2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100% 86,49...% 13,50...% Vilman alennusprosentti: 125,00 0,8338... 149,90 alennusprosentti100% 83,38...% 16,61...% 13,50% Vastaus: Vilman alennus prosentti on suurempi 3. 1200 0,48 2500 Arvo laski 100% 48% 52%. 4. Talletuksen korko 0,0125 200 2,50 1

Verotus 5. a) Verrataan tuotekehittelyosaston henkilöstömäärää (osoittaja) markkinointiosaston henkilöstömäärään (nimittäjä): 138 1,84 184% 75 Tuotekehittelyosaston henkilöstömäärä on 184 % - 100 % = 84 % suurempi b) Verrataan markkinointiosaston henkilöstämäärää (osoittaja) tuotekehittelyosaston henkilöstömäärään (nimittäjä) 75 0,5434... 54% 138 Markkinointiosaston henkilöstömäärä on 100 % - 54 % = 46 % pienempi 6. a) Sijoituksen arvo vuoden kuluttua: 4,25 (1 ) 700 1,0425 700 729,75 100 b) Koska sijoitettava summa on kummassakin tapauksessa sama, voidaan tilanteita vertailla tuottoprosenttien avulla. Verrataan Eetun tuottoprosenttia Netan tuottoprosenttiin: 4,90% 1,1529... 115% 4,25% Eetun rahaston tuotto on siis 115 % - 100 % = 15 % suurempi. 2

Verotus 7. Merkitään kahvipaketin hintaa Veijon valinnassa kirjamella a. Kahvin hinta Pekan puodissa 1,015a Kahvin hinta Marjatan marketissa 1,035a a) 3,5 1,5 2,0 (prosenttiyksikköä) b) 1,035 a 1,01970... 102% eli 2,0 % enemmän 1,015a c) 1,015 a 0,9806... 98,1% 1,035a eli 100% 98,1% 1,9% vähemmän 8. a) 15,00 1,600,8 19,20 b) 19,20 1,28 128% 15,00 Kauppias saa yhdestä saapasparista 28 % enemmän. c) Alkuperäinen myyntihinta 1, 6 15 24. Kauppiaalle jää 24 15 9 saapasparista. Ennen poistomyyntiä myydystä saappaista kauppiaalle jää: 809 720 Alennetusta hinnasta 19,20 kauppiaalle jää 19,20 15 = 4,20 saapasparista. Poistomyynnissä myydyistä saappaista kauppiaalle jää: 204,20 84 Kauppiaalle jää yhteensä 100 saapasparin myynnistä 720 + 84 = 804. 9. Merkitään lipun hintaa alussa kirjaimella a. 3

Verotus Lipun hinta muutosten jälkeen: 1, 2 1,1 1, 05a 1,386a Hinta nousi 138,6% 100% 38,6% 39%. 10. Foni Oy Merkitään markkinaosuutta alussa (vuonna 2008) kirjaimella a. Markkinaosuus vuonna 2010 on 1,16 1,06 1,04a 1, 278784a. Kasvua 27,84 % Puhe Oy Merkitään markkinaosuutta alussa (vuonna 2008) kirjaimella b. Markkinaosuus vuonna 2010 on 1,1 1,09 1,07b 1, 28293b Kasvua 28,29 % > 27,87 % Vastaus: Puhe Oy on kasvattanut markkinaosuuttaan enemmän 11. Hinta Koko Kilohinta Alussa Lopussa a 1,05a b 1,085b a b 1, 05a 0,9677... 1,085b 12. Kilohinta laski 100% 96,77...% 3,225...% 3,2% Alussa Lopussa 4

Verotus Kilohinta Kysyntä Myyntitulot a 1,08a b 0,95b ab 1,08a 0,95b 1,026ab Myyntitulot nousivat 102,6 % - 100 % = 2,6 %. 13. Merkitään alkuperäistä kuukausipalkkaa kirjaimella x. 1,035x 2550 :1,035 x 2463,768... Vastaus: 2463,77 (tai 2464 ) 14. Merkitään lomarahaa kirjaimella x. Ismon sijoittama summa 1 2 x. Puolen vuoden jälkeen sijoituksen arvo 1 1,025 x 520 2 0,5125x 520 : 0,5125 x 1014,6341... Vastaus: 1014,63 (tai 1015 ) 5

Verotus 15. Merkitään velatonta hintaa kirjaimella x. Leena saa myyntihinnasta välityspalkkion jälkeen 100% 3,8% 96, 2%. Saadaan yhtälö 0,962x = 119288 :0,962 x = 124000 Vastaus: 124 000 16. a) Merkitään kuukausipalkkaa kirjaimella x. 0,315x 650 :0,315 x 2063,492... 2063,49 ( ) b) Käteen jää verojen vähentämisen jälkeen prosentteina 100% 29,5% 70,5%. Käteen jäävä rahasumma on 0,705 2063, 49 1454,76 Vastaus: a) 2063,49 b) 1454,76 17. Merkitään alentamatonta hintaa kirjaimella x. 0,6 0,3x 6,55 0,18x 6,55 :0,18 x 36,388... Vastaus: 36,39 18. Olkoon palkka ennen korotuksia a. 6

Verotus Palkka x-kertaistuu molempina vuosina eli kahden korotuksen jälkeen se on c. Koska kokonaiskorotus oli 5,5 %, on palkka lopussa 1,055a. Saadaan yhtälö 2 xa a a a x 2 1,055 :, 0 1,055 x 1,02713... Vuotuinen korotus on 1,02713... 1 0,02713... 2,7%. 19. Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. Saadaan yhtälö k 5 10,50 17,80 :10,50 5 17,80 k 10,50 17,80 k 5 10,50 5 k 1,695... k 1,1113... Päivittäinen nousu on 1,113... 1 = 0,113... 11 % Vastaus: päivittäinen nousu 11 % (tai 11,13 %) 7

Verotus 20. a) 26,0 1,07883... 107,883...% 24,1 Liikevaihto oli 107,883 % - 100 % = 7,883 % 7,88 % suurempi b) 24,9 0,98031... 98,031...% 25,4 Liikevaihto oli 100 % - 98,031... % = 0,01968...% 1,97 % pienempi 21. Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. 120 k 123 :120 k 1,025 102,5 % Vastaus: Tilin korkoprosentti 2,5 % 22. a) Helmikuussa talletettiin 20 % enemmän eli 1, 2 10 12 b) Joulukuussa (11 kuukauden kuluttua) talletettiin 11 1,2 10 74,3008... 74,30 23. Merkitään kirjan alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Kirjan hinta hinnan nousun jälkeen 1,05a. Kirjan hinta hinnan laskun jälkeen 0,92 1,05a 0,966a 8

Verotus Hinta oli siis 96,6 % alkuperäisestä hinnasta eli hinta laski 100% 96,6% 3, 4%. Vastaus: Hinta laski 3,4 % 24. Pääsymaksu Alussa Lopussa a 1,15a Kävijämäär ä b 0,9b Myyntitulot ab 1,15a 0,9b 1, 035ab Myyntitulot kasvoivat 103,5 % - 100 % = 3,5 % 25. Merkitään talletettua rahasummaa kirjaimella x. a) 1,018x 96,51 :1,018 x 94,8035... x 94,80 ( ) b) 3 3 1,018 x 84, 40 :1,018 x 80,0016... x 80 ( ) Vastaus: a) 94,80 b) 80 9

Verotus 2.2 Ansiotulojen verotus 26. Perusprosentti 28,5 % Lisäprosentti 46,5 % Tuloraja 2850,50 a) Kun tulot ovat 2500, pidätetään vain perusprosentin mukaan: 0,2852500 712,50 b) 3000 tuloista 2850,50 pidätetään perusprosentilla eli veroa pidätetään 0, 285 2850,50 812,3925 812,39. Ylimenevältä osalta, 3000 2850,50 149,50, pidätetään vero lisäprosentin mukaan: 0, 465149,50 69,5175 69,52 Käteen jää 3000 812,39 69,52 2118,09. 27. Ennakonpidätysprosentti 42 % Bruttopalkka x Palkasta jää käteen 100 42 % 58%. 0,58x 847,30 :0,58 x 1460,862... x 1460,86 Veroa on siis maksettu 1460,86 847,30 613,56. 10

Verotus 28. a) 32000 on tuloverotaulukossa luokassa 22600 36800 Vero alarajan kohdalla on 489. Ylimenevältä osalta pidätetään 17,5 % veroa: 0,175 (32000 22600 ) 0,1759400 1645 Tuloveroa yhteensä 489 + 1645 = 2134. b) 60 000 on tuloverotaulukossa luokassa 36800 66400. Vero alarajan kohdalla on 2974. Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % veroa: 0,215 (60000 36800 ) 0,21523200 4988. Tuloveroa yhteensä 2974 + 4988 = 7962 29. a) 15500 on tuloverotaulukossa luokassa 15200 22600. Vero alarajan kohdalla on 8. Ylimenevältä osalta pidätetään 6,5 % veroa: 0,065 (15500 15200 ) 0,065300 19,50. Tuloveroa yhteensä 8 + 19,50 = 27,50 b) 36 800 on tuloverotaulukon luokan 36800 66400 alaraja. Vero alarajan kohdalla on 2974. Tämä on kokonaisuudessaan 36800 euron tuloista pidätettävä veron määrä. 11

Verotus 30. Maksettu veron määrä on pienempi kuin kolmannen luokan alarajalla maksettava verojen määrä (2974 ). Sonjan verotettavat tulot kuuluvat tällöin luokkaan 22600 36800. Merkitään kirjaimella x Sonjan verotettavaa ansiotuloa. Saadaan yhtälö 489 0,175( x 22600) 1760 489 0,175x 3955 1760 0,175x 5226 : 0,175 x 29862,857... x 29863 Vastaus: Verotettava ansiotulo on 29 863. 31. a) Valtion tulovero 8 0,065 (18000 15200) 8 0,0652800 190 ( ) Kunnallisvero Mikkeli 19,50 % Veroa maksettava 0,19518000 3510. Veroja yhteensä 190 + 3510 = 3700 12

Verotus b) Valtion tulovero 8 0,065 (18000 15200) 8 0,0652800 190 ( ) Kunnallisvero Turku 18,75 % Veroa maksettava 0,187518000 3375. Veroja yhteensä 190 + 3375 = 3565 32. Eerika maksaa kunnallisveroa 20,00 % eli 0,20 2150 430. Minja maksaa kunnallisveroa 17,5 % eli 0,175 2500 437,50. Minja maksaa 437,50 430 7,50 enemmän. 33. a)valtion tulovero Ellin palkka kuuluu luokkaan 36800 56400. Vero alarajan kohdalla 2974. Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % eli 0,215 (38200 36800 ) 0,2151400 301. Valtion tuloveroa yhteensä 2974 + 301 = 3275. 13

Verotus Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 23,9 % Veroa 0,239 38200 9129,80 Kaikki verot yhteensä 3275 + 9129,80 = 12404,80 b)valtion tulovero Urhon palkka kuuluu luokkaan 36800 56400. Vero alarajan kohdalla 2974. Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % eli 0,215 (41380 36800 ) 0,2154580 984,70. Valtion tuloveroa yhteensä 2974 + 984,70 = 3958,70. Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,15 % Veroa 0, 2515 41380 10407,07 Kaikki verot yhteensä 3958,70 + 10407,07 = 14365,77 14

Verotus 34. Konstan vuositulot 12 2812,50 = 33750 Valtion tulovero Konstan palkka kuuluu luokkaan 22600 36800. Vero alarajan kohdalla 489. 0,175 33750 22600 1951,25, Ylimenevän osan vero: Veroa yhteensä 489 + 1951,25 = 2440,25 Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,15 % Veroa 0,2515 33750 = 8488,125 8488,13 Kaikki verot yhteensä 2440,25 + 8488,13 = 10928,38 35. a) 162520 mk kuuluu luokkaan 113000 mk 178000 mk. Veroa maksetaan luokan alarajalla 9540 mk. Ylimenevästä osasta 162520 113000 mk 49520 mk veroa maksetaan 25,0 % eli 0,25 49520 mk 12380 mk Veroa maksetaan yhteensä 9540 mk 12380 mk 21920 mk. 15

Verotus b) Jos vuositulot olisivat 113 000 mk 178 000 mk, jäisi pidätyksen jälkeen käteen alle 162 520 mk. Vuositulot kuuluvat luokkaan 178 000 mk 315 000 mk. Merkitään vuosituloja kirjaimella x. Vuosituloista maksetaan veroja 25790 0,31x 178000 25790 0,31x 55180 0,31x 29390 Saadaan yhtälö x0,31x29390162520 x0,31x29390 162520 0,69x 133130 :0,69 x 192942,028... x 192942 Vastaus: a) 21 920 mk b) 192 942 mk 16

Verotus 36. Esimerkiksi Helsinki (kunnallisvero 17,50 %) Kunnallisvero tulot vero tulot 20000 vero 320 2000025000 3500 909 2500030000 43751784 3000035000 52502659 3500040000 61253662 4000045000 70004737 4500050000 78755812 5000055000 87506887 5500060000 96257962 6000065000 105009037 6500070000 1137510419 7000075000 1225011919 7500080000 1312513419 8000090000 1400016419 9000095000 1575017919 95000 100000 1662519419 100000 17500 Valtion tulovero 17

Verotus 37. a) Alle 2150 euron tuloista veroa pidätetään perusprosentin mukaan 0,265 1980 = 524,70 b)perusprosentilla pidätetään 2150 euroon asti. 0,265 2150 = 569,75 2150 euron ylimenevältä osalta veroa pidätetään lisäprosentin mukaan 0,42 (2470-2150 ) = 0,42 320 = 134,40 Veroa pidätetään yhteensä 569,75 + 134,40 = 704,15 38. Vuosiansiot 12 1970,60 = 23647,20 Valtion tulovero Verotettava tulo kuuluu luokkaan 22600 36800. Vero alarajan kohdalla 489 Vero alarajan ylittävästä osasta 0,175 (23647,20-22600 ) = 183,26 Veroa yhteensä 489 + 183,26 = 672,26 Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,50 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,65 % Veroa yhteensä 0,2565 23647,20 = 6065,5068 6065,51 Kaikki verot yhteensä 672,26 + 6065,51 = 6737,77 18

Verotus 39. Merkitään vuosiansioita kirjaimella x. Koska veroa maksettiin 6250, ansiot kuuluvat veroluokkaan 36 800 66 400. Vero alarajan kohdalla 2974 Alarajan ylittävästä osasta on x 36800. 0, 215 x 36800. Siitä maksetaan veroa 21,5 % eli Veroa yhteensä siis 0,215 x 36800 2974, joten saadaan yhtälö 0, 215x 368002974 6250 0, 215x 7912 2974 6250 0,215x 11188 :0,215 x 52037, 2093 x 52037 ( ) 40. Valtion tulovero Verotettavat tulot kuuluvat luokkaan 22600 36800 Vero alarajan kohdalla 489 Vero alarajan ylittävästä osasta 0,175 (25000-22600 ) = 420 Veroa yhteensä 489 + 420 = 909 Muut verot Kunnallisvero 19,00 % eli 0,19 25000 = 4750 Kaikki verot yhteensä 909 + 4750 = 5659 Tuloista menee veroihin 5659 0,22636 22,6% 25000 41. 19

Verotus 2.3 Muut verot 42. Ilmari maksaa veron myyntivoitosta 40000 35000 5000 Veroja maksetaan 28 % eli 0,28 5000 1400. 43. 44. Osakkeet maksoivat 10 25 250. Osakkeiden arvo kurssinousun jälkeen 1,15 250 287,50. a) Voitosta maksetaan veroa 28 %: 0, 28 287,50 250 10,50 b) Voitto verojen jälkeen 287,50 250 10,50 27 45. Vuokratulo vuodessa 12 200 2400 Nettotulo 2400-1600 = 800 Vero 0,28 800 = 224 20

Verotus 46. Perintö 134 328 pyöristetään verotuksessa arvoon 134 300. Vaarilta saatava perintö verotetaan 1. veroluokan mukaan. Perintö on luokassa 60 000. Vero alarajan kohdalla on 3500. Vero ylimenevältä osalta on 13 % eli 0,13(134300 60 000 ) = 9659 Veroa maksetaan yhteensä 3500 + 9659 =13159. 47. a) äiti kuuluu 1. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla on 100 Vero alarajan ylimenevältä osalta on 7 % eli 0,07(15000-4000 ) = 770 Lahjasta tulee maksaa veroa 100 + 770 = 870 b) serkku kuuluu 2. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevältä osalta on 20 % eli 0,20(15000-4000 ) = 2200 Lahjasta tulee maksaa veroa 100 + 2200 = 2300 21

Verotus c) Kummankin isovanhemman antama lahja on suuruudeltaan 15000 : 2 = 7500 Isovanhemmat kuuluvat 1. veroluokkaan. Lasketaan ensin 7500 euron lahjasta maksettavat verot. Vero alarajan kohdalla 100 Vero alarajan ylimenevältä osalta on 7 % eli 0,07 (7500-400 ) = 245 7500 euron lahjasta pitää maksaa veroa 100 + 245 = 345. Koska tällaisia rahalahjoja on kaksi veroa pitää maksaa yhteensä 2 345 = 690 Vastaus: a) 870 b) 2300 c) 690 48. Ulla Ulla lahjoittaa 0,6 8500 5100. Sisaret kuuluvat 2. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 100. Vero ylimenevältä osalta 20 %: 0,20 (5100 4000 ) =220 Ullan lahjasta makettava veroa 100 + 220 = 320 Maija Maija lahjoittaa 8500-5100 = 3400. Koska lahjoitettava summa on alle 4000, siitä ei tarvitse maksaa veroja. Koko lahjoituksesta on siis maksettava veroja 320. 22

Verotus 49. Merkitään perinnön arvoa kirjaimella x. Koska Iiro perii tätinsä, veroa maksetaan 2. veroluokan Koska veron määrä on yli 4100 ja alle 9300, kuuluu perintö luokkaan 40000-60 000. Veroa maksetaan luokan alarajalla 4100. Alarajan ylimenevästä osasta maksetaan veroa 26 % eli euroina 0,26 (x 40000) Saadaan yhtälö 4100 0,26 x 400005400 4100 0, 26x 10400 5400 0, 26x 11700 :0,26 x 45000 Vastaus: 45 000 Huom! Koska verotuksessa summa pyöristetään alaspäin satoihin euroihin voi lahjoitettava summa olla välillä [45000, 45100 [. 50. 23

Verotus 51. a) Kuukausitulot ( ) Alaraja Yläraja Vakio säästösumma alarajan kohdalla ( ) Säästöprosentti alarajan ylittävältä osalta (%) 0 1000 0 2 1000 1500 20 5 1500 2000 20 0,051500 1000 7 45 80 500x 120 500x 40 45 0,07 2000 1500 2000 2500 x 0,08 80 eli 8 2500 3000 120 10 b) 2400 kuuluu luokkaan 2000 2500. Summa alarajan kohdalla 80. Alarajan ylittävältä osalta säästöön 8 %: 0,08 2400 2000 32 Kaikkiaan säästöön 80 + 32 = 112. 24

Verotus 52. Tuote tai palvelu Veroton hinta ( ) Alv ( ) Verollinen hinta ( ) leipä 0,93 0,130,93 0,1209 0,12 1,130,93 1,0509 1, 05 cdsoitin 139,00 113,01 1, 23 139,00 113,01 25,99 139,00 taksi 4,21 46,78 0,09 4,21 46,78 4,21 50,99 tuote A 1,52a 1, 23 1, 24a 1,52a 1, 24a 0,28a 1,52a 53. a) Veroton hinta x Koska arvonlisäveroa maksetaan myös polttoaineverosta, saadaan yhtälö 1, 23( x 0,6270) 1,30 :1,23 x 0,6270 1,0569... x 0,4299... x 0,43 ( / l) 25

Verotus b) Bensiinin hinnassa on veroa 1,30 /l 0,43 /l = 0,87 /l Veron osuus prosentteina 0,87 0,669... 67% 1,30 54. Elintarvikkeiden verollinen hinta 1,13 21,20 23,956 23,96 Ei -elintarvikkeen verollinen hinta 34,20-23,96 = 10,24 Ei-elintarvikkeen veroton hinta x: 1,23x 10,24 :1,23 x 8,325... x 8,33 Arvonlisäveroa maksetaan yhteensä 34,20-21,20-8,33 = 4,67 55. a) Kuluttaja maksaa 1,2325,00 30,75 b) Kauppiaan maksama hinta 1,2318,00 22,14 c) Yritys tilitti alv:a (eli kauppias maksaa alv:a ostaessaan tuotteen): 22,14 18,00 4,14. Alv:n osuus loppuhinnasta (kuluttajan maksama alv): 30,75 25,00 5,75. Kauppias tilittää 5,75 4,14 1,61. 26

Verotus 56. Ostojen veroton hinta x. 1, 23x 20000 :1, 23 x 16260,1626... x 16260,16 Ostoissa arvonlisäveroa 20000 16260,16 3739,84 Myyntituottojen veroton hinta m 1,23m 40000 :1,23 m 32520,3252... m 32520,33 Myyntituotoissa arvonlisäveroa 40000 32520,33 7479,67 Vimma Oy tilittää arvonlisäveroa myynnin alv ostojen alv 7479,67 3739,84 3739,83. 27

Verotus 57. Valmistajan veroton hinta v 1, 23v 7400 :1, 23 v 6016,260... v 6016, 26 Arvonlisäveron määrä 7400 6 16, 26 1383,74 Liikkeen veroton hinta l 1, 23l 10400 :1, 23 l 8455,284... l 8455, 28 Arvonlisäveron määrä 10400-8455,28 = 1944,72 a) Kännykkäliike tilittää arvonlisäveroa 1944,72-1383,74 = 560,98 b) Valtio saa arvonlisäveroa sekä valmistajalta että myyjältä: 1383,74 + 560,98 = 1944,72. Tämä on sama määrä, minkä kuluttaja maksaa arvonlisäveroa ostaessaan tuotteen. 28

Verotus 58. a) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,23h Arvonlisävero 0,23h 0,23h 0,18699... 19% 1, 23h b) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,09h Arvonlisävero 0,09h 0,09h 0,08256... 8,3% 1, 09h c) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,13h Arvonlisävero 0,13h 0,13h 0,11504... 12% 1,13h 59. a) Veroton hinta k Verollinen hinta ennen korotusta 1,09k Verollinen hinta korotuksen jälkeen 1,13k Muutos 1,13k 1,03669... 103,7% 1, 09k eli nousee 3,7 % 29

Verotus b) Vanha veroton hinta k Vanha verollinen hinta 1,09k Uusi veroton hinta 0,9k Uusi verollinen hinta 1,13 0,9k 1,017k Muutos 1,017k 0,933302... 93,3% 1, 09k eli laskee 100 % - 93,3 % = 6,7 % c) Vanha veroton hinta k Vanha verollinen hinta 1,09k Uusi veroton hinta 1,05k Uusi verollinen hinta 1,13 1, 05k 1,1865k Muutos 1,1865k 1,08853... 108,9% 1, 09k eli nousee 8,9 % 60. Karkkipussin veroton hinta x. Karkkipussin verollinen hinta 1,13x Arvonlisävero 0,13x Lehden veroton hinta y Lehden verollinen hinta 1,09y Arvonlisävero 0,09y 30

Verotus 1,13x 1,09y 7,80 0,13 0,13x0,09y 0,76 1,13 0,1469x0,1417y 1,014 0,1469x 0,1017 y 0,8588 0,04y 0,1552 : 0,04 y 3,88 Sijoitetaan saatu y:n arvo ensimmäiseen yhtälöön. 1,13x 1,093,88 7,80 1,13x 3,5708 :1,13 x 3,16 Karkkipussin hinta 3,16 Lehden hinta 3,88 61. Yrityksen verottomat myyntitulot x Verolliset myyntitulot 1,23x Arvonlisävero 0,23x Tarvikeostojen veroton hinta y 1, 23y 12400 :1, 23 y 10081,3008... y 10081,30 Arvonlisäveron määrä 12400-10081,30 = 2318,70 31

Verotus Yritys tilittää valtiolle 3560,75, joten saadaan yhtälö: 0, 23x 2318,70 3560,75 0, 23x 5879, 45 :0,23 x 25562,826... x 25562,83 Verolliset myyntitulot 1, 23 25562,83 31442,2809 31442 62. Arvonlisävero 13 % Lasketaan kalastajan myymien kalojen veroton hinta 1,13x 3 3 x 1,13 x 2,654... x 2,65 Arvonlisäveron määrä 3-2,65 = 0,35 Lasketaan tukkukauppiaan myymien kalojen veroton hinta 1,13 y 6 6 y 1,13 y 5,309... y 5,31 Arvonlisäveron määrä 6-5,31 = 0,69 32

Verotus Tukkukauppias tilittää valtiolle myynnin alv ostojen alv 0,69-0,35 = 0,34. Olkoon kalan veroton kilohinta kaupassa h. Kalan arvonlisäveron määrä kalakaupassa 0,35 + 0,34 + 0,49 = 1,18 Arvonlisävero on 13 % verottomasta hinnasta h 0,13h 1,18 :0,13 x 9,076... x 9,08 Kalojen kilohinta kaupassa (verollinen) on siis 9,08 1,13 10,2604 10,26. 63. a) Lankojen veroton hinta paitaa kohti 1,23x 25 25 x 1, 23 x 20,3252... x 20,33 Arvonlisäveron määrä 25-20,33 = 4,67 33

Verotus Kutoja myy paidan hintaan 95. Paidan veroton hinta 1,23y 95 95 y 1, 23 y 77,235... y 77,24 Arvonlisäveron määrä 95-77,24 = 17,76 Kutoja tilittää valtiolle 17,76-4,76 = 13,00 b) Paidan veroton hinta kaupassa 1,23h 150 150 h 1, 23 h 121,951... h 121,95 Arvonlisäveron määrä 150-121,95 = 28,05 Kauppias tilittää 28,05-4,67-13 = 10,38 c) Valtio saa 28,05 64. Vuokratulot yhteensä 24 500 12 525 18300 Veronalainen tulo 18300 5000 36 90 10060 Vero 0,2810060 2816,80 34

Verotus 65. Leikkauksen veroton hinta 1, 22x 23 23 x 1, 22 x 18,852... x 18,85 Jos arvonlisävero olisi 22 % - 13 % = 9 %, verollinen hinta olisi 1,09 18,85 20,5465 20,55 66. a) Äidin lahjoittama osuus 6000 Äiti kuuluu 1. veroluokkaan vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevästä osasta 0,07 (6000-4000 ) = 140 Verot äidin lahjoittamasta osasta: 100 + 140 = 240 Äidin sisaren lahjoittama osuus 6000 Äidin sisar kuuluu 2. veroluokkaan vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevästä osasta 0,20 (6000-4000 ) = 400 Verot äidin sisaren lahjoittamasta osasta 100 + 400 = 500 Verot koko rahalahjoituksesta 240 + 400 = 640 35

Verotus Lahjoituksesta jää käteen 12000-640 = 11360 b) Verojen osuus rahalahjasta 640 0,00533... 5,3% 12000 67. Elintarvikkeiden veroton hinta x Arvonlisävero 0,13x Verollinen hinta 1,13x Vaatteiden veroton hinta y Arvonlisävero 0,23y Verollinen hinta 1,23y 0,13x0, 23y 30 1,13 1,13x1, 23y 167,60 0,13 0,1469x0, 2599y 33,9 0,1469x 0,1599y 21,788 0,1y 12,112 :0,1 y 121,12 Sijoitetaan saatu y:n arvo yhtälöön 0,13x + 0,23y = 30: 0,13x 0,23121,12 30 0,13x 2,1424 :0,13 x 16,48 Elintarvikkeiden veroton hinta 16,48 Vaatteiden veroton hinta 121,12 36

Verotus 68. a) Viljelijän veroton hinta 1,13x 2,50 2,50 x 1,13 x 2,212... x 2,21 Arvonlisäveron määrä 2,50-2,21 = 0,29 Viljelijä tilittää arvonlisäveroa 0,29 Tukkukauppiaan veroton hinta 1,13y 4,50 4,50 y 1,13 y 3,982... y 3,98 Arvonlisäveron määrä 4,50-3,98 = 0,52 Tukkukauppias tilittää arvonlisäveroa 0,52-0,29 = 0,23 Kuluttaja maksaa arvonlisäveroa 0,75. Jälleenmyyjä tilittää arvonlisäveroa 0,75-0,23-0,29 = 0,23 b) Olkoon mansikoiden veroton hinta jälleenmyyjällä x. 0,13x 0,75 :0,13 x 5,7692... x 5,77 Verollinen hinta on 1,13 5,77 6,5201 6,52 37

Korkolasku 3.1 Yksinkertainen korkolasku 69. Pääoma 150 Korko 1,7 % = 0,017 Lähdevero 28 % = 0,28 a) Korko r 150 0,017 2,55 b) Vero 0, 28 2,55 0,714 0,71 c) Nettokorkokanta 0,72 1,7% 1, 22% d) 1,01224150 151,836 151,84 70. Pääoma 400 a) Nettokorkokanta 0,72 1,25% 0,9% 0,009 b) Nettokorko 0,009 400 3,60 Kasvanut pääoma 400 3,60 403,60 4 1 c) 4kk a a 12 3 1 Korko r 400 0,009 1,20 3 Kasvanut pääoma 400 1,20 401,20 38

Korkolasku 71. Korkokanta 0,85 % Pääoma 250 a) Nettokorkokanta 0,72 0,85 % = 0,612 % b) Korkopäivät: Kesäkuu 30 10 20 Heinäkuu 31 Elokuu 31 Syyskuu 14 Yhteensä 96 Korko 96 r 0,00612 250 0,4024... 0,40 365 Rahaa tilillä 14.9.2010 250 + 0,40 = 250,40 72. Pääoma 2300 a) Korkokanta 1,225 % Korkoaika vuorokausina: 15 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 260 Koska korkona euribor 360, vuodessa 360 päivää. 260 Korko r 2300 0,01225 20,348... 20,35 360 39

Korkolasku b) Korkokanta 1,242 % Korkoaika vuorokausina: 15 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 = 199 Koska korkona euribor 365, vuodessa 365 päivää. Korko 199 r 2300 0,01242 15,574... 15,57 365 73. Pääoma 100 3 Korkoaika 3kk a 0,25a 12 a) Nettokorko r 101,60 100 1,60 Nettokorkokantakerroin x: 0, 25100x 1,60 25x 1,60 :25 x 0,064 eli nettokorkokanta 6,4 % b) Olkoon korkokanta p %. Tällöin 0,72 p 6,4 p 8,888... p 8,9 eli korkokanta on 8,9 %. 40

Korkolasku 74. Pääoma 500 Korko 3,80 Korkopäivät: Maaliskuu 3110 21 Huhtikuu 30 Toukokuu 31 Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 Elokuu 31 Syyskuu 16 Yhteensä 190 päivää Tilin korkokantakerroin on x. Saadaan yhtälö 190 500 x 3,80 365 365 95000x 1387 : 95000 x 0,0146 Tilin korkokanta on 1,46 %. 41

Korkolasku 75. Lainapääoma 1200 Korkokantakerroin x Korko 1223,40 1200 23,40 Laina-aika 0,5 a 0,51200 x 23, 40 600x 23, 40 :600 x 0,039 Korkokanta siis 3,9 % Marginaali 3,9% 2,5% 1,4% 76. Korkoaika t (vuotta) Korkokanta 1,60% 0,016 Pääoma 730 Korko 3 0,016730 t 3 11,68t 3 :11,68 t 0,2568... 0,2568...a 3650,2568...d 93,75d 94d 42

Korkolasku 77. Pääoma 2300 Korko 2302,54 2300 2,54 Korkokanta 1,75% 0,0175 Nettokorkokanta 0,72 0,0175 0,0126 Korkoaika t päivää t 0,01262300 2,54 365 0,0793... t 2,54 :0,0793... t 31,991... t 32 Talletus oli tilillä 32 päivää. Talletuspäiviä kesäkuussa 30 1 29 Talletuspäiviä heinäkuussa siis 32 29 = 3 Leila nosti talletuksen 3. heinäkuuta. 78. Pääoma k Kasvanut pääoma 231,80 Nettokorkokanta 0,721,30% 0,936% 0,00936 Vuoden aikana pääoma 1,00936-kertaistuu: 1,00936 k 231,80 :1,00936 k 229,650... k 229,65 Lauri talletti 229,65. 43

Korkolasku 79. Laina-aika 2 a 1 a 12 6 Lainasumma k Korkokanta 1, 242 0,90 % 2,142% 0,02142 Korko kahdelta kuukaudelta 1 0,02142 0,00357 6 k k k 0,00357k 2508,93 1,00357k 2508,93 :1,00357 k 2500,004... Lainasumma oli 2500. 80. Laina-aika 3 a 0,25a 12 Pääoma x Korot 20,40 Korkokanta 13,6% 0,136 0,136 0, 25x 20, 40 0,034x 20, 40 :0,034 x 600 Vekseli on suuruudeltaan 600. 81. 44

Korkolasku 82. Tammikuun sijoitussumma x Korko vuodelta 0,12x Heinäkuun sijoitussumma 2x Korko puolelta vuodelta 0,5 0,12 2x 0,12x Sijoitukset ja korot yhteensä x 0,12x2x0,12x 3,24x Saadaan yhtälö 3,24x 48600 :3,24 x 15000 eli pankkiiri sijoitti tammikuussa 15 000. 83. Laina-aika on 9000 36 250 kuukautta 1. kuukauden korko: 0,003 9000 0,003 9000 250 2. kuukauden korko: 3. kuukauden korko: 0,0039000 250 2 4. kuukauden korko: 0,0039000 250 3 36. kuukauden korko: 0,0039000 250 35 Korot yhteensä 0,0039000 0,003 9000 250... 0,003 9000 250 35 0,0039000 9000 250... 9000 25035 aritmeettinen summa: d250, n36 9000 9000 250 35 0,00336 2 499,50 ( ) 45

Korkolasku 84. Talletus 100 Korkoaika (vuosina) 12 12 Korko vuoden lopussa ( ) 12 1000,0165 12 100 11 12 11 1000,0165 12 10 10 100 1000,0165 12 12 100 1 12 1 1000,0165 12 Korkoa kertyy vuodessa 11 1 1000,0165 100 0,0165... 100 0,0165 12 12 11 10 1 100 0,01651... 12 12 12 aritmeettinen summa 1 1 100 0,0165 12 12 2 10,725 10,73 ( ) Talletuksia tehdään vuodessa 12 100 1200. Tilillä rahaa vuoden kuluttua 1200 10,73 1210,73. 46

Korkolasku 85. a) Maari, korkokanta 1,18 % Talletus ( ) Korkoaika Korko vuoden (vuosina) lopussa ( ) 45 12 12 45 0,0118 12 12 45 11 11 45 0,0118 12 12 45 10 10 45 0,0118 12 12 45 1 1 45 0,0118 12 12 Korot yhteensä 11 10 1 450,0118 450,0118 450,0118... 450,0118 12 12 12 11 10 1 450,01181... 12 12 12 1 1 450,011812 12 2 3, 4515 3, 45 ( ) Maarin tilillä rahaa 12 45 3,45 543,45 47

Korkolasku Katri, korkokanta 2,35 % Korot yhteensä 11 10 1 40 0,02351... 12 12 12 1 1 40 0,0235 12 12 2 6,11 ( ) Katrin tilillä rahaa 1240 6,11 486,11 543,45 Maarilla on vuoden kuluttua enemmän rahaa. b) Yhteinen talletus:40 e + 45 = 85 Korkokanta 1,9 % Korot vuoden kuluttua: 12 11 1 850,019 850,019... 850,019 12 12 12 12 11 1 850,019... 12 12 12 1 1 85 0,019 12 12 2 10, 4975 10,50 ( ) Tilillä rahaa 12 85 10,50 1030,50 Jos rahat erillisillä tileillä, rahaa olisi yhteensä 543,45 + 486,11 = 1029,56 < 1030,50 Yhteinen tili olisi ollut kannattavampi. 48

Korkolasku 86. Merkitään kuukausittaista säästösummaa kirjaimella x. Korot vuoden kuluttua 12 11 1 x0,0173 x0,0173... x0,0173 12 12 12 12 11 10 1 x 0,0173... 12 12 12 12 12 1 x 0,0173 12 12 12 2 0,11245x Tilillä on vuoden kuluttua rahaa 12x + 0,11245x = 12,11245x Saadaan yhtälö 12,11245x 1500 :12,11245 x 123,839... x 123,84 Vastaus: 123,84 49

Korkolasku 87. Vuoden 2000 alussa tilillä on rahaa 1,02 500000 mk = 510000 mk. Lasketaan korkopäivien määrä: Tammikuu 31 Helmikuu 29 Maaliskuu 31 yht.152d Huhtikuu 30 Toukokuu 31 Tilillä on rahaa 1.6.2000 152 5100000,02 510000 366 514236,0655... 514235,07 (mk) Lasketaan korkopäivien määrä välillä 1.6. 25.8. Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 yht. 85d Elokuu 24 Korkoa kertyy 85 514236,07mk 0,02 2388,5281...mk 2388,53mk 366 Lähdevero 29 % on 0,29 2388,53mk 692,6737mk. Tämä pyöristetään täysiksi markoiksi eli lähdevero on 693 mk. Nettokorko on 2388,53 mk 693 mk = 1695,53 mk. Virtanen sai nostaessaan 514236,07 mk + 1695,53 mk = 515931,60 mk 50

Korkolasku 88. Pääoma 650, korkokanta 1,47 % a) Nettokorkokanta 0,72 1,47 % = 1,0584 % b) Vuosikorko 0,010584 650 = 6,8796 6,88 Kasvanut pääoma 650 6,88 656,88 c) Korko neljältä kuukaudelta 4 0,010584 650 2,2932 2,29 12 Kasvanut pääoma 650 2,29 652,29 89. Korkokanta 1,95 % Nettokorkokanta 0,721,95% 1,404% 0,01404 Talletusaika t vuorokautta Korko 6730,93 6700 30,93 t 0,01404 6700 30,93 365 365 94,068t 11289, 45 : 94,068 t 120,013... 120 Talletusaika oli 120 vuorokautta. 51

Korkolasku 90. Talletuspäivät: Toukokuu 31-4 27 Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 Elokuu 6 yht. 94 Korko 136,70 135 1,70 a) Olkoon x nettokorkokerroin 94 135 x 1,70 365 365 12690x 620,5 :12690 x 0,04889... 0,049 Nettokorkokanta on 4,9 %. b) Korkokantakerroin y 0,72y 0,04889... :0,72 y 0,06791... y 0,068 Korkokanta 6,8 %. 52

Korkolasku 91. Laina-aika 5 a 12 Lainasumma k Korkokanta 1, 242 2,3 % 3,542 % 0,03542 Korko 5,16 5 0,03542 k 5,16 12 12 0,1771k 61,92 : 0,1771 k 349,632... k 350 Lainasumma oli 350. 92. Talletu s ( ) Korkoaika vuosina Korko ( ) 50 11 12 50 10 12 50 1 12 11 50 0,0184 12 10 50 0,0184 12 1 50 0,0184 12 53

Korkolasku Korot vuoden lopussa 11 10 1 50 0,0184 50 0,0184... 50 0,0184 12 12 12 11 10 1 500,0184... 12 12 12 11 1 50 0,0184 11 12 12 2 5,06 ( ) Tilillä on rahaa vuoden lopussa 11 50 + 5,06 = 555,06 Vastaus: 555,06 54

Korkolasku 3.2 Koronkorkolasku 93. a) Korkokerroin q 1,014 Kasvanut pääoma 7 K 1000 1,014 1102,213... 1102,21 ( ) b) Nettokorkokanta 0,72 1, 4% 1,008% Korkokerroin q 1,01008 Kasvanut pääoma K 1000 1,01008 1072,729... 1072,73 ( ) Vastaus: a) 1102,21 b) 1072,73 7 94. Nettokorkokanta 0,72 1,63% 1,1736% Korkokerroin q 1,011736 Kasvanut pääoma K 1251,011736 140,469... 140,47 ( ) Vastaus: 140,47 10 55

Korkolasku 95. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Saadaan yhtälö 5 500 q 520 :500 q 5 1, 04 5 q 1, 04 q 1,007874... Tilin korkokanta on 1,007874 1 0,007874 0,79% b) Korkokerroin q 1,012 Saadaan yhtälö n 5001,012 600 :500 n 1,012 1, 2 n lg1,012 lg1, 2 n lg1,012 lg1, 2 :lg1,012 lg1,2 n lg1,012 n 15,284... Vastaus: 16 vuoden kuluttua (15. vuoden aikana) 56

Korkolasku 96. Lasketaan, mikä olisi sijoitusvakuutuksen arvo 7 vuoden kuluttua, jos se kasvaisi vuosittain 2,6 %. 7 1801,026 215,428... 215,43 Korkoa olisi siis pitänyt kertyä 215,43 180 35,43 16,80 Vastaus: Ei toteutunut 97. Merkitään alkuperäistä talletusta kirjaimella a. Talletus on kymmenen vuoden kuluttua 1,3a. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Saadaan yhtälö 10 aq 1,3 a : a 0 q 10 1,3 10 q 1,3 q 1,0265... Korkokerroin aina positiivinen, joten q 1,0265... Vastaus: Tilin korkokanta on 2,7 %. 57

Korkolasku 98. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Tilin saldo on toisen vuoden alussa 5000 4500 q. Saldon kolmannen vuoden alussa q 5000q4500 5000q 4500q 2 Saadaan yhtälö 2 5000q 4500q 9894,85 2 5000q 4500q9894,85 0 2 4500 4500 4 5000 9894,85 q 25000 4500 218147000 q 10000 4500 14769,80... q 10000 q 1,02698... tai 1 1,926... (eikäy) Tilin nettokorkokanta on 2,698 % Merkitään korkokantaa kirjaimella x. 0,71x 0,02698... :0,71 x 0,03800... Tilin korkokanta on 3,8 %. Vastaus: 3,8 % 58

Korkolasku 99. Korkokerroin q 1,0058 Saadaan yhtälö n 200 1,0058 250 :200 n 1,0058 1, 25 n lg1,0058 lg1, 25 nlg1,0058 lg1,25 :lg1,0058 lg,125 n 38,58... lg1,0058 Vastaus: 39 vuoden kuluttua 100. a) Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. 6 158q 171,75 :158 6 171,75 q 1,0870... 158 171,75 q 6 158 q 1,01400... Korkokerroin aina positiivinen, joten q 1,01400... Tilin nettokorkokanta on 1,40 %. b) Merkitään korkokantaa kirjaimella x. 0,72 x 0,0140 :0,72 x 0,01944... Tilin korkokanta on 1,94 %. 59

Korkolasku 101. Tilin nettokorkokanta 0,72 1,50% 1,08% Tarkastellaan ensimmäisen vuoden talletuksia. Talletus ( ) 15 15 15 Korko vuoden lopussa ( ) 12 15 0,0108 12 11 15 0,0108 12 1 15 0,0108 12 Koko vuoden korot 12 11 1 150,0108 150,0108... 150,0108 12 12 12 12 11 1 150,0108... 12 12 12 1 1 15 0,0108 12 12 2 1, 053 1, 05 ( ) Tilillä rahaa vuoden kuluttua 12 15 1,05 181,05. 60

Korkolasku Kaikki eri vuosien talletukset ovat 181,05. Nämä kasvavat korkoa korolle eri vuosien määrän. 1. vuosi 19 181,05 1,0108 2. vuosi 18 181,05 1,0108 3. vuosi 17 181,05 1,0108 20. vuosi 181,05 Tilillä rahaa 20 vuoden kuluttua 181,05 181,05 1,0108... 181,05 1,0108 0 1 19 181,05 1,0108 1,0108... 1,0108 4017,732... 4017,73 ( ) Vastaus: 4017,73 20 11,0108 S 1 20 11,0108 19 102. Merkitään alkuperäistä pääomaa kirjaimella x. Tapa 1: Diskontataan 10000 talletushetkeen. 1 5 Diskonttaustekijä on 1, 035 5 1, 035 1 x 10000 8419,7316... 8419,73 5 1, 035 61

Korkolasku Tapa 2: Käytetään koronkorkolaskua. x 1,035 10000 :1,035 5 5 10000 x 5 1, 035 x 8419,7316... Vastaus: 8419,73 103. a) Tilin nettokorkokanta 2,3 % ja talletusaika 30 vuotta 1 30 Diskonttaustekijä on 1, 023 30 1,023 b) Diskontataan 5000 talletushetkeen. 30 5000 1,023 2527,5572... 2527,56 104. Merkitään kertatalletusta kirjaimella x. Tapa 1 Diskontataan kaikki rahasumman ensimmäiseen talletushetkeen. 41 10 x1,011 x1,011 14570 x 4 10 4 (1 1,011 ) 1,011 14570 : (1 1,011 ) x 10 1,011 14570 11,011 4 x 6672,926... x 6672,93 ( ) 62

Korkolasku Tapa 2 Käytetään koronkorkolaskua x x 10 6 1,011 1,011 14570 x 10 6 10 6 1,011 1,011 14570 : 1,011 1,011 14570 x 1,011 1,011 10 6 x 6672,926... x 6672,93 ( ) 105. Diskontataan kaikki summat kaupantekohetkeen. Vaihtoehto 1: 2500 2500 1,055 4746,131... 4746,13 2 Vaihtoehto 2: 1800 1000 1,055 2200 1,055 4621,417... 4621,42 1 3 a) Vaihtoehto 2 on Lassen leipä Oy:n kannalta edullisempi, sillä koneen hinta ostohetkellä on alhaisempi. b) Koska koneen hinta on vaihtoehdossa 1 myyntihetkellä suurempi, on vaihtoehto 1 myyjän kannalta edullisempi. Vastaus: a) vaihtoehto 2 b) vaihtoehto 1 63

Korkolasku 106. Diskontataan kummassakin maksutavassa kaikki rahasummat kaupantekohetkeen. Maksutapa 1: 50000 50000 1,064 2 Maksutapa 2: a 60000 1,064 5 Saadaan yhtälö 5 2 a 60000 1,064 50000 50000 1,064 a 50000 50000 1,064 60000 1,064 a 50166,834.. a 50166,83 ( ) Vastaus: 50166,83 2 2 107. Diskontataan kaikki stipendit nykyhetkeen, 200 1,045 300 1,045 400 1,045 500 1,045 600 1,045 1 2 3 4 5 1717,376... ( ) Lahjoituksen on oltava 1718. Vastaus: 1718 64

Korkolasku 108. Diskontataan kaikki rahasummat ostohetkeen. 50 30 1,0085 30 1,0085... 30 1,0085 1 2 8 1 2 8 50 30 1,0085 1,0085... 1,0085 S Geom. summa 1,0085 1 8 1 8 1 1,0085 1 7,7024... 50 30 7,7024... 281,0741... 281,07 1 1,0085 11,0085 11,0085 11,0085 8 1 Vastaus: 281,07 65

Korkolasku 109. Kuukausikorko on 4,8% 0,40% 12 Korkokerroin q 1, 0040 Merkitään maksuerän suuruutta kirjaimella x. Maksueriä on kahdessa vuodessa 24 kpl. Diskontataan nämä kaikki nykyhetkeen. x1,0040 x1,0040... x1,0040 1 2 24 1 2 24 x 1,0040 1,0040... 1,0040 S 1 24 1 1,0040 1,0040 11,0040 1 11,0040 1,0040 11,0040 22,840... 1 24 1 24 1 x 22,840... Osamaksulla jää maksettavaksi 1900. Saadaan yhtälö 22,840... x 1900 :22,840... x 83,185... x 83,19 Vastaus: 83,19 66

Korkolasku 110. Nettokorkokanta on 0,721,73% 1,2456%. Korkokerroin q 1,012456 a) Kasvanut pääoma 5 K 17001,012456 1808,546... 1808,55 ( ) b) Kasvanut pääoma K 1700 1,012456 1972,253... 1972,25 ( ) Vastaus: a) 1808,55 b) 1972,25 12 111. a) Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. 9 650 q 800 :650 9 800 q 1,2307... 650 800 q 9 650 q 1,02333... Nettokorkokanta on 2,3 %. b) Merkitään tilin korkokantaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 0,72x 0,023 :0,72 x 0,03194... Korkokanta on 3,2 %. 67

Korkolasku 112. Merkitään sijoitettua summaa kirjaimella x. Tapa 1: Diskontataan 7500 euroa nykyhetkeen. 5 75001,075 5224,1897... Tapa 2: Käytetään koronkorkolaskua 5 5 x 1,075 7500 :1,075 x 5224,1897... x 5224,19 ( ) Vastaus: 5224,19 113. Ulla Kuukausikorko 3,9% 0,325% 12 Diskontataan kaikki maksuerät nykyhetkeen. 2 500 1000 1,00325 1493,531... 1493,53 68

Korkolasku Arttu Kuukausikorko 3,6% 0,3% 12 Merkitään toisen maksuerän suuruutta kirjaimella x. Diskontataan kaikki nykyhetkeen. 3 750 x 1,003 1493,53 x 1,003 743,53 :1,003 3 3 x 750,2418... x 750,24 Vastaus: 750,24 114. Nettokorko 0,712,00% 1,42% talletus 1. K 2. 1, 02 K 2 3. 1, 02 K talletus 7:nen vuoden lopussa 7 K 1,0142 6 1,02K 1,0142 2 5 1,02 K 1,0142 7. 6 1, 02 K 6 1,02 K 1,0142 69

Korkolasku Talletukset yhteensä 7:nen vuoden lopussa: 7 6 2 5 6 K1,0142 1,02K1,0142 1,02 K1,0142... 1,02 K1,0142 7 6 6 K 1,0142 1,02 1,0142... 1,02 1,0142 Geom. lukujono 6 1,02 1,0142 q 7 1,0142 7 7 11,0057... K 1,0142 11,0057 7,8599760... K 7,859976K 1 1,02 1,0142 1,0057... Kun K 500, säästösumma on 7,8599760... 500 3929,988... 3929,99 70

Sijoittaminen ja rahoitus 4.1 Sijoittaminen 115. 0,65% 0,0065 Nettokorkokanta 0,72 0,65% 0, 468% 0,00468 Kasvanut pääoma 3 1,00468 2500 2535,264... Lisäkorko 8,7 % nettolisäkorko 0,72 8,7% 6,264% Lisäkorko 0,0624 2500 156,60 Rahaa kolmen vuoden kuluttua 2535, 264... 156,60 2691,864... Kasvua 2691,864... 2500 0,07674... 7,7% 2500 71

Sijoittaminen ja rahoitus 116. Korko 0,44 % Talletus 1,0044-kertaistuu vuosittain eli viiden vuoden kuluttua se on 5 1,0044 5000. Lisäkorkokerroin x Saadaan yhtälö 5 1,0044 5000 5000x 5640 5000x 526,027... x 0,1058... x 0,106 Lisäkorkokanta oli 10,6 %. 117. Ensimmäisenä vuonna sijoitetaan 2000 Muina vuosina sijoitetaan 1000 Tuotto on 12 %, joten viiden vuoden kuluttua sijoituksen arvo on 6 5 4 3 2 2000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 1000 1,12 6 5 4 3 2 20001,12 1000 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 11062,834... 11062,83 ( ) Sijoitusvakuutuksen tuotto 11062,83 (2000 51000 6 10 ) 4002,83 Nettotuotto 0,72 4002,83 2882,0376 2882,04 72

Sijoittaminen ja rahoitus 118. Juulin sijoitukset: Nettokorkokannat 0,72 0,68% 0,4896% 0,004896 0,72 12,5% 9% 0,09 Pääoma korkoineen 3 1,004896 10000 0,09 10000 11047,600... 11047,60 Reiman sijoitukset: Korkokanta 5,5% 0,055 Pääoma korkoineen ennen veroa on 3 1,055 10000 11742,413.... Voitto 11742,41... 10000 1742,41... Voitto veron jälkeen 0,721742, 41... 1254,537... 1254,54 Pääoma korkoineen verojen jälkeen 10000 1254,54 11254,54. Vastaus: Reima teki paremman sijoituksen. 73

Sijoittaminen ja rahoitus 119. Vuosikorko 4,4 % Vakuutusmaksupalkkio 0,02 60 1,20 Sijoitettava nettosumma 60 1,20 1,35 57, 45 1. vuoden korot: 12 11 1 57, 450,044 57, 450,044... 57, 450,044 12 12 12 12 11 1 57,450,044... 12 12 12 1 12 57,45 0,044 12 12 12 2 16, 4307 Pääoma korkoineen 12 57,45 16, 4307 705,8307 705,83 Vastaavalla tavalla lasketaan muidenkin vuosien korko ja pääoma. Nämä vuosittaiset summat kasvavat korkoa korolle, jolloin niistä muodostuu summa 2 7 705,83 1,044 705,83 1,044 705,83... 1,044 705,83 8 11,044 705,83 1 1,044 6597,1125... 6597,11 ( ) Tuotto 6597,11 812 60 837,11 Puhdas tuotto 0,71837,11 594,35 74

Sijoittaminen ja rahoitus 120. a) Korko 63 0,0324 3500 19,573 19,57 365 b) Emissiokurssi 105 % Velkakirjan hinta ilman korkoa 1,053500 3675 Kokonaishinta 3675 + 19,57 = 3694,57 c) Korkoa maksetaan vuosittain 0,0324 3500 = 113,40 Oston yhteydessä Pia maksoi ensimmisen 63 päivän koron, joten ensimmäisenä vuonna korkotuottoa tuli 113,40-19,57 = 93,83 Korko laina-ajan päättyessä 93,83 + 4 113,40 = 547,43 Todellinen korkotuotto 0,72 547,43 = 394,1496 394,15 120 121. a) Korko 0,045 7000 103,561... 103,56 365 Obligaation hinta 110 %:n emissiokurssilla on siis 1,1 7000 + 103,56 = 7803,56. b) Velkakirjan korkotuotto sijoitusajan päättyessä 10 (0,045 7000 ) 103,56 = 3046,44 Tuotto verojen jälkeen 0,72 3046,44 = 2193,4368 2193,44 75

Sijoittaminen ja rahoitus 122. Obligaation arvo a 1 korko 0,05a nettokorko 0,72 0,05a 0,036a eli todellinen korko on 3,6 % 2 korkokerroin x 0,72 xa0,05 a : a 0,72x 0,05 :0,72 x 0,0694... x 0,069 eli todellinen korko 6,9 % 123. Ostohinta 1600 12,80 = 20480 Välityspalkkio 0,002 20480 = 40,96 Osinko 1600 0,85 = 1360 Osinkotuloista 30 % on verovapaata, joten verotettava osuus 0,7 1360 = 952 Netto-osinko on 0,72 952 = 685,44 Myyntihinta 1600 15,10 = 24160 Välityspalkkio 0,002 24160 = 48,32 76

Sijoittaminen ja rahoitus Myynnistä saadaan voittoa 24160-20480 = 3680 Nettotulo 0,72 (3680-40,96 48,32 ) = 2585,3184 2585,32 Nettovoitto = netto-osinko + nettotulo Nettovoitto on 685,44 + 2585,32 = 3270,76 124. Osake A: kurssimuutos 2,54 1,67 0,87 kokonaismuutos 90 0,87 78,3 Osake B: kurssimuutos 14,25 17,50 3,25 25 3,25 81,25 kokonaismuutos Osake C: kurssimuutos 25,10 12,67 12, 43 kokonaismuutos 1012,43 124,30 Salkun muutos 78,30 81, 25 124,30 121,35 Salkun arvo kasvanut 121,35. Muutos prosentteina: 121,35 0,1698... 17% 1,67 90 17,50 25 12,67 10 77

Sijoittaminen ja rahoitus 125. Sijoitettava summa a ( ) Rahasto-osuuden hinta tammikuussa a 0,0086... a 115 Rahasto-osuuden hinta helmikuussa a 0,0106... a 94 Muutos 0,0106... a 0,0086... a 0,0086... a 0,2234... 22,34...% 22% Rahasto-osuuden arvo noussut 22 % 126. Osuuden arvo ennen nousua 4500 56,25 80 Osuuden uusi hinta 1,074 56, 25 60, 4125 Osuuksia saa nyt 4500 74, 487... 74,5 (74) 60,4125 127. 78

Sijoittaminen ja rahoitus 128. a) Osakkeen hinta alussa a Laskun jälkeen hinta 0,8a Nousun jälkeen 1,07 0,8a 0,856a Osakkeiden arvo laskenut a0,856a 0,144a eli 14,4 %. b) Jos ostohinta a ja myyntihinta 0,856a, 0,144a 900 : 0,144 a 6250 Osakkeisiin oli sijoitettu 6250. c) Osakkeen arvon olisi pitänyt x-kertaistua. x 0,856 a a : a 0,856x 1 :0,856 x 1,1682... x 1,17 Kurssin olisi pitänyt nousta vielä 17 %. 79

Sijoittaminen ja rahoitus 129. Talletussumma x Nettokorkokanta 0,72 2,4% 1,728% Korkotekijä 1,01728 2 1,01728 x0,720,045x1707,61 2 1,01728 0,0324 x 1707,61 x 1599,96... x 1600 Summa oli 1600. 130. Pääoma 1. vuoden jälkeen 1500 1,08 Pääoma 2. vuoden jälkeen 2 15001,08 1500 1,08 Pääoma 15. vuoden jälkeen 1500 1,08 15001,08... 15001,08 15 11,08 1500 1,08 1 1,08 43986,424... 2 15 Tuotto 43986, 424... 151500 21486, 424... Nettotuotto 0,7221486, 424... 15470, 225... 15470, 23 80

Sijoittaminen ja rahoitus 131. Nimellisarvo x Korko 2 0,05x 0,00833... x 12 0,00833... x 1,08 x 9250,83 1,08833... x 9250,83 :1,08833... x 8499,996... x 8500 Nimellisarvo oli 8500. 132. Osuuksia neljän ensimmäisen kuukauden aikana yhteensä 1500 1500 1500 1500 1553,217... 4, 21 3, 20 4,10 4,14 Salkun arvo toukokuussa 1553, 217... 4,18 6492,447... 6492,45 Koska rahastoon on sijoitettu 4 1500 6000, Perttu on voitolla 492,45. 81

Sijoittaminen ja rahoitus 133. a) Osakkeiden hinta 1500 7,89 = 11385 Välityspalkkio 0,0075 11385 = 85,3875 85,39 Alma maksoi yhteensä 11385 + 85,39 = 11470,39 b) Myyntihinta 1500 (7,89 + 2,56 ) = 15675 Välityspalkkio 0,0075 15675 = 117,5625 117,56 Myynnistä saadaan tuloa 15675-11385 = 4290 Nettovoitto 0,72 (4290-85,39-117,56 ) = 2942,676 2942,68 82

Sijoittaminen ja rahoitus 4.2 Erilaisia lainoja 134. a) Kuukausikorko 5,52% 0,46% 12 Viidessä vuodessa maksukertoja on 512 60kpl. Lyhennyksien suuruus 9600 160 60 Ensimmäisen maksuerän korot 0,0046 9600 44,16 Ensimmäinen maksuerä 160 44,16 204,16 Viimeisen maksuerän korot 0,0046160 0,736 0,74 Viimeinen maksuerä 160 0,74 160,74 b) Lainaa lyhennetään kymmenessä lyhennyksessä 10160 1600. Lainaa jäljellä 9600 1600 8000 Vastaus: a) ensimmäinen maksuerä 204,16 viimeinen maksuerä 160,74 b) 8000 83

Sijoittaminen ja rahoitus 135. a) Vuodessa maksueriä 4 kappaletta 7 vuodessa maksueriä 7 4 28 kappaletta Lyhennyksen suuruus 84000 3000 28 b) Ensimmäisessä maksuerässä maksetaan korkoa koko lainasummasta. Lainan korkokanta 3,50% 1,30% 4,80% Kolmen kuukauden korko 4,80% 1, 20 % 4 Korko 0,012 84000 1008 Ensimmäinen maksuerä 3000 1008 4008 Viimeisessä maksuerässä korkoja maksetaan viimeisestä lyhennyksestä. 0,0123000 36 Viimeinen maksuerä 3000 36 3036 Vastaus: a) 3000 b) ensimmäinen maksuerä 4008, viimeinen maksuerä 3036 84

Sijoittaminen ja rahoitus 136. Kuudessa vuodessa maksueriä 612 72kpl Lainaa lyhennetään kerralla 10000 138,888... 138,89 72 Merkitään korkokerrointa kirjaimella k. Ensimmäisen maksuerän korot ovat k 10000. Saadaan yhtälö 138,89 10000k 200 10000k 61,11 :10000 k 0,006111 Lainan kuukausikorko on 0,6111 %. Lainan vuosikorko on 120,6111% 7,332% 7,33% 137. Kuukausikorko 8,59% 0,7158...% 12 Merkitään syyskuun lainamäärää kirjaimella x. Maksuerässä maksetaan korkoja 890 840 50. Saadaan yhtälö 0,007158... x 50 :0,007158... x 6984,866... x 6984,87 ( ) 85

Sijoittaminen ja rahoitus Lyhennyksiä on jäljellä 0,03 2125 63,75 Jos viimeinen maksuerä saa olla muita suurempi, laina on maksettu 8 kk kuluttua eli toukokuussa 2001. Jos viimeinen maksuerä ei saa olla muita suurempi, laina on maksettu 9 kk kuluttua eli kesäkuussa 2001. Vastaus: toukokuussa 2001 tai kesäkuussa 2001 138. Lyhennyskertoja on 12 12 144 kappaletta. Kuukausikorko 3,72% 0,31% 12 Lyhennyksen suuruus 95000 659,722... 659,72 144 Maksukerta Lainaa jäljellä ( ) Korot ( ) 1 95000 0,0031 95000 2 94340,28 0,0031 94340,28 3 93680,56 0,0031 93680,56 144 659,72 0,0031 659,72 Koska lainamäärä vähenee aina lyhennyksen 659,72 verran, vähenevät korot aina 0,0031 659,72 2,045132 2,05 86

Sijoittaminen ja rahoitus Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon. a 0,003195000 294,50 a 1 144 0,0031 659,72 2,045... 2,05 Korot yhteensä S144 294,50 2,05 144 21351,60 2 Pankille maksetaan yhteensä 95000 21351,60 116351,60. Huom! Koska kuukausilyhennyksen suuruus on likiarvo, viimeinen lyhennys on todellisuudessa 660,04. Tätä ei kuitenkaan ole tehtävän ratkaisussa huomioitu. 139. a) Lainan korko 2,05% 2,15% 4,20% Kuukausikorko 4,20% 0,35% 12 Maksueriä 2012 240kpl Yhden lyhennyksen suuruus 135000 562,50 240 40 maksuerää lyhentää lainaa 40562,50 22500. Lainaa on jäljellä 135000-22500 = 112500. 87

Sijoittaminen ja rahoitus b) Ensimmäisen maksuerän korko 0,0035135000 472,50 Ennen viimeistä maksuerää lainaa jäljellä 112500 562,50 Viimeisen maksuerän (40.) korko 0,0035113062,50 395,718... 395,72 Lainasumma pienenee aina lyhennyksen verran, joten korko pienenee aina 0,0035562,50 1,968... 1,97 Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon. Korot yhteensä 472,50 395,72 S40 40 17364,40 2 Korko nousee 0,6-prosenttiyksikköä eli uusi korko on 4, 2% 0,6% 4,8%. Uusi kuukausikorko 4,8% 0,40% 12 41. maksuerässä maksetaan korkoa 0,0040112500 450 Viimeisessä maksuerässä (240.) maksetaan korkoa 0,0040 562,50 2,25. Korkoa loppuosalta eli jäljellä olevilta 200 erältä yhteensä 450 2,25 S200 200 45225 2 Korkoa maksetaan yhteensä 17364,40 45225 62589,40 88

Sijoittaminen ja rahoitus 140. a) Korko 2,09% 1,75% 3,84% Kuukausikorko 3,84% 0,32% 12 Maksuerien määrä 2512 300kpl Annuiteetti A 175000 1,0032 300 908,324... 908,32 11,0032 11,0032 b) Pankille maksetaan yhteensä 300908,32 272496 Korkoja maksetaan siis 272496-175000 = 97496 300 Vastaus: a) 908,32 b) 97496 141. a) Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Maksueriä on 712 84kpl Annuiteetti A 58000 1,0035 84 798,1415... 798,14 11,0035 11,0035 84 89

Sijoittaminen ja rahoitus b) Ensimmäisellä maksukerralla korkoa maksetaan 0,0035 58000 203. Ensimmäisellä maksukerralla lainaa lyhennetään 798,14 203 595,14. c) Ennen viimeistä maksuerää lainaa jäljellä 83 83 11,0035 V83 58000 1,0035 798,14 1 1,0035 795,504... 795,50 ( ) Viimeisessä maksuerässä lyhennetään koko loppulaina. Vastaus: a) 798,14 b) 595,14 c) 795,50 142. Kuukausikorko 4,92% 0,41% 12 Maksueriä 20 12 240kpl Maksuerien suuruus olisi 240 11,0041 A 108000 1,0041 11,0041 707,987... 707,99 ( ) Maksuerä 707,99 580, joten Siri ja Artturi eivät voi ostaa lainarahalla 108000 asuntoa. Vastaus: eivät voi 240 90

Sijoittaminen ja rahoitus 143. Kuukausikorko 12% 1% 12 Maksueriä 24 kpl Merkitään lainasummaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 24 11,01 24 x 1,01 393 24 11,01 11,01 x 24 24 24 24 1,01 ( 0,01) 393 1 1,01 :1,01 0,01 393 1 1,01 x x 8348,651... x 8350 ( ) 24 1, 01 0, 01 Vastaus: 8350 91

Sijoittaminen ja rahoitus 144. Korko 2,05% 2,15% 4,20% Kuukausikorko 4,20% 0,35% 12 Maksueriä on yhteensä 2012 240kpl Lasketaan ensin annuiteetti 240 11,0035 A 1350001,0035 11,0035 832,370... 832,37 ( ) 240 Lainaa on jäljellä 40 maksuerän jälkeen V 40 11,0035 40 40 135000 1,0035 832,37 1 1,0035 119577,753... 119577,75 ( ) Vastaus: 119 577,75 92

Sijoittaminen ja rahoitus 145. Lainaa otetaan 0,8 25000 20000 4,8% Kuukausikorko 0,40% 12 Maksueriä 712 84kpl ENSIMMÄINEN MAKSUERÄ Tasalyhennyslaina Lyhennys 20000 238,095... 238,10 84 Korko 0,004020000 80 Maksuerä 238,10 80 318,10 Annuiteettilaina A 20000 1,0040 84 280,802... 280,80 11,0040 11,0040 84 ENSIMMÄINEN LYHENNYS Tasalyhennyslaina Lyhennys 238,10 Annuiteettilaina Ensimmäisessä maksuerässä korkoja 0,004080000 80 Lyhennys 280,80 80 200,80 93

Sijoittaminen ja rahoitus VIIMEINEN MAKSUERÄ Tasalyhennyslaina Viimeisen maksuerän korot: 0,0040 238,10 0,9524 0,95 Viimeinen maksuerä 238,10 0,95 239,05 Annuiteettilaina Viimeinen maksuerä 280,80 VIIMEISEN ERÄN LYHENNYS Tasalyhennyslaina Lyhennys 238,10 Annuiteettilaina Lainaa jäljellä ennen viimeistä maksuerää: 83 11,0040 V83 20000 1,0040 280,80 1 1,0040 279,9258... 279,93 ( ) Viimeinen lyhennys on siis 279,93. 83 94

Sijoittaminen ja rahoitus KORKOJEN KOKONAISMÄÄRÄ Tasalyhennyslaina Korot pienenevät aina joka maksukerta 0,0040 238,10. Ne muodostavat aritmeettisen lukujonon. a 80, a 0,95 1 84 Korot yhteensä 80 0,95 S84 84 3399,90 2 Annuiteettilaina Takaisin maksetaan yhteensä 84 280,80 23587, 20. Korkoja maksetaan yhteensä 23587,20 20000 3587, 20. Vastaus: Ensimmäinen maksuerä Ensimmäinen lyhennys Viimeinen maksuerä Viimeisen erän lyhennys Korkojen kokonaismäärä Tasalyhennys Annuiteetti 318,10 280,80 238,10 200,80 239,05 280,80 238,10 279,93 3399,90 3587,20 95

Sijoittaminen ja rahoitus 146. a) Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Elias Maksueriä 3012 360 kappaletta Maksuerän suuruus alussa 360 11,0035 A 155000 1,0035 11,0035 757,9766... 757,98 ( ) Lainaa jäljellä kahden vuoden kuluttua 24 11,0035 V24 155000 1,0035 757,98 1 1,0035 149614,884... 149614,88 ( ) 360 Maksueriä jäljellä 360 24 336kpl 24 Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Uusi maksuerä A 149614,88 1,0050 336 920,3170... 920,32( ) 11,0050 11,0050 336 96

Sijoittaminen ja rahoitus Aleksi Maksueriä 1512 180 kappaletta Maksuerän suuruus alussa 180 11,0035 A 155000 1,0035 11,0035 1162,1130... 1162,11 ( ) Lainaa jäljellä kahden vuoden kuluttua 24 11,0035 V24 1550001,0035 1162,11 1 1,0035 139515,1678... 139515,17 ( ) 180 Maksueriä jäljellä 180 24 156kpl 24 Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Uusi maksuerä A 139515,17 1,0050 156 1290,1294... 1290,13( ) 11,0050 11,0050 156 Vastaus: Elias 920,32, Aleksi 1290,13 97

Sijoittaminen ja rahoitus 147. Säiliön vesimäärä alussa K 1200litraa Prosenttikerroin q 1,15 Vesimäärä vähenee aina yhtä paljon A 200litraa Vettä on jäljellä kahden viikon kuluttua 14 14 11,15 V14 12001,15 200 1 1,15 389,90... 390 (l) Vastaus: 390 litraa 148. Merkitään bakteerien määrää alussa kirjaimella K. Prosenttikerroin q 1, 05 Bakteerien määrä 24 tunnin kuluttua on 24 24 11,05 V24 K1,05 1500 1 1,05 Saadaan yhtälö 24 24 11,05 K 1,05 1500 20000 11,05 11,05 K K Vastaus: 26 900 bakteeria 24 24 1,05 20000 1500 1 1,05 24 1,05 86752,99... K 26899,32... K 26900 98

Sijoittaminen ja rahoitus 149. Kuukausikorko 5,1% 0,425% 12 Maksueriä 612 72kpl Maksuerän suuruus alussa 72 11,00425 A 46000 1,00425 11,00425 742,962... 742,96 ( ) Vuoden jälkeen lainaa jäljellä 11,00425 V 12 12 12 46000 1,00425 742,96 1 1,00425 39274,721... 39274,72 ( ) Uusi korko 5,1% 2,1% 7,2% Uusi kuukausikorko 7,2% 0,6% 12 a) Maksueriä jäljellä 60 kappaletta. Maksuerän suuruus A 39274,72 1,006 60 781,397... 781,40 ( ) 11,006 11,006 60 72 99

Sijoittaminen ja rahoitus b) Merkitään tarvittavien maksukertojen määrää kirjaimella x. Saadaan yhtälö x 11,006 39274,72 1,006 742,96 11,006 x 11,006 x x 39274,72 1,006 11,006 742,96 11,006 x 39274,72 1,006 0,006 742,96 742,96 1,006 x x 39274,72 0,006 1,006 742,96 1,006 742,96 x 39274,72 0,006 742,96 1,006 742,96 Maksueriä tarvitaan siis 64 kappaletta. Laina-aika kasvoi siis 4 kuukautta. x 507,313481,006 742,96 :507,31348 x 1,006 1,464... x lg1,006 lg1, 464... x lg1,006 lg1, 464... :lg1,006 lg1,464... x lg1,006 x 63,776... x x Vastaus: a) 781,40 b) aika kasvoi 4 kuukautta 100

Sijoittaminen ja rahoitus 150. Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Elias Maksueriä 30 12 360kpl A 155000 1,0035 360 757,9766... 757,98 ( ) 11,0035 11,0035 360 Lainaa jäljellä 24 kk kuluttua 11,0035 V 24 24 24 155000 1,0035 757,98 1 1,0035 149614,884... 149614,88 ( ) Merkitään takaisinmaksuerien määrää kirjaimella x. Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 101

Sijoittaminen ja rahoitus x 11,0050 149614,881,0050 757,98 11,0050 x 11,0050 x x 149614,88 1,0050 0,0050 757,98 1,0050 757,98 x x 748,0744 1,0050 757,98 1,0050 757,98 x 757,98 748,0744 1,0050 757,98 x 9,90561,0050 757,98 :9,9056 x 1, 0050 76,5203... x lg1,0050 lg 76,5203... x lg1,0050 lg 76,5203... : lg1,0050 lg76,5203... x lg1,0050 x 869,67... x 870 x Maksueriä olisi alun perin ollut jäljellä 360 24 336kpl. Nyt niitä on 870 336 534 enemmän. Maksuaika pienenee 534kk 44a 6kk. Aleksi Maksueriä 1512 180 kappaletta Maksuerän suuruus A 180 155000 1,0035 1162,1130... 1162,11 ( ) 11,0035 11,0035 180 102

Sijoittaminen ja rahoitus Lainaa jäljellä 24 kk kuluttua 11,0035 V 24 24 24 155000 1,0035 1162,11 1 1,0035 139515,1678... 139515,17 ( ) Merkitään takaisinmaksuerien määrää kirjaimella y. Uusi kuukausikorko 0,50% y 11,0050 y 139515,17 1,0050 1162,11 1 1,0050 y 11,0050 y 11,0050 y 139515,17 1,0050 1162,111,0050 1162,11 y 11,0050 y y 697,575851,0050 1162,111,0050 1162,11 y y 1162,111,0050 697,575851,0050 1162,11 y 1162,11697,57585 1,0050 1162,11 y 464,534151,0050 1162,11 : 464,53415 y 1,0050 2,5016... y lg1,0050 lg 2,5016... y lg1,0050 lg 2,5016... : lg1,0050 lg 2,5016... y lg1,0050 y 183,84... y 184 Maksueriä olisi ollut jäljellä 180 24 156kpl. Nyt niitä on 184 156 28kpl enemmän. Maksuaika pitenee28kk 2a 4kk. Vastaus: Elias 44 vuotta 6 kk, Aleksi 2 vuotta 4 kk 103

Sijoittaminen ja rahoitus 151. Kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Maksueriä 30 12 360kpl A 360 200000 1,0050 1199,101... 1199,10 ( ) 11,0050 11,0050 360 Vastaus: 1199,10 152. a) Annuiteettilainassa kaikki maksuerät ovat yhtä suuria. Tasalyhennyslainassa lyhennykset ovat yhtä suuria. b) Annuiteettilainassa lyhennyksen osuus vaihtelee. Tasalyhennyslainassa lyhennys on aina sama. c) Kummassakin lainassa korkojen osuus vaihtelee. d) Tasalyhennyslainassa ensimmäinen maksuerä on aina suurin, sillä lyhennyksen lisäksi siinä maksetaan koko lainasumman korot. e) Molemmissa lainoissa ensimmäisessä maksuerässä maksetaan enemmän korkoja kuin muissa, sillä korkoa maksetaan koko lainasummasta. f) Tasalyhennyslainan viimeinen maksuerä on pienin, sillä siinä maksetaan korkoja vain viimeisestä lyhennyksestä. 104

Sijoittaminen ja rahoitus 153. Puolivuosikorko 6,0% 3,0% Maksuerien määrä 42 8 2 a) Lyhennys ( ) Korot ( ) Maksuerän suuruus ( ) 17000 0,0317000 2125 510 1. 8 510 2635 2125 0,0317000 2125 2125 + 446,25 2. 2125 0,0314875 = 2571,25 446, 25 3. 2125 0,0314875 2125 2125 382,50 0,0312750 2507,50 382,50 4. 2125 0,0312750 2125 2125 318,75 0,0310625 2443,75 318,75 5. 2125 0,0310625 2125 2125 255 0,038500 2380 255 6. 2125 0,038500 2125 2125 191, 25 0,036375 2316,25 191,25 7. 2125 0,036375 2125 2125 127,50 0,034250 2252,50 127,50 8. 2125 0,03 2125 63,75 2125 63,75 2188,75 b) Korkoja yhteensä 510 63,75 510 446, 25... 63,75 8 2295 ( ) 2 105

Sijoittaminen ja rahoitus 154. a) Kuukausikorko 3,36% 0,28% 12 Maksueriä 2512 300kpl Maksuerän suuruus A 300 140000 1,0028 690,4052... 690,41 ( ) 11,0028 11,0028 b) Lainaa maksetaan yhteensä 300 690,41 207123 Korkoja maksetaan siis 207123 140000 67123 300 Vastaus: a) 690,41 b) 67 123 106

Sijoittaminen ja rahoitus 155. Annuiteetin suuruus 0,3 2800 840. Merkitään lainasummaa kirjaimella K. Kuukausikorko 3,72% 0,31% 12 Maksueriä 10 12 120kpl Saadaan yhtälö 11,0031 K 1,0031 840 11,0031 11,0031 120 120 K 1,0031 11,0031 840 11,0031 120 120 120 120 840 11,0031 K K 84067,465... K 84000 ( ) 120 1,0031 1 1,0031 Vastaus: 84 000 107

Sijoittaminen ja rahoitus 156. Lasketaan ensin maksuerän suuruus 10 11,04 A 400001,04 10 11,04 4931,637... 4931,64 ( ) Viiden vuoden kuluttua lainaa jäljellä 5 5 11,04 V5 400001,04 4931,64 1 1,04 21954,763... 21954,76 ( ) Merkitään maksuerien määrää kirjaimella x. Koron nousun jälkeen: x 11,06 21954,76 1,06 4931,64 11,06 x 11,06 x x 21954,761,06 0,06 4931,64 4931,64 1,06 x x 1317, 2856 1,06 4931,64 1,06 4931,64 x 4931,64 1317, 2856 1,06 4931,64 x 3614,3544 1,06 4931,64 :3614,3544 x 1,06 1,3644... x lg1,06 lg1,3644... xlg1,06 lg1,3644... :lg1,06 lg1,3644... x lg1,06 x 5,333... Viimeinen erä maksetaan siis 6. vuonna korotuksen jälkeen eli vuonna 2013. x 108

Sijoittaminen ja rahoitus Lainaa on jäljellä viimeisenä vuonna 5 5 11,06 V5 21954,76 1,06 4931,64 1 1,06 1580,3082... 1580,31 ( ) Tämä kasvaa vuoden korkoa eli maksettava summa on vuoden lopussa 1,06 1580,31 1675,1286 1675,13 Vastaus: Erän suuruus 4931,64, viimeinen erä maksetaan vuoden 2013 lopussa ja sen suuruus on 1675,13 109

Raha ja sen arvo 5.1 Valuutat 157. Käytetään matkavaluutan myyntikursseja. a) 1 = 42,595 THB 25 25 42,595THB 1064,875THB 1064,88THB b) 1 = 1,4330 CHF 25 251,4330CHF 35,825CHF 35,83 CHF c) 1 = 9,5923 SEK 25 259,5923 SEK 239,8075 SEK 239,81 SEK 158. Käytetään matkavaluutan ostokurssia. a) 1 = 129,09 JPY 1500 1500 JPY 11,619... 11,62 129,09 b) 1 = 10,044 SEK 1800 1800 SEK 179, 211... 179,21 10,044 c) 1 = 0,8890 GBP 850 850 GBP 956,130.. 956,13 0,8890 110

Raha ja sen arvo 159. Käytetään matkavaluutan myyntikursseja. 1 = 9,5923 SEK 120 120 9,5923 SEK 1151,076 SEK 1151,08 SEK 1 1, 4501AUD 450 450 1,4501AUD 652,545AUD 652,55AUD 1 1,3426 USD 500 500 1,3426 USD 671,30 USD 160. a) Käytetään matkavaluutan ostokurssia 1 129,09JPY 100000 100000 JPY 774,653... 774,65 129,09 b) Käytetään myyntikursia 1 = 120,29 JPY 136,50 = 136,50 120,29 JPY =16419,585 JPY 16419,59 JPY 161. 111

Raha ja sen arvo 162. Käytetään matkavaluutan ostokurssia. 226 226GBP 254,218... 254,22 0,8890 Palkkion, 1,2 %, jälkeen 0,988 254, 22 251,169... 251,17 163. Frangit euroiksi (ostokurssi) 1 = 1,5019 CHF 650 650 CHF 432,785... 432,79 1,5019 Eurot kruunuiksi (myyntikurssi) 1 = 9,5923 SEK 432,79 = 432,79 9,5923 SEK = 4151,451 SEK 4151,45 SEK 164. a) Käytetään ostokursseja. 145 USD = 145 103,379... 103,38 1,4026 50 50 SEK = 4,978... 4,98 10,044 5430 THB = 5430 112,201... 112,20 48,395 Euroja yhteensä 103,38 + 4,98 + 112,20 = 220,56 112

Raha ja sen arvo b) Euroja vaihdetaan 0,2 220,56 = 44,112 44,11 Käytetään myyntikurssia 44,11 = 44,11 0,8490 GBP =37,449 GBP 37,45 GBP 165. Muutetaan Ruotsin ja Tanskan kruunut euroiksi. Koska vaihto on tehty euroista kruunuiksi, vaihdossa on kätetty myyntikursseja. 1 = 9,5923 SEK 9,5923x = 767,20 x = 79,980 79,98 ( ) 1 = 7,2855 DKK 7,2855y = 873,60 y = 119,909 119,91 ( ) Julia vaihtaa Turkin liiroiksi 250-79,98-119,91 = 50,11 Julia saa liiroja (myyntikurssi) 50,11 = 50,11 1,8566 TRY = 93,034 TRY 93,03 TRY 113

Raha ja sen arvo 166. 1 x SEK 120 120 x SEK 1066,50SEK 120x 1066,50 :120 x 8,8875 Kurssi on 8,8875 eli 1 8,8875SEK. 167. Brian: 1 = 1,1754 USD 150 150 USD 127,616... 127,62 1,1754 Pamela: 1 = x USD 150 150USD x Palkkion jälkeen Pamela saa 150 5 x 150 5 127,62 x 150 132,62 x 132,62x 150 :132,62 x 1,13105... x 1,1311 Ostokurssi 1 = 1,1311 USD 114

Raha ja sen arvo 168. a) 1 1,9558DEM b) 1 166,38ESP c) 1 6,5595FRF 169. a) Helmikuussa 2009, tällöin käyrä alimmalla tasollaan. b) Huhtikuussa (ja kesäkuussa) 2008, tällöin käyrä kaikkein ylimmällä tasolla. 170. a) NOK muutos 7,8233 7, 2756 0,0700... 7,0% 7,8233 NOK:n kurssi vahvistunut 7,0 % eli euro devalvoitunut CZK muutos 35,047 31,577 0,0990... 9,9% 35,047 CZK:n kurssi vahvistunut 9,9 % eli euro devalvoitunut SGD muutos 1,8199 1,6126 0,12855... 13% 1,6126 SGD:n kurssi heikentynyt 13 % eli euro revalvoitunut b) Singaporesta, koska euro on revalvoitunut eli vaihdettaessa v. 2007 sai Singaporen dollarilla enemmän euroja. 115

Raha ja sen arvo 171. a) Alussa Lopussa 1 1JPY 0,00935... 106,92 1 1JPY 0,00803... 124,39 0,00803... 0,8595... 86,0% 0,00935... Jeni on devalvoitunut 100% 86,0% 14,0%. b) Alussa Lopussa 1 1LTL 0,268... 3,72 1 1LTL 0,2898... 3,45 0,2898... 1,0782... 107,8% 0,268... Litas on revalvoitunut 107,8% 100% 7,8%. c) Alussa 1HUF 0,0038 Lopussa 1HUF 0,0042 0,0042 1,1052... 110,5% 0,0038 Forintti on revalvoitunut 110,5% 100% 10,5%. 116

Raha ja sen arvo 172. Alussa 1DKK 0,1325 1 1 DKK 7,547...DKK 0,1325 Lopussa 1DKK 0,1567 1 1 DKK 6,3816...DKK 0,1567 Muutos 7,547... 6,3816... 0,1544... 15% 7,547... Euron kurssi heikentynyt 15 % eli euro devalvoitunut 173. Alussa 1 a ZAR Lopussa 1 0,95a ZAR Viinin lirtahinta Etelä-Afrikassa ei muutu. Litrahinta b ZAR. Ennen devalvaatiota Devalvaation jälkeen kurssi 1 = a ZAR 1 = 0,95a ZAR viinin lirtahinta (ZAR) viinin litrahinta ( ) b b a b 0,95a b b 1,0526... a Viinin litrahinta nousi devalvaation jälkeen 5,3 %. 117

Raha ja sen arvo 174. Alussa 1 9,22SEK 1 1SEK 0,1084... 9,22 Paidan uusi hinta 55 1,03 56,65 Devalvaation jälkeen 1SEK 0,9750,1084... 0,1057... Paidan uusi hinta devalvaation jälkeen 56,65 SEK 535,705...SEK 535,71SEK 0,1057... 175. a) 1 1,4339 CHF (myyntikurssi) 100 100 1, 4339CHF 143,39CHF Koska Kreikka ja Saksa käyttävät euroja, hän ottaa mukaan 200 ja 143,39 CHF. b) 1 1,5019 CHF (ostokurssi) 50 50CHF 33, 291... 33, 29 1,5019 118

Raha ja sen arvo 176. Lasketaan ensin, kuinka paljon Eero saa euroja. Käytetään ostokursseja. 175 175 GBP 196,850... 196,85 0,8890 6240 6240JPY 48,338... 48,34 129,09 Euroja yhteensä 196,85 + 48,34 = 245,19. Vaihdetaan eurot Ruotsin kruunuiksi (myyntikurssi). 245,19 = 245,19 9,5923 SEK = 2351,936 SEK 2351,94 SEK 177. USD Tammikuussa (11.1.1999) 1EUR 1,1569 USD 1 1USD EUR 0,864378 0,86438EUR 1,1569 Heinäkuussa (12.7.1999) 1EUR 1,0124 USD 1 1USD EUR 0,987751... 0,98775EUR 1,0124 Dollari on vahvistunut. 0,987751...EUR 1,1427... 114,27...% 0,86438...EUR Kurssi vahvistunut 14,3 %. 119

Raha ja sen arvo JPY Tammikuussa (11.1.1999) 1EUR 126,33JPY 1 1JPY 0,00791577...EUR 0,0079158EUR 126,33 Heinäkuussa (12.7.1999) 1EUR 123,82 JPY 1 1JPY EUR 0,00807623...EUR 0,0080762 EUR 123,82 Jeni on vahvistunut 0,00807623...EUR 1,02027... 102,027...% 0,00791577...EUR Kurssi vahvistunut 2,0 %. Vastaus: Dollarin kurssi vahvistunut 14,3 %, jenin kurssi vahvistunut 2,0 % 178. Alussa 1 zloty = a 1 zloty 1-0,16 a 0,84 a Lopussa Turistilla alussa määrä b euroja. Vaihtaessa hän saa zlotyja määrän b a. Devalvoitumisen jälkeen turistilla määrä b euroja. 1 Vaihtaessa hän saa zlotyja määrän b b 1,190... b 0,84a 0,84 a a eli saa 19% enemmän zlotyja. 120

Raha ja sen arvo 179. Ennen muutosta 1 a won Kenkien hinta ennen muutosta b joka on euroina. a b won, a) Devalvoitumisen jälkeen 1 10,045 a won 0,955a won Devalvoitumisen jälkeen kenkien hinta b won, b b joka on euroina 1,0471... 0,955a a Kenkien hinta nousee 4,7 %. b) Revalvoitumisen jälkeen 1 10,045 a won 1,045a won Revalvoitumisen jälkeen kenkien hinta b won, b b joka on euroina 0,9569... 1, 045a a Kenkien hinta laskee 100 % - 95,7 % = 4,3 %. 121

Raha ja sen arvo 5.2 Indeksilaskenta 180. a) Vuosi Hintasuhde Indeksi 2007 2008 2009 2010 3,36 1 3,36 100,0 3,53 1,05059... 3,36 105,1 4,02 1,1964... 3,36 119,6 3,55 1,05654... 3,36 105,7 b) Vuosi Hintasuhde Indeksi 2007 3,36 0,94647... 3,55 94,6 2008 3,53 0,9943... 3,55 99,4 2009 2010 4,02 1,1323... 3,55 113,2 3,55 1 3,55 100,0 122

Raha ja sen arvo 181. Vuosi Hintasuhde Indeksi 2007 4,38 0,97333... 4,50 97,3 2008 2009 2010 4,50 1 4,50 100,0 4,55 1,0111... 4,50 101,1 4,80 1,06666... 4,50 106,7 a) Vuoden 2010 indeksistä saadaan muutos. Hinta on noussut 6,7 % b) Verrataan indeksejä. 106,7 1,0966... 97,3 Hinta noussut 9,7 % c) 108 106 104 102 100 98 96 94 92 2007 2008 2009 2010 123

Raha ja sen arvo 182. Vuosi Hintasuhde Indeksi 2007 2008 2009 2010 1,18 1 1,18 100,0 1, 42 1,2033... 1,18 120,3 1,16 0,9830... 1,18 98,3 1,36 1,1525... 1,18 115,3 a) Indeksistä saadaan: Hinta noussut 15,3 %. b) Verrataan indeksejä: 98,3 0,8171... 81,7% 120,3 Hinta on laskenut 100 % - 81,7 % = 18,3 % c) 130 125 120 115 110 105 100 95 90 2007 2008 2009 2010 124

Raha ja sen arvo 183. Junamatka Linja-automatka Vuosi Hintasuhde Indeksi Hintasuhde Indeksi 2002 43,60 0,8934... 48,80 41,30 89,3 0,8676... 47,60 86,8 2004 47,20 0,9795... 48,80 42,90 98,0 0,9012... 47,60 90,1 2006 48,80 1 48,80 47,60 100,0 1 47,60 100,0 2008 51,00 1,0450... 48,80 48,80 104,5 1,0252... 47,60 102,5 2010 59,40 1,2172... 48,80 51,30 121,7 1,0777... 47,60 107,8 a) 130 120 110 100 90 80 2002 2004 2006 2008 2010 juna linja-auto b) Junamatkan hinta noussut 21,7 % Linja-automatkan hinta noussut 7,8 % < 21,7 % Junamatkan hinta noussut suhteessa enemmän. 125

Raha ja sen arvo c) Verrataan indeksejä Junamatka Linja-automatka 121,7 1,2418... 98,0 107,8 1,1964... 90,1 Junamatkan hinta noussut 24,2 %. Linja-automatkan hinta noussut 19,6 %. 184. a) 150 140 130 120 110 100 90 80 70 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 henkilöstö liikevaihto Henkilöstön määrä ja liikevaihto muuttuvat pääsääntöisesti samaan suuntaan. Muutosten suuruus ei ole sama. Henkilöstön määrä kasvaa suhteessa vähemmän kuin liikevaihto. 126

Raha ja sen arvo b) Suhteutetaan liikevaihto henkilöstömäärään. liikevaihto/ indeksi henkilöstö 2004 100 2004 1 100,0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 82,4 1,0048... 82,0 100,5 88,8 1,2164... 73,0 121,6 101,0 1,2882... 78,4 128,8 117,6 1,3690... 85,9 136,9 138,90 1,5348... 90,5 153,5 139,3 1,5224... 91,5 152,2 185. a) aravahuoneistot vapaarahoitteiset asunnot Vuosi Hintasuhde Indeksi Hintasuhde Indeksi 2005 2006 2007 2008 2009 7,54 1 7,54 100,0 7,68 1,0185... 7,54 101,9 7,96 1,0557... 7,54 105,6 8,58 1,1379... 7,54 113,8 8,93 1,1843... 7,54 118,4 8,81 1 8,81 100,0 8,93 1,0136... 8,81 101,4 9,35 1,0612... 8,81 106,1 9,73 1,1044... 8,81 110,4 10,07 1,1430... 8,81 114,3 b) aravahuoneistojen hinta on noussut suhteessa enemmän 127

Raha ja sen arvo 186. 1980 1990 2000 2010 Hinta Hintasuhde Indeksi 13, 2 0,36 52 2,60 2,81,00 33,552 1 100,0 13, 2 0,67 52 2,52 2,81,28 37,628 37,628 33,552 112,1 13, 20,63 52 3,07 2,81,12 42,152 42,152 33,552 125,6 13, 2 0,85 522,79 2,80,97 41,836 41,836 33,552 124,7 a) 125,6 1,1204... 112,1 Hinnat ovat nousseet 12,0 %. b) 124,7 0,9928... 125,6 Hinnat ovat laskeneet 0,7 %. 187. Lasketaan painotettujen pistelukujen summa. 133,4 114,62 51,6 116,77 50,0 99,63 213,4 113,12 55, 4 105,67 47,8105,17 146,2 102,17 34,8 92,06 120,4 102,80 5,0 113,05 69,1114,99 72,9 109,71 108345,172 Painoarvojen summa on 1000. Kuluttajahintaindeksi vuonna 2009 on 108345,172 108,3 1000 128

Raha ja sen arvo 188. 2007 Hinta Suhde Indeksi 258,55 250,157,13 240, 4875 1 100,0 2008 258,66 250,157,14 243, 275 243,275 240,4875 101,2 2009 259,05 250,157,21 253,2875 253,2875 240,4875 105,3 2010 259,44 250,157,18 262,925 262,925 240,4875 109,3 Harrastusmenot ovat kasvaneet 9,3 %. 189. Merkitään kokonaislukutusta vuonna 2005 merkinnällä 1000a. Asumisen painoarvo 213,4, joten asumisen osuus kokonaiskulutuksesta on 213,4a. Muihin hyödykeryhmiin kuluu 1000a 213,4a = 786,6a. Asumisen painoarvo laskee 4,5 %, joten asumiseen kulutetaan painoarvon laskun jälkeen 0,955 213,4a = 203,797a Kulutuksen määrä painoarvon muutoksen jälkeen 203,797a + 786,6a = 990,397a. Kuluttajahintaindeksin uusi arvo 990,397a 0,990397 99,0 1000a 129

Raha ja sen arvo Jos kuluttajahintaindeksi laskee 3,5 pisteellä, on uuden kuluttajahintaindeksin pisteluku 96,5. Merkitään, että asumiseen kuluttaminen k-kertaistuu, jolloin uusi kulutua on 213,4ka. Muiden hyödyksryhmien kulutus on 786,6a. Saadaan yhtälö 213,4ka 786,6a 0,965 1000 1000a 213, 4k 786,6 965 213,4k 178,4 : 213,4 k 0,8359... Painoarvon on laskettava 100 % - 83,59 % = 16,40 % 16,4 %. 190. Ruokakorin hinta alussa 100a Ruokakorin hinta lopussa: 1,02 35a0,99 25a1,04420a0,942 14a1,062 6a 100,89a Ruokakorin hinta nousi 0,89 %. 130

Raha ja sen arvo 191. Vuokrien suhde Indeksi 2005 1 100,0 395 2006 1,0394... 380 103,9 408 2007 1,0736... 380 107,4 450 2008 1,1842... 380 118,4 a) Vuokran nousu 118,4 100,0 18,4 eli 18,4 % b) 118,4 1,1395... 1,140 Vuokra on 14 % korkeampi. 103,9 192. 1960 1970 1980 1990 2000 Asuinhuoneistot Pinta-ala Suhde Indeksi Suhde Indeksi 1 100,0 1 100,0 1463 1211 120,8 1838 1211 151,8 2210 1211 182,5 2512 1211 207,4 60 51 69 51 74 51 77 51 117,6 135,3 145,1 151,0 131

Raha ja sen arvo 230 210 190 170 150 130 110 90 1960 1970 1980 1990 2000 määrä pinta-ala 193. a) Ostoskori Suhde Indeksi 2006 2,52,45 120,73 322,44 100,82 41,05 41,925 1 100,0 2007 2008 2009 2,52,74120,72322,39100,8341,02 42,21 2,53,00 120,87 322,88101,19 41,02 51,2 2,52,99 120,89 322,29 101,21 41,01 48,035 42,21 41,925 100,7 51,2 41,925 122,1 48,035 41,925 114,6 b) Hintoja tulisi nostaa 14,6 %. 132

Raha ja sen arvo 194. Roskien määrä alussa 100a Roskapaperien uusi määrä 0,5 64,3a 32,15a Muovien uusi määrä 2 17,7 a 11,8 a 3 Roskien määrä lopussa 2,7a7,6a11,8a32,15a7,7a 61,95a Roskien määrä alkuperäiseen verrattuna 61,95a 0,6195 100a Määrä pienenee 100 % - 61,95 % = 38,05 % 38 % 133

Raha ja sen arvo 5.3 Inflaatio ja rahan arvo 195. Makkara v. 1980 2,32 /kg v. 2004 3,28 /kg a) Makkaran kilohinta: 3, 28 1,41379... 1,414 2,32 Kilohinta on 1,414-kertaistunut eli noussut 41,4 %. Inflaatioprosentti on 41,4 %. b) Hinta on x-kertaistunut vuosittain. 24 2,32 x 3, 28 : 2,32 24 x 1,413... 24 x 1,413... x 1,01453... x 1,015 Vuosittain hinta 1,015-kertaistuu eli vuotuinen inflaatio on 1,5 %. 134

Raha ja sen arvo 196. Inflatoidaan viikkorahat vuoteen 2005 ja muutetaan rahasummat euroiksi. Martta 1594 7,97 0,50 mk 7,97 mk 1,340... 100 5,94573 Tero 1594 8,132... 2,00mk 8,132...mk 1,367... 392 5,94573 Anna 1594 13,012... 8,00mk 13,012...mk 2,188... 980 5,94573 Venla 1594 17,201... 15,00mk 17,201...mk 2,893... 1390 5,94573 Jussi 2,50 Suurin viikkoraha on Venlalla. 135

Raha ja sen arvo 197. a) Hinta /l Indeksi 1990 0,76 1248 2009 x 1730 Muodostetaan verranto ja ratkaistaan x: 0,76 1248 x 1730 1248x 1314,8 :1248 x 1,0535... x 1, 05 Bensiinin hinta vuonna 2009 1,05 /l. b) Hinnanmuutos: 1730 1,3862... 1,39 1248 Hinnat ovat 1,39-kertaistuneet eli inflaatio on ollut 39 %. 198. Deflatoidaan vuoden 2000 hinta jokaiseen vuoteen. a) 168000 1501 x 138 1501x 23184000 x 15445,702... x 15445,70 136

Raha ja sen arvo b) 168000 1501 x 651 1501x 109368000 :1501 x 72863,424... x 72863, 42 c) 168000 1501 x 1730 1501x 290640000 :1501 x 193630,9127 x 193630,91 199. a) Lainamäärä oli vähentynyt 120 000-86 400 = 33 600 Lainamäärä vähentynyt nimellisesti 33600 0,28 28% 120000 b) Inflatoidaan otettu lainasumma vuoden 2008 rahaksi. 120000 105,3 x 115,3 105,3x 13836000 :105,3 x 131396,0114 x 131396,01 Lainamäärä oli vähentynyt 131396,01-86400 = 44996,01 Lainamäärä vähentynyt reaalisesti 44996,01 0,3424... 34% 131396,01 137

Raha ja sen arvo 200. Muuttaan 128 000 vuoden 2005 rahaksi. 4 128000 1,02 118252, 214... 118252, 21 Asunnon arvon muutos 118252,21-95000 = 23252,21 Asunnon reaalisen arvon muutos 23252, 21 0,2447... 24% 95000 Arvo on noussut 24 %. 201. Palkka 2006 1850 2009 1850 + 250 = 2100 Indeksi 2006 108,1 2009 115,3 a) Nimellispalkka nousi 250 0,1351... 0,135 13,5% 1850 b) Jos palkka olisi noussut samassa suhteessa, palkka vuonna 2009 olisi ollut 1850 108,1 x 115,3 108,1x 213305 :108,1 x 1973,219... x 1973, 22 138

Raha ja sen arvo 202. 1990 1459 1995 2000 2005 2008 Vuoteen 1990 deflatoitu palkka ( ) 1607 1390 x1 1248 x1 1443 2081 1501 x2 1248 x2 1730 2597 1594 x3 1248 x3 2033 2933 1730 x4 1248 x 2116 4 Vuoteen 2008 inflatoitu palkka ( ) 1459 1248 y1 1730 y 2022 1 1607 1390 y2 1730 y2 2000 2081 1501 y3 1730 y3 2398 2597 1594 y4 1730 y 2819 4 2933 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1990 1995 2000 2005 2008 nimellinen deflatoitu inflatoitu 139

Raha ja sen arvo 203. elinkustannusindeksi 2000 1501 2009 1730 a) Elinkustannusindeksien suhde: 1730 1,1525... 1501 Inflaatioprosentti 15,3 %. b) Tuotteen hinta 2000 a 2009 1,1525 a Ostetaan tuotetta rahamäärällä b. Tuotetta saadaan 2000 b a kpl 2009 b b kpl 0,8676... kpl 1,1525... a a Tuotetta saadaan 100 % - 86,76 % = 13,23 % 13,2 % vähemmän vuonna 2009 kuin vuonna 2000. Rahan ostovoima on siis vähentynyt 13,2 %. 204. Merkitään autojen hintoja alussa kirjaimella a. Hinnat lopussa ovat 1,12a. b b eurolla sai alussa kpl autoja. a b b b eurolla sai lopuksi kpl 0,8928 kpl autoja. 1,12a a Ostovoima on laskenut 1 0,8928... 0,107... 11%. 140

Raha ja sen arvo 205. a) lapsilisä ( ) 1970 3,20 Vuoteen 2009 inflatoitu lapsilisä ( ) 3, 20 223 y1 1730 y 24,83 1980 27,08 27,08 651 y2 1730 y2 71,96 1990 67,28 67, 28 1248 y3 1730 y3 93,26 2000 90,00 90 1501 y4 1730 y4 103,73 2009 100,00 100,00 1 120 100 80 60 40 20 0 1970 1980 1990 2000 2009 nimellinen inflatoitu 141

Raha ja sen arvo b) Verrataan lapsilisien nimellisiä määriä 100 31,25 3125% 3,20 Lapsilisät ovat nousseet nimellisesti 3125 % - 100 % = 3025 %. Verrataan lapsilisien inflatoituja määriä 100 4,0273... 403% 24,83 Lapsilisät ovat nousseet reaalisesti 303 %. 206. a) Muutetaan markat ensin euroiksi. 1800 1800mk 302,738... 302,74 5,94573 Inflatoidaan tämä vuoden 2000 rahaksi. 651 302,74 1501 x 651x 454412,74 :651 x 698,022... x 698,02 b) Palkan nimellinen mutos euroina 698,02-302,74 = 395,28 Palkan reaalinen muutos euroina on 0. 142

Raha ja sen arvo 207. a) Palkan muutos 3372 3084 288 288 Nimellinen muutos 0,09338... 9,3% 3084 b) Inflatoidaan vuoden 2002 palkka vuoteen 2004: 3084 104,6 x 105,3 104,6x 324745, 2 x 3104,638... x 3104,64 Reaalinen muutos 3372 3104,64 0,08611... 8,6% 3104,64 Palkka nousi reaalisesti 8,6 % 208. a) Rahamäärällä a saadaan alussa tuotetta määrä b, jolloin tuotteen hinta a b. Jos ostovoima laskee 15 %, rahamäärällä a saadaan tuotetta enää määrä 1 0,15b 0,85b. a a Tuotteen hinta on 1,1764.... 0,85b b Tuotteen hinta on noussut 1,1764... a a 0,1764... a 0,18 a b b b b Inflaatio on ollut 18 %. 143

Raha ja sen arvo b) Tuotteen hinta alussa a b Tuotteen hinta kolmen vuoden kuluttua 0,1764... a b. Saadaan yhtälö a 3 a a x 0,1764... : b b b x 3 0,1764... x 3 0,1764... x 1,05566... Vuosittainen inflaatio on 105,566 % - 100 % 5,6 %. 144

Kertausosa 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304... 5750 Indeksi nousi 13,04... % Metson osakkeen arvon muutos: 15,58 1,2335... 12,63 Arvo nousi 23,35... % Verrataan Metson osakkeen arvon nousua indeksin arvon nousuun: 23,35...% 1,7907... 13,04...% Metson osakkeen arvo nousi 79 % enemmän. 145

Kertausosa 2. Liittymä puhelimella Kahden vuoden aikana paketti maksaa 24 28,50 684. Peruspaketti ja puhelin: 50 :lla saadaan puheaikaa 50 1000min 0,05 / min 24 kuukauden aikana Lassi puhuu 24500min 12000min maksettavaa puheaikaa 12000min1000min 11000min Liittymä maksaa siis kahden vuoden aikana 11000 0,05 240,6 564,40 Puhelimen kanssa hinnaksi tulee 564,40 190 754,40. Puhelimen sisältävä liittymä tulisi siis 754,40 684 0,0933... 9,33...% 9,3% edullisemmaksi. 754,40 3. Alussa Lopussa koko a 1,2a hinta b 1,13b kilohinta b a 1,13b 1, 2a b 0,9416... a Kilohinta laski 100 % - 94,16 % 5,8 % 146

Kertausosa 4. Bruttopalkka x Nettopalkka 0,65x Asuntomenojen jälkeen palkasta jää 0,7 0,65x 0,455x. Muiden menojen jälkeen palkasta jäljellä 0,455x 0, 2275x 2 0, 2275x 450 :0, 2275 x 1978,021... x 1978,02 Villen bruttopalkka on 1978,02. 5. Alussa Lopussa Käyttökustannukset a 1,1a Polttoaine 0,35a k 0,35a Muut käyttökustannukset 0,65a 0,65a Saadaan yhtälö 0,35ka 0,65a 1,1 a : a 0 0,35k 0,65 1,1 0,35k 0, 45 : 0,35 k 1,2857... Polttoainekustannukset voivat kasvaa 28,57... % 28,6 %. 147

Kertausosa 6. a) 489 + 0,175(25000-22600 ) = 909 b) 2974 + 0,215(50000-36800 ) = 5812 7. Valtion tulovero: 2974 + 0,215(48000-36800 ) = 5382 Muut verot ja veronkaltaiset maksut: Kunnallisvero 20 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Työttömyysvak.maksu 0,40 % Yhteensä 26,15 % Veroa maksettava 0,2615 48000 12552 Verot yhteensä 5382 + 12552 = 17934 Nettoansiot 48000-17934 = 30066 148

Kertausosa 8. Vuositulot x Vuositulojen täytyy kuulua luokkaan 22600 36800. Vero alarajan kohdalla 489. 0,175 x 22600 Vero ylimenevältä osalta Saadaan yhtälö 489 0,175 x 22600 2420 489 0,175x 3955 2420 0,175x 5886 :0,175 x 33634,285... x 33634, 29 ( ) Tulot valtion verotuksessa olivat 33634,29. 9. Bruttoansiot a Vaasassa: Kunnallisveron 19,5 % jälkeen palkasta jää 0,805a. Valtion tuloveroa maksetaan 0,13a. Nettoansiot 0,805a0,13a 0,675a Jyväskylässä: Kunnallisveron 19,0 % ja kirkollisveron 1,35 % jälkeen palkasta jää 0,79655a. Valtion tuloveroa maksetaan 0,13a. Nettoansiot 0,7965a 0,13a 0,6665a 0,675a 0,6665a 0,675a 0,01259... 1,3% Nettoansiot laskivat 1,3 %. 149

Kertausosa 10. a) Äiti kuuluu 1. veroluokkaan 100 + 0,07(12500-4000 ) = 695 b) Molemmat sisaret lahjoittavat 12500 : 2 = 6250. Sisaret kuuluvat 2. veroluokkaan. Lasketaan ensin yhdeltä sisarelta saatavasta lahjasta maksettava vero. 100 + 0,20(6250-4000 ) = 550. Koko rahalahjasta tulee maksaa veroa 2 550 = 1100 11. Verotusarvo x Perintö kuuluu luokkaan 40000 60000 Täti kuuluu 2. veroluokaan. Vero alarajan kohdalla 4100. 0,26 x 40000 Vero ylimenevältä osalta Saadaan yhtälö 4100 0, 26( x 40000) 8870 4100 0,36x 10400 8870 0,36x 15170 x 42138,888... Osakkeiden verotusarvo oli 42138,89. 150

Kertausosa 12. a) Veroton hinta x Verollinen hinta 1,09x 1,09x 4, 20 :1,08 x 3,853... x 3,85 Veroa 4,20-3,85 = 0,35 b) Lääkkeen myyntihinnasta arvonlisäveroa 0,35 0,0833... 8,3% 4,20 13. Mansikanviljelijän verollinen hinta 1,9 1500 2850 Veroton hinta x 1,13x 2850 :1,13 x 2522,123... x 2522,12 Veroa 2850-2522,12 = 327,88 Kauppiaan verollinen hinta 1500 3,20 4800 Veroton hinta y 1,13y 4800 :1,13 y 4247,787... y 4247,79 Veroa 4800-4247,79 = 552,21 Kauppias tilittää veroa 552,21-327,88 = 224,33 151

Kertausosa 14. Osake A ostohinta 500 4,50 2250 myyntihinta 500 7,20 3600 voittoa 3600 2250 1350 Osake B ostohinta 5008,85 4425 myyntihinta 500 6,90 3450 tappiota 4425 3450 975 Voitto tappioiden vähentämisen jälkeen 1350 975 375 Veroa maksetaan 0,28375 105 15. Pääoma 90 000 Nettokorkotekijä x 1 Aika 4kk a 3 1 x 90000 620 3 30000x 620 x 0,02066... Nettokorkokanta on 2,066 %. Korkokanta y 0,72y 2,066... : 0,72 y 2,870... Korkokanta 2,9 % 152

Kertausosa 16. Korkopäivät: Elokuu 31 11 = 20 Syyskuu 30 Lokakuu 31 Marraskuu 30 Joulukuu 31 Yhteensä 142 Nettokorkokanta 0,72 2,14% 1,5408% 0,015408 Nettokorko 142 0,015408 12000 71,932... 71,93 365 17. Korkokanta alussa p % Korotuksen jälkeen p 0,3 % Korko ensimmäiseltä puolelta vuodelta: p 0,5 8000 40 p 100 Korko vuoden jälkipuoliskolta p 0,3 0,5 8000 40p0,340 p 12 100 Saadaan yhtälö 40 p40 p12 132 80 p 120 :80 p 1,5 Korkokanta vuoden alussa 1,5 % 153

Kertausosa 18. Talletussumma x Korko 1. talletuksesta 2. talletuksesta 3. talletuksesta 8. talletuksesta 12 0,028 x 12 11 0,028 x 12 10 0,028 x 12 5 0,028 x 12 Korot yhteensä: 12 11 5 0,028x 0,028 x...0,028x 12 12 12 12 11 5 0,028 x... 12 12 12 12 5 0,028x 8 12 12 2 0,1586... Saadaan yhtälö: 0,1586... x 38,08 :0,1586... x 240 Talletussumma on 240. 154

Kertausosa 19. a) Nettokorkokanta 0,72 3,20% 2,304% Kuuden vuoden kuluttua tilillä on 6 1,02304 2500 2866,128... Nettokorko 2866,128... 2500 366,128... 366,13 b) Nettokorkotekijä x 6 2500 x 2500 318,06 x 6 1,127224 x 6 1,127224 x 1,02016... (vain positiivinen arvokäy) x 1,02016... Nettokorkokanta 2,016 % Korkokanta 2,016...% 2,800...% 2,80% 0,72 155

Kertausosa 20. Talletussumma x Korkotekijä 100 % 1,8% 101,8% 1, 018 Rahaa 1. vuoden jälkeen Rahaa 2. vuoden jälkeen Rahaa 3. vuoden jälkeen 1, 018x 2 1,018x 1,018 x 2 3 1,018x 1,018 x 1,018 x Rahaa tilillä 10. vuoden kuluttua 2 10 1,018x 1,018 x... 1,018 x 11,018 1, 018x 11,018 11,045... x Saadaan yhtälö 11,045... x 13245,52 :11,045... x 1199,185... x 1200 Maija tallettaa 1200 vuodessa. 10 156

Kertausosa 21. Vuoden talletukset: 12 300 3600 Nettokorkokanta 0,72 2,9 % = 2,088 % Vuoden korot: 12 11 1 0,02088 3000,02088 300... 0,02088 300 12 12 12 12 11 1 0,02088300... 12 12 12 12 1 0,02088 300 12 12 12 2 40,716 40,72 Summa 3600 + 40,72 = 3640,72 kasvaa korkoa korolle. Rahaa tilillä 5. vuoden kuluttua 2 4 3640,72 1,020883640,72 1,02088 3640,72... 1,02088 3640,72 5 11,02088 3640,72 1 1,02088 18979,821... 18979,82 ( ) 157

Kertausosa 22. Vähittäismaksulla hinnaksi tulee 1 2 5000 1,013 5100 1,031 5200 14838,648... 14838,65 Edullisempi tapa on maksaa erissä. 23. Diskontataan arvopaperien arvot 3 1,045 15000 13144,449... 13144, 45 5 1,065 20000 14597,616... 14597,62 Arvopapereista maksetaan siis 13144,45 + 14597,62 = 27742,07 24. Kymmenen vuoden kuluttua sijoitusten arvo on 2 10 1,09 2500 1,09 2500... 1,09 2500 11,09 1,092500 1 1,09 10 41400,733... 41400,73 ( ) Tuotto 41400,73 102500 16400,73 Nettotuotto 0,7216400,73 11808,525... 11808,53 158

Kertausosa 25. Kysytty hinta x Ostopäivän ja liikkeellelaskupäivän välinen korko 60 0,072 x 0,011835... x 365 Saadaan yhtälö x 0,011835... x 9917,60 1,011835... x 9917,60 :1,011835... x 9801,592... x 9800 Obligaation hinta ensimmäisenä myyntipäivänä oli 9800. 26. Ostohinta 1000 12,40 12400 Palkkio 0,0112400 124 Osingot 1000 0,75 750 Osingoista 30 % on verovapaata, joten veroja maksetaan 0,7 750 = 525 summasta. Osinkotuotto verojen jälkeen 0,72 525 378 Myyntihinta 1000 15,05 15050 Palkkio 0,0115050 150,50 Myyntivoitto 15050 12400 124 150,50 2375,50 Nettovoitto 0,72 2375,50 1710,36 Äyrinen ansaitsi osakkeillaan 1710,36 378 2250,36. 159

Kertausosa 27. Talletussumma x Nettokorkokanta 0,72 4,0% 2,88% Rahaa tilillä kolmen vuoden kuluttua Lisäkorko 0,72 0,08x 0,0576x 3 1,0288 x Saadaan yhtälö 3 1,0288 x0,0576x16624, 43 1,146... x 16624,43 :1,146... x 14500,002... x 14500 Tilille talletettiin 14500. 28. Mikko ostaa osuuksia summalla a. Osuuksia a tammikuussa kpl 1, 2 a helmikuussa 1, 02 kpl a maaliskuussa 0,85 kpl a huhtikuussa 1, 25 kpl Huhtikuussa Mikolla yhteensä osuuksia a a a a 3,790... a (kpl) 1, 2 1,02 0,85 1, 25 160

Kertausosa Kun osuuden arvo huhtikuussa on 1,25 /kpl, salkun arvo on 3,790... a1,25 4,737... a Mikko on sijoittanut kuukausien aikana 4a eli hän on voitolla 4,737... a4a 0,7377... a Prosentteina 0,7377... a 0,1844... 0,18 18% 4a 29. Kuukausikorko 3,0% 0,25% 0,0025 12 Lainasumma 12000 Lainakuukausia 412 48 Kuukausilyhennys 12000 250 48 a) 1. takaisinmaksuerä 250 0,002512000 280 Viimeinen takaisinmaksuerä 250 0,0025250 250,625 250,63 161

Kertausosa b) Lainasumma pienenee joka kuukausi 250 Korot ovat yhteensä 0,002512000 0,002511750... 0,0025 250 0,0025 12000 11750... 250 12000 250 0,002548 2 735 4,8% 30. a) Kuukausikorko 0,4% 12 Korkotekijä 100% 0,4% 100,4% 1,004 Lyhennyskertoja 1512 180 A 180 130000 1,004 1014,538... 1014,54 11,004 11,004 180 4,8% b) Neljännesvuosikorko 1, 2 % 4 Korkotekijä 100% 1,2% 101,2% 1,012 Lyhennyskertoja 15 4 60 A 60 130000 1,012 3051,898... 3051,90 11,012 11,012 60 162

Kertausosa 31. Annuiteetti 600 3,6% Kuukausikorko 0,3% 12 Korkotekijä 100% 0,3% 100,3% 1,003 Lyhennyskertoja 20 12 240 Lainasumma K 11,003 K 11,003 240 1,003 600 240 K 0,00585... 600 :0,00585... K 102544,563... K 103000 Lainasumma voi olla 103000. 32. Puun määrä alussa 1,5 (milj. m 3 ) Kasvukerroin 100% 10% 110% 1,1 Sovelletaan annuitettilainan kaavaa. Annuiteettina 0,2 (milj. m 3 ) Jäljellä olevan puun määrä 10 vuoden kuluttua 10 10 11,1 1,5 1,1 0,2 0,7031... 11,1 0,70 Puuta on jäljellä 0,70 miljoonaa kuutiometriä. 163

Kertausosa 33. Lyhennyskertoja n 3,36% Kuukausikorko 0,28% 12 Korkotekijä 100% 0,28% 100,28% 1,0028 Annuiteetti 675,83 Lainasumma 80000 n 11,0028 800001,0028 675,83 n 11,0028 :80000 n 1,0028 0,0028 0,0084... n 11,0028 : 0,0028 n 1,0028 n 11,0028 3,017... n 3,017... 11,0028 1,0028 n n 3,017... 3,017... 1,0028 1,0028 n n 3,017... 1,0028 1,0028 3, 017... n 2,017... 1,0028 3,017... :2,017... n 1,0028 1,495... n lg1,0028 lg1, 495 nlg1,0028 lg1, 495 lg1, 495 n lg1,0028 n 143,999... n 144 n Laina-aika 144 kuukautta eli 12 vuotta. 164

Kertausosa 34. Myyntikurssi 1 = 0,8490 GBP 2000 0,8490 GBP = 1698 GBP Matkan jälkeen jäljellä 1 1698GBP 339,6GBP 5 Ostokurssi 1 = 0,8890 GBP Trappet saavat euroja 339,6 382,002... 382 0,8890 35. Alussa yhdellä eurolla saa a ruplaa. Barrelihinta ruplina b a) Muutoksen jälkeen yhdellä eurolla saa 1,05a ruplaa. b b Barrelihinta euroina 0,952... 1, 05a a Barrelihinta laskee 100 % - 95,2... % 4,8 %. b) Muutoksen jälkeen yhdellä eurolla saa 0,95a ruplaa. b b Barrelihinta euroina 1,0526... 0,95a a Barrelihinta nousee siis 5,3 %. 165

Kertausosa 36. Dollarien määrä x Ostokurssi 1 = 1,4026 USD eli 1 USD = 1 1, 4026 x Eemeli saa euroja 1, 4026 Ruptsin kriinin myyntikurssi 1 = 9,5923 SEK x Eemeli saa kruunuja 9,5923 SEK. 1,4026 Saadaan yhtälö x 9,5923 870 1, 4026 1, 4026 9,5923x 1220,262 : 9,5923 x 127,212... x 127, 21 Eemelillä oli 127,21 USD. 166

Kertausosa 37. Sijoittaja saa dollareita 1500001,3025USD 195375USD Ennen revalvaatiota yhden dollarin arvo euroina oli 1 0,76775... 1,3025 Revalvaation jälkeen dollarin arvo on 1,040,76775... 0,79846... Sijoituksen arvo euroina on nyt 0,79846... 195375 = 156000 Sijoittaja saa 156000 38. a) Vuosi Indeksi 2006 100,0 2007 88000 1,0731... 107,3% 82000 107,3 2008 95000 1,1585... 115,9% 82000 115,9 2009 100000 1,2195... 122,0% 82000 122,0 2010 110000 134,1% 82000 134,1 167

Kertausosa b) Merkitään kolmion hintaa vuonna 2010 kirjaimella x. 100 105000 134,1 x 100x 14080500 :100 x 140805 Kolmion hinta 140805. 39. a) Vuosiluku Montako vuotta kulunut vuodesta 2000? Indeksi 2000 0 100 2002 2 104,2 Lineaarista kasvua kuvaa ensimmäisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaajana on suora. Muodostetaan suoran yhtälö. Suoran kulmakerroin Yhtälö y100 2,1 x0 x2,1x100 104,2 100 2 0 2,1 Kun vuodesta 2000 on kulunut x vuotta, indeksiluku on f ( x) 2,1x 100 b) Indeksi vuonna 2009 on f (9) 2,19 100 118,9 Ero todelliseen arvoon 118,9 115,3 0,03122... 3,1% 115,3 168

Kertausosa 40. Vismuttia 50 % = 0,5 Lyijyä 25 % = 0,25 Tinaa 12,5 % = 0,125 Kadmiumia 12,5 % = 0,125 Tiheydet painotetaan prosenttiosuuksien mukaisesti: Woodin metalli kg kg kg kg 0,59,75 0, 2511,35 0,1257,28 0,1258,65 dm dm dm dm kg 9,70375 dm 3 kg 9,7 dm 3 3 3 3 3 41. Olkoon kokeen arvosana x. 0,2 9 0,15 8,5 0,2 8 0,057 0,4x 8,5 5,025 0, 4x 8,5 0,4x 3,475 x 8,6875 Helin on saatava kokeesta vähintään 9-. 169

Kertausosa 42. Lasketaan indeksien avulla Snällin palkka vuonna 2009. 1501 78000 1730 x 1501x 134940000 :1501 x 89900,066... x 89900 ( ) Indeksin muutos Rouva Snällin palkan pitäisi olla vuonna 2009 89900-86000 = 3000 suurempi, joten hänen reaaliansionsa pienenivät 3000. 43. Indeksien suhde 1730 1,1525... 1501 Vuonna 2000 tuotteen hinta oli a, tuotetta saatiin rahamäärällä 78000 yhteensä 78000 kpl. a Vuonna 2009 tuotteen hinta oli 1,1525...a b b tuotetta saatiin rahamäärällä b yhteensä kpl 0,8676... kpl 1,1525... a a Ostovoima laskenut 100 % - 86,76... % 13,2 % 170

Kertausosa 44. a) Vuosi Indeksi Hinta 1975 392 x 1995 1390 1,26 b) 392 1x 1390 1,26 1390x 493,92 :1390 x 0,355... x 0,36 ( ) Lehti olisi maksanut 0,36. Vuosi Indeksi Hinta 1975 392 0,26 1995 1390 x 392 0,26 1290 x 392x 361,4 :392 x 0,9219... x 0,92 ( ) Inflatoitu hinta 0,92. Ero todelliseen hintaan 1, 26 0,92 0,269... 27% 1, 26 Inflatoitu hinta on 27 % todellista hintaa pienempi. 171

Kertausosa 1. Harjoituskoe 1. Merkitään tuotteen hintaa alussa kirjaimella a. a) Hinta lopussa 1,151,25a 1,4375a 1,44a Hinta nousi yhteensä 44 %. b) Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. 1, 4375 ak a : a 0 1, 4375k 1 :1, 4375 k 0,6956... Hintaa on laskettava 10,6956... 0,3043... 30%. Vastaus: a) 44 % b) 30 % 2. a) Loppupääoma 10 K10 1,015 10000 11605,408... 11605, 41 172

Kertausosa b) Korkojaksoja 10 12 = 120 kappaletta Kuukausikorko 1,5 % 0,125% 12 Loppupääoma 120 K120 1,00125 10000 11617,254... 11617,25 Vastaus: a) 11605,41 b) 11617,25 3. a) Nettokorkokanta 0,721,5% 1,08% Korkoaika 4 1 vuotta 12 3 1 Korko r 5000 0,0108 18 3 b) Merkitään talletusaikaa kirjaimella t. Saadaan yhtälö 5000 0,0108t 50 54t 50 : 54 t 0,925... 0,925...a 11,11...kk 11kk 3,333...d 11kk 3d Vastaus: a) 18 b) 11 kk 3 d 173

Kertausosa 4. a) Kuukausikorko 9,6% 0,8% 12 Maksuerien määrä 512 60kpl Annuiteetti A 11,008 60 1,008 35000 1 1,008 60 736,776... 736,78 Ensimmäinen ja viimeinen maksuerä 736,78. b) Tasalyhennyksen suuruus 35000 583,333... 583,33 60 Ensimmäisen maksuerän korko 0,008 35000 = 280 Ensimmäinen maksuerä 583,33 + 280 = 863,33 Viimeisen maksuerän korko 0,008 583,33 = 4,666... 4,67 Viimeinen maksuerä 583,33 + 4,67 = 588,00 Vastaus: a) molemmat 736,78 b) ensimmäinen erä 863,33, viimeinen erä 588,00 174

Kertausosa 5. a) Pankki ostaa 1100 USD 1 = 1,3201 USD eli 1 1USD 1,3201 Turisti saa: 1 1100 833, 270... 833, 27 1,3201 b) Merkitään turistin vaihtamaa euromäärää kirjaimella x. Pankki myy dollareita: 1 = 1,2790 USD Turisti saa siis 1,2790x USD. 1,2790x 342 :1,2790 x 267,396... x 267, 40 ( ) Vastaus: a) 833,27 b) 267,40 6. a) Lehden myyntihinta 1,09 2,80 3,052 3,05 b) Merkitään elintarvikkeiden verotonta hintaa kirjaimella x. 1,13x 35 3 x 30,973... x 30,97 Arvonlisäveroa: 35-30,97 = 4,03 175

Kertausosa Merkitään lehtien verotonta hintaa kirjaimella y. 1,09y 5,80 9 y 5,3211... y 5,32 Arvonlisäveroa: 5,80-5,32 = 0,48 Arvonlisäveroa yhteensä: 4,03 + 0,48 = 4,51 7. a) Nimellinen muutos 1560 1,04 104% 1500 Palkka nousi nimellisesti 4 %. b) Muutetaan 1560 aikaisemman ajankohdan rahaksi. Palkka Indeksi 1560 114,2 x 110 1560 114, 2 x 110 114,2x 171600 :114, 2 x 1502,626... x 1502,63 Reaalinen muutos 1502,63 1,00175... 100,2% 1500 Palkka nousi reaalisesti 0,2 %. 176

Kertausosa 2. Harjoituskoe 1. Valtion tuloveroa maksetaan 489 0,175 34917 22600 2644,475 2644,48 Muita maksuja maksetaan yhteensä 20 % + 1,25 % + 4,5 % + 0,4 % = 26,15 % Tämä on euroina 0,2615 34917 = 9130,7955 9130,80 Veroja ja veronkaltaisia maksuja yhteensä 2644,48 + 9130,80 = 11775,28 2. Alussa Lopussa Lomapaketin hinta a a Hotellikustannukset b 0,95b Matkakustannukset c 1,18c Lomapaketin hinta muodostuu hotelli- ja matkakustannuksista, joten a bc a 0,95b 1,18c bc0,95b1,18c 0,05b 0,18 c : 0,05 c 3,6b Matkakustannukset lomapaketin hinnasta alussa c c c c 1 0,21739... 21,7% a bc 3,6cc 4,6c 4,6 177

Kertausosa 3. Diskontataan tarjouksen B rahat nykyhetkeen. 1 2 90000 1,052 63400 1,052 100200 240805,27... 245000 Tarjous A on parempi. 4. Lainan korko kolmen kuukauden ajalta 4,8% 1, 2 % 4 Maksueriä on 15 vuodessa 415 60kpl a) Tasalyhennyslaina Lyhennys 180000 3000 60 Korot ensimmäisessä maksuerässä 0,012180000 2160 Ensimmäinen maksuerä 3000 2160 5160 Korot viimeisessä maksuerässä 0,012 3000 = 36 Viimeinen maksuerä 3000 + 36 = 3036 Tasaerälaina Annuiteetti on A 180000 1,012 60 4225,7061... 4225,71 ( ) 11,012 11,012 60 178

Kertausosa b) Tasalyhennyslaina Lainan määrä 45 lyhennyksen jälkeen 180000 453000 45000 Tasaerälaina Lainaa jäljellä 11,012 V 45 45 45 180000 1,012 4225,71 1 1,012 57692,7644... 57692,76 ( ) Vastaus: a) tasalyhennyslaina 5160 ja 3036, tasaerälaina 4225,71 b) tasalyhennyslaina 45 000, tasaerälaina 57 692,76 5. Talletukset ensimmäisenä vuonna Talletus ( ) Korko vuoden lopussa ( ) 1. kk 1200 12 0,023 1200 12 3. kk 1200 10 0,023 1200 12 5. kk 1200 8 0,023 1200 12 7. kk 1200 6 0,023 1200 12 9. kk 1200 4 0,023 1200 12 11. kk 1200 2 0,023 1200 12 179

Kertausosa Korot yhteensä 12 10 2 0,023 1200 0,023 1200... 0,023 1200 12 12 12 12 10 2 0,0231200... 12 12 12 2 1 S 6 12 6 3,5 2 0,02312003,5 96,6 ( ) Vuoden lopussa tilillä on 6 1200 96,6 7296,60. Tarkastellaan talletuksia vuosittain. Talletus tarkastelun lopussa ( ) 1. v u o 4 7296,60 1,023 s i 2. v u 3 7296,60 1,023 o 180

Kertausosa s i 3. v u o 2 7296,60 1,023 s i 4. v u o 7296,60 1,023 s i 5. v u 7296,60 o s 181

Kertausosa i Talletukset yhteensä 7296,60 7296,60 1,023... 7296,60 1,023 4 7296,60 1 1,023... 1,023 38200,262... 38200,26 ( ) Vastaus: 38200,26 4 182

Kertausosa 3. Harjoituskoe 1. a) Rahoitettavaksi jää 15500 3000 12500 Maksueriä on 412 48kpl Kuukausikorko 5,52% 0,46% 12 Lainan maksuerä A 12500 1,0046 48 290,8198... 290,82 ( ) 11,0046 11,0046 Maksuerä käsittelymaksuineen 290,82 5 295,82 48 b) Auton hinta osamaksulla 3000 48295,82 17199,36 17199,36 1,10963... 15500 Auto tulee 11 % kalliimmaksi. 183

Kertausosa 2. Merkitään verotonta hintaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 1,09x 32 :1,09 x 29,357... x 29,36 ( ) Hinnassa on arvonlisäveroa 32 29,36 2,64. 3. a) Pankki myy 1 eurolla 8,12320 kruunua. Merkitään annettavien eurojen määrää kirjaimella x. Saadaan yhtälö 8,12320x 2300 :8,12320 x 283,139... x 283,14 Euroja tulee antaa 283,14 + 5,50 = 288,64 b) Pankki ostaa kurssilla 1 = 8,44820 NOK eli eli 1 1NOK 8,44820 Tällöin 1 260 NOK 260 8,44820 30,775... 30,78 Tästä maksetaan palvelumaksu eli turisti saa 30,78-5,50 = 25,28. 184

Kertausosa 4. Merkitään kokonaiskulutusta alussa kirjaimella a. Kirjoihin käytetään muutoksen jälkeen 1,0250,08a 0,082a Kulttuuriin käytetään muutoksen jälkeen 0,9750, 20a 0,915a Kokonaiskulutus muutoksen jälkeen 0,082a0,1a0,195a0,15a0, 47a 0,997a Kokonaiskulutus pienenee 0,003a eli 0,003 a 0,3% a Vastaus: Kokonaiskulutus pienenee 0,3 % 5. Inflaatio laskee rahan arvoa 2,0 % vuodessa. Muutetaan sijoitusten arvot ensin saman ajankohdan rahaksi. Diskontataan 22500 sijoituksen alkuhetkeen. 7 22500 1,02 19587,6040... 19587,60 Merkitään muutoskerrointa kirjaimella q. 7 15000 q 19587,60 :15000 q 7 1,30584 7 q 1,30584 q 1,038856... Vastaus: Reaalinen korkokanta oli 3,9 % 185

Kertausosa 6. a) Maksueriä 10 kpl Maksuerän suuruus A 80000 1,0425 10 9986,4097... 9986, 41 ( ) 11,0425 11,0425 b) Lainaa jäljellä viiden maksuerän jälkeen 5 5 11,0425 V5 80000 1,0425 9986,41 1 1,0425 44147,2091... 44147,21 ( ) Uusi korko 4,25% 0,50% 4,75% Lainaa jäljellä alkuperäisen laina-ajan lopussa 5 5 11,0475 V5 44147,211,0475 9986,41 1 1,0475 770,376... 770,38 ( ) Tämä maksetaan kokonaan korkoineen seuraavana vuonna. 1,0475 770,38 = 806,973 806,97 Vastaus: a) 9986,41 b) 806,97 10 186

Ekstrat Lukujonot ja summat 1. a) an 8 n1 3 83n3 3n 11 a50 350 11 139 b) differenssi d 17 25 8 an 25 n1 ( 8) 25 8n 8 33 8n a50 33 850 367 2. a) Jonon differenssi d 78 85 7 ensimmäinen jäsen a1 85 Yleinen jäsen an 85 n1 7 85 7n 7 92 7n a100 92 7 100 608 187

Ekstrat b) a15 a1 15 1 d 30 a1 14d 30 a60 a1 60 1 d 165 a1 59d 165 Ratkaistaan yhtälöparin avulla a 1 ja d. a1 14d 30 a1 59d 165d 1 a1 14d 30 a1 59d 165 a 1 45d 135 : 45 d 3 14 3 30 a 12 Yleinen jäsen: an 12 n1 3 12 3n 3 3n 15 1 a100 3100 15 285 188

Ekstrat 3. a) Yhteenlaskettavia 150 kpl 10 150 S150 150 12000 2 b) Yhteenlaskettavia 12 kpl 1 12 12 12 1 S150 12 6 2 2 4. a) Differenssi d a2 a1 513 48 Viimeinen yhteenlaskettava a150 3 150 148 3 149 48 7155 Summa S150 3 7155 150 536850 2 b) a4 4 41 d 4 3d Saadaan yhtälö 43d 10 3d 6 :3 d 2 Viimeinen yhteenlaskettava a150 4149 2 302 4302 Summa S150 150 22950 2 189

Ekstrat 5. a) Yhteenlaskettavia 1000 kpl. Summa 11000 S1000 1000 500500 2 b) Differenssi d 84 4 Yleinen jäsen an 4n14 44n 4 4n Lasketaan yhteenlaskettavien määrä. 4n 1300 :4 n 325 Summa 41300 S325 325 211900 2 190

Ekstrat 6. Lukujonon yleinen jäsen on a 38 n1 7 n 38 7n 7 7n 31 Saadaan yhtälö 38 7n 31 n 10094 2 2 n 38 7n31 20188 n n 2 7 69 20188 0 2 69 69 4 7 20188 n 2 7 69 755 n 14 69 755 69 755 n TAI n 14 14 49 58,85... 0 eikäy Vastaus: 49 jäsentä 7. a) Jonon differenssi d 250 Vuoden 2003 joulukuun sijoitus on 24. eli a24 a1 24 1250 6400 a1 23250 6400 a1 650 Yleinen jäsen an 650 n1250 250n 400 191

Ekstrat b) 250n 400 10000 250n 9600 n 38,4 Vasta jonon 39. jäsen on suurempi kuin 10 000 ( ). 39 kk = 3 a 3 kk eli maaliskuussa vuonna 2005. 8. Kerroksien paanumäärät muodostavat aritmeettisen jonon: a1 3 d 8 an 3n18 38n 8 8n 5 Viimeinen, alin kerros: a45 845 5 355 Paanuja yhteensä: 3 355 S45 45 8055 2 192

Ekstrat 9. a) Yleinen jäsen a n 15 2 n 1 7. jäsen 71 6 a 7 152 152 960 b) Lukujonon suhdeluku (1458 1458 1 q 4374 3 Yleinen jäsen a n 1 4374 3 n1 7. jäsen a 7 71 6 1 1 4374 4374 6 3 3 10. Geometrisen lukujonon suhdeluku Yleinen jäsen 9. jäsen 1 a 2 2 n n 91 8 a 9 2 2 22 512 4 8 q 2 2 4 Aritmeettisen lukujonon differenssi d 4264 2 Yleinen jäsen an 2n1222n2 2n 9. jäsen a9 29 18 Verrataan jonojen yhdeksänsiä jäseniä 512 28,444... 2844,4...% 18 Geometrisen lukujonon 9. jäsen on 2844,4...% 100% 2744% suurempi. 193

Ekstrat 11. Olkoon jonon suhdeluku q. Tällöin a 128q a a a 11 12 13 14 128q 128q 128q 2 3 4 Saadaan yhtälö 4 128q 2048 :128 q 4 16 q 4 16 2 Yleinen jäsen n 1 an a1 q Jos q 2, a a a1 512 128 1 a1 4 10 1 101 2 128 Jos q 2, 101 a a 2 128 10 1 a 1 512 128 1 a1 4 194

Ekstrat 12. Jonon suhdeluku Yleinen jäsen 5 4 q 0,25 5 1 50,25 n a n Saadaan yhtälö n1 50,25 0,00001 :5 n1 0,25 0,000002 lg0,25 n1 lg0,000002 n 1 lg0,25 lg0,000002 :lg0,25 n 1 lg0,000002 lg 0,25 n 10,465... a a 10 11 9 5 0,25 0,000019... 0,00001 10 5 0,25 0,0000047... 0,00001 eli jäsen a 11. 195

Ekstrat 13. a) Summa S 10 10 1 2 3 3069 1 2 b) a8 3q 3 q 81 7 Saadaan yhtälö 7 3q 6561 :3 q 7 2187 q 7 q 3 2187 Summa S 10 10 1 3 3 88572 1 3 14. a) Suhdeluku 2 q 2 Yleinen jäsen 1 a n 12 2 n1 n1 Lasketaan montako yhteenlaskettavaa summassa on. n1 2 16384 lg 2 n1 lg16384 n 1 lg 2 lg16384 :lg 2 n 1 lg16384 lg 2 lg16384 n 1 lg 2 n 15 Summa S 15 15 1 2 1 32767 1 2 196

Ekstrat b) Suhdeluku 6 q 2 Yleinen jäsen 3 a n 32 n 1 Lasketaan yhteenlaskettavien määrä. n1 32 1536 :3 lg 2 n1 2 512 n1 lg512 n 1 lg 2 lg512 :lg 2 n 1 lg512 lg 2 lg512 n 1 lg 2 n 10 Summa S 10 10 1 2 3 3069 1 2 15. a) Yhteenlaskettavia on 12 kappaletta. 2 1,05 20 Suhdeluku q 1, 05 1,05 20 Summa 12 11,05 S12 1,0520 334,259... 334, 26 11,05 197

Ekstrat b) Yhteenlaskettavia on 9 kappaletta. 500 8 a1 1, 02 500 8 1, 02 a 500 1, 02 2 7 7 1,02 500 7 a Suhdeluku 2 1,02 500 q 1, 02 a 8 1 1,02 500 8 11,02 Summa S 9 1,02 500 4162,7407... 4162, 74 11,02 9 16. a) Suhdeluku 22 1, 06 q 1, 06 1, 06 23 1, 06 2223 1 Yhteenlaskettavia summassa on 23 kappaletta- Summa S 1 23 23 23 1, 06 1 1, 06 23 1 (1,06 ) 11,06 11,06 11,06 49,8155... 49,82 23 1 198

Ekstrat b) Suhdeluku 29 1, 03 q 30 1, 03 29 ( 30) 1 1, 03 1, 03 1, 03 Koska 1,03 0 =1, on viimeisen yhteenlaskettavan eksponentti 0. Summassa on tällöin yhteenlaskettavia30 + 1 = 31 kappaletta. Summa 11,03 S31 11,03 31 30 1,03 20,6004... 20,60 17. Varastoidun jätteen määrä 0,9-kertaistuu vuoden aikana. Vuoden 2003 alussa varastoitu jäte ennättää hajota 48 vuotta. Jäte-eristä muodostuu geometrinen summa. 48 47 46 2 2500 0,9 25000,9 25000,9... 25000,9 2500 0,9 a1 25000,9 q0,9 n 48 Jätettä on yhteensä 1 0,9 S48 2500 0,9 1 0,9 22456,839... 22000 (kg) 48 199

Ekstrat Investointilaskenta 18. 200 1,08 2 NPV 200 1,08 171,4677... 171, 47 2 19. Lasketaan vaihtoehdon B nykyarvo. 7000 10000 5000 3 1,10 1,10 5000 7000 1,10 10000 1,10 1 3 18876,784... 18876,78 Vastaus: Kannattaa valita vaihtoehto B. 20. Diskontataan kaikki kassaan maksut nykyhetkeen. Kassaan maksujen nykyarvo on 20000 25000 25000 45000 2 3 4 1,10 1,10 1,10 1,10 20000 1,10 25000 1,10 25000 1,10 45000 1,10 88361,4507... Nettonykyarvo NPV 88361,45 100000 11638,55 0 2 3 4 Vastaus: Investointi ei ole kannattava 200

Ekstrat 21. Merkitään nykyarvoa kirjaimella x. 3000 x 2381, 496... 2381,50 3 1, 08 Merkitään korkotekijää kirjaimella q. 7011 4 5250 q 4 q 4 5250q 7011 :5250 q 4 1,3354... 4 q 1,3354... q 1,07499... Korkotekijä aina positiivinen, joten q 1,07499... Korkokanta on siis 7,5 %. Merkitään nimellisarvoa kirjaimella y. y 5 675 1,12 5 1,12 5 y 6751,12 y 1189,580... y 1189,58 ( ) 201

Ekstrat Merkitään aikaa vuosina kirjaimella n. 800 n 712 1,05 n 1, 05 n 1,05 712 800 :712 n 1,05 1,1235... n lg1,05 lg1,1235... nlg1,05 lg1,1235... :lg1,05 lg1,1235... n lg1,05 n 2,3884... n 2,4 (vuotta) Vastaus: nykyarv nimellisarv aika o ( ) o ( ) vuosina korkokanta 2381,50 3000 3 8 % 5250 7011 4 7,5 % 675 1189,59 5 12 % 712 800 2,4 5 % 202

Ekstrat 22. Linja A Nettonykyarvo 1 2 3 NPV 15000 1,09 7000 1,09 7000 1,09 10000 5035,613... 5035,61 Linja B Nettonykyarvo 1 2 3 NPV -28000 1,09 10000 1,09 12000 1,09 15000 2857,224... 2857, 22 5035,61 Vastaus: kannattaa valita linja A. 23. Tarkastellaan ensimmäistä vaihtoehtoa. Kopiokoneen vuotuiset kustannukset ovat 1100 + 90000 0,022 = 3080 Investoinnin ja kopioinnin menot 8 vuodessa ovat 3080 3080 3080 28000... 2 8 1,065 1,065 1,065 1 2 8 28000 3080 1,065 1,065... 1,065 28000 3080 6,0887... 46753,352... 46753,35 S Geom. summa q1,065 1 1 8 1 1,065 1, 065 11,065 6,0887... 1 8 1 203

Ekstrat Koneen myynnistä saatava nykyarvo on 4000 2416,924... 2416,92 8 1065 Nettonykyarvo NPV = 2416,92-46753,35 = -44336,43 Toisessa vaihtoehdossa vuotuiset kustannukset ovat 900000,07 6300 Kustannusten nykyarvo on 6300 6300 6300... 2 8 1,065 1,065 1,065 6300 1,065 1,065... 1,065 1 2 8 1 1,065 1 6300 1,065 11,065 6300 6,0887... 38359,131.. 38359,13 Nettonykyarvo on siis 0 38359,13 38359,13 44336, 43 1 1 8 Vastaus: Palvelun ostaminen on yritykselle edullisempi vaihtoehto. 204

Ekstrat 24. Merkitään yhden pesukerran hintaa kirjaimella x. Vuodessa kertyy tuloja 3000x. Tulojen nykyarvo 3000x 3000x 3000x 3000x 23000... 2 3 5 5 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 1 2 3 4 5 3000x 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 1 5 1 1,08 1 23000 3000x 1,08 1 5 11,08 1,08 23000 3000x 3,9927... 5 1, 08 23000 5 1, 08 Menojen nykyarvo 5000 5000 5000 102000... 2 5 1, 08 1, 08 1, 08 1 102000 5000 1,08 1,08... 1,08 102000 5000 1,08 102000 5000 3,9927... 121963,5501... 121963,55 ( ) 1 2 5 1 1,08 1 11,08 1 5 205

Ekstrat Tulojen ja menojen nykyarvojen pitää olla samat, joten saadaan yhtälö 23000 3000x 3,9927... 121963,55 1,085 23000 11978,13... x 121963,55 1,085 11978,13... x 106310,136... x 8,8753... Vastaus: Hinnan oltava vähintään 8,88 /pesu 206

Ekstrat Katetuottolaskenta 25. Katetuotto on 0,4 250000 100000 Tulos saadaan, kun katetuotosta vähennetään kiinteät kustannukset. 100000 100000 0 26. % myyntituotto 1200 2000 0,6 100 muuttuvat kustannukset 0,4 2000 = 800 40 katetuotto 1200 100 40 = 60 kiinteät kustannukset 1200 100 = 1100 1100 0,55 55% 2000 tulos 0,05 2000 100 5 27. a) Myyntituotto vuodessa 18001221 453600 Muuttuvat kustannukset vuodessa 18001212 259200 Katetuotto 453600 259200 194400 Tulos 194400 180000 14400 207

Ekstrat b) Myynti laskee 15 % eli uusi myynti 0,851800 1530 Myyntituotto 15301221 385560 Muuttuvat kustannukset 15301212 220320 Katetuotto 385560 220320 165240 Tulos 165240-180000 = -14760 Toiminta ei ole kannattavaa. 28. Vaadittu katetuotto on 165000 + 15000 = 180000. Merkitään taskutietokoneiden verotonta hintaa kirjaimella x. Katetuotto hinnalla x on 2200 x 54. Saadaan yhtälö 2200x 54180000 :2200 x 54 81,818... x 135,818... x 135,82 Verollinen hinta 1,23135,82 167,0586 167,06 208

Ekstrat 29. a) Merkitään myyntituottoa kirjaimella a. Katetuotto on tällöin 0,52a ja kiinteät kustannukset 0,38a. Yrityksen tulos on 0,52a0,38a 0,14a. Suhteellinen tulos on 14 %. b) Kiinteät kustannukset 1, 08 0,38a Muuttuvat kustannukset alussa a 0,52a 0,48a lopussa 0,98 0,48a 0,4704a. Katetuotto on tällöin a0,4704a 0,5296a. Yrityksen tulos 0,5296a0,4104a 0,1192a Suhteellinen tulos on 12 %. 209

Ekstrat 30. a) Myyntihinta per litra 1, 20 3, 20 0,375 Katetuotto litraa kohti on 3,20 1,20 2,0 Kriittinen piste 98000 / kk 2,0 / l 49000l/kk Pulloina kriittinen piste 49000 l/kk 130666,66... pulloa/kk 130667 pulloa/kk 0,375 l/pullo b) Myyntitulo kriittisessä pisteessä 130667 1,20 156800,40 31. Merkitään tuotteiden määrää kirjaimella x. a) K( x) muuttuvat kustannukset kiinteät kustannukset K( x) 2x 600 b) Yksikkökustannusfunktio K( x) 2x 600 600 kx ( ) 2 x x x c) Myyntituotto 26000 3,00 = 78000 Kokonaiskustammukset K(26000) = 2 26000 + 600 = 52600 ( ) Tulos 78000-52600 = 25400 600 Yksikkökustannukset k(26000) 2 2,023... 2,02 ( ) 26000 210

Ekstrat 32. a) Merkitään ajettavien kilometrien määrää kirjaimella x. K( x) 0,23 x 25000 muuttuvat kustannukset kiinteät kustannukset b) 0,23x 25000 25000 kx ( ) 0,23 x x c) Taksinyrittäjän tuotto 1, 09x Tulosfunktio T( x) 1,09 x 0,23x25000 0,86x25000 Tuotto Kustannukset d) e) Lasketaan kriittinen piste 1,09x 0,23x 25000 0,86x 25000 x 29069,7... 29070 Ajettava 29070 km vuodessa. 211

Ekstrat 33. a) Määritetään kustannusfunktion arvo. Derivaatta K( x) 0,50x 16 2 K( x) 0,25x 16x 400 pienin Derivaatan nollakohta: 0,50x 16 0 0,50x 16 :0,50 x 32 K(x) 32 x Pienin arvo derivaatan nollakohdassa eli, kun x = 32 (kpl) b) Tulosfunktio T( x) M( x) K( x) 2 1,5 x(0,25x 16x400) 2 0,25x 17,5x400 Derivaatta T( x) 0,50x 17,5 Derivaatan nollakohta: 0,50x 17,5 0 0,50x 17,5 : 0,50 x 35 x T(x) Suurin arvo derivaatan nollakohdassa eli, kun x = 35 (kpl). 212