Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv funktiot. Otetn esimerkki. Esimerkki 1. Trkstelln funktiot { x 2, kun x < 0 fx) = x 2 + 2, kun x 0 Tämä funktio on pisteessä x = 0 epäjtkuv: tämän näkee selvästi, kun piirtää funktion kuvjn: siinä on hyppy pisteessä x = 0. Toislt tämä funktio on kikiss muiss pisteissä x jtkuv. Grsesti ilmistun jtkuv funktio on sellinen, jonk kuvjn voi piirtää nostmtt kynää pperilt. Täsmällisempi määritelmä kertoo, että funktio f on jtkuv pisteessä x 0, jos funktion rj-rvo on tässä pisteessä sm kuin funktion rvo tässä pisteessä. Määritelmä 1. Funktio f on jtkuv pisteessä x 0, jos 1. Sillä on tässä pisteessä rj-rvo eli lim x x0 fx) on olemss. 2. Funktion rvo tässä pisteessä eli fx 0 ) on olemss j 3. Funktion rvo tässä pisteessä on yhtä kuin tämä rj-rvo. Eli funktio f on jtkuv pisteessä x 0, jos lim fx) = fx 0 ). x x 0 1
Jtkuvuudest on ensinnä hyvä huomt, että se on funktion ominisuus tietyssä pisteessä. Funktion voi myös sno olevn jtkuv tietyssä joukoss A, mikä trkoitt sitä, että se on jokisess tämän joukon pisteessä jtkuv. Funktion f jtkuvuus pisteessä x 0 kertoo siis sen, että funktion rvo fx) sdn lähelle rvo fx 0 ), kun vlitn rvo x riittävän läheltä rvo x 0. Eli kun välimtk x x 0 on pieni, niin myös välimtk fx) fx 0 ) on pieni. Jtkuvuus on hyvinkin oleellinen käsite, j useimmt knsntloustieteen j mtemtiikn kursseill tvttvt funktiot ovt jtkuvi. Esimerkiksi polynomit, kuten x 3 +bx 2 +cx+d ovt jtkuvi. Knsntloustieteessä ts esimerkiksi hyötyfunktio oletetn jtkuvksi. Hyötyfunktion tpuksess jtkuvuus trkoitt intuitiivisess mielessä sitä, että pienet muutokset kulutuksess eivät iheut suhteettomi hyppyjä hyödyssä. Kun meillä on kksi funktiot fx) j gx), jotk ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin näiden tietyt muunnokset ovt myös jtkuvi: 1. Näiden summ fx) + gx) on jtkuv. 2. Näiden tulo fx)gx) on jtkuv. 3. Näiden osmäärä fx) gx) on jtkuv. 4. Yhdistetyt kuvukset f g = fgx)) j g f = gfx)) ovt jtkuvi. Nämä ovt erittäin hyödyllisiä tuloksi. Kosk esimerkiksi funktiot fx) = x j gx) = x ovt jtkuvi, niin 1. Näiden summ x + x on jtkuv. 2. Näiden tulo x x on jtkuv. 3. Näiden osmäärä x x on jtkuv. 4. Yhdistetyt kuvukset f g = fgx)) = f x) = x j g f = gfx)) = x ovt jtkuvi. Voidn siis lähteä khdest jtkuvst funktiost, j todet että näiden tietyt muunnokset ovt myös jtkuvi. Mutt vstvnlist päättelyä voidn suoritt myös toiseen suuntn. Oletetn, että hlumme osoitt funktion fx) jtkuvksi. Jos fx) on vikkp khden funktion osmäärä, niin yllä olevn perusteell riittää osoitt, että tämän osmäärän osoittj j nimittäjä ovt jtkuvi. Tämän f on khden jtkuvn funktion osmääränä jtkuv. 2
Esimerkki 2. Osoit, että funktio x fx) = 2 + 5x + 100 x on jtkuv. Rtkisu. Ensinnäkin sisäfunktion osmäärän osoittj x 2 + 5x + 100 on polynomifunktion jtkuv. Smoin nimittäjä x on jtkuv määrittelyjoukossn x 0, joten osmäärä x2 +5x+100 x on jtkuv, kunhn x > 0. Nyt fx) voidn esittää muodoss g h, joss hx) = x2 +5x+100 x j gx) = x. Täten f on khden jtkuvn kuvuksen yhdistettynä kuvuksen jtkuv. Jtkuville funktiolle pätee moni hyödyllisiä tuloksi. Näistä optimointiteorin knnlt hyödyllinen on tulos, että jos funktio f on määritelty suljetull välillä [, b], niin se s tällä välillä minimin j mksimin. Eli jos määrittelemme vikp funktion f : [ 1, 1] R, fx) = x 2, niin voimme todet että kosk tämä on suljetull välillä määritelty jtkuv funktio, niin se s minimin j mksimin tällä välillä [ 1, 1]. Huom, että tässä vditn kksi ehto: funktion jtkuvuus j se että määrittelyjoukko on suljettu väli 1. Esimerkiksi voimell välillä määritelty funktio f : 1, 1) R, fx) = x 2 ei s määrittelyjoukossn 1, 1) ollenkn mksimi, kosk se s rvoj, jotk ovt mielivltisen lähellä pistettä 1, muttei kuitenkn itse rvo 1. Täten siis pelkkä funktion jtkuvuus ei ole riittävä ehto sille, että funktio svuttisi määrittelyjoukossn minimin j mksimin. Toislt funktio f : [ 1, 1] \ {0} R, fx) = { 1/x, kun x 0 0 kun x = 0 ei s märittelyjoukossn minimiä eikä mksimi. Tässä tpuksess tämä johtuu siitä, että funktio ei ole määrittelyjoukossn jtkuv. Tulost jonk mukn suljetull välillä määritelty funktio svutt tällä välillä minimin j mksimin voidn sovelt myös joihinkin funktioihin, jotk on määritelty jollin muull kuin ei-suljetull välillä. Tämä onnistuu 1 Ti yleisemmin määriteltynä kompkti joukko. 3
esimerkiksi totemll, että funktion minimi/mksimi on pkosti tietyllä suljetull välillä. Trkstelln esimerkiksi funktiot f : R R, fx) = x 2. Jo ennestään tiedetään, että tämä funktio s minimin pisteessä 0. Sen että tämä funktio ylipäänsä svutt minimin voi todist monell tvll. All sovelletn jtkuvuutt j rjoitetn funktion minimi tietylle suljetulle välille: 1. Funktio f on jtkuv. Se ksv rjtt, kun x ksv rjtt. Se myös ksv rjtt, kun x vähenee rjtt. Eli lim x x2 = lim x x2 = 2. Toislt esimerkiksi pisteessä x = 2 funktio f svutt rvon 4. 3. Kosk funktio ksv rjtt, kun x ksv ti vähenee rjtt, niin on pkko oll rvo x 0 siten että fx) > 100, silloin kun x > x 0 ti x < x 0. 4. Nyt voidn vlit suljettu väli [ x 0, x 0 ]. Tämän välin ulkopuolell funktio f svutt inostn rvoj, jotk ovt yli 100. Toislt pisteessä x = 2 funktio f svutt rvon 4. Täten piste x = 2 kuuluu pkoll välille [ x 0, x 0 ]. 5. Nyt jos funktioll f on minimi, se on oltv välillä [ x 0, x 0 ]. 6. Toislt jtkuvn funktion f svutt pkoll tällä suljetull välillä minimin. Tämä on myös koko funktion minimi. Tässä siis funktion minimi vngittiin tietylle suljetulle välille. Tämä vngitseminen tphtui siten, että osoitettiin että tämän välin ulkopuolell funktio s pelkästään suurempi rvoj kuin yhdessä tietyssä tämän välin pisteessä. Täten funktion minimin oli pkko oll tällä välillä. Toislt kosk funktio oli jtkuv, se svutti pkoll tällä suljetull välillä minimin. Hrjoitus 1. Osoit vstvll päättelyllä, että reliluvuill määritelty funktio fx) = x2 x 4 + 5 s sekä mksimin, että minimin määrittelyjoukossn. 2 Jonot j srjt Anlyysissä jono {x n } on päättymätön, järjestetty list lukuj: {x n } = x 1, x 2, x 3,... ). Esimerkiksi {1/n} = 1, 1/2, 1/3, 1/4,... ) on jono. Smoin {n 2 } = 1, 2, 4, 9,... ) 4
on jono. Toisin snottun jono on funktio fn) = x n, joss lähtöjoukkon on luonnolliset luvut 1, 2, 3,.... Jonost {x n } voidn muodost srj summmll tämän jonon termit yhteen: lsketn siis summ x 1 + x 2 + x 3 +... Tämä summ ei tietenkään in ole olemss. Jos meillä on esimerkiksi jono {n 2 } = 1, 2, 4, 9,... ), niin tämän termien summ 1 + 2 + 9 +... on ääretön. Mielenkiinnon kohteen ovt srjt, joill tämä summ on äärellisenä olemss. Snotn, että srj suppenee jos tämä summ on olemss äärellisenä. Jos srj ei suppene, se hjntuu. Yksi tärkeimmistä srjtyypeistä on geometrinen srj. Tällisi srjoj ovt esimerkiksi seurvt srjt: 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +... e + e/2 + e/4 + e/8 + e/16 +... 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... Huomtn, että geometrisess srjss jokinen termi on in edellinen termi kert jokin suhdeluku. Merkitään tätä luku q. Yllä hvitn, että ensimmäisessä srjss q = 1/10, toisess q = 1/2 j kolmnness q = 2. Esimerkiksi srj 1+1/10+1/100+1/1000+... voidn kirjoitt muodoss 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + = i=0 ) i 1 10 Smoin srj e + e/2 + e/4 + e/8 + e/16 +... voidn kirjoitt ) i 1 e + e/2 + e/4 + e/8 + e/16 + = e 2 i=0 Muodostetn tästä geometrisen srjn määritelmä. Määritelmä 2. Srj jok voidn kirjoitt muodoss q i i=0 5
on geometrinen srj. on srjn ensimmäinen termi j q on srjn suhdeluku. Esimerkiksi srjss 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... { = 1, q = 2. Geometrisi srjoj on helppo käsitellä, sillä niiden summille on olemss helppo kv. Luse 1. Geometrinen srj q i i=0 suppenee jos 1 < q < 1. Srjn summ on. 1 q = ensimmäinen termi 1 suhdeluku Tämä luse on yllättävän helppo todist: Merkitään geometrisen srjn summ A:ll. Kirjoitetn geometrinen srj j sen lle tämä srj kerrottun suhdeluvull q: A = + q + q 2 + q 3 +... Aq = q + q 2 + q 3 +... Nyt voidn vähentää tämä lempi rivi ylemmästä rivistä, jolloin oikelle puolelle jää pelkkä : A Aq = A = 1 q. Esimerkki 3. Srj 2 + 1 + 1/2 + 1/4... suppenee sillä q = 1/2 < 1. Lisäksi = 2, joten srjn summ on 1 q = 2 1 1/2 = 4. 6
Geometrisill srjoill on vltv määrä sovelluksi. All esitetään tp rtkist vnh kiist siitä onko 0, 999999 = 1. Esimerkki 4. Osoit, että 0, 999999 = 1. Rtkisu: 0, 999999 voidn muodost geometriseksi srjksi. Kirjoitetn se muotoon 0, 999999 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009... Tämän srjn ensimmäinen termi on 0, 9 j suhdeluku on 1/10. Kosk suhdeluvun itseisrvo on pienempi kuin yksi, srj suppenee. Summn on 1 q = 0, 9 1 1/10 = 0, 9 0, 9 = 1. Esimerkki 5. Esitä 1, 65777777777 khden kokonisluvun osmääränä. Rtkisu: 1, 65777777777 = 1 + 0, 6 + 0, 05 + 0, 007 + 0, 0007... Tässä kolme ensimmäistä termiä eivät ole os geometrist srj. Sen sijn 0, 007 + 0, 0007... muodost geometrisen srjn jonk summ on 1 q Täten koko srjn summ on = 0, 007 1 1/10 = 7/1000 9/10 = 7/900. 1, 65777777777 = 1 + 0, 6 + 0, 05 + 7/900 = 900/900 + 549/900 + 45/900 + 7/900 = 1501/900. Hrjoitus 2. Esitä luku 0, 4444 murtolukun. 7
3 Luku e Neperin luku e on mtemtiikss erittäin tärkeä luku. Se on irrtionliluku, jok on noin 2,72. Se määritellään rj-rvon e = lim 1 + 1 ) n n n Tämän tiedon vull voi lske tämänkltisi rj-rvoj. Esimerkki 6. Etsi rj-rvo lim x 1 + 100 ) x. x Rtkisu. Muoktn lusekett kunnes se plutuu e:n määritelmään: lim 1 + 100 ) x = lim 1 + 1 x x x x/100 1 + 1 = lim x = lim x/100 = e 100 ) x ) x/100 ) 100 x/100 1 + 1 ) ) x/100 100 x/100 Tässä käytettiin myös tieto x/100 kun x. Hrjoitus 3. Lske rj-rvo 4 Potenssifunktiot lim 1 + 4/5 ) y/2. y y Potenssifunktio kuten 5 n on eri si kuin polynomifunktio kuten n 5, sillä potenssifunktioss potenssi on muuttuj, kun polynomifunktioss potenssi on vkio. Kuitenkin nämä kksi funktiotyyppiä menevät usein sekisin 2, etenkin derivoitess. Tyypillisin potenssifunktio on e x. Myöhemmin kurssi x x. 2 Toki sekä potenssi että knt voivt kumpikin oll muuttuji, kuten funktioss fx) = 8
todetn, että tämä funktio on om derivttns: d dx ex = e x. Potenssifunktioiden rj-rvojen lskeminen muistutt tekniikltn polynomifunktioiden rj-rvojen lskemist: pyritään ottmn suurin termi yhteiseksi tekijäksi. Esimerkki 7. Lske rj-rvo Rtkisu. 7 n + 5 n lim = lim n 8 n 7 n + 5 n lim. n 8 n 7 n 1 + 5 n n = lim n = 0 7 8 8 n 7 n ) ) n 1 + ) n ) 5 7 Tulos johtuu siitä että kun luvust, jok on lle yhden, otetn suurempi j suurempi potenssej, niin syntyvä luku lähestyy noll. Hrjoitus 4. Lske rj-rvo 7 n + 9 n lim. n 9 n 9