802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
|
|
- Emma Krista Majanlahti
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69
2 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos LINEAARIALGEBRA 2 / 69
3 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 2 / 69
4 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 69
5 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 69
6 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 2 / 69
7 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. LINEAARIALGEBRA 2 / 69
8 Sisätuloavaruus/Inner product space Reaalinen sisätuloavaruus on pari/real inner product space is a pair (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus/usually we just say that V is an inner product space. LINEAARIALGEBRA 3 / 69
9 Sisätuloavaruus/Inner product space Reaalinen sisätuloavaruus on pari/real inner product space is a pair (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus/usually we just say that V is an inner product space. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta./ It is usual to use the notation v w and to use the phrase dot product for the inner product v w of the vectors v ja w. LINEAARIALGEBRA 3 / 69
10 Sisätuloavaruus/Inner product space Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli/ A real inner product is linear with respect to both its arguments or ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. LINEAARIALGEBRA 4 / 69
11 Sisätuloavaruus/Inner product space Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli/ A real inner product is linear with respect to both its arguments or ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin/ First we use the axiom b and then the axiom c, whereupon V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. LINEAARIALGEBRA 4 / 69
12 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 1 Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla/ The set R n, n Z + is a real inner product space when the dot product of the vectors x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n is defined by setting x y = n x i y i. (4) i=1 Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan/By computing x y = n x i y i = i=1 n y i x i = y x. i=1 LINEAARIALGEBRA 5 / 69
13 Sisätuloavaruus/Inner product space Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. LINEAARIALGEBRA 6 / 69
14 Sisätuloavaruus/Inner product space Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. Kohta c: Lasketaan (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = n n (λx i )y i = λ x i y i = i=1 i=1 λ x y. LINEAARIALGEBRA 6 / 69
15 Sisätuloavaruus/Inner product space Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin xk 2 least one x k 0, whereupon xk 2 > 0. Siten/Thus > 0/Now at x x = n xi 2 xk 2 > 0. (5) i=1 Huomautus 1 Koska niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin./ Later it is proved that (7) in fact holds more generally. LINEAARIALGEBRA 7 / 69
16 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 2 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (8) LINEAARIALGEBRA 8 / 69
17 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 2 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (8) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (8) ei ole sisätulo. Kuvausta (8) kutsutaan Lorentzin indefiniitiksi sisätuloksi/lorentzian Indefinite Inner Product, ehto d) ei siis ole voimassa indefiniitille sisätulolle. LINEAARIALGEBRA 8 / 69
18 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 9 / 69
19 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 9 / 69
20 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 9 / 69
21 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 9 / 69
22 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 aina, kun v, w, u V ja λ C. (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) Merkintä z tarkoittaa kompleksiluvun z C kompleksikonjugaattia/denotes the complex conjugate. LINEAARIALGEBRA 9 / 69
23 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 3 Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla n z w = z i w i. (9) Todistetaan Määritelmän 2 kohta a: Lasketaan/By computing i=1 w z = = n n w i z i = w i z i i=1 n w i z i = i=1 i=1 i=1 n z i w i = z w. (10) LINEAARIALGEBRA 10 / 69
24 Sisätuloavaruus/Inner product space Lemma 2 Olkoon V kompleksinen sisätuloavaruus ja 0 V nollavektori. Tällöin 0 v = v 0 = 0 v V ; (11) v v = 0 v = 0; (12) ja v v 0 v V. (13) LINEAARIALGEBRA 11 / 69
25 Sisätuloavaruus/Inner product space Todistetaan aluksi tapaus (11): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (14) Otetaan tuloksesta (14) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin 0 v = 0 v V. (15) v 0 = 0 v = 0 v V. (16) LINEAARIALGEBRA 12 / 69
26 Sisätuloavaruus/Inner product space Todistetaan seuraavaksi tapaus (12): Tuloksen (11) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (17) v v > 0, kun v 0. (18) Siispä v v = 0 v = 0. (19) LINEAARIALGEBRA 13 / 69
27 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 4 Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a f (t)g(t)dt (20) kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. LINEAARIALGEBRA 14 / 69
28 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. LINEAARIALGEBRA 15 / 69
29 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f (t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten f f = b a f (t) 2 dt > 0. (21) LINEAARIALGEBRA 15 / 69
30 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 5 Vektoriavaruuteen C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla f g = kaikilla f, g C([a, b], C). b a f (t)g(t)dt (22) LINEAARIALGEBRA 16 / 69
31 Sisätuloavaruus/Inner product space Esimerkki 6 Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f (x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta f f = b a f 2 (t)dt = 0. LINEAARIALGEBRA 17 / 69
32 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus on normi, jos : V R 0 LINEAARIALGEBRA 18 / 69
33 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; LINEAARIALGEBRA 18 / 69
34 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; LINEAARIALGEBRA 18 / 69
35 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; LINEAARIALGEBRA 18 / 69
36 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; (d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). LINEAARIALGEBRA 18 / 69
37 Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. LINEAARIALGEBRA 19 / 69
38 Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. LINEAARIALGEBRA 19 / 69
39 Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (23) LINEAARIALGEBRA 20 / 69
40 Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (23) Tällöin on normi. LINEAARIALGEBRA 20 / 69
41 Normiavaruus Todistus. Koska v v 0 v V, (24) niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja v = v v 0 v V. (25) Siten saadaan kuvaus : V R 0, joka todistaa myös normin Määritelmän 3 kohdan a. LINEAARIALGEBRA 21 / 69
42 Normiavaruus Kohta b: Tuloksen (12) nojalla v v = 0 v = 0, (26) joten v = v v = 0 v = 0. (27) LINEAARIALGEBRA 22 / 69
43 Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 69
44 Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 69
45 Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. LINEAARIALGEBRA 24 / 69
46 Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. Lause 2 Kuvaukselle (23) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. v w v w (28) Todistus. Aluksi huomataan, että epäyhtälö (28) on voimassa, jos v = 0 tai w = 0. Olkoon sitten v 0 ja w 0. LINEAARIALGEBRA 24 / 69
47 Normiavaruus 1) Reaalinen tapaus: Kirjoitetaan nyt z := w 2 v (v w)w. Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (29) joten myös w z = 0. LINEAARIALGEBRA 25 / 69
48 Normiavaruus 1) Reaalinen tapaus: Kirjoitetaan nyt z := w 2 v (v w)w. Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (29) joten myös w z = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w)w z + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan ja edelleen (28). w 2 v 2 v w 2 LINEAARIALGEBRA 25 / 69
49 Normiavaruus 2) Kompleksinen tapaus: Kirjoitetaan nytkin z := w 2 v (v w)w. Tällöinkin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (30) joten myös w z = z w = 0. LINEAARIALGEBRA 26 / 69
50 Normiavaruus 2) Kompleksinen tapaus: Kirjoitetaan nytkin z := w 2 v (v w)w. Tällöinkin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (30) joten myös w z = z w = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w)w z + v w v w w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen (28). LINEAARIALGEBRA 26 / 69
51 Normiavaruus Nyt voidaan todistaa Määritelmän 3 kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + 2v w + w 2 v v w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 27 / 69
52 Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (31) LINEAARIALGEBRA 28 / 69
53 Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (31) Nyt v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v v w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 28 / 69
54 Normiavaruus Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3 Sisätulonormille pätee v w v + w v + w (32) LINEAARIALGEBRA 29 / 69
55 Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x n 2 (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). LINEAARIALGEBRA 30 / 69
56 Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x n 2 (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (33) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (34) LINEAARIALGEBRA 30 / 69
57 Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x n 2 (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (33) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (34) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö x y x y. (35) LINEAARIALGEBRA 30 / 69
58 Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (36) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 31 / 69
59 Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (36) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9 Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (37) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 31 / 69
60 Normiavaruus Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (38) LINEAARIALGEBRA 32 / 69
61 Normiavaruus Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (38) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (39) LINEAARIALGEBRA 32 / 69
62 Normiavaruus Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4 Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w = v 2 + w 2 2 v w cos α. LINEAARIALGEBRA 33 / 69
63 Normiavaruus Määritelmä 4 Olkoon V normiavaruus ja S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on/now the distance of the point t V from the set S is Esimerkki 10 inf t s. (40) s S Pisteen t etäisyys pisteestä s/the distance of the point t from the point s. Nyt S = {s}, joten inf t s = t s. (41) s S Lauseke t s antaa vektoreiden t ja s välisen etäisyyden./ The expression t s gives the distance between the vectors t and s. LINEAARIALGEBRA 34 / 69
64 Normiavaruus On olemassa muitakin kuin sisätulonormeja. Esimerkiksi p-normit: x p = ( x 1 p x n p ) 1/p, p 1, x R n. (42) p = 1: x 1 = x x n, x R n. (43) p = 2: x 2 = ( x x n 2) 1/2, x R n. (44) p = : x = max{ x 1,..., x n }, x R n. (45) HUOM: 2 on kuitenkin sisätulonormi. LINEAARIALGEBRA 35 / 69
65 Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos Tällöin käytetään merkintää v w. v w = 0. LINEAARIALGEBRA 36 / 69
66 Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos Tällöin käytetään merkintää v w. v w = 0. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. LINEAARIALGEBRA 36 / 69
67 Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos Tällöin käytetään merkintää v w. v w = 0. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali/orthonormal, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. LINEAARIALGEBRA 36 / 69
68 Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; LINEAARIALGEBRA 37 / 69
69 Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 11 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. LINEAARIALGEBRA 37 / 69
70 Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 11 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. LINEAARIALGEBRA 37 / 69
71 Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. LINEAARIALGEBRA 38 / 69
72 Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (9). LINEAARIALGEBRA 38 / 69
73 Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (9). Esimerkki 12 Luonnollisen kannan vektoreiden muodostama joukko/the set of standard base vectors E n := {e 1,..., e n } (46) on ortonormaali. LINEAARIALGEBRA 38 / 69
74 Ortogonaalisuus Esimerkki 13 Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = f (t)g(t)dt. (47) tdt = 0, (48) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (49) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. LINEAARIALGEBRA 39 / 69
75 Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton/s is linearly independent. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton/in particular, an orthonormal set is linearly independent. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon/let us remember that the zero-vector does not belong to an orthonormal set. LINEAARIALGEBRA 40 / 69
76 Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton/s is linearly independent. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton/in particular, an orthonormal set is linearly independent. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon/let us remember that the zero-vector does not belong to an orthonormal set. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. LINEAARIALGEBRA 40 / 69
77 Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. LINEAARIALGEBRA 41 / 69
78 Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. LINEAARIALGEBRA 41 / 69
79 Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S äärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 41 / 69
80 Ortogonaalisuus Määritelmä 6 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. LINEAARIALGEBRA 42 / 69
81 Ortogonaalisuus Määritelmä 6 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki Avaruuden R n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. 2. Avaruuden C n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. LINEAARIALGEBRA 42 / 69
82 Ortogonaalisuus Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5 Olkoon V normiavaruus ja v V, v 0. Tällöin f := v/ v f = 1. (51) Todistus. f = v v = 1 v v = 1 v = 1. v LINEAARIALGEBRA 43 / 69
83 Ortogonaalisuus Lause 4 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v v i v i v i (52) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v v i. Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v = λ 1 v λ n v n. v v i = λ 1 v 1 v i λ i v i v i λ n v n v i = λ i v i v i saadaan väite (52). LINEAARIALGEBRA 44 / 69
84 Ortogonaalisuus Esimerkki 15 Joukko {s 1 = e 1 + e 2, s 2 = e 1 e 2 } on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta. Mitkä ovat vektorin v = (2, 3) koordinaatit kannassa {s 1, s 2 }? Ratkaisu: Kirjoitetaan v = as 1 + bs 2. Ottamalla sisätulo ja sijoittamalla saadaan v s 1 = as 1 s 1 + bs 2 s 1 = as 1 s 1 (53) (2, 3) (1, 1) = a(1, 1) (1, 1) a = 5/2. (54) Vastaavasti b = 1/2. Siten v = 5 2 s 1 + ( 1 ) s 2. (55) 2 LINEAARIALGEBRA 45 / 69
85 Ortogonaalisuus Lause 5 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = n v v i v i w. (56) i=1 Lause 6 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ i 2. (57) i=1 i=1 LINEAARIALGEBRA 46 / 69
86 Gram-Schmidt Lause 7 Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko/then there exists an orthogonal set {w 1,..., w k } V, että/such that w 1,..., w k = v 1,..., v k. (58) LINEAARIALGEBRA 47 / 69
87 Gram-Schmidt Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä/let us carry out Gram-Schmidt orthogonalization: Asetetaan w 1 = v 1, w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 LINEAARIALGEBRA 48 / 69
88 Gram-Schmidt Tällöin esimerkiksi w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus/Induction assumption: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel/Induction step: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i v l w i w i w i w i w i = 0. LINEAARIALGEBRA 49 / 69
89 Gram-Schmidt Lause 8 Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta./every finite dimensional inner product space has an orthonormal basis. LINEAARIALGEBRA 50 / 69
90 Gram-Schmidt Esimerkki 16 Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta/let us find an orthonormal basis for the subspace H = v 1, v 2, v 3. Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = (5, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) = (4, 2, 0, 2), LINEAARIALGEBRA 51 / 69
91 ja Gram-Schmidt w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 = v w = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = 1 2 (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 LINEAARIALGEBRA 52 / 69
92 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. LINEAARIALGEBRA 53 / 69
93 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. LINEAARIALGEBRA 53 / 69
94 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti LINEAARIALGEBRA 53 / 69
95 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 LINEAARIALGEBRA 53 / 69
96 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 h A h A. LINEAARIALGEBRA 53 / 69
97 Ortogonaalikomplementti Esimerkki 17 Olkoon A = {(1, 0)} R 2. Muodostetaan A = {(b 1, b 2 ) R 2 (b 1, b 2 ) (1, 0) = 0}. Nyt (b 1, b 2 ) (1, 0) = 0 b 1 = 0, b 2 R A = {(0, b 2 ) = b 2 (0, 1), b 2 R}, joka on yksiulotteinen aliavaruus, origon kautta kulkeva suora. LINEAARIALGEBRA 54 / 69
98 Ortogonaalikomplementti Lemma 6 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Esimerkki 18 {0} = V, (59) V = {0}. (60) LINEAARIALGEBRA 55 / 69
99 Ortogonaalikomplementti Lemma 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin A A = {0}. (61) LINEAARIALGEBRA 56 / 69
100 Ortogonaalikomplementti Lemma 7 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin Edelleen, jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}. (61) dim K A = n k. (62) LINEAARIALGEBRA 56 / 69
101 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 57 / 69
102 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; h A. (63) LINEAARIALGEBRA 57 / 69
103 Ortogonaalikomplementti Esimerkki 19 Olkoon V = R 3 ja A = e 1, e 2. Etsitään pisteen t = e 2 + e 3 kohtisuora projektio aliavaruudelle A. Nyt A = {b R 3 b a = 0 a A} =... = {b 3 e 3 b 3 R}. (64) Siten projektiehdoista saadaan p = a 1 e 1 + a 2 e 2 A; p + h = t = e 2 + e 3 ; (65) h = b 3 e 3 A p e 3 = 0 h e 3 = t e 3 b 3 = 1 p = e 2. (66) LINEAARIALGEBRA 58 / 69
104 Ortogonaalikomplementti Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja {w 1,..., w j } ortogonaalinen V :n osajoukko sekä A := w 1,..., w j. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; h A. (67) LINEAARIALGEBRA 59 / 69
105 Ortogonaalikomplementti Tällöin Joten p = β 1 w β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. (68) 0 = h w l = (t p) w l t w l = p w l = (β 1 w β j w j ) w l = β l w l w l β l = t w l w l w l. (69) Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (70) LINEAARIALGEBRA 60 / 69
106 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
107 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
108 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
109 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
110 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
111 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
112 Hypertaso Määritelmä 9 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. LINEAARIALGEBRA 61 / 69
113 Hypertaso Lemma 8 Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (71) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (72) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: vastaavine koordinaattiesityksineen. n = n 1 e n k e k = (n 1,..., n k ), (73) x = x 1 e x k e k = (x 1,..., x k ) (74) LINEAARIALGEBRA 62 / 69
114 Hypertaso Todistus. Joukolle (71) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x n k x k = 0}, (75) missä ehdon n 0 nojalla ainakin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x n k x k ) (76) ja edelleen x = x 1 e x k e k = x 2 ( n 2 n 1 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k n 1 e 1 +e k ) := x 2 f x k f k. Niinpä (77) N = f 2,..., f k, (78) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. LINEAARIALGEBRA 63 / 69
115 Hypertaso Lemma 9 Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (79) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (80) LINEAARIALGEBRA 64 / 69
116 Hypertaso Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (81) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (53) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g β k 1 g k g k. (82) Valitaan n = 0 g g k g k, jolloin n x = 0. (83) LINEAARIALGEBRA 65 / 69
117 Hypertaso Tutkitaan seuraavaksi pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuora etäisyys. Lemma 10 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (84) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (85) LINEAARIALGEBRA 66 / 69
118 Hypertaso Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja p = t αˆn, niin 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (86) Siten α = t ˆn = t n n. (87) LINEAARIALGEBRA 67 / 69
119 Hypertaso Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (88) Lemma 11 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (89) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (90) LINEAARIALGEBRA 68 / 69
120 Hypertaso Esimerkki 20 Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (91) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) = n1 2 + n2 2 + n2 3 n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (92) n1 2 + n2 2 + n2 3 LINEAARIALGEBRA 69 / 69
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................
LisätiedotLINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF
LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatemaattinen Analyysi, k2011, L2
Matemaattinen Analyysi, k2011, L2 Lineaarikombinaatio 1 Esimerkki 1 Olkoon yrityksen A osakkeen arvo 20eja yrityksen B osakkeen arvo 10e. Sijoittaja tarkastelee omaisuutensa rakennetta ryhmittelemällä
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotKompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta
Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT
LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot