I PETRI LEPPÄE RS-ARITETIIKKA DSP-JÄRJESTELISSÄ Diplomityö Tarkastajat: prof. Jukka Vahala ja prof. Jarmo Takala Tarkastaja ja aihe hyväksytty Tieto- ja sähkötekiika tiedekutaeuvosto kokouksessa 8. kesäkuuta 0
II TIIVISTELÄ TAPEREE TEKILLIE YLIOPISTO Sähkötekiika koulutusohjelma LEPPÄE, PETRI: RS-aritmetiikka DSP-järjestelmissä Diplomityö, 50 sivua Toukokuu 0 Pääaie: Elektroiikka: ikroelektroiikka Tarkastajat: prof. Jukka Vahala ja prof. Jarmo Takala Avaisaat: RS, aritmetiikka, DSP, DFT, FFT Digitaalisella sigaalikäsittelyllä (Digital Sigal Processig, DSP) tarkoitetaa kaikelaista ääe, kuva ja muide sigaalie käsittelyä. Suosituimmat sovellukset sigaalikäsittelyssä ovat suodattimet ja Fourier-muuokset. Sigaalikäsittelyllä tarkoitetaa moesti myös diskreettiä Fourier-muuosta (Discrete Fourier Trasform, DFT) ja tarkemmi se jatkomuuosta, opeaa Fourier-muuosta (Fast Fourier Trasform, FFT). DSP-tekiikat ovat viimeaikoia olleet suuressa tutkimuskohtee suosiossa ja se asiosta e ovat kehittyeet huomattavaa tahtia tällä vuosituhaella. Tärkeimpää sigaalikäsittely osa-alueea o ollut alusta lähtie FFT. Tämä avulla muuos o mahdollista tehdä paljo opeammi ja tehokkaammi kui ormaalilla DFT-muuoksella. Residue-umerojärjestelmä (Residue umber System, RS) aritmetiikalla pystytää vielä lisäämää opeutta ja tehokkuutta etisestää. RS o umerojärjestelmä kute tavallie luoollie kymmekata, tai kute digitaalisissa järjestelmissä biääriluku. Tosi se eroaa edellisistä huomattavasti, sillä RS-luvuilla ei ole kiiteää kataa vaa se o umeromaipulaatio. RS koostuu moduuleista, joilla jokaisella o oma paiotus. RS-järjestelmä suurimmat hyödyt ovat opeudessa, riakkaisuudessa ja virheekestossa. Järjestelmä riakkaisuus tuo esii suurimmat hyödyt sillä jokaie moduuli voidaa laskea samaaikaisesti. Tämä äkyy suoraa opeudessa ja yleisesti tehokkuudessa. RS-järjestelmällä o kuiteki suuria rajoituksia ja ogelmakohtia. ämä ovat selvästi rajoittaeet se suosiota ja kuollista läpilyötiä erilaisissa digitaalisissa sovelluksissa. Jotta RS-järjestelmää o soveliasta käyttää, o se suuitteluu siis paostettava paljo. Tietyt moduulivariaatiot ovat yleisesti tulleet suosituksi ja äi olle äitä o eite käytetty sekä tutkittu. RS-järjestelmä käyttöä o rajoittaut myös paljo se kääökset biääriluvusta RS-luvuksi ja takaisi. Varsiki takaisikääös biääriluvuksi o ollut koko RSjärjestelmä suuri haaste alusta asti, mikä o jarruttaut se suurempaa suosiota.
III ABSTRACT TAPERE UIVERSITY OF TECHOLOGY aster s Degree Programme i Electrical Egieerig LEPPÄE, PETRI: RS Arithmetic i DSP Systems aster of Sciece Thesis, 50 pages ay 0 ajor: Electroics: icroelectroics Eamier: Professors Jukka Vahala ad Jarmo Takala Keyords: RS, Arithmetic, DSP, DFT, FFT With digital sigal processig (DSP) e ca maipulate like audio, picture, videosigals ad so o. ost popular applicatios i DSP are differet filters ad Fourier trasforms. Talkig about DSP e usually mea discrete Fourier trasform (DFT) ad especially DFT s modificatio fast Fourier trasform (FFT). Lately DSP has bee uder quite big research ad take major improvemets i this milleium. With FFT same process ca do faster ad more efficiet tha ith ormal DFT. Whe doig FFT ith Residue umber System (RS) arithmetic e ca get better results i speed ad poer. RS is umber system as our covetioal umbers or biaries but it s differs a lot from those. RS is umber maipulatio ad it has t base. RS cosist of may differet modulus hich everyoe has o eight. RS brigs may advatages i speed, parallelig ad fault tolerace. Parallelism brigs huge advatages to systems he each modulus ca calculate same time. This shos directly i speed ad poer. RS brigs also may restrictios. Restrictios ad problems has bee sloed popularity i differet DPS systems. It s very importat to ivest ito desig to get most out from hole RS system. Some modulus variatios are more popular o days tha others. Those give big advatages i speed ad i implemetatio. Also coversios from biary ad back has restricted RS popularity i DSP systems. Especially reverse coversio from RS to biary is major problem i hole RS system ad it takes most time ad poer from it.
IV ALKUSAAT Tämä Diplomityö o kirjallisuusselvitys RS-aritmetiika omiaisuuksista ja käytöstä sekä se toteutuksista digitaalisissa sovelluksissa varsiki FFT-muuoksessa. atka ja vuosie saatossa työ ja se sisältö o muuttuut mota kertaa. Työssä o käyty läpi RS-järjestelmä aritmetiikkaa ja määritelmiä sekä se vaikutusta digitaalisee sigaalikäsittelyy, varsiki se tärkeimpii omiaisuuksii kute DFT-muuoksee ja se yleisempää muotoo eli FFT-muuoksee. Halua kiittää Tamperee tekillise yliopisto Elektroiika sekä Tietokoetekiika laitosta ja diplomityöi tarkastajia Jukka Vahalaa ja Jarmo Takalaa tuesta ja joustavuudesta sekä varsiki vaimoai siitä mitä tämä ikuisuusprojekti o vaatiut. Lempäälässä, 4.4.0 Petri Leppäe
V SISÄLLYS Tiivistelmä... II Abstract... III Alkusaat... IV Termit ja iide määritelmät... VI. Johdato... 7. Digitaalie sigaalikäsittely... 9.. Diskreetti Fourier-muuos... 9.. opea Fourier-muuos...... Cooley-Tukey FFT... 3... Radi- FFT... 5..3. Radi-4 FFT... 8 3. Residue-umerojärjestelmä... 0 3.. RS-meetelmä kuvaus... 0 3.. RS-aritmetiikka... 3... RS-määritelmä ja -esitys... 3... egatiivie RS... 3..3. ultiplikatiivie kääteisluku... 3..4. Kääös RS-järjestelmästä kymmejärjestelmää.... 3 3..5. Kääös suoraa biääriluvusta... 3 3.3. Aritmetiikka... 3 3.4. RS-meetelmä edut ja ogelmat... 5 3.5. Kompleksie RS-järjestelmä... 5 3.6. Quadratic RS-meetelmä... 6 3.6.. QRS-kääös ja -aritmetiikka... 6 3.6.. QRS-meetelmä ogelmat... 7 3.7. ied-radi-järjestelmä... 8 3.7.. RS-kääös mied-radi-järjestelmää... 8 3.8. RS-moduulie valita... 9 4. RS-tekiika soveltamie... 3 4.. Eteepäi kääös... 33 4... BR-kääös erikoismoduulille {,, + }... 34 4... BR-kääös mielivaltaisille moduuleille... 36 4.. Takaisikääös... 37 4... oduulie valita... 38 4... Uudet CRT-tekiikat... 39 4..3. {,, + } RB-kääös... 4 4.3. RS suoraa aalogiseksi kääös... 43 4.4. RS-tekiika sovelluksia... 44 5. Yhteeveto... 48 Lähteet... 49
VI TERIT JA IIDE ÄÄRITELÄT DSP DFT FFT RS DIT DIF CRS QRS QLRS QRS PRS CRT RC RS BR RB CPA CSA PS PC UX RO VLSI DAC DCT Digitaalie sigaalikäsittely (egl. Digital Sigal Processig). Diskreetti Fourier-muuos o Fourier-muuokse diskreettiaikaie esitys (egl. Discrete Fourier Trasform). opea Fourier-muuos (egl. Fast Fourier Trasform). Residue-umerojärjestelmä, ei-paiollie umerojärjestelmä (egl. Residue umber System). egl. Decimatio i Time. egl. Decimatio i Frequesy. Kompleksie RS (egl. Comple Residue umber System). egl. Quadratic Residue umber System. egl. Quadratic Like Residue umber System. egl. odified Quadratic Residue umber System. egl. Polyomial Residue umber System. Kiialaie jakojääös teoreema (egl. Chiese Remider Theorem). ied-radi-kääös (egl. ied-radi Coversio). ied-radi-järjestelmä (egl. ied-radi System). Eteepäi kääös biääriluvusta Residue-luvuksi (egl. Biary-to-residue). Takaisikääös Residue-luvusta biääriluvuksi (egl. Residue-to-biary). uisti-biti moistava summai (egl. Carry-propagate Adder). uisti-biti muistava summai (egl. Carry-save Adder). Osittaie summa (egl. Partial sum). Osittaie muistibitti (egl. Partial carry). ultiplekseri, valitsee sisäämeoista yhde ulostulo. uisti mitä vai voi lukea (egl. Read-oly memory). Tekiikka, jossa tuhasia trasistoreja pakataa yhtee mikrosiruu (egl. Very-Large-Scale Itegratio). Digitaali-aalogia muui (egl. Digital-to-aalog coverter). Diskreetti kosii muuos (egl. Discrete Cosie Trasform).
7 7. JOHDATO Digitaalie sigaalikäsittely (Digital Sigal Processig, DSP) o ykypäivää tärkeä osa-alue moessa sovelluksessa jokapäiväisessä tekemisessä. Tällä vuosituhaella sigaalikäsittely o lyöyt todella joka paikassa itsesä läpi ja se takia myös se tutkimisee o paostettu koko aja eemmä ja eemmä. Eri tekiikoita kehitetää koko aja paratamaa tehokkuutta ja muita sigaalikäsittely omiaisuuksia. äistä yksi o jo 800-luvulla keksitty RSjärjestelmä (Residue umber System, RS), joka o yt tietokoeistumise myötä tullut uudestaa tutkimuste alle. Tässä työssä esitellää opeasti mitä sigaali käsittely yleisesti o ja se tärkeimpiä omiaisuuksia kute diskreetti Fourier-muuos (Discrete Fourier Trasform, DFT) ja se maipulaatio opea Fourier-muuos (Fast Fourier Trasform, FFT) sekä se erilaisia omiaisuuksia ja erikoisuuksia. Lisäksi perehdytää RSaritmetiikkaa ja -määritelmii sekä erilaisii muuelmii. Viimeisessä osiossa keskitytää RS-tekiikkaa ja millä eri tavoi sitä voidaa toteuttaa erilaisissa järjestelmissä. RS-järjestelmä suurimpia etuia luetaa opeus ja tehokkuus sekä virhee sietokyky. Järjestelmä tehokkuus perustuu siihe, että moet perusoperaatiot kute summaus ja kertolaskut pystytää laskemaa riakkaisesti kaikki yhtä aikaa, mitä luoollisesti tiedetää oleva paljo erilaisissa DSP-sovelluksissa varsiki FFTmuuoksessa. yös virheesietokyky o eduksi RS-järjestelmissä, sillä virhe ei pääse kumuloitumaa juuri itseäiste moduulie asiosta. äi virheet saadaa pysymää pieiä. RS tuo kuiteki paljo rajoituksia koko järjestelmää ja lisätyötä toteutuksee, joka ei ole iha suoraviivaista. Kokoaisprosessii tarvitsee suuitella kääökset RS-järjestelmää ja takaisi. Kuiteki RS o hyödyksi tarpeeksi suurissa sovelluksissa, joissa o paljo summa- ja kertolaskuja. RS-aritmetiika mukaatulo tuo siis hyviä ja huooja puolia, jolloi se käyttö pitää ottaa huomioo kokoaistilateessa päätettäessä oko sitä järkevää käyttää. Kriittisimmät toteutukset ovat kääöksissä, joissa RS-järjestelmä tuoma etu voidaa tuhota täysi. Ogelmallisita o takaisi kääös RS-järjestelmästä takaisi biääriluvuksi. Tosi moet erilaiset yritykset ja tekiikat jotka helpottavat takaisikääöstä ovat tuoeet edistysaskeleita parempaa suutaa ja äi olle o saatu kääöstä tehokkaammaksi ja opeammaksi. Takaisikääöksee vaikuttavat eite valitut moduulit ja meetelmät. Suuressa mittakaavassa RS-järjestelmää suuiteltaessa o valittava oikea määrä ja oikealaiset moduulit. Tietyt moduulit o helpompi toteuttaa kui toiset. yös moduulie määrällä pystytää vaikuttamaa tehokkuutee huomattavasti.
Periteisille ja yleisimmille RS-järjestelmä toteutuksille o olemassa jo vakiitueita tapoja. ämä helpottavat tekiika yleistymistä ja RS-aritmetiika mukaatuloa muihiki sovelluksii. Tosi edellee RS: ogelmat ja se tuomat rajoitukset ovat hillieet se suosiota sekä käyttöä. 8
9. DIGITAALIE SIGAALIKÄSITTELY Digitaalie sigaalikäsittely o tämä vuosituhae yksi tutkituimmista ja käytetyimmistä tekologioista, jota o kehitetty suuri harppauksi ja hyödyetty useissa sovelluksissa. ykyää sigaalikäsittelyä tehdää pääasiassa tietokoeide avulla, jote digitaalise sigaalikäsittelystä o tullut yksi merkittävimmistä tekologioista tää päivää. Yksi suosituimmista digitaalise sigaalikäsittely sovelluksista o diskreetti Fourier-muuos. Ku puhutaa diskreetistä Fourier-muuoksesta, tarkoitetaa yleesä opeaa Fourier-muuosta. Historiallisesti sigaalikäsittely juuret ovat lähtöisi elektroiikasta ja sigaaleilla yleisesti tässä yhteydessä tarkoitettii sähköisiä sigaaleja kute puhelilijoja taikka radioaaltoja. Termi digitaalie tulee eglatilaisesta saasta digital, joka tarkoittaa umeroa. Digitaalie sigaali täte tarkoittaa sarja umeroita, yleisesti sarja biääriumeroita. Digitaalise sigaalikäsittely tavoite yleisesti o mitata, suodattaa tai pakata pieempää tilaa aalogisia sigaaleja. Jotta sigaalia voidaa muokata, o se esi muuettava digitaalisee muotoo. Esimerkiksi aalogie sähköie sigaali voidaa digitalisoida käyttämällä aalog-to-digital-muuita. Tämä mahdollistaa sähköisestä sigaalise esittämie digitaalisea, jossa jokaie bitti edustaa sähköistä sigaalia äytteeottohetkellä. Yleisesti halutaa, että myös lopullie sigaali olisi aalogie. Tätä varte tarvitsee tehdä toie muuos käyttämällä digital-to-aalog-muuita. Vaikka tämä operaatio o hakala, ii sigaalit kaattaa silti muutaa välillä digitaalisee muotoo, sillä digitaalie sigaalikäsittely mahdollistaa moipuolisemma ja opeamma käsittely halutulle sigaalille... Diskreetti Fourier-muuos Aalogise sigaali muutamie digitaaliseksi yleisesti hoidetaa ottamalla aalogisesta sigaalista (t) äytteitä tasaisi väliajoi, jolloi tuloksea o diskreettiaikaie digitaalie sigaalijoo []. Sigaali täte saa arvoja vai tietyillä ajahetkillä. Kuva. havaiollistaa tätä tekiikkaa.
0 Kuva. äytteeotto aalogisesta sigaalista Sigaalit yleesä esitetää aika-akseli sijaa taajuusakselilla. Aikataso sigaalie muutamie taajuustasoo tehdää usei Fourier-muuokse avulla. Täte sigaali eri taajuuksia o helpompi tulkita ja muokata.
Fourier-muuos o matematiikassa käytetty jatkuva itegraalimuuos. Sitä käytetää yleisesti sigaali sisältämie taajuuksie aalysoitii. Fourier-muuos voidaa tehdä jatkuvalle tai diskreetille sigaalille. Fourier-muuos o jatkuva itegraalimuuos. Jatkuva-aikaise sigaali (t) (t ϵ R) Fourier-muuos ja se kääteismuuos määritellää seuraavasti: [8] iωt iωt X ( e ) = ( t) e dt () iω iωt ( t) = X ( e ) e dω, () π missä i = ja i t e ω -Euleri kaava mukaa e i ω t = cos( ωt) + isi( ωt) Fourier-muuokse tuloksea o muuttuja ω ϵ R fuktio, jota kutsutaa yleisesti kulmataajuudeksi. Yleisesti Fourier-muuokse tuloksea o kompleksiarvoie fuktio. Fourier-muuettu fuktio voidaa ajatella alkuperäise fuktio esitykseä taajuustasossa. uuettaessa jaksollie ja diskreettiaikaie sigaali muuetaa taajuusulotteiseksi, puhutaa diskreetistä Fourier-muuoksesta. Tulokseksi saadaa diskreettiaikaie jaksollie sigaali taajuustasossa. Diskreettiaikaie sigaali o jaksollie, jos o olemassa sellaie ϵ, että [] = [ + ], kaikilla ideksi arvoilla. äi olle lukua saotaa jakso pituudeksi. Diskreetti Fourier-muuos o Fourier-muuokse diskreettiaikaie yleistys, jossa sigaali ajatellaa sarjaksi. Tällöi se voidaa esittää äärelliseä Fourier-sarjaa ja äi itegraali muuoksessa korvautuu summalausekkeeksi seuraavasti: [8] ( ) = X k= 0 ( k) e i π k /, =,..., (3) ( ) = k= 0 X ( k) e iπ k /. (4) i π / Yleisesti vakiota e kutsutaa yleisemmi eglatilaisessa kirjallisuudessa tiddle-kerroi, ja siitä käytetää merkitää. [8] Ku o kysymys jaksollisesta sigaalista, tarvitsee muuoksessa tietää vai yksi jakso. Koko muuos ja kääteismuuos voidaa äi esittää vektoreide avulla. Tällöi itse koko operaatio o matriisikertolasku. DFT matriisikertolaskua o yleie ja helpoi tulkitsemismuoto ja äi voidaa helpoite käyttää tietokoee lasketatehoa hyödyksi. Tiddle-kerroi muutuu isoksi matriisiksi ja äi DFT-muuos o vektori ja tiddle-kerroi matriisi kertolasku.
-pistee DFT-muuos esitettyä -matriisi ja sigaali kertolaskua X = W, missä o muuettava sigaali ja X sigaali DFT. uuosmatriisi ja kääteismatriisi ovat äi olle muotoa m [ F ] = W,, m = 0,, m (5) m [ F ] W m =, (6) jossa ja m merkitsevät matriisi elemettejä ja m W tiddle-kerroimatriisia [9] W m = 0 0 0 0 0 ( ) 0 4 ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) = ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ). (7) Fourier-muuoste laskemie suoraa määritelmä mukaa o käytäössä hakalaa, mutta koska DFT sisältää redudasseja kertoimia, ii sopivalla matriisihajotelmalla säästetää huomattavasti aikaa. -pistee vektori ja - matriisi kertolasku vaatii kertolaskua ja yhtä mota yhteelaskua. Ku äytteitte määrä kasvaa, tulee DFT-meetelmä liia hitaaksi ja se rajoittaa huomattavasti Fouriermuuokse käyttökelpoisuutta. Tätä varte o kehitetty parempia tekiikoita jotka suoriutuvat operaatiosta paljo opeammi. äitä kutsutaaki opeiksi Fouriermuuoksiksi... opea Fourier-muuos opea Fourier-muuos mahdollistaa suorittaa DFT-muuokse vähemmällä määrällä aritmeettisia operaatioita kui suora matriisikertolasku DFT-matriisi mukaa. FFT o yhtäpitävä ja muuoksessa pätee samat omiaisuudet kui DFT:ssä. DFT sisältää redudatteja laskutoimituksia ja opeissa algoritmeissa otetaa ämä huomioo ja vältetää jo kertaallee laskettuje välituloste laskemie uudellee. FFT algoritmit perustuvat täte yleesä muuelmii, jossa tiddle-kerroi saa uude muodo käyttämällä hyödyksi DFT-matriisi symmetriaa ja jaksollisuutta. [8] Historia aikaa o kehitetty erilaisia FFT algoritmeja, mutta esimmäie ja tuetui FFT algoritmi o Cooley-Tukey algoritmi. Tämä algoritmi keksivät se ime mukaa J.W. Cooley IB:stä ja Joh W. Tukey Pricetoi yliopistosta vuoa 965. [9] Algoritmi o tosi peräisi jo vuodelta 805, joka kehitti Carl Friedrich Gauss. Cooley ja Tukey keksivät meetelmä uudellee, ku he keksivät tava käyttää algoritmia tietokoee avulla.
3 Kute DFT: määritelmästä ähdää, tarvittavie lasketaoperaatioide määrä o verraollie äytepisteide määrä eliöö O(Ν ). Cooley ja Tukey esittivät DFTmuuokse uudella tavalla, joka avulla DFT-muuos voidaa laskea aritmeettisella kompleksisuudella Ο( log ). äi olle FFT: opeusero verrattua DFT: laskemisee o hyvi merkittävä, ku äytepisteide määrä o suuri.... Cooley-Tukey FFT Cooley-Tukey esitys perustuu suure äytepisteide omaava DFT-muuokse jakamise pieempii osii. äi tuloksea o mota pieempää DFT-muuosta yhde iso sijaa. Perusajatus o siis, että sigaali -äytteie sigaali desimoidaa pieempii kokoaisuuksii ja, =. Seuraavaksi suoritetaa -kokoie DFT kertaa. Tämä tulos kerrotaa s. tiddle-kerroimatriisilla. Lopuksi suoritetaa kokoie DFT kertaa. Kuva. havaiollistaa tätä meetelmää. Kuva. 5-pistee DFT jaettua kahtee pieempää muuoksee. eetelmällä saadaa etua, koska tai -mittaie DFT voidaa laskea vähemmällä määrällä aritmeettisia operaatioita ja sitä yleisesti kutsutaa eglai termeillä radi. Jos o radi, algoritmia kutsutaa decimatio-i-time algoritmiksi (DIT), ku taas ollessa radi, algoritmia kutsutaa decimatio-i-frequesy algoritmiksi (DIF). DIT- ja DIF-tekiikoilla o eroa karkeasti vai siiä, kummasta päästä sigaalia muokataa diskreettii muotoo. Toisi saoe muokkaamalla sisää
4 meevää sigaalia () pieempii kokoaisuuksii, saadaa joukko muuoksia, jota kutsutaa DIT-algoritmiksi. uuosta kutsutaa taas DIF-algoritmiksi, ku sigaalia muokataa sigaali ulostulo päästä X(). [0] [] Kuva 3. 8-pistee Fourier-muuokse ero DIT- ja DIF-algoritmeilla. Kuvassa 3. o esitetty edelliset algoritmit vuokaavioa. F ja F4 kuvaavat lohkoa, joissa suoritetaa tässä tapauksessa joko kahde pistee tai eljä pistee muuos ime mukaisesti. äistä yleisesti puhutaa eglai termistöllä radi- tai radi-4 kuvaollistae moeko pistee muuos o kyseessä. Cooley-Tukey algoritmi idea perustuu muuoksee, tutkimalla DFT: i / määritelmää (kaava 3) tarkemmi ja erityisesti tiddle-kerroita = e π, huomataa, että ( i π ) / k i π / k k = e = e = k. (8) Ku äyttee pituus o k, se voidaa jakaa kahtee pieempää muuoksee, parillisii ja parittomii, joide pituus o /. Diskreetti Fourier-muuos jaksolliselle () lukujoolle, joka pituus o = k X ( ) = k= 0 ( k) k = / (k ) (k) k= 0 parilliset + / (k+ ) (k + ), (9) k= 0 parittomat koska = /, ii
5 / / k k X ( ) = (k) / + (k + ) /. (0) k= 0 k= 0 DFT parillisille DFT parittomille yt pieemmillä muuoksilla o pituus /, jote tarvitsee laskea vai / ulostuloa. Ku merkitää 0 (k) = (k) ja (k) = (k + ), DFT jaksollise määritelmä mukaa ulostulot ovat samat X 0 (k + /) = X 0 (k) ja X (k + /) = X (k) k+ / k sekä =. yt saadaa yhtälö muotoo, X ( ) = X 0 X 0 ( k) + ( k / ) k k X ( k), jos k < / X ( k / ), jos k > /. () Kuvassa 4. o vuokaavio 8-pistee muuoksesta. Siiä o jaettu 8-pistee muuos kahtee pieempää muuoksee desimoimalla sigaali kahtee pieempää osaa. Esi o kaksi 4-pistee DFT-muuosta, joissa sisäätuloissa ovat parilliset sekä parittomat pisteet keskeää. Tämä perää o eljä -pistee muuosta. Kuva 4. -pistee vuokaavio DIT-algoritmi DFT-muuoksesta jakamalla se esi kahtee /-pistee DFT-muuoksee. Tässä tapauksessa = 8.... Radi- FFT Cooley-Tukey algoritmi perusta o kahde pistee Fourier-muuos. Siiä muuos, joka pituus o = k, muuetaa moeksi Fourier-muuokseksi, joissa pituus o vai kaksi. Kuvassa 4 o perusajatus tästä meetelmästä. Radi- DIT ja DIF FFT-muuokset ovat yksikertaisimmat FFT-muuokset. Cooley-Tukey FFT ja siis myös radi--muuos perustuu hajota ja hallitse -
6 meetelmää. opeus muuoksee saadaa käyttämällä uudestaa pieempie muuoste tuloksia. [] Radi--meetelmää jatketaa rekursiivisesti vielä eteepäi kues kaikki muuokset ovat vai kahde pistee muuoksia. Kahde pistee muuoksessa o siis vai kaksi sisäätuloa ja kaksi ulostuloa. Ottamalla huomioo kaava määritelmä, tulokseksi saadaa y y 0 = = 0 0 + k k => Tätä yhtälöparia kutsutaa termillä butterfly, joka tulee perhose muotoisesta sigaalivuokaaviosta, kute kuvasta 5. voidaa ähdä. Radi- DFT-muuosmatriisi o hyvi yksikertaie ja juuri tähä algoritmi tehokkuus perustuu. Yksi radi-- muuos saadaa siis tehtyä vai yhdellä kompleksisella tulolla ja kahdella summalla. Kuva 5. Radi--muuosmatriisi ja s. butterfly Kuvassa 6. o sama muuos kui kuvassa 4. Erotuksea o, että muuos o yt pilkottu kolmee vaiheesee jotta saadaa aikaiseksi vai kahde pistee muuoksia ja koko muuos o äi olle tehty kokoaa radi--muuoksella. Tällaisia muuoksia, missä käytetää vai yhtä radi-meetelmää, kutsutaa muuosta radii mukaa.
7 Kuva 6. Radi- DFT. 8-pistee DFT-muuokse vuokaavio hajotettua kolmee osavaiheesee, jossa tuloksea vai radi--muuoksia. Radi-4-algoritmi o taas muuos, missä lasketa tapahtuu käyttämällä 4-pistee DFT-muuoksia. Tällöi sigaali pituus o = 4 k. Erityisesti radi- ja radi-4- algoritmit ovat tehokkaita, koska e sisältävät triviaaleja kertoimia 0, ja -. ämä muuokset ovat myös suosittuja. Tehokkuus perustuu yksikertaisee tiddlekertoimee ja äi olle perhoslasketa ja eteki kertolasku o hyvi yksikertaie.
8 ied-radi-algoritmissa o käytetty useampaa radi-algoritmia. Esim. kuvassa 4. o 8-pistee sigaali muuos toteutettu radi-4 ja radi- meetelmi...3. Radi-4 FFT Radi-4 FFT-muuos perustuu imesä mukaisesti meetelmää, jossa ryhmie muuoste pituus o vai eljä. Radi-4-meetelmässä vaaditaa vai 75% kompleksisia kertolaskuja kui radi--meetelmässä. Tämä tuo huomattavaa etua käyttää radi-4-meetelmää. Radi-- ja radi-4-meetelmät ovatki suosituimmat meetelmät mitä käytetää FFT-muuoksissa. [] Radi-4-meetelmässä muuos jaetaa eljää osaa joide pituus o /4, jotka summataa yhtee, aiva kute radi--meetelmässä jaettii kahtee osaa. Tässä tapauksessa FFT-muuokse pituus pitää olla = 4 k. Radi-4-muuokse tehokkuus perustuu siihe, että lyhyide FFT-muuoksie jaksollisuude /4 vuoksi voidaa laskea toistuvasti X(), X( + /4), X( + /) ja X( + 3/4). Perusmeetelmä o sama kui radi--muuoksessa, mutta yt perhoslasketa o moimutkaisempi. Kuvassa 7. ähdää radi- ja radi-4-muuosmatriisit, sekä kuvassa 8. 6-pistee radi-4- muuos. Kuva 7. Radi-- ja radi-4-muuosmatriisit.
Kuva 8. Radi-4 DIT FFT-muuos. 9
0 3. RESIDUE-UEROJÄRJESTELÄ Digitaalie maailma ja tietokoeet ovat riippuvaisia umeroista ja umerosysteemeistä, sekä siitä mite e esittävät itse umerot järjestelmissää. ykyaikaa vallitsevimmat ja tuetuimmat umerojärjestelmät ovat kymmejärjestelmä sekä digitaalimaailmassa yleisesti käytetty biäärie järjestelmä. ämä kaksi umerojärjestelmää ovat jo ii itsestääselvyyksiä, että o uohdettu muut vaihtoehdot melkei kokoaa ja äitä kahta pidetää itsestää selvyyksiä Residue-umerojärjestelmä o aiva erilaie umerojärjestelmä kui kaksi edellä kuvattua. RS poikkeaa ii paljo sekä kymmejärjestelmästä että biääristä kui ämä kaksi edellistä toisistaa. RS ei perustu kiiteää kataa (esim. 0- ja -kata), vaa o s. umeromaipulaatio. [] RS-järjestelmä teoreettiset perusteet ovat keksieet suuret matemaatikot kute Euler, Fermat ja Gauss 700- ja 800-luvulla. RS-järjestelmä sai uutta tuulta allee 960-luvulla, ku sitä käytettii digitaalisessa sigaalikäsittelyssä ja -laskeassa. Tällöi huomattii RS-järjestelmä potetiaali opeudessa, riakkaisuudessa ja virheesiedossa. [] 3.. RS-meetelmä kuvaus RS o kokoaisluku, ei-paiollie umerojärjestelmä, jolla o eri paiotus jokaisella umerolla. RS koostuu moduuleista, jotka ovat positiivisia alkulukuja. oduulit ovat keskeää alkulukuja ja esitysmuoto riippuu täysi valitusta kaasta, sillä paiotukset riippuvat valituista moduuleista. RS-järjestelmä poikkeavuus tavallisista umerojärjestelmistä aiheuttaa se, että jopa ormaalit laskutoimitukset ovat erilaisia totutuista. RS-järjestelmällä ei edes ole kaikkia toimitoja kute voisi ajatella kymmejärjestelmässä oleva. Järjestelmäsä vuoksi myös kaikki operadit ja tulokset aritmeettisista operaatioista täytyy esittää kokoaislukuia. oduuleittesa asiosta summaus, väheys ja kertolasku ovat muistiumeroista vapaita. Jokaie moduuli o s. itseäie eikä se arvo siis riipu muista moduuleista. Tällöi myös laskutoimitukset ovat itseäisiä ja muistiumeroita ei tarvita. Tähä omiaisuutee suurimmaksi osaksi RS-tekiikka perustuuki ja se takia sitä o kaattavaa käyttää erilaisissa sovelluksissa. Perustue edellisee, RS-tekiikkaa käytetää moissa digitaalisie sigaalikäsittely tehtävissä, kute digitaalisissa suotimissa, kovoluutioissa, korrelaatioissa, DFT:ssä ja FFT-laskeassa. RS-järjestelmästä o myös moia sovelluksia ja jatko kehityksiä kute, Quadratic Residue umber System (QRS), Quadratic Like Residue umber System (QLRS), odified Quadratic Residue
umber System (QRS) ja Polyomial Residue umber System (PRS). Kaikilla äillä o merkityksesä digitaalisessa sigaalikäsittelyssä, vähetäe laskutoimituksie kompleksisuutta ja samalla suuretae toimitoje riakkaisuuksia. [3] 3.. RS-aritmetiikka RS-järjestelmä perustuu täysi se kataa. Kuiteki järjestelmä ei koostu vai yhdestä kaasta vaa useammasta kokoaisluvusta, moduuleista {m, m,, m }. ämä moduulit luovat dyaamise aluee, missä = m i. [] 3... RS-määritelmä ja -esitys Jokaisella kokoaisluvulla, joka kuuluu dyaamiselle alueelle, o olemassa esitysmuoto RS-järjestelmässä {r, r,, r }, jossa r = ja tarkoittaa m i - kataista moduloa luvusta. [] Eli, r i = mod m i () i m i Esimerkki. Esitetää luku RS-kaassa {8, 7, 5, 3}. Jolloi dyaamie alue, = 840 = = { 8, 7, 5, 3 } = {5, 0,, 0} RS-järjestelmässä jokaisella umerolla, joka kuuluu dyaamisee alueesee, o yhdelaie esitys, sillä jokaisella umerolla o olemassa vai yksi ei-egatiivie jakojääös. Kuiteki edellise esimerki kaassa myös luvulla 86 o sama esitys RS-kaassa. Huomataa, että RS-järjestelmä o jaksollie, joka toistuu dyaamise aluee välei. Dyaamie alue tekee RS-järjestelmästä yksiselitteise, ku otetaa vai yksi jakso huomioo. [] oduulie koosta johtue itse muueltavie lukuje koot muuttuvat merkittävästi pieemmiksi, jolloi selvitää vähemmällä määrällä bittejä. Jotta RS-järjestelmässä pystytää esittämää yhtä mota umeroa kui kahde komplemetissa, täytyy RSjärjestelmä dyaamie alue vastata vastaava kahdekomplemetti-järjestelmä aluetta. RS-järjestelmä dyaamista aluetta voidaa kasvattaa joko suuretamalla moduulie kataa tai lisäämällä moduulie määrää.
3... egatiivie RS RS-järjestelmä perustuu siis valittuje moduulie jakojääöksii ( mod m i ). Tästä huomataa, että luku voi olla mikä tahasa kokoaisluku, myös egatiivie. utta jakojääökse määritelmä perusteella m i täytyy olla positiivie, tällöi r =, jos > 0 (3) i i m i r =, jos < 0. (4) m i Dyaamie alue muuttuu, jos otetaa huomioo myös egatiiviset luvut: = [0 ], jos > 0 (5) = [-/ -/ ], jos < 0 ja o parillie (6) = [-( )/ ( )/], jos < 0 ja o parito. (7) 3..3. ultiplikatiivie kääteisluku Jos luku a, 0 a < m ja ab m =, ii lukua a kutsutaa luvu b mod m multiplikatiiviseksi kääteisluvuksi ja merkitää a =. b Luku b m o olemassa, jos ja vai jos (b,m) = ja b 0. Tässä tapauksessa yksiselitteie. [] Yleisesti ottae ei ole olemassa yksiselitteistä selkeää ilmaisua ilmoittaa multiplikatiivie kääteisluku, lyhyemmi kääteisluku. Kuiteki, jos moduuli m o alkuluku, ii Fermati teoreemalla voidaa kääteisluku laskea helposti. [] Fermati teoreema m b m o Jos luku p o alkuluku, ii a p p = a p kaikilla kokoaisluvuilla a. Fermati teoreema o tärkeä, koska se selvästi esittää luvu a p kääteisluvu, jos luku p o alkuluku ja a 0. Fermati teoria avulla luvu a p kääteisluku o muotoa a p- p, sillä a p- a p =. [] Siis toisi saoe a - p = a p- p (8)
3 Esimerkki. 3 7 = 3 7 7 = 3 5 7 = 43 7 = 5 3..4. Kääös RS-järjestelmästä kymmejärjestelmää. O olemassa kaksi yleistä tekiikkaa muutaa RS-umero takaisi kymmejärjestelmää. Yleisi o kiialaie jääöslause (Chiese Remider Theorem, CRT). Toie o mied-radi-kääös (ied Radi Coversio, RC), jossa RS-luku muutetaa esi mied-radi-järjestelmää (ied Radi System, RS). Aetu luvu RS esityksestä {r, r,, r } kiialaie jääöslause mahdollistaa määrittämää takaisi luvu, ku moduulie suuri yhteie tekijä o. Tällaisia moduuleja kutsutaa parillisesti suhteellisiksi alkuluvuiksi. Kiialaie jääöslause (CRT) = j= mˆ j rj mˆ j m j (9) missä mˆ j = m j, = j= m j ja ( m, m ) = ku j k j k CRT vaatii, että kääteisluku moduuleista o olemassa, eli että moduulit ovat keskeää pareittai suhteellisesti alkulukuja. Tästä johtue RS-järjestelmä o varsi rajattu, ku moduuleja ei voi mielivaltaisesti valita, vaa e täytyy harkite laskea ja sovittaa jokaisee tilateesee eriksee. 3..5. Kääös suoraa biääriluvusta Kääös RS-luvuksi biääriluvusta voidaa tehdä helposti suoraa, jolloi ei tarvitse biäärilukua muutaa esi kymmejärjestelmää. Kääös biääriluvusta suoraa RS-järjestelmää hoituu helposti, ku muuetaa s. yksi bitti kerrallaa. Ku aettu bitti o muotoa = b + + b + b + b 0, ii se RS-kääös o muotoa mi = mi b + + m i b + m i b + b 0 mi. [] 3.3. Aritmetiikka Aritmetiikka RS-järjestelmässä perustuu kiialaisee jääöslauseesee. oduulit siis oletetaa tässä oleva keskeää parillisesti suhteellisiksi alkuluvuiksi.
4 Summa, väheys ja kertolasku voidaa suorittaa itseäisesti jokaiselle luvulle eriksee. Ku moduulit ovat itseäisiä ja jokaisella o oma paiosa järjestelmässä, myös ämä perusoperaatiot voidaa suorittaa muista moduuleista välittämättä. Yhtee- ja väheyslasku Olkoo ja y jääöslukuja ja umerojärjestelmä koostuu moduuleista m, m,, m. Tällöi jääösesitys summalle ja erotukselle ± y o, ± y ± y, ± y,..., ± y (0) m m m m m m m m m Yksikertaisuudessaa summa (tai väheys) tuo RS-järjestelmälle se tärkeimmä omiaisuude ja edu esille. Operaatioissa ei syy moduuli sisäisiä muistiumerobittejä vaa jokaie tulokse jakojääös o riippuvaie vai operadi vastaavasta jakojääöksestä. Tämä suuri ero paiollisii umerojärjestelmii ataa RS-järjestelmälle merkittävä edu. uistiumerobiti poissaolo ataa järjestelmälle luotaise edu opeudessa. Järjestelmää ei tarvitse eriksee toteuttaa mitää ylimääräistä sovellusta järjestämällä ja odottamalla muistiumerobittejä. Täte vältytää ylimääräisiltä viiveiltä. oduulie itseäisyys ataa toise merkittävä edu. Jokaise moduuli operadi voidaa laskea samaaikaisesti. Riakkaisuudella saavutetaa lisähyötyä opeudessa. [] Kertolasku Tulo voidaa aia toteuttaa toistamalla summia, jolloi tulo o aalogie logiikaltaa kui summa. Olkoo ja y jääöslukuja ja umerojärjestelmä koostuu moduuleista m, m,, m. Tällöi jääösesitys tulolle y o, y m y m m, y,..., y m m m () m m m Selvästi huomataa, että muistiumerobiti poissaolo myös tulo-operadissa. ämä perusoperaatiot atavat suure hyödy riakkaisuudessa, ku jokaie moduuli voidaa laskea samaaikaisesti välttye muistiumerobitiltä moduulie välillä. oduulie itseäisyys mahdollistaa, jos prosessi aikaa tapahtuu virhe yhdessä moduulissa, ii virhe ei laajee ja kertaau muihi moduuleihi. RS-järjestelmä pystyy edellee toimimaa aioastaa eristämällä virheellie moduuli. Tämä omiaisuus ataa korkea potetiaali virhee kestossa. [3]
5 Jakolasku o RS-järjestelmässä ogelmallista. Ku RS ei ole samalla tavalla paiollie systeemi kui kymmejärjestelmä tai biäärijärjestelmä, ii RS-lukua ei voi suoraa vai jakaa toisella RS-luvulla. RS-järjestelmässä kaikki luvut ovat kokoaislukuja. Se myötä jakolasku o vaikea, ku suurimmassa osassa jakooperaatioissa tuloksea o muuta kui kokoaisluku. 3.4. RS-meetelmä edut ja ogelmat Yleisesti ottae RS-järjestelmää käytetää todella vähä ja se käyttö oki miimaalista johtue se aiheuttamasta suuresta määrästä rajoituksia ja hakaluuksista toteutuksessa. Riakkaisuude ja moduulie suuruuksie pieuude asiosta perusoperaatiot pystytää tekemää pieillä look-up taulukoilla tai jopa kombiatorisella logiikalla järkevällä kompleksisuudella. Ku moduulit ovat pieikokoisia ja vievät vai muutama biti, ii myös äide operaatiot ovat opeita ja yksikertaisia. Riakkaisuus sekä muistibiti huomioimattomuus tuovat etisestää lisää opeutta järjestelmää. Suurimpia miiuspuolia RS-järjestelmässä o, että se ei lukua päältäpäi opeasti katsoessa kerro itsestää paljo mitää. RS-luvusta ei päältä päi voi ähdä se etumerkkiä, eikä voida tietää oko joku toie RS-luku suurempi kui toie. Eli, lukuje vertailu o todella hakalaa. yös ylivuodo tarkkailu o vaikeaa. Tästä johtue täytyy eriksee laskea ja varata riittävä suuri määrä bittejä järjestelmää, jotta ylivuotoa ei syy. Käytäössä jakolasku laskemise mahdottomuus tuo myös lisää rajoituksia ja vaikeuttaa laskuoperaatioita järjestelmässä. Suuret vaikeudet RS-järjestelmässä rajoittavat suuresti se käyttöä. Se takia RS-tekiikkaa käytetää vai sovelluksissa joissa summaus ja kertomie ovat suuressa osassa. Samoi tulokse täytyy olla tiedossa tiety raja sisällä, jotta vältytää ylivuodolta. 3.5. Kompleksie RS-järjestelmä RS-meetelmää voi käyttää myös kompleksilukuje laskuoperaatioissa. Ku RS meetelmää lisätää imagiääriosa, ii puhutaa kompleksisesta RS-järjestelmästä (Comple Residue umber System, CRS). Kompleksie luku täytyy vai saavuttaa samat ehdot ii reaaliosalta kui imagiääriosalta. Eli kompleksiluvu täytyy olla kokoaisluku molemmilta osi. Kääös kompleksiselle luvulle tehdää reaaliosalle ja imagiääriosalle eriksee. Z = X + jy, missä j = sqrt(-) sekä X ja Y modulo m RS-kaassa ()
6 Kääös takaisi tehdää myös eriksee reaaliosalle ja imagiääriosalle CRTmeetelmällä. Laskuoperaatiot summa ja tulo suhtee meevät ormaalii tapaa ja operaatiot suoritetaa eri osille eriksee. Summa ja tulo Z 3 = Z + Z = X 3 + jy 3 = X + X m + j Y + Y m (3) Z 3 = Z Z = X 3 + jy 3 = X X Y Y m + j X Y + X Y m (4) Reaaliosa ja imagiääriosa ovat tässä tapauksessa myös itseäisiä eivätkä e riipu toisistaa. oduulie väliset operaatiot siis voidaa suorittaa kaikki yhtä aikaa ja äi riakkaisuudesta hyödytää opeude kasvua. Kompleksisesta summasta ja tulosta huomataa, että summa vaatii kaksi yhteelaskuoperaatiota ja tulo vaatii eljä kertolaskuoperaatiota sekä kaksi yhteelaskuoperaatiota. Tämä o siis sama määrä laskuoperaatioita kui kahde komplemetissa. Aioa etu siis tässä tapauksessa saadaa riakkaisuudesta. 3.6. Quadratic RS-meetelmä Vuoa 98 S. H. Leug kehitti Quadaratic RS-meetelmä CRS-meetelmä jatkeeksi. QRS o muuelma RS-muuoksesta tai lähiä jatkokehitys. [4] QRS-meetelmällä o samat ehdot ja määritelmät kui RS-meetelmällä. QRS-meetelmä o todella tehokas kompleksisessa laskeassa ja siksi se o varteeotettava vaihtoehto digitaalisessa sigaalikäsittelyssä. QRS-meetelmä hyöty perustuu siihe, että se avulla voidaa kompleksise kertolasku operaatioide määrä puolittaa. QRS mahdollistaa siis laskea kompleksie tulo aioastaa kahdella kertolaskulla. Tämä kautta QRS opeuttaa lasketaa ja pieetää oleaisesti kompleksisuude määrää. QRS mahdollistaa huomattavat resurssie säästöt verrattua kahdekomplemettii. Se takia se o todella hyödyllie esim. FFT-laskeassa, jossa o paljo kompleksisia kertolaskuja. [5] [6] 3.6.. QRS-kääös ja -aritmetiikka QRS tuo paljo lisää rajoituksia koko RS-meetelmää. QRS-meetelmä perustuu siihe, että imagiääri yksikkö j kuvataa RS-luvulla. Ts. r i = - mod m i (5) o olemassa ja se esitys pystytää laskemaa.
7 QRS-kääös o olemassa aioastaa, jos moduulit m ovat alkulukuja ja ovat muotoa m i = 4k i +, jossa luku k o positiivie kokoaisluku. Tai vaihtoehtoisesti, jos yhtälö + voidaa jakaa tekijöihi (- r i )( + r i ), jossa r i {0,,, m i }. Kaava (4) luvu r juuret ovat reaalisia kokoaislukuja. Leug esitti yhteyde CRS ja QRS meetelmie välillä. Hä esitti, että QRS luku pari (Z, Z*) ja CRS luku X+jY voidaa muutaa seuraavilla kaavoilla: [7] Z = X + ry m (6) Z* = X ry m (7) X = - (Z + Z*) m (8) Y = (r) - (Z Z*) m. (9) Kaavoissa (5)-(8) luvut - ja r - ovat multiplikatiiviset kääteisluvut modulossa m ja luvut X ja Y ovat RS-lukuja. Olkoo z = (Z, Z *) ja z = (Z, Z *), jolloi summa, erotus ja tulo voidaa esittää QRS-järjestelmässä seuraavasti: z z = (Z,Z *) (Z,Z *) = ( Z Z m, Z * Z * m ), (30) jossa merkki kuvaa summaa, erotusta tai tuloa. Kaavasta (9) huomataa, että tulo vaatii aioastaa kaksi kertolaskua, eikä summaa ollekaa. QRS-meetelmällä o äi saatu poistettua s. ristitermie summaukset. Tämä takia QRS-meetelmä o todella hyödyllie ja ataa edu opeudessa verrattua CRS-meetelmää. Lisäksi ku moduulit ovat itseäisiä, e voidaa ajaa yhtä aikaa ja äi riakkaisuudella saadaa kaikki hyöty irti. [7] 3.6.. QRS-meetelmä ogelmat Vaikka QRS-meetelmää o opea vähetyee kompleksisuude ja moimutkaise laskea kautta, sekä riakkaisuude ja vähetyeide kertolaskuoperaatioide myötä, ii se o todella rajoittuut järjestelmä. oduulie tarkemmat rajoitukset (oltava alkuluku ja muotoa 4k + ) vaikeuttavat suuittelua ja tekevät meetelmästä harviaise. yös moduulie skaalaus o huomattavasti hakalampaa, ellei miltei mahdotota. [7] Systeemi suuitteluu täytyy lisätä koversiot, jotka syövät vähä aikaa ja tilaa, vaikka ei merkitsevästi. Yleesäki muuokset eri meetelmie välillä vievät tehoa ja aikaa varsiaisista laskuoperaatioista. Toisaalta aioastaa kääös RS-luvusta
8 biäärilukuu CRT-meetelmällä o todella hidas ja kallis pita-alaltaa, teho ja kustauksie suhtee. Se yleesä oki järjestelmä pullokaula ja vie järjestelmästä eite lasketa-aikaa. uut koversiot hoituvat helposti ja opeasti eikä iikää ole järjestelmälle haitallie. [6] RS-meetelmää kaattaa siis käyttää aioastaa, jos muuoksie välillä tehdää paljo summaus- ja kertolaskuoperaatioita, jotta meetelmä olisi järkevää käyttää. RSmeetelmä o sitä tehokkaampi mitä eemmä laskuoperaatioita o muuoksie välissä. 3.7. ied-radi-järjestelmä ied-radi-järjestelmä o vastaavalaie järjestelmä kui RS. Siiä mikä tahasa positiivie kokoaisluku voidaa esittää seuraavalaisesti: i= = a R +... + a R R + a R + a, (3) i 3 jossa R i esittää katalukuja ja a i mied-radi-lukuja ja a i = [0, R i ). Luvu mied-radiesitys o muotoa <a, a -,..., a > ja lukualue [0, Π R i ]. Edellise määritelmä mukaa ähdää, että jokaisella umerolla o yksi yksikäsitteie esitys. Kymmejärjestelmä o erikoismuoto RS-järjestelmässä, missä jokaie R i = 0 ja umeroide paiot ovat kymmee potesseja. RS-järjestelmä o hyvä ja tärkeä lisäapu RS-tekiikassa ja -laskeassa. RS o paiollie järjestelmä, jote se avulla pystytää vertailemaa eri lukuja keskeää ja myös päättelemää lukuje etumerkki. Kääökset RS-järjestelmästä RSjärjestelmää ovat opeita ja tehokkaita. RS-meetelmässä helpotusta tuo se ettei lukuje vertailuissa tarvitse käätää lukuja eriksee 0-järjestelmää, joka o paljo raskaampaa ja hitaampaa. [] 3.7.. RS-kääös mied-radi-järjestelmää RS-luvu käätämie RS-järjestelmää ovat opeita tietyissä tilateissa ja o täte järkevämpää muutaa RS-luku RS-järjestelmää 0-katajärjestelmä sijaa. Varsiki, jos o vai tarkoitus tehdä lukuje suuruus vertailuja tai tarkistaa luvu etumerkki. [] Jos moduulit m, m,, m o valittu site, että m i = R i, ii mied-radi ja residue-umerojärjestelmä saotaa assosioiva toisiaa. Tässä tilateessa molemmilla systeemeillä o sama lukualue, joka siis o m i. Jos m i = R i, ii mied-radi-esitys o muotoa, ii i= = a m +... + a m m + a m + a, (3) i 3
9 jossa a i ovat mied-radi-katalukuja. Luvut a i määritellää järjestelmällisesti seuraavalla tavalla aloittae luvusta a. Yhtälöstä (3) ähdää, että kaikki kataluvut paitsi viimeie luku a o jaollie luvulla m, ii täte saamme helposti m = a. äi olle esimmäie mied-radi luku o a. Saadaksee selville seuraava mied-radi-luku a, täytyy esi laskea a. Kaava (3) mukaa luku a o jaollie luvulla m. ääritelmä mukaa täte luku m o suhteellie alkuluku muille moduuleille ja täte voidaa suorittaa laskutoimitus a m. Tarkastelemalla kaavaa (3) huomataa, että a a =. m m Täte jatkamalla tätä samaa tapaa, voidaa selvittää aia seuraava mied-radi-luku. Erityisesti huomataa, että a i = m m m i m i, i >. [] a =, m a =, m m a 3 = ja yleisesti mm ied-radi-kääös vaatii ( ) aritmeettista operaatiota jakautue tasa väheyslaskuihi ja kertolaskuihi (ku o sama kui moduulie määrä). O myös olemassa kaksi opeampaa meetelmää, mutta e ovat erityistapauksia ja iitä voi käyttää vai ku moduulit ovat tiukasti rajatut. [] Esimmäie meetelmä o, missä moduulit ovat valittu site, että moduulie kaikki kääteisluvut mied-radi-kääöksessä ovat yksiselitteiset. Tällöi kertolaskut kääöksessä voidaa jättää huomiotta. Tällaie järjestelmä o esimerkiksi m =, m = 3, m 3 = 7 ja m 4 = 43. [] Toie erityistapaus o, missä tietyillä umero kombiaatiolla kääösvaiheessa loput moduulit saadaa heti suoraa selville ilma lisälaskutoimituksia. Tässä o kaksi säätöä. Esimmäie säätö o, että jos määritellessä moduloa a i ja huomataa, että loput residue-luvut ovat a i m j, jossa m j o mikä tahasa jäljellä oleva modulus, ii jäljellä olevat mied-radi-moduulit ovat ollia. Toie säätö o, että jos määritellessä moduloa a i ja huomataa, että loput residue-luvut ovat m j a i, jossa m j o mikä tahasa jäljellä oleva modulus, ii jäljellä olevat mied-radi-moduulit ovat muotoa a i = m j. Tätä meetelmää käyttäessä operaatiot muuoksessa väheevät merkittävästi, jos moduulit ovat pieiä. [] m j m3 3.8. RS-moduulie valita RS-moduulie valita vaikuttaa suoraa meetelmä tehokkuutee ja opeutee. Siksi o tärkeää myös valita oikeat moduulit se mukaa mihi tarkoituksee kyseistä järjestelmää käytetää. oduulie valitaa vaikuttaa esitystehokkuus sekä algoritmi
30 moimutkaisuus. Esitystehokkuus lasketaa kuika suuri dyaamie alue saadaa moduuleilla sama määrä bittejä käyttäe kui biääriluvuissa. oduulie valita o tärkeässä roolissa suuiteltaessa RS-järjestelmää. Tietyt erikoiset sovellukset vaativat erilaisia toteutuksia, joka vaikuttaa myös moduulie valitaa. yös järjestelmä toteutus vaikuttaa siihe millaisia moduuleita pystyy käyttämää. Pääsäätö moduulia valittaessa täytyy muistaa, että suuri moduuli määrittää opeude operaatioissa sekä myös kääöksissä järjestelmie välillä. Ku suuri moduuli o valittu, o järkevä valita muut moduulit suurimma mukaa ja äi saada suurempi dyaamie alue aikaiseksi. yös tietyt moduulit o helpompi toteuttaa fyysisesti kui toiset. Esimmäie ja helpoi meetelmä määrittää moduulit o valita alkulukuja moduuleiksi kues dyaamie alue saadaa katettua. Tästä eteepäi muokkaamalla ja yhdistelemällä moduuleita voidaa moduuleitte määrää pieetää. Pieempie alkulukuje potessit muide alkulukuje kassa moduuleia o myös hyvä valita. Kahde potessii ojautuvat moduulit ovat tehokkaita ii moduulie määrä suhtee kui myös iide toteutukse helppoude suhtee. Kuva 9. kuvastaa yksikertaista esimerkkiä mite moduulit voidaa valita, ii että aikaasaadaa haluttu dyaamie alue. Kuva 9. Esimerkki moduulie valiasta RS-järjestelmää.
RS-järjestelmä moduulie valita voidaa kategorisoida edellise kuva mukaisesti. Suositui meetelmä kuiteki o kahde potessi moduulit. - moduulie tehokkuus toteutuksissa o ylivoimaie, koska iide yhteydessä voidaa käyttää hyödyksi samoja meetelmiä kui mitä käytettäessä pelkkiä biäärilukuja. yös yksikertaisuus aritmeettisissa operaatioissa tuo suure edu muihi moduulivalitoihi verrattua. [3] Kaikista suositui ja käytetyi moduulisarja o {,, + }, joka o esitetty jo vuoa 977. Tämä moduulisarja edut ovat yksikertaisuudessa ja hyvi muodostetuissa ja balasoiduissa moduuleissa. Kuiteki aritmeettiset operaatiot ( + )-moduulilla ovat kompleksisia verrattua kahtee muuhu moduulii, jote tämä takia o kehitelty muutamia korvaavia moduuli-sarjoja, jotka ovat myös hyvi suosittuja. äitä ovat mm. moduulisarjat { -,, } ja {,, + }. äissä moduuli + o korvattu joko - tai + -moduulilla ja äi saatu järjestelmä opeutta kasvatettua. [3] Kolme moduuli järjestelmässä tulee opeasti dyaamie alue vastaa. Tämä takia o kehitelty useita vastaavia eljä moduuli ja jopa viide -moduuli järjestelmiä. äissä kuiteki kompleksisuus kuiteki kasvaa huomattavasti. äistä seikoista huomaaki mite tärkeä rooli moduulie valialla o. Valita o usei kompromissi ja mitä osa-alueita siiä halutaa paiottaa. [3] O myös kehitelty moduulisarja { α, β, β + }, jossa α < β. Tässä muuttujilla α ja β säädetää dyaamista aluetta halutulaiseksi, mutta samalla saade hyvi balasoitu moduulijärjestelmä. Järjestelmä tarjoaa myös korkea suorituskyvy RSjärjestelmässä ja erityisesti RS-takaisikääöksessä. [3] 3
3 4. RS-TEKIIKA SOVELTAIE Tässä kappaleessa perehdytää muutamii RS-tekiikoihi ja -sovelluksii, joissa kokreettisesti äemme järjestelmä tuomat edut. RS-järjestelmää o toteutettu eri tekiikoilla ja tavoilla vuosie saatossa. RS-tekiikkaa o käytetty hyödyksi jo muutamia vuosikymmeiä, mutta lopullista läpimurtoa ei ole vielä saavutettu aiakaa suuremmassa mittakaavassa järjestelmä moimutkaisuude ja rajoituksie takia. oimutkaisuus ja suuret rajoitukset ovat hidastaeet myös järjestelmä tuettavuutta maailmalla ja leviämistä tutkijoide sekä suuittelijoide tietoisuutee. Kuvassa 0. o esitetty lohkokaavio tyypillisestä RS-järjestelmästä. Kymmekata-luku muuetaa esi RS-kataa, joissa kaikki moduulioperaatiot voidaa suorittaa riakkaisesti. Laskutoimituksie jälkee RS-luku kääetää takaisi kymmekataa. Takaisikääös RS-järjestelmästä biääriluvuksi o koko prosessi vaikei osa ja myös vaikuttaa suuresti koko järjestelmä tehokkuutee. Kääös vie suure osa ajasta koko prosessista ja se vuoksi tutkimuksia o tehty juuri tälle osa-alueelle kaikkei eite. Kääteismuuoksee vaikuttaa suurimmalta osi moduulie valiat sekä meetelmät joita o käytetty RS-muuoksessa. [3] yös kokoaisvaltaie moduulie valita vaikuttaa toteutuksee ja mitä useampi moduuli o valittu sitä eemmä järjestelmä vie piiriltä tilaa. Siksi RS-järjestelmissä käytetää suurimmaksi osaksi kolme tai eljä moduuli meetelmiä. [3]
33 Kuva 0. Kuvaus tyypillisestä RS-järjestelmästä.[3] 4.. Eteepäi kääös Eteepäi kääös (Biary-to-residue, RB) o tässä tapauksessa joko biääri- tai desimaaliluvu kääös RS muotoo. Perusperiaate jakojääöksie laskemisessa o jakolasku, jossa jakajaa o moduuli. Kuiteki rautatasolla jakojääös o kallis operaatio jote se käyttöä o syytä välttää. Jakolasku rautataso toteutusta voidaa helpottaa tietylaisilla moduuleilla, mutta tämä taas rajoittaa muute koko järjestelmä tehokkuutta sillä tietyillä moduuleilla taase saavutetaa parempia etuja esim. takaisimuuoksessa. [0] Rautataso toteutukset perustuvat yleisesti look-up-taulukoihi, kombiatorilogiikkaa tai äide yhdistelmii. Yleisesti erilaiset sovellukset, jotka perustuvat tiettyihi erityisii moduuleihi, ovat suuiteltu kombiatorilogiikalla. äide muuoksie kompleksisuus riippuu täysi valituista moduuleista. [0] Digitaalie sigaalikäsittely vaatii yleisesti suurta dyaamista aluetta, jote tämä tyyppiset sovellukset joko koostuvat useasta pieestä moduulista tai muutamasta isosta moduulista. Yleesä valita osuu jälkimmäisee. [0]
34 4... BR-kääös erikoismoduulille {,, + } Suositulle moduulisarjalle {,, + } myös BR-kääös o suoraviivaie ja koko kääös pystytää toteuttamaa pelkästää kombiatorilogiikalla ja moduulisummaimia käyttäe. Tässä tapauksessa siis hyötyä saadaa jo eteepäi muuoksessa, vaikka koko moduulisarja o suuiteltu ja kehitetty takaisikääöstä ajatelle. [0] Jos määritellää, m = +, m = ja m 3 =, ii jokaiselle luvulle X, joka dyaamie alue o = [0, 3 ], o aiutlaatuisesti määritelty residue-luku {r, r, r 3 }, jossa r = X ja X o 3 bittie luku X = 3-3- - - 0. [0] i m i Jakojääökset r i saadaa jakamalla luku X moduulilla m i. Täte jakojääös r o helpoite laskettavissa, sillä vähite merkitsevää bittiä määrittää jakojääökse ku X jaetaa luvulla. ämä bitit saadaa helposti siirtämällä oikealle bittiä. Saadaksee selville jakojääökset r ja r 3 jaetaa luku X kolmee -bittisee lohkoo seuraavasti: 3 j B = j, j B = j ja j B 3 = j. [7] j= j= j= 0 Täte X = B + B + B 3. r jakojääös saadaa yt laskettua seuraavasti: r = = = X B + B + B + + B + B 3 + + + B 3 + + B ja B ovat -bittisiä lukuja ja iide o oltava vähemmä kui ( + ) jote jakojääös luvulle suhteessa luvulle ( + ) o + = = + + = = + + + Edellisestä huomataa, että jakojääös luvulle suhteessa luvulle + o -. Täte tästä seuraa: r = B B + B. (33) 3 + Samalla lailla voidaa laskea jakojääös r 3
35 = + + = =. yös jakojääös suhteessa luvulle - o, jote r = B + B + B. (34) 3 3 Kokoaisvaltaisesti yllä oleva meetelmä ei ole järi kompleksie ja tällä tavalla muuoksesta saadaa tehokas ii pita-ala kui kompleksisuudeki suhtee. [0] Kuva. oduulisarja {,, + } eteepäi kääös. [0] Edellisee meetelmää ojate kuvassa. ähdää perusperiaate mite BRkääös o tehty {,, + } moduulisarjalla. Vaikka suuitelma o suoraviivaie, ii moduulisummaite o oltava täysi muisti-biti moistavia summaimia (Carry-propagate Adder, CPA), joka saattaa äkyä tehokkuude
36 meettämiseä. Suorituskykyä voidaa edistää moi tavoi, mutta kaikki tavat vaativat lisää logiikkaa. [0] Keskeiset tavat, joilla suorituskykyä saadaa lisättyä, ovat muisti-biti muistavie summaime (Carry-save Adder, CSA) käyttämie ja riakkaisuude lisäämie muuoksee. Kuva. esittää jatkokehitettyä mallia samalle muuokselle kui kuvassa. Kuvassa. CSA-summaimet ottavat kolme sisäämeoa ja tuottavat kaksi ulostuloa, joista toie o osittaie summa (partial sum, PS) ja toie o osittaie muistibitti (partial carry, PC), jotka syötetää CPA-summaimelle. Jakojääöksille r ja r 3 joudutaa tarvittaessa tekemää väheyslaskuja oikea lopputulokse saamiseksi jote ämä kaikki erilaiset laskuoperaatiot o otettu huomioo ja ämä mahdolliset kombiaatiot o laskettu riakkaisesti ja oikea vaihtoehto valitaa multiplekseri avulla. [0] Kuva. oduulisarja {,, + } paraeltu eteepäi kääös. [0] 4... BR-kääös mielivaltaisille moduuleille ielivaltaisia moduuleita käytetää yleesä sovelluksissa, joissa dyaamie alue o huomattava suuri ja tietyt erityiset moduulit aiheuttavat joitai rajoituksia.
37 ielivaltaisie moduulie suuri määrä ja suuri koko aiheuttavat moimutkaisuutta muuoksee ja vaativat erityistä rautataso toteutusta. Tapoja, joilla tälläisiä muuoksia suuitellaa, ovat yleisesti look-up-taulukot, eli pääsäätöisesti RO-muistit (Read-oly memory), joihi talleetaa kaikki mahdolliset jakojääökset käytettävistä moduuleista. Tämä tekiika huooa puolea tulee helposti ja opeasti vastaa käytettävä musti määrä joka vie koko toteutuksessa valtavasti tilaa. [0] Perusperiaate RO-muisteja käytettäessä o pilkkoa suuri kääös pieempii osii ja äi saada koko muuoksesta opeampi ja tehokkaampi. Avaiasemassa o kahdepotessi jakojääös, sillä j 3 0 = j j= 0 X = ja X m = j= 0 j j j = j. m m j= 0 m Tapoja, millä äitä osittaisia summia ja kokoaistulos lasketaa yhtee, o moia. Voidaa laskea sarjassa, peräkkäi, riakkai tai äide erilaisilla yhdistelmillä. [0] 4.. Takaisikääös RS-tekiikoita o vältelty juuri se takia, että järjestelmä o vähä vaivalloie ja hyödytämise suurimpaa ogelmaa o ollut takaisikääös (Residue-to-biary, RB). Siksi tämä o ollut jo pitkää keskeisimpiä tutkimuskohde RS-tekiikassa. Takaisikääös o pääsäätöisesti koko järjestelmä pullokaula ja äi olle vie koko prosessissa paljo aikaa ja myös pita-alaa koko järjestelmästä. Täte takaisikääös o ollut luoollie tutkimuskohde, koska sitä paratamalla saadaa koko järjestelmästä paljo parempi, opeampi ja tehokkaampi. Takaisikääöksee käytetää lähiä CRT- tai RC-meetelmää. RCtekiika hakaluude takia o vuosie saatossa kehitelty eri malleja ja uusia kääös variaatioita alkuperäisestä muuoksesta. äillä saavutetaa tiettyjä etuja kute opeudessa ja pita-alassa tietyissä tapauksissa. RC-meetelmä ei ole ii riakkaie kui CRT-meetelmä vaa yleisemmi peräkkäie joka aiheuttaa turhaa viivettä järjestelmää. RC-meetelmää voidaa vai käyttää tapauksissa joissa moduulie määrä o rajoitettu. eljä moduulia o suuri määrä jossa vielä voidaa käyttää takaisikääöksessä RC-meetelmää. Tosi kahde moduuli järjestelmissä RC-meetelmää käyttäe saadaa kääös aikaiseksi helpommi kui CRT-meetelmällä ja äi koko järjestelmä voidaa tehokkaasti toteuttaa laitteistolla. [3] Kirjallisuudessa melkei kaikki takaisikääökset perustuvat siis joko CRT- tai RC-meetelmii. Kaikki muut kääökset ovat edellisie variaatioita tai