44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie sisätulo (pistetulo, salaaritulo) xy = xy i = x y + x y Sisätulo toteuttaa seuraavat lasusääöt, jota yt ovat seurausia matriisialgebrasta: Kaiilla x, y R ja aiilla c R o voimassa S xy= yx S2 ( x+ y) z= x z+ y z S3 ( cx) y= c( x y ) S4 xx 0, ja xx= 0 x= 0 Yleisesti, jos vetoriavaruudessa o määriteltyä yo ehdot toteuttava sisätulo, ii avaruutta utsutaa sisätuloavaruudesi Avaruus R o siis eräs sisätuloavaruus, ja sitä saotaa usei myös - ulotteisesi eulidisesi avaruudesi Neljäs omiaisuus ataa mahdollisuude määritellä äsittee vetori x pituus eli ormi: x x x 2 2 =+ =+ x + x Normi eliö o siis x 2 = x x, joa o usei hyödyllie lähtöohta ormilauseeide "puruu" (s alla olevia epäyhtälöide todistusia)
45 Vetori x 0 suutaie ysiövetori o u = x x, jolloi saotaa myös, että vetori x o ormeerattu Normille o voimassa seuraavat omiaisuudet: Kaiilla x, y R ja aiilla c R N x 0, ja x = 0 x= 0 N2 cx = c x N3 x+ y x + y (olmioepäyhtälö) Näistä asi esimmäistä seuraavat suoraa sisätulo omiaisuusista Kolmioepäyhtälö todistamisesi tarvitsemme toista imeltä tuettua epäyhtälöä: Cauchy-Schwarzi epäyhtälö Kaiilla x, y R o voimassa x y x y ja yhtäsuuruus pätee, jos ja vai jos x= 0 tai y = cx, jollai c R Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus: Osoitetaa väite oieasi esi ysiövetoreille u, v: ( ) ( ) 2 2 0 u± v = u± v u± v = u u± 2u v+ v v = u ± 2u v+ v eli 0 ± 2uv +, josta seuraa 2uv 2 eli uv Yhtäsuuruus o täsmällee tapausessa u± v = 0 eli u u= ± v Yleie tapaus: Oloot x = au, y = bv, a = x, b= y Silloi x y = ( au) ( bv) = ab u v ab = x y Yhtäsuuruus o voimassa, u ab=0 tai (jaamalla ab:llä) u uv = eli u u= ± v Silloi x = 0 tai y = 0 ( = 0 x) tai y= ± b a x Kolmioepäyhtälö todistus: x + y = ( x + y) ( x + y) = xx + 2xy + y y = x + 2x y+ y 2 2 2 2 2 2 2 2 x + 2 x y + y x + 2 x y + y = ( x + y ) ässä äytettii epäyhtälöä a a, a R ja Cauchy-Schwarzi epäyhtälöä
46 Sisätulo avulla voidaa yt määritellä ollasta eroavie vetorie x ja y välie ulma: θ = arccos x y x y Ku ulma o π /2, ii vetorit x ja y ovat ohtisuorassa toisiaa vastaa eli ortogoaaliset, meritää x y Ortogoaalisuusehto o siis x y x y = 0 xi y = 0 Jos vetorie välie ulma o 0, vetorit ovat samasuutaiset ja jos se o π, vetorit ovat vastaaissuutaiset Yhteisimitys äille o yhdesuutaiset Meriät ovat x y, x y, x y Ortogoaalisille vetoreille pätee (yleistetty) Pythagoraa lause: 2 2 2 x y x + y = x + y ämä seuraa olmioepäyhtälö todistusesta, u huomataa, että yt x y = 0 Jos vetorijouo { u,, u } vetorit ovat eseää aii ortogoaalisia eli ui uj = 0 i j, ii vetorijouo o ortogoaalie Jos lisäsi aii vetorit ovat ysiövetoreita, ii vetorijouo o ortoormaali eli ortoormeerattu Samoi saotaa, että vetorit u, u ovat silloi ortoormaaleja eli ortoormeerattuja, Ortoormaalisuusehto voidaa siis esittää muodossa, i= j { u,, u} o ortoormaali ui uj = δij = 0, i j Huomataa, että tuetut aat {i, j} ja {i, j, } ovat ortoormaaleja Yleisemmii tämä o aoille toivottava omiaisuus
47 Ortogoaalisuus pitää sisällää jo lieaarise riippumattomuude, sillä joaie ortogoaalie jouo o automaattisesti lieaarisesti riippumato (odistus harjoitustehtäväsi) Ortoormaalissa aassa atavetorit ovat lisäsi ysiövetoreita, joa helpottaa oordiaattie tulitaa Vetori oordiaatit o helppo selvittää ortoormaali aa ollessa yseessä Jos W o avaruude R aliavaruus ja { u,, u } ii vetori v W esitys tässä aassa o se ortoormaali ata, v= ( v u ) u + + ( v u ) u ämä seuraa siitä, että vetorilla o ysiäsitteie esitys v = cu+ + cu, josta vu= ( cu+ + c u) u= cu u+ c u u= cu u= c Näi tuli äyttöö i i i i i i i i seä ortogoaalisuus u j u i = 0, j i että ormeeraus ui u i = Aliavaruude W ortogoaalie omplemetti W o iide vetoreide jouo R :ssä, jota ovat ohtisuorassa joaista W: vetoria vastaa: W = { x R x w= 0, w W} Silloi myös W o R : aliavaruus, W W = { 0 } ja dimw = dimw Avaruus R voidaa yt hajottaa aliavaruude W aalta ahtee osaa siiä mielessä, että joaie vetori v o esitettävissä ysiäsitteisesti summaa v= w+ p, w W, p W ässä esitysessä w o vetori v ortogoaaliprojetio (lyh projetio) aliavaruudelle W ja p vastaavasti v: projetio aliavaruudelle W
48 Vetori v ortogoaaliprojetiosta aliavaruudelle W äytetää meritää vˆ = proj W v Projetiosta ortogoaaliselle omplemetille W äytetää myös meritää proj v perp W v ja yllä maiittu hajotelma saa muodo W = v= proj v+ proj v= proj v+ perp v W W W W Jos aliavaruudessa W o ortoormaali ata { u,, u } projetiolle saadaa esitys, ii vetori y proj y= ( y u u + + ( y u u W ) ) ämä ähdää suoralla lasulla: Jos u = ( y u) u+ + ( y u) u ja w = au+ + au, ii ( y u) w = ( y ( y u) u+ + ( y u ) ) u ( au+ + au) = ( a yu + + a yu ) ( a yu + + a yu ) = 0 Siis y u w w W, jote y u W eli u=proj W y
49 Yllä o siis edellytyseä, että { u,, u } o aliavaruude W ortoormaali ata Jos ata o ortogoaalie, mutta ei välttämättä ortoormaali, projetio aava saa muodo proj W = u u + + yu u u yu y u u Usei puhumme jatossa ortogoaaliprojetio sijaa lyhyesti projetiosta Oheisissa uvissa asiaa o havaiollistettu olmeulotteisessa avaruudessa:
50 Erityisesti, jos W o ysiulotteie aliavaruus, W = spa{ u }, missä u o ysiövetori, ii äytetää saotaa vetori y ortogoaaliprojetio ysiövetorille u ja meritää proj u y : proj uy= ( y uu ) Jos vetori v, jolle projisioidaa, ei ole ysiövetori, ii se o ormeerattava, jolloi aavasi saadaa sijoittamalla u: paialle v/ v : Vetori y ortogoaaliprojetio vetorille v 0 o proj v y = y v v vv Ku u o ysiövetori, pätee vetorie y ja u väliselle ulmalle cosθ = y u y, josta seuraa projuy= y cosθ u ästä ähdää yhteys aleisgeometria projetioo, u tarastellaa suoraulmaista (vetori)olmiota, jossa vetori y o hypoteuusaa ja proj u y ulma θ viereiseä ateettia Korostettaoo vielä, että projetio yllä määritellyssä mielessä o vetori Josus sitä paiotetaa puhumalla "ortogoaalisesta vetoriprojetiosta" Silloi salaariprojetio o vetoriprojetio pituus eli ormi proj u y
5 2 Esim Projisioidaa piste [, 2, 3] suoralle x = t Nyt y = 2, suora 3 ysiösuutavetori (eli vastaava aliavaruude ortoormaali aa aioa 2 vetori) o u = Siis 6 2 2 2 6 6 ½ proj = ( ) = [ 2 3] uy y u u = 6 3 = ½ Esim 2 Projisioidaa piste y=[, 2, 3] tasolle H: x x2 x3 2 + = 0 aso ormaali o siis edellise esimeri vetori [2, -, ], jote perp H y = saadaa 0 projhy = y perphy = 2 ½ = 2½ 3 ½ 2½ ½ ästä ½ Ortogoaaliprojetio proj W y täreimpii omiaisuusii uuluu, että se o projisioitavaa vetoria y lähiä oleva W: vetori (miimiormilause): y proj y = mi y v W v W Jos imittäi v W, yˆ = proj W y, ii y v = y yˆ + yˆ v ja y yˆ W, yˆ v W Kohtisuoruude ja Pythagoraa lausee muaa saadaa siis 2 2 2 2 y v = y yˆ + yˆ v y y ˆ
52 ällä seialla o paljo äyttöä mm umeerisessa approsimoiissa ja tilastotieteessä Vetori y projetio aetulle aliavaruudelle W voidaa siis lasea aavalla proj y= ( y u u + + ( y u u, W ) ) jos W: ortoormaali ata tuetaa Jos yleisemmi avaruudelle W tuetaa ata { a,, a }, joa ei välttämättä ole ortoormaali, ii projetio voidaa lasea seuraavasti: Avaruus W o silloi matriisi A = [ a,, a ] saraeavaruus eli arvoavaruus R( A ) Oloo vetori y projetio aassa { a,, a } lausuttua yˆ = ca + + ca = Ac Silloi ohtisuoruusvaatimusesta seuraa ( A ) A, y c x x R eli ( A ) ( A ) = 0, x y c x R eli ( ) A A A =, y c x R, josta seuraa x 0
53 A Ac= A y ( "ormaaliryhmä"), A A: tapausessa rataista ( ) c = A A A y josta voidaa äätyvä Silloi projetiolle yˆ = Ac saadaa lausee proj W y= Py, missä ( P= A A A) A o projetiomatriisi Matriisi A A o tässä aia symmetrie eliömatriisi (matriisi A itse ei välttämättä ole eliömatriisi) Se o myös äätyvä, jos A: saraeet ovat riippumattomat (todistus sivuutetaa), ute yt o asialaita ämä ataa mahdollisuude rataista s ylimäärättyjä yhtälöryhmiä (overdetermied liear equatios), joissa o eemmä yhtälöitä ui tutemattomia: ax + a2x2 + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 2 22 2 2 2 m m2 2 m m missä m> Näillä o äytäössä epähomogeeisessa tapausessa lähes aia raa < ra[a b] eli ei rataisua Mutta rataisu o olemassa pieimmä eliösumma mielessä site, että vasemma ja oiea puole erotuse (eulidise) ormi erotus b Ax = ( b a x a x ) + + ( b a x a x ), 2 2 m m m o mahdollisimma piei Näi o täsmällee silloi, u Ax o oiea puole b projetio matriisi A arvoavaruudelle R(A) Silloi rataisu x LS saadaa edellisellä sivulla maiitusta ormaaliryhmästä AAx = Ab LS
54 Jos matriisi A aste raa=, ii se saraeet ovat lieaarisesti riippumattomat, jolloi LS ( AA) x = Ab Esim3 Haetaa pieimmä eliösumma suora taso pisteide (,4), (-2,5), (3,-) ja (4,) autta Silloi yseessä o suora y=a+bx, joa toteuttaa ylimääräty yhtälöryhmä a+ b = 4 a+ b ( 2) = 5 a+ b 3= a+ b 4= pieimmä eliösumma mielessä Matriisimuodossa 4 2 a 5 = 3 b 4 eli 4 2 a 5 Au= y, A=, u=, 3 = b y 4 Normaaliryhmä o AA u = Ay eli 4 2 a 5 2 3 4 3 b = 2 3 4 4 4 6 a 9 6 30 = b 5, josta ooaismatriisi avulla 4 6 9 0 25 7 37 6 30 5 0 42 25 37 Suora ertoimet ovat siis a = 357, b= 088 7 42