HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Laios Insiuion Deparmen Maemaais-luonnonieeellinen Tekijä Förfaare Auhor Miriam Hägele Työn nimi Arbees iel Tile Maemaiikan ja ilasoieeen laios Moniuloeinen säännöllinen vaihelu ja suure poikkeama Oppiaine Läroämne Subjec Maemaiikka Työn laji Arbees ar Level Aika Daum Monh and year Sivumäärä Sidoanal Number of pages Pro gradu -ukielma Marraskuu 26 52 s. Tiiviselmä Refera Absrac Säännöllinen vaihelu on paksuhänäisen jakaumien arkaselussa ärkeä osa-alue. Tässä yössä arkasellaan sekä säännöllisesi vaihelevia saunnaismuuujia eä säännöllisesi vaihelevia saunnaisvekoreia ja niiden ominaisuuksia. Saunnaismuuuja on säännöllisesi vaiheleva, jos sen hänäfunkio on säännöllisesi vaiheleva jollain negaiivisella indeksillä. Silloin päee: miä isompi on säännöllisen vaihelun indeksi, siä enemmän momeneja on olemassa. Saunnaisvekorin säännöllinen vaihelu määriellään joukon Radon-mian avulla. Saunnaisvekori on säännöllisesi vaiheleva, jos n keraa odennäköisyys, eä saunnaisvekori kuuluu joukkoon a n A, missä a n on kasvava jono, suppenee kohi joukon A Radon-miaa, kun n kasvaa rajaa. Jos saunnaisvekori on säännöllisesi vaiheleva, niin myös jokainen saunnaisvekorin lineaarikombinaaio on säännöllisesi vaiheleva samalla indeksillä, ja sen lisäksi päee samanlainen indeksin skaalausominaisuus kuin yksiuloeisessa apauksessa. Alussa määriellään saunnaisvekorin säännöllinen vaihelu ja odiseaan siihen liiyvä Karamaan lause sekä Fuk-Nagaev-epäyhälö, joka anava ylärajoja suurien poikkeamien odennäköisyyksille. Karamaan lause anaa muun muassa yheyden säännöllisesi vaihelevan iheysfunkion ja paksuhänäisyyden välillä. Sien laajenneaan säännöllinen vaihelu saunnaisvekoreihin ja ukiaan erilaisia säännöllisesi vaihelevien saunnaisvekoreiden ominaisuuksia. Esieään myös saunnaisvekorin ja sen komponenien säännöllisen vaihelun yheys. Lopuksi odiseaan suuren poikkeamien päälause ja sovelleaan lausea esimerkkien valossa. Lauseen mukaan voidaan laskea suhde saunnaisvekorien summan rajaodennäköisyyden ja yksiäisen saunnaisvekoreiden rajaodennäköisyyksien välillä. Avainsana Nyckelord Keywords Säännöllinen vaihelu, Paksuhänäise saunnaisvekori, Suure poikkeama Säilyyspaikka Förvaringssälle Where deposied Kumpulan iedekirjaso Muia ieoja Övriga uppgifer Addiional informaion

Moniuloeinen säännöllinen vaihelu ja suure poikkeama Miriam Hägele 9. marraskuua 26

Sisälö Johdano 3 2 Yksiuloeinen säännöllinen vaihelu 4 2. Määrielmä............................ 4 2.2 Karamaan lause......................... 8 2.3 Fuk-Nagaev -epäyhälö..................... 2 3 Säännöllinen vaihelu 32 3. Epämääräinen suppeneminen.................. 32 3.2 Määrielmä............................ 33 3.3 Esimerkkejä............................ 38 4 Suure poikkeama 4 4. Suuren poikkeamien päälause.................. 4 4.2 Esimerkkejä............................ 49 Viiee 52 2

Johdano Vakuuusyhiöille on ärkeää ukia erilaisen odennäköisyysjakaumien käyäyymisä arvioimaan yhiön vakavaraisuua. Mone vakuuuslaji, kuen esimerkiksi rakennusen vahinkovakuuukse, ova sellaisia, joiden odennäköisyys sille, eä yriys jouuu maksaamaan suuren korvaussumman ei olekaan niin pieni, eä sen voisi jäää huomioimaa. Tämänyypisiä jakaumia kusuaan odennäköisyyslaskennassa paksuhänäisiksi, sillä niiden hänäodennäköisyys on suheellisen suuri. Yksi apa luonnehia paksuhänäisiä odennäköisyysjakaumia on säännöllinen vaihelu. Joku paksuhänäisen saunnaismuuujien hänäfunkio ova säännöllisesi vaihelevia, eli hänäfunkio käyäyyvä rajalla samalla avalla. Niiden arkaselun voidaan sovelaa sännöllisesi vaihelevien funkioiden eoriaa, jonka Jovan Karamaa kehii yksiuloeisessa apauksessa. Myöhemmin säännöllisesi vaihelevien hänäfunkioden käsie laajenneiin moniuloeiseen apaukseen ukimalla saunnaisvekorien rajaodennäköisyyksiä. Tässä ukielmassa esieään yleisiä säännöllisesi vaiheleviin saunnaisvekoreihin liiyviä perusuloksia sekä arkasellaan saunnaisvekoreiden rajakäyäyymisä ja anneaan suuriin poikkeamiin liiyvä lause. Lauseen mukaan voidaan laskea suhde saunnaisvekorien summan rajaodennäköisyyden ja yksiäisen saunnaisvekoreiden rajaodennäköisyyksien välillä. Alussa määriellään saunnaisvekorin säännöllinen vaihelu ja odiseaan siihen liiyvä Karamaan lause sekä Fuk-Nagaev -epäyhälö, joka anava ylärajoja suurien poikkeamien odennäköisyyksille. Sien laajenneaan säännöllinen vaihelu saunnaisvekoreihin ja ukiaan erilaisia säännöllisesi vaihelevien saunnaisvekoreiden ominaisuuksia. Esieään myös saunnaisvekorin ja sen komponenien säännöllisen vaihelun yheys. Lopuksi odiseaan suuren poikkeamien päälause ja sovelleaan lausea esimerkkien valossa. Perusesimerkkinä säännöllisesi vaihelevasa saunnaismuuujasa käyeään Pareo-jakauunua saunnaismuuujaa. 3

2 Yksiuloeinen säännöllinen vaihelu Moniuloeisen säännöllisen vaihelun eoriassa pyriään sievenämään saunnaisvekoreia yksiuloeisiin saunnaismuuujiin ja käyämään yksiuloeisen eorian uloksia. Siksi uodaan ensin yksiuloeinen säännöllinen vaihelu mieleen ja odiseaan ärkeä perusulokse kuen Karamaan lause ja Fuk-Nagaevin epäyhälöiä, johon moniuloeinen eoria perusuu. Myöhemmässä luvussa esieään myös ulos siiä, mien moniuloeinen säännöllinen vaihelu liiyy yksiuloeiseen säännölliseen vaiheluun. 2. Määrielmä Yksi miallisen funkioiden ominaisuus on säännöllinen vaihelu. Sen voi määriellä eri piseissä, mua ässä arkasellaan kuienkin vain säännöllisesi vaihelevia funkioia piseessä. Määrielmä 2.. Miallinen funkio f :,, on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, jos fx lim f = xα kaikilla x >. Funkioa f sanoaan hiaasi vaihelevaksi, jos α =. Hiaasi vaihelevia funkioia merkiään yleensä symboolilla Lx. Esimerkki 2..2 L Hospialin lauseen avulla nähdään helposi, eä esimerkiksi funkio logx 2, x ja log x ova säännöllisesi vaihelevia, kuen myös polynomi. Vakiofunkio ja log x ova esimerkkejä hiaasi vaihelevisa funkioisa. L Hospialin lausea käyäen voidaan odea, eä myös funkio e logx2 ja loglogx+ ova hiaasi vaihelevia. Huomauus 2..3 Säännöllisesi vaiheleva funkio voidaan aina esiää muodossa fx = x α Lx, missä α on funkion säännöllisen vaihelun indeksi Lx ja Lx on hiaasi vaiheleva funkio, eli funkio, jolle lim L = päee. Sovelluksissa käyeään säännöllisä vaihelua eriyisesi paksuhänäisen saunnaismuuujien arkaselussa. Huomaaan kuienkin, eeivä kaikki sovelluksissa käyey paksuhänäise jakauma ole säännöllisesi vaihelevia. Paksuhänäisyys määriellään kevyhänäisyyden avulla. 4

Määrielmä 2..4 Olkoon X saunnaismuuuja, jolla on kerymäfunkio F. Saunnaismuuuja X on kevyhänäinen, jos Ee sx < jollain s >. Muia saunnaismuuujia kusuaan paksuhänäisiksi. Määrielmäsä seuraa suoraan, eä paksuhänäisen jakauman momenigeneroiva funkio on kaikilla s > ääreön. Suuren poikkeamien eoriassa sovelleaan säännöllisä vaihelua saunnaismuuujiin. Huomauus 2..5 Jos saunnaismuuujan X hänäfunkio Fx = PX > x on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α α >, sanoaan, eä saunnaismuuuja X on säännöllisesi vaihelevaindeksillä α, oisin sanoen X RV α. Yksi ärkeisä paksuhänäisisä jakaumisa on Pareo-jakauma. Näyeään ensin, eä Pareo-jakauma on paksuhänäinen ja sovelleaan myöhemmin Pareo-jakauunua saunnaismuuujaa erilaisiin uloksiin. Esimerkki 2..6 Pareo-jakauma: Olkoo α > ja K > vakioia. Pareo-jakauman hänäfunkio määriellään kaikilla x seuraavaksi: K α. Fx = K +x Pareo-jakauma on eräs jakauma, jonka hänä on säännöllisesi vaiheleva, sillä K α Fx F = K+x K + α α = x α K +x K K+ ja saunnaismuuujan säännöllisen vaihelun indeksi on α. Palaaan Pareo-jakauman esimerkkiin vielä muissa yheyksissä ja myös moniuloeisessa apauksessa. Oleeaan silloin aina, eä X Pareoα, K, missä α,k >, jos ei oisin mainia. Pareo-jakauuneen saunnaismuuujan lisäksi on olemassa vielä monia muia säännöllisesi vaihelevia saunnaismuuujia. Esieään niisä ässä Burr-jakauma ja Freche-jakauma. Esimerkki 2..7 Burr-jakauma: Burr-jakauma määriellään hänäfunkion avulla kaikilla x K α, Fx = K +x τ 5

missä K,α,τ >. Samalla avalla kuen edellisessä esimerkissä huomaaan, eä Burr-jakauunu saunnaismuuuja on säännöllisesi vaiheleva indeksillä ατ. Esimerkki 2..8 Freche-jakauma: Posiiivinen saunnaismuuuja X, joka noudaaa Freche-jakaumaa, määriellään jakauman kerymäfunkion avulla. Parameri α on aidosi posiiivinen ja Fx = exp x α. L Hospialin lauseen nojalla päee Fx lim F = lim e x α e α = x α lim e α x α = x α, = lim x α α α e x α α α e α joen Freche-jakauunu saunnaismuuuja on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α. Saunnaismuuujan hänäfunkion säännöllisen vaihelun ja sen paksuhänäisyyden välillä on seuraava yheys. Lemma 2..9 Jos F on säännöllisesi vaiheleva jollain indeksillä α,α >, niin päee EX β < kaikilla β < α ja EX β = kaikilla β > α. Lemman odisus löyyy esimerkiksi syksyn 24 kurssin "Äärimmäisen ilmiöiden eoria"moniseesa. Huomauus 2.. Edellisesä lemmasa nähdään suoraan, eä hänäfunkion säännöllisen vaihelun indeksisä voidaan pääellä, mikä saunnaismuuujan momeni ova olemassa. Jos saunnaismuuuja X on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, α > niin kaikki α:n pienemmä momeni ova olemassa ja kaikki suuremma momeni ova ääreömiä. Esimerkiksi odousarvo on olemassa vain, kun α > ja varianssi on olemassa vain, kun α > 2. Pareojakauman odousarvo ja varianssi on helppo laskea. 6

Esimerkki 2.. Pareo-jakauuneen saunnaismuuujan odousarvolle päee K αdx EX = Fxdx = = K α K +x { = K α jos α α+ K α+ = K α jos α > / K +x α+ α+ eli odousarvo on olemassa vain kun α >. Saunnaismuuujan oinen momeni on olemassa vain kun α > 2, joen arkasellaan ilannea, jossa α > 2. Derivoimalla saadaan joen osiaisinegroinnisa seuraa EX 2 = = K α fx = αk α K +x α, x 2 K α αk +x α dx / x 2 K +x α + = 2K α / xk +x α+ α+ 2K α = α+ α+2 / Helposi nähdään, eä variansille päee kun α > 2. VarX = 2xK +x α dx K +x α+2 = K +x α+ dx α+ 2K 2 α α 2. 2K 2 α α 2 K2 α 2 = αk 2 α 2 α 2, Sovelluksissa arkasellaan kuienkin yleensä vain jakaumia, joiden varianssi on olemassa, joen on luonnollisa oleaa esimerkeissä, eä α > 2. Kevyhänäisillä jakaumilla kaikki momeni ova olemassa, joen lemmasa seuraa suoraan, eä jos F RV α, niin saunnaismuuuja on paksuhänäinen. Tämä on vain implikaaio, sama seuraus ei päde oisin päin, oisin sanoen kaikki paksuhänäise jakauma eivä ole säännöllisesi vaihelevia. Esimerkiksi Weibull-jakauma on jollain paramereilla paksuhänäinen, muei säännöllisesi vaiheleva. 7

Esimerkki 2..2 Weibull-jakauma: Weibull-jakauman hänäfunkio määriellään Fx = e cxτ, missä c > ja τ > ova vakioia. Jos valiaan < τ <, niin jakauma on paksuhänäinen, sillä kaikilla s > päee Ee sx = s e sx PX > xdx = s e sx cxτ dx =. Jos τ, niin voidaan odea, eä jakauma on kevyhänäinen. Näyeään vielä, eä Weibull-jakauma ei ole säännöllisesi vaiheleva. Jos x >, niin päee myös x τ >, joen e cxτ lim e cτ = lim e cxτ τ =, eli Weibull-jakauma ei ole säännöllisesi vaiheleva. 2.2 Karamaan lause Serbialainen maemaaikko Jovan Karamaa on ukinu säännöllisesi vaihelevia funkioia jo 93-luvulla. Yksi keskeinen ulos säännöllisesi vaihelevasa funkioisa on hänen mukansa nimey Karamaan lause. Tämän luvun päälähde on []. Lause 2.2. Karamaan lause Olkoon x >. i Jos f RV α, jolla α, niin fd RV α+ ja lim xfx = α+. 2. fd Jos x > ja f on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, jolla α < ai α = ja x fsds <, niin x fsds on äärellinen ja säännöllisesi vaiheleva indeksillä α+. Sen lisäksi päee lim x xfx = α. 2.2 fsds 8

ii Jos oisaala funkiolle f päee lim xfx = α,, 2.3 fd niin funkio on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α ja jos x fd < ja niin f RV α. Todisus: lim x xfx = α,, 2.4 fd i Todiseaan vain apaus, jossa f on jakuva funkio. Tarkasellaan ensin apausa, missä α. Muuujanvaihdon avulla saadaan yhäsuuruus fd fsx = xfx fx ds, jos valiaan = sx. Ensimmäisenä osoieaan, eä fd =, jos α >. Funkion f säännöllisesä vaihelusa seuraa lim f2s/fs = 2α s ja koska α > päee 2 α > 2. Siis josain indeksisä s alkaen päee 2f2s > fs > kaikilla s > s, joen jos valiaan n sien, eä 2 n > s, niin 2 n+2 2 n+ fd = 2 2 n+ 2 n f2d > 2 n+ 2 n fd >, missä yhäsuuruus seuraa muuujanvaihdosa, ja epäyhälö yllä olevasa epäyhälöisä. Merkiään symbolilla n pienin indeksi n, jolle 2 n > s. Silloin fd 2 n+ n n 2 n + > n n 2 n fd 2 n n n fd =. 2 n+2 2 n+ fd 9

Aseamalla x > funkio fxs on edelleen säännöllisesi vaiheleva, ja oleuksesa α > seuraa jollain N <. fsxds N fsxds, kun, Kiinnieään x > ja ε >. Tällöin on olemassa arpeeksi suuri luku N sien, eä kaikilla s > N εx α fs fsx +εx α fs, koska funkio f on säännöllisesi vaiheleva. Ny yläraja-arvolle päee lim sup x fsds fsds = limsup fsxds fsds = limsup limsup x N fsxds N fsds x N +εxα fsds N fsds = +εx α+, muuujanvaihdon ja aikaisempien ulosen nojalla. Alaraja-arvolle saadaan vasaavilla argumeneilla lim inf x fsds fsds εxα+, joen ollaan odiseu, eä fd on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α+, jos α >. Jos α =, niin joko fsds <, joen fsds RV α+ = RV ai fsds =. Sien saadaan samalla argumeneilla kuin yllä olevissa arkaseluissa fsds RV, eli inegraali fsds on hiaasi vaiheleva. Todiseaan seuraavaksi yhälö 2., jos f RV α, missä α. Inegroimalla saadaan joen f = log fsdsd exp fd log f fsdsd = fd, fd fd 2.5

ja fx exp fsds f fsdsd = fx 2.6 fd. Määriellään funkio gx = fx x fd ja ukiaan funkion gx = fd yläraja-arvoa. Faoun lemman ja f:n säännöllisen vaihelun xfx nojalla päee lim sup lim inf fd liminf fd fsx = liminf xfx xfx fx ds fsx fx ds = joen yläraja-arvon määrielmäsä seuraa lim sup s α ds = α+, xfx α+. fd Funkio gx = fx x on siis rajoieu, kun x on arpeeksi suuri. fd Sen lisäksi päee xfx RV α+ ja fd RV α+ joen gx on hiaasi vaiheleva, sillä gx lim g = lim xfx f Funkion gx hiaan vaihelun nojalla päee fsds = x α+ fsds x α+ = x. gx lim g g =, g joen myös gx gx, kun x ja dominoidun konvergenssin lauseen seurauksena saadaan lim s gx gx d = s lim Esieään ämä oisessa muodossa eli s gx s gx s = lim d d = lim joen s lim gx gx d =. gx d gx log s, gx d = lim gxlogs. 2.7

Yhälösä 2.6 nähdään, eä f fsdsexp fsdsd = ja säännöllisen vaihelun nojalla päee joen lim α+ logs = lim log = lim log log = lim = lim s x s s fd fd = sα+, s fd = lim fd fsds+log fsds log s exp exp f = lim fudud s gxu du = lim u gxlogs, fsds RV α+ log s f fd fudud f fudud xfxu u fd du jossa viimeinen rivi seuraa muuujanvaihdosa = xu ja yhälösä 2.7. Saadaan siis lim gx = lim xfx = α+, fd joen 2. päee. Tapaus α on siis odiseu. fd Tarkasellaan seuraavaksi apausa α <. On osoieava, eä x fd on äärellinen ja säännöllisesi vaiheleva indeksillä α +, sekä lim xfx x fd = α +. Näyeään ensin, eä x fd on äärellinen ja säännöllisesi vaiheleva. Jos on arpeeksi suuri ja ε > kiinniey, päee fs +εs α kaikilla s, 2

joen posiiiviselle x:n arvolle x fsds = x fsds+ fsds c++ε s α ds <, missä c = x fsds, eli inegraali on äärellinen. Säännollisen vaihelun odisamiselle huomaaan, eä samoin kuen apauksessa α on olemassa ε > ja arpeeksi suuri <, joille εfx α fx +εfx α kaikilla. Edelleen saadaan muuujanvaihosa ja funkion f säännöllisesä vaihelusa x lim fsds xfuxdu = lim lim+εxx α fsds fsds fsds fsds = +εx α+, jos. Samalla avalla saadaan alarajaksi εx α+, joen x fd on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α+. On vielä osoieava, eä 2.2 päee. Huomaaan, eä fsds = f, koska fx on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α <. Inegroimalla f funkio fsds saadaan f d = log fsds +log fsds, fsds x joen exp f fsds d = fsds 2.8 x fsds. Olkoon jakossa hx = xfx x fd ja ukiaan funkion hx ylärajaarvoa samoilla keinoilla kuin funkion gx yläraja-arvon arkaselussa apauksessa α. Faoun lemman nojalla päee lim suphx x liminf fd fsxds = liminf xfx fx fsx lim inf fx ds = s α = α+, 3

joen yläraja-arvon määrielmäsä seuraa lim suphx α+. Funkio hx on siis rajoieu ja hiaasi vaiheleva, koska xfx, x fd RV α+. Siksi päee hx h, kun kasvaa rajaa, joen s = lim hx hx s d = lim Täsä saadaan α+logs = lim log xs fd x fd = lim log = lim xs logc logexp fd log s hx d hxlogs. 2.9 x fd f fsds d f logc+logexp fsds d s f = lim x fsds d s = lim missä c = fsds, eli = lim s hxu u du = lim hxlogs, lim hx = α+, joen väiee ova odiseuja myös apauksessa α <. xfx fxux xu fsdsdu ii Oleeaan, eä 2.3 päee, oisin sanoen α α,, fd kun x. Huomaaan, eä d = logx log = logx, joen siiä ja esiyksesä 2.6 seuraa fx f fx = c exp fd fudud = cx fx f x x exp fd fudud d = cfx f x exp fd d, fudu 4

missä c = fd. Karamaan esiyslauseen nojalla lause 2.2.4 funkio fx on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, koska lähesyy kohi α, kun x kasvaa rajaa. Jos oisaala kaava 2.4 päee, eli α,, niin esiyksesä 2.8 seuraa fx fx = c x fd exp xfx = c x fd exp = chxexp f fudu xfx x fd α, kun x ja f fudu d f fudu + h d, d missä c = fd ja hx = fx x fudu. Sen lisäksi päee chx cα, ja hx α, kun x kasvaa rajaa. Karamaan esiyslauseen nojalla lause 2.2.4 funkio fx on siis säännöllisesi vaiheleva indeksillä α+. Äsken esieyä Karamaan lausea voidaan käyää oeamaan, eä saunnaismuuuja on paksuhänäinen. Eräs esimerkki on Cauchy-jakauma. Esimerkki 2.2.2 Cauchy-jakauma Olkoon X Cauchy sandardi Cauchy-jakauunu, eli X:n iheysfunkio on fx = π+x 2. Tukimalla osamäärän fx f raja-arvoa nähdään, eä fx on säännöllisesi vaiheleva indeksillä 2, sillä Hänäfunkiolle päee fx lim f = lim π+ 2 π+ 2 x 2 = x 2, Fx = Fx = x fd, joen Karamaan lauseen nojalla Cauchy-jakauman hänäfunkio on säännöllisesi vaiheleva indeksillä 2 + =. Näin ollen Cauchy-jakauunu saunnaismuuuja on paksuhänäinen. 5

Toinen esimerkki paksuhänäisesä saunnaismuuujasa on Loggammajakauunu saunnaismuuuja. Esimerkki 2.2.3 Olkoon X Loggammaα, β missä α, β >. Jakauman iheysfunkio määriellään kaikilla x > fx = αβ Γβ logxβ x α, missä symboli Γ merkisee gammafunkioa. Tukiaan osamäärää fx f suurilla :n arvoilla fx f = α β Γβ logxβ x α α β Γβ logβ α = β logx β log x α = logx log x α. fx Logarimi on hiaasi vaiheleva funkio, joen lim f = x α, eli Loggamma-jakauman iheysfunkio on säännöllisesi vaiheleva. Koska jakauman hänäfunkiolle päee Fx = x fydy, seuraa Karamaan lauseen nojalla, eä Loggamma-jakauman hänäfunkio on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, eli saunnaismuuuja on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α. Edellisessä odisuksessa käyeiin oisa keskeisä säänöllisen vaihelun ulosa, Karamaan esiyslausea. Jos funkiolla on lauseen mukainen esiys, niin voidaan pääellä, eä kyseinen on säännöllisesi vaiheleva funkio. Lause 2.2.4 Karamaan esiyslause i Funkio L on hiaasi vaiheleva, jos ja vain jos funkiolla on seuraava esiys Lx = cxexp s εsds, x >, 2. missä c : R + R +, ε : R + R + ja lim cx = c,, sekä lim ε =. ii Funkio f : R + R + on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, jos ja vain jos on olemassa funkioia cx ja αx sien, eä fx = cxexp αd, 2. ja lim cx = c, sekä lim α = α. 6

Todisus: i " ": Jos on olemassa posiiivise funkio c ja ε, joille cx c ja ε sien, eä kaava 2. päee, niin Lx lim L = lim cx x c exp s εsds. Koska funkio ε lähesyy nollaa, kun kasvaa rajaa, on olemassa sien, eä mielivalaiselle ε > päee ε < ε < ε, jos >, joen x x s εsds < ε Alarajaksi saadaan vasavasi x ds = εlogx log = εlogx. s εsds > εlogx. s Ylä- ja alaraja eivä riipu enää :sä, joen lim x εsds =, eli s lim x exp s εsds =. Tällöin päee myös Lx L, jos, oisin sanoen funkio L on hiaasi vaiheleva. " ": Karamaan lauseen lause 2.2. nojalla päee xlx Ld, kun x 2., koska L on säännöllisesi vaiheleva indeksillä. Aseamalla εx = Lx x Ld päee lim εx = ja εd = = log L Lsdsd Lsds log d Sovelamalla eksponenifunkioa puoliain saadaan exp εd = Lsds x Lsds, 7 Lsds logx.

josa seuraa esiys missä Lx = lim cx = lim Lsds xlx exp Lsds xlx Lsds Lsds = εd, Lsds,. ii " ": Oleeaan, eä funkio fx voidaan kirjoiaa samassa muodossa kuen kaavassa 2.. Tällöin päee fx lim f = lim cx x c s αsds, jossa lim α = α, eli on olemassa ε > ja s sien, eä kaikilla s s on α ε < αs < α+ε, joen α εlogx x s αsds α+εlogx. Tukimalla funkion fx f raja-arvoa huomaaan, eä fx on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α. " ": Oleeaan, eä funkio fx on säännöllisesi vaiheleva. Tällöin voidaan kirjoiaa fx = x α Lx missä Lx on hiaasi vaiheleva funkio. Kohdan i nojalla fx = x α Lx = x α x cxexp εd = cxexp x εd+αlogx = cxexp ε+α d, missä ε+α α, kun, joen funkiolla fx on samankalainen esiys kuen kaavassa 2.. Jokaiselle säännöllisesi vaihelevalle hänäfunkiolle voidaan esiyslauseen nojalla löyää sellainen esiys. 8

Esimerkki 2.2.5 Olkoon saunnaismuuuja X edelleen Pareo-jakauunu samoilla paramereillä kuen aiemmin. Tällöin saadaan Fx = = K α K αx = α exp αlogx K +x K +x xk αexp α K +x d, α missä K K+x K α <, kun x, joen hänäfunkiolle on olemassa samanlainen esiys kuen esiyslauseessa. Eriyisesi säännöllisesi vaihelevien hänäfunkioiden apauksessa seuraava lemma on mielenkiinoinen, sillä se määrää supiseun saunnaismuuujan odousarvon käyäyymisä rajankäynnissä. Lauseen 4.. odisuksessa sovelleaan Karamaan lause käyämällä sama ulosa. Lemma 2.2.6 Olkoon Z saunnaisuuuja kerymäfunkiolla Fz ja olkoon saunnaismuuujan hänäfunkio säännöllisesi vaiheleva indeksillä α,α >. Jos p > α, niin eli lim kun x on arpeeksi suuri. Todisus: Fubinin lauseen nojalla z p dfz = = p = p = p z zp dfz = α x p Fx p α, z p dfz α p α xp Fx, py p dydfz = p y p Fy Fxdy y p Fydy pfx y p Fydy Fxx p. y p dfzdy y y p dy Funkio y p Fy on säännöllisesi vaiheleva indeksillä p α, joen Karamaan lauseen nojalla yp Fydy on säännöllisesi vaiheleva indeksllä 9

p α. Karamaan lauseen nojalla päee edelleen lim Lopula saadaan lim x p Fx p yp Fydy = p lim yp dfy p = lim x p Fx yp Fydy x p Fx xx p Fx yp Fydy = p α. 2.2 p xp Fx = p x p Fx p α = α p α, joen väie on odiseu. Kaava 2.2 päee myös, kun p = α. Sovelleaan jälleen Pareo-jakaumaa lemmaan. Esimerkki 2.2.7 Olkoon edelleen X Pareoα, K. Lemman nojalla päee indeksillä α säännöllisesi vaihelevalle hänäfunkiolle lim xfx = α+, Fydy mikä saadaan myös laskemalla osamäärää xfx x K K+x Fydy = α K α K+x α+ K α+ α+ = K +x α+ α+ K +x α+ K α+ KK +x α α+ K +x α+ α+. K α+ 2.3 Fuk-Nagaev -epäyhälö Päälauseen lause 4.. odisuksessa sovelleaan vielä oisa ärkeää yksiuloeisa ulosa, Fuk-Nagaev -epäyhälöjä. Nämä epäyhälö odisiva D. Kh. Fuk ja S. V. Nagaev vuonna 97. Fuk-Nagaev -epäyhälö anava erilaisia hänäodennäköisyyksien ylärajoja saunnaiskululle, jossa yksiäisen saunnaismuuujien odousarvo on nolla. Nämä epäyhälöiä voidaan sovelaa kaikille yksiuloeisille saunnaiskuluille, jos siirreään saunnaismuuujia odousarvon verran, joa uuden saunnaismuuujan odousarvo ulee olemaan nolla. Tämä luku perusuu pääosin arikkeleihin [4] ja [7]. Oleeaan koko luvussa, eä X i,i =,...,n ova riippumaomia saunnaismuuujia kerymäfunkioilla F i x. Olkoo x >,y i >, kun i =,...,n ja y max i y i. 2

Lause 2.3. Fuk-Nagaev -epäyhälö Olkoo X i,i =,...,n riippumaomia saunnaismuuujia kerymäfunkioilla F i x, joille EX i =. Olkoo edelleen 2, < α < ja β = α. i Jos niin missä max,log βxy n yi x df i x + PS n x e n αxy x2 df i x, 2.3 PX i y i +P, 2.4 P = exp β x y α n yi x 2 y ja missä PS n x xdf ix y log βxy n yi x df i x + PX i y i +P 2, 2.5 P 2 = exp β α x 2 y β x n y ii Toisaala, jos niin max,log PS n x βxy n yi x df i x + xdf ix y > log e n 2 n PX i y i +exp αx αx e n βxy n yi x df i x +. αxy x2 df i x, 2.6. x2 df i x 2.7 xdf ix Todisus: Todisuksessa arkasellaan apauksia < h < y ja hy > erikseen, missä h on posiiivinen vakio. Määriellään kuienkin ensin rajoieu saunnaismuuuja X i = { Xi jos X i y i jos X i > y i 2

missä i =,...,n ja S n = Koska rajoieu saunnaismuuuja X i on aina pienempi ai yhä suuri kuin saunnaismuuuja X i, päee { { } } { } Sn y = X i y X i y = {S n y}. Jos X j > y j jollain j {,...,n}, niin S n < S n, joen apahumasa {S n y} seuraa aina joko apahuma { S n < S n } ai apahuma { S n y} ai molemma. Siksi päee X i. PS n x P S n < S n +P S n x. Huomaaan, eä apahuma { S n < S n } on sama kuin yhdise n { X i < X i }, joen PS n x PX i y i +P S n x. Olkoon ny h >. Tällöin päee odennäköisyydelle P S n x Ee h S n Ee h S n S n x e hx P S n x, joen P S n x e hx Ee h S n. Yleisesi päee Ee h X i = Ee h X i X i y i +Ee h X i X i > y i = Ee hx i X i y i +E X i > y i e hx df i x+ df i x = I +I 2. x y i x>y i Jos x >, niin exponenifunkion sarjaesiyksen nojalla päee +x+ x2 2 < ex < +x+ x2 2 ex, 22

joen Bolzanon lauseen nojalla on olemassa θ sien, eä e x = +x+ x2 2 eθx ja siksi päee I df i x+h xdf i x+ x y i x yi h2 2 x y i x 2 e hxθ df i x. Oleeaan ensin, eä hy, eli hy i kaikilla i =,...,n. Tällöin saadaan Ee h X i +h xdf i x+ x yi h2 2 ehy iθ x 2 df i x x y i +h xdf i x+ x yi h2 2 e x 2 df i x. x y i Saunnaismuuujien X i riippumaomuudesa seuraa myös rajoieujen saunnaismuuujien X i riippumaomuus. Riippumaomuuden nojalla päee Ee h S n = n Ee h X i sillä +x e x. Siis P S n x exp h jos < h y. n +h xdf i x+ x yi h2 2 e x 2 df i x x y i n exp h xdf i x+ x yi h2 2 e x 2 df i x x y i = exp h xdf i x+ x yi h2 2 e x 2 df i x, x y i x yi xdf i x+ h2 2 e x 2 df i x hx, x y i 2.8 Tarkasellaan seuraavaksi apausa, jossa hy >. Olkoo edelleen h > 23

ja 2. Funkio fy = y e hy hy on aidosi kasvava, jos y h, eli h y, sillä f y = y e hy hy+y he hy h = y he hy y ehy + +h h >. y Olkoon i sellainen, eä hy i >. Tällöin päee aikaisempien arkaselujen ja oleuksen h > y i nojalla Ee h X i +h xdf i x+ x yi h2 2 = +h xdf i x+ h2 2 +h h x y i x 2 e hxθ df i x xdf i x+ h2 h 2 e +h xdf i x+ h2 2 e x 2 e hxθ df i x+ h x 2 df i x+ ehy hy y x 2 df i x+ ehy hy y e hx hx x df i x x h sillä funkio fx on aidosi kasvava alueella h,. Saunnaismuuujien X i riippumaomuuden nojalla päee eli jos h > y. Ee h S n n +h + ehy hy exp h y + ehy hy y P S n x exp h + ehy hy y xdf i x+ h2 2 e x df i x xdf i x+ h2 2 e x 2 df i x x 2 df i x x df i x, 2.9 xdf i x+ h2 2 e x df i x hx, x 2 df i x x df i x x df i x, 24

Määriellään seuraavaksi funkioia ah ja bh, joa voidaan kirjoiaa odennäköisyyden PS n > x yläraja niiden funkioiden avulla. Olkoo ah = 2 e h 2 bh = ehy hy y x 2 df i x αhx x df i x βhx, missä < α < ja β = α kuen aiemmin ja aseeaan αx h = e n x2 df i x ja h 2 = y log βxy n yi x df i x +. 2.2 On helppo nähdä, eä jos h > y päee, niin PS n x PX i y i +exp ah+bh+h xdf i x. 2.2 Ennen kuin arkasellaan kohdan i ylärajoja, osoieaan kohdan ii yläraja. Todiseaan yläraja 2.7, eli ukiaan ilannea, jossa eho 2.6 päee. Tällöin päee joko h y ai h 2 h > y. Jos h y päee, seuraa epäyhälösä 2.8 aseamalla h = h P S αx n x exp e n xdf i x x2 df i x + αx2 e n x2 df i x 2e 2 n x2 df i x 2 hx exp αx αx 2 n xdf ix e n, x2 df i x josa saadaan suoraan 2.7. Jos oisaala päee h 2 h > y, niin saadaan yläraja 2.7 ukimalla funkioia ah ja bh arkemmin. Funkion ah minimikoha on h = h, sillä a h = e h x 2 df i x αx = h = 25 e n αx x2 df i x = h

ja a h = e x 2 df i x >, joen ah on konveksi funkio. Funkion bh minimikoha on h = h 2, koska b h = y ye hy y x df i x βx Edelleen päee e hy = βxy n x df i x + h = h 2. b h = ehy n x df i x y 2 >, joen myös funkio bh on konveksi. Sen lisäksi on helppo nähdä, eä a = b =. Funkion bh konveksisuuden nojalla päee bh < kun h 2 h, sillä = b bh 2 bh. Funkiolle ah päee ah = = e 2 n α 2 x 2 yi x2 df i x 2 α 2 x 2 2e n x2 df i x. 2 e Aseamalla kaavassa 2.2 h = h saadaan ah +bh +h xdf i x α 2 x 2 2e n x2 df i x + αx e n = αx αx/2 n xdf ix e n, x2 df i x x 2 df i x n e n xdf ix x2 df i x josa seuraa suoraan yläraja 2.7. Koha ii on odiseu. Osoieaan vielä kohdan i yläraja. Jos eho 2.3 päee, niin [ βxy ] max,log n yi x df i x + αxy e n x2 df i x, 26 α 2 x 2 yi x2 df i x

joen saadaan h 2 h. Ny on joko h > h 2 > y ai h > y h 2. Huomaaan ensin, eä ensimmäisessä apauksessa e h 2y y x df i x = βx y, joen aseamalla h = h 2 saadaan kaavasa 2.2 ah+bh+h = h 2 e 2 h 2 +h 2 h 2 e 2 h +h 2 xdf i x x 2 df i x x xdf i x xdf i x = βx y + αx 2 x βx y + α x+ 2 + eh 2y h 2 y y x 2 df i x x + βx y h 2 y n x df i x y + = βx y βxh 2 α 2 xh 2 +h 2 βx y αx 2y βx+ x df i x x df i x xdf i x h 2 xdf i x h 2 2.22 xdf i x xdf i x h 2, 2.23 sillä h 2 h, α 2 = β + α 2 ja h 2 y. Sijoiamalla 2.2 epäyhälöihin 27

2.22 ja 2.23 saadaan ah+gh+h βx y + α x+ 2 βx y αx 2y βx+ xdf i x xdf i x y log xdf i x y log βxy n x df i x + βxy n x df i x + joisa seuraava yläraja 2.4 ja 2.5 käyäen epäyhälöä 2.2. On vielä osoieava eä sama yläraja päevä myös apauksessa h > y h 2. Tällöin päee 2 e h 2 2 joen x 2 df i x h 2 x < h 2 e h 2 2 e h 2 2 < h 2 x 2 df i x h 2 x+h 2 xdf i x α 2 x., α x 2 df i x x = 2 xh 2, xdf i x Aseamalla kaavassa 2.8 h = h 2 saadaan äskeisen arkaselujen nojalla P S n x exp h 2 exp β x y α 2 x y n xdf i x α 2 xdf ix y log x βxy n yi x df i x +, josa seuraa suoraan 2.4. Ylärajan 2.5 odisamisessa oleeaan ensin, 28

eä βx n xdf ix. Tällöin 2 2y 2e x 2 df i x x y + y < e h x 2 df i x x 2 y + y = α 2 x+ xdf i x y = xdf i x βx h 2 αx 2y, xdf i x xdf i x xdf i x βx y αx 2y joen aseamalla epäyhälössä 2.8 h = y saadaan yläraja 2.5. Toisaala, jos βx < n xdf ix ja β α 2 niin P 2 >, joen yläraja 2.5 päee riviaalisi. Väiee on siis odiseu. Kuen jo aiemmin mainiiin, sovelleaan Fuk-Nagaev -epäyhälöiä suuren poikkeamien päälausessa. Siksi arkasellaan vielä mien lauseen odisuksessa käyey ulos seuraa ylläolevisa epäyhälöisä. Seuraus 2.3.2 Olkoon 2,β = +2 ja α = β. Tällöin PS n x PX i y i +exp max β x n y βxy log n yi x df i x +, αxαx/2 n e n xdf ix y xdf ix x2 df i x 2.24 αxαx/2 n yi PX i y i +exp xdf ix e n x2 df i x +exp β x n y xdf ix βxy log y n yi x df i x + Todisus: Huomaaan, eä P 2 :n eksponenissa oleva ensimmäinen ermi on nolla, jos valiaan β = +2, sillä β α 2 = +2 2 +2 =. Yhdisämällä ylärajoja 2.5 ja 2.7 saadaan ylärajaksi 2.24 ja siiä seuraa suoraan 2.25. 2.25 29

Seuraus 2.3.3 Jos EX = ja n x df i x <, jollain 2, niin PS n x x +2 x df i x+exp Todisus: Markovin epäyhälön avulla saadaan joen 2x 2 2+ 2 e n VarX i y i x df i x = EX X > y i > Ey i X > y i = y ipx > y i, y PX > y i i x df i x yi. Aseamalla y = = y n = y = βx seuraa edellisesä seurauksesa PS n x n + PX i > y i +exp βxy x df i x PX i > βx+exp + n βx x df i x βx βx = +exp x +2 βx βx y x df i x+ 2e n α 2 x 2 yi x2 df i x 2 2+ 2e n βx 2x 2 βx x2 df i x x df i x 2x 2 2+ 2 e n x2 df i x x df i x+exp missä käyeään viimeisessä epäyhälössä y x 2 df i x x 2 df i x = VarX i,. 2x 2 2+ 2 e n VarX, i sillä EX i =. 3

Fuk-Nagaev -epäyhälöiden ai niiden seurauksien sovelamisessa arviaan saunnaismuuuja, jonka odousarvo on nolla. Mone paksuhänäise saunnaismuuuja ova kuienkin posiiivisia, joen konsruoidaan jakauma, jonka odousarvo on nolla aseamalla uusi saunnaismuuuja paksuhänäisen jakauman ja sen odousarvon erouksena. Esimerkki 2.3.4 Sovelleaan edellisä seurausa Pareo-jakaumalle. Olkoon Z Pareoα,K, missä α > 2 ja K >. Esimerkissä 2.. nähiin, eä EZ = K K α. Valiaan siksi saunnaismuuuja X = Z α, joen saadaan EX =. Saunnaismuuujan X iheysfunkio on sien PX = x = P Z = x+ K α = αk α K α. K + K α+ +x Valiaan = 2, joen piää varmisaa, eä X:n oinen momeni on olemassa, joa voidaan sovelaa seurauksa. Esimerkissä 2.. laskeiin myös Pareojakauuneen saunnaismuuujan oinen momeni. Tämän laskun peruseella saadaan siirreylle saunnaismuuujalle = x 2 αk α K K + K α+ +x α dx = 2K α α α 2 2K α α α 2 α α+ Kα α = 2 α 2 α α α α K ja saunnaismuuujan X varianssille päee VarX = VarZ = αk 2 α 2 α 2. K + K α α Valiessa seurauksessa esiinyviä paramereja α = β = 2 huomaaan odennäköisyydelle, eä saunnaiskulku yliää ieyn kiinnieyn rajan x >, eli PS n > x:n yläraja PS n > x = 2 4 2x 2 2n Kα 2 α α α α +exp 2x 2 4 2 e 2 n αk 2 α 2 α 2 8n Kx 2 α 2 α α α α +exp x2 α 2 α 2 8e 2 nαk 2. Jos valiaan esimerkiksi α = 3, K =, niin PS n > x 64n 8x 2 +exp x2 6e 2. n 3

3 Säännöllinen vaihelu Laajenneaan seuraavaksi säännöllisen vaihelun käsie saunnaisvekoreihin ja anneaan yleisiä uloksia. Tässä luvussa määriellään säännöllisesi vaiheleva saunnaisvekori ja arkasellaan, mien moniuloeinen säännöllinen vaihelu liiyy saunnaisvekorin komponenien säännölliseen vaiheluun. Pääläheenä käyeään eriyisesi oisessa alaluvussa [6]. 3. Epämääräinen suppeneminen Joa pysyään määrielemään vasaava säänöllinen vaihelu d-uloeisessa avaruudessa, johdaaan ensin miaeorian yleisiä määrielmiä, kuen Hausdorff-avaruus ja Radon-mia. Olkoon ässä luvussa H kompaki lokaalinen opologinen avaruus, jolla on numeroiuva kana. Kompaki lokaalinen opologinen avaruus on sellainen avaruus, eä jokaisella x H on olemassa kompaki ympärisö. Olkoon sen lisäksi BH avaruuden H Borel-joukkojen viriämä σ-algebra. Esimerkiksi avaruude R ja R d ova ällaisia kompaki lokaalisia opologisia avaruuksia. Määrielmä 3.. Topologisa avaruua H kusuaan Hausdorff-avaruudeksi, jos jokaisella a,b H,a b on olemassa a:n ympärisö U ja b:n ympärisö V sien, eä U V =. Jokainen merinen avaruus on Hausdorff-avaruus. Hausdorff-avaruudessa määriellään sien Radon-mia. Määrielmä 3..2 Miaa µ kusuaan Radon-miaksi, jos µk < kaikilla kompakeilla joukoilla K. Merkiään joukko ei-negaiivisia Radon-mioja symbolilla M +, eli M + H = {µ : µ on ei-negaiivinen Radon mia BH:lla}. Keskeinen käsie moniuloeisen säännöllisen vaihelun määrielmässä on epämääräinen suppeneminen. Epämääräinen suppeneminen määriellään jakuvien ja kompakikanaisen funkioiden avulla. Jakuva funkio on kompakikanainen, jos on olemassa kompaki joukko K sien, eä fx = kaikilla x K c. Määrielmä 3..3 Ei-negaiivinen Radon-mia µ n suppenee epämääräisesi vague kohi µ:ä, jos fxdµ n x fxdµx kaikilla f C n H + K H, H 32

missä C + K H = {f : H R + : f on jakuva ja kompakikanainen}. Merkiään µ n v µ, jos µn suppenee epämääräisesi kohi µ:ä. 3.2 Määrielmä Ennen kuin määriellään moniuloeinen säännöllinen vaihelu, anneaan vielä yksi sokasiseen suppenemiseen liiyvä lemma. Lemman odisus jäeään pois. Sen löyyy kuienkin läheen [9] lauseen 4.3 odisuksesa. Lemma 3.2. OlkoonX i,i =,2,... jono riippumaomia saunnaismuuujia vasaavilla kerymäfunkioilla F i x ja olkoon a n jono posiiivisia lukuja sien, eä a n, kun n kasvaa rajaa. Jos a n P X i, missä P arkoiaa sokasisa suppenemisa, niin ja a n P X i a n n E X i [,an] X i n. Saunnaisvekoreille voidaan määriellä samankalainen säännöllinen vaihelu kuin saunnaismuuujille. Määrielmä 3.2.2 Saunnaisvekori X R d on säännöllisesi vaiheleva, jos on olemassa posiiivinen jono a n eli a n > kaikilla n, jolla a n, kun n ja ei-negaiivinen Radon-mia µ σ-algebrassa BR d \, jolla µr d \R d = ja npa n X v µ BR d \:ssa, jos n. Silloin kirjoieaan X RVa n,µ,r d \. 33

Jono a n voidaan aina valia seuraavalla avalla. Merkiään symbolilla G saunnaismuuujan X = X 2 + + X d 2 kerymäfunkio. Valiaan kaikilla n > a n = G { = inf s R + : Gs }, n n joen saadaan np X > a n, kun n. Huomauus 3.2.3 Jos X on säännöllisesi vaiheleva, oisin sanoen X RVa n,µ,r d \, niin päee yleisesi PX u P X > u v cµ BR d \:ssa, jos n. Jos valiaan huomauuksessa u = a n, saadaan, eä c =, koska np X > a n, kun n. Kuen yksiuloeisessa apauksessa, voidaan myös moniuloeisessa apauksessa määriellä samankalainen säännöllisen vaihelun indeksi. Lemma 3.2.4 Jos saunnaisvekori X on säännöllisesi vaiheleva, eli X RVa n,µ,r d \{}, niin on olemassa α > sien, eä µub = u α µb kaikilla u > ja B R d \{}. Silloin kirjoieaan X RVα, µ. Moniuloeisen säännöllisen vaihelun vaihoehoisessa määrielmässä, joka anneaan lemman odisuksen jälkeen, ukiaan Borel-joukkoja avaruudessa S d, missä S d = {x R d : x = }, eli S d on avaruuden R d yksikköpallo käyäen euklidisa meriikkaa. Merkinnöllä V r,s arkoieaan joukkoa { V r,s = x R d x } : x > r, x S, missä r > ja S BS d. Lemman 3.2.4 odisus: Olkoon a n posiiivinen jono kuen määrielmässä ja olkoon S BS d sellainen, eä jollain r > päee µ V r,s =. 34

Tällaise S ja r ova olemassa, koska µ on Radon-mia. Olkoon edelleen U = {u [, : µ uv r,s = }. Oleeaan aluksi, eä µv r,s >. Määriellään funkio f,g : R + R +, fx = PX xv r,s ja gx = µxv r,s. Tällöin päee kaikilla u U nfua n = npx a n uv r,s v µuv r,s = gu, kun n. Jos x a valiaan = x sien, eä a x < a +. Funkio f on ei-kasvava, eli ehdosa x y seuraa fx fy, joen fua + fa fux fx fua fa + ja +fua+ + fa gu g kaikilla u U ja samanlaisella avalla saadaan vasaava yläraja. Kaikilla u U päee siis fux fx gu g. fux gu Olkoon ny ĝu = limsup fx, u >, oisin sanoen ĝu = g, jos u U. Huomaaan myös, eä ĝ on aina ykkösä pienempi ai yhäsuuri kaikilla u, koska fux fx jos x on posiiivinen. Sen lisäksi päee limsup u + ĝu, jos u lähesyy ykkösä ylhäälä. Läheen [2] lauseen.4.3. nojalla s. 8 ällöin on olemassa α R sien, eä kaikilla u > päee fux fx uα, oisin sanoen µuv r,s = u α µv r,s kaikilla u >. Oleeaan seuraavaksi µv r,s = ja osoieaan, eä siiä seuraa myös µv u,s = kaikilla u >. Oleeaan edelleen, eä on olemassa r,r jolla µv r,s >. Tällöin on olemassa r,r sien, eä µv r,s > ja µ V r,s =. Yllä olevien pääelyjen nojalla seuraa sien Valisemalla u = r r saadaan µuv r,s = u α µv r,s kaikilla u >. = µv r,s = r r αµvr,s > 35

mikä on risiriia. Siis kaikilla µ-jakuvilla joukoilla V r,s on olemassa α R sien, eä kaikilla u > päee µuv r,s = u α µv r,s. On vielä osoieava, eä α ei riipu joukosa V r,s. Määriellään siksi funkio λv r,s = µuv r,s µuv,s d. Oleeaan, eä r > ja S BS d. Tällöin αv r,s = logµv r,s logµuv r,s /logu = log µv r,s logu µv r,s log µuv r,s µuv r,s +logµv r,s logµuv r,s = log λv r,s logu λv r,s log λv r,s λv r,s +αv r,s logu = αv r,s, eli α ei riipu joukosa V r,s. Jouko V r,s r >, S BS d muodosava π-syseemin, joka viriää joukon BR d \ R d, joen kaikilla B BR d \ R d päee µub = u α µb. Sen lisäksi, koska µr d \R d =, edellinen kaava päee myös joukoille B BR d \. Radon-mian ominaisuudesa seuraa, eä α on olava ei-negaiivinen, ja edelleen koska µr d \R d =, päee α >. Näin ollen väie on odiseu. Kirjallisuudessa käyeään usein myös oisa määrielmää, missä on kyse heikosa suppenemisesa, eli suppenemisesa jakauman mielessä. Molemma määrielmä ova kuienkin ekvivaleneja. Lemma 3.2.5 Olkoon X R d saunnaisvekori. Seuraava ehdo ova yhäpiäviä. i X on yllä olevan määrielmän mukaan säännöllisesi vaiheleva. ii On olemassa α > ja odennäköisyysmia σ joukolla BS d sien, eä kaikilla x > kun u. P X > ux,x/ X P X > u w x α σ BS d :ssa, Tää lemmaa ei odisea ässä. Lemman odisus löyyy esimerkiksi läheessä [6] sivulla 2. Osassa kirjallisuudesa esieään ämä määrielmä odennäköisyysmian sijaan saunnaismuuuja Φ avulla. 36

Huomauus 3.2.6 Edellisen lemman apauksessa on olemassa yksikäsieinen saunnaisvekori Φ S d, jolla σb = PΦ B kaikilla B BS d. Anneaan esimerkki moniuloeisesa säännöllisesä vaihelevasa saunnaisvekorisa. Tässä ei määriellä saunnaisvekoria komponenien avulla, vaan posiiivisen saunnaismuuujan ja yksikköympyrään kuuluvan saunnaisvekorin ulona. Esimerkki 3.2.7 Olkoon X = RU missä R R + on posiiivinen saunnaismuuuja, joka on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α, α >, ja U on saunnaisvekori avaruudessa S. Oleeaan, eä R U. Tällöin päee P X > ux, X X P X > u = = RU P RU > ux, RU P RU > u = P R > ux, U U P R > u P R > ux PU P R > u x α PU, kun u sillä U =, R = R ja R ja U ova riippumaomia. Saunnaisvekori X on siis lemman 3.2.5 nojalla säännöllisesi vaiheleva indeksillä α. Oleeaan jakossa, eär PareoK,α, missäk > jaα > 2. Ensimmäisen määrielmän nojalla saadaan mia µv r,s valisemalla jono a n = n α. Tällöin päee npa n X V r,s = npr > a n rpu S K αpu = n S r α PU S = µv K +rn r,s, α n kun n kasvaa rajaa. Täsä nähdään suoraan, eä kuen lemmassa 3.2.4 odeiin. µv r,s = µrv,s = r α V,S Kuen jo aikaisemmin mainiiin on olemassa yheys moniuloeisen ja yksiuloeisen säännöllisen vaihelun välillä. Moniuloeisesa säännöllisesä vaihelusa seuraa, eä jokainen komponeni on säännöllisesi vaiheleva. 37

Lause 3.2.8 Olkoon X R d saunnaisvekori. Jos X on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α > kuen kohdassa ii lemmassa 3.2.5, niin jokainen saunnaisvekorin lineaarikombinaaio on säännöllisesi vaiheleva samalla indeksillä α, oisin sanoen kaikilla vekoreilla x raja-arvo P x,x > lim α = wx L on olemassa sien, eä on olemassa vekori x, jolla wx >. Funkio L on kuen aiemmin hiaasi vaiheleva funkio ja symbolilla, arkoieaan avallisa sisäuloa. Lauseen odisusa ei esieä ässä, mua lause on osoieu arikkelissa [] lause.. Huomaaan, eä funkio wx riippuu vekorisa x. Voi olla, eä wx = jollain x, mua on olemassa aikakin yksi vekori x sien, eä wx >. Esimerkiksi jos joku komponeni X j on posiiivinen, niin w e j =. Lauseesa seuraa, eä jos saunnaisvekori X on säännöllisesi vaiheleva, niin jokainen saunnaisvekorin komponeni on myös säännöllisesi vaiheleva. Huomauus 3.2.9 Valisemalla x = e i, missä e i on i:n yksikkövekori, seuraa edellisesä lauseesa, eä jokainen saunnaisvekorin X komponenin hänäfunkio on säännöllisesi vaiheleva. On helppo nähdä, eä PX i > x lim PX i > P e i,x > x = lim P e i,x > = lim P e i,x > x x α Lx = x α we i we i = x α, α x α L P e i,x > joen saunnaismuuuja X i on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α. 3.3 Esimerkkejä Tarkasellaan vielä muuamia moniuloeisia säännöllisesi vaihelevia saunnaisvekoreia. Kuen jo yksiuloeisessa apauksessa ukiaan ensin Pareojakaumaa. Esimerkki 3.3. Tukiaan ilanea, jossa saunnaisvekorin komponeni ova äysin korreloiuina. Olkoon X = X,X 2 R 2 missä X = X 2 noudaaa Pareo-jakauma paramereillä α > 2 ja K >. Yksinkeraisuuden 38

nojalla arkasellaan odennäköisyyden npλ n X A rajakäyäyymisä, kun joukko A on suorakulmio, eli A = a,b] c,d], missä a,b,c,d >. Huomaaan ensin, eä apahuma {X a,b] c,d]} on sama kuin apahuma{x maxa,c,minb,d] maxa,c,minb,d]}, koskax = X 2. Valisemalla λ n = n α saadaan np λ n X a,b] c,d] = np λ n X maxa,c,minb,d] = n Fλ n maxa,c Fλ n minb,d = n α K K +λ n minb,d K K +λ n maxa,c n n α α α maxa,c n α minb,d = maxa,c α minb,d α, α joen voidaan määriellä Radon-mia µa,b] c,d] = maxa,c α minb,d α ja saunnaisvekori X on säännöllisesi vaiheleva, eli X RVn α,µ,r d +. Lemman 3.2.4 nojalla on olemassa moniuloeisen säännöllisen vaihelun indeksi, jolla päee µua = u α µa. Tukiaan joukon ua miaa, missä A on yksinkeraisuuden nojalla neliö A = a, b] a, b]. Tällöin päee µua = µua,b] a,b] = µua,ub] ua,ub] = ua α ub α = u α µa, joen saunnaisvekorin säännöllisen vaihelun indeksi on kuen yksiuloeisessä apauksessa α. Tämä seuraa myös lauseesa 3.2.8. Toinen esimerkki arkaselee ilannea, jossa molemma vekorin komponeni ova oisisaan riippumaomia. Esimerkki 3.3.2 Olkoon kuen ennen X = X,X 2 R 2 missä X,X 2,X ova riippumaomia ja samoin Pareo-jakauuneia saunnaismuuujia paramereillä α > 2 ja K >, ja olkoon joukko A suorakulmio. Tällöin saadaan valisemalla λ n = n 2α suurilla n:n arvoilla np λ n X a,b] c,d] = np λ n X a,b] P λ n X c,d] = n Faλ n Fbλ n Fcλ n Fdλ n K α K α K α K α = n K +λ n a K +λ n b K +λ n c K +λ n d aλ n α cλ n α cλ n α dλ n α = a α b α c α d α. 39

Voidaan siis valia µa,b] c,d] = a α b α c α d α ja näin ollen saunnaisvekori on säännöllisesi vaiheleva, eli X RVn 2α,µ,R d +. Kuen edellisessä esimerkissä nähdään helposi, eä saunnaisvekorin säännöllisen vaihelun indeksi on edelleen α. Anneaan vielä esimerkki, jossa ei määriellä saunnaisvekoria komponenien kaua. Palaaan esimerkkiin 3.2.7. Esimerkki 3.3.3 Olkoon kuen aiemmin X = RU R 2 missä saunnaismuuuja R ja saunnaisvekori U ova oisisaan riippumaomia. Olkoon R Pareo-jakauunu paramereilla K > ja α > 2. Saunnaisvekori U määriellään funkion ft = cost,sint avulla, missä T Tas[,2π. Olkoon a,b [,2π, a < b ja S = {cos,sin : [a,b}. Tällöin joukko S on väli ykkösympyrällä ja PU S = PfT S = PT [a,b = b a 2π. Määrielmän mukaan saadaan valisemalla a n = n α joukon V r,s mia, sillä npa n X V r,s = npru a n V r,s = npr > a n rpu S K αb a = n K +a n r 2π r αb a n 2π = µv r,s, jos S on kuen aikaisempi määriely ja r >. Saunnaisvekori X on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α ai X RVn α,µ,r d. Saunnaisvekorin U asajakaumasa seuraa, eä saunnaisvekori X on jokaiseen suunaan paksuhänäinen, sillä X:n paksuhänäisyys riippuu ainoasaan Pareo-jakaumasa, eikä U:n jakaumasa. 4

4 Suure poikkeama Tässä viimeisessä luvussa anneaan moniuloeiseen säännölliseen vaiheluun liiyvä päälause, joka käsielee suuria poikkeamia. Sen jälkeen sovelleaan lausea erilaisiin esimerkkeihin. 4. Suuren poikkeamien päälause Tämä luku perusuu arikkeliin [5]. Tässä arkasellaan paksuhänäisiä moniuloeisiä saunnaiskulkuja ja niiden suuria poikkeamia. Moniuloeinen saunnaiskulku on prosessi S n, jolla S =, S n = Z + +Z n, n, jossa Z,Z i ova riippumaomia ja samoin jakauuneia saunnaisvekoreia R d :ssa. Oleeaan sen lisäksi, eä Z on säännöllisesi vaiheleva. Lause 4.. Olkoon Z RVα,µ ja jono λ n sien, eä λ n ja λ λ λ n S n, α < 2 n S n, λ n / n +γ jollain γ >, α = 2 n S n, λ n / nlogn, α > 2. Sien päee kaikilla γ n Pλ n S [n] n µ BR d \:ssä, missä γ n = np Z > λ n. Lauseessa esiinyy kolme eri apausa. Ensimmäinen apaus, missä α < 2 arkoiaa siä, eä saunnaisvekorin komponenien varianssi eivä ole olemassa. Toisessa apauksessa, missä α = 2, ainakin komponenien odousarvo ova olemassa. Vain silloin, kun α > 2, ova sekä ensimmäise eä oise momeni äärellisiä. Sovelluksissa vain viimeinen apaus on kiinnosava, koska muuen on kyse jakaumasa, jonka varianssi ei ole olemassa. Usein voidaan valia λ n = n. Tällöin päee sekä λ n / n +γ, jollain γ > kaikilla < γ < eä λ n / nlogn, joen niiä ehoja ei arvise arkisaa erikseen. Ennen kuin odiseaan edellinen lause, odiseaan vielä apulemma, joa sovelleaan odisuksessa. 4

Lemma 4..2 Olkoon Z sellainen saunnaismuuuja, jolla E Z <. Tällöin päee kaikilla p 2 E Z E Z p 2 p+ E Z p. Todisus: Kolmioepäyhälön nojalla päee Z E Z Z + E Z. Jos saunnaismuuujan iseisarvo yliää odousarvon iseisarvon, eli Z > E Z, niin Z + E Z 2 Z, joen Z E Z p 2 p Z p. Toisaala jos saunnaismuuujan ja sen odousarvon iseisarvojen suuruusjärjesys on oisinpäin, eli Z E Z, saadaan vasaavasi Z E Z p 2 p E Z p. Lausekkeen Z E Z odousarvolle päee E Z E Z p E Z E Z p Z E Z +E Z E Z p Z < E Z 2 p E Z p Z E Z +2 p E E Z p Z < E Z 2 p E Z p +2 p E E Z p 2 p E Z p +2 p E E Z p = 2 p+ E Z p, missä viimeinen epäyhälö seuraa Jensenin epäyhälösä, sillä funkio p on konveksi. Lauseen odisuksessa käyeään merkinää B ε = {x R d \{} : y x ε,y B} jollekin Borel-joukolle B R d \{} ja ε >. Lauseen 4.. odisus: Todiseaan vain apaus, jossa =. Rajoieaan ensin γ n Pλ n S A ylhäälä, jossa / A ja A:n reuna on nollamiainen, eli µδa =. Silloin Pλ n S n A Pλ n Z i A ε jollain i =,,n +Pλ n S n A,λ n Z n / A ε kaikilla i =,...,n npλ n Z A ε +Pλ n S n Z i > ε kaikilla i =,...,n = I +I 2 42

Raja-arvolle lim n γ n I saadaan γ n I = npλ n Z A ε = PZ λ na ε np Z > λ n P Z > λ n huomauuksen 3.2.3 nojalla, joen v µa ε, kun n lim lim γ ni = limµa ε = µa = µa, 4. ε n ε sillä µδa =. Seuraavaksi ukiaan oisen lausekkeen raja-arvoa lim n γ n I 2, missä I 2 = P S n Z i > ελ n kaikilla i =,...,n. Siksi kiinnieään δ > ja jaeaan koko avaruus kolmeen pareiain erilliseen osajoukkoon B,B 2 ja B 3 sen mukaan, kuinka monille saunnaismuuujille päee Z i > δλ n. Avaruuden jako on seuraava B = { Z i > δλ n, Z j > δλ n }, B 2 = i<j n n { Z i > δλ n, Z j δλ n,j i,j =,...,n}, B 3 = { max,...,n Z i δλ n }, eli ensimmäisessä joukossa on kaikki apahuma, joille ainakin kahdelle saunnaisvekoreille päee Z i > δλ n, oisessa joukossa ova ne apahuma joille sama eho päee asan yhdelle saunnaisvekorille ja viimeisessä joukossa ova ne apahuma, joilla Z i δλ n kaikilla i =,...,n. Helposi nähdään, eä γ n PB = P i<j{ Z i > δλ n, Z j > δλ n } np Z > λ n = o. Merkiään apahuma C = { S n Z i > ελ n kaikilla i =,...,n}. Tällöin PC B 2 n { = P C Zi > δλ n, Z j δλ n,j i,j =,...,n } = { Sn P Z i > ελ n kaikilla i =,...,n } k= { Z k > δλ n, Z j δλ n,j k,j =,...,n } P{ S n Z k > ελ n, Z k > δλ n = I 3. k= 43

Saunnaisvekori Z i ova riippumaomia, joen päee myös S n Z k Z k. Siksi viimeinen ermi on yhäsuuri kuin I 3 = np S n > ελ n P Z > δλ n = γ n P S n > ελ n = oγ n. Viimeiselle osajoukoille päee PC B 3 = P { S n Z i > ελ n kaikilla i =,...,n} { max Z i δλ n },...,n P S n > ελ n, Z δλ n,..., Z n δλ n P S n > ελ n, Z δλ n,..., Z n δλ n = P S n 2 + + S d n 2 > ελ n, Z δλ n,..., Z n δλ n P S n + + Sd n > ελ n, Z δλ n,..., Z n δλ n d P S j n > ελ n d, Z δλ n,..., Z n δλ n j= d j= P S j n > ελ n d, Zj δλ n,..., Z j n δλ n, kolmioepäyhälön nojalla. Ny on siis osoieava, eä P S j n > ελ n d, Zj δλ n,..., Z j n δλ n = o np Z j > λ n, 4.2 kaikilla j =,...,d. P kaikilla j =,...,d Oleuksesa λ P n S n seuraa ensinnäkin λ n S n j ja lemman 3.2. nojalla seuraa suoraan valisemalla a n = δλ n, eä nλ n E Z [,δλn] Z kaikilla kiinnieyillä δ >. Väieen 4.2 odisamiseen voidaan oleaa, eä d =. Muuen saadaan 44

sama ulos valisemalla sopiva ε >. Ny päee P S n > ελ n, max Z i δλ n,...,n = P Z 2 + + Z n 2 > ελ n, Z i δλ n, kaikilla i =,...,n P Z 2 [,δλn] Z + +Zn 2 [,δλn] Z n > ελ n 2 P Z [,δλn] Z + +Z n [,δλn] Z n > ελ n P Zi [,δλn] Z i EZ nez [,δλn] Z [,δλn] Z + > ελ n P Zi [,δλn] Z i EZ ελ n [,δλn] Z >, 2 missä viimeinen epäyhälö seuraa siiä, eä nλ n EZ [,δλn] Z < ε, jos n on arpeeksi suuri. Merkiään jakossa kakaisua saunnaismuuujaa symbolilla Z i = Z i [,δλn] Z i. Fuk-Nagaevin epäyhälöihin liiyvän seurauksen nojalla seuraus 2.3.3 voidaan arvioida P Zi E Z ελ n > 2 = P = = Zi E Z > ελ n 2 +P ελ n E Z Zi > 2 p p ελn p E Z i E Z i p Z i E Z i p+2 2 +exp p + p+2 +exp 2 ελn 2 2 2+p 2 e p n Var Z i E Z i p ελn p E E Z i 2 Z i p E Z i Z i 2 ελn 2 2 2+p 2 e p n VarE Z i Z i p p ελn p E Z i E Z i p +2exp p+2 2 pε pλ p n ne Z i E Z i p +2exp 2p+2 45 ε 2 λ 2 n 22+p 2 e p n ε 2 λ 2 n 22+p 2 e p nvar Z i Var Z i = I 4 +I 5

Edellisen lemman nojalla saadaan joen I 4 pε 2p+2 E Z i E Z i p 2 p+ E Z i p, p2 p+ λ p n ne Z i p = cλ p n ne Z i p, missä c on posiiivinen vakio. Karamaan lauseen seurauksesa seuraus 2.2.6 saadaan ermillee Z i p jos p > α, E Z p [,δλn] Z α p α δλ n p P Z > δλ n, josnon arpeeksi suuri. Tukiaan ensin yläräjan lausekkeenγ n cλ p n ne Z p + γ n I 5 ensimmäisa osaa, eli suhdea cλ p n ne Z p [,δλn] Z. np Z > λ n Jos p > max2,α päee = lim limsup δ n cα p α cλ p n ne Z p [,δλn] Z lim limsup δ n np Z > λ n δλ n p P Z > δλ n λ p np Z > λ n sillä Z on säännöllisesi vaiheleva indeksillä α. ce Z p [,δλn] Z = limlimsup δ n λ p np Z > λ n cα = lim p α δ δp α =, Ylärajan oisa osaa arkasellaan kaikille kolmelle apaukselle erikseen, sen mukaan kuinka paksuhänäinen jakauma on, eli mikä momeni ova olemassa. Merkiään jakossa c = ε 2 22+p 2 e p. i Tarkasellaan ensin sovellusen kannala kiinnosavina kohaa, eli apausa, jossa α 2 ja VarZ <. Jos α > 2 seuraa, eä VarZ <, mua ämä ei päde välämää jos α = 2, joen silloin arviaan lisäoleus VarZ <. Saunnaismuuujan Z varianssin olemassaolosa seuraa, eä myös kakaisun saunnaismuuujan varianssi VarZ [,δλn] Z on olemassa, ja siksi päee suurilla n:n arvoilla ja sopivalla posiiivisella vakiolla c 2exp cλ 2 n nvarz [,δλn] Z np Z > λ n 46 2exp cc λ2 n n n λ α n, n

koska λ n nlogn, eli lim sup n 2exp cλ 2 n nvarz [,δλn] Z np Z > λ n =. 4.3 ii Tapauksessa, jossa α, 2 käyeään Karamaan lausea. Huomaaan ensin, eä nλ 2 n VarZ [,δλn] Z = n λ 2 EZ 2 n [,δλn] Z n λn 2 EZ [,δλn] Z, 2 missä viimeiselle ermille päee n λ 2 n EZ [,δλn] Z 2 lemman 3.2. nojalla, kun n kasvaa rajaa. Siksi voidaan sovelaa Karamaan lausea, joen saadaan nλ 2 n VarZ [,δλn] Z c np Z > λ n, valisemalla p = 2 seurauksessa 2.2.6, missä c on posiiivinen vakio. Suurilla n:n arvoilla päee siis exp cλ 2 n nvarz [,δλn] Z np Z > λ n kun n, joen 4.3 päee. exp c np Z >δλ n np Z > λ n, n iii Jos α = 2 ja VarZ =, niin P Z > λ n on säännöllisesi vaiheleva indeksillä 2 ja VarZ [,δλn] Z on hiaasi vaiheleva. Oleuksen λ n n +γ/2 jollain γ > nojalla päee exp cλ 2 n nvarz [,δλn] Z np Z > λ n exp c λ2 n n, n λ 2 n jos n on arpeeksi suuri, joen saadaan edelleen 4.3. Näisä arkaseluisa ja kaavasa 4. seuraa lim sup n Pλ n S n A np Z > λ n µaε µa kun ε, 4.4 kaikilla µ-jakuvilla joukoilla A, joilla / A, joen yläraja on odiseu. 47