1 PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 7

SISÄLTÖ 1 PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.1 PERUSLASKUTOIMITUKSIA... 7 LUKUJEN PYÖRISTÄMINEN... 7 LASKEMISJÄRJESTYS... 10 MURTOLUVUT... 15 NEGATIIVISET LUVUT... 22 1.2 ALGEBRAN PERUSTEITA... 28 POTENSSIT... 28 JUURET... 32 2 PROSENTTILASKENTAA... 35 PERUSKÄSITTEITÄ... 36 MUUTOSTEN LASKEMINEN... 43 PROSENTTILASKUT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 62 3 KORKOLASKENTAA... 67 3.1 KORKOLASKENNAN PERUSTEET... 68 PERUSKÄSITTEET... 68 KORKOLASKUT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 82 3.2 KORKOLASKENNAN SOVELLUKSIA... 88 PANKKITILIT... 88 PANKKILAINAT... 93 TILI- JA KULUTUSLUOTOT... 102 LUOTTOLASKELMAT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 112 4 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 118 4.1 ALGEBRAN PERUSTEITA...119 TUNTEMATON, MUUTTUJA JA LAUSEKE... 119 LAUSEKKEEN KÄSITTELY... 123 4.2 YHTÄLÖITÄ... 128 YHTÄLÖ... 128

ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ... 129 EPÄYHTÄLÖ... 136 YHTÄLÖPARI... 138 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ... 142 LAUSEKKEIDEN ARVOT JA YHTÄLÖT TAULUKKOLASKENTAOHJELMASSA... 146 4.3 LINEAARISIA FUNKTIOITA... 152 FUNKTIO... 152 KUSTANNUKSET JA TUOTTO... 155 KYSYNTÄ JA TARJONTA... 158 FUNKTIOT JA TAULUKKOLASKENTA... 163 5 TILASTOT... 168 5.1 PERUSTEITA... 169 TILASTO... 169 PERUSKÄSITTEITÄ... 172 AINEISTON KERÄÄMINEN... 175 5.2 TILASTOJEN ESITTÄMINEN... 178 TAULUKOINTI... 178 HAVAINTOAINEISTON MUODOSTAMINEN JA TAULUKOINTI TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 184 GRAAFINEN ESITTÄMINEN... 193 KAAVIOTYYPIT... 194 GRAAFISET ESITYKSET TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 208 5.3 TUNNUSLUKUJA... 215 SIJAINTILUVUT... 215 HAJONTALUVUT... 222 TUNNUSLUVUT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 227 6 MITAT, PINTA-ALAT JA TILAVUUDET... 233 6.1 MITTAAMINEN... 234 MITAT... 234 MITTAKAAVA... 238 6.2 KUVIOIDEN PINTA-ALOJA... 240 6.3 KAPPALEIDEN TILAVUUKSIA... 243

7 HINNOITTELUA... 247 HINNAN RAKENNE... 248 ARVONLISÄVERO... 249 MYYNTIHINNAN MÄÄRITTÄMINEN... 253 ALENNUS JA HÄVIKKI... 256 HINNAN MUUTOSTEN VAIKUTUS KANNATTAVUUTEEN... 259 HINNOITTELULASKELMAT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA... 262 8 KORONKORKOLASKENTAA... 267 8.1 KORONKORKO JA JAKSOLLISET SUORITUKSET... 268 PERUSKÄSITTEET JA NIIDEN LASKEMINEN... 268 KONFORMISET JA RELATIIVISET KORKOKANNAT... 276 JAKSOLLISET SUORITUKSET... 282 KORONKORKOLASKUT RAHOITUSFUNKTIOILLA... 289 8.2 INVESTOINTILASKELMIA... 298 PERUSKÄSITTEITÄ... 298 NYKYARVOMENETELMÄ... 299 ANNUITEETTIMENETELMÄ... 301 SISÄISEN KORKOKANNAN MENETELMÄ... 303 TAKAISINMAKSUAJAN MENETELMÄ... 305 INVESTOINTILASKELMAT RAHOITUSFUNKTIOILLA... 307 9 VASTAUKSIA... 312

2 PROSENTTILASKENTAA Tilastokeskuksen ennakkotietojen mukaan vanhojen kerros- ja rivitaloasuntojen hinnat laskivat helmikuussa 2012 koko maassa 0,4 prosenttia edelliseen kuukauteen verrattuna. Pääkaupunkiseudulla hinnat pysyivät ennallaan ja laskivat muualla maassa 0,6 prosenttia. Edellisen vuoden vastaavaan ajankohtaan verrattuna hinnat pysyivät ennallaan koko maassa. Pääkaupunkiseudulla hinnat nousivat 1,0 prosenttia, kun taas muualla maassa hinnat laskivat 0,8 prosenttia. Vuonna 2010 taajamien asukkaista 7 prosenttia oli alle kouluikäisiä eli alle 7-vuotiaita ja 8 prosenttia 75 vuotta täyttäneitä. Taajamien ulkopuolella haja-asutusalueilla alle kouluikäisiä oli 8 prosenttia ja yli 75-vuotiaita 9 prosenttia. Vuoden 2011 tilaston mukaan 16 24 -vuotiaista suomalaisista 73 % käyttää internetiä useita kertoja päivässä. Verkon kautta tekee ostoksia 56 %. 53 %:lla kyseisestä ikäluokasta on älypuhelin omassa käytössä. Lähde: Tilastokeskus Prosenttilaskenta on liike-elämässä käytetyin matematiikan osa-alue. Prosenttikäsite esiintyy usein jokapäiväisissä tilanteissa: hintojen ja palkkojen muutoksissa, ennakonpidätyksissä, erilaisissa pitoisuuksissa jne. Jotta selviää tällaisista käytännön tehtävistä, prosenttilaskennan hyvä hallinta on välttämätöntä. Tavoitteena on osata prosenttilaskun perustapaukset sujuvasti sekä saavuttaa valmiudet soveltaa prosenttilaskua erilaisissa käytännön laskutaitoa vaativissa tilanteissa. Tämä prosenttilaskentaa käsittelevä luku on rakennettu niin, että kunkin käsitteen jälkeen on perustehtäviä, joiden hallinta varmistaa käsitteen ymmärtämisen. Luvun lopussa olevien tehtävien on tarkoitus varmentaa perusmenetelmien käyttötaitoa sekä harjaannuttaa prosenttilaskennan soveltamiseen erilaisissa käytännön tilanteissa. Luvun lopussa esitellään taulukkolaskentaohjelman käyttöä prosenttilaskennan välineenä. PROSENTTILASKENTAA 35

2-83 Parturi- ja kampaamopalveluiden arvonlisävero nousi 9 prosentista 23 prosenttiin tammikuun 2012 alussa. Laske verollinen hinta ennen muutosta ja muutoksen jälkeen, kun palvelun veroton hinta on a) 24 ˆ b) 76 ˆ c) 138,40 ˆ 2-84 Tuotteen verollinen myyntihinta on 4414,40 ˆ, kun arvonlisävero on 24 % (verottomasta hinnasta). Mikä pitää panna verolliseksi myyntihinnaksi, jos veroton hinta säilyy ennallaan ja arvonlisävero a) laskee 20 %:iin b) nousee 25 %:iin? 2-85 Kuinka monta prosenttia olisi tuotteiden verollisten hintojen pitänyt nousta, jos verottomat hinnat säilyivät ennallaan ja arvonlisävero nousi 23 %:sta 24 %:iin? 2-86 Opiskelijan verokortissa on seuraavat tiedot: Vuoden 2012 portaikkoverokortti Tuloraja Ennakonpidätysprosentti 0 1 210 0 yli 1 210 16 700 13,5 yli 16 700 40 Kuinka paljon ennakkoa on pidätettävä, jos tulo on a) 950 ˆ b) 8 400 ˆ c) 20 100 ˆ? 2-87 Henkilö maksaa kunnallisveroa liitännäisineen 21,6 % verotettavasta tulostaan sekä valtion veroa oheisen taulukon mukaan. Vuoden 2012 tuloveroasteikko Verotettava ansiotulo ˆ Vero alarajan Vero alarajan kohdalla ylittävästä osasta 16 100 23 900 8 ˆ 6,5 % 23 900 39 100 515 ˆ 17,5 % 39 100 70 300 3 175 ˆ 21,5 % 70 300 9 883 ˆ 29,75 % Kuinka paljon veroa yhteensä on maksettava a) 18 000 euron verotettavasta vuositulosta b) 34 000 euron verotettavasta vuositulosta? 2-88 Kuinka monta prosenttiyksikköä suurempi on verojen osuus verotettavasta tulosta henkilöllä, jonka verotettava tulo on 60 000 ˆ kuin henkilöllä, jonka verotettava tulo on 34 000 ˆ? Asteikot samat kuin edellisessä tehtävässä. PROSENTTILASKENTAA 57

Jousto- ja korttiluotot Joustoluotto on jatkuvasti käytettävissä oleva laina, jota luoton ottaja voi käyttää vapaasti sovitun luottorajan puitteissa. Laina maksetaan takaisin yleensä kuukausierissä, jotka sisältävät lyhennyksen ja koron. Muita perittäviä maksuja voivat olla esimerkiksi tilinavausmaksu tai perustamiskustannus sekä kuukausittain maksettava laskutusmaksu tai vastaava. Joustoluottoja myöntävät sekä pankit että muut rahoitusyhtiöt. Eri rahoittajayhtiöiden välillä vuotuisissa korkokannoissa on isoja eroja. Eräänlaisia joustoluottoja ovat myös tilit, joihin asiakas voi ostaa tuotteita tietystä liikkeestä tai kauppaketjusta sovitun luottorajan puitteissa. Esim. 3.29 Osuuspankin joustoluoton kustannukset muodostuvat seuraavasti (tammikuu 2012, lähde Osuuspankki): Luoton kustannukset ja takaisinmaksu * Kuukausilyhennys 2,5 % luottorajasta, kuitenkin vähintään 50 euroa * Nostoprovisio 3 % noston määrästä, kuitenkin vähintään 3 euroa ja enintään 170 euroa * Laskutuspalkkio 3 euroa/kk, kun luotto on käytössä * Korko 3 kk Euribor + 6,5 prosenttiyksikköä (7,86 % 01/12) Todellinen vuosikorko 1500 euron joustoluotolle on 14,91 % (01/12). Tehdään laskelma kuukauden maksuista, kun luottoraja on 4 000 é ja asiakas nostaa 2 000 é 27.1.2012 eikä muita tapahtumia ole. Koroksi oletetaan 7,86 %. Nosto 27.1.2012 2 000 é Nostoprovisio 3 % 60 é Asiakas saa käyttöönsä 1 940 é 27.2.2012 asiakas maksaa Lyhennys 0,025 4 000 é = 100,00 é Korko 31 0,0786 2 000 é = 365 13,35 é Laskutuspalkkio = 3,00 é Yhteensä 116,35 é Seuraavan kuukauden luoton määräksi jää 1 900 é. 106 LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA

5.2 TILASTOJEN ESITTÄMINEN Kun havaintoaineisto on kerätty ja ilmoitetaan numeroaineistona, usein havaintomatriisin muodossa, se ei yleensä ole sellaisenaan riittävän informatiivinen. Aineistoa on muokattava tai tiivistettävä jollakin tavalla, jotta se olisi havainnollisempi ja johtopäätösten tekeminen helpottuisi. Aineisto saadaan käyttökelpoisemmaksi tarkastelemalla muuttujia yksitellen (tutkimalla aineistoa yhden ominaisuuden mukaan) luokittelulla (tiivistetään laaja numeroaineisto suppeammaksi) taulukoimalla (ilmoitetaan lukumääriä tai prosenttiosuuksia) esittämällä se kaaviona eli graafisesti. TAULUKOINTI Esim. 5.4 Tarkastellaan esimerkin 5.3 aineiston mielipiteitä kokeen vaikeusasteesta. Mielipiteet voidaan esittää tiivistetysti havainnollisemmin seuraavasti: Mielipide Lukumäärä Hyvin vaikea 3 Melko vaikea 5 Ei helppo eikä vaikea 8 Melko helppo 6 Hyvin helppo 3 Yhteensä 25 Taulukko muodostaa mielipidejakauman. Lukumääriä nimitetään myös frekvensseiksi. Tarkasteltaessa vain yhtä muuttujaa puhutaan yksiulotteisesta tai suorasta jakaumasta. Edellä oleva jakauma on suora jakauma, koska muuttujia on yksi, mielipide. Esiintymiskertojen lukumäärää ilmaisevia lukuja sanotaan frekvensseiksi. Muuttujan arvot ja vastaavat frekvenssit muodostavat frekvenssijakauman. Edellä muuttujan arvoa eli mielipidettä Melko vaikea vastaava frekvenssi on 5. 178 LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA

Edellisessä esimerkissä opiskelijamäärä on niin pieni, että eri mielipiteiden edustajat on havainnollisinta ilmoittaa lukumääräisinä. Jos tilastoyksiköitä on paljon, niin prosenttiosuuksien ilmoittaminen lukumäärien sijaan on yleensä havainnollisempaa. Prosenttilukujen tarkkuus harkitaan tilanteen mukaan. Tällöinkin taulukon yhteydessä yleensä kerrotaan havaintojen kokonaismäärä. Havainnollistetaan prosenttiosuuksien eli suhteellisten frekvenssien laskemista kuitenkin edellisen esimerkin aineistolla. Esim. 5.5 Valtakunnallisen kokeen mielipidejakaumataulukko: Mielipide Lukumäärä Osuus % Hyvin vaikea 3 12 % Melko vaikea 5 20 % Ei helppo eikä vaikea 8 32 % Melko helppo 6 24 % Hyvin helppo 3 12 % Yhteensä 25 100 % 8 100 % 25 Yleensä taulukossa esiintyvät vain joko lukumäärät tai prosenttiosuudet. Mikäli saatavan informaation kannalta on mielekästä, taulukkoon voidaan laskea myös kumulatiiviset eli summafrekvenssit. Näiden laskeminen edellyttää muuttujalta järjestysominaisuutta ja ne voidaan laskea sekä lukumääräisistä arvoista että prosenttiosuuksista. Esim. 5.6 Oheisessa taulukossa on 15 24-vuotiaiden vapaa-ajan liikunnan harrastamisen jakauma sekä kumulatiiviset prosenttiosuudet (lähde: Suomalaisen aikuisväestön terveyskäyttäytyminen 2010). Harrastaa liikuntaa Osuus % Kumulat. % Päivittäin 14 % 14 % 4 6 kertaa viikossa 27 % 41 % 14 % + 27 % 3 kertaa viikossa 19 % 60 % 14 % + 27 % + 19 % 2 kertaa viikossa 15 % 75 % Kerran viikossa 12 % 87 % Harvemmin 13 % 100 % Yhteensä (N = 414 ) 100 % Suhteellinen frekvenssi 19 % ilmaisee, että 19 % harrastaa vapaa-ajan liikuntaa 3 kertaa viikossa. Kumulatiivinen osuus 60 % kertoo, että 60 % harrastaa vapaa-ajan liikuntaa 3 kertaa viikossa tai useammin eli vähintään 3 kertaa viikossa. TILASTOT 179

Luokittelu Jos muuttuja on jatkuvaluonteinen eli se saa paljon erilaisia arvoja, niin arvot on syytä luokitella ennen lukumäärien tai prosenttiosuuksien laskemista. Tätä varten muodostetaan uusi luokkamuuttuja alkuperäisen muuttujan arvojen perusteella. Luokitellut arvot voidaan muodostaa eri tavoin, esimerkiksi hakufunktiolla P-haku. P-haku-funktiota varten on ensin muodostettava luokkien alarajat ja luokkien nimet. Luokitellun muuttujan arvoille varataan sarake (sijainnilla ei ole merkitystä) ja kirjoitetaan ensimmäiselle riville muuttujan nimi. Funktion arvo lasketaan rivin 2 soluun ja kopioidaan muille riveille. Esim. 5.13 Luokitellaan aineistosta Liiketalouden opiskelijat muuttujan Asuminen arvot muutoin 100 euron välein, mutta jätetään viimeinen luokka avoimeksi. Kirjoitetaan luokkien alarajat ja luokkien nimet taulukkoon. Osoitin solussa, johon ensimmäinen arvo lasketaan, valitaan välilehdeltä Kaavat funktioluokka Haku, josta funktio PHAKU. Hakuarvo on muuttujan Asuminen ensimmäinen havaintoarvo, taulukkomatriisi on luokkien alarajojen ja nimien muodostama solualue (ilman otsikoita, huom. $) ja sarjan indeksinumero on 2. Kopiodaan kaava sarakkeen muihin soluihin: 190 LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA

Kaupassa välittömiä kustannuksia ovat yleensä vain tavaran hankinnan kulut. Kulujen tarkemmassa jaottelussa saatetaan erottaa esimerkiksi rahdit, tullit, komissiot jne. Lisäksi tehdään erikoisvaraukset kuten alennusvaraus tai varaus hävikkiä varten. Hinnan rakenteessa pitää huomioida myös arvonlisävero. Kaupan hinnanmuodostusta voidaan kuvata esimerkiksi seuraavanlaisella kaaviolla: LUETTELOHINTA = BRUTTOMYYNTIHINTA NETTOMYYNTIHINTA VEROTON OSUUS VARAUKSET VOITTO ALV MYYNTIKATE VÄLILLISET KUSTANNUKSET toimitilat, työvoimakustannukset, markkinointi,... VÄLITTÖMÄT KUSTANNUKSET ostohinta + kuljetuskustannukset ARVONLISÄVERO Valtio perii arvonlisäveroa (alv) liiketoiminnan muodossa tapahtuvasta tavaran ja palvelun myynnistä sekä tavaran maahantuonnista. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että tuotteiden ja palveluiden lopullisessa hinnassa on mukana tämä arvonlisävero, jonka sitten tuotteen tai palvelun myyjät tilittävät valtiolle. Arvonlisäveroa laskettaessa veron perusteena on veroton myyntihinta. Valtiovarainministeriön esitys on, että 1.1.2013 alkaen veroa suoritetaan pääsääntöisesti 24 % veron perusteesta. Elintarvikkeiden, ravintola- ja ateriapalveluiden sekä eläinten rehujen verokanta on 14 %. Lääkkeisiin, kirjoihin, pääsylippuihin, liikuntapalveluihin, kaupallisiin viihdetilaisuuksiin, henkilökuljetuksiin, majoitukseen, liikuntatilojen käyttömaksuihin, sanoma- ja aikauslehtien tilausmaksuihin sekä yleisradion lupamaksuihin sovelletaan 10 %:n verokantaa.. Vuonna 2012 vastaavat verokannat ovat 23 %, 13 % ja 9 %. Arvonlisävero on siis 24 %, 14 % tai 10 % siitä myyntihinnasta, joka ei sisällä arvonlisäveroa, jos tuote on täysin verollinen, kuten useimmat tuotteet ovat. Koska tuotteen tai palvelun myyjä joutuu maksamaan arvonlisäveroa, sen on hintaa määrittäessään huomioitava veron osuus. Verottomaan myyntihintaan lisätään arvonlisäveron suuruinen varaus, joka myöhemmin maksetaan valtiolle arvonlisäverotilityksen yhteydessä. Käytännössä arvonlisävero siirtyy kokonaisuudessaan hintaan ja sitä kautta ostajan maksettavaksi. Seuraavassa arvonlisäveroa tarkastellaan lähinnä yksittäisen tuotteen tai palvelun hintaan vaikuttavana tekijänä. HINNOITTELUA 249

HINNOITTELULASKELMAT TAULUKKOLASKENTAOHJELMALLA Taulukkolaskentaohjelmia käytettäessä on hyödyllistä muodostaa laskentapohja yleispäteväksi niin, että lähtöarvoja kuten ostohintaa, kateprosenttia tai arvonlisäveroprosenttia muutettaessa ohjelma "päivittää" laskelman. Laskelman asettelu ja ulkoasu vaihtelevat käyttötilanteen mukaan. Seuraavat esimerkit havainnollistavat nimenomaan sopivien laskulausekkeiden muodostamista. Esim. 7.12 Lasketaan myyntihinnat, kun verottomat ostohinnat kuluineen tunnetaan ja myyntikate on 46 % (alv 24 %). Mieluummin soluihin kirjoitetaan laskentakaavat kuten alla: Kaavat on kirjoitettu seitsemännen rivin C- ja D-sarakkeille ja kopioitu muille riveille. Jälkimmäinen tapa kirjoittaa kaavat on sikäli parempi, että alv- tai kateprosentteja muutettaessa hinnat päivittyvät vastaavasti. 262 LIIKETALOUDEN MATEMATIIKKA

Esim. 7.13 Lasketaan bruttomyyntihinnat ja kampanjahinnat huomioiden alennusvaraukset, kun kampanjahintaan myytäessä halutaan myyntikatteeksi 25 %. Käytännössä hinnat pyöristetään sopiviin lukuihin. Alla prosentit on kirjoitettu suoraan laskentakaavoihin. Jos taulukosta halutaan muuntelukelpoinen, niin prosenttiluvuille varataan omat solunsa ja kaavat kirjoitetaan kuten alla olevassa taulukossa. HINNOITTELUA 263