. z-muunnos Diskreettiaikaisen signaalin -muunnos määritellään yhtälöllä (3..) missä on kompleksinen muuttuja. Yhtälöä kutsutaan myös suoraksi -muunnokseksi, koska se muuntaa aikatason signaalin kompleksitason esitykseksi. Käänteinen operaatio on käänteinen -muunnos (eng. inverse -transform). Signaalin -muunnosta merkitään myös (3..2) kun taas :n ja :n välinen yhteys merkitään (3..3) Koska -muunnos on ääretön potenssisarja, on se olemassa ainoastaan niillä :n arvoilla, joilla sarja suppenee. :n suppenemisalue (eng. region of convergence, ROC) on niiden :n arvojen joukko, joilla saa äärellisiä arvoja. Tämän takia -muunnoksen yhteydessä on aina ilmoitettava ROC. Esimerkki 3.. Määritä seuraavien äärellisen pituisten sekvenssien -muunnokset: (a), 2, 5, 7,, (b), 2, 5, 7,, (c),,, 2, 5, 7,, (d) 2, 4, 5, 7,, (e) (f), (g), Ratkaisu 3.. Määritelmästä (3..) saadaan (a) 2 5 7, ROC: koko -taso, paitsi (b)

76 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin 257, ROC: koko -taso, paitsi ja (c) (d) 2 5 7, ROC: koko -taso, paitsi 2 457, ROC: koko -taso, paitsi ja (e) Koska, kun, ROC: koko -taso (f) Koska, kun, ROC: koko -taso, paitsi (g) Koska, kun, ROC: koko -taso, paitsi Edellisestä esimerkistä huomataan, että äärellisen pituisen sekvenssin -muunnoksen ROC on koko -taso, poislukien mahdollisesti ja/tai, koska, jos, jos Matemaattisesta näkökulmasta katsoen -muunnos on yksikertaisesti signaalin vaihtoehtoinen esitystapa. Esimerkistä 3.. nähdään, että :n eksponentti sisältää aikainformaation, millä yksilöidään signaalin näytteet hetkellä. Esimerkki 3..2 Määritä seuraavan signaalin -muunnos

3. z-muunnos 77 2 Ratkaisu 3..2 Esitetään luennolla. Kompleksinen muuttuja voidaan esittää polaarisessa muodossa (3..4) missä ja. Täten voidaan kirjoittaa muotoon :n ROC:n sisäpuolella,. Mutta (3..5) Täten ROC:n etsiminen tarkoittaa siis sellaisen :n arvojen joukon etsimistä, joilla on absoluuttisesti summautuva. Tarkastellaan vielä yhtälöä (3..5) (3..6) ROC:ssa yhtälön (3..6) molempien summatermien täytyy olla äärellisiä. Täten ensimmäisen summatermin ROC sisältää kaikki pisteet ympyrän, jonka säde on ( ), sisäpuolella, kuten on esitetty kuvassa 3..(a). Vastaavasti toisen summatermin ROC sisältää kaikki pisteet ympyrän, jonka säde on, ulkopuolella, kuten on esitetty kuvassa 3..(b). Siten :n ROC sisältää molempien summatermien suppenemisalueet, jolloin. Tämän takia summatermeillä täytyy olla yhteinen alue, jolloin molemmat suppenevat, koska muuten ei ole olemassa. :n ROC on esitetty kuvassa 3..(c). J= I 5 K F F A A EI = K A K H 5 N H 4 + 4 A J= I H (a) 5 K F F A A EI = K A K 5 N H 4 A 4 + (b)

78 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin J= I H : I K F F A A EI = K A H H H H 4 A (c) Kuva 3... Suppenemisalueet. (a) :n antikausaalisen komponentin ROC. (b) :n kausaalisen komponentin ROC. (c) :n ROC. Esimerkki 3..3 Määritä seuraavan signaalin -muunnos,, Ratkaisu 3..3 Esitetään luennolla. Esimerkki 3..4 Määritä seuraavan signaalin -muunnos, antikausaalinen, Ratkaisu 3..4 Esitetään luennolla. Huomaa, että esimerkeistä 3..3 ja 3..4 saadaan Tämä ei ole yksikäsitteinen ellei suppenemisaluetta (ROC) ole määritelty. Diskreettiaikainen signaali on siis yksikäsitteisesti määritelty, kun sen -muunnos ja suppenemisalue (ROC) tunnetaan. Kausaalisen signaalin ROC on -säteisen ympyrän ulkopuoli ja antikausaalisen signaalin ROC -säteisen ympyrän sisäpuoli. Hyödyllisiä sarjoja Geometrinen sarja: Variaatiot:,

3.2 z-muunnoksen ominaisuuksia 79,, Esimerkki 3..5 Määritä seuraavan signaalin -muunnos Ratkaisu 3..5 Esitetään luennolla. Signaalin ROC on riippuvainen signaalin ajallisesta kestosta (äärellinen tai ääretön) ja onko signaali kausaalinen, antikausaalinen tai kaksipuoleinen. Eri tapaukset on esitetty taulukossa 3.. 3.2 z-muunnoksen ominaisuuksia -muunnos on tehokas työkalu diskreettiaikaisten signaalien ja järjestelmien tarkastelussa. Muunnoksen teho on seurausta joistakin sen tärkeistä ominaisuuksista. Seuraavassa käydään läpi eri ominaisuuksia. Lineaarisuus (eng. linearity) Jos niin (3.2.) kaikilla vakioilla ja. Esimerkki 3.2. Määritä seuraavan signaalin -muunnos ja ROC 32 43 Ratkaisu 3.2. Esitetään luennolla.

8 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Taulukko 3.. Erilaisia signaaleja ja niiden suppenemisalueet (ROC). Signaali = K I = = E A N ROC Signaalit, joilla äärellinen kesto Koko -taso paitsi ) JE = K I = = E A N Koko -taso paitsi = I E F K A E A N Koko -taso paitsi ja Signaalit, joilla ääretön kesto = K I = = E A N H ) JE = K I = = E A N H = I E F K A E A N H H Ajansiirto (eng. time shifting) Jos niin

3.2 z-muunnoksen ominaisuuksia 8 (3.2.2) :n ROC on sama kuin :n poislukien, jos ja, jos. Todistus tälle seuraa suoraan -muunnoksen määritelmästä (3..). Esimerkki 3.2.2 Määritä esimerkin 3.. signaalien ja z-muunnokset :n z-muunnoksesta hyödyntämällä ajansiirto-ominaisuutta. Ratkaisu 3.2.2 Esitetään luennolla. Skaalaus (eng. scaling) Jos niin, ROC:, ROC: (3.2.3) kaikilla vakion arvoilla, reaaliset ja kompleksiset. Todistus z-muunnoksen määritelmästä (3..) Ajan kääntäminen (eng. time reversal) Jos niin, ROC:, ROC: tai (3.2.4) Todistus z-muunnoksen määritelmästä (3..) missä. Esimerkki 3.2.3 Määritä seuraavan signaalin -muunnos Ratkaisu 3.2.3

82 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Esitetään luennolla. Derivointi z-tasossa (eng. differentiation in -domain) Jos niin (3.2.5) Todistus Derivoimalla yhtälön (3..) molemmat puolet, saadaan Huomaa, että molemmilla muunnoksilla on sama ROC. Esimerkki 3.2.4 Määritä seuraavan signaalin -muunnos Ratkaisu 3.2.4 Esitetään luennolla. Konvoluutio (eng. convolution) Jos niin (3.2.6) ROC on vähintään molempien muunnoksien ja leikkausalue. Todistus Kahden signaalin ja konvoluutio Signaalin z-muunnos Vaihtamalla summauksien järjestystä ja soveltamalla ajansiirto-ominaisuutta, saadaan

3.2 z-muunnoksen ominaisuuksia 83 Esimerkki 3.2.5 Määritä seuraavien signaalien konvoluutio, 2,, 5 Ratkaisu 3.2.5 Esitetään luennolla. Korrelaatio (eng. correlation) Jos niin (3.2.7) Todistus Kahden signaalin ja korrelaatio Käyttämällä konvoluutio- ja ajankääntöominaisuutta, saadaan ROC on vähintään molempien muunnoksien ja leikkausalue. Esimerkki 3.2.6 Määritä seuraavan signaalin autokorrelaatiosekvenssi, Ratkaisu 3.2.6 Esitetään luennolla. Alkuarvoteoreema (eng. initial value theorem) Jos on kausaalinen, niin lim (3.2.8)

84 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Todistus Koska on kausaalinen, määritelmästä (3..) seuraa 2 Kun,, jos. Teoreema (3.2.8) seuraa tästä. Kaikki edellä esitetyt -muunnoksen ominaisuudet lisättynä muutamalla ylimääräisellä ominaisuudella on esitetty taulukossa 3.2. Taulukossa 3.3 on vastaavasti esitetty -muunnosparit. Taulukko 3.2. Eräitä yleisiä -muunnoksen ominaisuuksia. Ominaisuus Aikataso -taso ROC Merkintä ROC ROC Lineaarisuus Ajansiirto vähintään leikkaus ROC ja ROC :n alue, poislukien, jos ja, jos Skaalaus Ajan kääntäminen Konjugaatti ROC Reaaliosa Re 2 Sisältyy ROC Imaginaariosa Im 2 Sisältyy ROC Derivointi Konvoluutio Korrelaatio Alkuarvoteoreema jos kausaalinen lim Kertominen Parsevalin suhde 2 2 vähintään leikkaus ROC ja ROC vähintään leikkaus :n ja :n ROC vähintään Taulukko 3.3. Eräitä yleisiä -muunnospareja. Signaali, -muunnos, ROC Koko -taso 2 3 4

3.3 Rationaaliset z-muunnokset 85 5 6 7 cos 8 sin 9 cos sin cos 2 cos sin 2 cos cos 2 cos sin 2 cos 3.3 Rationaaliset z-muunnokset Rationaaliset funktiot ovat -muunnoksien tärkeä ryhmä. Rationaaliset funktiot koostuvat kahden polynomin suhteesta. 3.3. Navat ja nollat -muunnoksen nollat (eng. zeros) ovat :n arvoja, jolloin. Navat (eng. poles) ovat vastaavasti :n arvoja, jolloin. Jos on rationaalifunktio, se voidaan ilmaista muodossa (3.3.) Jos ja, vältetään :n negatiiviset potenssit kertomalla ulos termit ja seuraavasti Koska ja ovat :n polynomeja, ne voidaan ilmaista seuraavasti (3.3.2) missä. Siten :lla on äärellistä nollaa,,, (osoittajan polynomin juuret, ), äärellistä napaa,,, (nimittäjän polynomin juuret ) ja nollaa (jos ) tai napaa (jos ) origossa. Napa tai nolla voi olla myös :ssä. Nolla sijaitsee :ssä, jos ja napa :ssä, jos. On myös huomattava, että napoja ja nollia on yhtä monta. voidaan kuvata graafisesti kompleksitasossa napa-nollakuvion (eng. pole-zero plot) avulla. Tällöin napojen sijainti merkitään ristillä () ja nollien sijainti vastaavasti ympyrällä (O). Moninkertaiset navat tai nollat merkitään numerolla lähellä vastaavaa ristiä tai ympyrää. On myös huomattava, että -muunnoksen suppenemisalue ei sisällä yhtään napaa. Esimerkki 3.3. Piirrä seuraavan signaalin napa-nollakuvio, Ratkaisu 3.3.

86 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Esitetään luennolla. Esimerkki 3.3.2 Piirrä seuraavan signaalin napa-nollakuvio,,, muualla kun. Ratkaisu 3.3.2 Esitetään luennolla. Selvästi nähdään, että napa-nollakuvion perusteella voidaan myös määrittää ilman yhtälön (3.3.2) skaalauskerrointa. Tätä havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä. Esimerkki 3.3.3 Määritä kuvan 3.3. napa-nollakuviota vastaava z-muunnos sekä vastaava signaali. 4 + F H M M 4 A F Kuva 3.3.. Napa-nollakuvio. Ratkaisu 3.3.3 Esitetään luennolla. Jos polynomilla on reaaliset kertoimet, sen juuret ovat joko reaalisia tai ne esiintyvät kompleksikonjugaattipareina. MATLAB: tf, pzplot 3.3.2 Navan sijainti ja kausaalisen signaalin käyttäytyminen aikatasossa Kausaalisten signaalien aikatason käyttäytyminen riippuu siitä, ovatko -muunnoksen navat yksikköympyrän (eng. unit circle) sisä- vai ulkopuolella vai ympyrän kehällä. Jos reaalisen signaalin - muunnoksella on yksi napa, tämän on oltava reaalinen. Ainoa tällainen signaali on reaalinen eksponenttisignaali, ROC: jolla on yksi nolla ja yksi napa reaaliakselilla. Kuvassa 3.3.2 on esitetty signaalin käyttäytyminen suhteessa navan sijaintiin yksikköympyrällä.

3.3 Rationaaliset z-muunnokset 87 J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N Kuva 3.3.2. Kausaalisen signaalin (yksi reaalinen napa) aikatason käyttäytyminen navan sijainnin funktiona yksikköympyrällä. Kausaalinen signaali, jolla on kaksinkertainen reaalinen napa, on muotoa, ROC: Tämän signaalin käyttäytyminen aikatasossa on esitetty kuvassa 3.3.3. J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N Kuva 3.3.3. Kausaalisen signaalin (kaksinkertainen reaalinen napa) aikatason käyttäytyminen navan sijainnin funktiona yksikköympyrällä. Kuvassa 3.3.4 on vastaavasti esitetty tapaus, kun navat ovat kompleksikonjugaattipari. Taulukon 3.3 mukaan tällainen signaali on eksponentiaalisesti painotettu sinimuotoinen signaali. Napojen etäisyys origosta määrittelee sinimuotoisen signaalin verhokäyrän ja sen kulman. Viimeisenä tapauksena kuvassa 3.3.5 on esitetty kausaalisen signaalin käyttäytyminen, kun kaksinkertaiset napaparit sijaitsevat yksikköympyrällä.

88 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin J= I N H M J= I N H M J= I N H H M Kuva 3.3.4. Kausaalisen signaalin (navat kompleksikonjugaattipari) aikatason käyttäytyminen napojen sijainnin funktiona yksikköympyrällä. J= I M N Kuva 3.3.5. Kausaalisen signaalin (kaksinkertainen kompleksikonjugaattinapapari) aikatason käyttäytyminen napojen sijainnin funktiona yksikköympyrällä. 3.3.3 LTI-järjestelmien siirtofunktio Aikaisemmin todettiin, että LTI-järjestelmän vaste mielivaltaiselle herätesignaalille saadaan laskemalla herätesignaalin ja järjestelmän yksikköimpulssivasteen konvoluutio seuraavasti josta saadaan -muunnoksella konvoluutio -tasossa (3.3.3) Yhtälö (3.3.3) voidaan kirjoittaa uuteen muotoon Koska (3.3.4) (3.3.5)

3.3 Rationaaliset z-muunnokset 89 on selvää, että kuvaa järjestelmän -tasossa, kun taas kuvaa järjestelmän aikatasossa. :aa kutsutaan myös järjestelmän siirtofunktioksi (eng. transfer function) tai systeemifunktioksi (eng. system function). Yhtälössä (3.3.4) esitetty suhde on käytännöllinen, jos järjestelmä on kuvattu lineaarisella vakiokertoimisella differenssiyhtälöllä (3.3.6) Tällöin siirtofunktio voidaan määrittää suoraan yhtälöstä (3.3.6) laskemalla sen molempien puolien - muunnokset. Tällöin (3.3.7) Tästä siirtofunktion yleisestä muodosta saadaan kaksi erikoistapausta. Ensimmäinen tapaus, jos, kun, FIR-järjestelmän siirtofunktio (3.3.8) Tässä tapauksessa siirtofunktiolla on nollaa, joiden arvot on määritelty järjestelmäparametreilla, ja -kertainen napa kohdassa. Tätä kutsutaan all-zero-järjestelmäksi. Toinen tapaus, jos, kun, siirtofunktio, (3.3.9) Tässä tapauksessa siirtofunktiolla on napaa, joiden arvot on määritelty järjestelmäparametreilla, ja -kertainen nolla kohdassa. Tätä kutsutaan all-pole-järjestelmäksi. Napojen olemassa olon takia, järjestelmän impulssivaste on ääretön ja siksi se on IIR-järjestelmä. Esimerkki 3.3.4 Määritä seuraavan järjestelmän siirtofunktio ja yksikköimpulssivaste, kun järjestelmän differenssiyhtälö 2 2 Ratkaisu 3.3.4 -muunnetaan differenssiyhtälö 2 2 2 2 Siten järjestelmän siirtofunktio 2 2 2 2

9 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Järjestelmällä on napa ja nolla origossa ( ). Järjestelmän yksikköimpulssivaste on siirtofunktion käänteismuunnos. Tarkastelemalla taulukkoa 3.3, saadaan käänteismuunnos 2 2 3.4 Käänteinen z-muunnos Signaalin kääntämistä -tasosta aikatasoon kutsutaan käänteiseksi -muunnokseksi. Käänteinen muunnos voidaan johtaa käyttämällä Cauchyn residyteoreemaa. Kerrotaan yhtälön (3..) molemmat puolet :llä ja integroidaan molemmat puolet :n suppenemisalueeseen kuuluvan suljetun tien, joka kiertää origon (kuva 3.4.), yli. Nyt saadaan (3.4.) missä on suljettu tie :n suppenemisalueen sisäpuolella kuljettuna vastapäivään. Yhtälön (3.4.) oikean puolen integroinnin ja summauksen järjestystä voidaan vaihtaa, koska sarja suppenee kuljetulla tiellä. Siten J= I (3.4.2) H + H 4 A Cauchyn residyteoreema on Kuva 3.4.. Suljettu tie yhtälön (3.4.) integraalille. 2π,, (3.4.3) missä on mikä tahansa tie, joka ympäröi origon. Nyt voidaan soveltaa tätä teoreemaa yhtälöön (3.4.2), jolloin sen oikea puoli supistuu 2π ja siten käänteinen -muunnos on 2π (3.4.4) missä on suljettu tie, joka kiertää origon ja sijaitsee :n suppenemisalueessa, esimerkiksi ympyrä suppenemisalueen sisällä. Käytännössä käänteinen -muunnos voidaan muodostaa jollakin kolmesta seuraavasta menetelmästä:. Integraalin (eng. contour integration) suoraviivainen laskenta yhtälön (3.4.4) mukaisesti. 2. Potenssisarjakehitelmän (eng. power series expansion) muodostaminen muuttujilla ja. 3. Osamurtokehitelmän (eng. partial-fraction expansion) muodostaminen ja taulukko. 3.4. Pintaintegraalin laskenta Cauchyn residyteoreema (eng. Cauchy s integral theorem)

3.4 Käänteinen z-muunnos 9 Oletetaan, että on kompleksisen muuttujan funktio ja on suljettu tie -tasossa. Jos :n kertainen derivaatta on olemassa ja :lla ei ole napoja kohdassa, niin 2π!, jos on : n sisällä, jos on : n ulkopuolella (3.4.5) Jos, niin 2π, jos on : n sisällä, jos on : n ulkopuolella (3.4.6) Arvoja yhtälöiden (3.4.5) ja (3.4.6) oikeilla puolilla kutsutaan navan residyiksi. Tarkastellaan muotoa olevan funktion integrointia, missä :lla ei ole napoja :n sisällä ja on polynomi, jolla on erilliset juuret,,, :n sisällä. Silloin integraali voidaan kirjoittaa seuraavasti 2π 2π 2π (3.4.7) missä (3.4.8) Arvot ovat napoja,, 2,, vastaavat residyt. Täten integraalin arvo on siis :n sisällä olevien residyjen summa. Käänteinen -muunnos on edellisen perusteella 2π :nresidykohdassa : ää (3.4.9) missä viimeinen muoto pätee vain, jos navat ovat erillisiä. Esimerkki 3.4. Määritä seuraavan -muunnoksen käänteismuunnos, käyttämällä käänteismuunnoksen määritelmää. Ratkaisu 3.4. Tiedetään, että 2π 2π missä on ympyrä, jonka säde on suurempi kuin. Nyt. :n suuruus ( vai eli onko vai, ) vaikuttaa napojen lukumäärään. Tarkastellaan siksi erikseen tapauksia ja.. Jos : :lla on vain nollia eikä siten napoja :n sisällä. :n sisällä on yksi napa. Siten,

92 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin 2. Jos : :llä on -kertainen napa kohdassa, joka on :n sisällä. Siten molemmilla navoilla on vaikutus. Jos, saadaan 2π Jos 2, saadaan 2 2π! Jos 3, saadaan 3 2π 2! 2 2 Jatkamalla samaan tapaan eteenpäin, havaitaan, että, kun. Siten 3.4.2 Potenssisarjakehitelmä Perusidea potenssisarjakehitelmässä on, että -muunnos voidaan kirjoittaa potenssisarjana seuraavasti (3.4.) joka suppenee annetussa ROC:ssa. Tällöin signaalin käänteismuunnos on kaikilla :n arvoilla. Esimerkki 3.4.2 Määritä seuraavan -muunnoksen käänteismuunnos,5,5 kun (a) ROC: (b) ROC:,5 Ratkaisu 3.4.2 Esitetään luennolla. Huomaa, että polynomin jakolaskulla ei saada signaalin suljettua muotoa selville, ellei tuloksena saatu muoto ole riittävän yksinkertainen, josta voidaan muodostaa signaalin yleinen muoto. Tämän takia potenssisarjakehitelmää käytetään vain silloin, jos halutaan selvittää ainoastaan muutamia ensimmäisiä näytteitä signaalista. 3.4.3 Osamurtokehitelmän ja taulukon käyttö Osamurtokehitelmän tavoitteena on ilmaista muodossa

3.4 Käänteinen z-muunnos 93 (3.4.) missä,, ovat lausekkeita, joiden käänteismuunnokset saadaan -muunnosparitaulukosta. Jos käänteismuunnokset ovat olemassa, voidaan käyttää lineaarisuusominaisuutta (3.4.2) Tämä lähestyminen on käytännöllinen erityisesti rationaalifunktioiden käänteismuunnoksen laskemiseen. Oletetaan, että, jolloin yhtälö (3.3.) voidaan kirjoittaa muotoon (3.4.3) Huomaa, että jos, yhtälön (3.4.3) muoto saadaan jakamalla yhtälön (3.3.) osoittaja ja nimittäjä :lla. Yhtälön (3.4.3) rationaalifunktio on sopiva (eng. proper), jos ja, eli nollia vähemmän kuin napoja. Epäsopiva rationaalifunktio ( ) voidaan kirjoittaa polynomin ja sopivan rationaalifunktion summana (3.4.4) Osamurtokehitelmä muodostetaan jakamalla nimittäjä tekijöihin ja ilmaisemalla seuraavasti (3.4.5) missä,,, ovat :n navat. Erilliset navat (eng. distinct poles) Jos navat ovat erilliset, kertoimet saadaan seuraavasti,, 2,, (3.4.6) Yhtälö (3.4.6) pätee reaalisille ja kompleksisille navoille. Ainoa rajoitus on, että navat ovat erilliset. Esimerkki 3.4.3 Muodosta osamurtokehitelmä -muunnokselle,5,5 (3.4.7) Ratkaisu 3.4.3 Esitetään luennolla. Esimerkki 3.4.4 Muodosta osamurtokehitelmä -muunnokselle,5 (3.4.8) Ratkaisu 3.4.4 Esitetään luennolla.

94 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Moninkertaiset navat (eng.multiple-order poles) Jos -muunnoksella on -kertainen napa, on nimittäjässä silloin termi ja siten kehitelmä (3.4.5) ei enää päde. Tällöin tarvitaan erilainen kehitelmä. Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, missä on kaksinkertainen napa eli 2. Esimerkki 3.4.5 Muodosta osamurtokehitelmä -muunnokselle Ratkaisu 3.4.5 Esitetään luennolla. Yleisesti, jos on olemassa -kertainen napa, osamurtokehitelmä sisältää seuraavat termit Kertoimet saadaan derivoinnin kautta, kuten tehtiin esimerkissä 3.4.5, kun 2. Tarkastellaan nyt tapausta, kun navat ovat erilliset. Osamurtokehitelmä (3.4.5) saadaan seuraavaan muotoon (3.4.9) Käänteinen -muunnos saadaan kääntämällä yhtälön (3.4.9) jokainen termi erikseen. Tällöin saadaan taulukosta 3.3, josroc: kausaalinen, josroc: antikausaalinen (3.4.2) Jos signaali on kausaalinen, ROC on, missä max,,,. Tässä tapauksessa yhtälön (3.4.9) termit ovat kausaalisen signaalin komponentteja ja signaali on (3.4.2) Yhtälö (3.4.2) pätee vain, jos navat ovat reaalisia. Tarkastellaan tapausta, missä kaikki navat ovat erillisiä, mutta jotkut ovat kompleksisia. Silloin jotkin yhtälön (3.4.9) termit tuottavat kompleksisia eksponenttisignaalikomponentteja. Kuitenkin, jos signaali on reaalinen, nämä komponentit voidaan esittää reaalisina ja :lla on silloin myös reaaliset kertoimet. Kuten nähtiin esimerkistä 3.4.4, kun navat olivat kompleksikonjugaattipari ( ja ), myös vastaavat osamurtokehitelmän kertoimet olivat kompleksikonjugaattipari. Täten kompleksikonjugaattiparin käänteismuunnos on (3.4.22) Nämä kaksi komponenttia voidaan yhdistää yhdeksi reaaliseksi signaaliksi. Esitetään ja polaarisessa muodossa (amplitudi ja vaihe) seuraavasti (3.4.23) (3.4.24) missä ja ovat :n ja :n vaihekomponentteja. Sijoittamalla yhtälöt (3.4.23) ja (3.4.24) yhtälöön (3.4.22), saadaan tai vaihtoehtoisesti

3.4 Käänteinen z-muunnos 95 Joten 2 cos (3.4.25) 2 cos (3.4.26) jos ROC on. Yhtälöstä (3.4.26) nähdään, että kompleksikonjugaattinavat -tasossa tuottavat kausaalisen sinimuotoisen signaalin aikatasoon. Moninkertaisten napojen (reaalinen tai kompleksinen) tapauksessa, tarvitaan käänteismuunnoksen tekemiseen muoto. Kaksinkertaisen navan tapauksessa taulukosta 3.3 saadaan (3.4.27) missä ROC on. Vielä suuremmilla kertaluvuilla käytetään moninkertaista derivointia käänteismuunnoksessa. Esimerkki 3.4.6 Määritä signaali, jonka -muunnos,5,5 kun (a) ROC: (b) ROC:,5 (c) ROC:,5 Ratkaisu 3.4.6 Esitetään luennolla. Esimerkki 3.4.7 Määritä kausaalinen signaali, jonka -muunnos,5 (3.4.28) Ratkaisu 3.4.7 Esimerkin 3.4.4 perusteella voidaan kirjoittaa missä ja 2 3 2 2 2 Nyt voidaan käyttää yhtälöä (3.4.26), koska navat ovat kompleksikonjugaattipari. ja voidaan kirjoittaa polaariseen muotoon yhtälöiden (3.4.23) ja (3.4.24) perusteella

96 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin Siten 2, 2 2 cos π 7,565 4 Esimerkki 3.4.8 Määritä kausaalinen signaali, jonka -muunnos Ratkaisu 3.4.8 Esimerkin 3.4.5 perusteella voidaan kirjoittaa 4 3 4 2 3 4 4 2 Hyödyntämällä yhtälöitä (3.4.2) ja (3.4.27), saadaan 4 3 4 2 4 3 4 2 MATLAB: residue 3.5 LTI-järjestelmien analyysi z-tasossa 3.5. Kausaalisuus ja stabiilius Kausaalisen LTI-järjestelmän yksikköimpulssivaste toteuttaa ehdon, LTI-järjestelmä on kausaalinen, jos ja vain jos järjestelmän siirtofunktion ROC on -säteisen ympyrän ( ) ulkopuoli sisältäen pisteen. Vastaavasti LTI-järjestelmä on BIBO-stabiili, jos Jotta tämä ehto toteutuu, täytyy järjestelmän siirtofunktion ROC sisältää yksikköympyrä. Koska seuraa tästä, että Jos tarkastellaan asiaa yksikköympyrällä eli, saadaan

3.5 LTI-järjestelmien analyysi z-tasossa 97 Siten, kausaalinen LTI-järjestelmä on BIBO-stabiili, jos ja vain jos järjestelmän siirtofunktion kaikki navat ovat yksikköympyrän sisäpuolella. Edellisestä esityksestä on huomattava, että kausaalisuus ja stabiilius ovat eri asia, eikä toisen ehdon toteutuminen johda toisen toteutumiseen. Esimerkki 3.5. Erään lineaarisen aikainvariantin järjestelmän siirtofunktio on 34 3,5,5 2 2 3 Määritä siirtofunktion ROC ja impulssivaste seuraavissa tapauksissa: (a) Järjestelmä on stabiili. (b) Järjestelmä on kausaalinen. (c) Järjestelmä on antikausaalinen. Ratkaisu 3.5. Järjestelmällä on navat kohdissa ja 3. (a) Koska järjestelmä on stabiili, täytyy yksikköympyrän kuulua ROC:in. Siten ROC on 3. on tällä perusteella ei-kausaalinen 2 23 (b) Koska järjestelmä on kausaalinen, sen ROC on 3. Impulssivaste on silloin 2 23 Järjestelmä on tässä tapauksessa epästabiili, koska ROC ei sisällä yksikköympyrää. (c) Järjestelmä on antikausaalinen, joten sen ROC on,5. Siten 2 23 Järjestelmä on tässä tapauksessa epästabiili, koska ROC ei sisällä yksikköympyrää. Esimerkki 3.5.2 Laske seuraavien signaalien konvoluutio -muunnoksen avulla 3, 2,

98 3 z-muunnos ja sen soveltaminen LTI-järjestelmien analyysiin 2 Ilmoita tulos aikatasossa. Ratkaisu 3.5.2 Esitetään luennolla.

99 4 Signaalien taajuusanalyysi Fourier-muunnos (eng. Fourier transform) ja sarja (eng. Fourier series) ovat matemaattisia menetelmiä, jotka ovat käytännöllisiä LTI-järjestelmien analysoinnissa ja suunnittelussa. Menetelmissä signaali esitetään sinimuotoisten komponenttien summana. Tätä kutsutaan signaalin taajuustason (eng. frequency domain) esitykseksi. Jaksolliset signaalit voidaan jakaa Fourier-sarjaksi (jaksollisen signaalin energia ääretön) ja vastaavasti jos signaalin energia on äärellinen, jakoa kutsutaan Fourier-muunnokseksi. Menetelmät ovat hyödyllisiä, koska. LTI-järjestelmän vaste sinimuotoiselle herätteelle on sinimuotoinen signaali, jonka taajuus on sama kuin herätteen, mutta amplitudi ja/tai vaihe voivat muuttua. 2. Lineaarisuudesta seuraa, että LTI-järjestelmän herätteenä oleva sinikomponenttien lineaarinen summa tuottaa lähtöön samojen sinitaajuuksien lineaarisen summan, ainoastaan amplitudi ja/tai vaihe voivat muuttua. 4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi Yleisesti tiedetään, että prismaa voidaan käyttää hajottamaan valkoinen valo (auringon valo) sateenkaaren väreihin, kuten on esitetty kuvassa 4... Prismalla voidaan siis hajottaa valkoinen valo eri väreihin ja vastaavasti koota se takaisin valkoiseksi. Tämä on mahdollista, koska eri värit vastaavat tiettyä näkyvän spektrin (eng. spectrum) taajuutta. Tämän takia valon jakamista eri väreihin kutsutaan taajuusanalyysiksi. = I EF HEI = ) K HE C L = I @ A 8 E A JJE 5 E E A 8 ED HA A J= E A H= I I E 2 K = E A 5 F A JHE (a) = I EF HEI = 8 = E A L = ) K HE C L = I @ A (b) Kuva 4... Lasiprisma. (a) Analyysi (eng. analysis). (b) Synteesi (eng. synthesis). Signaalien taajuusanalyysissä (spektrianalyysi) aikatason signaali jaetaan taajuuskomponentteihin (signaalilla matemaattinen kuvaus). Tässä käsiteltävät signaalit ovat valon tapaan taajuuden funktioita. Prismaa vastaa tässä Fourier analyysiin kehitettävät työkalut: Fourier-sarjat ja Fourier-muunnos. Vastaavasti signaalien taajuussynteesissä siirrytään taajuustason esitysmuodosta aikatasoon. Spektrin estimointi tarkoittaa puolestaan todellisten (mitattujen) signaalien taajuussisällön selvittämistä.

4 Signaalien taajuusanalyysi 4.. Jatkuva-aikaisten jaksollisten signaalien Fourier-sarja Jatkuvien signaalien matemaattista esitystä kutsutaan Fourier-sarjaksi, joka on lineaarisesti painotettujen harmonisessa suhteessa toisiinsa olevien sini- tai kompleksisten eksponenttisignaalien summa. Jatkuvaaikaiselle jaksolliselle signaalille voidaan kirjoittaa synteesiyhtälö (4..) missä on signaalin perustaajuus ja kertoimet määrittelevät aaltomuodon jyrkkyyden. Vastaavasti signaalin analyysiyhtälö on (4..2) missä on perusjakson pituus. Yleisessä muodossa Fourier-sarjan kertoimet ovat kompleksisia. Jos jaksollinen signaali on reaalinen, ja ovat kompleksikonjugaatteja. Täten, jos niin Siten Fourier-sarjan kertoimet voidaan esittää muodossa 2 cos2π (4..3) missä on reaalinen, kun on reaalinen. Yhtälö (4..3) voidaan kirjoittaa uuteen muotoon, kun sovelletaan siihen yhtälöä cos2π cos2π cos sin2π sin Siten cos2π sin2π missä (4..4) 2 cos 2 sin Yhtälöt (4..), (4..3) ja (4..4) esittävät kolmea ekvivalenttista muotoa reaalisen jaksollisen signaalin Fourier-sarjalle. 4..2 Jatkuva-aikaisten jaksollisten signaalien tehotiheysspektri Jaksollisella signaalilla on ääretön energia ja äärellinen keskimääräinen teho, joka on (4..5) Jos otetaan yhtälön (4..) kompleksikonjugaatti ja sijoitetaan yhtälöön (4..5), saadaan (4..6)

4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi Siten (4..7) jota kutsutaan Parsevalin yhtälöksi tehosignaaleille. esittää signaalin :nen harmonisen komponentin tehoa. Siten jaksollisen signaalin kokonaisteho on kaikkien harmonisten tehojen summa. Vastaavasti signaalin keskiteho Signaalin tehospektri saadaan, kun piirretään taajuuden funktiona, missä,, 2,. Tehospektristä nähdään, miten signaalin teho jakautuu eri taajuuksille. Kuvassa 4..2 on esitetty jaksollisen signaalin tehotiheysspektri (eng. power density spectrum). Kuvasta 4..2 nähdään, että jatkuvaaikaisella jaksollisella signaalilla on viivaspektri (eng. line spectrum), koska teho on jakautunut ainoastaan diskreeteille taajuuksille eli,,2, Kahden peräkkäisen spektriviivan väli on verrannollinen perusjaksoon, kun taas spektrin muoto riippuu signaalin aikatason ominaisuuksista.? ".!.....!. ". Kuva 4..2. Jatkuva-aikaisen jaksollisen signaalin tehotiheysspektri. Fourier-sarjan kertoimet voidaan esittää. missä Täten tehotiheysspektrin sijaan voidaan piirtää jänniteamplitudispektri ja vaihespektri taajuuden funktiona. Jos jaksollinen signaali on reaaliarvoinen, Fourier-sarjan kertoimet ovat Siten. Tämän takia tehospektri on symmetrinen taajuuden funktiona ja siksi amplitudispektri on myös symmetrinen (parillinen funktio) origon suhteen ja vaihespektri vastaavasti pariton. Tämän takia riittää, että reaalisen jaksollisen signaalin spektri määritellään ainoastaan positiivisille taajuuksille. Kokonaisteho voidaan lisäksi määritellä seuraavasti 2 2 (4..8) (4..9) Esimerkki 4..

2 4 Signaalien taajuusanalyysi Määritä kuvan 4..3 jaksollisen suorakaidepulssijonon Fourier-sarjan kertoimet ja tehotiheysspektri. Pulssin leveys on, jakso ja amplitudi. ) N J J J J 6 F 6 F Kuva 4..3. Jatkuva-aikainen jaksollinen suorakaidepulssijono. Ratkaisu 4.. Pulssijono on parillinen signaali, joten on järkevä valita integrointiväliksi 2:sta 2:een. Lasketaan kerroin erikseen (4..) Termi esittää signaalin keskiarvoa (dc-komponentti). Muilla :n arvoilla 2π π 2 (4..) sinπ,, 2, π Yhtälön (4..) oikea puoli on muotoa sin, missä π. Tässä tapauksessa on diskreetti suure, koska ja ovat vakioita ja indeksi muuttuu. Kuvassa 4..4 on esitetty sin jatkuvana :n funktiona alueella 7π 7π. Kuvasta 4..4 huomataan, että funktiolla on maksimiarvo, kun ja se lähestyy nollaa, kun. Funktio on nolla π:n monikerroilla eli kun π,, 2, Yhtälön (4..) Fourier-sarjan kertoimet ovat siis näytteitä funktiosta sin hetkillä π ja skaalattuna kertoimella. I E B B % F $ F # F " F! F F F F F! F " F # F $ F % F Kuva 4..4. Funktio sin. Amplitudi- ja vaihespektrin piirtämisen sijaan piirretään ainoastaan yksi kuva kertoimista, jolloin kuvassa esiintyvät sekä positiiviset että negatiiviset arvot. Signaalin teho jakautuu leveämmälle taajuusalueelle, kun pysyy vakiona ja pienenee. Kuvassa 4..5 on esitetty suorakaidepulssijonon Fourier-kertoimet, kun on vakio ja pulssinleveys muuttuu. Peräkkäisten spektriviivojen väli on vakio ( 4 Hz), eikä riipu pulssin leveydestä. B

4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi 3.2 c k. 5 5 F (a).2 c k. 5 5 F (b).2 c k. 5 5 F (c) Kuva 4..5. Suorakaidepulssijonon Fourier-kertoimet, kun on vakio ja muuttuu. ja,25 s, joten 4 Hz. (a),2. (b),. (c),5. Vastaavasti kuvassa 4..6 on esitetty suorakaidepulssijonon Fourier-kertoimet, kun on vakio ja jakson pituus muuttuu, kun. Nyt peräkkäisten spektriviivojen väli lyhenee, kun kasvaa. Kun, Fourier-kertoimet lähestyvät nollaa, koska on nimittäjässä yhtälössä (4..). Tämän tuloksena signaalista tulee energiasignaali, koska sen teho muuttuu nollaksi..2 c k. 6 4 2 2 4 6 F (a)

4 4 Signaalien taajuusanalyysi.2 c k. 6 4 2 2 4 6 F (b).2 c k. 6 4 2 2 4 6 F (c) Kuva 4..6. Suorakaidepulssijonon Fourier-kertoimet, kun,,5 (vakio) ja jakso muuttuu. (a) 5. (b). (c) 2. Signaalilla on nollateho harmonistaajuuksilla, jolloin π π,,2, Esimerkiksi, spektrikomponenteilla on nollateho taajuuksilla 2 Hz, 4 Hz,, jos 4 Hz ja,2. Nämä taajuudet vastaavat Fourier-kertoimia, 5,, 5, Toisaalta, jos,, spektrikomponenteilla on nollateho, kun, 2, 3, Suorakaidepulssijonon tehotiheysspektri on, sinπ,,2, π (4..2) 4..3 Jatkuva-aikaisten jaksottomien signaalien Fourier-muunnos Kuten edellä todettiin, niin jaksollisen signaalin spektri on viivaspektri. Viivojen välinen etäisyys on riippuvainen perustaajuudesta. Jos jaksonpituutta kasvatetaan rajattomasti, viivojen välinen etäisyys lähestyy nollaa. Kun jaksonpituudesta tulee ääretön, signaalista tulee jaksoton ja sen spektristä jatkuva. Tämän perusteella jaksottoman signaalin spektri on vastaavan jaksollisen signaalin viivaspektrin verhokäyrä, missä jaksollinen signaali on saatu toistamalla jaksotonta signaalia jollakin jaksolla. Jaksoton signaali, jolla äärellinen kesto, on esitetty kuvassa 4..7(a). Jaksollinen signaali, jonka jakso on, voidaan luoda jaksottomasta signaalista, kuten on esitetty kuvassa 4..7(b). N J 6 F 6 F J (a)

4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi 5 N F J J 6 F 6 F 6 F 6 F (b) Kuva 4..7. Signaalit. (a) Jaksoton signaali. (b) Jaksollinen signaali, joka on muodostettu toistamalla jaksotonta signaalia jaksolla. Kun jaksoa kasvatetaan, havaitaan, että lim Täten myös jaksottomalle signaalille voidaan muodostaa Fourier-sarja. Nyt jaksollisen signaalin Fourier-sarja on missä, (4..3) (4..4) Koska välillä 2 2, yhtälöstä (4..4) saadaan (4..5) Koska, kun 2, voidaan yhtälön (4..5) integroinnin rajat muuttaa, jolloin saadaan (4..6) Määritellään seuraavaksi signaalin Fourier-muunnos (4..7) missä on jatkuvan muuttujan funktio, joka ei ole riippuvainen perusjaksosta eikä perustaajuudesta. Yhtälöistä (4..6) ja (4..7) saadaan Fourier-kertoimet seuraavasti (4..8) Fourier-kertoimet ovat siis näytteitä Fourier-muunnoksesta taajuuksilla skaalattuna perustaajuudella ( ). Sijoittamalla yhtälön (4..8) yhtälöön (4..3) saadaan, (4..9) Määritellään Δ. Siten

6 4 Signaalien taajuusanalyysi Δ Δ (4..2) Kun jakso kasvaa äärettömän pitkäksi,. Δ:stä tulee silloin differentiaalisen lyhyt ja Δ:stä tulee jatkuva taajuus. Siten yhtälön (4..2) summaus muuttuu integraaliksi taajuusmuuttujan yli. Silloin lim lim Δ Δ (4..2) Tämä on käänteinen Fourier-muunnos. Jatkuva-aikaisen jaksottoman signaalin synteesiyhtälö on siis (4..22) ja vastaavasti analyysiyhtälö (4..23) Perusero Fourier-sarjan ja Fourier-muunnoksen välillä on, että viimeksi mainitun spektri on jatkuva ja siksi jaksottoman signaalin synteesiyhtälössä on integrointi summauksen sijasta. Yhtälöiden (4..22) ja (4..23) Fourier-muunnospari voidaan esittää myös kulmataajuuden Ω2π funktiona. Siten 2π Ω Ω (4..24) Ω (4..25) Fourier-muunnoksen olemassaolo edellyttää ns. Dirichlet n ehtojen voimassaoloa:. Signaalilla on äärellinen määrä äärellisiä epäjatkuvuuskohtia. 2. Signaalilla on äärellinen määrä ääriarvoja (maksimi ja minimi). 3. Signaali on absoluuttisesti integroituva eli (4..26) Kolmas ehto perustuu Fourier-muunnoksen määritelmään (4..23). Tällöin Siten, jos yhtälö (4..26) toteutuu. Edellä esitetyt ehdot ovat riittävät, muttei välttämätön ehto Fourier-muunnoksen olemassaololle. 4..4 Jatkuva-aikaisten jaksottomien signaalien energiatiheysspektri Oletetaan, että on äärellinen energiasignaali, jonka Fourier-muunnos on. Sen energia on joka voidaan esittää :n funktiona seuraavasti

4. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuusanalyysi 7 Siten (4..27) jota kutsutaan Parsevalin yhtälöksi jaksottomille, äärellisille energiasignaaleille. Signaalin spektri on yleisesti kompleksinen ja siksi se yleensä esitetään polaarisessa muodossa missä on amplitudispektri ja Θ vaihespektri Θ Toisaalta voidaan merkitä (4..28) mikä kuvaa signaalin energian jakautumista taajuuden funktiona ja siksi sitä kutsutaan signaalin energiatiheysspektriksi. Signaalia ei voida rekonstruoida energiatiheysspektristä, koska ei sisällä vaihetietoa. Jos signaali on reaalinen, silloin (4..29) (4..3) Yhdistämällä yhtälöt (4..29) ja (4..3), saadaan (4..3) Eli reaalisen signaalin energiatiheysspektrillä on parillinen symmetria. Esimerkki 4..2 Määritä kuvan 4..8(a) suorakaidepulssin, 2, 2 Fourier-muunnos ja energiatiheysspektri. N J (4..32) ) J J J (a)

8 4 Signaalien taajuusanalyysi ) J :. J J J J. (b) Kuva 4..8. (a) Suorakaidepulssi. (b) Suorakaidepulssin Fourier-muunnos. Ratkaisu 4..2 Sijoitetaan Fourier-muunnoksen analyysiyhtälöön sinπ π (4..33) on esitetty kuvassa 4..8(b). on samanmuotoinen kuin funktio sin. Kuvan 4..8(b) jaksottoman signaalin spektri on vastaavan jaksollisen signaalin viivaspektrin verhokäyrä ja siksi jaksollisen signaalin Fourier-sarjan kertoimet ovat yksinkertaisesti näytteitä vastaavasta Fouriermuunnoksesta taajuuksilla eli (4..34) Yhtälöstä (4..33) nähdään, että Fourier-muunnos on nolla aina :n monikerroilla. Pääkeilan, joka sisältää suurimman osan energiasta, leveys on 2. Pulssin keston lyhentyessä (pidentyessä), pääkeila levenee (kapenee) ja energiaa siirtyy suuremmille (pienemmille) taajuuksille, kuten on esitetty kuvassa 4..9. Vertaa asiaa aika-taajuustasossa.

4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi 9 N J :. ) ) J J J J J J. N J :. ) ) J J J J J J. N J :. ) J ) J J J J J. Kuva 4..9. Eri levyisiä suorakaidepulsseja ja niiden Fourier-muunnoksia. Lopuksi saadaan suorakaidepulssin energiatiheysspektri sinπ π (4..35) 4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi Siirryttäessä jatkuva-aikaisesta diskreettiaikaiseen esitykseen, on huomattava rajoitukset taajuusalueessa. Jatkuva-aikaisten signaalien taajuuskaista on välillä (, ) ja ne voivat sisältää äärettömän määrän taajuuskomponentteja. Diskreettiaikaisten signaalien taajuuskaista on välillä π,π tai, 2π. Diskreettiaikaisen signaalin perusjakso voi sisältää eri taajuuskomponentteja 2π/ radiaanin tai / syklin välein. Siten, diskreettiaikaisen jaksollisen signaalin Fourier-sarja voi sisältää enintään eri taajuuskomponenttia. 4.2. Diskreettiaikaisten jaksollisten signaalien Fourier-sarja Oletetaan, että jaksollinen sekvenssi on ja sen jaksonpituus on. Sekvenssin Fourier-sarja sisältää kappaletta harmonisessa suhteessa olevaa eksponenttifunktiota,,,, ja sen synteesiyhtälö voidaan esittää seuraavasti (4.2.)

4 Signaalien taajuusanalyysi missä ovat Fourier-sarjan kertoimet. Fourier-kertoimien yhtälö voidaan johtaa aloittaen seuraavasta yhtälöstä koska,,, 2,, muulloin (4.2.2),, (4.2.3) Kerrotaan synteesiyhtälö (4.2.) puolittain :llä ja lasketaan tulot :n arvoilla,, yhteen (4.2.4) Tarkastellaan ensin yhtälön (4.2.4) oikeaa puolta. Lasketaan summa indeksin yli. Koska ei riipu indeksistä, se voidaan ottaa ulos summasta. Siten,,, 2,, muulloin Siksi yhtälön (4.2.4) oikea puoli supistuu muotoon ja koko yhtälö muotoon (4.2.5),,,, (4.2.6) Nyt voidaan ratkaista yhtälö Fourier-kertoimille eli korvataan indeksi. Diskreettiaikaisen jaksollisen signaalin analyysiyhtälö on siis (4.2.7) Fourier-kertoimet,,,, kuvaavat signaalin taajuustasossa, missä esittää amplitudia ja vaihetta taajuuskomponentin funktiona missä 2π. Huomaa, että on jaksollinen ja siten. Fourier-kertoimet toteuttavat myös jaksollisuuden (4.2.8) Eli jaksollisen signaalin (jakso ) spektri on myös jaksollinen sekvenssi (jakso ). Siten mitkä tahansa peräkkäistä näytettä signaalista tai sen spektristä riittävät signaalin täydelliseen kuvaamiseen aika- tai taajuustasossa. Tavallisesti tarkastellaan kertoimia,,,, jotka kattavat taajuusalueen 2π. Taajuusalue π π vastaa puolestaan kertoimia 2 2, mikä johtaa erikoiseen tilanteeseen, kun on pariton. Jos näytteenottotaajuus on, silloin kertoimet vastaavat taajuusaluetta. Esimerkki 4.2. Määritä seuraavan jaksollisen signaalin,,, spektri, kun jaksonpituus 4. Ratkaisu 4.2.

4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi Esitetään luennolla. 4.2.2 Diskreettiaikaisten jaksollisten signaalien tehotiheysspektri Diskreettiaikaisen jaksollisen signaalin (jakso ) keskimääräinen teho Jos otetaan yhtälön (4.2.) kompleksikonjugaatti ja sijoitetaan yhtälöön (4.2.9), saadaan Siten (4.2.9) (4.2.) Signaalin keskimääräinen teho on siis yksittäisten taajuuskomponenttien tehojen summa. Yhtälöä (4.2.) kutsutaan Parsevalin yhtälöksi diskreettiaikaisille jaksollisille signaaleille. Sekvenssi,,,, on jaksollisen signaalin tehotiheysspektri. Signaalin energia yhden jakson ajalta on Jos signaali on reaalinen eli, on Fourier-sarjan kertoimet silloin (4.2.) (4.2.2) tai vaihtoehtoisesti parillinen symmetria (4.2.3) pariton symmetria (4.2.4) Yhdistämällä (4.2.8) yhtälöiden (4.2.3) ja (4.2.4) kanssa, saadaan (4.2.5) (4.2.6) ja vielä tarkemmin,,, jos parillinen (4.2.7), jos pariton Hyödyntämällä näitä symmetrisyysominaisuuksia reaalisen signaalin Fourier-sarjalle (4.2.), saadaan vaihtoehtoinen muoto

2 4 Signaalien taajuusanalyysi missä 2 cos 2π cos 2π sin 2π (4.2.8) (4.2.9) 2 cos 2 sin 2, parillinen 2, pariton Esimerkki 4.2.2 Jaksollinen kanttiaaltosignaali Määritä kuvan 4.2. jaksollisen signaalin Fourier-sarjan kertoimet ja tehotiheysspektri. ) N Kuva 4.2.. Diskreettiaikainen jaksollinen kanttiaaltosignaali. Ratkaisu 4.2.2 Hyödyntämällä diskreettiaikaisen jaksollisen signaalin analyysiyhtälöä (4.2.7) kuvan signaalille, saadaan,,,, mikä on geometrinen summa, jonka perusteella edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon,,,2,, Viimeistä muotoa voidaan yksinkertaistaa edelleen Siten, Jaksollisen signaalin tehotiheysspektri,, 2, sin π sin π, muulloin sin π sin π (4.2.2)

4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi 3,,, 2, sin π sin π, muulloin (4.2.2) Huomaa, että. Kuvassa 4.2.2 on esitetty tehotiheysspektri, kun 5, ja 4 ja..4 c k 2.2 5 5 5 5 k.2.5 (a) c k 2..5 6 4 2 2 4 6 k (b) Kuva 4.2.2. Kuvan 4.2. signaalin tehotiheysspektri. (a) 5, ja. (b) 5, 4 ja. 4.2.3 Diskreettiaikaisten jaksottomien signaalien Fourier-muunnos Diskreettiaikaisille jaksottomille energiasignaaleille saadaan aikatason esitykselle Fourier-muunnos samaan tapaan kuin jatkuva-aikaisille jaksottomille energiasignaaleillekin. Määritellään diskreettiaikaisen jaksottoman signaalin Fourier-muunnos (analyysi yhtälö) (4.2.22) missä kuvaa signaalin taajuussisällön. Jos diskreettiaikaisen energiasignaalin Fourier-muunnosta verrataan vastaavaan jatkuva-aikaisen energiasignaalin Fourier-muunnokseen huomataan, että jatkuva-aikaisella taajuusalue on yksikäsitteinen välillä, ja diskreettiaikaisella välillä π, π tai vaihtoehtoisesti, 2π. on siis jaksollinen (jakso 2π) 2π (4.2.23)

4 4 Signaalien taajuusanalyysi Diskreettiaikaisuudesta johtuen, signaalin Fourier-muunnos sisältää summauksen integroinnin sijaan (vrt. jatkuva-aikainen signaali). Jaksollisuuden takia voidaan esittää Fourier-sarjana, koska Fouriermuunnoksen määritelmä on muodoltaan Fourier-sarjan kaltainen. Johdetaan synteesiyhtälö lähtien analyysiyhtälöstä (4.2.22) kertomalla molemmat puolet :llä ja integroimalla välillä π, π. Siten (4.2.24) Oikeanpuoleinen integraali voidaan laskea, jos summauksen ja integroinnin järjestystä voidaan vaihtaa. Järjestystä saa vaihtaa, jos summa suppenee tasaisesti :aan, kun. Tasainen suppeneminen tarkoittaa, että kaikilla :n arvoilla, kun. Oletetaan nyt, että suppeneminen on tasaista; silloin joten 2π,, 2π,, (4.2.25) Yhdistämällä yhtälöt (4.2.24) ja (4.2.25) ja vaihtamalla indeksi saadaan Fourier-käänteismuunnos eli synteesiyhtälö 2π (4.2.26) 4.2.4 Fourier-muunnoksen suppeneminen Edellä oletettiin, että sarja (4.2.27) suppenee tasaisesti :aan, kun. Tasainen suppeneminen edellyttää, että kaikilla :n arvoilla lim (4.2.28) Tasainen suppeneminen on taattu, jos on absoluuttisesti summautuva Silloin (4.2.29)

4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi 5 Täten yhtälö (4.2.29) on riittävä ehto diskreettiaikaisen Fourier-muunnoksen olemassaololle (vrt. Dirichlet n 3. ehto jatkuva-aikaiselle Fourier-muunnokselle). Eräät sekvenssit eivät ole absoluuttisesti summautuvia, mutta neliöllisesti summautuvia. Toisin sanoen niillä on äärellinen energia (4.2.3) Suppenemisehdoksi riittää silloin lim (4.2.3) Tarkastellaan esimerkkiä äärellisestä energiasignaalista. Olkoon,, π :n käänteismuunnos on Kun Siten 2π 2π 2π π sin, π (4.2.32) π, sin, π Tämä muunnospari on esitetty kuvassa 4.2.3. M? F N (4.2.33) F M? F M? (a) : M F M? M? F

6 4 Signaalien taajuusanalyysi (b) Kuva 4.2.3. Yhtälöiden (4.2.32) ja (4.2.33) Fourier-muunnospari. (a). (b). Usein yhtälön (4.2.33) sekvenssi esitetään muodossa sin, π (4.2.34) ymmärtäen kuitenkin, että sin lim π π Määritetään seuraavaksi yhtälön (4.2.34) mukaisen sekvenssin Fourier-muunnos. Muunnoksessa tarvittava summa sin π (4.2.35) ei kuitenkaan konvergoidu, koska ei ole absoluuttisesti summautuva. Sekvenssillä on kuitenkin äärellinen energia π. Siksi helpotettu suppenemisehto pätee ja voidaan laskea äärellinen summa sin π (4.2.36) Kuvassa 4.2.4 on esitetty funktio usealla eri :n arvolla, kun π 2. Kuvasta 4.2.4 huomataan, että rajataajuudella esiintyy merkittävää värähtelyä riippumatta :n arvosta. :n arvon kasvaessa, myös värähtelyn taajuus kasvaa, mutta ylitys pysyy kuitenkin samana. Kun, värähtely suppenee epäjatkuvuuskohtaan, mutta ylitys ei kuitenkaan mene nollaan. Joka tapauksessa yhtälö (4.2.3) toteutuu ja siten suppenee :an neliöllisessä mielessä. Värähtelyä epäjatkuvuuskohdan ympärillä kutsutaan Gibbsin ilmiöksi (eng. Gibbs phenomenon). X (ω).5 X 3 (ω).5 π π/2 π/2 π ω π π/2 π/2 π ω X 7 (ω).5 X 5 (ω).5 π π/2 π/2 π ω π π/2 π/2 π ω X 5 (ω).5 X 7 (ω).5 π π/2 π/2 π ω π π/2 π/2 π ω Kuva 4.2.4. Gibbsin ilmiö epäjatkuvuuskohdassa eri :n arvoilla, kun π 2.

4.2 Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysi 7 4.2.5 Diskreettiaikaisten jaksottomien signaalien energiatiheysspektri Diskreettiaikaisen signaalin energia Ilmaistaan :n avulla 2π 2π 2π Saatiin Parsevalin yhtälö diskreettiaikaisille jaksottomille energiasignaaleille 2π Spektri on yleisesti kompleksiarvoinen taajuuden funktio. Täten se voidaan esittää (4.2.37) (4.2.38) (4.2.39) missä Θ on vaihespektri ja amplitudispektri. Nämä voidaan esittää graafisesti erikseen. Signaalin energiatiheysspektri on (4.2.4) mikä esittää signaalin energian jakautumisen eri taajuuksille. Huomaa, että ei sisällä tietoa vaiheesta. Jos on reaalinen, saadaan (4.2.4) tai vaihtoehtoisesti ja, parillinen symmetria (4.2.42), pariton symmetria (4.2.43) Yhtälöstä (4.2.4) seuraa, parillinen symmetria (4.2.44) Symmetrisyysominaisuuksista seuraa, että reaalisen signaalin taajuusalueen tarkastelu voidaan rajoittaa alueelle π (toinen puolijakso), mikä vastaa jatkuva-aikaisella signaalilla taajuusaluetta 2. Esimerkki 4.2.3 Määritä ja hahmottele sekvenssin, energiatiheysspektri.

8 4 Signaalien taajuusanalyysi Ratkaisu 4.2.3 Esitetään luennolla. 4.2.6 Fourier- ja z-muunnoksen välinen yhteys Sekvenssin -muunnos, ROC: (4.2.45) on kompleksiluku, joka voidaan ilmaista polaarisessa muodossa (4.2.46) missä ja. Tällöin :n suppenemisalueen sisäpuolella voidaan sijoittaa yhtälö (4.2.46) yhtälöön (4.2.45), jolloin saadaan (4.2.47) Saatiin siis signaalin Fourier-muunnoksen lauseke. Painokerroin kasvaa, kun kasvaa, jos ja pienenee, jos. Vastaavasti, jos suppenee yksikköympyrällä eli (4.2.48) Fourier-muunnos saadaan siis -muunnoksesta sijoittamalla. Fourier-muunnos on siten olemassa vain, jos suppenee yksikköympyrällä eli ROC sisältää. Huomaa, että -muunnoksen olemassaolo edellyttää, että sekvenssi on absoluuttisesti summautuva jollakin :n arvolla (4.2.49) Siten, jos yhtälö (4.2.49) suppenee ainoastaan arvoilla, on -muunnos olemassa, mutta Fouriermuunnos ei. Tällainen tilanne tapahtuu esimerkiksi kausaaliselle signaalille, missä. On myös olemassa sekvenssejä, jotka eivät toteuta yhtälön (4.2.49) ehtoa. Tällainen on esimerkiksi sin, (4.2.5) π millä ei ole -muunnosta. Sekvenssillä on kuitenkin Fourier-muunnos olemassa, joka suppeni epäjatkuvaksi funktioksi, kuten aiemmin esitettiin yhtälössä (4.2.32). Jotkin jaksottomat signaalit eivät ole absoluuttisesti summautuvia eivätkä neliöllisesti summautuvia. Siksi niillä ei ole olemassa Fourier-muunnosta. Esimerkki tällaisesta sekvenssistä on yksikköaskel, jolla on - muunnos z Toinen esimerkki on kausaalinen sinisignaali cos, minkä -muunnos z cos 2z cos z Huomaa, että molemmilla sekvensseillä on navat yksikköympyrällä. Tällaisessa tapauksessa voidaan Fourier-muunnoksen olemassa oloa laajentaa siten, että Fourier-muunnoksessa saa olla impulsseja napoja vastaavilla taajuuksilla. Impulssit ovat jatkuvan taajuusmuuttujan funktioita ja niillä on ääretön amplitudi, nolla leveys ja pinta-ala yksi. Impulssin voidaan ajatella siis olevan kanttipulssi, jonka korkeus on ja leveys, kun.

4.3 Signaalin taajuus- ja aikatason ominaisuudet 9 Esimerkki 4.2.4 Määritä signaalin Fourier-muunnos laskemalla sen -muunnos yksikköympyrällä. Ratkaisu 4.2.4 Esitetään luennolla. 4.3 Signaalin taajuus- ja aikatason ominaisuudet Taulukossa 4. on esitetty yhteenveto analyysi- ja synteesiyhtälöistä. Taulukko 4.. Yhteenveto analyysi- ja synteesiyhtälöistä. Jatkuva-aikaiset signaalit Diskreetti-aikaiset signaalit Aikataso Taajuustaso Aikataso Taajuustaso N = J? N? Jaksolliset signaalit Fourier-sarjat 6 F 6 F J. Jatkuva ja jaksollinen Diskreetti ja jaksoton Diskreetti ja jaksollinen Diskreetti ja jaksollinen N = J : =. N : M Jaksottomat signaalit Fourier-muunnokset J.! F F F F M 2π Jatkuva ja jaksoton Jatkuva ja jaksoton Diskreetti ja jaksoton Jatkuva ja jaksollinen 4.4 Diskreettiaikaisten signaalien Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Merkintöjen helpottamiseksi, otetaan käyttöön merkintä suoralle muunnokselle (analyysiyhtälö) ja 2π (4.4.) (4.4.2)

2 4 Signaalien taajuusanalyysi käänteiselle muunnokselle (synteesiyhtälö). Signaalia ja sen muunnosta merkitään Fouriermuunnosparina ja niiden välistä yhteyttä (4.4.3) 4.4. Fourier-muunnoksen symmetrisyysominaisuudet Kompleksiset signaalit (eng. complex signals) Oletetaan, että sekä signaali että sen muunnos ovat kompleksiarvoisia funktioita. Tällöin ne voidaan esittää (4.4.4) (4.4.5) Sijoittamalla yhtälö (4.4.4) ja cossin yhtälöön (4.4.) ja erottamalla reaali- ja imaginaariosat toisistaan, saadaan cos sin sin cos Samaan tapaan, sijoittamalla yhtälö (4.4.5) ja cossin yhtälöön (4.4.2), saadaan 2π cos sin 2π sin cos Tutkitaan joitakin erikoistapauksia. Reaaliset signaalit (eng. real signals) Jos on reaalinen, silloin ja. Siksi yhtälöt (4.4.6) ja (4.4.7) sieventyvät cos sin Koska cos cos ja sin sin, yhtälöistä (4.4.) ja (4.4.) seuraa, että (4.4.6) (4.4.7) (4.4.8) (4.4.9) (4.4.) (4.4.), parillinen (4.4.2), pariton (4.4.3) Jos yhdistetään yhtälöt (4.4.2) ja (4.4.3) yhdeksi, saadaan (4.4.4) Kuvan 4.4. avulla saadaan amplitudi- ja vaihespektri reaalisille signaaleille (4.4.5) atan (4.4.6)

4.4 Diskreettiaikaisten signaalien Fourier-muunnoksen ominaisuuksia 2 Yhtälöiden (4.4.2) ja (4.4.3) seurauksena, amplitudi- ja vaihespektri saavat symmetrisyysominaisuudet, parillinen (4.4.7), pariton (4.4.8) : M : M : M : M : 4 M 4 A Kuva 4.4.. Amplitudi- ja vaihefunktiot. 4.4.2 Fourier-muunnosteoreema ja sen ominaisuudet Kompleksisille signaaleille voidaan esittää erilaisia hyödyllisiä ominaisuuksia. Lineaarisuus (eng. linearity) Jos niin (4.4.9) Ajansiirto (eng. time shifting) Jos niin (4.4.2) Eli signaalin siirto aikatasossa näytteellä muuttaa vaihespektriä :lla, mutta amplitudispektri pysyy muuttumattomana. Ajan kääntäminen (eng. time reversal) Jos niin (4.4.2) Konvoluutio (eng. convolution theorem) Jos

22 4 Signaalien taajuusanalyysi niin (4.4.22) Vrt. -muunnos. Korrelaatio (eng. correlation theorem) Jos niin (4.4.23) on signaalien ja ristienergiatiheysspektri. Wiener-Khintchine-teoreema (eng. Wiener-Khintchine theorem) Jos on reaalinen, niin (4.4.24) Eli energiasignaalin energiatiheysspektri on sen autokorrelaation Fourier-muunnos. Taajuussiirto (eng. frequency shifting) Jos niin (4.4.25) Eli signaalin kertominen :lla vastaa spektrin taajuussiirtoa :lla. Modulaatioteoreema (eng. modulation theorem) Jos niin cos 2 (4.4.26) Parsevalin teoreema (eng. Parseval s theorem) Jos niin

4.4 Diskreettiaikaisten signaalien Fourier-muunnoksen ominaisuuksia 23 2π Erikoistapauksessa, kun, Parsevalin yhtälö (4.4.27) supistuu muotoon 2π Saadaan siis signaalin energialle uusi esitystapa. Siten 2π 2π (4.4.27) (4.4.28) (4.4.29) Ikkunointiteoreema (eng. windowing theorem) Jos niin 2π (4.4.3) Yhtälö (4.4.3) on Fourier-muunnoksien ja konvoluutio (konvoluutiointegraali), mikä on duaalinen aikatason konvoluution kanssa. Ikkunointiteoreema on käytännöllinen FIR-suodattimien suunnittelussa ikkunointimenetelmällä. Derivointi taajuustasossa (eng. differentiation in frequency domain) Jos niin Edellä esitetyt ominaisuudet on koottu taulukkoon 4.2. Taulukko 4.2. Diskreettiaikaisten signaalien Fourier-muunnosten ominaisuuksia. (4.4.3) Ominaisuus Aikataso Taajuustaso Merkintä Lineaarisuus Ajansiirto Ajan kääntäminen Konvoluutio Korrelaatio jos reaalinen Wiener-Khintchine-teoreema

24 4 Signaalien taajuusanalyysi Taajuussiirto Modulaatioteoreema Kertominen cos Derivointi taajuustasossa Konjugaatti Parsevalin teoreema 2 2π 2π

25 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi Tässä kappaleessa käsitellään LTI-järjestelmien ominaisuuksia taajuustasossa. LTI-järjestelmät suodattavat tulon eri taajuuskomponentteja ja siksi ne voidaan luokitella suodatusominaisuuksien perusteella. LTIjärjestelmistä voidaan siten suunnitella halutunlaisia suodattimia. 5. LTI-järjestelmien taajuustason ominaisuudet Taajuustason ominaisuuksien tarkastelussa käytetään perusherätesignaaleja, kuten kompleksisia eksponentti- ja sinisignaaleja. Järjestelmän ominaisuudet kuvataan taajuusmuuttujan funktiona, joka on järjestelmän impulssivasteen Fourier-muunnos. Tätä funktiota kutsutaan myös taajuusvasteeksi. Taajuusvaste kuvaa täysin LTI-järjestelmän taajuustasossa. Tämän takia järjestelmän jatkuvan tilan vaste voidaan määrittää mielivaltaiselle tulolle, joka on sini- tai kompleksisten eksponenttisignaalien lineaarikombinaatio. LTI-järjestelmien vaste aikatasossa mielivaltaiselle tulolle määriteltiin aikaisemmin konvoluutiosumman avulla seuraavasti: (5..) LTI-järjestelmä on siten määritelty aikatasossa impulssivasteen avulla. Vastaavanlainen esitys saadaan järjestelmälle taajuustasossa, kun syötetään järjestelmään herätteeksi kompleksinen eksponenttisignaali, (5..2) missä on amplitudi ja mielivaltainen taajuus välillä π, π. Sijoittamalla yhtälö (5..2) yhtälöön (5..), saadaan (5..3) mistä huomataan, että hakasulkujen sisällä oleva lauseke on impulssivasteen Fourier-muunnos, jota kutsutaan myös järjestelmän taajuusvasteeksi (eng. frequency response) Impulssivasteen Fourier-muunnos on olemassa, jos järjestelmä on BIBO-stabiili Nyt voidaan kirjoittaa yhtälö (5..3) uuteen muotoon (5..4) (5..5) Yhtälöstä (5..5) havaitaan, että järjestelmän vaste on myös kompleksinen eksponenttisignaali, jonka taajuus on sama kuin herätteen (lineaarinen järjestelmä). Taajuusvaste siis muokkaa herätettä siten, että vasteen amplitudi ja/tai vaihekulma muuttuu. Täten LTI-järjestelmä toimii suodattimena. Esimerkki 5.. Määritä järjestelmän vaste, kun 2 (5..6),

26 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi Ratkaisu 5.. Lasketaan ensin impulssivasteen Fourier-muunnos (5..7) 2 Kulmataajuudella π 2saadaan Siten π 2 2 5, 2 2 5, 2 5,, (5..8) Järjestelmä siis skaalaa herätteen kertoimella ja viivästää vaihekulmaa 26,6. Jos herätteen taajuutta muutetaan, muuttuu taajuusvasteen arvo ja siten myös skaalauskerroin ja vaihesiirto. Yleisesti on kompleksinen funktio, joka voidaan ilmaista polaarisessa muodossa (5..9) missä on itseisarvovaste (eng. magnitude response) ja Θ vaihevaste (eng. phase response). Lähdön taajuustason esitys saadaan Fourier-muuntamalla aikatason konvoluutioyhtälö seuraavasti (5..) Esimerkki 5..2 Liukuvan keskiarvon suodatin Määritä seuraavan liukuvan keskiarvon suodattimen taajuusvaste 3 ja piirrä ja Θ. Ratkaisu 5..2 Järjestelmä on FIR-tyyppinen, ja sen impulssivaste on 3, 3, 3 Fourier-muunnetaan Siten 3 3 3 2cos 2cos (5..) 3, 2π 3 Θ π, 2π 3 π Kuvassa 5.. on esitetty itseisarvo- ja vaihevaste. Kuten aikaisemmin mainittiin, on parillinen funktio ja Θ pariton.

5. LTI-järjestelmien taajuustason ominaisuudet 27 H (ω ).8.6.4.2 π π/2 π/2 π ω Θ(ω ) (rad/s) π π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω Kuva 5... Liukuvan keskiarvon suodattimen itseisarvo- ja vaihevaste. Ratkaisu 2 -muunnetaan tulo-lähtökuvaus 3 3, ROC:, Siirtofunktion Fourier-muunnos saadaan sijoittamalla, joten 3 Ratkaisu jatkuu kuten edellä. Esimerkki 5..3 Eräs LTI-järjestelmä voidaan kuvata yhtälöllä, (a) Määritä taajuusvastefunktion itseisarvo ja vaihekulma. (b) Valitse siten, että :n maksimiarvo on ja piirrä ja Θ, kun,9. (c) Määritä järjestelmän lähtö, kun tulo on 52sin π 2 2 cos π π 4 Ratkaisu 5..3 Esitetään luennolla. MATLAB: freqz, abs, phase, angle

28 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi 5.2 LTI-järjestelmien taajuusvaste Edeltä tiedetään, että Fourier-muunnos saadaan -muunnoksesta sijoittamalla. Siten taajuusvaste saadaan seuraavasti LTI-järjestelmien tapauksessa on usein rationaalilauseke, jolloin missä ja ovat reaalisia, mutta ja voivat olla kompleksisia. Joskus on hyödyllistä esittää neliöllisesti :n funktiona. Merkitään Yhtälön (5.2.3) rationaaliselle siirtofunktiolle saadaan Mistä seuraa, että on saatu arvioimalla yksikköympyrällä, missä (5.2.) (5.2.2) (5.2.3) (5.2.4) (5.2.5) Jos on reaalinen tai vastaavasti kertoimet ja ovat reaalisia, kompleksiset navat ja nollat esiintyvät kompleksikonjugaattipareina. Tällöin. Vastaavasti ja (5.2.6) -muunnoksen korrelaatioteoreeman mukaan (kts. Taulukko 3.2) funktio on yksikköimpulssivasteen autokorrelaatiosekvenssin -muunnos. Tällöin Wiener- Khintchine-teoreemasta seuraa, että on autokorrelaatiosekvenssin Fourier-muunnos. 5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina Suodatin (eng. filter) on laite, joka jonkin kriteerin perusteella päästää lävitseen siihen tuodut syötteet. LTIjärjestelmä toimii myös suodattimena tulon eri taajuuskomponenteille. Suodatusominaisuudet on määritelty taajuusvastefunktiolla, joka puolestaan riippuu sen differenssiyhtälön kertoimista ja. Siten valitsemalla kertoimet ja sopivasti, voidaan suunnitella suodatin, joka päästää lävitseen halutut taajuudet ja vaimentaa muita taajuuksia. LTI-järjestelmä muokkaa siis tulosignaalin spektriä sen taajuusvasteen mukaan tuottaen lähtösignaalin, jonka spektri on. MATLAB: filter 5.3. Ideaalisen suodattimen ominaisuudet Suodattimet luokitellaan taajuustason ominaisuuksien perusteella: alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö-, kaistanesto- ja all-pass-suodattimiin. Näiden suodattimien ideaaliset itseisarvovasteet on esitetty kuvassa 5.3.. Ideaalisella suodattimella on päästökaistan vahvistus vakio (tavallisesti yksi), estokaistan vahvistus nolla ja lineaarinen vaihevaste.

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 29 M * ) EF I J F M? M? F M M ; EF I J F M? M? F M M * = EI J= F I J F M M M M M M F M M = EI J= A I J F M M F M M ) F = I I F Kuva 5.3.. Ideaalisten diskreettiaikaisten suodattimien itseisarvovasteet. Tarkastellaan lineaarista vaihevastetta. Oletetaan, että sekvenssi, joka sisältää taajuuksia välillä, läpäisee suodattimen, jonka taajuusvaste F M,, muuten missä ja ovat vakioita. Suodattimen lähtösignaalilla on spektri (5.3.), (5.3.2) Käyttämällä Fourier-muunnoksen skaalaus- ja ajansiirto-ominaisuuksia, saadaan lähtö aikatasossa (5.3.3) Lähtö on siis viivästetty ja skaalattu versio tulosta. Puhdas viive ja amplitudiskaalaus ovat yleensä sallittuja, eikä niitä pidetä särönä. Ideaalisilla suodattimilla on lineaarinen vaihevaste koko päästökaistalla, jolloin Θ, vakio (5.3.4) Estokaistan vaihevasteella ei ole yleensä merkitystä. Vaihevasteen derivaatta kulmataajuuden suhteen kuvaa suodattimen viivettä. Siten voidaan määritellä suodattimen ryhmäviive (eng. group delay) τ Θ (5.3.5)

3 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi Ryhmäviive τ kuvaa viivettä, joka signaalin eri taajuuskomponenteille tulee kulkiessaan suodattimen läpi. Huomaa, jos Θ on lineaarinen, ryhmäviive τ vakio, jolloin kaikki taajuudet viivästyvät saman verran. Ideaalista suodatinta ei voida käytännössä toteuttaa. Esimerkiksi ideaalisen alipäästösuodattimen impulssivaste on sin π, (5.3.6) π Tämä suodatin ei ole kausaalinen eikä absoluuttisesti summautuva ja siksi se on epästabiili. Suodatin on siis käytännössä toteuttamiskelvoton. Ideaalista suodatinta voidaan käytännössä vain approksimoida. 5.3.2 Suodatinten suunnittelu napoja ja nollia sijoittelemalla Yksinkertaisia digitaalisia suodattimia voidaan suunnitella muodostamalla haluttu taajuusvaste sijoittelemalla napoja ja nollia -tasoon. Napojen ja nollien sijoittelussa perusideana on sijoittaa napoja yksikköympyrän läheisyyteen niitä taajuuksia vastaaviin pisteisiin, joita halutaan korostaa ja vastaavasti nollia yksikköympyrän läheisyyteen niitä taajuuksia vastaaviin pisteisiin, joita halutaan vaimentaa. Lisäksi on muistettava:. Kaikki navat on oltava yksikköympyrän sisäpuolella, jotta suodatin olisi stabiili. Nollia saa olla missä tahansa -tasossa. 2. Kaikkien kompleksisten napojen ja nollien täytyy esiintyä kompleksikonjugaattipareina, jotta suodattimen kertoimet olisivat reaalisia. Kun navat ja nollat on sijoitettu, saadaan siirtofunktio tai suoraan taajuusvastefunktio (5.3.7) (5.3.8) missä on vahvistusvakio, joka valitaan siten, että taajuusvaste on esimerkiksi yksi jollakin tietyllä taajuudella. Esimerkiksi päästökaistan keskellä (5.3.9) missä on suodattimen päästökaistan taajuus. Tavallisesti valitaan, jolloin napoja (ei-triviaaleja) on yhtä monta tai enemmän kuin nollia. 5.3.3 Käytännön suodatinten ominaisuudet Käytännön suodattimilla on rajoituksia. Näitä rajoitteita voidaan kuvata suunnittelussa käyttämällä yhtenäisiä käsitteitä, jotka on esitetty kuvassa 5.3.2. Digitaalisen suodattimen suunnittelun lähtökohdaksi voidaan määrätä seuraavat arvot: päästökaistan rippeli (eng. passband ripple) estokaistan rippeli (eng. stopband ripple) päästökaistan rajataajuus (eng. passband edge frequency) estokaistan rajataajuus (eng. stopband edge frequency) Näitä ominaisuuksia käytetään tyypillisesti myös kaupallisesti saatavilla olevissa suodatinten suunnitteluohjelmissa, kuten esimerkiksi Matlabin Signal Processing Toolboxissa. Lisäksi kuvassa 5.3.2 esiintyy seuraavat käsitteet: siirtymäkaista (eng. transition band) estokaista (eng. stopband) päästökaista (eng. passband)

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 3 M 2 I J = EI J= @ @ 2 I J = EI J= HEF F A E - I J = EI J= @ 5 EEHJO = EI J= M F Kuva 5.3.2. Käytännön suodatinten ominaisuudet. M I - I J = EI J= HEF F A E F M 5.3.4 Alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö- ja kaistanestosuodattimet Digitaalisten suodatinten suunnittelu: Alipäästösuodatin (eng. lowpass filter) Napoja sijoitetaan pienille taajuuksille (lähelle taajuutta ) yksikköympyrän läheisyyteen ja nollia suurille taajuuksille (lähelle taajuutta π) yksikköympyrän läheisyyteen tai yksikköympyrälle. Ylipäästösuodatin (eng. highpass filter) Napojen ja nollien sijoittelu imaginaariakselin suhteen peilikuva alipäästösuodattimesta. Kuvassa 5.3.3 on esitetty kolmen erilaisen alipäästö- ja kolmen ylipäästösuodattimen napa-nollasijoittelu. Kaistanpäästösuodatin (eng. bandpass filter) Napoja sijoitetaan päästökaistaa vastaavien taajuuksien lähistölle ja nollat pienille ja suurille taajuuksille. Kaistanestosuodatin (eng. bandstop filter) Napoja sijoitetaan päästökaistaa vastaavien taajuuksien lähistölle ja nollat estokaistalle. ) EF I J ; EF I J Kuva 5.3.3. Kolmen ali- ja kolmen ylipäästösuodattimen napa-nollakuviot. Esimerkki 5.3. Yksinapainen alipäästösuodatin

32 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi Suunnittele yksinapainen alipäästösuodatin. Ratkaisu 5.3. Sijoitetaan napa nollataajuudelle ja lisätään nolla origoon. Siirtofunktio on tällöin Taajuusvaste saadaan sijoituksella Nollataajuuden vahvistukseksi halutaan, silloin joten Siten siirtofunktio ja taajuusvastefunktio ovat siis (5.3.) Kuvassa 5.3.4 on esitetty suunnitellun yksinapaisen alipäästösuodattimen itseisarvo- ja vaihevasteet eri :n arvoilla. H (ω ).8 a =,5 a =,7.6 a =,9.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 Kuva 5.3.4. Yhtälön (5.3.) alipäästösuodattimen itseisarvo- ja vaihevasteet eri :n arvoilla. Tarkastellaan, miksi tarvitaan nollaa origossa. Muodostetaan suodattimen aikatason toteutusrakenne π π π/2 π/2 π ω Jos ei olisi nollaa origossa, napanollakuvion perusteella saataisiin

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 33 Aikatason toteutusrakenne olisi silloin Ilman nollaa käytettäisiin siis tulosignaalin edellistä arvoa. Esimerkki 5.3.2 Kaksinapainen alipäästösuodatin Suunnittele kaksinapainen alipäästösuodatin, kun π 4. Ratkaisu 5.3.2 Kaksinapaisella suodattimella on mahdollista kasvattaa pienten taajuuksien vahvistusta. Vaihdetaan nollataajuuden napa kahdeksi navaksi eli kompleksikonjugaattinapapariin. Siirtofunktio on siten Taajuusvaste 2 cos 2cos Nollataajuuden vahvistukseksi halutaan taas eli joten 2cos 2cos Siirtofunktio ja taajuusvaste ovat siten 2cos 2 cos 2 cos 2 cos (5.3.) Kuvassa 5.3.5 on esitetty suunnitellun kaksinapaisen alipäästösuodattimen itseisarvo- ja vaihevasteet eri :n arvoilla.

34 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi H (ω ).4.2.8.6.4.2 π r =,7 r =,5 r =,3 π π/2 π/2 π ω Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω Kuva 5.3.5. Yhtälön (5.3.) alipäästösuodattimen itseisarvo- ja vaihevasteet eri :n arvoilla, kun π 4. Ali- ja ylipäästösuodatinten keskinäinen vertailu on esitetty sekä taulukossa 5. että kuvassa 5.3.6. Taulukko 5.. Ali- ja ylipäästösuodatinten vertailu. Alipäästösuodatin 2 2 2 Ylipäästösuodatin π 2 2 2

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 35 H (ω ) alipäästö.8 ylipäästö.6.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω Kuva 5.3.6. Ali- ja ylipäästösuodattimen (yksi-napa-yksi-nolla) itseisarvo- ja vaihevasteet, kun,9. Alipäästösuodattimesta voidaan tehdä ylipäästösuodatin. Tällöin lähtökohtana on, että tunnetaan ns. prototyyppialipäästösuodatin, jonka impulssivaste on ja siten myös taajuusvaste. Prototyyppisuodatin on mahdollista muuntaa joko kaistanpäästö- tai ylipäästösuodattimeksi, jos hyödynnetään Fourier-muunnoksen taajuussiirto-ominaisuutta. Ali- ja ylipäästösuodattimien taajuusvasteilla on yhteys π (5.3.2) missä on ylipäästösuodattimen taajuusvaste. Taajuussiirto π radiaanin verran vastaa impulssivasteen kertomista :llä. Siten ylipäästösuodattimen impulssivaste (5.3.3) Siten ylipäästösuodattimen impulssivaste saadaan yksinkertaisesti alipäästösuodattimen impulssivasteesta vaihtamalla parittomien näytteiden etumerkkiä. Vaihtoehtoisesti (5.3.4) Jos alipäästösuodatin on kuvattu differenssiyhtälöllä sen taajuusvaste Tällöin sijoituksella π eli korvataan π:llä, saadaan mikä vastaa aikatasossa differenssiyhtälöä (5.3.5) (5.3.6) (5.3.7) (5.3.8)

36 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi Esimerkki 5.3.3 Muunna alipäästösuodatin, jonka differenssiyhtälö,9, ylipäästösuodattimeksi. Ratkaisu 5.3.3 Yhtälön (5.3.8) perusteella ylipäästösuodattimen differenssiyhtälö,9, ja sen taajuusvaste,,9,,9,,9,5 Kolmen desibelin kaistanleveys Päästökaistan rajataajuus on taajuus, jolla signaalin teho on puolet maksimista eli 2 2 (5.3.9) mikä vastaa desibeliasteikolla log 2log log 2 3dB (5.3.2) Huomaa, että tavallisesti digitaalisilla suodattimilla ei käytetä 3 db:n kaistanleveyden määritelmää. Kuvassa 5.3.7 on esitetty taajuusvasteen tehollisarvovaste ja itseisarvovaste. M M # * * M F M M F M Kuva 5.3.7. 3 db:n kaistanleveys. 5.3.5 Digitaaliset resonaattorit Digitaalinen resonaattori (eng. digital resonator) on kaksinapainen kaistanpäästösuodatin, jolla on yksikköympyrän lähellä oleva kompleksikonjugaattinapapari, kuten on esitetty kuvassa 5.3.8(a). Suodattimen taajuusvasteen itseisarvo ja vaihe ovat esitetty kuvassa 5.3.8(b). Suodattimen nimi tulee sen itseisarvovasteen värähtelystä. Navan sijainnin kulma määrittää suodattimen resonanssitaajuuden. Digitaalisia resonaattoreita käytetään esimerkiksi kaistanpäästösuodatuksessa ja puheenmuodostuksessa.

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 37 H M M H 4 A (a).8 r =,8 r =,95 H (ω ).6.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω (b) Kuva 5.3.8. Digitaalinen resonaattori, jolla on nollat origossa. (a) Napa-nollakuvio. (b) Itseisarvo- ja vaihevaste, kun π 4,,8 ja π 4,,95. Nollat kohdissa,. Digitaalisen resonaattorin suunnittelussa resonanssipiikin sijainti valitaan kompleksikonjugaattinavoilla,, Tämän lisäksi voidaan valita enintään kaksi nollaa. Tarkastellaan kahta eri tapausta. Ensimmäisessä tapauksessa sijoitetaan nollat origoon. Toisessa tapauksessa sijoitetaan nollat kohtiin ja, jolloin suodattimen taajuusvasteesta eliminoituu taajuudet ja π. Kun nollat sijaitsevat origossa,, digitaalisen resonaattorin siirtofunktio (5.3.2) 2 cos (5.3.22) Koska :lla on maksimi kohdassa tai lähellä sitä, valitaan vahvistus siten, että. Yhtälöstä (5.3.2) saadaan

38 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi ja (5.3.23) 2cos2 Siten normalisoitu kerroin 2cos2 (5.3.24) Yhtälön (5.3.2) resonaattorin taajuusvaste voidaan esittää (5.3.25) Θ 2Φ Φ missä ja ovat vektoreiden (navoista ja pisteeseen yksikköympyrällä) amplitudit ja Φ ja Φ vastaavien vektoreiden kulmat. Amplitudit ja voidaan esittää 2cos (5.3.26) 2cos Millä tahansa :n arvolla, saa minimiarvon kohdassa. Tulo saa siten minimiarvon taajuudella acos cos 2 (5.3.27) mikä määrittelee suodattimen resonanssitaajuuden. Kun on lähellä ykköstä, (navan kulmatieto). Tällöin myös resonanssipiikki terävöityy. Resonanssin terävyydelle voidaan ilmoittaa suodattimen 3 db:n kaistanleveys Δ, kun on lähellä ykköstä Δ 2 (5.3.28) Kuvassa 5.3.8(b) on esitetty digitaalisen resonaattorin itseisarvo- ja vaihevasteet, kun π 4,,8 ja π 4,,95 sekä nollat origossa,. Kuvasta 5.3.8(b) huomataan, että suurin muutos vaihevasteessa tapahtuu lähellä resonanssitaajuutta. Kun digitaalisen resonaattorin nollat sijaitsevat kohdissa ja, resonaattorin siirtofunktio 2cos ja vastaava taajuusvaste (5.3.29) (5.3.3) Nyt huomataan, että nollat kohdissa ja vaikuttavat sekä resonaattorin itseisarvo- että vaihevasteeseen. Itseisarvovaste on esimerkiksi missä (5.3.3) 2cos2 Kuvassa 5.3.9 on esitetty digitaalisen resonaattorin itseisarvo- ja vaihevasteet, kun π 4,,8 ja π 4,,95 sekä nollat kohdissa ja. Kuvasta 5.3.9 huomataan, että suodattimella

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 39 on kapeampi kaistanleveys kuin vastaavalla resonaattorilla, jolla on nollat origossa. Lisäksi nollat siirtävät hieman resonanssitaajuuksia..8 r =,8 r =,95 H (ω ).6.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω Kuva 5.3.9. Digitaalisen resonaattorin itseisarvo- ja vaihevaste, kun π 4,,8 ja π 4,,95. Nollat kohdissa ja. 5.3.6 Notch-suodattimet Notch-suodattimen taajuusvasteessa on yksi tai useampi syvä lovi (eng. notch) tai ideaalisesti täysi nolla. Kuvassa 5.3. on esitetty Notch-suodattimen itseisarvovaste, missä taajuuksilla ja on täysi nolla. Notch-suodattimia käytetään yksittäisten taajuuksien, kuten verkkotaajuuden (5 Hz) ja sen harmonisten pois suodattamiseen. M M M F M Kuva 5.3.. Notch-suodattimen itseisarvovaste. Nolla saadaan taajuudelle kompleksikonjugaattinollaparilla, FIR-notch-suodattimen siirtofunktio on siten 2cos 2cos (5.3.32) Kuvassa 5.3. on esitetty yhtälön (5.3.32) mukaisen FIR-notch-suodattimen itseisarvo- ja vaihevaste, kun lovi on taajuudella π 4.

4 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi.8 H (ω ).6.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 Kuva 5.3.. FIR-notch-suodattimen itseisarvo- ja taajuusvaste, kun π 4tai 8. on valittu siten, että π. FIR-notch-suodattimen ongelmana on, että nollat vaimentavat varsin laajaa taajuusaluetta. Loven taajuuskaistaa voidaan kaventaa lisäämällä kompleksikonjugaattinavat, Suodattimen siirtofunktio on tällöin π π π/2 π/2 π ω 2cos 2 cos (5.3.33) Kuvassa 5.3.2 on vastaavasti esitetty yhtälön (5.3.33) mukaisen IIR-notch-suodattimen itseisarvo- ja vaihevaste, kun π 4ja,5,,85 ja,95. Nyt voidaan verrata kuvien 5.3. ja 5.3.2 vasteita keskenään, joista huomataan napojen vaikutus lovien kaistanleveyteen.

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 4.8 H (ω ).6.4 r =,95.2 r =,85 r =,5 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω Kuva 5.3.2. IIR-notch-suodattimen itseisarvo- ja taajuusvaste, kun π 4ja,95,,85 ja,5. on valittu siten, että π. 5.3.7 Kampasuodattimet Kampasuodattimen (eng. comb filter) taajuusvasteessa on tasaisin välein nollia samaan tapaan kuin kammassakin on piikkejä tasavälein. Kampasuodattimia käytetään esimerkiksi verkkoharmonisten eliminointiin. Liukuvan keskiarvon (FIR) suodatin on yksinkertainen kampasuodatin. Tämän differenssiyhtälö Siirtofunktio on vastaavasti ja taajuusvaste (5.3.34) (5.3.35) sin 2 sin 2 (5.3.36) Yhtälöstä (5.3.35) nähdään, että suodattimella on nollat yksikköympyrällä kohdissa,,2,3,, (5.3.37) Huomaa, että ei ole mukana, koska napa kohdassa peruuttaa nollan. Kuvassa 5.3.3 on esitetty itseisarvo- ja vaihevaste, kun. Kuvasta 5.3.3 nähdään selvästi nollien jaksollinen olemassa olo taajuuksilla 2π, kun, 2,,.

42 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi.8 H (ω ).6.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ(ω ) (rad/s) π/2 π/2 Kuva 5.3.3. Yhtälön (5.3.36) kampasuodattimen itseisarvo- ja vaihevaste, kun. Yleisesti kampasuodatin saadaan FIR-suodattimesta, jonka impulssivaste on sekä siirtofunktio ja taajuusvaste siten, että korvataan, missä on positiivinen kokonaisluku. Uusi FIR-suodattimen siirtofunktio (5.3.38) (5.3.39) (5.3.4) (5.3.4) π π π/2 π/2 π ω Siten on :n -kertainen toisinto alueella 2π. Kuvassa 5.3.4(a) on esitetty ja kuvassa 5.3.4(b), kun 5. M M F F F F = Kuva 5.3.4. Kampasuodattimen taajuusvaste. (a). (b). :n nollat suhtautuvat :n nolliin taajuudella seuraavasti 2π,,, 2,, M F & F # $ F # " F # F # F " F $ F & F F # # # # > M

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 43 eli nollat esiintyvät jaksollisin välein. Kuvassa 5.3.5 on esitetty FIR-kampasuodatin, kun 3 ja 3. Tämän FIR-suodattimen pituus on, mutta ainoastaan neljän kerroin on nollasta poikkeava. N D D D D! Kuva 5.3.5. FIR-kampasuodattimen toteutus, kun 3 ja 3. Tarkastellaan yhtälön (5.3.35) liukuvan keskiarvon suodatinta uudelleen. Korvataan, jolloin siirtofunktio ja taajuusvaste ovat (5.3.42) sin 2 sin 2 (5.3.43) Suodattimella on yksikköympyrällä nollat,,2,3,, (5.3.44) muilla :n arvoilla paitsi,, 2,, (napa-nollaperuutukset). Kuvassa 5.3.6 on esitetty ja Θ, kun 3 ja..8 O H L (ω ).6.4.2 π π/2 π/2 π ω π Θ L (ω ) (rad/s) π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω Kuva 5.3.6. Yhtälön (5.3.43) kampasuodattimen itseisarvo- ja vaihevaste, kun 3 ja. 5.3.8 All-pass-suodattimet All-pass-suodattimen itseisarvovaste määritellään seuraavasti, π (5.3.45) Yksinkertaisin all-pass-suodatin on puhdas viive, jonka siirtofunktio ja taajuusvaste

44 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi (5.3.46) (5.3.47) josta havaitaan, että Θ eli lineaarinen vaihevaste. Mielenkiintoisemman all-pass-suodattimen siirtofunktio, (5.3.48), missä suodattimen kertoimet ovat reaalisia. Osoitetaan, että on all-pass-suodatin. Määritellään siten polynomi,. Silloin Koska kertoimet ovat reaalisia, niin all-pass-suodatin. Yhtälön (5.3.48) mukaisen suodattimen navat ja nollat esiintyvät seuraavasti: jos on siirtofunktion napa, on siirtofunktion nolla. Kuvassa 5.3.7(a) on esitetty tyypillinen napa-nollakuvio suodattimelle, jolla on yksi napa ja yksi nolla, ja kuvassa 5.3.7(b) suodattimelle, jolla on kaksi napaa ja kaksi nollaa. Vastaavasti näiden suodattimien itseisarvo- ja vaihevasteet on esitetty kuvassa 5.3.8, kun,6,,9 ja π 4. > > 4 A = = H M H M H > > 4 A Kuva 5.3.7. All-pass-suodattimen napa-nollakuvio. (a) Ensimmäisen asteen all-pass-suodatin. (b) Toisen asteen allpass-suodatin. All-pass-suodattimen siirtofunktion yleinen muoto, kun kertoimet ovat reaalisia (5.3.49) missä on reaalisten napojen ja nollien lukumäärä sekä kompleksikonjugaattinapa- ja -nollaparien lukumäärä. Jotta olisi kausaalinen ja stabiili järjestelmä, ja.

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 45 Kuva 5.3.8. All-pass-suodattimien itseisarvo- ja vaihevaste, kun siirtofunktiot ovat ja 2cos 2cos.,6,,9 ja π 4. Tarkastellaan yksi-napa-yksi-nolla all-pass-järjestelmää (5.3.5) cos sin cos sin Siten vaihekulma sin sin Θ atan atan cos cos ryhmäviive sin 2atan cos 2atan sin cos τ Θ 2cos Havaitaan, että kun (kausaalinen ja stabiili järjestelmä) τ Siten suurempi kertalukuisilla napa-nolla-järjestelmillä ryhmäviive muodostuu summana τ H (ω ) Θ(ω ) (rad/s).8.6.4 H (z).2 H (z) 2 π π/2 π/2 π ω π π/2 π/2 π π π/2 π/2 π ω (5.3.5) (5.3.52) joten τ. All-pass-suodattimia käytetään vaiheen korjauksessa eli kytketään kaskadiin huonot vaiheominaisuudet omaavan suodattimen kanssa, kuten on esitetty kuvassa 5.3.9. M = F M M = F M Kuva 5.3.9. All-pass-suodattimen kaskadikytkentä vaihekorjauksessa.

46 5 LTI-järjestelmien taajuustason analyysi 5.3.9 Digitaalinen sinioskillaattori Digitaalinen sinioskillaattori on järjestelmä, jonka impulssivaste on halutun taajuinen siniaalto. Digitaalinen sinigeneraattori on digitaalisten taajuussyntetisaattoreiden peruskomponentti. Sinioskillaattori saadaan kaksinapaisesta resonaattorista, kun kompleksikonjugaattinavat asetetaan yksikköympyrälle ( ) tämän käänteismuunnos antaa impulssivasteen 2cos (5.3.53) sin sin sin (5.3.54) missä sin. Kun järjestelmään syötetään herätteeksi impulssi, saadaan sinivaste. Sinioskillaattorin lohkokaavio on esitetty kuvassa 5.3.2. ) I E M @ O ) I E M = =? I M = = Vastaava differenssiyhtälö Kuva 5.3.2. Digitaalinen sinigeneraattori. 2 (5.3.55) missä parametrit 2cos ja sin ja alkuarvot 2. Iteroimalla differenssiyhtälöä (5.3.55), saadaan sin 2cos 2cos sin sin2 2 2cos 2cos sin2 sin 2cos 2sin cos sin 4cos sin 4sin sin 3sin 4sin sin3 ja niin edelleen. Edellä hyödynnettiin yhtälöitä: 2sin cos sin2, 3sin 4sin sin3 ja sin cos. Nyt havaitaan, että samanlainen oskillaatio saadaan myös nollatulolla järjestelmästä 2 (5.3.56) asettamalla, 2 sin. Yhtälön (5.3.56) differenssiyhtälö saadaan trigonometriasta sin cos 2sin 2 cos 2 (5.3.57) missä, ja sin.

5.3 LTI-järjestelmät taajuusselektiivisinä suodattimina 47 Monissa käytännön sovelluksissa, joissa on kahden sinimuotoisen kantoaallon modulaatio, tarvitaan signaaleja sin ja cos. Nämä saadaan ns. yhdistetyllä oskillaattorilla (eng. coupled-form oscillator), joka saadaan seuraavia trigonometrisia yhteyksiä käyttämällä cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin Asetetaan ja cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin Korvataan cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin Merkitään cos (5.3.58) Siten sin (5.3.59) cos sin (5.3.6) sin cos (5.3.6) joka voidaan esittää matriisimuodossa cos sin sin cos (5.3.62) Järjestelmän toteutusrakenne on esitetty kuvassa 5.3.2. Huomataan, että järjestelmällä on kaksi lähtöä, mutta ei tuloa. Järjestelmä vaatii alustuksen cos ja sin. Huomionarvoista oskillaattoreissa on, että niiden avulla voidaan muodostaa sinimuotoisesti muuttuva signaali laskemalla vain yksi (kaksi) sinin arvoa.? I M I E M O?? I M I E M? I M O I I E M Kuva 5.3.2. Yhdistetyn oskillaattorin toteutus.

49 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysiin käytetään tavallisesti digitaalista signaaliprosessoria (eng. digital signal processor, DSP) tai yleiskäyttöistä tietokonetta. Diskreettiaikaisen signaalin taajuusanalyysissä muunnetaan aikatason sekvenssi vastaavaksi taajuustason esitykseksi eli Fouriermuunnokseksi. Kuten edeltä muistetaan, on kuitenkin jatkuva funktio ja siten se ei ole laskennallisesti sopiva esitysmuoto. Ongelma voidaan ratkaista ottamalla näytteitä Fourier-muunnoksesta samaan tapaan kuin on muodostettu jatkuva-aikaisesta signaalista. Tätä taajuustason esitystä kutsutaan yleisesti diskreetiksi Fourier-muunnokseksi (eng. discrete Fourier transform, DFT). DFT on tehokas laskentatyökalu diskreettiaikaisten signaalien taajuusanalyysissä. 6. Taajuustason näytteistys: diskreetti Fourier-muunnos Tarkastellaan ensiksi jaksottoman diskreettiaikaisen signaalin Fourier-muunnoksen näytteistystä. Tästä saadaan yhteys näytteistetyn Fourier-muunnoksen ja DFT:n välille. 6.. Diskreettiaikaisten signaalien taajuustason näytteistys Edeltä muistetaan, että jaksottomilla energiasignaaleilla on jatkuva spektri. Diskreettiaikaisen jaksottoman sekvenssin Fourier-muunnos määriteltiin yhtälöllä (6..) Otetaan näytteitä Fourier-muunnoksesta jaksollisin välein taajuustasossa. Koska on jaksollinen (jakso 2π), tarvitaan näytteitä vain perustaajuusalueelta. Otetaan esimerkiksi näytettä väliltä 2π, missä näytteiden väli 2π, kuten on esitetty kuvassa 6... : M : @ M Kuva 6... Fourier-muunnoksen taajuustason näytteistys. Tarkastellaan näytteiden lukumäärää taajuustasossa. Siten, tarkastellaan ensiksi yhtälöä (6..) taajuudella 2π 2π,,,, (6..2) Yhtälön (6..2) summa voidaan jakaa äärettömään osaan, joista jokainen sisältää termiä. Siten 2π Jos vaihdetaan sisemmän summan indeksiä ja summauksien järjestystä, saadaan missä 2π F @ M F @ M F,,,, (6..3) M

5 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) on sekvenssistä saatava jaksollinen versio. Tälle voidaan muodostaa Fourier-sarja missä Fourier-kertoimet Vertailemalla yhtälöitä (6..3) ja (6..6), nähdään, että Siten (6..4),,,, (6..5),,,, (6..6) 2π,,,, (6..7) 2π,,,, (6..8) Yhtälöstä (6..8) saadaan siis jaksollisen sekvenssin rekonstruktio spektrin näytteistä. Tarkastellaan seuraavaksi sekvenssien ja välistä yhteyttä. Sekvenssi saadaan selville sekvenssistä, jos aikatasossa ei tapahdu laskostumista (eng. timedomain aliasing), koska on :n jaksollinen laajennus. Laskostuminen tarkoittaa tässä tapauksessa sitä, että sekvenssi olisi aikarajoitettu lyhyemmäksi kuin sekvenssin jakso, kuten on esitetty kuvassa 6..2. x (n) 5 4 3 2 5 5 5 5 2 25 n x p (n) x p (n) 5 4 3 2 5 4 3 2 5 5 5 5 2 25 n 5 5 5 5 2 25 n Kuva 6..2. Jaksottoman sekvenssin, jonka pituus, ja sen jaksollinen laajennus p, kun 3 (ei laskostumista) ja 6 (laskostuminen). Jos, sekvenssi voidaan selvästi muodostaa sekvenssistä. Vastaavasti jos, sekvenssiä ei ole mahdollista muodostaa johtuen aikatason laskostumisesta. Siten jaksottoman diskreettiaikaisen sekvenssin, jolla äärellinen kesto, spektri voidaan tarkasti muodostaa sen näytteistä taajuuksilla 2π, jos. Sekvenssin laskentaproseduuri yhtälöstä (6..8) on siis

6. Taajuustason näytteistys: diskreetti Fourier-muunnos 5,, muualla ja voidaan laskea yhtälöstä (6..). (6..9) 6..2 DFT Jos sekvenssin kesto on ääretön, tasaväliset taajuusnäytteet Fourier-muunnoksesta 2π,,,, eivät yksilöllisesti esitä alkuperäistä sekvenssiä, vaan laskostuneen sekvenssin taajuusisällön. Jos taas sekvenssillä on äärellinen kesto ja, sekvenssi on sekvenssin jaksollinen toisto, missä yhden jakson ajalta on,, (6..) Siten, Fourier-muunnoksesta otetut taajuusnäytteet 2π,,,, esittävät yksilöllisesti äärellisen pituisen sekvenssin taajuussisällön yhtälön (6..8) mukaisesti, missä yhden jakson ajalta (lisättynä sekvenssin perään nollaa). On tärkeää myös huomata, että nollien lisäys (eng. zero padding) sekvenssin perään ei tuo ylimääräistä informaatiota sekvenssin spektriin. Sekvenssin perään lisätyt nollaa ja -pisteisen DFT:n laskenta tuottaa ainoastaan visuaalisesti paremman esityksen Fourier-muunnoksesta. Äärellisen pituisen sekvenssin, jonka pituus on, Fourier-muunnos, 2π (6..) missä ylempi ja alempi indeksi summassa viittaavat siihen, että alueen ulkopuolella. Jos Fourier-muunnosta näytteistetään tasaisin välein 2π,,,, taajuustasossa, missä, saadaan 2π,,,, (6..2) Kasvattamalla summan yläindeksiä, saadaan sekvenssin, jonka pituus, muunnosyhtälö taajuusnäytesekvenssiksi, jonka pituus on,,,, (6..3) Tätä kutsutaan sekvenssin diskreetiksi Fourier-muunnokseksi, missä sisältää tasavälistä diskreettiä taajuusnäytettä jatkuvasta Fourier-muunnoksesta. Käänteinen diskreetti Fourier-muunnos (eng. inverse discrete Fourier transform, IDFT) on vastaavasti,,,, (6..4) Jos sekvenssin pituus, antaa -pisteinen IDFT, kun. Huomaa, että näyteistetyssä Fourier-muunnoksessa ei häviä informaatiota, jos Fourier-muunnoksen näytteiden lukumäärä on suurempi kuin sekvenssin pituus. Silloin Esimerkki 6.. Määritä seuraavan äärellisen pituisen sekvenssin,, muualla -pisteinen DFT, kun.

52 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Ratkaisu 6.. Sekvenssin Fourier-muunnos sin 2 sin 2 Fourier-muunnoksen itseisarvo- ja vaihevaste on esitetty kuvassa 6..3, kun. X (ω ) φ(ω ) (rad/s) 8 6 4 2 π/2 π 3π/2 2π ω π π/2 π/2 π π/2 π 3π/2 2π ω Kuva 6..3. Esimerkin 6.. sekvenssin Fourier-muunnoksen itseisarvo- ja vaihevaste, kun. Sekvenssin -pisteinen DFT saadaan Fourier-muunnoksesta näytteistämällä sitä tasavälein 2π,,,, taajuustasossa. Siten sin π sin π,,,, Jos valitaan siten, että, silloin DFT,,, 2,, Siten DFT:llä on ainoastaan yksi nollasta poikkeava arvo. Tämä on ilmeistä, koska taajuuksilla 2π,. Tässäkin tapauksessa on mahdollista rekonstruoida DFT:stä tekemällä - pisteinen IDFT. On kuitenkin huomattava, että -pisteinen DFT ei tarjoa selvää kuvaa sekvenssin taajuusominaisuuksista. Tämän takia on järkevää valita tiheämpi taajuusnäytteistys 2π, missä. Tässä laskennallisessa menetelmässä siis sekvenssin pituutta kasvatetaan lisäämällä nollaa sekvenssin perään. Kuvassa 6..4 on esitetty -pisteisen DFT:n itseisarvo ja vaihe, kun ja 5 ja kuvassa 6..5 vastaavasti, kun ja. Kuvista nähdään pisteiden määrän vaikutus. Muodoltaan molemmat DFT:t ovat samanlaisia kuin Fourier-muunnos, koska ne ovat näytteitä siitä.

6. Taajuustason näytteistys: diskreetti Fourier-muunnos 53 X (2πk / N ) φ(2πk / N ) Kuva 6..4. Esimerkin 6.. -pisteisen DFT:n itseisarvo ja vaihe, kun ja 5. X (2πk / N ) φ(2πk / N ) 8 6 4 2 2 3 4 5 k π π/2 π/2 π 8 6 4 2 2 3 4 5 k 2 4 6 8 k π π/2 π/2 π 2 4 6 8 k Kuva 6..5. Esimerkin 6.. -pisteisen DFT:n itseisarvo ja vaihe, kun ja. 6..3 DFT lineaarisena muunnoksena Yhtälöiden (6..3) DFT ja (6..4) IDFT voidaan ilmaista muodossa missä,,,, (6..5),,,, (6..6) (6..7) DFT:n laskenta kullakin :n arvolla vaatii kompleksista kertolaskua ja kompleksista yhteenlaskua. Vastaavasti koko sekvenssin,,, laskenta vaatii kompleksista kertolaskua ja kompleksista yhteenlaskua.

54 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) DFT:tä ja IDFT:tä voidaan pitää sekvenssien ja lineaarisina muunnoksina. Määritellään - alkioiset vektorit ja sekä -matriisi., Näillä määrittelyillä -pisteinen DFT on matriisitulo (6..8) (6..9) missä on lineaarisen muunnoksen matriisi. Huomataan, että on symmetrinen matriisi. Yhtälöstä (6..9) saadaan IDFT kertomalla molemmat puolet käänteismatriisilla, siten (6..2) Yhtälön (6..6) IDFT voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti (6..2) missä on matriisin kompleksikonjugaatti. Vertaamalla yhtälöitä (6..2) ja (6..2) keskenään, saadaan (6..22) josta puolestaan saadaan (6..23) missä on -identiteettimatriisi (eng. identity matrix). Siten muunnoksen matriisi on orthogonaalinen ja sen inversio on. FFT-algoritmit (eng. fast Fourier transform) hyödyntävät :n symmetriaa ja jaksollisuutta: symmetria (6..24) jaksollisuus (6..25) Esimerkki 6..2 Laske nelipisteisen sekvenssin DFT. 2 3 Ratkaisu 6..2 Esitetään luennolla. 6..4 DFT:n yhteys muihin muunnoksiin Tarkastellaan DFT:n yhteyttä jo esitettyihin taajuusanalyysityökaluihin ja muunnoksiin. Jaksollisen sekvenssin Fourier-sarjan kertoimet

6. Taajuustason näytteistys: diskreetti Fourier-muunnos 55 Jaksollisen sekvenssin, jonka perusjakso, Fourier-sarja missä Fourier-sarjan kertoimet saadaan seuraavasti, (6..26),,,, (6..27) Vertaamalla yhtälöitä (6..27) ja (6..26) yhtälöihin (6..3) ja (6..4) huomataan, että Fourier-sarjan kertoimien ja DFT:n välillä on samankaltaisuutta. Jos määritellään sekvenssi,, sekvenssin DFT on silloin (6..28) Jaksottoman sekvenssin Fourier-muunnos Edeltä muistetaan, että jaksottoman äärellisen energian sekvenssin Fourier-muunnokselle, joka on näytteistetty tasaisin taajuusvälein 2π,,,,, voitiin kirjoittaa missä,,,, (6..29) (6..3) DFT antaa siis sekvenssin jaksollisen toiston Fourier-muunnoksesta näytteitä. Jos ei tapahdu aikatason laskostumista eli, kuvaa DFT myös sekvenssin taajuussisällön ja -muunnos Tarkastellaan sekvenssiä, jonka -muunnos (6..3) ja ROC sisältää yksikköympyrän. Jos näytteistetään :llä tasavälisellä pisteellä yksikköympyrällä, kun,,,, saadaan (6..32) Tämä on vastaava tapaus kuin Fourier-muunnos, joka on laskettu taajuuksilla 2π,,,,. Jos sekvenssin pituus on tai vähemmän, sekvenssi saadaan IDFT:llä sen -pisteisestä DFT:stä. Siten sekvenssin -muunnos voidaan määrittää -pisteisellä DFT:llä, jolloin

56 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) (6..33) Äärellisen pituisen sekvenssin Fourier-muunnos sen DFT:n termein saadaan tarkastelemalla yhtälöä (6..33) yksikköympyrällä eli tekemällä sijoitus (6..34) Jatkuva-aikaisen jaksollisen signaalin Fourier-sarja Olkoon jatkuva-aikainen jaksollinen signaali, jonka perusjakso. Signaalin Fouriersarjaesitys (6..35) missä ovat Fourier-sarjan kertoimet. Jos näytteistetään näytteenottotaajuudella, saadaan diskreettiaikainen sekvenssi Tämä on selvästi IDFT:n yhtälö, missä ja (6..36) (6..37) Siten sekvenssi on sekvenssin laskostunut versio. (6..38) 6.2 Signaalien taajuusanalyysi DFT:n avulla Jatkuva- tai diskreettiaikaisen signaalin taajuusspektrin laskemiseksi tarvitaan signaalin arvot kaikkina ajanhetkinä (, ). Signaalia tarkastellaan käytännössä kuitenkin vain äärellisen ajan ja täten signaalin spektriä voidaan vain approksimoida äärellisestä datajoukosta. Analogisen signaalin taajuusanalyysissä signaali suodatetaan ensiksi laskostumisenestosuodattimella. Seuraavaksi se näytteistetään taajuudella 2, missä on suodatetun signaalin kaistanleveys. Suurin taajuus näytteistetyssä signaalissa on siis 2. Signaalia havainnoidaan ajan, missä on näytteiden lukumäärä ja näyteväli. DFT:ssä näytteitä otetaan kulmataajuuksilla 2π, missä,,,. Tällöin diskreettiaikaisen signaalin taajuusresoluutio Δ 2π 2π ja vastaava jatkuva-aikaisena Δ Δ

6.2 Signaalien taajuusanalyysi DFT:n avulla 57 Saavutettava taajuusresoluutio on kääntäen verrannollinen aikaan, jona signaalia havainnoidaan. Erityisesti on huomattava, että näytteenottotaajuuden lisääminen ei paranna taajuusresoluutiota, jos havainnointiaika pidetään vakiona. Tarkastellaan seuraavaksi, miten signaalin katkaiseminen vaikuttaa laskettavaan DFT:hen. Olkoon äärettömän pitkä. Otetaan siitä näytettä, mikä voidaan ilmaista kertomalla suorakaideikkunalla, jonka pituus on. Tällöin (6.2.) missä,, muuten (6.2.2) Olkoon nyt yhden sinimuotoisen taajuuden sisältävä signaali, joten cos (6.2.3) Fourier-muunnoksen modulaatioteoreeman perusteella :n Fourier-muunnos on 2 (6.2.4) missä on ikkunasekvenssin Fourier-muunnos, joka on suorakaideikkunalle sin 2 sin 2 (6.2.5) Lasketaan DFT:llä. -pisteinen DFT, missä, voidaan laskea lisäämällä katkaistun sekvenssin perään nollaa. Itseisarvospektri, kun 2π,,,,, on esitetty kuvassa 6.2., kun 25, 248 ja,4π. Kuvasta 6.2. huomataan, että ikkunoitu spektri ei ole keskittynyt vain yhdelle taajuudelle, vaan se on levinnyt koko taajuusalueelle. Siten alkuperäisen signaalisekvenssin teho, joka oli yksittäisellä taajuudella, on levinnyt ikkunoinnin takia koko taajuusalueelle. Teho siis ns. vuotaa (eng. leak out) koko taajuusalueelle (eng. leakage). X(ω) 2 8 6 4 2 π π/2 π/2 π Kuva 6.2.. Itseisarvospektri katkaistulle sekvenssille, kun käytetään suorakaideikkunaa sekä 25, 248 ja,4π. Ikkunointi ei ainoastaan vääristä spektriestimaattia vuotoilmiön takia, vaan myös vähentää spektriresoluutiota. Tätä ongelmaa voidaan havainnollistaa, kun tarkastellaan signaalia, joka sisältää kaksi taajuuskomponenttia cos cos (6.2.6) Jos signaali katkaistaan :n pituiseksi näytteeksi alueella, sen ikkunoitu spektri on silloin 2 (6.2.7) Suorakaideikkunasekvenssin spektrillä on ensimmäinen nollakohta taajuudella 2π. Jos 2π, niin ikkunafunktiot ja menevät päällekkäin (eng. overlap) ja siksi signaalin kaksi spektriviivaa eivät erotu toisistaan. Ainoastaan jos 2π, kaksi erillistä taajuutta erottuvat spektrissä. Siten kahden erillisen taajuuden erottuminen toisistaan rajoittuu ikkunan pääkeilan leveyteen. Taajuusresoluutio on siis verrannollinen ikkunafunktion pääkeilan leveyteen. Kuvassa 6.2.2 on esitetty itseisarvospektri, joka on laskettu DFT:llä, sekvenssille ω

58 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) cos cos cos (6.2.8) missä,2π,,22π ja,6π. Ikkunan pituutena on käytetty arvoja 25, 5 ja. Huomaa, että ja eivät erotu toisistaan, kun 25 ja 5, mutta vastaavasti erottuvat, kun. X(ω) X(ω) 25 2 5 5 π π/2 π/2 π ω (a) 35 3 25 2 5 5 π π/2 π/2 π ω (b) X(ω) 6 5 4 3 2 π π/2 π/2 π ω (c) Kuva 6.2.2. Itseisarvospektri yhtälön (6.2.8) sekvenssille, kun käytetään suorakaideikkunaa, ja,2π,,22π ja,6π. (a) 25. (b) 5. (c). Vuotoa voidaan vähentää, jos valitaan sellainen dataikkuna, jolla on matalammat sivukeilat taajuustasossa verrattuna suorakaideikkunaan. Määritellään siten Hanning-ikkuna 2π cos 2, (6.2.9), muuten Kuvassa 6.2.3 on esitetty yhtälön (6.2.4) mukainen Hanning-ikkunalle. Kuvasta 6.2.3 huomataan, että sivukeilat ovat huomattavasti matalammat kuin vastaavassa tapauksessa suorakaideikkunalla, mutta pääkeilan leveys on vastaavasti noin kaksi kertaa leveämpi. Kuvassa 6.2.4 on esitetty yhtälön (6.2.8) mukaisen signaalin spektri, kun se on ikkunoitu Hanning-ikkunalla ja 25, 5 ja. Matalammat sivukeilat ja pienempi resoluutio verrattuna vastaavaan tilanteeseen suorakaideikkunalla näkyvät selvästi kuvasta 6.2.4.

6.2 Signaalien taajuusanalyysi DFT:n avulla 59 X(ω) 6 5 4 3 2 π π/2 π/2 π Kuva 6.2.3. Itseisarvospektri katkaistulle sekvenssille, kun käytetään Hanning-ikkunaa sekä 25, 248 ja,4π. ω X(ω) 2 8 6 4 2 π π/2 π/2 π ω (a) X(ω) X(ω) 5 2 9 6 3 π π/2 π/2 π ω (b) 3 25 2 5 5 π π/2 π/2 π ω (c) Kuva 6.2.4. Itseisarvospektri yhtälön (6.2.8) sekvenssille, kun käytetään Hanning-ikkunaa, ja,2π,,22π ja,6π. (a) 25. (b) 5. (c). Yleisesti, taajuustason yhteys ikkunoidun sekvenssin ja alkuperäisen sekvenssin välillä on määritelty konvoluution avulla 2π (6.2.) Ikkunoidun sekvenssin DFT on spektrin näytteistetty versio. Siten

6 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) 2π 2π,,,, (6.2.) Taulukossa 6. on esitetty eräiden ikkunafunktioiden aikatason esityksiä ja taulukossa 6.2 niiden taajuustason ominaisuuksia. Kuvassa 6.2.5 on esitetty taulukon 6. mukaiset ikkunafunktiot. Taulukko 6.. Eräiden ikkunafunktioiden aikatason esityksiä. Ikkunatyyppi Suorakaide Aikatason sekvenssi, Bartlett Hanning Hamming Blackman 2 2 2π cos 2,54,46 cos 2π,42,5 cos 2π 4π,8 cos Taulukko 6.2. Eräiden ikkunafunktioiden taajuustason ominaisuuksia. Ikkunatyyppi Likimääräinen pääkeilan leveys Sivukeilan maksimi [db] Suorakaide Bartlett Hanning Hamming Blackman 2π 3 8π 27 8π 32 8π 43 2π 58.8.6.4 Suorakaide Bartlett Hanning.2 Hamming Blackman 2 4 6 8 Näyte Kuva 6.2.5. Eräiden ikkunafunktioiden aikatason esityksiä, kun. Viimeisin näytearvo on siis 99. Esimerkki 6.2. Eksponenttisignaalista,, otetaan näytteitä taajuudella 2 näytettä/sekunti ja näytteen joukkoa käytetään spektrin estimoinnissa. Määritä signaalin spektrin ominaisuudet laskemalla DFT äärelliselle sekvenssille. Vertaile diskreettiaikaisen katkaistun signaalin spektriä vastaavaan analogisen signaalin spektriin.

6.2 Signaalien taajuusanalyysi DFT:n avulla 6 Ratkaisu 6.2. Analogisen signaalin spektri 2π Analogisen eksponenttisignaalin näytteistys nopeudella 2 näytettä/sekunti johtaa sekvenssiin eli,95,,95, 99, muuten -pisteisen sekvenssin -pisteinen DFT,,,, Valitaan 2, jotta saadaan riittävän tarkka spektri. Tämä on sama asia kuin nollien ( kpl) lisääminen sekvenssin loppuun. Analogiasignaali ja sen itseisarvospektri ovat esitetty kuvissa 6.2.6(a) ja 6.2.6(b). Katkaistu signaali ja sen 2-pisteinen DFT (itseisarvo) ovat esitetty kuvissa 6.2.6(c) ja 6.2.6(d). Tässä tapauksessa DFT tarjoaa melko tarkan yhdennäköisyyden analogiasignaalin spektristä. Ikkunoinnin vaikutus ei ole kovin suuri. Toisaalta, jos ikkunafunktion pituudeksi valitaan 2. Katkaistu sekvenssi on siten,95, 9, muuten Tämän 2-pisteinen DFT on esitetty kuvassa 6.2.6(e). Tässä tapauksessa ikkunafunktion vaikutus nähdään selvästi. Leveän pääkeilan aiheuttaa leveä spektri-ikkuna. Sinimuotoisen värähtelyn pääkeilan ulkopuolella aiheuttaa puolestaan suorakaideikkunaspektrin suuret sivukeilat. Siten, DFT ei ole enää hyvä approksimaatio analogisen signaalin spektristä. x a (t ).8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 t (a) X a (F ).8.6.4.2 5 4 3 2 2 3 4 5 F (b)

62 6 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) x (n ).8.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 n 2 5 (c) X(k) 5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 k (d) 2 5 X(k) 5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 k (e) Kuva 6.2.6. Esimerkin 6.2. analogiasignaalin näytteistetyn version ikkunoinnin (katkaisun) vaikutus. (a) Analogiasignaali. (b) Analogiasignaalin itseisarvospektri, kun 5. (c) Diskretoitu signaali, kun 99. (d) -pisteinen DFT, kun ja 2. (e) -pisteinen DFT, kun 2 ja 2. MATLAB: fft, rectwin, bartlett, hann, hamming, blackman

63 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT) Edellisen kappaleen perusteella tiedetään, että DFT näyttelee tärkeää roolia monissa digitaalisen signaalin käsittelyn sovelluksissa, kuten lineaarinen suodatus, korrelaatio- ja taajuusanalyysi sekä tietoliikennesovellukset. Tämän takia DFT:n laskemiseen on kehitetty tehokkaita algoritmeja. Tässä esitellään tärkeitä laskennallisia algoritmeja, joita kutsutaan nopeiksi Fourier-muunnoksiksi. FFTalgoritmeja on olemassa useita. 7. DFT:n tehokas laskenta: FFT-algoritmit DFT:n laskennassa perusongelmana on laskea -pisteinen kompleksiarvoinen sekvenssi annetusta sekvenssistä, jonka pituus on, yhtälön mukaisesti missä,,,, (7..) (7..2) Sekvenssi on myös yleisesti kompleksiarvoinen. Samaan tapaan lasketaan myös IDFT,,,, (7..3) DFT:n suorassa laskennassa, jokaisen :nen arvon laskenta vaatii kompleksista kertolaskua (4 reaalista kertolaskua) ja kompleksista yhteenlaskua (4 2 reaalista yhteenlaskua). Siten DFT:n kaikkien :n arvon laskenta vaatii kompleksista kertolaskua ja kompleksista yhteenlaskua. Suora DFT:n laskenta on siten tehoton, koska se ei hyödynnä vaihetekijän symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksia. Ominaisuudet voidaan määritellä seuraavasti symmetria (7..4) jaksollisuus (7..5) Laskennallisesti tehokkaat algoritmit, kuten FFT, siis hyödyntävät näitä kahta vaihetekijän perusominaisuutta. 7.. DFT:n suora laskenta -pisteisen kompleksiarvoisen sekvenssin DFT voidaan esittää cos 2π sin 2π sin 2π cos 2π Yhtälöiden (7..6) ja (7..7) mukainen suora laskenta vaatii:. 2 trigonometrisen funktion laskentaa. 2. 4 reaalista kertolaskua. 3. 4 reaalista yhteenlaskua. 4. Lukuisasti datan haku- ja talletusoperaatioita. (7..6) (7..7)

64 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT) 7..2 Hajota ja hallitse -menetelmä DFT:n laskennassa Hajota ja hallitse -menetelmässä (eng. divide-and-conquer approach) pyritään hajottamaan -pisteinen DFT pienempiin osiin. Olkoon luku, joka voidaan hajottaa kahden kokonaisluvun tuloksi (7..8) Sekvenssi,, voidaan tallentaa nyt joko yksi- tai kaksiulotteiseen taulukkoon. Indeksi voidaan kuvata rivi-indeksiksi, missä, ja sarakeindeksiksi, missä. Yksi- ja kaksiulotteinen taulukko on esitetty kuvassa 7... 2 (a) rivi-indeksi Esimerkiksi kuvaus sarakeindeksi,,,,,, 2 2, 2, 2,,,, (b) Kuva 7... Indeksitaulukot. (a) Yksiulotteinen. (b) Kaksiulotteinen. (7..9) tallentaa sekvenssin taulukkoon rivi kerrallaan (eng. row-wise), kuten on esitetty kuvassa 7..2(a). Vastaavasti kuvaus (7..) tallentaa sekvenssin taulukkoon sarake kerrallaan (eng. column-wise), kuten on esitetty kuvassa 7..2(b). Lasketut DFT:n arvot voidaan tallentaa samalla tavalla. Kuvataan indeksi indeksipariksi,, missä ja. Siten riveittäinen (7..) sarakkeittainen (7..2) Valitaan nyt sekvenssille sarakkeittainen ja DFT:lle riveittäinen tallennus. Silloin,, Vaihetekijä voidaan sieventää Lisäksi tiedetään, että (7..3) (7..4)

7. DFT:n tehokas laskenta: FFT-algoritmit 65 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 Siten 2 (a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (b) Kuva 7..2. Datan tallennus. (a) Rivi kerrallaan,. (b) Sarake kerrallaan,.,,, Yhtälö (7..5) siis sisältää - ja -pisteisen DFT:n laskennan. Jaetaan laskenta kolmeen askeleeseen:. -pisteinen DFT (7..5),,, (7..6) kaikille riveille. 2. Uusi suorakaidematriisi,,, (7..7) kaikille riveille. 3. -pisteinen DFT,, kaikille, :n sarakkeille. (7..8) Edellä esitetty laskentamenetelmä näyttää monimutkaisemmalta kuin DFT:n suora laskenta. Jos kuitenkin tarkastellaan lähemmin yhtälön (7..5) laskentaa huomataan, että tarvittava laskentamäärä todellisuudessa pienenee. Ensimmäinen askel vaatii kompleksista kertolaskua ja kompleksista yhteenlaskua. Toinen askel vaatii kompleksista kertolaskua. Kolmas askel vaatii puolestaan kompleksista kertolaskua ja yhteenlaskua. Eli yhteensä

66 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT) Kompleksisia kertolaskuja: Kompleksisia yhteenlaskuja: 2 2 (7..9) Vastaavat luvut DFT:n suorassa laskennassa olivat: kompleksista kertolaskua ja kompleksista yhteenlaskua. Esimerkiksi, oletetaan, että ja valitaan siten 2 ja 5. DFT:n suorassa laskennassa tarvitaan siten kompleksista kertolaskua, kun taas esitetyllä menetelmällä 7. Eli vähennys on siten yli 4-kertainen. Esimerkki 7.. Havainnollistetaan edellä esitettyä laskentaproseduuria 5-pisteisen DFT:n laskennassa. Koska 535, valitaan 5 ja 3 eli 5-pisteisen sekvenssin tallennus tapahtuu sarakkeittain seuraavasti: Sarake Sarake 2 Sarake 3 Rivi :,, 5,2 Rivi 2:,, 6,2 Rivi 3: 2, 2 2, 7 2,2 2 Rivi 4: 3, 3 3, 8 3,2 3 Rivi 5: 4, 4 4, 9 4,2 4 Lasketaan seuraavaksi 3-pisteinen DFT kaikille viidelle riville. Siten saadaan 53 taulukko:,,,2,,,2 2, 2, 2,2 3, 3, 3,2 4, 4, 4,2 Seuraavaksi kerrotaan jokainen, :n termi vaihetekijällä, 4 ja 2. Laskennan tuloksena saadaan 53 taulukko:,,,2,,,2 2, 2, 2,2 3, 3, 3,2 4, 4, 4,2 Lopuksi lasketaan 5-pisteinen DFT kaikille kolmelle sarakkeelle. Tästä saadaan tuloksena haluttu DFT:,,,2 2, 3, 4,2 5 2, 6 2, 7 2,2 8 3, 9 3, 3,2 4, 2 4, 3 4,2 4 Vertaa tulo- ja lähtötaulukon arvoja keskenään. 7..3 Radix-2-FFT-algoritmi Hajota ja hallitse -tekniikka on tehokas menetelmä, kun voidaan jakaa tekijöihin (7..2) missä ovat alkulukuja. Tärkeä erikoistapaus on tilanne, jossa, jolloin (7..2) missä :ää kutsutaan FFT:n kantaluvuksi (eng. radix). Siten radix-2-algoritmi perustuu kantalukuun 2 eli kun 2. Tarkastellaan nyt hajota ja hallitse -menetelmää siten, että valitaan 2ja 2. Valinta

7. DFT:n tehokas laskenta: FFT-algoritmit 67 jakaa -pisteisen sekvenssin kahteen 2-pisteen sekvenssiin ja, jotka vastaavat parillisesti ja parittomasti numeroituja näytteitä sekvenssistä. Siten 2 parilliset (7..22) 2 parittomat Siten ja saadaan desimoimalla kertoimella 2 ja siksi FFT-algoritmia kutsutaan decimation-in-time -algoritmiksi. -pisteinen DFT on silloin,,,, (7..23) 2 2 Koska, yhtälö (7..23) saadaan muotoon (7..24),,,, missä ja ovat sekvenssien ja 2-pisteiset DFT:t. ja ovat jaksollisia (jakso 2) ja siksi 2 (7..25) 2 (7..26) Lisäksi vaihetekijä Siten yhtälö (7..24) voidaan esittää,,,, (7..27) 2 2,,,, (7..28) 2 Decimation-in-time voidaan toistaa sekvensseille ja. Siten tuottaa kaksi 4-pisteen sekvenssiä 2,,,, 4 (7..29) 2,,,, 4 ja vastaavasti 2,,,, 4 (7..3) 2,,,, 4 Laskemalla 4-pisteiset DFT:t, saadaan 2-pisteiset DFT:t ja seuraavasti

68 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT),,,, 4 (7..3) 4,,,, 4,,,, 4 (7..32) 4,,,, 4 missä ovat sekvenssien 4-pisteiset DFT:t. Sekvenssin decimation-in-time voidaan toistaa kunnes jaon jälkeen on jäljellä yhden pisteen sekvenssejä. Siten kun 2, desimointi voidaan toistaa log kertaa. Tällöin kompleksisia kertolaskuja tarvitaan 2log kappaletta ja kompleksisia yhteenlaskuja log kappaletta. Taulukossa 7. on esitetty FFT:n ja suoran DFT:n laskennassa tarvittavien kompleksisten kertolaskujen määrän vertailu. Taulukko 7.. FFT-algoritmin ja suoran DFT:n laskennassa tarvittavien kompleksisten kertolaskujen määrien vertailu. Pisteiden määrä Suora DFT:n laskenta FFT 2 log Suhteellinen nopeuden parannus 4 6 4 4, 6 256 32 8, 64 4 96 92 2,3 256 65 536 24 64, 24 48 576 5 2 24,8 Kuvassa 7..3 on esitetty 8-pisteisen DFT:n laskenta. Kuvasta 7..3 huomataan, että laskenta suoritetaan kolmessa vaiheessa alkaen neljän 2-pisteisen DFT:n laskennasta. Seuraavaksi lasketaan kaksi 4-pisteistä DFT:tä ja lopuksi yksi 8-pisteinen DFT. N N " N N $ N N # N! N % F EI JA E A,. 6 F EI JA E A,. 6 F EI JA E A,. 6 F EI JA E A,. 6 ; D @ EI JA J F EI JA EI A J,. 6 J ; D @ EI JA J F EI JA EI A J,. 6 J ; D @ EI JA J " F EI JA EI A J,. 6 J : : : :! : " : # : $ : % Kuva 7..3. 8-pisteisen DFT:n kolmivaiheinen laskenta. Kuvassa 7..4 on vastaavasti esitetty kombinaatio, missä pienistä DFT:stä muodostetaan suuri DFT, kun 8. Kuvassa 7..4 esiintyvä peruslaskentaoperaatio, mikä tehdään jokaisessa vaiheessa kahdelle kompleksiselle muuttujalle, on esitetty tarkemmin kuvassa 7..5. Tätä operaatiota kutsutaan perhoseksi.

7. DFT:n tehokas laskenta: FFT-algoritmit 69 N 8 = ED A 8 = ED A 8 = ED A! : N " 9 & : N 9 & : N $ 9 & 9 & :! N 9 & : " N # 9 & 9 & : # N! 9 & 9 & : $ N % 9 & 9 &! 9 & : % Kuva 7..4. 8-pisteinen decimation-in-time FFT-algoritmi. = ) = H 9 > H 9 H > * = 9 > Kuva 7..5. Decimation-in-time FFT-algoritmin perhoslaskenta. Lisäksi on huomattava tulosekvenssin järjestys, kun se desimoidaan kertaa. Jos tarkastellaan edellä esitettyä tapausta, missä 8. Ensimmäinen decimation-in-time tuottaa sekvenssin, jonka järjestys on, 2, 4, 6,, 3, 5, 7 ja vastaavasti toinen desimointi tuottaa sekvenssin, 4, 2, 6,, 5, 3, 7. 8-pisteisen sekvenssin desimointi on esitetty kuvassa 7..6(a). Kuvassa 7..6(b) on esitetty sekvenssin indeksi binäärisessä muodossa. Toisen desimoinnin jälkeen indeksin binäärinen esitysmuoto on bittikäännetyssä järjestyksessä (eng. bit-reversed order).

7 7 Nopea Fourier-muunnos (FFT) K EI JE I EJA K EI JE, = J= @ A? > E @ A I E E JE N N, = J= @ A I E E JE N N N N " N N " N! N! N $ N $ " N " N N # N # N! N # $ N $ N # N! % N % N % N % K E A HA I JO I * EJJE A JJO HA I JO I (a) (b) Kuva 7..6. 8-pisteisen sekvenssin desimointi. (a) Datan sekoitus (eng. shuffling). (b) Bittijärjestys. Toinen tärkeä radix-2-fft-algoritmi on decimation-in-frequency. Tässä tapauksessa hajota ja hallitse - menetelmää käytetään siten, että valitaan 2 ja 2. Tätä ei kuitenkaan käsitellä tässä yhteydessä.

Lähteet J.G. Proakis and D.G. Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, 4 th edition, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, USA, 27, 948 p.