Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 =. Rtkisu: Peritteess tehtävän voi rtkist kirjoittmll ur, θ, φ = vr sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ = vx, y, z, kun v on funktio, jok toteutt Lplce-yhtälön 2 v x 2 v 2 y 2 v 2 z = j pyrkiä 2 sitten ketjusääntöä käyttämällä osoittmn, että u toteutt yhtälön 1. Näin ei kuitenkn knnt toimi, sillä stvn lskuun tulee kymmenittäin termejä; sen sijn knntt käyttää kvoj joiden vull funktion grdientti j divergenssi voidn lske, kun funktio v on esitetty uusiss, lkuperäisiin krteesisiin koordintteihin nähden käyräviivisiss, toisin vstn kohtisuoriss koordinteiss q 1, q 2, q 3. Nämä kvt ovt: u = 1 u e 1 1 u e 2 1 u e 3, h 1 q 1 h 2 q 2 h 3 q 3 missä u = 1 h2 h 3 u 1 h 1h 3 u 2 h 1h 2 u 3, h 1 h 2 h 3 q 1 q 2 q 3 h i = x 2 y 2 z 2, uq 1, q 2, q 3 = uq 1 x, y, z, q 2 x, y, z, q 3 x, y, z = vx, y, z, u = u 1 e 1 u 2 e 2 u 3 e 3 = v = v x e x v y e y v z e z, e i = r r = 1 r, r = x, y, z. h i Kvt pätevät silloin, kun koordintimuunnos r q on kääntyvä jtkuvsti derivoituv kuvus, joll qi det, kikill i, j {1, 2, 3} x j j yksikkövektorit e i ovt toisin vsten kohtisuorss eli e i e j = δ ij. Kosk v = v, sdn Lplce-operttorille uusiss koordinteiss esitys: 1 h2 h 3 u 2 u = h1 h 3 u h1 h 2 u. h 1 h 2 h 3 q 1 h 1 q 1 q 2 h 2 q 2 q 3 h 3 q 3 Meidän tpuksessmme q 1 = r, q 2 = θ, q 3 = φ j lskemll sdn, että h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = r sin θ, jotk sijoitettun yhtälöön 2 ntvt Lplce-operttorille kvn: 1 u = r 2 r 2 sin θ u sin θ u 1 u. sin θ r r θ θ φ sin θ φ 1
2 Nyt on helppo nähdä, että yhtälö 1 on Lplce-yhtälö esitettynä pllokoordintistoss. Huomutus: Rtkisuss käytettyihin differentilioperttorien esityskvoihin liittyvää teori on käsitelty kirjoiss: Murry R Spiegel, Vector Anlysis Chpter 7, Curviliner coordintes, J. Honkonen, T. Perko, M. Pitkänen, Fysiikn mtemttiset puneuvot Luku 9, Käyräviiviset koordintistot. 2. Tote Legendren polynomien ortogonlisuusominisuus 8.46 muutmille limmn steen polynomeille. Rtkisu: On melko suorviivist lske Legendren polynomien ortogonlisuus muutmill limmn steen polynomeill, joten esitän tässä rtkisuss yleisen induktioon perustuvn todistuksen Legendren polynomien ortogonlisuudelle. Seurvss 2n 1 1 d n p n t := 2 2 n n! dt n t 2 1 n 2n1 1 on n:s Legendren polynomi j c n = 2 2 n n! siinä esiintyvä kerroin. Jos m < n j merkitään, niin osittisintegroimll n kert sdn, että d m p m, p n = c m dt m t 2 1 m d n c n dt n t 2 1 n dt = c m c n m [ d mn dt mn t 2 1 m] t 2 1 n dt = m c m c n t 2 1 n dt =, sillä sijoitustermit häviävät j polynomin t 2 1 m korkeint stett olev termi on stett 2m, joten polynomin m n:s derivtt häviää, kosk m n > 2n. Symmetrin nojll p m, p n = myös, kun m > n eli p m, p n = in kun m n. Jos ts m = n sdn osittisintegroimll n kert, että p n, p n = c 2 d n n dt n t 2 1 n d n dt n t 2 1 n dt = n c 2 n = n c 2 n2n! [ d 2n dt 2n t 2 1 n] t 2 1 n dt t 2 1 n dt, sillä sijoitustermit häviävät j n n t 2 1 n = t 2 n k k d 2n, joten k dt 2n t 2 1 n k= n = d2n dt 2n t2n... = 2n! Tekemällä muuttujnvihto x u; x = 2u, dx = 2du j osittisintegroimll n kert, sdn että p n, p n = n c 2 n2n! 2u n 2u 2 n 2du
3 = n c 2 n2n!2 2n u n u 1 n 2du = 2n c 2 n2n!2 2n n! 2n! u2n n!u 1 2du = c 2 2n n!2 21 2n1 n2n!2 = 2n 1 1 n!2 2 2n! 2n 1 2 2 2n 2n!22n n! 2 2n! 2n 1 = 1, sillä sijoitustermit häviävät. Näin ollen p m, p n = δ mn. 3. Tekemellä Legendren liittoyhtälöön 3 1 t 2 y 2ty µ m2 1 t 2 y =. tpuksess m = potenssisrjyrite yt = c k t 1 k johd kertoimille c k plutuskv Rtkisu: Sijoittmll yrite yhtälöön sdn 4 1 t kk 1 µ c k1 = 2k 1 2 c k. k 1kc k t 1 k 2t c k t 1 k µ c k t 1 k = missä ensimmäiseen srjn on kertoimest 1 t 2 kerrottu t 1 sisälle kosk 1 t 2 = 1 tt 1. Tehdään nyt muuttujn vihto s = t 1 jolloin 1 t = s 2 j 2t = 2s 2 j yhtälö 4 s muodon k 1kc k s k 2 k 1kc k s k 2 kc k s k 2 kc k s k µ c k s k =. Vihdetn toisess j neljännessä srjss indeksointi: k k 1, jolloin sdn k 1kc k s k 2 kk 1c k1 s k 2 kc k s k Nyt k= 2 k 1c k1 s k µ c k s k =. kk 1 k 1 = k 1 2 j k 1k 2k = k 2 k = kk 1 j kosk k 1k =, kk 1 = j k =, kun k = ; nähdään, että kikki srjt voidnkin litt lkmn indeksistä k = 1. Yhtälö sievenee näin muotoon: 2k 1c k1 s k = kk 1c k s k µc k s k,
4 missä smojen s:n potenssien kerrointen on oltv smoj molemmill puolin yhtälöä. 2k 1 2 c k1 = [kk 1 µ]c k, k Kuten hluttiin. kk 1 µ c k1 = 2k 1 2 c k, k. 4.-5. Rtkise Fourierin menetelmällä formlisti reun-rvo-ongelm suorkulmioss Ω := [, ] [, b] R 2, u = joukoss Ω, u, y = u, y =, kun y b, ux, =, kun x, ux, b = fx, kun x, missä f : [, ] R on nnettu jtkuv funktio. Rtkisu: Tekemällä yrite ux, y = XxY y päädytään yhtälöön jok sdn muotoon X xy x XxY y =, X x Xx Y y Y y =, silloin kun Xx j Y y. Tämä yhtälö toteutuu joukoss X Y jos X x Xx = α j Y y Y y = α, jollkin vkioll α >. Funktiolle X tiedämme rtkisun olevn muoto Xx = A 1 sin αx A 2 sin αx. Funktiolle Y puolestn on helppo nähdä rtkisun olevn muoto Y y = β 1 e αy β 2 e y α, jok hyperbolist siniä j hyperbolist kosini sinhy = 1 2 ex e y, coshy = 1 2 ey e y käyttämällä sdn muotoon: Reunehdot toteutuvt vin jos Y y = B 1 sinh αy B 2 cosh αy. u, y = u, y =, kun y b, ux, =, kun x A 2 = B 2 = j α = nπ jollkin n N. Näin ollen, rtkisuksi sdn muoto ux, y = c n sin nπx sinhnπy, n=1
5 olev funktio j jott reunehto ux, b = fx, kun x toteutuisi, tulee oll 2 c n = ft sin nπt dt sinh nπb, mikä nähdään kehittämällä funktio f Fourier-sinisrjksi. Rtkisuksi sdn siis: 2 ux, y = ft sin nπt dt sinh nπb nπx nπy sin sinh. n=1