I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue (875 94) mitt j integrli-kurssi I.. Eräs pint-l Olkoon > j A = {(x, y) R 2 x, y x 2 }. Olkoon n N. Jos joukolle A voidn määritellä pint-l S(), niin k n S() K n, missä (kuvion mukn) K n = ulkomonikulmion l j k n = sisämonikulmion l. ( ) 2 ( 2 ) 2 K n = n n + n ( n n +... + n = 3 n 3 (2 + 2 2 +... + n 2 ) = 3 n 3 i= i 2 ) 2 n k n = 2 ( ) 2 n + ( (n ) ) 2 n n +... + n n = 3 n n 3 Merkitään S k (n) = k + 2 k +... + n k = S 3 (n + ) = + i= i k, kun n, k N. Tällöin i= (i + ) 3 = + i= i 3 + 3 i= = S 3 (n) + (n + ) 3 = + S 3 (n) + 3S 2 (n) + 3S (n) + n i 2 i 2 + 3 i= i + i= = 3S 2 (n) = (n + ) 3 (n + ) 3S (n) = (n + )(n 2 + 2n) 3 2n(n + ) = (n + )n(n + 2 ) = 2n(n + )(2n + ) = S 2 (n) = n(n + )(2n + ) 6 i= Siis K n = 3 n 3 6 n(n + )(2n + ) = 6 3( + n k n = 3 n 3 6 (n )n(2n ) = 6 3( n )( 2 + ) n )( 2 ) n n n 3 3, 3 3. Nyt k n S() K n kikill n N = S() = 3 3. Huom. S (x) = x 2 kikill x >.
I.2. Riemnnin integrli Olkoon < b,, b R. Välin = [, b] jko on äärellinen joukko D = {x,..., x n }, missä = x < x <... < x n = b (x k on jkopiste). Merkitään: k = [x k, x k ] D:n jkoväli j l( k ) = x k x k k :n pituus (k =, 2,..., n). Jko D on D:n lijko (eli tihennys), jos D D. 2.. Huom. ) D = {, b} D jokisell :n joll D. 2) Jos D j D 2 ovt :n jkoj, niin niillä on yhteisiä lijkoj eli sellisi jkoj D, että D D, D 2 D (esim. D = D D 2 ). Olkoon f: R rjoitettu funktio j D = {x,..., x n } välin jko. Merkitään G k = G k (f) = sup{f(x) x k } j g k = g k (f) = inf{f(x) x k } (k =,..., n) (f rjoitettu = G k, g k R kikill k) sekä yläsumm S D = S D (f) = G k l( k ) j lsumm s D = s D (f) = 2.2. Huom. ) g k G k = s D S D. 2) Jos f(x) x, S D j s D ovt eräiden monikulmioiden pint-loj. g k l( k ). 2.3. Lemm. D D = S D S D j s D s D. Tod. Olkoon D = D {y}, missä x k < y < x k. Tällöin väliä k = [x k, x k ] vstvt D :n jkovälit k = [x k, y] j k = [y, x k], j G k = sup{f(x) x k} sup{f(x) x k } = G k, G k = sup{f(x) x k} sup{f(x) x k } = G k. Nyt S D S D = G k l( k ) + G k l( k ) G kl( k ) G k [l( k ) + l( k ) l( k)] = ts. S D S D. Yleinen tpus seur tästä induktioll. Vstvsti todetn s D s D. 2.4. Lemm. D, D 2 :n jkoj = s D S D2. Tod. Kosk D = D D 2 on yhteinen lijko, niin Lemmn 2.3 mukn on s D s D S D S D2. Jos D on välin jko, niin D D = {, b}, joten S D s D = inf f(x) (b ) j x s D S D = sup f(x) (b ). Siis joukko {S D D on välin jko} on lhlt rjoitettu j x joukko {s D D on välin jko} on ylhäältä rjoitettu, joten voidn määritellä Snotn j merkitään: I = I(f) = inf S D R j I = I(f) = sup s D R. D D f:n yläintegrli I = I(f) = I M = f = f(x)dx, f:n lintegrli I = I(f) = I m = b f = f(x)dx. 2
Lemm 2.4 = I = inf D S D s D jokisell joll D = I = sup D s D I. Täten sdn 2.5. Lemm. s D (f) I(f) I(f) S D (f) kikill D. Määritelmä. Rjoitettu funktio f: [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos I(f) = I(f). Tällöin luku on f:n integrli yli välin [, b]. f = f(x) dx = I(f) = I(f) 2.6. Esim. ) f vkio, f(x) = C kikill x [, b] =. Olkoon D välin jko kuten edellä, jolloin G k = C = g k kikill k. Kosk S D = k G k l( k ) = C k l( k ) = C(b ) = I = C(b ), s D = k g k l( k ) = C k l( k ) = C(b ) = I = C(b ), niin f on integroituv j C dx = C(b ). 2) Olkoon f: [, ] R, f(x) = Olkoon < ε <. Jolle D ε = {,, ε, } on {, kun x 2, kun < x. { SDε = ( ( )) + ε + ( 2)( ε) = + 3ε, = ( ( )) + ( 2) ε + ( 2)( ε) = s Dε = = s Dε I I S Dε = + 3ε ε ], [, joten täytyy oll I = I =. Siis f on integroituv j f =. {, kun x Q [, ] 3) Olkoon f: [, ] R, f(x) =, kun x (R Q) [, ]. Olkoon D jko. Kosk jokisell välillä on rtionli- j irrtionlilukuj, niin G k = j g k = kikill k. Nyt S D = k l( k) = j s D =, joten I = j I =. Siis f ei ole integroituv. (Lisätieto: f on integroituv Lebesguen mielessä, mitt j integrli-kurssi.) 2.7. Riemnnin ehto. Olkoon f: [, b] R rjoitettu. Tällöin f integroituv ε > jko D = D ε s.e. S D s D < ε. Tod. () = : Ol. f integroituv. Olkoon ε >. Merkitään I = f(x)dx. I = I = inf S D j I = I = sup s D, niin on olemss välin [, b] jot D, D 2 s.e. D D Kosk S D < I + ε 2 = I + ε 2 j s D2 > I ε 2 = I ε 2. Olkoon D = D D 2 yhteinen lijko. Lemmn 2.3 mukn S D s D S D s D2 < I + ε 2 I + ε 2 = ε. 3
(2) = : Ol. ehto. Olkoon ε >. Tällöin on olemss sellinen välin [, b] jko D, että S D s D < ε. Siis I I S D s D < ε ε > = I I =. 2.8. Esim. (Myrberg, hrj. 8.2.2) Monotoninen funktio f: [, b] R on integroituv. Tod. Olkoon esim. f ksvv. Silloin f() f(x) f(b) kikill x [, b], joten f on rjoitettu. Olkoon ε > mielivltinen. Olkoon D : = x < x <... < x n = b välin [, b] jko, joss jkovälit ovt k = [x k, x k ] (k =,..., n) j suurimmn jkovälin pituudelle pätee: D = mx{l( k ) k =,..., n} < (tässä nimittäjässä on vin tpuksen f(b) = f() tähden). Kosk f on ksvv, niin Tällöin ε f(b) f() + G k = sup f(x) = f(x k ) j g k = inf f(x) = f(x k ). S D s D = (G k g k )l( k ) = D [f(x k ) f(x k )] D [f(x k ) f(x k )] = D (f(b) f()) < ε. Siis Riemnnin ehdon 2.7 mukn f on integroituv välillä [, b]. Olkoon f: [, b] R integroituv j ε >. Riemnnin ehdon mukn S D s D < ε jollkin [, b]:n joll. Itse siss S D s D < ε kikill riittävän tiheillä joill D, kun tiheyden mittn on jon D normi D = mx{l( k ) k =,..., n} eli pisimmän jkovälin pituus. 2.9. Lemm. Jos f: [, b] R on rjoitettu, niin jokist ε > kohti on olemss δ = δ ε > siten, että S D < I + ε j s D > I ε jokisell joll D, joll D < δ. Tod. f rjoitettu = M > s.e. f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon ε >. Yläintegrlin määritelmän mukn on olemss jko D = {x, x,..., x m} (jkovälien lukumäärä = m) siten, että S D < I + ε 2. Merkitään δ = min{x k x k k =,..., m} j vlitn < δ < min(δ, ε/(6mm)). Olkoon D = {y,..., y n } jko siten, että D < δ, j muodostetn jko D = D D. Nyt S D S D < I + ε 2. Trkstelln D:n väliä = [y k, y k ]. On 2 mhdollisuutt: 4
() on myös D :n väli, ts. ]y k, y k [ D =. (2) ]y k, y k [ D. Nyt ]y k, y k [ D on yksi piste, kosk muutoin pisteiden etäisyys < y k y k < δ δ. Siis on D :ss jkutunut khdeksi väliksi j näitä D:n välejä on enintään m kpl (pisteet x,..., x m ) sekä vstvi D :n välejä enintään 2m kpl. Erotuksess S D S D kumoutuvt tyypin () termit. Siis S D S D on summ, joss on enintään m + 2m = 3m termiä j näistä kunkin itseisrvo on Mδ. Täten S D S D 3m Mδ < 3mM Kosk D D, niin S D S D < ε/2, joten ε 6mM = ε 2. S D = S D + (S D S D ) < I + ε 2 + ε 2 = I + ε. Smoin δ > siten, että s D > I ε in, kun D < δ. Nyt δ = min(δ, δ ) on vdittu. Olkoon edelleen f: [, b] R rjoitettu j D = {x,..., x n } jko. Olkoon jokisell k {,..., n} vlittu piste ξ k k = [x k, x k ], j merkitään ξ = (ξ,..., ξ n ). Summ S D (f, ξ) = f(ξ k )l( k ) R on funktion f jkoon D j jonoon ξ liittyvä Riemnnin summ. Suor hvinto: s D S D (f, ξ) S D. Määritellään uudentyyppinen rj-rvo: Luku I R on funktion f Riemnnin summien rj-rvo, merk. lim S D(f, ξ) = I, jos D ε > kohti δ > s.e. S D (f, ξ) I < ε, kun D on jko, joll D < δ, j ξ on mieliv. D:hen liittyvä jono. Huom. Kyseessä ei ole lukujonon ti funktion rj-rvo. 2.. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu j I R. Tällöin f on integroituv j f(x)dx = I lim S D(f, ξ) = I. D Tod. () = : Oletetn, että f on integroituv j f = I. Olkoon ε >. Lemm 2.9 = δ > s.e. S D < I + ε j s D > I ε, kun D < δ. Olkoon D jko, joll D < δ, j ξ jokin jkoon D liittyvä jono. Silloin } S D (f, ξ) S D < I + ε = S D (f, ξ) I < ε = lim S D (f, ξ) s D < I ε S D(f, ξ) = I. D 5
(2) = : Ol. lim D S D(f, ξ) = I R. Olkoon ε >. Siis on olemss sellinen jko D, jonk jkoväleinä ovt,..., n j jolle S D (f, ξ) I < ε/2 jokisell jonoll ξ. Vlitn erityisesti jonon ξ = (ξ,..., ξ n ) pisteet ξ k k (k =,..., n) siten, että S D (f, ξ) = f(ξ k ) > G k f(ξ k )l( k ) > ε 2(b ), missä G k = sup f(x). ε G k l( k ) 2(b ) = I < S D (f, ξ) + ε 2 < I + ε 2 + ε 2 = I + ε ε >. l( k ) = S D (f) ε 2 I ε 2 Näin ollen I I. Vstvsti osoitetn, että I I. Siten I I I I = I = I = I eli f on integroituv j f = I. 2.. Esim. Olkoon n = n + + n + 2 +... +, n =, 2,.... Määritä lim n + n n. n Olkoon f: [, 2] R, f(x) = /x, j muodostetn välin [, 2] jko D n = {, + n, + 2 n,..., + n } n ξ n = (ξ,n, ξ 2,n,..., ξ n,n ) = n = = j merk. ξ k,n = + k [ n + k n, + k ], n (n N ; k =, 2,..., n). n + k = n n n + k n = n ( f + k ) n n = S D n (f, ξ n ) ( n + k ) f n n n 2 f(x) dx, sillä f on monotoninen j siis integroituv j D n = /n, kun n. Myöhemmin nähdään, että 2 2 / 2 f(x) dx = x dx = ln x = ln 2. I.3. Tsinen jtkuvuus j jtkuvn funktion integroituvuus Olkoon A R. Määritelmän mukn funktio f: A R on jtkuv A:ss f on jtkuv jokisess pisteessä x A ε >, x A δ ε,x > s.e. f(x) f(y) < ε in, kun y A j x y < δ ε,x. Yleensä tällöin ei ole olemss sellist δ ε >, että δ ε δ ε,x kikill x A (vn inf{δ ε,x x A} = ). Jos tällinen δ ε > on olemss, f toteutt vhvemmn ehdon. Määritelmä. Funktio f: A R on tsisesti jtkuv A:ss, jos ε > kohti δ ε > s.e. f(x) f(y) < ε in, kun x, y A j x y < δ ε. (Tässä δ ε ei s riippu pisteiden pikst.) 6
3.. Huom. ) Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss, ei pisteessä. 2) f ts. jtkuv A:ss = f jtkuv A:ss. (Käänteinen ei tietenkään päde, ks. esimerkit.) 3.2. Esim. ) f: [, [ R, f(x) = x 2, ei ole tsisesti jtkuv väl. [, [. Vstoletus: f on ts. jtkuv väl. [, [. Olkoon ε =. Tällöin δ > s.e. f(x) f(y) < in, kun x y < δ j x, y. Olkoon x < y, jolloin f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y 2x x y. Vlitn x > /δ j y = x + 2 δ. Tällöin x y = 2δ < δ j f(x) f(y) 2x 2δ >, joten sdn RISTIRIITA. 2) f: ], ] R, f(x) = os(/x), ei ole tsisesti jtkuv väl. ], ]. Jos olisi, niin (vl. ts ε = ) δ > s.e. f(x) f(y) < in, kun x y < δ j x, y ], ]. Voidn olett, että δ <. Vlitn sellinen n N, että 2nπ > δ sekä x = 2nπ ], ], y = (2n + )π ], ]. Nyt < y < x < δ j siis x y < δ, mutt f(x) f(y) = os(2nπ) os((2n + )π) = 2. RISTIRIITA. 3.3. Luse. Olkoon R mikä hyvänsä väli (voi oll myös rjoittmton) j olkoon = {päätepisteet} eli on :n sisäpisteiden joukko j nyt myös väli. Jos f: R on jtkuv sekä f on olemss j rjoitettu välillä, niin f on tsisesti jtkuv välillä. Tod. Olkoon M > s.e. f (x) < M, kun x. Olkoon ε >. Kun x, y, x < y, niin differentililskennn välirvoluseen (DVAL, Diff.I.) mukn = ξ x,y ]x, y[ s.e. f(x) f(y) = f (ξ x,y )(x y). Nyt f(x) f(y) = f (ξ x,y ) x y < M x y < ε in, kun x y < ε/m. 3.4. Esim. x x on tsisesti jtkuv välillä [, [. (Jos x >, niin D x = 2 x /2 = /(2 x), jok ei ole rjoitettu.) Todetn luksi: jos x y j A >, niin ( ) x y A + (x y). A Jos x A, niin x y x A. Muuten x > A, jolloin x y = Siis ( ) pätee molemmiss tpuksiss. x y x y x + y x x y A = (x y). A Olkoon ε >, x, y. Tällöin ( ):n nojll x y A + x y, A >. Vlitn A A = ε/2 j δ = A 2 = ε 2 /4. Jos nyt x y < δ, niin x y < ε 2 + A A2 = ε 2 + ε 2 = ε. 7
3.5. Luse. Suljetull välillä [, b] (, b R, < b) jtkuv funktio f on tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tod. Vstoletus: f ei ole tsisesti jtkuv. Tällöin ε >, jot kohti ei ole määritelmässä vdittu luku δ ε > ts. kikill δ > pätee: jos u, v [, b] j u v < δ, niin f(u) f(v) ε. Vlitn tässä δ = /n, jolloin n x n, y n [, b] s.e. x n y n < /n, mutt f(x n ) f(y n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten osjonoluseen (DI., Bolzno Weierstrss) mukn sillä on osjono (x nk ) s.e. x nk x R, kun k ; nyt x nk b kikill k N, joten x [, b]. Lisäksi y nk x y nk x nk + x nk x < n k + x nk x k + x n k x k, joten lim y n k = x. Kosk f on jtkuv x :ss, niin lim f(x n k ) = f(x ) = lim f(y n k ). Nyt k k k < ε f(x nk ) f(y nk ) k f(x ) f(x ) = nt RISTIRIIDAN. 3.6. Luse. Suljetull välillä [, b] (, b R, < b) jtkuv funktio f on integroituv. Tod. Diff.I. = f on rjoitettu. Osoitetn Riemnnin ehdon voimssolo. Olkoon ε >. Luseen 3.5 mukn on olemss tsisen jtkuvuuden δ > s.e. f(x) f(y) < ε b in, kun x y < δ, x, y [, b]. Vlitn jokin välin [, b] jko D, jolle D < δ j jkovälit,..., n. = u k, v k k s.e. Diff.I. (Weierstrss) f(u k ) = mx f(x) = sup f(x) = G k j f(v k ) = min f(x) = inf f(x) = g k (k =,..., n). Nyt u k v k l( k ) D < δ = G k g k = f(u k ) f(v k ) < ε/(b ) kikill k =,..., n, joten S D s D = (G k g k )l( k ) < ε b l( k) = ε b l( k ) = ε (b ) = ε. b I.4. Integrlin perusominisuuksi 4.. Luse. Olkoot f,..., f p : [, b] R integroituvi j α,..., α p R vkioit. Tällöin α f +... + α p f p on integroituv j (α f +... + α p f p ) = α f +... + α p f p. 8
Tod. Tpus p = 2. Trkstelln Riemnnin summi: S D (α f + α 2 f 2, ξ) = [α f (ξ k ) + α 2 f 2 (ξ k )]l( k ) n = α f (ξ k )l( k ) + α 2 n f 2 (ξ k )l( k ) = α S D (f, ξ) + α 2 S D (f 2, ξ). Olkoon ε >. Merkitään I j = f j, j =, 2. Integroituvuuden perusteell löydetään δ, δ 2 > s.e. α j S D (f j, ξ) I j < 2 ε, kun D < δ j, j =, 2. Kun D < min(δ, δ 2 ), on Siis S D (α f + α 2 f 2, ξ) (α I + α 2 I 2 ) = α S D (f, ξ) α I + α 2 S D (f 2, ξ) α 2 I 2 α S D (f, ξ) I + α 2 S D (f 2, ξ) I 2 < 2 ε + 2 ε = ε. lim S D(α f + α 2 f 2, ξ) = α I + α 2 I 2. D Yleinen tpus induktioll. 4.2. Luse. Jos f, h: [, b] R ovt integroituvi j f(x) h(x) kikill x [, b], niin f(x) dx h(x) dx. Tod. Trkstelln [, b]:n jkoj D, jkovälit,..., n. kikill x k, niin G k (f) G k (h) (k =,..., n). Siis Kosk f(x) h(x) G k (h) f = I(f) S D (f) S D (h) jok. D = f I(h) = h. 4.3. Seurus. Jos f: [, b] R on integroituv j m f(x) M kikill x [, b] (m, M R), niin m(b ) Liitetään jokiseen f: R funktiot f + j f : f + (x) = mx(f(x), ) f (x) = min(f(x), ) Pätee: ) f + (x), f (x), 2) f(x) = f + (x) f (x), 3) f(x) = f + (x) + f (x), 4) f = ( f) +, 5) kikill x on f + (x) = ti f (x) =. f(x) dx M(b ). 4.4. Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin myös f + j f ovt integroituvi välillä [, b]. 9
Tod. ) Olkoon D välin [, b] jko, jkovälit,..., n. g k = inf f(x), G + k = sup f + (x) j g + k Merkitään G k = sup f(x), = inf f + (x). Nyt on kolme tpust: ) g k = G + k = G k, g + k = g k. 2) g k G k = G + k = G k, g + k = g k. 3) G k = G + k = = g+ k. Kikiss tpuksiss on G + k g+ k G k g k. Täten S D (f + ) s D (f + ) S D (f) s D (f) jokisell joll D, joten f + on integroituv Riemnnin ehdon nojll. b) Toinen tpus seur kvst f = ( f) +. 4.5. Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin smoin on f, j f(x) dx f(x) dx. Tod. Integroituvuus seur kvst f = f + + f j ed. luseest. Kosk f(x) f(x) f(x) kikill x [, b], niin L 4. 2 mukn f = ( f ) f f = f f. 4.6. Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin smoin on f 2. Tod. Kosk f on rjoitettu, niin on olemss M > s.e. f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon D jko, jkovälit,..., n. Merkitään G k ( f ) = sup f(x), G k (f 2 ) = sup f(x) 2. Jos x k, niin f(x) G k ( f ) = f(x) 2 = f(x) 2 [G k ( f )] 2. Siis G k (f 2 ) [G k ( f )] 2 j vstvsti g k (f 2 ) [g k ( f )] 2, joten G k (f 2 ) g k (f 2 ) [G k ( f )] 2 [g k ( f )] 2 = [G k ( f ) + g k ( f )][G k ( f ) g k ( f )] 2M[G k ( f ) g k ( f )]. Olkoon ε >. Kosk f on integroituv (L 4.5), niin on olemss sellinen jko D, että S D ( f ) s D ( f ) < Tälle jolle sdn edelläolevn rvion mukn ε 2M. S D (f 2 ) s D (f 2 ) 2M[S D ( f ) s D ( f )] < ε. 4.7. Seurus. Jos f j g ovt integroituvi välillä [, b], niin myös fg on. Tod. fg = 4 [(f + g)2 (f g) 2 ]. Huom. Yleensä on fg ( f)( g). 4.8. Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv. Jos on olemss m > s.e. f(x) m > kikill x [, b], niin funktio /f, x /f(x), on integroituv välillä [, b]. Tod. Hrj.-teht.
4.9. Seurus. Olkoot f, g: [, b] R integroituvi. Oletetn, että on olemss m > s.e. g(x) m kikill x [, b]. Tällöin funktio f/g, x f(x)/g(x), on integroituv välillä [, b]. Perustelu. Kosk g(x) 2 m 2 > kikill x [, b], niin /g 2 on integroituv väl. [, b] (L 4.8). Kosk myös fg on integroituv, niin näiden tulo f/g on integroituv. 4.. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu. ) Jos f on integroituv välillä [, b] j [, d] [, b], niin f on integroituv välillä [, d]. b) Olkoon < < b. Silloin f on integroituv välillä [, b] f on integroituv väleillä [, ] j [, b]. Lisäksi tällöin f = Tod. ) Olkoon ε >. On olemss välin [, b] jko D s.e. S D s D < ε. Merkitään D = D {, d} D j D = D [, d]. Tällöin D on [, d]:n jko j f + f. S D s D S D s D S D s D < ε. b) = : seur )-kohdst. = : Olkoon ε >. Kosk f on integroituv väleillä [, ] j [, b], niin määritelmän mukn on olemss välin [, ] jko D sekä välin [, b] jko D 2 siten, että S D < f + ε 2 j s D > f ε 2 sekä S D2 < f + ε 2 j s D 2 > f ε 2. Nyt D = D D 2 on välin [, b] jko j ( f + ) f ε < s D + s D2 = s D ( = S D + S D2 < f + b f b ) f + ε. f S D Kosk tämä pätee ε >, niin b f = f = f + f. Täydennys integrlin määritelmään. Jos f: [, b] R ( < b) on integroituv, merkitään b f = f j f = ( [, b]). Olkoon f integroituv suljetull välillä j, b,. L 4.b) = kv f = pätee, kun < b <. Itse siss tämä kv on voimss riippumtt lukujen, b, suuruusjärjestyksestä. Todistuksess useit tpuksi: jos esim. b < <, niin f + b f L 4.b) = f = f + b b f = f = f + f = f + b b b f.
Seurvksi muutmi jtkuvien funktioiden integrlien erityisominisuuksi: 4.. Luse. Olkoot f, g: [, b] R jtkuvi. Jos f(x) g(x) kikill x [, b] j f(y) < g(y) jollkin y [, b], niin f < Tod. Merkitään α = g(y) f(y) >. Kosk g f on jtkuv pisteessä y, niin on olemss osväli [, d] ], b[ ( < d) s.e. g(x) f(x) 2α kikill x [, d]. Siten g f = (g f) = d + 2 α + g. (g f) + d d (g f) + = 2α(d ) >. d (g f) 4.2. Seuruksi. ) Jos f: [, b] R on jtkuv, f(x) kikill x [, b] j f(y) > jollkin y [, b], niin f >. 2) Jos f: [, b] R on jtkuv funktio, jok ei ole vkiofunktio, niin m(b ) < f < M(b ), M = mx f(x), m = min f(x). x [,b] x [,b] 4.3. Esim. ) Osoit, että < π/2 sin n+ x dx < π/2 sin n x dx. Tod. x [, 2 π] = sinn+ x ei-vkio, jtkuv = π/2 sin n+ x dx >. Lisäksi π/2 sin n x dx π/2 sin n+ x dx = kosk x sin n x( sin x) ei-vkio, jtkuv. +k π/2 sin n x( sin x) dx >, e x 2) Osoit, että dx > ke kikill k >. x Tod. Olkoon f(x) = e x /x, jolloin f on derivoituv (j siis jtkuv), kun x, j f (x) = ex x e x x 2 = e x x x 2 x Siis f (x) > kikill x >, joten f on idosti ksvv välillä [, [. Olkoon k >. Kosk eo. mukn min{f(x) x [, + k]} = f() = e j f ei ole vkio välillä [, + k], niin +k f(x)dx > e( + k ) = ke. 2
Kysymys: Kuink moness pisteessä integroituv funktio voi oll epäjtkuv? Etsitään vstust viheittin. 4.4. Lemm. Jos f: [, b] R on rjoitettu j jtkuv voimell välillä ], b[, niin f on integroituv suljetull välillä [, b]. Tod. Olkoon M > sellinen, että f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon ε >. Vlitn, d siten, että < < d < b, < ε/(6m) j b d < ε/(6m). Kosk f on jtkuv väl. [, d], niin f on integroituv väl. [, d], joten on olemss [, d]:n jko D siten, että S D s D < ε/3. Nyt D = D {, b} on välin [, b] jko. Merkitään = [, ] j 2 = [d, b], jolloin sup f(x) M j x i inf f(x) M = x i sup f(x) inf f(x) 2M (i =, 2). x i x i Täten sdn [ ] [ ] S D s D = sup f(x) inf f(x) ( ) + S D s D + sup f(x) inf f(x) (b d) x x x 2 x 2 2M ( ) + S D s D + 2M(b d) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Esim. Siis funktio f: [, ] R, f(x) = 4.5. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu j joukko { os(/x), kun < x, on integroituv., kun x = E = { [, b] : f epäjtkuv pisteessä } äärellinen. Tällöin f on integroituv välillä [, b]. Tod. Kirjoitetn E {, b} = {,,..., n }, = < <... < n = b. Lemmn 4.4 mukn f on integroituv jokisell välillä [ k, k ], k =,..., n, kosk f on jtkuv voimill väleillä ] k, k [. Luseen 4.b) mukn (yleistys induktioll) f on integroituv väl. [, b]. 4.6. Seurus. Ploittin jtkuv funktio f: [, b] R (Myrberg, määr. 3.2.6) on integroituv. 4.7. Huom. Integroituvll funktioll stt oll ääretön määrä epäjtkuvuuskohti (esimerkki hrjoituksiss). Integrli integroimisrjn funktion. Ol. väli, j f: R integroituv :n jokisell suljetull osvälillä (esim. f jtkuv :ss). Tällöin f(t) dt R x eli sdn funktio F : R, F (x) = f(t) dt. 4.8. Luse. ) Eo. tilnteess F on jtkuv välillä. b) Jos lisäksi f on jtkuv pisteessä x, niin F on derivoituv x :ss j F (x ) = f(x ) (toispuolinen derivtt, jos x on :n päätepiste). 3
Tod. ) Olkoon x, x ei ole :n oikenpuol. päätepiste. Osoitetn, että lim ). x x + Ol. [x, ]. Kosk f on integroituv välillä [x, ], niin on olemss M > siten, että f(t) < M kikill t [x, ]. Jos x [x, ], niin F (x) F (x ) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt = f(t)dt x x = F (x) F (x ) = f(t)dt f(t) dt M(x x ). x x Siis F (x) F (x ), kun x x +. Jos x ei ole vsen päätepiste, niin smoin lim F (x) = F (x ). x x b) Ol. x ei ole :n oikenpuol. päätepiste. Olkoon ε >. Kosk f on jtkuv pisteessä x, niin on olemss δ > s.e. f(t) f(x ) < ε, kun t j t x < δ. Voi olett, että x + δ. Olk. x < x < x + δ. Kuten )-kohdss F (x) F (x ) = Nyt f(x ) ε < f(t) < f(x ) + ε t [x, x] = (f(x ) ε)(x x ) = f(x ) ε x f(t)dt (f(x ) + ε)(x x ) x x [F (x) F (x )] f(x ) + ε x f(t)dt. Siis = ε F (x) F (x ) f(x ) ε x x = F (x) F (x ) f(x ) ε. x x F (x) F (x ) lim = f(x ) eli F x x + x x +(x ) = f(x ). Jos x ei ole :n vsen päätepiste, niin smoin F (x ) = f(x ). Huom. Jos f on jtkuv koko välillä, niin D f(t) dt = f(x). 4.9. Seurus. Oletetn, että o f: R jtkuv välillä, 2 o, b: derivoituvi välillä, 3 o G(x) = (x) (x) f(t) dt kikill x. Tällöin G on derivoituv välillä j G (x) = f(b(x))b (x) f((x)) (x) kikill x. 4
Tod. Olkoon t j F (x) = G(x) = (x) (x) f(t) dt = t (x) t f(t) dt. Tällöin F (x) = f(x) j (x) f(t) dt f(t) dt = (F b)(x) (F )(x), t joten L 4.8b) j ketjusääntö ntvt väitteen. 4.2. Esim. ) Määritä funktion F : R R, F (x) = Kosk t e t sin t on jtkuv, niin F (x) = e x sin x x R. F (x) = sin x = x = kπ, k Z F (x) > k 2π < x < π + k 2π F (x) < π + k 2π < x < 2π + k 2π Vst. Minimikohdt x = k 2π j mksimikohdt x = π + k 2π. e t sin t dt, äärirvokohdt. 2) Ol. f: R R jksollinen jtkuv funktio jkson ω (ts. f(x + ω) = f(x) x R). Väite. +ω Tod. Määritellään G() = f(t) dt ei riipu luvust R. G () = f( + ω) +ω f(t) dt, jolloin d d ( + ω) f() d = f( + ω) f() = R. d Integrlilskennn perusluseen mukn G() = vkio. 4.2. Integrlilskennn välirvoluse. ) (yleistetty muoto) Olkoon, b R, f: [, b] R jtkuv, g: [, b] R integroituv j g(x) kikill x [, b] (ti g(x) kikill x [, b]). Tällöin on olemss ξ ], b[ s.e. fg = f(ξ) b) (perusmuoto, IVAL) Jos f: [, b] R on jtkuv, niin on olemss ξ ], b[ s.e. g. f = f(ξ)(b ). Tod. Olkoon < b (tulokset voimss myös, jos > b). ) Trkstelln tpus g(x) x [, b]. Merkitään M = mx f(x) j m = min f(x), x [,b] x [,b] jolloin m f(x) M kikill x [, b] j ( ) m mg(x) f(x)g(x) Mg(x) x [, b] = g(x) dx f(x)g(x) dx M g(x) dx. Jos I = g(x) dx =, on siis myös fg = j mikä thns ξ ], b[ kelp. 5
Oletetn, että I >, j merkitään µ = ( fg)/i. Tällöin ( ) = m µ M, joten on olemss ξ [, b] s.e. f(ξ) = µ (Bolzno, f jtkuv). Väite: ξ voidn vlit voimelt väliltä ], b[. Vstol. f(x) µ kikill x ], b[. Kosk f on jtkuv, niin joko f(x) > µ x ], b[ ti f(x) < µ x ], b[. Olkoon esim. f(x) > µ x ], b[. Kosk I >, on olemss lsumm s D (g) >, jolloin on olemss sellinen suljettu väli [, b], että inf{g(x) x } >. Tällöin löydetään pisteet, d s.e. < < d < b j inf{g(x) x d} >, jolloin d g dx >. Merkitään m = min{f(x) x [, d]}. Nyt m > µ j µ g = µi = = µ g µ fg = d fg + d fg + d g + m g = µ mikä on RISTIRIITA. b) Vlitn )-kohdss g(x) = kikill x. d fg µg + g + (m µ) d d m g + g > µ Huom. Olkoon f: [, b] R integroituv ( < b). Funktion f keskirvo välillä [, b] on suure f = f(x) dx ; siis inf b f(x) f sup f(x). x [,b] x [,b] Jos f on jtkuv välillä [, b], niin IVAL = ξ ], b[ s.e. f = f(ξ). 2 Esim. lim e t2 dt =? x 2 x 2 4 Kuvus t e t2 on jtkuv kikkill. Olkoon x 2. IVAL = on olemss ξ x ]4, x 2 [ ti ξ x ]x 2, 4[ s.e. d g, µg x 2 2 4 e t2 dt = 2 x 2 eξ x (x 2 4) = (x + 2)(x 2) e ξ2 x = (x + 2)e ξ 2 x. x 2 Kosk ξ x 4 < x 2 4, niin ξ x 4, kun x 2, joten lim x 2 x 2 2 4 e t2 dt = lim x 2 (x + 2)e ξ2 x = (2 + 2)e 4 2 = 4e 6. I.5. Integrlifunktiot j integrlien lskeminen Määr. Olkoon R väli. Funktio F : R on funktion f: R integrlifunktio välillä, jos F on derivoituv j F (x) = f(x) kikill x. 5.. Huom. ) Integrlifunktio liittyy in johonkin väliin. 2) Integrlifunktio on in derivoituv j siis jtkuv. 6
3) Välin mhdollisess päätepisteessä F (x) trkoitt toispuoleist derivtt. Jos esim. = [, b], niin on oltv F +() = f() j F (b) = f(b). 5.. Luse. Olkoon F jokin funktion f: R integrlifunktio välillä, j F : R funktio. Tällöin F on funktion f integrlifunktio välillä, jos j vin jos on olemss sellinen vkio C R, että F (x) = F (x) + C kikill x. Tod. =: Jos F = F + C, niin F = F = f. = : Olkoon F = f välillä. Tällöin (F F ) = f f = välillä, joten Integrlilskennn perusluseen (DI.) mukn on olemss vkio C R s.e. F F = C välillä. Perinteinen (epätäsmällinen) merkintätp: f(x)dx = f:n jokin integrlifunktio. ( määräämätön integrli, ts. ei integroimisrjoj; Riemnnin integrli = määrätty integrli) 5.2. Esim. ) pätee koko R:ssä) 2) e x dx = e x + C R:ssä 3) os x dx = sin x + C R:ssä. x µ dx = xµ+ + C välillä ], [, kun µ vkio (jos esim. µ N, tämä µ + { dx ln x + C välillä ], [ x dx = x = ln( x) + C välillä ], [ 5.3. Luse. Jos f:llä j g:llä on integrlifunktioit, niin [f(x) + g(x)]dx = f(x) dx + g(x) dx j [f(x)]dx = f(x) dx ( R vkio), kunhn integroimisvkiot vlitn sopivsti. Luseen 4.8 b)-kohdst seur 5.4. Luse. Jos f: R on jtkuv, niin f:llä on välillä integrlifunktioit. Jos x, niin jokinen f:n integrlifunktio F on muoto F (x) = x f(t) dt + C x (C R vkio). 5.5. Huom. ) Integrlifunktio F ei yleensä ole lkeisfunktio, vikk f olisi, esim. e x x4 sin x x dx, e x2 dx, + dx, x dx. 2) Epäjtkuvllkin funktioll voi oll { integrlifunktioit. Jos nimittäin F on derivoituv, x niin F voi oll epäjtkuv; esim. F (x) = 2 sin(/x), kun x, kun x =. Merkintä: F (b) F () = / b F (x), 7 sijoitus :st b:hen funktioon F (x).
5.6. Anlyysin perusluse. Jos f: [, b] R on jtkuv j F jokin f:n integrlifunktio välillä [, b], niin f(x) dx = / b F (x) = F (b) F (). Tod. L 5.4 mukn on olemss C R s.e. F (x) = f(t) dt + C kikill x [, b], joten 5.7. Esim. ) 2) 2 F (b) F () = e x + dx = dx + x 2 = ( f(t) dt + C / e x+ dx + ) f(t) dt + C = r tn x = r tn r tn = π 4. 2 e x+ dx = = e + e 2 + e 3 e = e 3 + e 2 2e. 3 x 3) dx = 3 2x(6 + x 2 ) /2 dx = 6 + x 2 2 / e x+ + 5.8. Esim. Etsi funktion f: R R integrlifunktiot, kun / 3 / 2 e x+ = f(t) dt. (6 + x 2 ) /2 = 25 6 =. ) f(x) = { x, kun x <,, kun x, b) f(x) = { x, kun x <,, kun x, Rtk. ) Ol. F : R R, F (x) = f(x) x R. Välillä ], [ on F (x) = x = D( 2 x2 ) = C R s.e. F (x) = 2 x2 + C kikill x <. Välillä ], [ on F (x) = = D(x) = C R s.e. F (x) = x + C kikill x >. F jtkuv :ssä = 2 + C = + C = C = C 2. Siis { ( ) F (x) = 2 x2 + C, kun x <, x 2 + C, kun x, Kosk f on jtkuv, niin sillä on integrlifunktioit (L 5.4), joten ne kikki ovt kohdss ( ). Tämän voi myös todet suorn: Selvästi F (x) = f(x) kikill x, j } F () = D( 2 x2 + C) x= = F +() = D(x 2 + C) = F () = = f(). x= = b) Ol. F : R R, F (x) = f(x) x R. Välillä ], [ on F (x) = x = F (x) = 2 x2 + C x <. Välillä ], [ on F (x) = = F (x) = C x >. F jtkuv :ssä = 2 + C = C. Siis { F (x) = 2 x2 + C, kun x <, 2 + C, kun x. 8
} F () = D( 2 x2 + C) x= = F +() = D( 2 + C) = F (). x= = RISTIRIITA. Siis f:llä ei ole integrlifunktioit R:ssä. 5.9. Huom. Edell. esim. b)-koht osoitt, että kikill funktioill ei ole integrlifunktioit. 5.. Luse. Oletetn, että funktioll f: R on välillä integrlifunktio. Jos, b j f() < y < f(b), niin :n j b:n välissä on olemss luku s.e. f() = y. (Vrt. Bolznon luse) Tod. Olkoon esim. < b. Olkoon F : R, F (x) = f(x) kikill x. Määritellään G: R, G(x) = F (x) yx, jolloin G (x) = F (x) y = f(x) y kikill x. Nyt oletuksen mukn on G () = f() y < j G (b) = f(b) y >. Weierstrssin luseen mukn on olemss [, b] s.e. G() = min{g(x) x [, b]}. Kosk G () <, niin on olemss sellinen r >, r < b, että G(x) < G(), kun < x < + r. Siis G() ei ole G:n pienin rvo (= G()) välillä [, b], joten. Vstvsti G (b) > = b. Nyt ], b[ j on G:n lokli äärirvokoht, joten G () = eli f() = y. Anlyysin perusluse 5.6 pätee hiemn yleisemmässä muodoss: 5.. Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv funktio j olkoon F jokin f:n integrlifunktio välillä [, b]. Tällöin f(x) dx = F (b) F (). Tod. Olkoon D : = x < x <... < x n = b välin [, b] jko. DVAL = ξ k ]x k, x k [ s.e. F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ) (k =,..., n). Siis F (b) F () = F (x n ) F (x ) = [F (x k ) F (x k )] = f(ξ k )(x k x k ) = S D (f, ξ) on eräs f:n Riemnnin summ. Kosk s D (f) F (b) F () S D (f) kikill joill D, niin f(x) dx = sup s D (f) F (b) F () inf S D(f) = D = D f(x) dx = F (b) F (). 5.2. Huom. ) Edellisen luseen perusteell siis f (x) dx = f(b) f(), f(x) dx jos f on integroituv, mikä ei kuitenkn välttämättä ole in voimss. Jos esim. { ( ) { ( ) f(x) = x 2 sin x 2, kun x, niin f (x) = 2x sin x 2 2 ( ) x os x 2, kun x, kun x =,, kun x =. Kosk f ei ole rjoitettu missään :n ympäristössä, niin se ei ole integroituv välillä [, b], jos [, b]. 2) Esim. 5.8.b) funktio on integroituv välillä [, 2], mutt sillä ei ole integrlifunktioit. Integroituvll funktioll ei siis välttämättä ole integrlifunktioit. 9