9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä. Ne vahvistivat valon aaltoliikkeeksi. Youngin interferenssikoe on merkittävä myös siksi, että siinä interferenssikokeen tyypilliset piirteet tulevat esille yksinkertaisessa muodossa. Young itse käytty kokeissaan neulalla tehtyjä pieniä reikiä, mutta yhtä hyvin voidaan käyttää kapeita rakoja, jolloin palloaaltojen asemasta saadaan sylinterimäiset aaltorintamat. Koejärjestely on seuraavan kuvan mukainen: varmistaa, että tuottaa vaihe-eron j0 - j01 = 0 k( r - r1) Vasemmalta rakoon S (slit) saapuu monokromaattista valoa. Rako toimii sylinterimäisten aaltorintamien lähteenä ja valaisee raot S 1 ja S yhtä voimakkaasti. Siis S 1 ja S ovat yhtä kaukana raosta S. Ne ovat myös yhtä leveitä. Raot S 1 ja S toimivat kokeen varsinaisina lähteinä. Edellä esitetty järjestely varmistaa sen, että alunperin molemmat lähteet saavat
30 valonsa yhdestä ja samasta lähteestä (raosta S). Näin vaihe-ero j0 - j01 (kaavassa 10.1.8) säilyy vakiona, ja lähteet S 1 ja S ovat keskenään koherentteja. Rakojen S 1 ja S välimatka on a ja varjostin on etäisyydellä s. Valon irradianssia tarkastellaan varjostimella pisteessä P, joka on etäisyydellä y systeemin symmetria-akselista (ks. kuva). Piste P näkyy kulmassa q rakojen keskikohdasta katsottuna ja aaltojen matkat lähteistään pisteeseen P ovat SP= r ja S 1 P= r 1. Optinen matka Optiikassa ns. optinen matka määritellään tulona nr, missä r on absoluuttinen matka ja n sen väliaineen taitekerroin, jossa matka "tapahtuu". Kun matkat mitataan optisina matkoina, vältytään miettimästä aallonpituuden muuttumista, kun siirrytään väliaineesta toiseen (katso esimerkki tuonnempana). Kaikissa laskuissa voidaan käyttää tyhjiöaallonpituutta. Interferenssitarkasteluissa käytetään aina optisia matkoja. Youngin koejärjestelyssä varjostin on kaukana rakojen välimatkaan verrattuna, ts. s? a. Kuviosta säteiden S P ja S 1 P väliseksi optiseksi matkaeroksi D= n( r - r1) = r - r1 (koe tehdään ilmassa, jossa n» 1) tulee y D» asinq» a. s Tätä matkaeroa vastaa vaihe-ero d = k( r - r1) = kd: p d = p ay l D= ls. Tässä siis aallonpituus on tyhjiöaallonpituus l = l0. Irradianssiksi pisteessä P saadaan (ks. 10.1.8) I= I + I + II cosd, 1 1 ja koska koejärjestelyssä varmistettiin, että IS1 = IS = I0 (kontrasti on paras mahdollinen), tulee
31 I = I + I + I I cosd = I (1 + cos d). 0 0 0 0 0 Edelleen trigonometrisella kaavalla I = 4I0 cos ç 1+ cosd = cos ( d) saadaan 1 æpay ö è ls ø. (10..1) Viereisessä kuvassa irradianssi on piirretty symmetria-akselista mitatun etäisyyden y funktiona: Kuviossa havaitaan maksimit, kun cos ( d / ) = 1 ts. kun d /= mp eli p ay mp l s =, josta (max) ls ym = m, m= 0, ± 1, ±, K a Sama tulos maksimeille saadaan myös asettamalla optinen matkaero aallonpituuden monikerraksi, jolloin aallot vahvistavat toisiaan: y (max) ls D= mlþ a = mlþ ym = m. s a 1 Vastaavasti minimit saadaan, kun D = ( m + ) l. Tuloksessa (10..1) tämä tarkoittaa josta y cos ( d / ) = 0, ts. d / = ( m + 1/ ) p, eli (min) 1 m p ay ( m 1/ ) p l s = + ls = ( m+ ), m= 0, ± 1, ±, K a
3 Varjostimella havaittava interferenssikuvio on siis joukko rakojen suuntaisia juovia, joiden välimatka on ls Dy = ym +1 - ym =. a Kuviosta juovien välimatka Dy voidaan mitata ja jos esimerkiksi rakojen välimatka a ja varjostimen etäisyys s tunnetaan, valon aallonpituus voidaan laskea. Edellisessä koejärjestelyssä ensimmäinen rako S varmisti raoista S1 ja S saatavien säteiden keskinäisen koherenttisuuden. Rako S voidaan kuitenkin jättää pois, jos rakoja S1 ja S valaistaan laserilla. Laservalo on tunnetusti hyvin monokromaattista ja ennen kaikkea hyvin koherenttia. Alla laserilla toteutettu koe: ------------------------------------------------Esimerkki: Osoita, että valon edetessä materiaalissa, jonka taitekerroin on n, aallonpituuden poikkeaminen tyhjiöaallonpituudesta voidaan kompensoida käyttämällä absoluuttisen matkan sijasta optista matkaa. Ratkaisu: Tarkastellaan absoluuttista matkaa L ja lasketaan montako aallonpituutta l kyseiseen matkaan sisältyy: L L nl = =, missä l0 on tyhjiöaallonpituus l l0 / n l0 -------------------------------------------------
33 ei tätä ------------------------------------------------Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on 0, mm ja varjostin on 1 m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi? b) Laske minimin etäisyys keskimaksimista. c) Kirjoita lauseke interferenssikuvion irradianssille, kun osaaaltojen irradianssien suhde on valittu siten, että kuvion kontrasti on 0,8 (ks. esimerkki sivulla 8). Ratkaisu: Irradianssi varjostimella: I = I1 + I + I1I cos d a) Maksimit, kun cos d = 1 eli d = m p Keskimaksimi, kun m = 0 eli d = 0 Minimit, kun cos d = -1 eli d = (m + 1 ) p 1. minimi, kun m = 0 eli d = p Koejärjestelyn geometriasta saadaan optinen matkaero D» a sin q» aq, josta edelleen vaihe-ero d= k D= p aq / l. Asetetaan nyt tämä vaihe-ero vastaamaan 1. minimin vaihe-eroa p aq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista 0,094 astetta l 658 10-9 m = = 0,001645 rad» 1,65 mrad q= a 0, 10-3 m b) y (min) = q s = 0,001645 1 m = 1,645 10-3 m» 1,65 mm c) I1 = 4 I (sivu 180), joten I = 5I + 4 I cos d, missä p p ay p 0, 10-3 m aq = = y d = kd = -9 l l L 658 10 m 1m 1ö æ = ç 1910 y mø è -------------------------------------------------
34 10.3 INTERFERENSSI VIRTUAALISILLA LÄHTEILLÄ Youngin kokeessa interferenssikuvio syntyi kahdesta konkreettisesta (oikeasta) lähteestä, S1 ja S, tulevien säteiden interferoidessa. On myös mahdollista, peilien tai prismojen avulla, luoda koejärjestely, jossa lähteet S1 ja S ovat eri paikoissa olevia yhden lähteen S kuvia (virtuaalisia lähteitä). Näin esimerkiksi varmistuu automaattisesti lähteiden keskinäinen koherenttisuus. Tarkastellaan muutamia esimerkkejä: Lloydin peilikoe Lloydin koejärjestely muodostuu yhdestä oikeasta lähteestä, joka on kapea rako S, yhdestä tasopeilistä MM' ja varjostimesta (screen). Rakoa S valaistaan monokromaattisella valolla. Osa raosta tulevasta valosta menee suoraan varjostimelle ja osa heijastuen peilin kautta. Varjostin "näkee" kaksi rakoa S ja S' (kuvan mukaisesti) ja interferenssikuvio syntyy samoin kuin Youngin kokeessa. Kaavassa (10..1) rakojen välimatka a on kaksinkertaisesti raon S kohtisuora etäisyys peilistä.
35 Fresnelin kaksoisprismakoe Koejärjestely esitetty viereisessä kuvassa: Yhdestä todellisesta lähteestä S lähtevä valo taittuu kahdessa prismassa niin, että varjostin näkee kaksi virtuaalista lähdettä S1 ja S. Käytännössä prismojen taittavat kulmat (a ) ovat vain muutamia asteita. Kuvaan piirretyn säteen deviaatiokulma on siten hyvin approksimoitavissa kaavalla d m = a (n - 1). Toisaalta kuvan geometriasta näemme, että d m = (a / ) / d. Yhdistämällä nämä saamme a = d d m = da ( n - 1). Varjostimella maksimien paikat ym(max) saadaan nyt suoraan Youngin kokeen tuloksesta, kunhan vielä korvaamme rakojen ja varjostimen etäisyyden s uudella etäisyydellä ( s + d ) : ym(max) = m l (s + d ). da ( n - 1) (10.3.1)
36 ------------------------------------------------Esimerkki: Fresnelin kaksoisprisman (n = 1,50) ja kapean raon S välimatka on d (kuva). Raon kautta prismaa valaistaan Na-lampulla, jonka aallonpituus on 589,3 nm. Interferenssikuvio muodostuu varjostimelle, joka on kaksi kertaa niin kaukana kuin rako S. Interferenssikuviosta peräkkäisten maksimien välimatkaksi mitataan 0,03 cm. Laske kaksoisprisman taittava kulma a. Ratkaisu: Maksimien välimatkaksi laskemme (10.3.1):n avulla l (s + d ) (max) Dy (max) = ym(max) y =. m +1 da (n - 1) Tässä l = 589,3 10-9 m s + d = d + d = 3d n - 1 = 0,50 Dy (max) = 0,03 10- m ja lasketaan 3l l (s + d ) a= = = 0,005893 rad (max) (max) d Dy (n - 1) (n - 1) Dy = 0,3376 = 0,3' -------------------------------------------------
37 10.4 INTERFERENSSI OHUESSA KALVOSSA Värien leikki esimerkiksi öljyisellä vedenpinnalla tai saippuakuplissa on eräs jokapäiväinen interferenssin ilmenemismuoto. Kysymyksessä on valon interferenssi ohuessa läpinäkyvässä kalvossa tai kerroksittaisissa kalvoissa. Tarkastellaan ohutta läpinäkyvää kalvoa tasomaisen lasisubstraatin päällä (kuva). Valon säde osuu kalvon pintaan pisteessä A ja jakautuu kahteen osaan, heijastuneeseen säteeseen ja taittuneeseen säteeseen. Tässä siis alkuperäinen (yhden lähteen) säde jaetaan kahteen osaan, jotka sitten myöhemmässä vaiheessa yhdistyvät interferoiden. Tässä kokeessa jakautuminen on ns. amplitudin jakautuminen. Toinen jakautumisen tyyppi, ns. aaltorintaman jakautuminen, tapahtuu esimerkiksi Youngin kokeessa. Kokeessa taittunut säde heijastuu kalvo-substraatti rajapinnasta, pisteestä B, ja poistuu kalvosta pisteessä C, heijastuneen säteen suuntaisena. Kaksi paralleelia sädettä yhdistetään pisteeseen P esimerkiksi linssillä (vaikkapa silmän linssillä), jolloin ne interferoivat.
38 Aina säteen kohdatessa rajapinnan tapahtuu sekä heijastuminen, että taittuminen. Kalvon sisällä tapahtuu siis moninkertaisia heijastumisia (kuva) ja yläpinnasta tulee ulos suuri joukko säteitä. Moninkertaisesti heijastuneiden säteiden irradianssi heikkenee kuitenkin nopeasti heijastuskertojen lisääntyessä. Ilmiönä interferenssi ohuessa kalvossa ymmärretään hyvin tutkimalla vain pisteistä A ja C lähteviä säteitä. Tarkka kvantitatiivinen analyysi vaatii tietysti kaikkien säteiden huomioon ottamista. Itseasiassa tarkasti koetulokset selittävää mallia ei sädemallilla voida rakentaa ollenkaan, vaan on tarkasteltava kalvo-substraatti-systeemiä kokonaisuutena Maxwellin yhtälöitä soveltaen. Tarkastellaan nyt tilannetta yksinkertaisen mallin avulla. Kuvassa alla on esitetty yksityiskohtaisesti säteiden käyttäytyminen pisteiden A, B ja C ympäristössä. Säde tulee kalvon pintaan pisteeseen A tulokulmalla q i, mikä on samalla heijastuneen ja loppujen lopuksi myös kalvon kautta kiertäneen säteen lähtökulma.
39 Pinnasta poistuvien säteiden optinen matkaero D on säteiden optisten matkojen erotus pisteestä A tasolle DC, siis D= n f ( AB + BC) -n0 ( AD) ( ABn ) f ( ADn ) 0 Kuvan geometriasta on helppo laskea: t ( AB) = cosq t ( AC) = ( AB)sinq = t t sinqt cosq = -. t n i t f t sin sin sin ( AD) = q q q ( AC)sinq = i t t cosq = n cosq, joista viimeisessä käytettiin taittumislakia n0 sinqi = nf sinqt. Optiseksi matkaeroksi tulee nt f nt f sin qt nt f nt f (1 sin qt) cos qt qt qt qt D= - = - = qt, cos cos cos cos josta lopulta t 0 D= ntcosq. (10.4.1) f Tässä optinen matkaero D on esitetty yksinkertaisuuden vuoksi taitekulman q t avulla. Kyseinen kulma saadaan helposti laskemalla tulokulmasta q i taittumislain avulla. Kun säde tulee pintaan kohtisuorasti, pätee qi = qt = 0 ja (10.4.1) antaa D= nt f, kuten on odotettavissakin. Seuraavaksi, interferenssitarkastelussa, optinen matkaero D muutetaan vastaavaksi vaihe-eroksi d = kd. Tässä k = p / l on laskettava käyttäen tyhjiöaallonpituutta, koska matkaero annetaan nimen omaan optisena matkaerona. Esitetyn kaltaisessa kokeessa säteiden vaihe-eroon vaikuttaa eräs toinenkin tekijä, nimittäin säteen vaiheen hyppäyksellinen muuttuminen heijastuksessa. Tavallinen "hokema" on, että säde, heijas- t t
40 tuessaan optisesti tiheämmästä väliaineesta kokee p :n vaihesiirron. Todellisuudessa asia ei ole aivan näin yksinkertainen, vaan säteen eri polarisaatiokomponentit kokevat erilaisia vaihesiirtoja. Asia menee monimutkaiseksi, mutta nytkin käyttämällä p :n vaihesiirtoa saadaan kvalitatiivisesti hyviä tuloksia. Olkoon nyt d optisesta matkaerosta tuleva vaihe-ero ja d r heijastuksissa syntyvä vaihe-ero. Kokonaisvaihe-ero on d + d r ja interferenssin laskukaava (10.1.8) on muotoa I = I1 + I + I1I cos(d + d r ). Heijastuneessa valossa havaitaan vahvistumista (ns. konstruktiivinen interferenssi) tai heikkenemistä (ns destruktiivinen interferenssi) riippuen vaihe-erosta seuraavasti: konstruktiivinen interferenssi: d + d r = mp destruktiivinen interferenssi: d + d r = ( m + 1 )p (10.4.) (10.4.3) Näissä m on kokonaisluku: m = 0, ±1, ±,K Myöhemmin tarkemmassa analyysissä tulemme havaitsemaan, että heijastuneessa valossa irradianssit I1 ja I ovat suurin piirtein samat, ts. I1» I = I 0. Tällöin heijastunut kokonaisirradianssi on I = I 0 [1 + cos(d + d r )] ja esimerkiksi destruktiivisen interferenssin tapauksessa I = 0, eli heijastumista ei tapahdu ollenkaan. ------------------------------------------------Esimerkki: Lasisubstraatin ( n = 1,50 ) päällä olevaa ohutta öljykalvoa (nf = 1,30) valaistaan valkoisella valolla kohtisuoraan yläpuolelta. Havaitaan, että heijastuneesta valosta puuttuvat aallonpituudet 55 nm ja 675 nm. Laske öljykalvon paksuus ja kyseisten destruktiivisten interferenssien kertaluvut (siis m:n arvot).
41 Ratkaisu: Kalvoa valaistaan suoraan ylhäältä, joten qi = qt = 0 ja optiseksi matkaeroksi tulee D = n f t, missä t on kalvon paksuus. Tästä aiheutuva vaihe-ero on d = k D. Säde (1) pisteesa A heijastuu optisesti tiheämmästä väliaineesta, joten se kokee p :n vaihesiirron. Mutta, samoin käy säteelle () sen heijastuessa pisteestä B. Vaihesiirrot kumoutuvat (tai summautuvat p :ksi, joka on sama asia) ja heijastuksien osuus vaihe-eroon voidaan kirjoittaa d r = 0. Kokonaisvaihe-ero on p n f t d + dr = l ja kun tämä asetetaan toteuttamaan destruktiivinen interferenssi, saadaan l p (m 1 ) p Þ t =+ (m 1 ) n f t =+. l n f Tämän on toteuduttava kahdelle aallonpituudella: l1 = 55 nm kokonaisluvun arvolla m1 ja l = 675 nm kokonaisluvun arvolla m, joilla siis 55 nm 675 nm 675 = (m + 1 ) Þ ( m1 + 1 ) = (m + 1 ) t = (m1 + 1 ),60,60 55 Tästä nähdään, että m1 > m ja kokeilemalla m = 0 Þ m1 = 0.14857... (ei käy) m = 1 Þ m1 = 1.48571... (ei käy) m = Þ m1 =.71485... (ei käy) m = 3 Þ m1 = 4,0000 (nyt tärppäsi) Kalvon paksuus: 55 nm 675 nm t = (4 + 1 ) = (3 + 1 ) = 908,65nm» 0,909 m m,60,60 ------------------------------------------------Seuraava pari: m=10 ja m1=13, joista t = noin,7 mikrometriä. Tämä ei käy, koska tällä paksuudella puuttuu muitakin näkyvän alueen aallonpituuksia. (Mieti tämä)
4 ------------------------------------------------Esimerkki: Kiilamainen ilmarako Kaksi lasilevyä asetetaan päällekkäin viereisen kuvan mukaisesti. Levyt koskettavat toisiaan toisesta reunasta ja toiseen reunaan on asetettu esimerkiksi hius pitämään levyjä erillään. Levyjen väliin muodostuu kiilamainen ilmarako. Systeemiä valaistaan ylhäältä valolla, jonka aallonpituus on l. Etäisyyden x kasvaessa kalvon paksuus t kasvaa ja heijastuneessa valossa havaitaan vuorotellen kirkkaita ja tummia juovia interferenssin seurauksena (kuva). Laske millä etäisyyksillä x havaitaan kirkkaat juovat sekä peräkkäisten kirkkaiden juovien väli. Ratkaisu: Tarkastellaan tilannetta etäisyydellä x, jossa kalvon paksuus on t (kuva). Valo tulee lähes kohtisuorasti ja voidaan hyvin approksimoida qi = qt = 0. Optinen matkaero D = n0t ja sitä vastaavaksi vaihe-eroksi tulee p æ n t ö D = p ç 0. d= l è l ø Heijastusten vaihesiirrot: - jos n0 < n Þ p :n vaihesiirto B:ssä - jos n0 > n Þ p :n vaihesiirto A:ssä Joka tapauksessa d r = p ja kokonaisvaiheeroksi tulee