30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin aiana ilmestyneet äsitteiden aihiot ja näytämme, että Brownin liieellä on aii vastaavat ominaisuudet. 3.1. Marovin prosessi. Ensimmäisesi yleistämme Marovin ominaisuuden. Kun S on yleinen tilajouo ja aia on jatuva, niin emme voi määritellä Marovin ominaisuutta polujen avulla, sillä unin ysittäisen polun todennäöisyys on luultavasti nolla. Tähän tarvitsemmein ehdollisen odotusarvon yleisempää muotoilua. Jos T = N ja S on numeroituva, niin Marovin ehto (2.9) on yhtälö aiilla ajanhetillä n, m ja tiloilla i 0,i 1,..., i n,j S. Voimme tämän avulla lasea ehdollisen todennäöisyyden, un tiedämme historian H n := σ{x 0 = i 0,..., X n = i n }, sillä voimme oota Marovien ehdon aii yhtälöt summaamalla yli aiien tilojen i 0..., i n, jolloin P ( X n+m = j H n )= [ =0,..., n : X = i ] i 0,...,i n S = i 0,...,i n S P ( X n+m = j =0,..., n : X = i ) [ =0,..., n : X = i ] P ( X n+m = j X n = i n ) = P ( X n+m = j X n ) Tämä muotoilu on jo helpompi yleistää orvaamalla n + m ja n yleisillä ajanhetillä t s 0. Kosa tapahtuman {X t = j} ehdollinen todennäöisyys voi hyvin olla aina nolla yleisessä tilanteessa, summaalla yli tilojen j, voimme muotoilla äärellisen tilanteen vielä muodossa P ( X n+m A H n )= j A P ( X n+m = j H n ) = j A P ( X n+m = j X n )=P ( X n+m A X n ) aiilla A S. Tarvitsemme yleiseen määritelmään vielä yhden yleistysen eli yleistämme historian äsitteen. Historialla on ysi sisäinen täreä ominaisuus eli historia asvaa ajan uluessa. Tämä taroittaa, että H n H m un n m. Otamme tämän yleisen filtraation äsitteen määritelmäsi. 3.1. Määritelmä. Ajan suhteen indesöity perhe (F t ; t T ) on filtraatio, jos F t F on ali-σ-algebra joaisella t T seä F s F t aina, un s t. Jos aiajouosta ei ole epäselvyyttä, meritsemme filtraatiota (F t ).
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 31 Tämän äsitteen avulla, voimme asettaa Marovin prosessin yleisen määritelmän 3.2. Määritelmä. Stoastinen prosessi (X t ) on Marovin prosessi filtraation (F t ) suhteen, jos aiilla ajanhetillä t s ja aiilla A S on voimassa (3.3) P ( X t A F s )=P ( X t A X s ) m.v. Tämä on unohtamisominaisuuden yleinen muotoilu. Stoastiset prosessit - urssin määritelmä sisälsi vielä vaatimusen aiastationaarisuudesta. Muotoilemme seuraavasi aiastationaarisen Marovin prosessin yleisesti. Äärellisessä tilanteessa P ( X n+m A X n )= j [ X n = j ]P ( X n+m A X n = j ) = j [ X n = j ]P ( X n+m 1 A X n 1 = j ) joten indutiolla taasepäin on siis voimassa P ( X n+m A X n )= j = j [ X n = j ]P ( X m A X 0 = j ) [ X n = j ]P j ( X m A ) = P Xn ( X m A ). Voimme helposti yleistää tämän ja yhdistää edellä olleen unohtamisominaisuuden anssa, joten määrittelemme. 3.4. Määritelmä. Stoastinen prosessi (X t ) on aiastationaarinen Marovin prosessi filtraation (F t ) suhteen, jos aiilla ajanhetillä t s ja aiilla A S on voimassa (3.5) P ( X t A F s )=P Xs ( X t s A ) m.v. Yleisesti tämä lisäoletus ei ole voimassa ja törmäämme helposti tällaisiin tapausiin. 3.6. Esimeri (Siltaävely). Oloon T = N d ja S = Z. Määrittelemme ävelyn (X ) seuraavan stoastisen differenssiyhtälön avulla: X 0 =0 + X = X d + ξ, un =0,..., d 1 Tässä (ξ ) on olionheittosatunnaismuuttujia. Nimitimme ävelyä siltaävelysi, sillä ajan hetellä = d prosessi varmasti joo tilassa 1 tai 1. Tämä
32 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT ävely on Marovin prosessi historian (H n ) suhteen, sillä Xn X n+1 = X n + + X n = X n + + ξ n =: g(x n )+ξ n d n ja siis P ( X n+1 = j H n )= i S P ( X n = i, X n+1 = j H n ) = i S E ([ X n = i, ξ n = j g(i)] H n ) = i S [ X n = i ]P ( ξ n = j g(i) H n ). Nyt ξ n on riippumaton seä oo historiasta H n että pelästä satunnaismuuttujasta X n, joten [ X n = i ]P ( ξ n = j g(i) H n )= [ X n = i ]P ( ξ n = j g(i) X n ) i S i S = i S P ( X n = i, ξ n + g(x n )=j X n ) = P ( X n+1 = j X n ) Aiastationaarisuus ei ole uitenaan voimassa (HT). Jos saalaisimme ävelyn parametrilla h samaan tapaan uin ysinertaisen satunnaisävelyn, niin ävely olisi ajanhetellä dh tilassa ± h. Heuristisesti voisimme päätellä, että un h 0 + ja dh 1, niin saalattu stoastinen differenssiyhtälö suppenisi stoastisesi differentiaaliyhtälösi X 0 =0 dx t = Xt 1 t dt +db t, un t [0, 1) Tätä prosessia utsutaan Brownin sillasi ja tulemme myöhemmin äyttämään Itō-lasentaa sen ominaisuusien selvittämiseen. Kurssin ensimmäisiä perustulosi on Brownin liieen Marovisuus. 3.7. Lause. Brownin liie on aiastationaarinen Marovin prosessi historiansa suhteen. Todistus. Tämä on aiaisempien lasujen suora yleistys. Tiedämme, että Brownin liieellä on riippumattomat lisäyset, joten B(t) B(s) H s Tästä erityisesti seuraa, että ullain ε> 0 P ( B(t) x H s )= ( ) P Bε (s) =jε, B(t) x H s j Z
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 33 Kun B ε (s) =jε, niin jε B(s) < jε+ε, joten B(t) B(s) B(t) jε x jε. Siispä P ( B(t) x H s ) ( ) P Bε (s) =jε, B(t) B(s) x jε H s j Z = j Z[ B ε (s) =jε ]P ( B(t) B(s) x jε ) Kosa B(t) B(s) B(t s), niin P ( B(t) x H s ) j Z[ B ε (s) =jε ]P ( B(t s) x jε ) = j Z[ B ε (s) =jε ]P jε ( B(t s) x ) = P bb ε (s) ( B(t s) x ) Kun nyt ε 0, niin oiea puoli suppenee ohti arvoa P B(s) ( B(t s) x ). Epäyhtälö toiseen suuntaan jää harjoitustehtäväsi. 3.2. Pysähdysheti. Reuna-arvotehtäväesimerissä haluamme lasea odotusarvon u(x) =E x f(b(τ)), missä τ on Brownin liieen poistumisheti alueesta G. Aiemmin äyttämämme absorptioheten äsite vastasi tätä poistumisheteä. Jos absorptiojouo oli yhden pisteen jouo, niin MK jäi naliin tähän pisteeseen, joten asioita aumpaa atsovasta etju vaiutti pysähtyvän. Määrittelemmein äsitteen, jota utsumme pysähdyshetesi. Absorptioheten oli seuraava eseinen ominaisuus: jos (X ) on MK ja A on absorptiojouo, niin {τ A = n} = {X 0 / A,..., X n 1 / A, X n A} Itse asiassa tämä on taralleen absortioheten määritelmä. Havaitsemme, että {τ A = n} H n on voimassa joaisella ajanhetellä n N. Tämä ominaisuus on juuri se, mitä taroitamme pysähdyshetellä eli määrittelemme alustavasti. 3.8. Alustava määritelmä. Kun T = N ja S on numeroituva, niin satunnaismuuttuja τ :Ω T on pysähdysheti filtraation (F n ) suhteen, jos joaisella n N. {τ = n} F n
34 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Heuristisesti pysähdysheti taroittaa, että odotamme jonin ilmiön tapahtumista, jota uvaa jonin laitteen pysähtyminen. Jos tiedämme oo historian nyyheteen asti, voimme varmuudella sanoa, ono odotamamme ilmiö tapahtunut jo aiemmin tai juuri tällä hetellä, sillä voimme havaita, ono laite pysähtynyt tähän mennessä. Kosa nyyheten ja historian raja on häilyvä, un aia on jatuvaa, ei ole syytä olettaa, etteiö tapahtuma {τ = t} olisi nollatapahtuma. Käytämme sisi apuna seuraavaa havaintoa: joaisella ajanhetellä n seä {τ n} = {τ =0}... {τ = n}. {τ = n} = {τ n}\{τ n 1} un n 1. Jos τ on pysähdysheti, niin {τ n} F n joaisella n N. Toisaalta, jos tiedämme. että {τ n} F n joaisella n N, niin jälimmäisen aavan nojalla τ on pysähdysheti. Tämä muotoilu pysähdyshetelle on helppo yleistää ja asetammein siis 3.9. Määritelmä. Oloon (F t ) join filtraatio. Sanomme, että satunnaismuuttuja τ :Ω T on pysähdysheti filtraation (F t ) suhteen, jos joaisella t T. {τ t} F t Ysinertaisin pysähdysheti on ajanheti. 3.10. Esimeri. Oloon t T ja τ = t vaiosatunnaismuuttuja. Tällöin τ on pysähdysheti. Pysähdysheti yleistää siten ajanheten satunnaisesi ajanhetesi, joa on hallittavissa. Seuraavat esimerit ovat muavia harjoitustehtäviä. 3.11. Esimeri. Oloon (τ n ) jono (F t )-pysähdyshetiä. Tällöin τ 1 τ 2 on pysähdysheti. τ 1 τ 2 on pysähdysheti. τ := sup τ n on (F t )-pysähdysheti. 3.12. Huomautus. Esimereihin emme ottaneet muaan pysähdyshetien infimumia emmeä raja-arvoja. Palaamme näihin hieman myöhemmin. Tämän määritelmän jäleen on asiallista aina osoittaa, että absorptiohetien yleistyset ovat pysähdyshetiä. Tämä taaa sen, että malliesimerimme τ on pysähdysheti juuri asettamamme määritelmän muaan.
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 35 3.13. Lause. Kun G R d on avoin tai suljettu, niin τ G := inf{ t>0: B(t) G } on pysähdysheti täydennetyn historian (Ĥt) suhteen. Edelleen, un G on suljettu, niin τ G on pysähdysheti myös historiansa suhteen. Tässä törmäämme ensimmäistä ertaa todella näihin nollajouoihin. Määrittelemme täydennetyn historian siten, että Ĥ t := σ(h t, N ). Herää taatusti ysymys, ono tämä todella tarpeen ja tulemme palaamaan tähän ysymyseen vielä muutamaan otteeseen. Helpotamme tarastelua ja toteamme lauseen, jona todistamme myöhemmin, unhan meillä on riittävästi työaluja sen todistamiseen. 3.14. Lause. Brownin liieen täydennetty historia (Ĥt) on oiealta jatuva eli Ĥ t = + Ĥ s =: Ĥs s>t joaisella t T. Todistus. Myöhemmin. Törmäsimme päätä pahaa oiealta jatuviin filtraatioihin (eli filtraatioihin (F t ) joille F t = F t + joaisella t T ) ja saattaisimme miettiä, mitä etua oiealta jatuvuudesta on. 3.15. Esimeri. Oloon (τ n ) jono (F t )-pysähdyshetiä ja oloon (F t ) oiealta jatuva. Tällöin τ := inf τ n on (F t )-pysähdysheti. τ := lim sup τ n on (F t )-pysähdysheti. τ := lim inf τ n on (F t )-pysähdysheti. jos raja-arvo τ := lim τ n on olemassa, niin (F t )-pysähdysheti. 3.16. Huomautus. Jos (F t ) on filtraatio, niin filtraatio (F + t ) on oiealta jatuva. (HT) Ennenuin aloitamme Lauseen 3.13 todistusta, äymme läpi muavan aputulosen, joa helpottaa Lauseen 3.13 todistamista. 3.17. Lemma. Oloon (F t ) filtraatio. Tällöin τ on (F + t )-pysähdysheti, jos joaisella t T. {τ < t} F t
36 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Todistus. On siis näytettävä, että {τ t} F + t joaisella t T. Kosa {τ t} = n N {τ < t +2 n } n N F t+2 n = F + t, väite seuraa. Lauseen 3.13 todistus. Oloon G avoin. Haluamme siis osoittaa, että {τ G t} Ĥt. Lemman 3.17 muaan riittää näyttää, että {τ G <t} H t. Jos heten vertaamme vasenta puolta disreettiin tilanteeseen {τ A <n} = {X A jollain < n} havaitsemme, että voisimme yrittää samaa jatuvassa tilanteessa, sillä myös {τ G <t} = {B(s) G jollain s<t}. Yhtäsuuruus on voimassa, sillä jos τ G <t, niin suurimman alarajan määritelmän nojalla löytyy join τ G s<t, jolle B(s) G, joten vasemman puolen tapahtuma sisältyy oiean puolen tapahtumaan. Toisaalta, jos B(s) G jollain s<t, niin suurimman alarajan määritelmän nojalla τ G s<t. On oleellista huomata, että tapahtuman {τ G t} esittäminen ei äy ollenaan näin näppärästi, vaia disreetissä tapausessa esittäminen onnistuuin. Kosa Brownin liie on jatuva ja G on avoin, niin {B(s) G jollain s<t} = {B(s) G jollain rationaalisella s < t} = {B(s) G} H t, s Q,s<t sillä jos B(s) G jollain irrationaalisella s < t, niin jouon G avoimuuden ja Brownin liieen jatuvuuden nojalla B(ŝ n ) G riittävän suurilla n N +, joten yhtäsuuruus on voimassa. Päättelemme siis, että {τ G <t} H t, miä oli osoitettava. Oletetaan nyt, että G on suljettu ja oloon F := G C sen omplemetti, joa on avoin. Yritämme nyt osoittaa, että {τ G t} = {τ G = t} { τ G <t} H t. Jos τ G = t, niin tiedämme välittömästi, että B(s) F joaisella s < t. Nyt Brownin liieen jatuvuuden nojalla, B(t) = lim s t B(s) F.
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 37 Toisaalta suurimman alarajan määritelmän muaan löytyy jono (s n ) t, joille B(s n ) G. Siispä Brownin liieen jatuvuuden nojalla B(t) = lim sn t B(s n) G, sillä G oli suljettu jouo. Siispä B(t) G. Toisaalta, jos tiedämme, että B(t) G, niin joo τ G = t (jouo G oli suljettu) tai sitten τ G <t. Olemme siis päätelleet, että {τ G = t} { τ G <t} {B(t) G} { τ G <t} { τ G = t} { τ G <t} eli {τ G t} = {B(t) G} { B(s) G jollain s < t} Kun G oli avoin, pystyimme esittämään tapahtuman { s < t: B(s) G} rationaalipisteiden avulla. Kun G on suljettu, sama päätelmä ei toimi. Voimme uitenin (yllätys, yllätys) pelastaa tilanteen, sillä R d :ssä löydämme helposti jonon (U n ) avoimia jouoja, joille U 1 U 2 U 2 G ja jota edelleen toteuttavat G = U n. Siispä suoraan jouojen (U n )määritelmän muaan { s <t: B(s) G} = { s < t, n N: B(s) U n } Jos voisimme vaihtaa vanttorien järjestysen ja irjoittaa { s <t: B(s) G} = { n N, s <t: B(s) U n } = n { s < t: B(s) U n }, niin todistusen aluosan perusteella voisimme päätellä, että {τ G <t} H t ja edelleen {τ G t} H t.tällainen vanttorien vaihto eli lauseeesta Joaista... ohti löytyy sellainen..., että... toteutuu lauseeeseen Löytyy sellainen..., että joaisella... toteutuu siirtyminen on matematiiassa usein esiintyvä ns. loaalista ehdosta globaaliin ehtoon siirtyminen. Tällainen siirtymä on aina epätriviaali, mutta toinen suunta on helppo. Jos oletamme, että löytyy sellainen s < t, että joaisella n N: B(s) U n, niin joaista n N ohti taatusti löytyy sellainen s t, että B(s) U n. Vaieampi suunta on yleensä joninsortin ompatisuusargumentti ja niin myös tässä tapausessa. Oletetaan, että joaista n N ohti on sellainen s n t, että B(s n ) U n. Kosa reaaliluujono (s n ) on ylhäältä rajoitettu, niin Analyysi I:n tulosen nojalla löytyy suppeneva osajono (s n) (s n ) ja oloon s = lim s n. Nyt tiedämme,
38 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT että s t. Haluaisimme osoittaa, että B(s) U n joaisella n N, miä onnistuu seuraavasti. Tiedämme, että B(s n+1+m ) U n+1 joaisella m N. Siispä B(s) U n+1 U n, joten B(s) U n joaisella n N. 3.3. Vahva Marovin ominaisuus. Tulemme nyt äsitteeseen, joa erottaa disreetin ja jatuvan tilanteen todella toisistaan. Disreetissä tapausessa aiilla Marovin etjuilla on vahva Marovin ominaisuus, mutta jatuvassa tilanteessa näin ei enää ole. Luonnollisesti Brownin liieellä on tämäin omainaisuus. Kappaleen alussa määrittelimme Marovin ominaisuuden seä pysähdysheten. Disreetissä tapausessa, jos (X n ) on MK ja τ on join pysähdysheti saatoimme tarastella tapahtumia pysähdysheteen τ saaa. Voimme myös määritellä tapahtumat, jota muodostavat satunnaisen historian heteen τ asti. Kaii mahdolliset tapahtumat oostuvat polutapahtumista {τ = n, X 0 = i 0,..., X n = i n } =: A(n, i 0,..., i n ) H n ja näiden virittämää σ-algebraa voisimme hyvin nimittää H τ :lla. Kosa P ( X τ+m = j H τ ) = [ A(n, i 0,..., i n )]P( X n+m = j A(n, i 0,..., i n )) n N i 0,...i n = [ A(n, i 0,..., i n )]P( X n+m = j X n = i n ) n N i 0,...i n = [ τ = n, X n = i n ]P ( X τ+m = j X τ ) n N i n = P ( X τ+m = j X τ ) ja aiastationaarisessa tilanteessa P ( X τ+m = j X τ )=P Xτ ( X m = j ). Kuten huomaamme, nämä ovat täysin analogiset Marovin ominaisuuden anssa, un ajanheti n on orvattu pysähdyshetellä τ. Jotta voisimme yleistää tämän jatuvaan tilanteeseen, meidän tulisi yetä esittämään σ-algebra H τ ilman polutapahtumia. Tämä vaatii hieman miettimistä ja jotta tätä pohdintaa ei estäisi ovin auan toteamme, että A H τ jos ja vain jos {A ja τ n} H n joaisella n N (HT). Tämä muotoilu historian pysähdysheteen τ saaa on helppo yleistää, joten 3.18. Määritelmä. Oloon (F t ) filtraatio ja τ pysähdysheti. Tällöin pysähdysheten τσ-algebra F τ on niiden tapahtumien A F jouo, joille F τ = { A F : t T : {A, τ t} F t }
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 39 Ennenuin mietimme, mitä ominaisuusia σ-algebralla F τ on, niin voimme jo määritellä vahvan Marovin ominaisuuden. 3.19. Määritelmä. Stoastisella prosesilla (X t ) on vahva Marovin prosessi filtraation (F t ) suhteen, jos aiilla ajanhetillä >t+ τ τ ja aiilla A S on voimassa (3.20) [ τ< ]P ( X t+τ A F τ )=[τ< ]P ( X t+τ A X τ ) m.v. Aiastationaarinen vahva Marovin ominaisuus taroittaa, että (3.21) [ τ< ]P ( X t+τ A F τ )=[τ< ]P Xτ ( X t A ) m.v. Tulemme ohta näyttämään, että 3.22. Lause. Brownin liieellä on aiastationaarinen vahva Marovin ominaisuus. Voimme luonnostella tämän todistusen heuristisesti, jotta tiedämme, mitä ominaisuusia ja tietoja tarvitsemme. Jos matimme todistusta, että ysiulotteinen Brownin liie on Marovin prosessi, niin voisimme yrittää seuraavaa ( ) ( ) P B(t + τ) x Ĥτ = P B(t + τ) B(τ) x B(τ) Ĥτ ( ) = P B(t + τ) B(τ) x y Ĥτ y = B(τ) ( ) = P B(t + s) B(s) x y Ĥτ s = τ, y = B(τ) = P ( B(t + s) B(s) x y ) s = τ, y = B(τ) = P ( B(t) x y ) s = τ, y = B(τ) = P y ( B(t) x ) y = B(τ) = P B(τ) ( B(t) x ) Toinen yhtäsuuruus vaatisi, että tietäisimme, että B(τ) on Ĥτ-mitallinen. Itse asiassa, emme vielä ole varmistaneet, että B(τ) on satunnaismuuttuja ylipäätään. Tähän palaamme siis piaoin. Kolmannen ja viidennen rivin yhtäsuuruus taroittaisi, että tiedämme lisäysen B(τ + t) B(τ) olevan riippumation σ-algebrasta Ĥτ ja sen, että voimme ohdella pysähdysheteä τ uin tavallista ajanheteä. Tarastelemme ensimmäistä ysymystä taremmin ja toinen seuraa samalla argumentilla, jota emme sitten toista. Palataamme tuttuun ja turvalliseen disreettiin tilanteeseen. Tällöin σ-algebra H τ oli esplisiittisesti määritelty,
40 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT sillä A H τ jos ja vain jos A = {τ = n, j n: X j = i j,,n } =: A n. i 0,,n,...,i n,,n n,n N miä on varsinainen indesiviidao. Toisaalta huomaamme, että voimme ilmaista jouon hieman ompatimmin asettamalla uvausen f n (i 0,..., i n ) = [ { j n: i j = i j,,n } ] Tällöin stoastinen prosessi (Y n ) := (f n (X 0,..., X n )) toteuttaa ehdon [ τ = n ]Y n =[ {τ = n, j n: X j = i j,,n } ] = [ A n ], joten summaamalla havaitsemme, että Y τ = n [ τ = n ]Y n = n [ A n ] = [ A ], joten erityisesti {Y τ =1} = A. Stoastinen prosessi (Y n ) toteuttaa erityisen ominaisuuden: ullain ajanhetellä n satunnaismuuttuja Y n on H n -mitallinen. Tällä täreällä ominaisuudella on luonnollisesti nimi. 3.23. Määritelmä. Oloon (X t ) stoastinen prosessi ja (F t ) filtraatio. Sanomme, että X on adaptoitu filtraation (F t ) suhteen, jos X t on F t -mitallinen joaisella t T. 3.24. Esimeri. Joainen prosessi (X t ) on adaptoitu historiansa ja täydennetyn historiansa suhteen. 3.25. Esimeri. Jos (X n ) on satunnaisulu, niin n Y n = f (X ) =0 on adaptoitu prosessin X historian suhteen. 3.26. Esimeri. Jos τ on (F t )-pysähdysheti, niin on (F t )-adaptoitu. X t := [ τ t ] Palataamme taaisin σ-algebran H τ tarasteluun. Edellä osoitimme jo, että jos A H τ, niin on olemassa sellainen (H n )-adaptoitu prosessi Y, että [A ]= Y τ. Jos määrittelemme, että G := σ ( { Y τ : Y on (H n )-adaptoitu } ),
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 41 niin edellisen perusteella A G. Siispä H τ G. Toisaalta, jos Y on (H n )- adaptoitu, niin Y n = g n (X 0,..., X n ) jollain uvausilla (g n ), joten Y τ = [ τ = n, j n: X j = i j ]g n (i 0,..., i n ), n i 0,...,i n eli Y τ on H τ -mitallinen. Tästä voimme päätellä, että { {Y τ B} : B S, ja Y on (H n )-adaptoitu } H τ, joten G H τ. Siispä H τ = G. Voisimme yrittää yleistää tätä jatuvaan tilanteeseen ja yrittää osoittaa, että H τ = σ ( { Y τ : Y on (H t )-adaptoitu } ), Kosa B on adaptoitu täydennetyn historiansa suhteen, voisimme silloin todeta, että B(τ) on seä satunnaismuuttuja, että H τ -mitallinen. Tämä ei tosin pidä paiaansa täydessä yleisyydessään, mutta varsin pieni muutos tarvitaan. Tämä tulos ei luonnollisesti ole mitenään yleisin mahdollinen, mutta varsin riittävä tarpeisiimme. On huomattava, että tämä muutos on järevä vain jatuvassa tilanteessa. 3.27. Määritelmä. Oloon (X t ) stoastinen prosessi. Sanomme, että X on càdlàg-prosessi, jos se on oiealta jatuva ja sillä on vasemmanpuoleiset rajaarvot joaisella ajanhetellä t T. 3.28. Esimeri. jatuvat prosessit ovat càdlàg-prosesseja un τ on pysähdysheti, niin prosessi Y t =[τ t ] on càdlàg. 3.29. Lause. Jos τ on (F t )-pysähdysheti ja (F t ) on oiealta jatuva ja täydennetty nollajouoilla, niin F τ = σ ( { Y τ : Y on (F t )-adaptoitu càdlàg-prosessi } ), Todistus. Meritään väitteen oiean puolen σ-algebraa G :llä. Oloon A F τ. Tällöin Y t =[A, τ t ] F t joten Y t on adaptoitu. Lisäsi edellisen esimerin muaan se on càdlàg-prosessi, sillä ajan suhteen vaiolla [ A ] ertominen ei muuta tilannetta. Nyt Y τ = {A}, joten A G.Tämä osoittaa, että F τ G. Toiseen suuntaan riittää osoittaa, että jos Y t on reaaliarvoinen adaptoitu càdlàg-prosessi, niin Y τ F τ. (HT. Misi?) Tulee siis näytää, että {Y τ
42 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT x, τ t} F t. Voimme äyttää summausteniiaa, joten [ Y τ x, τ t ]= [ τ ε = ε, Y τ x, τ t ]. Tiputamme jatossa yläindesin ε hetesi pois ja meritsemme τ + = τ + ε. Nyt { τ ε = ε, Y τ x, τ t} = { τ = ε, Y ( τ + ) x + R ε (),τ t}, missä R ε () = [ τ = ε ](Y ( τ + ) Y (τ)). Voimme nyt äyttää hyväsi oiealta jatuvuutta. Kosa väli [0,t] on suljettu, niin jatuvuus on tasaista eli formaalisti ε > 0, δ > 0, s, r [0,t]: Y (s) Y (r) ε s r δ Valitaan nyt α> 0. Tällöin siis löytyy sellainen δ(α) > 0, että jos R ε () α, niin τ τ + δ(α). On uitenin huomattava, että δ(α) on satunnainen. Voimme siis arvioida, että joten [ R ε () α ] [ τ + τ δ(α), τ = ε ] [ δ(α) ε, τ = ε ], [ B, R ε () α, τ t ] [ δ(α) ε ] oli B miä tahansa jono tapahtumia. Kun ε 0, niin oiea puoli häviää melein varmasti. Voimme myös päätellä, että [ B, R 2 m() α, τ t ] [ δ(α) 2 n ] 0, un n joten sup m n n N m n {B, R 2 m() α, τ t} N sillä tapahtuma on nollatapahtuma. Edelleen voimme päätellä, että N := {B, R 2 m() α, τ t} N Q α>0 n N m n Tämä tapahtuma voidaan myös tulita seuraavasti: N = {annetulla α> 0 tapahtuma B, R 2 m() α ja τ t tapahtuu äärettömän usein} Voimmein siten olettaa, että ε> 0 on niin pieni, että R ε () α melein varmasti ja tarastella tapahtumaa A (ε) := { τ = ε, Y (ε + ε) x + R ε (),τ t}. Havaitsemme välittömästi, että C (ε, α) A (ε) C + (ε, α), un C ± (ε, α) := { τ = ε, Y (ε + ε) x ± α, τ t}
Tästä seuraa, että STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 43 sup m n [ A (2 m )] sup [ C + (2 m,α)] m n joaisella aleistaphtumalla ω, unhan n N on riittävän suuri. Siispä melein varmasti [ Y τ x, τ t ] lim sup [ C + (2 m,α)] m joaisella rationaalisella α> 0. Voimme nyt arvioida edelleen ja päätellä, että lim sup [ C + (2 m,α)] [ Y τ x +2α, τ t ]. m Kun α 0 +, niin monotonisuuden perusteella [ Y τ x, τ t ] = lim inf lim sup [ C + α 0 (2 m,α)] m melein varmasti. Siispä olemme osoittaneet, että haluttua indiaattoria [ Y τ x, τ t ] voidaan nollatapahtumien indiaattoreita vaille approsimoida satunnaismuuttujajien jonona, joten indiaattori on ainain satunnaismuuttuja. Kosa [ C + (2 m,α)] on F t+2 m-mitallinen joaisella m N ja α> 0, niin voimme päätellä, että lim sup [ C + (2 m,α)] on F t + -mitallinen m joten edelleen {Y τ x, τ t} F t +. Kosa (F t ) oli oiealta jatuva ja täydennetty, niin {Y τ x, τ t} F t ja väite seuraa. Tämän lauseen perusteella voimme päätellä, että Brownin liieellä on aiastationaarinen vahva Marovin ominaisuus, jos P ( B(τ + t) B(τ) x H τ )=P ( B(t) x ). Kosa oiea puoli on luu, joten taatusti H τ -mitallinen, niin ehdollisen odotusarvon määritelmän perusteella riittääin osoittaa, että P ( A, B(τ + t) B(τ) x )=P ( B(t) x ) P ( A ) joaisella A H τ. Toistamalla edellisen lauseen approsimointiargumentin, voimme todeta, että tämä on yhtäpitävää sen anssa, että P ( B(t) x ) P ( A ) = lim ε 0 P ( A, τ = ε, B( τ + ε + t) B( τ + ε) x )
44 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kosa {A, τ = ε} = {A, ε τ < ε + ε} H ε+ε ja satunnaismuuttuja τ saa vain numeroituvan määrän arvoja, joten voimme soveltaa Brownin liieen Marovin ominaisuutta ja P ( A, τ = ε, B( τ + ε + t) B( τ + ε) x ) = E ( [ A, τ = ε ]P ( B( τ + ε + t) B( τ + ε) x H ε+ε ) ) = P ( A, τ = ε ) P ( B(t) x ) Summamalla nyt todennäöisyydet yhteen ja menemällä rajalla saamme, lim ε 0 P ( A, τ = ε ) P ( B(t) x ) = lim ε 0 P ( B(t) x ) P ( A ), joten olemme saaneet osoitettua, että 3.30. Lause. Brownin liieelle on vahva Marovin ominaisuus.