Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

2 Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko matikkaa saa 1000 :lla? Ratkaisu 1. asteen lineaarisella yhtälöllä: Kerroin 50 x = 1000 Side-ehto Muuttuja x = x = = 20. Yleisesti 1. asteen lineaarinen yhtälö ax = b ratkaistaan ax = b a 1 a x = a 1 b x = a 1 b Kerroin Muuttuja Side-ehto 2

3 Motivointi Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään raaka-aineita A, B ja C. Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun 1. Tehdään 100 kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8000 mg ja 3. Erä saa maksaa 2000? Ehdoista 1-3 saadaan yhtälöryhmä: 1. x 1 + x 2 + x 3 = x x x 3 = x x x 3 = 2000 A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x 2 x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) Hinta ( /kg) Yhtälöryhmän voi esittää matriisimuodossa: Kerroinmatriisi A Muuttujavektori x x 1 x 2 x 3 = Ax = b Side-ehto- Vektori b

4 Motivointi Voidaanko yhtälöryhmä ratkaista samalla tavoin kuin yhtälö? ax = b x = a 1 b a:n käänteisluku Ax = b x = A 1 b A:n käänteismatriisi Voidaan! Lineaaristen yhtälöryhmien kannalta kiinnostavia matriiseja ja vektoreita tarkastellaan seuraavan kolmen luennon ajan 4

5 Nopea notaatiokertaus R = (, ) eli reaalilukujen joukko R + = [0, ) eli ei-negatiivisten reaalilukujen joukko R ++ = (0, ) eli positiivisten reaalilukujen joukko x = 0 x x = 0 x x = 0 x R = (, ) R + = [0, ) R ++ = (0, ) 5

6 R n :n vektorit Tähän asti olemme tarkastelleet reaalilukuja x R Vektori x = [x 1, x 2,, x n ] R n on n-ulotteisen reaaliavaruuden alkio, missä Jokainen vektorin komponentti x i R on reaaliluku Avaruus R n = R R R on n:n 1-ulotteisen reaaliavaruuden karteesinen tulo Vektorin voi esittää olla pysty- tai vaakavektorina: Pystyvektori a= Vaakavektori b=[100,8000,2000] x = 2 R = (, ) x 2 x = [3,2] R 2 = R R x = [2, 1,2] x 1 x 3 x Pystyvektori voidaan muuttaa vaakavektoriksi transponoimalla: a = b T, b = a T x 1 x 2 R 3 = R R R 6

7 Vektorin kertominen vakiolla Esim. Ekonomisti E hankkii USA:sta terveysvaikutteisia luonnontuotteita: Kuntojuomaa (KJ), Terveysuutetta (TU) ja Ihmepillereitä (IP). Hän seuraa näiden hyödykkeiden hintoja ja viikon aikana kuluttamiaan määriä noin vuoden välein: Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) Mitkä olivat vuoden 2014 hinnat euroissa, kun kurssi oli tuolloin 1 USD = 0.74 EUR? Vuoden 2014 hinnat dollareissa voidaan esittää vektorina p 14 = [0.40, 0.50, 1.40] R 3 Kun hinnat muutetaan euroiksi, kukin vektorin komponentti kerrotaan vakiolla 0.74 Tämä vastaa koko vektorin kertomista vakiolla 0.74: 0.74 p 14 = , 0.50, 1.40 = , , = 0.30, 0.37, 1.04 Vektorin kertominen vakiolla tehdään siis komponenteittain 7

8 Vektorin kertominen vakiolla Vakiolla a kertomisen geometrinen tulkinta: Vektorin pituus a -kertaistuu Vektorin suunta pysyy samana, jos a>0 Vektorin suunta vaihtuu vastakkaiseksi, jos a<0 x = [1.5,1] 2 x = [3,2] x 1 x 1 x 1 2 x = [ 3, 2] 8

9 Vektorin kertominen vakiolla Vakiokertomisia voidaan yhdistellä ja järjestystä vaihtaa Esim. Mitkä olivat vuoden 2014 hinnat eurosenteissä, kun kurssi oli tuolloin 1 USD = 0.74 EUR? Dollarit voidaan ensin muuttaa euroiksi ja sitten eurosenteiksi: p 14 = , 0.37, 1.04 = 30, 37, 104 Dollarit voidaan ensin muuttaa dollarisenteiksi ja sitten eurosenteiksi: p 14 = , 50, 140 = 30, 37, 104 Kurssi voidaan ensin muuttaa 1 USD = 74 eurosenttiä: p 14 = , 0.50, 1.40 = 30, 37, 104 Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl)

10 Vektorien yhteenlasku Kuinka paljon E käytti Kuntojuomaa, Terveysuutetta ja Ihmepillereitä keskimäärin välillä ? Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) Vuosina 2014 ja 2015 kulutetut määrät voidaan esittää vektoreina q 14 = [35, 60, 30] R 3 ja q 15 = [50, 70, 25] R 3 Keskimääräiset kulutukset saadaan laskemalla vuosien 2014 ja 2015 kulutukset yhteen ja jakamalla kahdella: Yhteenlasku komponenteittain: q 14 +q 15 = 35, 60, , 70, 25 = , , = 85,130, 55 = q 15 + q 14 (summausjärjestyksellä ei väliä) Kahdella jako (= vakiolla 0.5 kertominen) komponenteittain: 1 2 (q 14+q 15 ) = ,130, 55 = [42.5, 65, 27.5]. 10

11 Vektorien yhteenlasku Vektorien yhteenlaskun x + y geometrinen tulkinta: y = [1, 2] x + y = [2.5, 3] x = [1.5,1] x y x y Siirretään y alkamaan x:n kärkipisteestä Summavektori x+y lähtee origosta ja päättyy y:n uuteen kärkipisteeseen 11

12 Vektorien yhteenlasku Yhteenlaskujärjestyksellä ei ole väliä: x + y = y + x y = [1, 2] x = [1.5,1] y x y x y + x = [2.5, 3] Siirretään x alkamaan y:n kärkipisteestä Summavektori y+x lähtee origosta ja päättyy x:n uuteen kärkipisteeseen 12

13 Vektorien yhteenlasku Yhteenlaskuja voidaan yhdistellä: y = [1, 2] x + y = [2.5,3] z x = [1.5,1] x + y z = [ 3, 2] z = [ 3, 2] (x + y) + z = [ 0.5, 1] Summausjärjestystä voidaan tässäkin vaihtaa: (x + y) + z = x + (y + z) totea graafisesti! 13

14 Vektorien vähennyslasku Mikä oli viikottaisten kulutusmäärien ero vuosien 2014 ja 2015 välillä? Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) Viikottaisten kulutusmäärien ero saadaan vuoden 2015 ja vuoden 2014 laskemalla määrävektoreiden erotus komponenteittain: q 15 q 14 = 50, 70, 25 35, 60, 30 = 50 35, 70 60, = 15,10, 5 14

15 Vektorien vähennyslasku Vektorien vähennyslaskun x y geometrinen tulkinta: y = [1, 2] x = [1.5,1] x = [1.5,1] x x y y y = [ 1, 2] x y = [0.5, 1] Kerrotaan y-vektori -1:llä, jolloin sen suunta vaihtuu vastakkaiseksi Siirretään -y alkamaan x:n kärkipisteestä Erotusvektori x-y lähtee origosta ja päättyy -y:n uuteen kärkipisteeseen 15

16 Vektorien vähennyslasku Vähennyslaskujärjestyksellä on väliä: x y = (y x) y = [1, 2] y = [1, 2] x = [1.5,1] x y x y x = [ 1.5, 1] y x = [ 0.5, 1] Kerrotaan x-vektori -1:llä, jolloin sen suunta vaihtuu vastakkaiseksi Siirretään -x alkamaan y:n kärkipisteestä Erotusvektori y-x lähtee origosta ja päättyy -x:n uuteen kärkipisteeseen 16

17 Vastavektori x = [2,2] Vektorin x = [x 1, x 2,, x n ] vastavektori on 1 x = x = [ x 1, x 2,, x n ] Esim. Vektorin [2,-1,3] vastavektori on [-2,1,-3] x = [ 2, 2] Kun vektori lasketaan yhteen vastavektorinsa kanssa, saadaan nollavektori 0 R n, jonka kaikki komponentit ovat nollia: x + x = x 1 x 1, x 2 x 2,, x n x n = 0,0,, 0 = 0 x x = 0,0 = 0 17

18 Lineaariavaruus Ehdot 1-8 toteuttavat vektorit muodostavat lineaariavaruuden 1. x + y = y + x (vaihdannaisuus) 2. x + y + z = x + y + z (liitännäisyys) 3. On olemassa nollavektori 0 = 0,, 0 4. Vektorilla x = [x 1, x 2,, x n ] on vastavektori x = [ x 1, x 2,, x n ] 5. a bx = b ax = ab x, missä a ja b ovat vakioita 6. 1 x = x 7. a x + y = ax + ay, missä a on vakio 8. a + b x = ax + bx, missä a ja b ovat vakioita Esim. R n on lineaariavaruus Lineaariavaruutta kutsutaan myös vektoriavaruudeksi 18

19 Lineaarikombinaatio Vakioilla kertomalla ja yhteenlaskemalla voidaan vektoreista x 1, x 2, tehdä uusia vektoreita. Esim. x 1 = 2,1,0, x 2 = [1, 3, 4] R 3 y = 4x 1 2x 2 = 4 2,1,0 2 1, 3, 4 = [6,10,8] R 3 Vektoria y = a 1 x 1 + a 2 x a n x n sanotaan vektorien x 1, x 2,, x n lineaarikombinaatioksi (a i :t vakioita) 19

20 Lineaarinen riippuvuus Esim. Tarkastellaan vektoreita x = 3, 2, y = 1,4, z = 5,4 R 2 Voidaanko z esittää x:n ja y:n lineaarikombinaationa? Eli onko olemassa vakiot a 1, a 2 siten, että z = a 1 x + a 2 y? Ehdosta 5,4 = a 1 3, 2 + a 2 1,4 saadaan yhtälöpari 2.2y = [ 2.2,8.8] z = [5,4] y = [ 1,4] z = [5,4] x = [3, 2] 3a 1 a 2 = 5 2a 1 + 4a 2 = 4 jonka ratkaisu on a 1 = 2.4 ja a 2 = x = [7.2, 4.8] 2.2y +2.4x z = [5,4] Tällaisia vektoreita sanotaan lineaarisesti riippuviksi 20

21 Lineaarinen riippumattomuus Vektoreita x 1, x 2,, x n sanotaan lineaarisesti riippumattomiksi, mikäli a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0 a 1 = a 2 = = a n = 0 Luetaan: Vektorien x 1, x 2,, x n lineaarikombinaatio a 1 x 1 + a 2 x a n x n on nolla jos ja vain jos kaikki kertoimet a i ovat nollia. Muuten vektorit ovat lineaarisesti riippuvia ja ainakin jokin niistä voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa Esim. Ovatko x = 3, 2, y = 1,4 R 2 lineaarisesti riippumattomia? Ehdosta a 1 x + a 2 y = 0 a 1 3, 2 + a 2 1,4 = 0,0 saadaan yhtälöpari 3a 1 a 2 = 0 2a 1 + 4a 2 = 0 jonka ratkaisu on a 1 = a 2 = 0. Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. 21

22 Lineaarinen riippumattomuus Edellisissä esimerkeissä x = 3, 2, y = 1,4 R 2 olivat lineaarisesti riippumattomia, mutta x, y ja z = 5,4 R 2 lineaarisesti riippuvia Yleisesti pätee: R n :ssä on korkeintaan n lineaarisesti riippumatonta vektoria Erilaisia lineaarisesti riippumattomien vektorien yhdistelmiä on ääretön määrä Mutta kussakin on korkeintaan n vektoria R Mutta vektorit x, y R ovat keskenään lineaarisesti riippuvia, sillä esim. x = 2y. R 2 y = 1 y = [ 1,4] x = 2 Vektori x = 2 R on lineaarisesti riippumaton Vektori y = 1 R on lineaarisesti riippumaton z = [5,4] x = [3, 2] Vektorit x = 3, 2, y = 1,4 R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Vektorit x = 3, 2, z = 5,4 R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Vektorit y = 1,4, z = 5,4 R 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Mutta vektorit x, y, z R 2 ovat keskenään lineaarisesti riippuvia, sillä esim. z = 2.4x + 2.2y. x 22

23 Lineaariavaruuden kanta R 2 4,10 = 2.6x + 3.8y Kaikki R n :n vektorit voidaan muodostaa n:n lineaarisesti riippumattoman vektorin lineaarikombinaatioina y = [ 1,4] 4,0 = 1.6x 0.8y x = [3, 2] 5,4 = 2.4x + 2.2y Nämä n vektoria Virittävät lineaariavaruuden R n ja Muodostavat R n :n kannan 6, 8 = 3.2x 3.6y R 2 4,10 = 4e e 2 Tärkeä erikoistapaus on ortonormaalinen kanta, jonka muodostavat (koordinaattiakselien suuntaiset) yksikkövektorit: e 1 = 1,0,0,, 0 e 2 = [0,1,0,, 0] 4,0 = 4e 1 + 0e 2 e 2 = [0,1] e 1 = [1,0] 5,4 = 5e 1 + 4e 2 e n = [0,0,0,, 1] 6, 8 = 6e 1 8e 2 23

24 Yhteenveto tähän asti Vektori x = [x 1, x 2,, x n ] R n on n-ulotteisen reaaliavaruuden alkio, missä jokainen vektorin komponentti x i R on reaaliluku Vektorien peruslaskutoimitukset (vakiolla kertominen, yhteenlasku, vähennyslasku) tehdään komponenteittain Vektoria y = a 1 x 1 + a 2 x a n x n sanotaan vektorien x 1, x 2,, x n lineaarikombinaatioksi (a i :t vakioita) Vektoreita x 1, x 2,, x n sanotaan lineaarisesti riippumattomiksi, mikäli a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0 jos ja vain jos a 1 = a 2 = = a n = 0 Avaruus R n sisältää n kpl lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka Virittävät lineaariavaruuden R n ja Muodostavat R n :n kannan 24

25 Kahden R n :n vektorin sisätulo Esim. Kuinka paljon ekonomisti E käytti viikoittain rahaa kuntojuomaan vuonna 2016? Käytetty raha saadaan KJ:n vuoden 2016 desilitrahinnan ja määrän tulona: = $36. Esim. Kuinka paljon ekonomisti E käytti viikoittain rahaa lisäravinteisiin vuonna 2016? Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) ($/g) ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) Käytetty raha saadaan vuoden 2016 hinta- ja määrävektoreiden sisätulona: p 16 q 16 = 0.30,0.80, , 90,50 = = $308 25

26 Kahden R n :n vektorin sisätulo Vektorien x = [x 1, x 2,, x n ] ja y = [y 1, y 2,, y n ] sisätulo lasketaan siis kaavalla x y = x 1 y x n y n = n i=1 x i y i Vastinkomponentit kerrotaan keskenään ja lasketaan yhteen. 26

27 Kahden R n :n vektorin sisätulo Sisätulolle pätevät: 1. x y = y x 2. x 0 = 0 3. ax y = a x y = x ay 4. x + y z = x z + y z ja x y + z = x y + x z 27

28 Kahden R n :n vektorin sisätulo Sisätuloa kutsutaan myös Pistetuloksi, koska sitä merkitään pisteellä: x y Skalaarituloksi, koska tuloksena on skalaari: i=1 n x i y i R Projektiotuloksi johtuen sisätulon geometrisesta tulkinnasta (tästä lisää hieman myöhemmin) Sisätulo voidaan kirjoittaa myös x, y Jos x ja y ovat Vaakavektoreita, voidaan sisätulo kirjoittaa myös xy T Pystyvektoreita, voidaan sisätulo kirjoittaa myös x T y Näistä merkinnöistä lisää ensi luennolla 28

29 Vektorin pituus Vektorin x R n pituus x lasketaan kaavalla x = x x = x x x n 2 Esim. Vektorin x = [2,3,4] R 3 pituus on x = R 2 x x = [2,4] 4 R 2 :ssa tulos on yhtäpitävä Pythagoraan lauseen kanssa: x =

30 Vektorien välinen kulma Vektorien x ja y väliselle kulmalle θ pätee R 2 y = [2,4] cos θ = x y x y θ x = [3,0] Esim. x = [3,0], y = [2,4]: cos θ = = θ Esim. x = [2, 3,4, 1], y = [3, 4,5, 2]: cos θ = ( 3) ( 1) ( 4) ( 2) = θ

31 Vektorien välinen kulma Jos vektorit x ja y ovat Lähes samansuuntaiset θ 0 cos θ 1 Lähes vastakkaissuuntaiset θ 180 cos θ 1 Kohtisuorassa toisiaan vastaan, θ 90 cos θ 0 y = [ 6,4] θ x = [3, 2] Esim. x = [3, 2], y = [ 6,4]: cos θ = 3 ( 6) + ( 2) ( 2) 2 ( 6) 2 +4 = 26 = 1 θ = Esim. Edelliseltä kalvolta x = [2, 3,4, 1], y = [3, 4,5, 2] θ = 6.4 Vektoreita ei voida havainnollistaa geometrisesti Niiden välinen pieni kulma kertoo kuitenkin samansuuntaisuudesta eli samankaltaisuudesta Vektorien vastinkomponentit ovatkin samanmerkkisiä ja melko saman suuruisia 31

32 Sisätulon geometrinen tulkinta Vektorien x ja y sisätulo voidaan esittää myös muodossa R 2 y = [2,4] x y = cos θ x Kaavan geometrinen tulkinta: cos θ y : Vektori y projisoidaan samaan 1-ulotteiseen avaruuteen vektorin x kanssa cos θ y (tai toisinpäin cos θ x) (cos θ y ) x : Vektorien cos θ y ja x pituudet kerrotaan keskenään tässä 1-ulotteisessa dimensiossa (tai toisinpäin (cos θ x ) y ) y R θ x = [3,0] cos θ y = [2,0] x = 3 cos θ y = 2 Sisätuloa kutsutaankin myös nimellä projektiotulo x y = cos θ y x = 2 3 = 6 x y = 3,0 2,4 = = 6 32

33 Yhteys tilastolliseen analyysiin Esim. Taulukossa on viiden opiskelijan Laskettujen harjoitustehtävien pistemäärät (x i ), Koepisteiden määrät (y i ), Näiden arvojen poikkeamat keskiarvoista x ja y eli keskeistetyt arvot (u i = x i x ja v i = y i y) x i y i u i v i x = 53.2 y = 36 u =0 v =0 Hajontakuvioiden perusteella harjoitustehtävä- ja koepisteiden välillä on vahvaa lineaarista riippuvuutta y v x u 33

34 Yhteys tilastolliseen analyysiin Muodostetaan keskeistetyistä arvoista vektorit u = 17.8, 8.8, 3.8, 13.2, 17.2, v = 9, 4, 8, 5, 16 Vektoreiden u ja v välinen kulma on melko pieni: cos θ = u v u v = θ 24.5 Keskeistetyt harjoitustehtävä- ja koepistevektorit ovat siis samankaltaiset 34

35 Yhteys tilastolliseen analyysiin Keskeistettyjen havaintovektorien välisen kulman kosini = muuttujien x ja y lineaarista riippuvuutta y kuvaava Pearsonin korrelaatiokerroin r: r = i=1 n i=1 n (x i x)(y i y) u v = (x i x) 2 n i=1 (y i y) 2 u v = cos θ = x Korrelaatiokertoimen tulkinta: r = 1: Muuttujien x ja y välillä vallitsee eksakti lineaarinen riipuvuus (kun x on pieni/suuri, y=ax+b on pieni/suuri) r = 0: Muuttujien x ja y ei vallitse mitään lineaarista riippuvuutta r = 1: Muuttujien x ja y välillä vallitsee eksakti lineaarinen riipuvuus (kun x on pieni/suuri, y=ax+b on suuri/pieni) Vertaa korrelaatiokertoimen tulkintaa vektorien välisen kulman tulkintaan! v u 35

36 Yhteys tilastolliseen analyysiin 50 Muuttujan x (y) vaihtelun suuruutta kuvaava otosvarianssi σ x 2 (σ y 2 ) voidaan laskea keskeistetyn havaintovektorin u (v) sisätulon avulla y σ x 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 = 1 n 1 u u = u 2 n 1 = x σ y 2 = 1 n 1 n i=1 Otoskeskihajonnat: (y i y) 2 = 1 n 1 σ x = σ x 2 = u n 1 = 14.8 σ y = σ y 2 = v n 1 = 10.5 v v = v 2 n 1 = v u 36

37 Yhteys tilastolliseen analyysiin Kahden muuttujan yhteisvaihtelua kuvaava otoskovarianssi voidaan laskea havaintovektorien sisätulon avulla y σ xy = 1 n 1 = n i=1 (x i x)(y i y) = 1 n 1 u v x Huom r = u v = 1 u v n 1 u v n 1 u n 1 v = σ xy σ x σ y v u 37

38 Yhteenveto Vektorien sisätulo: x y = x 1 y x n y n = n i=1 vastinkomponentit keskenään ja lasketaan yhteen Vektorin x pituus: x = x x = x x x n 2 Vektorien välinen kulma θ: cos θ = Jos vektorit x ja y ovat x y Lähes samansuuntaiset θ 0 cos θ 1 Lähes vastakkaissuuntaiset θ 180 cos θ 1 Kohtisuorassa toisiaan vastaan, θ 90 cos θ 0 x y x i y i, eli kerrotaan Vektorien laskutoimituksilla on sovelluksia etenkin tilastollisessa analyysissa. 38