π yd cos 2 b) Osoita, että lauseke intensiteetille sirontakulman funktiona on I

Transkriptio

1 PHYS-A140 Aineen rakenne C34 1. Monokromaattinen valo kulkee kaden vierekkäisen raon läpi. Rakojen takana olevalla varjostimella avaitaan valoisia ja mustia juovia. Rakojen välimatka d on samaa suuruusluokkaa kuin valon aallonpituus l. Rakojen etäisyys L varjostimesta on paljon suurempi kuin rakojen välimatka. Avuksi: Oleta valo säkömagneettiseksi aalloksi, jonka säkökenttä värätelee armonisesti (E = E p sin(wt)) vain ydessä tasossa. a) Määritä millaisiin kulmiin saadaan intensiteetin maksimit b) Osoita, että lauseke intensiteetille kuljettaessa varjostimella valoisia viiruja vastaan kotisuoraan suuntaan on I = 4I o cos π yd Lλ, kun y on etäisyys rakojen keskipisteen kodalta varjostimella. C35. Paraiden olosuteiden vallitessa ilmakeässä tapatuvat virtaukset rajoittavat maanpinnalla toimivan kaukoputken erotuskyvyn noin yteen kulmasekuntiin (1/3600 astetta). Määritä millaisen rajan jälkeen maan pinnalla toimivan kaukoputken aukon kasvattaminen ei enää paranna teleskoopin erotuskykyä, jos käytetään 550 nm:n valoa. Miksi parempien kuvien saamiseksi kaukoputki on rakennettava avaruuteen? 3. Monokromaattinen valo kulkee kapean raon läpi läpi. Raon takana olevalla varjostimella avaitaan valoisia ja mustia juovia. Raon leveys on D ja se on samaa suuruusluokkaa kuin valon aallonpituus l. Raon etäisyys L varjostimesta on paljon suurempi kuin rakojen välimatka. a) Määritä millaisiin kulmiin saadaan intensiteetin minimit sin π D b) Osoita, että lauseke intensiteetille sirontakulman funktiona on I π D C Määritä kuinka kauan kestää a) Maan ja b) avaruusaluksen mukaan mitattuna avaruusaluksen matka Maasta Plutoon (5, km), jos aluksen nopeus on 68% valon nopeudesta. 5. a) Osoita, että liikemäärän lausekkeesta p = γ mu ja energian lausekkeesta E = γ mc voidaan jotaa energian ja liikemäärän ydistävä lauseke E = (m c ) + p c. b) Määritä edellisen perusteella lauseke massattoman iukkasen liikemäärälle. C Arvioi 100 kv kiidytysjännitteellä toimivan elektronimikroskoopin teoreettinen resoluutio. 7. Joda Comptonin sironnassa avaittava aallonpituuden muutoksen lauseke olettamalla fotonin törmäävän elektroniin täysin kimmoisasti. Δλ = ( 1 cosθ ) mc

2 PHYS-A140 Aineen rakenne Esimerkkitetävien ratkaisuja 1. Valoa kuvaa säkökenttä, jonka oletetaan polarisoiduksi, eli se värätelee vain ydessä tasossa. Tällöin riittää käsitellä säkökenttää vektorin sijasta skalaarina. Molemmista raoista tulee säkömagneettinen aalto, jolla on sama amplitudi (ja intensiteetti) E o. Tarkastellaan varjostimelle osuvia säteitä (säkökenttiä) pisteessä P. Raosta 1 saadaan säkökenttä E 1 = E o sin(wt) ja raosta säkökenttä E = E o sin(wt+f) Koska säteet kulkevat iukan eri pituiset matkat varjostimelle, niiden välisestä matkaerosta syntyy pieni vaie-ero f. Matkaeroksi avaitaan kuvasta x d sinq. a) Vavistava interferenssi saadaan, kun matkaero on aallonpituuden monikerta d sinq = nl b) Koska rako on kaukana avaintopisteestä, kulma q on pieni. Tällöin pätee sinq» tanq ja tanq y/l => x yd/l. Vaie-ero π vastaa matkaeroa l, joten vaie-eroa f vastaa matkaero lf/p => x lf/p => f = p yd/ll. Vaie-ero saatiin siis määritettyä geometrian avulla. Superpositionperiaatteen perusteella kentät pisteessä P voidaan laskea yteen: E = E o sin(wt) + E o sin(wt+f). Matematiikasta tiedämme että: sina + sinb = sin[½(a+b)] cos[½(a-b)] => E = E o { sin[½(wt+wt+f)] cos[½(wt-wt-f)]} = E o sin(wt+f/) cos(-f/) Kuten oppikirjan luvussa 31-8 on esitetty keskimääräinen intensiteetti ydelle säteilijälle on S o = ce o sin (ωt) = 1 ce o Kaden säteilijän superpositiolle [ ] => S = c E o cos(φ / )sin(ωt + φ / ) S = c( E o ) cos (φ / ) sin (ωt + φ / ) = 1 4 ce o cos (φ / ) = 4 1 ( ce o )cos (π yd Lλ ) Kun vielä todetaan, että symboleilla S ja I merkitään samaa suuretta, saadaan jodettavaksi annettu lauseke I = 4I o cos π yd Lλ Tästä lausekkeesta tedään kolme uomiota: 1. Merkintä tarkoittaa luvun keskiarvoa, ei vektoria.. Kulmasuluilla tety merkintä <f> tarkoittaa funktion f keskiarvon laskemista. 3. Sinifunktiosta tiedetään, että <sin x> = ½)

3 PHYS-A140 Aineen rakenne. Ilmiö: Optisen laitteen erotuskykyä rajoittaa käytetyn aukon koko, kaukoputkessa aukko on kaukoputken linssin (objektiivi) käytettävissä oleva alue. Määritelmät: Rayleigin eto pyöreän aukon erotuskyvylle on q min = 1, l/d. Ratkaisu: Ilman liikkeestä jotuva erotuskyky on q min = 1/3600 = 4, rad Tätä vastaava kaukoputken aukko olisi D = 1,l/q min 13,8 cm. Tätä suurempien kaukoputkien resoluutiota ei siis rajoita diffraktio vaan ilman liike. 3. Mallitetaan rakoa suurella määrällä identtisiä säteilyläteitä Huygensin periaatteen mukaisesti. Jokainen läde säteilee palloaaltoa. Tarkastellaan intensiteettiä niin kaukana raosta, että läteviä säteitä voidaan pitää ydensuuntaisina. a) Raon ääripäistä lätevien säteiden matkaero on kuvan mukaan D sinθ. Kun tuo matkaero vastaa aallonpituuden monikertaa, raon eri osista läteneet aallot kumoavat toisensa ja saadaan intensiteettiminimi. D sinθ = nl, missä n on kokonaisluku b) Kuvataan valoa värätelevällä säkökentällä, kuten L1:ssä. Koko raosta tulee intensiteetti, jota vastaa säkökenttä E o. Jokainen raon osa (leveys dy) läettää säkökentän, jonka amplitudi on (E o /D) dy. Varjostimella avaitaan jokaisesta dy:n kokoisesta osasta aalto (E o /D) sin[ωt+f(y)]dy. Koska matkaero on erilainen raon eri kodista, myös varjostimella avaittu vaie-ero on erilainen, siksi merkintä f =f(y). Valitaan kodaksi y=0 raon keskipiste, jolloin rako ulottuu D/:sta D/:een. Korkeudelta y lätevän säteen ja keskeltä rakoa lätevän säteen matkaero on x = y sinθ. Tämä on sitä suurempi, mitä kauempana ollaan raon keskipisteestä. Matkaero voidaan muuttaa vaie-eroksi kertomalla se π /λ:lla, kuten L1:n tetävässä => f(y) = π y sinθ /λ. Jotta saadaan koko raon läettämä aalto määritettyä, pitää laskea raon eri osista läteneet aallot yteen. D/ E o Näin saadaan lauseke E = sin ωt + φ ( y ) D dy => E = D sin ωt + π λ ysinθ dy. D/ D/ Tämä integraali voidaan laskea useammallakin tavalla. Matematiikasta tiedämme että: sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa => E = E o D D/ D/ sin( ωt)cos π λ ysinθ + sin π λ ysinθ cos( ωt) dy D/ => E = E o sin ( ωt ) D cos π λ ysinθ dy + E o cos ( ωt ) D sin π λ ysinθ dy D/ D/ Ratkaistaan tämä* käyttäen Wolfram Alfaa (tai jotain muuta sopivaa ojelmistoa) kirjoittamalla sivulla ttp:// olevaan ikkunaan integrate (cos((*pi/l)ysin(q))+sin((*pi/l)ysin(q)))dy from -D/ to D/ λ Saadaan tulokseksi: E = E o π Dsinθ sin π D sin( ωt), kun muistetaan, että cscθ = 1/sinθ Tämän jälkeen voidaan laskea intensiteetti S o = 1 ce o λ S o = 1 c E o π Dsinθ sin π D D/ D/ sin π D => I π D E o *Integraalit voidaan ratkaista myös käsin merkitsemällä ja integroimalla jäljelle jääneet yksinkertaiset sin(x) ja cos(x) funktiot.

4 PHYS-A140 Aineen rakenne 4. Ajan pituus riippuu avaitsijan liiketilasta. Maan mukaan mitattuna (järjestelmä S, jossa Pluton nopeus on pieni ja tapatuman alku tapatuu Maassa ja päättyminen Plutossa) saadaan eri tulos kuin suurella nopeudella kulkevassa avaruusaluksessa (järjestelmä S, jossa matkan alkaminen ja päättyminen tapatuvat avaruusaluksessa, eli samassa paikassa). a) Ratkaisu: t = x/v 7,9 b) Koska avaruusaluksen mukaan matkan alku ja loppu tapatuvat samassa paikassa, aika on itseisaika ja se on lyin madollinen aika näiden tapatumien välillä. Lausekkeet ja ratkaisu: Δ t = Δt 1 v /c 5,8. 5. a) Lädetään liikkeelle annetuista lausekkeista p = γ mu ja E = γ mc ja jaetaan ne keskenään => p/e = u/c Tästä saadaan pc/e = u/c tai p c /E = u /c Ratkaistaan u/c lausekkeesta γ = 1/ 1 u /c => u / c = 1 1/γ => p c /E = 1 1/γ Energian lausekkeesta saadaan γ = E/mc => p c /E = 1 (mc /E) => p c = E m c 4 => E = (m c ) + p c b) Kun m = 0 => E = p c => p = E/c 6. Periaatteet: Resoluutio määräytyy käytettävästä aallonpituudesta, aallonpituutta pienempiä koteita ei pysty avaitsemaan. Elektroni kiidytetään jännitteellä V, jolloin liike-energian muutos on työperiaatteen mukaan K = W. Kiidytysjännitteen tekemä työ W = qv. Oletetaan, että elektronin nopeus ennen kiidyttämistä on niin pieni, että ratkaisun kannalta voidaan kirjoittaa K alussa 0. Näin saadaan liike-energiaksi K = qv Toisaalta K = mc (γ-1), kun γ = 1/ 1 v / c tai v = c 1 1/γ Elektronin liikemäärä p = γmv ja de Broglie aallonpituus λ = / p Ratkaisu: mc (γ-1) = qv => γ = mc + qv mc => v = c 1 λ = γ mv = mc mc + qv mc + qv mc mc 1 mc mc + qv = c 3,7 pm ( qv ) + qvmc Todellisuudessa resoluutio on selvästi tätä eikompi. Esimerkikis Aalto-yliopiston Nanomikroskopiakeskuksen 10 kv:n TEM:illä se on noin 500 pm (ttp://nmc.aalto.fi/en/instruments/tem/tecnai-1/) Jos tetävän ratkaisee ilman suteellisuusteoriaa, aallonpituudeksi saa λ = qvm arviona on ytä yvä suteessa todelliseen resoluutioon kuin tarkemmin laskettu. 3,9 pm, joka

5 PHYS-A140 Aineen rakenne 7. Massaton iukkanen (fotoni) törmää täysin kimmoisasti elektroniin. Törmäys esitetty kuvassa. Periaatteet: liikemäärä ja liike-energia säilyvät kimmoisassa törmäyksessä Lausekkeet: Elektronin energia suteellisuusteorian mukaan E e = (m e c ) + p e c Fotonin energia E = f, liikemäärä p = E / c ja aallonpituus λ = c / f Ratkaisu: Liikemäärälle: p = p e + p' => (kosinilause) p e = p + p p p cosθ Energialle: E fotoni + E alussa e = E lopussa fotoni + E e => f + m e c = f + E e => E e = f - f + m e c = c(p p ) + m e c => E e = [c(p p ) + m e c ] => m e c 4 + p e c = [c(p p ) + m e c ] => m e c 4 + p c + p c p p c cosθ = c (p p ) + m e c 4 + (p p ) m e c 3 p + p p p cosθ = (p p ) + (p p ) m e c p + p p p cosθ = p + p p p + (p p ) m e c (p p ) m e c = p p - p p cosθ (f/c f /c) m e c = f f /c (1 cosθ) (c/λ c/λ ) m e = c /(λ λ c ) (1 cosθ) (λ λ /λ λ λ /λ ) c m e = (1 cosθ) => λ λ = (1 cosθ) / m e c λ p E e p e φ θ p' λ