2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100% 86,49...% 13,50...% Vilman alennusprosentti: 125,00 0,8338... 149,90 alennusprosentti100% 83,38...% 16,61...% 13,50% Vastaus: Vilman alennus prosentti on suurempi 3. 1200 0,48 2500 Arvo laski 100% 48% 52%. 4. Talletuksen korko 0,0125 200 2,50 1

Verotus 5. a) Verrataan tuotekehittelyosaston henkilöstömäärää (osoittaja) markkinointiosaston henkilöstömäärään (nimittäjä): 138 1,84 184% 75 Tuotekehittelyosaston henkilöstömäärä on 184 % - 100 % = 84 % suurempi b) Verrataan markkinointiosaston henkilöstämäärää (osoittaja) tuotekehittelyosaston henkilöstömäärään (nimittäjä) 75 0,5434... 54% 138 Markkinointiosaston henkilöstömäärä on 100 % - 54 % = 46 % pienempi 6. a) Sijoituksen arvo vuoden kuluttua: 4,25 (1 ) 700 1,0425 700 729,75 100 b) Koska sijoitettava summa on kummassakin tapauksessa sama, voidaan tilanteita vertailla tuottoprosenttien avulla. Verrataan Eetun tuottoprosenttia Netan tuottoprosenttiin: 4,90% 1,1529... 115% 4,25% Eetun rahaston tuotto on siis 115 % - 100 % = 15 % suurempi. 2

Verotus 7. Merkitään kahvipaketin hintaa Veijon valinnassa kirjamella a. Kahvin hinta Pekan puodissa 1,015a Kahvin hinta Marjatan marketissa 1,035a a) 3,5 1,5 2,0 (prosenttiyksikköä) b) 1,035 a 1,01970... 102% eli 2,0 % enemmän 1,015a c) 1,015 a 0,9806... 98,1% 1,035a eli 100% 98,1% 1,9% vähemmän 8. a) 15,00 1,600,8 19,20 b) 19,20 1,28 128% 15,00 Kauppias saa yhdestä saapasparista 28 % enemmän. c) Alkuperäinen myyntihinta 1, 6 15 24. Kauppiaalle jää 24 15 9 saapasparista. Ennen poistomyyntiä myydystä saappaista kauppiaalle jää: 809 720 Alennetusta hinnasta 19,20 kauppiaalle jää 19,20 15 = 4,20 saapasparista. Poistomyynnissä myydyistä saappaista kauppiaalle jää: 204,20 84 Kauppiaalle jää yhteensä 100 saapasparin myynnistä 720 + 84 = 804. 9. Merkitään lipun hintaa alussa kirjaimella a. 3

Verotus Lipun hinta muutosten jälkeen: 1, 2 1,1 1, 05a 1,386a Hinta nousi 138,6% 100% 38,6% 39%. 10. Foni Oy Merkitään markkinaosuutta alussa (vuonna 2008) kirjaimella a. Markkinaosuus vuonna 2010 on 1,16 1,06 1,04a 1, 278784a. Kasvua 27,84 % Puhe Oy Merkitään markkinaosuutta alussa (vuonna 2008) kirjaimella b. Markkinaosuus vuonna 2010 on 1,1 1,09 1,07b 1, 28293b Kasvua 28,29 % > 27,87 % Vastaus: Puhe Oy on kasvattanut markkinaosuuttaan enemmän 11. Hinta Koko Kilohinta Alussa Lopussa a 1,05a b 1,085b a b 1, 05a 0,9677... 1,085b 12. Kilohinta laski 100% 96,77...% 3,225...% 3,2% Alussa Lopussa 4

Verotus Kilohinta Kysyntä Myyntitulot a 1,08a b 0,95b ab 1,08a 0,95b 1,026ab Myyntitulot nousivat 102,6 % - 100 % = 2,6 %. 13. Merkitään alkuperäistä kuukausipalkkaa kirjaimella x. 1,035x 2550 :1,035 x 2463,768... Vastaus: 2463,77 (tai 2464 ) 14. Merkitään lomarahaa kirjaimella x. Ismon sijoittama summa 1 2 x. Puolen vuoden jälkeen sijoituksen arvo 1 1,025 x 520 2 0,5125x 520 : 0,5125 x 1014,6341... Vastaus: 1014,63 (tai 1015 ) 5

Verotus 15. Merkitään velatonta hintaa kirjaimella x. Leena saa myyntihinnasta välityspalkkion jälkeen 100% 3,8% 96, 2%. Saadaan yhtälö 0,962x = 119288 :0,962 x = 124000 Vastaus: 124 000 16. a) Merkitään kuukausipalkkaa kirjaimella x. 0,315x 650 :0,315 x 2063,492... 2063,49 ( ) b) Käteen jää verojen vähentämisen jälkeen prosentteina 100% 29,5% 70,5%. Käteen jäävä rahasumma on 0,705 2063, 49 1454,76 Vastaus: a) 2063,49 b) 1454,76 17. Merkitään alentamatonta hintaa kirjaimella x. 0,6 0,3x 6,55 0,18x 6,55 :0,18 x 36,388... Vastaus: 36,39 18. Olkoon palkka ennen korotuksia a. 6

Verotus Palkka x-kertaistuu molempina vuosina eli kahden korotuksen jälkeen se on c. Koska kokonaiskorotus oli 5,5 %, on palkka lopussa 1,055a. Saadaan yhtälö 2 xa a a a x 2 1,055 :, 0 1,055 x 1,02713... Vuotuinen korotus on 1,02713... 1 0,02713... 2,7%. 19. Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. Saadaan yhtälö k 5 10,50 17,80 :10,50 5 17,80 k 10,50 17,80 k 5 10,50 5 k 1,695... k 1,1113... Päivittäinen nousu on 1,113... 1 = 0,113... 11 % Vastaus: päivittäinen nousu 11 % (tai 11,13 %) 7

Verotus 20. a) 26,0 1,07883... 107,883...% 24,1 Liikevaihto oli 107,883 % - 100 % = 7,883 % 7,88 % suurempi b) 24,9 0,98031... 98,031...% 25,4 Liikevaihto oli 100 % - 98,031... % = 0,01968...% 1,97 % pienempi 21. Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. 120 k 123 :120 k 1,025 102,5 % Vastaus: Tilin korkoprosentti 2,5 % 22. a) Helmikuussa talletettiin 20 % enemmän eli 1, 2 10 12 b) Joulukuussa (11 kuukauden kuluttua) talletettiin 11 1,2 10 74,3008... 74,30 23. Merkitään kirjan alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Kirjan hinta hinnan nousun jälkeen 1,05a. Kirjan hinta hinnan laskun jälkeen 0,92 1,05a 0,966a 8

Verotus Hinta oli siis 96,6 % alkuperäisestä hinnasta eli hinta laski 100% 96,6% 3, 4%. Vastaus: Hinta laski 3,4 % 24. Pääsymaksu Alussa Lopussa a 1,15a Kävijämäär ä b 0,9b Myyntitulot ab 1,15a 0,9b 1, 035ab Myyntitulot kasvoivat 103,5 % - 100 % = 3,5 % 25. Merkitään talletettua rahasummaa kirjaimella x. a) 1,018x 96,51 :1,018 x 94,8035... x 94,80 ( ) b) 3 3 1,018 x 84, 40 :1,018 x 80,0016... x 80 ( ) Vastaus: a) 94,80 b) 80 9

Verotus 2.2 Ansiotulojen verotus 26. Perusprosentti 28,5 % Lisäprosentti 46,5 % Tuloraja 2850,50 a) Kun tulot ovat 2500, pidätetään vain perusprosentin mukaan: 0,2852500 712,50 b) 3000 tuloista 2850,50 pidätetään perusprosentilla eli veroa pidätetään 0, 285 2850,50 812,3925 812,39. Ylimenevältä osalta, 3000 2850,50 149,50, pidätetään vero lisäprosentin mukaan: 0, 465149,50 69,5175 69,52 Käteen jää 3000 812,39 69,52 2118,09. 27. Ennakonpidätysprosentti 42 % Bruttopalkka x Palkasta jää käteen 100 42 % 58%. 0,58x 847,30 :0,58 x 1460,862... x 1460,86 Veroa on siis maksettu 1460,86 847,30 613,56. 10

Verotus 28. a) 32000 on tuloverotaulukossa luokassa 22600 36800 Vero alarajan kohdalla on 489. Ylimenevältä osalta pidätetään 17,5 % veroa: 0,175 (32000 22600 ) 0,1759400 1645 Tuloveroa yhteensä 489 + 1645 = 2134. b) 60 000 on tuloverotaulukossa luokassa 36800 66400. Vero alarajan kohdalla on 2974. Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % veroa: 0,215 (60000 36800 ) 0,21523200 4988. Tuloveroa yhteensä 2974 + 4988 = 7962 29. a) 15500 on tuloverotaulukossa luokassa 15200 22600. Vero alarajan kohdalla on 8. Ylimenevältä osalta pidätetään 6,5 % veroa: 0,065 (15500 15200 ) 0,065300 19,50. Tuloveroa yhteensä 8 + 19,50 = 27,50 b) 36 800 on tuloverotaulukon luokan 36800 66400 alaraja. Vero alarajan kohdalla on 2974. Tämä on kokonaisuudessaan 36800 euron tuloista pidätettävä veron määrä. 11

Verotus 30. Maksettu veron määrä on pienempi kuin kolmannen luokan alarajalla maksettava verojen määrä (2974 ). Sonjan verotettavat tulot kuuluvat tällöin luokkaan 22600 36800. Merkitään kirjaimella x Sonjan verotettavaa ansiotuloa. Saadaan yhtälö 489 0,175( x 22600) 1760 489 0,175x 3955 1760 0,175x 5226 : 0,175 x 29862,857... x 29863 Vastaus: Verotettava ansiotulo on 29 863. 31. a) Valtion tulovero 8 0,065 (18000 15200) 8 0,0652800 190 ( ) Kunnallisvero Mikkeli 19,50 % Veroa maksettava 0,19518000 3510. Veroja yhteensä 190 + 3510 = 3700 12

Verotus b) Valtion tulovero 8 0,065 (18000 15200) 8 0,0652800 190 ( ) Kunnallisvero Turku 18,75 % Veroa maksettava 0,187518000 3375. Veroja yhteensä 190 + 3375 = 3565 32. Eerika maksaa kunnallisveroa 20,00 % eli 0,20 2150 430. Minja maksaa kunnallisveroa 17,5 % eli 0,175 2500 437,50. Minja maksaa 437,50 430 7,50 enemmän. 33. a)valtion tulovero Ellin palkka kuuluu luokkaan 36800 56400. Vero alarajan kohdalla 2974. Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % eli 0,215 (38200 36800 ) 0,2151400 301. Valtion tuloveroa yhteensä 2974 + 301 = 3275. 13

Verotus Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 23,9 % Veroa 0,239 38200 9129,80 Kaikki verot yhteensä 3275 + 9129,80 = 12404,80 b)valtion tulovero Urhon palkka kuuluu luokkaan 36800 56400. Vero alarajan kohdalla 2974. Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % eli 0,215 (41380 36800 ) 0,2154580 984,70. Valtion tuloveroa yhteensä 2974 + 984,70 = 3958,70. Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,15 % Veroa 0, 2515 41380 10407,07 Kaikki verot yhteensä 3958,70 + 10407,07 = 14365,77 14

Verotus 34. Konstan vuositulot 12 2812,50 = 33750 Valtion tulovero Konstan palkka kuuluu luokkaan 22600 36800. Vero alarajan kohdalla 489. 0,175 33750 22600 1951,25, Ylimenevän osan vero: Veroa yhteensä 489 + 1951,25 = 2440,25 Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,15 % Veroa 0,2515 33750 = 8488,125 8488,13 Kaikki verot yhteensä 2440,25 + 8488,13 = 10928,38 35. a) 162520 mk kuuluu luokkaan 113000 mk 178000 mk. Veroa maksetaan luokan alarajalla 9540 mk. Ylimenevästä osasta 162520 113000 mk 49520 mk veroa maksetaan 25,0 % eli 0,25 49520 mk 12380 mk Veroa maksetaan yhteensä 9540 mk 12380 mk 21920 mk. 15

Verotus b) Jos vuositulot olisivat 113 000 mk 178 000 mk, jäisi pidätyksen jälkeen käteen alle 162 520 mk. Vuositulot kuuluvat luokkaan 178 000 mk 315 000 mk. Merkitään vuosituloja kirjaimella x. Vuosituloista maksetaan veroja 25790 0,31x 178000 25790 0,31x 55180 0,31x 29390 Saadaan yhtälö x0,31x29390162520 x0,31x29390 162520 0,69x 133130 :0,69 x 192942,028... x 192942 Vastaus: a) 21 920 mk b) 192 942 mk 16

Verotus 36. Esimerkiksi Helsinki (kunnallisvero 17,50 %) Kunnallisvero tulot vero tulot 20000 vero 320 2000025000 3500 909 2500030000 43751784 3000035000 52502659 3500040000 61253662 4000045000 70004737 4500050000 78755812 5000055000 87506887 5500060000 96257962 6000065000 105009037 6500070000 1137510419 7000075000 1225011919 7500080000 1312513419 8000090000 1400016419 9000095000 1575017919 95000 100000 1662519419 100000 17500 Valtion tulovero 17

Verotus 37. a) Alle 2150 euron tuloista veroa pidätetään perusprosentin mukaan 0,265 1980 = 524,70 b)perusprosentilla pidätetään 2150 euroon asti. 0,265 2150 = 569,75 2150 euron ylimenevältä osalta veroa pidätetään lisäprosentin mukaan 0,42 (2470-2150 ) = 0,42 320 = 134,40 Veroa pidätetään yhteensä 569,75 + 134,40 = 704,15 38. Vuosiansiot 12 1970,60 = 23647,20 Valtion tulovero Verotettava tulo kuuluu luokkaan 22600 36800. Vero alarajan kohdalla 489 Vero alarajan ylittävästä osasta 0,175 (23647,20-22600 ) = 183,26 Veroa yhteensä 489 + 183,26 = 672,26 Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,50 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,65 % Veroa yhteensä 0,2565 23647,20 = 6065,5068 6065,51 Kaikki verot yhteensä 672,26 + 6065,51 = 6737,77 18

Verotus 39. Merkitään vuosiansioita kirjaimella x. Koska veroa maksettiin 6250, ansiot kuuluvat veroluokkaan 36 800 66 400. Vero alarajan kohdalla 2974 Alarajan ylittävästä osasta on x 36800. 0, 215 x 36800. Siitä maksetaan veroa 21,5 % eli Veroa yhteensä siis 0,215 x 36800 2974, joten saadaan yhtälö 0, 215x 368002974 6250 0, 215x 7912 2974 6250 0,215x 11188 :0,215 x 52037, 2093 x 52037 ( ) 40. Valtion tulovero Verotettavat tulot kuuluvat luokkaan 22600 36800 Vero alarajan kohdalla 489 Vero alarajan ylittävästä osasta 0,175 (25000-22600 ) = 420 Veroa yhteensä 489 + 420 = 909 Muut verot Kunnallisvero 19,00 % eli 0,19 25000 = 4750 Kaikki verot yhteensä 909 + 4750 = 5659 Tuloista menee veroihin 5659 0,22636 22,6% 25000 41. 19

Verotus 2.3 Muut verot 42. Ilmari maksaa veron myyntivoitosta 40000 35000 5000 Veroja maksetaan 28 % eli 0,28 5000 1400. 43. 44. Osakkeet maksoivat 10 25 250. Osakkeiden arvo kurssinousun jälkeen 1,15 250 287,50. a) Voitosta maksetaan veroa 28 %: 0, 28 287,50 250 10,50 b) Voitto verojen jälkeen 287,50 250 10,50 27 45. Vuokratulo vuodessa 12 200 2400 Nettotulo 2400-1600 = 800 Vero 0,28 800 = 224 20

Verotus 46. Perintö 134 328 pyöristetään verotuksessa arvoon 134 300. Vaarilta saatava perintö verotetaan 1. veroluokan mukaan. Perintö on luokassa 60 000. Vero alarajan kohdalla on 3500. Vero ylimenevältä osalta on 13 % eli 0,13(134300 60 000 ) = 9659 Veroa maksetaan yhteensä 3500 + 9659 =13159. 47. a) äiti kuuluu 1. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla on 100 Vero alarajan ylimenevältä osalta on 7 % eli 0,07(15000-4000 ) = 770 Lahjasta tulee maksaa veroa 100 + 770 = 870 b) serkku kuuluu 2. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevältä osalta on 20 % eli 0,20(15000-4000 ) = 2200 Lahjasta tulee maksaa veroa 100 + 2200 = 2300 21

Verotus c) Kummankin isovanhemman antama lahja on suuruudeltaan 15000 : 2 = 7500 Isovanhemmat kuuluvat 1. veroluokkaan. Lasketaan ensin 7500 euron lahjasta maksettavat verot. Vero alarajan kohdalla 100 Vero alarajan ylimenevältä osalta on 7 % eli 0,07 (7500-400 ) = 245 7500 euron lahjasta pitää maksaa veroa 100 + 245 = 345. Koska tällaisia rahalahjoja on kaksi veroa pitää maksaa yhteensä 2 345 = 690 Vastaus: a) 870 b) 2300 c) 690 48. Ulla Ulla lahjoittaa 0,6 8500 5100. Sisaret kuuluvat 2. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 100. Vero ylimenevältä osalta 20 %: 0,20 (5100 4000 ) =220 Ullan lahjasta makettava veroa 100 + 220 = 320 Maija Maija lahjoittaa 8500-5100 = 3400. Koska lahjoitettava summa on alle 4000, siitä ei tarvitse maksaa veroja. Koko lahjoituksesta on siis maksettava veroja 320. 22

Verotus 49. Merkitään perinnön arvoa kirjaimella x. Koska Iiro perii tätinsä, veroa maksetaan 2. veroluokan Koska veron määrä on yli 4100 ja alle 9300, kuuluu perintö luokkaan 40000-60 000. Veroa maksetaan luokan alarajalla 4100. Alarajan ylimenevästä osasta maksetaan veroa 26 % eli euroina 0,26 (x 40000) Saadaan yhtälö 4100 0,26 x 400005400 4100 0, 26x 10400 5400 0, 26x 11700 :0,26 x 45000 Vastaus: 45 000 Huom! Koska verotuksessa summa pyöristetään alaspäin satoihin euroihin voi lahjoitettava summa olla välillä [45000, 45100 [. 50. 23

Verotus 51. a) Kuukausitulot ( ) Alaraja Yläraja Vakio säästösumma alarajan kohdalla ( ) Säästöprosentti alarajan ylittävältä osalta (%) 0 1000 0 2 1000 1500 20 5 1500 2000 20 0,051500 1000 7 45 80 500x 120 500x 40 45 0,07 2000 1500 2000 2500 x 0,08 80 eli 8 2500 3000 120 10 b) 2400 kuuluu luokkaan 2000 2500. Summa alarajan kohdalla 80. Alarajan ylittävältä osalta säästöön 8 %: 0,08 2400 2000 32 Kaikkiaan säästöön 80 + 32 = 112. 24

Verotus 52. Tuote tai palvelu Veroton hinta ( ) Alv ( ) Verollinen hinta ( ) leipä 0,93 0,130,93 0,1209 0,12 1,130,93 1,0509 1, 05 cdsoitin 139,00 113,01 1, 23 139,00 113,01 25,99 139,00 taksi 4,21 46,78 0,09 4,21 46,78 4,21 50,99 tuote A 1,52a 1, 23 1, 24a 1,52a 1, 24a 0,28a 1,52a 53. a) Veroton hinta x Koska arvonlisäveroa maksetaan myös polttoaineverosta, saadaan yhtälö 1, 23( x 0,6270) 1,30 :1,23 x 0,6270 1,0569... x 0,4299... x 0,43 ( / l) 25

Verotus b) Bensiinin hinnassa on veroa 1,30 /l 0,43 /l = 0,87 /l Veron osuus prosentteina 0,87 0,669... 67% 1,30 54. Elintarvikkeiden verollinen hinta 1,13 21,20 23,956 23,96 Ei -elintarvikkeen verollinen hinta 34,20-23,96 = 10,24 Ei-elintarvikkeen veroton hinta x: 1,23x 10,24 :1,23 x 8,325... x 8,33 Arvonlisäveroa maksetaan yhteensä 34,20-21,20-8,33 = 4,67 55. a) Kuluttaja maksaa 1,2325,00 30,75 b) Kauppiaan maksama hinta 1,2318,00 22,14 c) Yritys tilitti alv:a (eli kauppias maksaa alv:a ostaessaan tuotteen): 22,14 18,00 4,14. Alv:n osuus loppuhinnasta (kuluttajan maksama alv): 30,75 25,00 5,75. Kauppias tilittää 5,75 4,14 1,61. 26

Verotus 56. Ostojen veroton hinta x. 1, 23x 20000 :1, 23 x 16260,1626... x 16260,16 Ostoissa arvonlisäveroa 20000 16260,16 3739,84 Myyntituottojen veroton hinta m 1,23m 40000 :1,23 m 32520,3252... m 32520,33 Myyntituotoissa arvonlisäveroa 40000 32520,33 7479,67 Vimma Oy tilittää arvonlisäveroa myynnin alv ostojen alv 7479,67 3739,84 3739,83. 27

Verotus 57. Valmistajan veroton hinta v 1, 23v 7400 :1, 23 v 6016,260... v 6016, 26 Arvonlisäveron määrä 7400 6 16, 26 1383,74 Liikkeen veroton hinta l 1, 23l 10400 :1, 23 l 8455,284... l 8455, 28 Arvonlisäveron määrä 10400-8455,28 = 1944,72 a) Kännykkäliike tilittää arvonlisäveroa 1944,72-1383,74 = 560,98 b) Valtio saa arvonlisäveroa sekä valmistajalta että myyjältä: 1383,74 + 560,98 = 1944,72. Tämä on sama määrä, minkä kuluttaja maksaa arvonlisäveroa ostaessaan tuotteen. 28

Verotus 58. a) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,23h Arvonlisävero 0,23h 0,23h 0,18699... 19% 1, 23h b) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,09h Arvonlisävero 0,09h 0,09h 0,08256... 8,3% 1, 09h c) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,13h Arvonlisävero 0,13h 0,13h 0,11504... 12% 1,13h 59. a) Veroton hinta k Verollinen hinta ennen korotusta 1,09k Verollinen hinta korotuksen jälkeen 1,13k Muutos 1,13k 1,03669... 103,7% 1, 09k eli nousee 3,7 % 29

Verotus b) Vanha veroton hinta k Vanha verollinen hinta 1,09k Uusi veroton hinta 0,9k Uusi verollinen hinta 1,13 0,9k 1,017k Muutos 1,017k 0,933302... 93,3% 1, 09k eli laskee 100 % - 93,3 % = 6,7 % c) Vanha veroton hinta k Vanha verollinen hinta 1,09k Uusi veroton hinta 1,05k Uusi verollinen hinta 1,13 1, 05k 1,1865k Muutos 1,1865k 1,08853... 108,9% 1, 09k eli nousee 8,9 % 60. Karkkipussin veroton hinta x. Karkkipussin verollinen hinta 1,13x Arvonlisävero 0,13x Lehden veroton hinta y Lehden verollinen hinta 1,09y Arvonlisävero 0,09y 30

Verotus 1,13x 1,09y 7,80 0,13 0,13x0,09y 0,76 1,13 0,1469x0,1417y 1,014 0,1469x 0,1017 y 0,8588 0,04y 0,1552 : 0,04 y 3,88 Sijoitetaan saatu y:n arvo ensimmäiseen yhtälöön. 1,13x 1,093,88 7,80 1,13x 3,5708 :1,13 x 3,16 Karkkipussin hinta 3,16 Lehden hinta 3,88 61. Yrityksen verottomat myyntitulot x Verolliset myyntitulot 1,23x Arvonlisävero 0,23x Tarvikeostojen veroton hinta y 1, 23y 12400 :1, 23 y 10081,3008... y 10081,30 Arvonlisäveron määrä 12400-10081,30 = 2318,70 31

Verotus Yritys tilittää valtiolle 3560,75, joten saadaan yhtälö: 0, 23x 2318,70 3560,75 0, 23x 5879, 45 :0,23 x 25562,826... x 25562,83 Verolliset myyntitulot 1, 23 25562,83 31442,2809 31442 62. Arvonlisävero 13 % Lasketaan kalastajan myymien kalojen veroton hinta 1,13x 3 3 x 1,13 x 2,654... x 2,65 Arvonlisäveron määrä 3-2,65 = 0,35 Lasketaan tukkukauppiaan myymien kalojen veroton hinta 1,13 y 6 6 y 1,13 y 5,309... y 5,31 Arvonlisäveron määrä 6-5,31 = 0,69 32

Verotus Tukkukauppias tilittää valtiolle myynnin alv ostojen alv 0,69-0,35 = 0,34. Olkoon kalan veroton kilohinta kaupassa h. Kalan arvonlisäveron määrä kalakaupassa 0,35 + 0,34 + 0,49 = 1,18 Arvonlisävero on 13 % verottomasta hinnasta h 0,13h 1,18 :0,13 x 9,076... x 9,08 Kalojen kilohinta kaupassa (verollinen) on siis 9,08 1,13 10,2604 10,26. 63. a) Lankojen veroton hinta paitaa kohti 1,23x 25 25 x 1, 23 x 20,3252... x 20,33 Arvonlisäveron määrä 25-20,33 = 4,67 33

Verotus Kutoja myy paidan hintaan 95. Paidan veroton hinta 1,23y 95 95 y 1, 23 y 77,235... y 77,24 Arvonlisäveron määrä 95-77,24 = 17,76 Kutoja tilittää valtiolle 17,76-4,76 = 13,00 b) Paidan veroton hinta kaupassa 1,23h 150 150 h 1, 23 h 121,951... h 121,95 Arvonlisäveron määrä 150-121,95 = 28,05 Kauppias tilittää 28,05-4,67-13 = 10,38 c) Valtio saa 28,05 64. Vuokratulot yhteensä 24 500 12 525 18300 Veronalainen tulo 18300 5000 36 90 10060 Vero 0,2810060 2816,80 34

Verotus 65. Leikkauksen veroton hinta 1, 22x 23 23 x 1, 22 x 18,852... x 18,85 Jos arvonlisävero olisi 22 % - 13 % = 9 %, verollinen hinta olisi 1,09 18,85 20,5465 20,55 66. a) Äidin lahjoittama osuus 6000 Äiti kuuluu 1. veroluokkaan vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevästä osasta 0,07 (6000-4000 ) = 140 Verot äidin lahjoittamasta osasta: 100 + 140 = 240 Äidin sisaren lahjoittama osuus 6000 Äidin sisar kuuluu 2. veroluokkaan vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevästä osasta 0,20 (6000-4000 ) = 400 Verot äidin sisaren lahjoittamasta osasta 100 + 400 = 500 Verot koko rahalahjoituksesta 240 + 400 = 640 35

Verotus Lahjoituksesta jää käteen 12000-640 = 11360 b) Verojen osuus rahalahjasta 640 0,00533... 5,3% 12000 67. Elintarvikkeiden veroton hinta x Arvonlisävero 0,13x Verollinen hinta 1,13x Vaatteiden veroton hinta y Arvonlisävero 0,23y Verollinen hinta 1,23y 0,13x0, 23y 30 1,13 1,13x1, 23y 167,60 0,13 0,1469x0, 2599y 33,9 0,1469x 0,1599y 21,788 0,1y 12,112 :0,1 y 121,12 Sijoitetaan saatu y:n arvo yhtälöön 0,13x + 0,23y = 30: 0,13x 0,23121,12 30 0,13x 2,1424 :0,13 x 16,48 Elintarvikkeiden veroton hinta 16,48 Vaatteiden veroton hinta 121,12 36

Verotus 68. a) Viljelijän veroton hinta 1,13x 2,50 2,50 x 1,13 x 2,212... x 2,21 Arvonlisäveron määrä 2,50-2,21 = 0,29 Viljelijä tilittää arvonlisäveroa 0,29 Tukkukauppiaan veroton hinta 1,13y 4,50 4,50 y 1,13 y 3,982... y 3,98 Arvonlisäveron määrä 4,50-3,98 = 0,52 Tukkukauppias tilittää arvonlisäveroa 0,52-0,29 = 0,23 Kuluttaja maksaa arvonlisäveroa 0,75. Jälleenmyyjä tilittää arvonlisäveroa 0,75-0,23-0,29 = 0,23 b) Olkoon mansikoiden veroton hinta jälleenmyyjällä x. 0,13x 0,75 :0,13 x 5,7692... x 5,77 Verollinen hinta on 1,13 5,77 6,5201 6,52 37

Korkolasku 3.1 Yksinkertainen korkolasku 69. Pääoma 150 Korko 1,7 % = 0,017 Lähdevero 28 % = 0,28 a) Korko r 150 0,017 2,55 b) Vero 0, 28 2,55 0,714 0,71 c) Nettokorkokanta 0,72 1,7% 1, 22% d) 1,01224150 151,836 151,84 70. Pääoma 400 a) Nettokorkokanta 0,72 1,25% 0,9% 0,009 b) Nettokorko 0,009 400 3,60 Kasvanut pääoma 400 3,60 403,60 4 1 c) 4kk a a 12 3 1 Korko r 400 0,009 1,20 3 Kasvanut pääoma 400 1,20 401,20 38

Korkolasku 71. Korkokanta 0,85 % Pääoma 250 a) Nettokorkokanta 0,72 0,85 % = 0,612 % b) Korkopäivät: Kesäkuu 30 10 20 Heinäkuu 31 Elokuu 31 Syyskuu 14 Yhteensä 96 Korko 96 r 0,00612 250 0,4024... 0,40 365 Rahaa tilillä 14.9.2010 250 + 0,40 = 250,40 72. Pääoma 2300 a) Korkokanta 1,225 % Korkoaika vuorokausina: 15 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 260 Koska korkona euribor 360, vuodessa 360 päivää. 260 Korko r 2300 0,01225 20,348... 20,35 360 39

Korkolasku b) Korkokanta 1,242 % Korkoaika vuorokausina: 15 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 = 199 Koska korkona euribor 365, vuodessa 365 päivää. Korko 199 r 2300 0,01242 15,574... 15,57 365 73. Pääoma 100 3 Korkoaika 3kk a 0,25a 12 a) Nettokorko r 101,60 100 1,60 Nettokorkokantakerroin x: 0, 25100x 1,60 25x 1,60 :25 x 0,064 eli nettokorkokanta 6,4 % b) Olkoon korkokanta p %. Tällöin 0,72 p 6,4 p 8,888... p 8,9 eli korkokanta on 8,9 %. 40

Korkolasku 74. Pääoma 500 Korko 3,80 Korkopäivät: Maaliskuu 3110 21 Huhtikuu 30 Toukokuu 31 Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 Elokuu 31 Syyskuu 16 Yhteensä 190 päivää Tilin korkokantakerroin on x. Saadaan yhtälö 190 500 x 3,80 365 365 95000x 1387 : 95000 x 0,0146 Tilin korkokanta on 1,46 %. 41

Korkolasku 75. Lainapääoma 1200 Korkokantakerroin x Korko 1223,40 1200 23,40 Laina-aika 0,5 a 0,51200 x 23, 40 600x 23, 40 :600 x 0,039 Korkokanta siis 3,9 % Marginaali 3,9% 2,5% 1,4% 76. Korkoaika t (vuotta) Korkokanta 1,60% 0,016 Pääoma 730 Korko 3 0,016730 t 3 11,68t 3 :11,68 t 0,2568... 0,2568...a 3650,2568...d 93,75d 94d 42

Korkolasku 77. Pääoma 2300 Korko 2302,54 2300 2,54 Korkokanta 1,75% 0,0175 Nettokorkokanta 0,72 0,0175 0,0126 Korkoaika t päivää t 0,01262300 2,54 365 0,0793... t 2,54 :0,0793... t 31,991... t 32 Talletus oli tilillä 32 päivää. Talletuspäiviä kesäkuussa 30 1 29 Talletuspäiviä heinäkuussa siis 32 29 = 3 Leila nosti talletuksen 3. heinäkuuta. 78. Pääoma k Kasvanut pääoma 231,80 Nettokorkokanta 0,721,30% 0,936% 0,00936 Vuoden aikana pääoma 1,00936-kertaistuu: 1,00936 k 231,80 :1,00936 k 229,650... k 229,65 Lauri talletti 229,65. 43

Korkolasku 79. Laina-aika 2 a 1 a 12 6 Lainasumma k Korkokanta 1, 242 0,90 % 2,142% 0,02142 Korko kahdelta kuukaudelta 1 0,02142 0,00357 6 k k k 0,00357k 2508,93 1,00357k 2508,93 :1,00357 k 2500,004... Lainasumma oli 2500. 80. Laina-aika 3 a 0,25a 12 Pääoma x Korot 20,40 Korkokanta 13,6% 0,136 0,136 0, 25x 20, 40 0,034x 20, 40 :0,034 x 600 Vekseli on suuruudeltaan 600. 81. 44

Korkolasku 82. Tammikuun sijoitussumma x Korko vuodelta 0,12x Heinäkuun sijoitussumma 2x Korko puolelta vuodelta 0,5 0,12 2x 0,12x Sijoitukset ja korot yhteensä x 0,12x2x0,12x 3,24x Saadaan yhtälö 3,24x 48600 :3,24 x 15000 eli pankkiiri sijoitti tammikuussa 15 000. 83. Laina-aika on 9000 36 250 kuukautta 1. kuukauden korko: 0,003 9000 0,003 9000 250 2. kuukauden korko: 3. kuukauden korko: 0,0039000 250 2 4. kuukauden korko: 0,0039000 250 3 36. kuukauden korko: 0,0039000 250 35 Korot yhteensä 0,0039000 0,003 9000 250... 0,003 9000 250 35 0,0039000 9000 250... 9000 25035 aritmeettinen summa: d250, n36 9000 9000 250 35 0,00336 2 499,50 ( ) 45

Korkolasku 84. Talletus 100 Korkoaika (vuosina) 12 12 Korko vuoden lopussa ( ) 12 1000,0165 12 100 11 12 11 1000,0165 12 10 10 100 1000,0165 12 12 100 1 12 1 1000,0165 12 Korkoa kertyy vuodessa 11 1 1000,0165 100 0,0165... 100 0,0165 12 12 11 10 1 100 0,01651... 12 12 12 aritmeettinen summa 1 1 100 0,0165 12 12 2 10,725 10,73 ( ) Talletuksia tehdään vuodessa 12 100 1200. Tilillä rahaa vuoden kuluttua 1200 10,73 1210,73. 46

Korkolasku 85. a) Maari, korkokanta 1,18 % Talletus ( ) Korkoaika Korko vuoden (vuosina) lopussa ( ) 45 12 12 45 0,0118 12 12 45 11 11 45 0,0118 12 12 45 10 10 45 0,0118 12 12 45 1 1 45 0,0118 12 12 Korot yhteensä 11 10 1 450,0118 450,0118 450,0118... 450,0118 12 12 12 11 10 1 450,01181... 12 12 12 1 1 450,011812 12 2 3, 4515 3, 45 ( ) Maarin tilillä rahaa 12 45 3,45 543,45 47

Korkolasku Katri, korkokanta 2,35 % Korot yhteensä 11 10 1 40 0,02351... 12 12 12 1 1 40 0,0235 12 12 2 6,11 ( ) Katrin tilillä rahaa 1240 6,11 486,11 543,45 Maarilla on vuoden kuluttua enemmän rahaa. b) Yhteinen talletus:40 e + 45 = 85 Korkokanta 1,9 % Korot vuoden kuluttua: 12 11 1 850,019 850,019... 850,019 12 12 12 12 11 1 850,019... 12 12 12 1 1 85 0,019 12 12 2 10, 4975 10,50 ( ) Tilillä rahaa 12 85 10,50 1030,50 Jos rahat erillisillä tileillä, rahaa olisi yhteensä 543,45 + 486,11 = 1029,56 < 1030,50 Yhteinen tili olisi ollut kannattavampi. 48

Korkolasku 86. Merkitään kuukausittaista säästösummaa kirjaimella x. Korot vuoden kuluttua 12 11 1 x0,0173 x0,0173... x0,0173 12 12 12 12 11 10 1 x 0,0173... 12 12 12 12 12 1 x 0,0173 12 12 12 2 0,11245x Tilillä on vuoden kuluttua rahaa 12x + 0,11245x = 12,11245x Saadaan yhtälö 12,11245x 1500 :12,11245 x 123,839... x 123,84 Vastaus: 123,84 49

Korkolasku 87. Vuoden 2000 alussa tilillä on rahaa 1,02 500000 mk = 510000 mk. Lasketaan korkopäivien määrä: Tammikuu 31 Helmikuu 29 Maaliskuu 31 yht.152d Huhtikuu 30 Toukokuu 31 Tilillä on rahaa 1.6.2000 152 5100000,02 510000 366 514236,0655... 514235,07 (mk) Lasketaan korkopäivien määrä välillä 1.6. 25.8. Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 yht. 85d Elokuu 24 Korkoa kertyy 85 514236,07mk 0,02 2388,5281...mk 2388,53mk 366 Lähdevero 29 % on 0,29 2388,53mk 692,6737mk. Tämä pyöristetään täysiksi markoiksi eli lähdevero on 693 mk. Nettokorko on 2388,53 mk 693 mk = 1695,53 mk. Virtanen sai nostaessaan 514236,07 mk + 1695,53 mk = 515931,60 mk 50

Korkolasku 88. Pääoma 650, korkokanta 1,47 % a) Nettokorkokanta 0,72 1,47 % = 1,0584 % b) Vuosikorko 0,010584 650 = 6,8796 6,88 Kasvanut pääoma 650 6,88 656,88 c) Korko neljältä kuukaudelta 4 0,010584 650 2,2932 2,29 12 Kasvanut pääoma 650 2,29 652,29 89. Korkokanta 1,95 % Nettokorkokanta 0,721,95% 1,404% 0,01404 Talletusaika t vuorokautta Korko 6730,93 6700 30,93 t 0,01404 6700 30,93 365 365 94,068t 11289, 45 : 94,068 t 120,013... 120 Talletusaika oli 120 vuorokautta. 51

Korkolasku 90. Talletuspäivät: Toukokuu 31-4 27 Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 Elokuu 6 yht. 94 Korko 136,70 135 1,70 a) Olkoon x nettokorkokerroin 94 135 x 1,70 365 365 12690x 620,5 :12690 x 0,04889... 0,049 Nettokorkokanta on 4,9 %. b) Korkokantakerroin y 0,72y 0,04889... :0,72 y 0,06791... y 0,068 Korkokanta 6,8 %. 52

Korkolasku 91. Laina-aika 5 a 12 Lainasumma k Korkokanta 1, 242 2,3 % 3,542 % 0,03542 Korko 5,16 5 0,03542 k 5,16 12 12 0,1771k 61,92 : 0,1771 k 349,632... k 350 Lainasumma oli 350. 92. Talletu s ( ) Korkoaika vuosina Korko ( ) 50 11 12 50 10 12 50 1 12 11 50 0,0184 12 10 50 0,0184 12 1 50 0,0184 12 53

Korkolasku Korot vuoden lopussa 11 10 1 50 0,0184 50 0,0184... 50 0,0184 12 12 12 11 10 1 500,0184... 12 12 12 11 1 50 0,0184 11 12 12 2 5,06 ( ) Tilillä on rahaa vuoden lopussa 11 50 + 5,06 = 555,06 Vastaus: 555,06 54

Korkolasku 3.2 Koronkorkolasku 93. a) Korkokerroin q 1,014 Kasvanut pääoma 7 K 1000 1,014 1102,213... 1102,21 ( ) b) Nettokorkokanta 0,72 1, 4% 1,008% Korkokerroin q 1,01008 Kasvanut pääoma K 1000 1,01008 1072,729... 1072,73 ( ) Vastaus: a) 1102,21 b) 1072,73 7 94. Nettokorkokanta 0,72 1,63% 1,1736% Korkokerroin q 1,011736 Kasvanut pääoma K 1251,011736 140,469... 140,47 ( ) Vastaus: 140,47 10 55

Korkolasku 95. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Saadaan yhtälö 5 500 q 520 :500 q 5 1, 04 5 q 1, 04 q 1,007874... Tilin korkokanta on 1,007874 1 0,007874 0,79% b) Korkokerroin q 1,012 Saadaan yhtälö n 5001,012 600 :500 n 1,012 1, 2 n lg1,012 lg1, 2 n lg1,012 lg1, 2 :lg1,012 lg1,2 n lg1,012 n 15,284... Vastaus: 16 vuoden kuluttua (15. vuoden aikana) 56

Korkolasku 96. Lasketaan, mikä olisi sijoitusvakuutuksen arvo 7 vuoden kuluttua, jos se kasvaisi vuosittain 2,6 %. 7 1801,026 215,428... 215,43 Korkoa olisi siis pitänyt kertyä 215,43 180 35,43 16,80 Vastaus: Ei toteutunut 97. Merkitään alkuperäistä talletusta kirjaimella a. Talletus on kymmenen vuoden kuluttua 1,3a. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Saadaan yhtälö 10 aq 1,3 a : a 0 q 10 1,3 10 q 1,3 q 1,0265... Korkokerroin aina positiivinen, joten q 1,0265... Vastaus: Tilin korkokanta on 2,7 %. 57

Korkolasku 98. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Tilin saldo on toisen vuoden alussa 5000 4500 q. Saldon kolmannen vuoden alussa q 5000q4500 5000q 4500q 2 Saadaan yhtälö 2 5000q 4500q 9894,85 2 5000q 4500q9894,85 0 2 4500 4500 4 5000 9894,85 q 25000 4500 218147000 q 10000 4500 14769,80... q 10000 q 1,02698... tai 1 1,926... (eikäy) Tilin nettokorkokanta on 2,698 % Merkitään korkokantaa kirjaimella x. 0,71x 0,02698... :0,71 x 0,03800... Tilin korkokanta on 3,8 %. Vastaus: 3,8 % 58

Korkolasku 99. Korkokerroin q 1,0058 Saadaan yhtälö n 200 1,0058 250 :200 n 1,0058 1, 25 n lg1,0058 lg1, 25 nlg1,0058 lg1,25 :lg1,0058 lg,125 n 38,58... lg1,0058 Vastaus: 39 vuoden kuluttua 100. a) Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. 6 158q 171,75 :158 6 171,75 q 1,0870... 158 171,75 q 6 158 q 1,01400... Korkokerroin aina positiivinen, joten q 1,01400... Tilin nettokorkokanta on 1,40 %. b) Merkitään korkokantaa kirjaimella x. 0,72 x 0,0140 :0,72 x 0,01944... Tilin korkokanta on 1,94 %. 59

Korkolasku 101. Tilin nettokorkokanta 0,72 1,50% 1,08% Tarkastellaan ensimmäisen vuoden talletuksia. Talletus ( ) 15 15 15 Korko vuoden lopussa ( ) 12 15 0,0108 12 11 15 0,0108 12 1 15 0,0108 12 Koko vuoden korot 12 11 1 150,0108 150,0108... 150,0108 12 12 12 12 11 1 150,0108... 12 12 12 1 1 15 0,0108 12 12 2 1, 053 1, 05 ( ) Tilillä rahaa vuoden kuluttua 12 15 1,05 181,05. 60

Korkolasku Kaikki eri vuosien talletukset ovat 181,05. Nämä kasvavat korkoa korolle eri vuosien määrän. 1. vuosi 19 181,05 1,0108 2. vuosi 18 181,05 1,0108 3. vuosi 17 181,05 1,0108 20. vuosi 181,05 Tilillä rahaa 20 vuoden kuluttua 181,05 181,05 1,0108... 181,05 1,0108 0 1 19 181,05 1,0108 1,0108... 1,0108 4017,732... 4017,73 ( ) Vastaus: 4017,73 20 11,0108 S 1 20 11,0108 19 102. Merkitään alkuperäistä pääomaa kirjaimella x. Tapa 1: Diskontataan 10000 talletushetkeen. 1 5 Diskonttaustekijä on 1, 035 5 1, 035 1 x 10000 8419,7316... 8419,73 5 1, 035 61

Korkolasku Tapa 2: Käytetään koronkorkolaskua. x 1,035 10000 :1,035 5 5 10000 x 5 1, 035 x 8419,7316... Vastaus: 8419,73 103. a) Tilin nettokorkokanta 2,3 % ja talletusaika 30 vuotta 1 30 Diskonttaustekijä on 1, 023 30 1,023 b) Diskontataan 5000 talletushetkeen. 30 5000 1,023 2527,5572... 2527,56 104. Merkitään kertatalletusta kirjaimella x. Tapa 1 Diskontataan kaikki rahasumman ensimmäiseen talletushetkeen. 41 10 x1,011 x1,011 14570 x 4 10 4 (1 1,011 ) 1,011 14570 : (1 1,011 ) x 10 1,011 14570 11,011 4 x 6672,926... x 6672,93 ( ) 62

Korkolasku Tapa 2 Käytetään koronkorkolaskua x x 10 6 1,011 1,011 14570 x 10 6 10 6 1,011 1,011 14570 : 1,011 1,011 14570 x 1,011 1,011 10 6 x 6672,926... x 6672,93 ( ) 105. Diskontataan kaikki summat kaupantekohetkeen. Vaihtoehto 1: 2500 2500 1,055 4746,131... 4746,13 2 Vaihtoehto 2: 1800 1000 1,055 2200 1,055 4621,417... 4621,42 1 3 a) Vaihtoehto 2 on Lassen leipä Oy:n kannalta edullisempi, sillä koneen hinta ostohetkellä on alhaisempi. b) Koska koneen hinta on vaihtoehdossa 1 myyntihetkellä suurempi, on vaihtoehto 1 myyjän kannalta edullisempi. Vastaus: a) vaihtoehto 2 b) vaihtoehto 1 63

Korkolasku 106. Diskontataan kummassakin maksutavassa kaikki rahasummat kaupantekohetkeen. Maksutapa 1: 50000 50000 1,064 2 Maksutapa 2: a 60000 1,064 5 Saadaan yhtälö 5 2 a 60000 1,064 50000 50000 1,064 a 50000 50000 1,064 60000 1,064 a 50166,834.. a 50166,83 ( ) Vastaus: 50166,83 2 2 107. Diskontataan kaikki stipendit nykyhetkeen, 200 1,045 300 1,045 400 1,045 500 1,045 600 1,045 1 2 3 4 5 1717,376... ( ) Lahjoituksen on oltava 1718. Vastaus: 1718 64

Korkolasku 108. Diskontataan kaikki rahasummat ostohetkeen. 50 30 1,0085 30 1,0085... 30 1,0085 1 2 8 1 2 8 50 30 1,0085 1,0085... 1,0085 S Geom. summa 1,0085 1 8 1 8 1 1,0085 1 7,7024... 50 30 7,7024... 281,0741... 281,07 1 1,0085 11,0085 11,0085 11,0085 8 1 Vastaus: 281,07 65

Korkolasku 109. Kuukausikorko on 4,8% 0,40% 12 Korkokerroin q 1, 0040 Merkitään maksuerän suuruutta kirjaimella x. Maksueriä on kahdessa vuodessa 24 kpl. Diskontataan nämä kaikki nykyhetkeen. x1,0040 x1,0040... x1,0040 1 2 24 1 2 24 x 1,0040 1,0040... 1,0040 S 1 24 1 1,0040 1,0040 11,0040 1 11,0040 1,0040 11,0040 22,840... 1 24 1 24 1 x 22,840... Osamaksulla jää maksettavaksi 1900. Saadaan yhtälö 22,840... x 1900 :22,840... x 83,185... x 83,19 Vastaus: 83,19 66

Korkolasku 110. Nettokorkokanta on 0,721,73% 1,2456%. Korkokerroin q 1,012456 a) Kasvanut pääoma 5 K 17001,012456 1808,546... 1808,55 ( ) b) Kasvanut pääoma K 1700 1,012456 1972,253... 1972,25 ( ) Vastaus: a) 1808,55 b) 1972,25 12 111. a) Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. 9 650 q 800 :650 9 800 q 1,2307... 650 800 q 9 650 q 1,02333... Nettokorkokanta on 2,3 %. b) Merkitään tilin korkokantaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 0,72x 0,023 :0,72 x 0,03194... Korkokanta on 3,2 %. 67

Korkolasku 112. Merkitään sijoitettua summaa kirjaimella x. Tapa 1: Diskontataan 7500 euroa nykyhetkeen. 5 75001,075 5224,1897... Tapa 2: Käytetään koronkorkolaskua 5 5 x 1,075 7500 :1,075 x 5224,1897... x 5224,19 ( ) Vastaus: 5224,19 113. Ulla Kuukausikorko 3,9% 0,325% 12 Diskontataan kaikki maksuerät nykyhetkeen. 2 500 1000 1,00325 1493,531... 1493,53 68

Korkolasku Arttu Kuukausikorko 3,6% 0,3% 12 Merkitään toisen maksuerän suuruutta kirjaimella x. Diskontataan kaikki nykyhetkeen. 3 750 x 1,003 1493,53 x 1,003 743,53 :1,003 3 3 x 750,2418... x 750,24 Vastaus: 750,24 114. Nettokorko 0,712,00% 1,42% talletus 1. K 2. 1, 02 K 2 3. 1, 02 K talletus 7:nen vuoden lopussa 7 K 1,0142 6 1,02K 1,0142 2 5 1,02 K 1,0142 7. 6 1, 02 K 6 1,02 K 1,0142 69

Korkolasku Talletukset yhteensä 7:nen vuoden lopussa: 7 6 2 5 6 K1,0142 1,02K1,0142 1,02 K1,0142... 1,02 K1,0142 7 6 6 K 1,0142 1,02 1,0142... 1,02 1,0142 Geom. lukujono 6 1,02 1,0142 q 7 1,0142 7 7 11,0057... K 1,0142 11,0057 7,8599760... K 7,859976K 1 1,02 1,0142 1,0057... Kun K 500, säästösumma on 7,8599760... 500 3929,988... 3929,99 70

Sijoittaminen ja rahoitus 4.1 Sijoittaminen 115. 0,65% 0,0065 Nettokorkokanta 0,72 0,65% 0, 468% 0,00468 Kasvanut pääoma 3 1,00468 2500 2535,264... Lisäkorko 8,7 % nettolisäkorko 0,72 8,7% 6,264% Lisäkorko 0,0624 2500 156,60 Rahaa kolmen vuoden kuluttua 2535, 264... 156,60 2691,864... Kasvua 2691,864... 2500 0,07674... 7,7% 2500 71

Sijoittaminen ja rahoitus 116. Korko 0,44 % Talletus 1,0044-kertaistuu vuosittain eli viiden vuoden kuluttua se on 5 1,0044 5000. Lisäkorkokerroin x Saadaan yhtälö 5 1,0044 5000 5000x 5640 5000x 526,027... x 0,1058... x 0,106 Lisäkorkokanta oli 10,6 %. 117. Ensimmäisenä vuonna sijoitetaan 2000 Muina vuosina sijoitetaan 1000 Tuotto on 12 %, joten viiden vuoden kuluttua sijoituksen arvo on 6 5 4 3 2 2000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 6 5 4 3 2 20001,12 1000 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 11062,834... 11062,83 ( ) Sijoitusvakuutuksen tuotto 11062,83 (2000 51000 6 10 ) 4002,83 Nettotuotto 0,72 4002,83 2882,0376 2882,04 72

Sijoittaminen ja rahoitus 118. Juulin sijoitukset: Nettokorkokannat 0,72 0,68% 0,4896% 0,004896 0,72 12,5% 9% 0,09 Pääoma korkoineen 3 1,004896 10000 0,09 10000 11047,600... 11047,60 Reiman sijoitukset: Korkokanta 5,5% 0,055 Pääoma korkoineen ennen veroa on 3 1,055 10000 11742,413.... Voitto 11742,41... 10000 1742,41... Voitto veron jälkeen 0,721742, 41... 1254,537... 1254,54 Pääoma korkoineen verojen jälkeen 10000 1254,54 11254,54. Vastaus: Reima teki paremman sijoituksen. 73

Sijoittaminen ja rahoitus 119. Vuosikorko 4,4 % Vakuutusmaksupalkkio 0,02 60 1,20 Sijoitettava nettosumma 60 1,20 1,35 57, 45 1. vuoden korot: 12 11 1 57, 450,044 57, 450,044... 57, 450,044 12 12 12 12 11 1 57,450,044... 12 12 12 1 12 57,45 0,044 12 12 12 2 16, 4307 Pääoma korkoineen 12 57,45 16, 4307 705,8307 705,83 Vastaavalla tavalla lasketaan muidenkin vuosien korko ja pääoma. Nämä vuosittaiset summat kasvavat korkoa korolle, jolloin niistä muodostuu summa 2 7 705,83 1,044 705,83 1,044 705,83... 1,044 705,83 8 11,044 705,83 1 1,044 6597,1125... 6597,11 ( ) Tuotto 6597,11 812 60 837,11 Puhdas tuotto 0,71837,11 594,35 74

Sijoittaminen ja rahoitus 120. a) Korko 63 0,0324 3500 19,573 19,57 365 b) Emissiokurssi 105 % Velkakirjan hinta ilman korkoa 1,053500 3675 Kokonaishinta 3675 + 19,57 = 3694,57 c) Korkoa maksetaan vuosittain 0,0324 3500 = 113,40 Oston yhteydessä Pia maksoi ensimmisen 63 päivän koron, joten ensimmäisenä vuonna korkotuottoa tuli 113,40-19,57 = 93,83 Korko laina-ajan päättyessä 93,83 + 4 113,40 = 547,43 Todellinen korkotuotto 0,72 547,43 = 394,1496 394,15 120 121. a) Korko 0,045 7000 103,561... 103,56 365 Obligaation hinta 110 %:n emissiokurssilla on siis 1,1 7000 + 103,56 = 7803,56. b) Velkakirjan korkotuotto sijoitusajan päättyessä 10 (0,045 7000 ) 103,56 = 3046,44 Tuotto verojen jälkeen 0,72 3046,44 = 2193,4368 2193,44 75

Sijoittaminen ja rahoitus 122. Obligaation arvo a 1 korko 0,05a nettokorko 0,72 0,05a 0,036a eli todellinen korko on 3,6 % 2 korkokerroin x 0,72 xa0,05 a : a 0,72x 0,05 :0,72 x 0,0694... x 0,069 eli todellinen korko 6,9 % 123. Ostohinta 1600 12,80 = 20480 Välityspalkkio 0,002 20480 = 40,96 Osinko 1600 0,85 = 1360 Osinkotuloista 30 % on verovapaata, joten verotettava osuus 0,7 1360 = 952 Netto-osinko on 0,72 952 = 685,44 Myyntihinta 1600 15,10 = 24160 Välityspalkkio 0,002 24160 = 48,32 76

Sijoittaminen ja rahoitus Myynnistä saadaan voittoa 24160-20480 = 3680 Nettotulo 0,72 (3680-40,96 48,32 ) = 2585,3184 2585,32 Nettovoitto = netto-osinko + nettotulo Nettovoitto on 685,44 + 2585,32 = 3270,76 124. Osake A: kurssimuutos 2,54 1,67 0,87 kokonaismuutos 90 0,87 78,3 Osake B: kurssimuutos 14,25 17,50 3,25 25 3,25 81,25 kokonaismuutos Osake C: kurssimuutos 25,10 12,67 12, 43 kokonaismuutos 1012,43 124,30 Salkun muutos 78,30 81, 25 124,30 121,35 Salkun arvo kasvanut 121,35. Muutos prosentteina: 121,35 0,1698... 17% 1,67 90 17,50 25 12,67 10 77

Sijoittaminen ja rahoitus 125. Sijoitettava summa a ( ) Rahasto-osuuden hinta tammikuussa a 0,0086... a 115 Rahasto-osuuden hinta helmikuussa a 0,0106... a 94 Muutos 0,0106... a 0,0086... a 0,0086... a 0,2234... 22,34...% 22% Rahasto-osuuden arvo noussut 22 % 126. Osuuden arvo ennen nousua 4500 56,25 80 Osuuden uusi hinta 1,074 56, 25 60, 4125 Osuuksia saa nyt 4500 74, 487... 74,5 (74) 60,4125 127. 78

Sijoittaminen ja rahoitus 128. a) Osakkeen hinta alussa a Laskun jälkeen hinta 0,8a Nousun jälkeen 1,07 0,8a 0,856a Osakkeiden arvo laskenut a0,856a 0,144a eli 14,4 %. b) Jos ostohinta a ja myyntihinta 0,856a, 0,144a 900 : 0,144 a 6250 Osakkeisiin oli sijoitettu 6250. c) Osakkeen arvon olisi pitänyt x-kertaistua. x 0,856 a a : a 0,856x 1 :0,856 x 1,1682... x 1,17 Kurssin olisi pitänyt nousta vielä 17 %. 79

Sijoittaminen ja rahoitus 129. Talletussumma x Nettokorkokanta 0,72 2,4% 1,728% Korkotekijä 1,01728 2 1,01728 x0,720,045x1707,61 2 1,01728 0,0324 x 1707,61 x 1599,96... x 1600 Summa oli 1600. 130. Pääoma 1. vuoden jälkeen 1500 1,08 Pääoma 2. vuoden jälkeen 2 15001,08 1500 1,08 Pääoma 15. vuoden jälkeen 1500 1,08 15001,08... 15001,08 15 11,08 1500 1,08 1 1,08 43986,424... 2 15 Tuotto 43986, 424... 151500 21486, 424... Nettotuotto 0,7221486, 424... 15470, 225... 15470, 23 80

Sijoittaminen ja rahoitus 131. Nimellisarvo x Korko 2 0,05x 0,00833... x 12 0,00833... x 1,08 x 9250,83 1,08833... x 9250,83 :1,08833... x 8499,996... x 8500 Nimellisarvo oli 8500. 132. Osuuksia neljän ensimmäisen kuukauden aikana yhteensä 1500 1500 1500 1500 1553,217... 4, 21 3, 20 4,10 4,14 Salkun arvo toukokuussa 1553, 217... 4,18 6492,447... 6492,45 Koska rahastoon on sijoitettu 4 1500 6000, Perttu on voitolla 492,45. 81

Sijoittaminen ja rahoitus 133. a) Osakkeiden hinta 1500 7,89 = 11385 Välityspalkkio 0,0075 11385 = 85,3875 85,39 Alma maksoi yhteensä 11385 + 85,39 = 11470,39 b) Myyntihinta 1500 (7,89 + 2,56 ) = 15675 Välityspalkkio 0,0075 15675 = 117,5625 117,56 Myynnistä saadaan tuloa 15675-11385 = 4290 Nettovoitto 0,72 (4290-85,39-117,56 ) = 2942,676 2942,68 82

Sijoittaminen ja rahoitus 4.2 Erilaisia lainoja 134. a) Kuukausikorko 5,52% 0,46% 12 Viidessä vuodessa maksukertoja on 512 60kpl. Lyhennyksien suuruus 9600 160 60 Ensimmäisen maksuerän korot 0,0046 9600 44,16 Ensimmäinen maksuerä 160 44,16 204,16 Viimeisen maksuerän korot 0,0046160 0,736 0,74 Viimeinen maksuerä 160 0,74 160,74 b) Lainaa lyhennetään kymmenessä lyhennyksessä 10160 1600. Lainaa jäljellä 9600 1600 8000 Vastaus: a) ensimmäinen maksuerä 204,16 viimeinen maksuerä 160,74 b) 8000 83

Sijoittaminen ja rahoitus 135. a) Vuodessa maksueriä 4 kappaletta 7 vuodessa maksueriä 7 4 28 kappaletta Lyhennyksen suuruus 84000 3000 28 b) Ensimmäisessä maksuerässä maksetaan korkoa koko lainasummasta. Lainan korkokanta 3,50% 1,30% 4,80% Kolmen kuukauden korko 4,80% 1, 20 % 4 Korko 0,012 84000 1008 Ensimmäinen maksuerä 3000 1008 4008 Viimeisessä maksuerässä korkoja maksetaan viimeisestä lyhennyksestä. 0,0123000 36 Viimeinen maksuerä 3000 36 3036 Vastaus: a) 3000 b) ensimmäinen maksuerä 4008, viimeinen maksuerä 3036 84

Sijoittaminen ja rahoitus 136. Kuudessa vuodessa maksueriä 612 72kpl Lainaa lyhennetään kerralla 10000 138,888... 138,89 72 Merkitään korkokerrointa kirjaimella k. Ensimmäisen maksuerän korot ovat k 10000. Saadaan yhtälö 138,89 10000k 200 10000k 61,11 :10000 k 0,006111 Lainan kuukausikorko on 0,6111 %. Lainan vuosikorko on 120,6111% 7,332% 7,33% 137. Kuukausikorko 8,59% 0,7158...% 12 Merkitään syyskuun lainamäärää kirjaimella x. Maksuerässä maksetaan korkoja 890 840 50. Saadaan yhtälö 0,007158... x 50 :0,007158... x 6984,866... x 6984,87 ( ) 85

Sijoittaminen ja rahoitus Lyhennyksiä on jäljellä 0,03 2125 63,75 Jos viimeinen maksuerä saa olla muita suurempi, laina on maksettu 8 kk kuluttua eli toukokuussa 2001. Jos viimeinen maksuerä ei saa olla muita suurempi, laina on maksettu 9 kk kuluttua eli kesäkuussa 2001. Vastaus: toukokuussa 2001 tai kesäkuussa 2001 138. Lyhennyskertoja on 12 12 144 kappaletta. Kuukausikorko 3,72% 0,31% 12 Lyhennyksen suuruus 95000 659,722... 659,72 144 Maksukerta Lainaa jäljellä ( ) Korot ( ) 1 95000 0,0031 95000 2 94340,28 0,0031 94340,28 3 93680,56 0,0031 93680,56 144 659,72 0,0031 659,72 Koska lainamäärä vähenee aina lyhennyksen 659,72 verran, vähenevät korot aina 0,0031 659,72 2,045132 2,05 86

Sijoittaminen ja rahoitus Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon. a 0,003195000 294,50 a 1 144 0,0031 659,72 2,045... 2,05 Korot yhteensä S144 294,50 2,05 144 21351,60 2 Pankille maksetaan yhteensä 95000 21351,60 116351,60. Huom! Koska kuukausilyhennyksen suuruus on likiarvo, viimeinen lyhennys on todellisuudessa 660,04. Tätä ei kuitenkaan ole tehtävän ratkaisussa huomioitu. 139. a) Lainan korko 2,05% 2,15% 4,20% Kuukausikorko 4,20% 0,35% 12 Maksueriä 2012 240kpl Yhden lyhennyksen suuruus 135000 562,50 240 40 maksuerää lyhentää lainaa 40562,50 22500. Lainaa on jäljellä 135000-22500 = 112500. 87

Sijoittaminen ja rahoitus b) Ensimmäisen maksuerän korko 0,0035135000 472,50 Ennen viimeistä maksuerää lainaa jäljellä 112500 562,50 Viimeisen maksuerän (40.) korko 0,0035113062,50 395,718... 395,72 Lainasumma pienenee aina lyhennyksen verran, joten korko pienenee aina 0,0035562,50 1,968... 1,97 Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon. Korot yhteensä 472,50 395,72 S40 40 17364,40 2 Korko nousee 0,6-prosenttiyksikköä eli uusi korko on 4, 2% 0,6% 4,8%. Uusi kuukausikorko 4,8% 0,40% 12 41. maksuerässä maksetaan korkoa 0,0040112500 450 Viimeisessä maksuerässä (240.) maksetaan korkoa 0,0040 562,50 2,25. Korkoa loppuosalta eli jäljellä olevilta 200 erältä yhteensä 450 2,25 S200 200 45225 2 Korkoa maksetaan yhteensä 17364,40 45225 62589,40 88

Sijoittaminen ja rahoitus 140. a) Korko 2,09% 1,75% 3,84% Kuukausikorko 3,84% 0,32% 12 Maksuerien määrä 2512 300kpl Annuiteetti A 175000 1,0032 300 908,324... 908,32 11,0032 11,0032 b) Pankille maksetaan yhteensä 300908,32 272496 Korkoja maksetaan siis 272496-175000 = 97496 300 Vastaus: a) 908,32 b) 97496 141. a) Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Maksueriä on 712 84kpl Annuiteetti A 58000 1,0035 84 798,1415... 798,14 11,0035 11,0035 84 89

Sijoittaminen ja rahoitus b) Ensimmäisellä maksukerralla korkoa maksetaan 0,0035 58000 203. Ensimmäisellä maksukerralla lainaa lyhennetään 798,14 203 595,14. c) Ennen viimeistä maksuerää lainaa jäljellä 83 83 11,0035 V83 58000 1,0035 798,14 1 1,0035 795,504... 795,50 ( ) Viimeisessä maksuerässä lyhennetään koko loppulaina. Vastaus: a) 798,14 b) 595,14 c) 795,50 142. Kuukausikorko 4,92% 0,41% 12 Maksueriä 20 12 240kpl Maksuerien suuruus olisi 240 11,0041 A 108000 1,0041 11,0041 707,987... 707,99 ( ) Maksuerä 707,99 580, joten Siri ja Artturi eivät voi ostaa lainarahalla 108000 asuntoa. Vastaus: eivät voi 240 90

Sijoittaminen ja rahoitus 143. Kuukausikorko 12% 1% 12 Maksueriä 24 kpl Merkitään lainasummaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 24 11,01 24 x 1,01 393 24 11,01 11,01 x 24 24 24 24 1,01 ( 0,01) 393 1 1,01 :1,01 0,01 393 1 1,01 x x 8348,651... x 8350 ( ) 24 1, 01 0, 01 Vastaus: 8350 91

Sijoittaminen ja rahoitus 144. Korko 2,05% 2,15% 4,20% Kuukausikorko 4,20% 0,35% 12 Maksueriä on yhteensä 2012 240kpl Lasketaan ensin annuiteetti 240 11,0035 A 1350001,0035 11,0035 832,370... 832,37 ( ) 240 Lainaa on jäljellä 40 maksuerän jälkeen V 40 11,0035 40 40 135000 1,0035 832,37 1 1,0035 119577,753... 119577,75 ( ) Vastaus: 119 577,75 92

Sijoittaminen ja rahoitus 145. Lainaa otetaan 0,8 25000 20000 4,8% Kuukausikorko 0,40% 12 Maksueriä 712 84kpl ENSIMMÄINEN MAKSUERÄ Tasalyhennyslaina Lyhennys 20000 238,095... 238,10 84 Korko 0,004020000 80 Maksuerä 238,10 80 318,10 Annuiteettilaina A 20000 1,0040 84 280,802... 280,80 11,0040 11,0040 84 ENSIMMÄINEN LYHENNYS Tasalyhennyslaina Lyhennys 238,10 Annuiteettilaina Ensimmäisessä maksuerässä korkoja 0,004080000 80 Lyhennys 280,80 80 200,80 93

Sijoittaminen ja rahoitus VIIMEINEN MAKSUERÄ Tasalyhennyslaina Viimeisen maksuerän korot: 0,0040 238,10 0,9524 0,95 Viimeinen maksuerä 238,10 0,95 239,05 Annuiteettilaina Viimeinen maksuerä 280,80 VIIMEISEN ERÄN LYHENNYS Tasalyhennyslaina Lyhennys 238,10 Annuiteettilaina Lainaa jäljellä ennen viimeistä maksuerää: 83 11,0040 V83 20000 1,0040 280,80 1 1,0040 279,9258... 279,93 ( ) Viimeinen lyhennys on siis 279,93. 83 94

Sijoittaminen ja rahoitus KORKOJEN KOKONAISMÄÄRÄ Tasalyhennyslaina Korot pienenevät aina joka maksukerta 0,0040 238,10. Ne muodostavat aritmeettisen lukujonon. a 80, a 0,95 1 84 Korot yhteensä 80 0,95 S84 84 3399,90 2 Annuiteettilaina Takaisin maksetaan yhteensä 84 280,80 23587, 20. Korkoja maksetaan yhteensä 23587,20 20000 3587, 20. Vastaus: Ensimmäinen maksuerä Ensimmäinen lyhennys Viimeinen maksuerä Viimeisen erän lyhennys Korkojen kokonaismäärä Tasalyhennys Annuiteetti 318,10 280,80 238,10 200,80 239,05 280,80 238,10 279,93 3399,90 3587,20 95

Sijoittaminen ja rahoitus 146. a) Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Elias Maksueriä 3012 360 kappaletta Maksuerän suuruus alussa 360 11,0035 A 155000 1,0035 11,0035 757,9766... 757,98 ( ) Lainaa jäljellä kahden vuoden kuluttua 24 11,0035 V24 155000 1,0035 757,98 1 1,0035 149614,884... 149614,88 ( ) 360 Maksueriä jäljellä 360 24 336kpl 24 Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Uusi maksuerä A 149614,88 1,0050 336 920,3170... 920,32( ) 11,0050 11,0050 336 96

Sijoittaminen ja rahoitus Aleksi Maksueriä 1512 180 kappaletta Maksuerän suuruus alussa 180 11,0035 A 155000 1,0035 11,0035 1162,1130... 1162,11 ( ) Lainaa jäljellä kahden vuoden kuluttua 24 11,0035 V24 1550001,0035 1162,11 1 1,0035 139515,1678... 139515,17 ( ) 180 Maksueriä jäljellä 180 24 156kpl 24 Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Uusi maksuerä A 139515,17 1,0050 156 1290,1294... 1290,13( ) 11,0050 11,0050 156 Vastaus: Elias 920,32, Aleksi 1290,13 97

Sijoittaminen ja rahoitus 147. Säiliön vesimäärä alussa K 1200litraa Prosenttikerroin q 1,15 Vesimäärä vähenee aina yhtä paljon A 200litraa Vettä on jäljellä kahden viikon kuluttua 14 14 11,15 V14 12001,15 200 1 1,15 389,90... 390 (l) Vastaus: 390 litraa 148. Merkitään bakteerien määrää alussa kirjaimella K. Prosenttikerroin q 1, 05 Bakteerien määrä 24 tunnin kuluttua on 24 24 11,05 V24 K1,05 1500 1 1,05 Saadaan yhtälö 24 24 11,05 K 1,05 1500 20000 11,05 11,05 K K Vastaus: 26 900 bakteeria 24 24 1,05 20000 1500 1 1,05 24 1,05 86752,99... K 26899,32... K 26900 98

Sijoittaminen ja rahoitus 149. Kuukausikorko 5,1% 0,425% 12 Maksueriä 612 72kpl Maksuerän suuruus alussa 72 11,00425 A 46000 1,00425 11,00425 742,962... 742,96 ( ) Vuoden jälkeen lainaa jäljellä 11,00425 V 12 12 12 46000 1,00425 742,96 1 1,00425 39274,721... 39274,72 ( ) Uusi korko 5,1% 2,1% 7,2% Uusi kuukausikorko 7,2% 0,6% 12 a) Maksueriä jäljellä 60 kappaletta. Maksuerän suuruus A 39274,72 1,006 60 781,397... 781,40 ( ) 11,006 11,006 60 72 99

Sijoittaminen ja rahoitus b) Merkitään tarvittavien maksukertojen määrää kirjaimella x. Saadaan yhtälö x 11,006 39274,72 1,006 742,96 11,006 x 11,006 x x 39274,72 1,006 11,006 742,96 11,006 x 39274,72 1,006 0,006 742,96 742,96 1,006 x x 39274,72 0,006 1,006 742,96 1,006 742,96 x 39274,72 0,006 742,96 1,006 742,96 Maksueriä tarvitaan siis 64 kappaletta. Laina-aika kasvoi siis 4 kuukautta. x 507,313481,006 742,96 :507,31348 x 1,006 1,464... x lg1,006 lg1, 464... x lg1,006 lg1, 464... :lg1,006 lg1,464... x lg1,006 x 63,776... x x Vastaus: a) 781,40 b) aika kasvoi 4 kuukautta 100