Takaperäiset stokastiset dierentiaaliyhtälöt, niiden rahoitusteoreettisia sovelluskohteita ja johdatus Itô-analyysiin

Transkriptio

1 Takaperäise sokasise diereniaaliyhälö, niiden rahoiuseoreeisia sovelluskoheia ja johdaus Iô-analyysiin Topias Tolonen 13. joulukuua 217 Pro gradu -ukielma Maemaiikan ja ilasoieeen laios Ohjaaja: Dario Gasbarra Helsingin yliopiso

2 Tiedekuna Fakule Faculy Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna Tekijä Förfaare Auhor Kouluusohjelma Ubildningsprogram Degree programme Maemaiikan kouluusohjelma Topias Tolonen Työn nimi Arbees iel Tile Takaperäise sokasise differeniaaliyhälö, niiden rahoiuseoreeisia sovelluskoheia ja johdaus Iô-analyysiin Työn laji Arbees ar Level Aika Daum Monh and year Sivumäärä Sidoanal Number of pages Pro gradu -ukielma Tiiviselmä Refera Absrac Joulukuu s. Tukielma keroo akaperäisisä sokasisisa differeniaaliyhälöisä, joiden ukimus käynnisyi laajamiaisesi vasa 199-luvulla maemaaikkojen Eienne Pardoux ja Peng Shige oimesa. Mielenkiino näiä yhälöiä kohaan on kasvanu nopeasi sen jälkeen, kun myös akaperäisillä sokasisilla differeniaaliyhälöillä nähiin rahoiuseoreeisia sovelluskoheia esimerkiksi opioiden suojaussraegioissa. Tukielman painopise on eoreeinen, ja ukielman suuressa osassa on lukijan johdaelu niin kusuun Iôanalyysin maailmaan. Todisamme läheisiin nojauuen useia uloksia, joisa keskeisimpänä on yleisen Iôn inegraalin olemassaolo, akaperäisen sokasisen differeniaaliyhälöiden rakaisujen olemassaolo- ja yksikäsieisyyslause sekä näiden yhälöiden yheys eurooppalaisen oso-opion hinnoieluun. Aloiamme ukielman Anders Haldin kirjoihin perusuen keraamalla odennäköisyyslaskennan ja ilasoieeen hisoriaa, ja nykypäivää lähenyessä moivoimme lukijan ensiksi Iô-analyysin ja sien sokasisen differeniaaliyhälöiden maailmaan. Toisessa luvussa määrielemme yleisen odennäköisyysavaruuden ja alamme rakenamaan odennäköisyyslaskennallisa maailmaa ämän pohjala. Luvun aikana luomme pala palala arpeen erilaisille odennäköisyyslaskennan käsieille, määrielemme Lebesguen inegraalin ja odousarvon ja arkaselemme saunnaismuuujajonojen raja-arvoja. Siirrymme nopeasi sokasisen prosessien käsielyssä arviaviin yökaluihin, kuen maringaaleihin ja filraaioihin. Lopuksi siirrymme käsielemään Brownin liikeä, jonka määrielemme kolmella eri avalla. Kolmannessa luvussa esielemme Iôn inegraalin ja peruselemme sen arpeen ja esielemme neliöheilahelun käsieen yhdessä Iôn lemman kanssa. Näiden jälkeen siirrymme luonevasi kohi moniuloeisa Iô-inegraalia, kunnes lopula peruselemme inegraalin määrielmän yleisille inegrandeille. Luvun lopussa alamme käsielemään sokasisia differeniaaliyhälöiä diffuusioprosessien lähökohdisa. Yhälön esielyn jälkeen pääsemme sokasisen differeniaaliyhälöiden ärkeiden uloksien olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseiden piiriin. Rakaisun olemassaolon odisamisen jälkeen käymme läpi ominaisuuksia näille yhälöille, ennen kuin siirrymme kohi akaperäisiä yhälöiä. Takaperäise sokasise differeniaaliyhälö (lyhenneään TSDY asuva kuvaan luvussa neljä. Tarkaselemme luvussa avanomaisa akaperäisä sokasisa differeniaaliyhälöä. Tarkaselemme ongelman mielekkyyä ja peruselemme yhälöiden arvea. Nopeasi siirrymme arkaselemaan, mien generaaorin muoo vaikuaa yhälöön ja sen rakaisuihin. Tämän jälkeen esielemme Pardoux'n ja Pengin kuuluisan uloksen näiden yhälöiden rakaisun olemassaolosa ja yksikäsieisyydesä. Olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseen jälkeen esielemme akaperäisen sokasisen differeniaaliyhälöiden verailulauseen, ja lopulla arkaselemme yhälöiden rakaisuja löyhemmillä oleuksilla. Viimeisessä luvussa siirrymme arkaselemaan eräsä akaperäisen sokasisen differeniaaliyhälöiden ärkeinä sovelluskohdea: rahoiuseoriaa. Esielemme klassisen rahoiuseorian Black ja Scholes -markkinamallin ja avaamme ämän maailman sokasisen differeniaaliyhälöiden silmin. Todisamme uloksen, missä yhdiseään eurooppalaisen opion arvo akaperäisen sokasisen differeniaaliyhälön rakaisuihin ja mallinnamme hinaiheysprosessin $\Gamma$. Lopuksi osoiamme, eä ällaisen eurooppalaisen opion arvo ulee akaperäisen sokasisen differeniaaliyhälöiden avulla äsmällisesi samaan hinaan kuin Black ja Scholes -arikkelissa osoieiin. Avainsana Nyckelord Keywords Sokasiikka, rahoiuseoria, akaperäise sokasise differeniaaliyhälö, Iô-inegraali, sokasinen analyysi, odennäköisyyslaskena, finanssimaemaiikka Säilyyspaikka Förvaringsälle Where deposied Kumpulan iedekirjaso, HELDA Muia ieoja Övriga uppgifer Addiional informaion

3 Sisälö 1 Johdano 3 2 Todennäköisyysavaruuden konsruoinnisa Brownin liikkeeseen Todennäköisyysavaruuden määriely Kasaus odousarvoon, Lebesgue-inegraaleihin, niiden ominaisuuksiin ja raja-arvoihin L p -avaruude Saunnaismuuujien raja-arvoisa Työkaluja sokasisen prosessien käsielyyn Filraaio Ehdollinen odousarvo ja johdano sokasisiin prosesseihin Pysäyysaika ja maringaali Brownin liike Iô-analyysin alkee ja sokasise diereniaaliyhälö Iôn perinö sokasisessa analyysissä Iôn sokasise inegraali ja Iôn lemma Neliöheilahelu ja yksiuloeinen Iô-inegraali Kovariaaio ja moniuloeinen Iôn lemma Yleinen Iô-inegraali Sokasisen diereniaaliyhälöiden perusee Olemassaolo- ja yksikäsieisyyslause sekä Markoviaaninen ominaisuus 37 4 Takaperäise sokasise diereniaaliyhälö (TSDY: Yhälön määrielmä ja mielekkyys Nollageneraaori ja lineaarinen generaaori Rakaisun olemassaolo ja yksikäsieisyys Rakaisujen verailu Generaaori ilman Lipschiz-ominaisuua

4 5 Takaperäise sokasise diereniaaliyhälö rahoiuseoriassa Rahoiuseorian peruskäsieiä ja eurooppalaisen opioiden hinnoelu TS- DY:n viiekehyksessä

5 Luku 1 Johdano Todennäköisyyslaskena on perineisesi ollu maemaaikkojen ja kuninkaiden mielissä aina siiä lähien kun noppapeleisä on lyöy veoa rahaa vasaan. Tällaisissa ilaneissa raionaalise ihmise ohjeisava maemaaikkoa laskemaan parhaan vedonlyönisraegian ieyille peleille. Aniikin ilanne noppapelien odousarvoisissa voioissa ja nykymaailman ilanne niin uhkapelien kuin rahoiuksen saralla ei ole kovin erilainen: haluamme yhä nykypäivänä mallinaa saunnaisuua pelaajien, sijoiajien ai ieeen hyödyksi. Todennäköisyyslaskena alana on verraain nuori [1][2]: 17-luvulla Bernoulli ( pysyi laskemaan saoja monimukaisia odennäköisyyksiä ja mallinamaan suuren lukujen lain. 18-luvulla aas Gauss ( ja Laplace ( edisivä ilasoiedeä valavin harppauksen: normaalijakauma mallinneiin, pienimmän neliösumman meodi löydeiin, momenigeneroiva funkio luoiin ja hypoeesien esausa aleiin arkenaa. Kuienkin vasa 19-luvulla ilasoieeen ja odennäköisyyslaskennan yheys alkoi paljasua iedemaailmalle, kun Kolmogorov ( vuonna 1933 julkaisi arikkelinsa odennäköisyyden aksioomisa. Nämä aksiooma loiva perusan maemaaisesi eheille odennäköisyysavaruuksille, ja vuosisaa oli valmis: Markovin kejujen eoria, Brownin liikkeen mallinaminen ja iedeyheisön ulinen debai bayesiläisen ja frekvenisisen odennäköisyysulkinnan välillä muui odennäköisyyslaskennan ikuisiksi ajoiksi. Tukielman kannala oleellisin hisoria päiväyyy vuodelle 195, kun nuori Alber Einsein julkaisi saunnaisuua koskevan arikkelin Annalen der Physik -leheen. Arikkelissa esiinyi aikainen vaihe sokasisen diereniaaliyhälöiden eoriaan. Vauhiin sokasisen prosessien ja sokasisen diereniaaliyhälöiden ukimus pääsi vuosina , kun Kiyosi Iô ( julkaisi kaksi seminaariyöä liiyen odennäköisyyslaskenaan ja sokasisiin prosesseihin. Työ liiyivä Karl Weiersrassin ( Weiersrassin funkioon sien, eä Weiersrassin funkioa joka oli kaikkialla jakuva mua ei missään derivoiuva pideiin 18-luvulla vain ja ainoasaan maemaaisena kuriosieeina. Kuienkin Iôn aikaan iedeyheisö alkoi ymmärää, eä ällaisilla funkioilla on sovelluk- 3

6 sia rahoiuseoriassa ja osakehinojen mallinamisessa. Näin synyi arve niin kusuulle Iô-analyysille, joka käsielee ei-derivoiuvien ja jakuvien funkioiden analyysiä. Tukielman aihe, akaperäise sokasise diereniaaliyhälö, on myös odennäköisyyslaskennan viiekehyksessä uusi ala. Vuonna 1973 Jean-Michel Bismu (1948- esieli ensimmäisenä alkuperäisen akaperäisen sokasisen diereniaaliyhälön. Tämän jälkeen vuonna 199 Eienne Pardoux (1947- ja Peng Shige (1947- odisiva yleisen akaperäisen sokasisen diereniaaliyhälön rakaisun olemassaolon. Tämän jälkeen akaperäisen sokasisen yhälöiden eoriaa on yhdisey muun muassa osiaisdiereniaaliyhälöihin ja jälleen kerran euperäisiin sokasisiin diereniaaliyhälöihin. Toisessa luvussa määrielemme yleisen odennäköisyysavaruuden (Ω, F, P, ja alamme rakenamaan odennäköisyyslaskennallisa maailmaa ämän pohjala. Luvun aikana luomme pala palala arpeen erilaisille odennäköisyyslaskennan käsieille, määrielemme Lebesguen inegraalin ja odousarvon ja arkaselemme saunnaismuuujajonojen raja-arvoja. Siirrymme nopeasi sokasisen prosessien käsielyssä arviaviin yökaluihin, kuen maringaaleihin ja lraaioihin. Lopuksi siirrymme käsielemään Brownin liikeä B, jonka määrielemme kolmella eri avalla. Kolmannessa luvussa esielemme Iôn inegraalin S fdb s, peruselemme sen arpeen ja esielemme neliöheilahelun käsieen yhdessä Iôn lemman kanssa. Näiden jälkeen siirrymme luonevasi kohi moniuloeisa Iô-inegraalia, kunnes lopula peruselemme inegraalin määrielmän yleisille inegrandeille. Luvun lopussa alamme käsielemään sokasisia diereniaaliyhälöiä diuusioprosessien lähökohdisa eli yhälösä dx = b (X d + σ (X db. Yhälön esielyn jälkeen pääsemme sokasisen diereniaaliyhälöiden ärkeiden uloksien olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseiden piiriin. Rakaisun olemassaolon odisamisen jälkeen käymme läpi ominaisuuksia näille yhälöille, ennen kuin siirrymme kohi akaperäisiä yhälöiä. Takaperäise sokasise diereniaaliyhälö (lyhenneään TSDY asuva kuvaan luvussa neljä. Tarkaselemme luvussa yhälöä { dy = f (Y, Z d + Z db, Y T = ξ, missä f on yhälön generaaori ja ξ niin kusuu erminaaliarvo. Tarkaselemme ongelman mielekkyyä ja peruselemme yhälöiden arvea. Nopeasi siirrymme arkaselemaan, mien generaaorin muoo vaikuaa yhälöön ja sen rakaisuihin. Tämän jälkeen 4

7 esielemme Pardoux'n ja Pengin kuuluisan uloksen näiden yhälöiden rakaisun olemassaolosa ja yksikäsieisyydesä [28]. Olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseen jälkeen esielemme akaperäisen sokasisen diereniaaliyhälöiden verailulauseen, ja lopulla arkaselemme yhälöiden rakaisuja löyhemmillä oleuksilla. Viimeisessä luvussa siirrymme arkaselemaan eräsä akaperäisen sokasisen diereniaaliyhälöiden ärkeinä sovelluskohdea: rahoiuseoriaa. Esielemme klassisen rahoiuseorian Black ja Scholes -markkinamallin ja avaamme ämän maailman sokasisen diereniaaliyhälöiden silmin. Todisamme uloksen, missä yhdiseään eurooppalaisen opion arvo akaperäisen sokasisen diereniaaliyhälön rakaisuihin ja mallinnamme hinaiheysprosessin Γ. Lopuksi osoiamme, eä ällaisen eurooppalaisen opion arvo ulee akaperäisen sokasisen diereniaaliyhälöiden avulla äsmällisesi samaan hinaan kuin Black ja Scholes -arikkelissa [6] osoieiin. 5

8 Luku 2 Todennäköisyysavaruuden konsruoinnisa Brownin liikkeeseen 2.1 Todennäköisyysavaruuden määriely Aloiamme odennäköisyysavaruuden käsieesä, sillä mielesämme jokainen odennäköisyyskäsieen ympärillä pyörivä kirjallinen kokonaisuus arvisee raameiksi odennäköisyysavaruuden ja johdaelun saunnaisuuden maemaaiseen mallinamiseen. Joissain läheissä rakenneaan arve neliöheilahelulle (engl. Quadraic Variaion, QV ja Iô:n kaavalle deerminisisesä näkökulmasa [31]. Näissä läheissä arve modernille sokasiselle analyysille perusellaan suoraan Brownin liikkeen (engl. Brownian Moion, BM polkuanalyysisä. Tässä analyysissä huomaaan nopeasi, eä Brownin liikkeen muodosama polku ei ole missään määrielyalueellaan inegroiuva niin sanoun klassisen analyysin mielessä [17]. Tämä synnyää arpeen neliöheilahelun käsieelle. Kuienkin ässä ukielmassa lähdemme perineisesi liikkeelle odennäköisyysavaruuden rakenamisesa ja saunnaismuuujien yleisen ominaisuuksien esielyssä. Oleamme, eä esimerkiksi Durrein kirja [1] on lukijalle uu odennäköisyyseoreeisena esiieokokoelmana, mua eheän kokonaisuuden saamiseksi muodosamme lyhyen ja kaavan esielyn saunnaisilmiöiden mallinnuksesa. Saunnaisilmiöiden mallinnuksen aloiamme ässä ukielmassa σ-algebran käsieellä, ja jakamme siiä kohi yleisiä odennäköisyysavaruuksia: Määrielmä 2.1. Olkoon Ω epäyhjä joukko. Tällöin joukon Ω sigma-algebra F on kokoelma Ω:n osajoukkoja, jolle päee 1. F 2. jos A F, niin A C = Ω\A F 6

9 3. jos A i F kaikilla i N, niin i N A i F, missä N on numeroiuva joukko. Sigma-algebran käsie vaadiaan maemaaisesi eheän odennäköisyysavaruuden luomiseksi. Paria (Ω, F kusuaan mialliseksi avaruudeksi. Määrielmä 2.2. Olkoon pari (Ω, F miallinen avaruus. Tällöin kuvaus P : F [, 1] on odennäköisyysmia, mikäli sille päee 1. P ( = 2. jos A i F, i N ova erillisiä, niin P ( i N A i = i N P (A i 3. P (Ω = 1. Tripleiä eli kolmikkoa (Ω, F, P kusuaan odennäköisyysavaruudeksi. Kusumme joukkoja F F apahumiksi [37], ja kaikki jouko F Ω ova niin kusuusi F- miallisia. Eriyisesi, odennäköisyyslaskennan viiekehyksessä (2.3 P (F = odennäköisyys sille, eä apahuma F apauu. Tässä vaiheessa ei ole olennaisa, miä äsmällisesi arkoiamme apahuman odennäköisyydellä saunnaiskokeessa 1. Eriyisesi, jos P (F = 1, sanomme eä apahuma F apahuu odennäköisyydellä 1 eli melkein varmasi (m.v, engl. almos surely (a.s. [27], ja vasaavasi jos P (F =, niin apahuma on mahdoon nollamiallisuuden mielessä. Edelleen, kusumme alkeisapauksiksi perusjoukon Ω alkioia ω Ω, ja nämä alkeisapaukse koosava apahuma F F. R n :n avoinen osajoukkojen kokoelma. Tällöin joukkoko- Määrielmä 2.4. Olkoon T koelma Borelin perheen (2.5 B = B(R n = {F 2 Rn : F on sigma-algebra, T F} alkioia kusuaan Borel-joukoiksi. B on siis pienin niisä R n :n σ-algebroisa, joka sisälävä R n :n avoime osajouko. Borel-jouko sisälävä kaikki avoime jouko, kaikki suljeu jouko, kaikki numeroiuva yhdisee suljeuisa joukoisa ja kaikki numeroiuva leikkaukse vasaavisa numeroiuvisa joukoisa R n :ssä. Palaaan ny aikaisemmin mainiun miallisuuden määrielyyn. 1 Eriyisesi ns. frekvenisinen ja bayesiläinen näkökulma saunnaiskokeen uloksen odennäköisyyksiin ova mielekkäiä käyännön arkaselussa. Tukielman eoreeisessa viiekehyksessä olemme yyyväisiä siihen, eä rakenamamme odennäköisyysmia liiää apahumiin odennäköisyyde inuiiivisessa mielessä. Todennäköisyyskäsieen ulkinnasa lisää esimerkiksi Andrei Khrennikovin kirjassa Inerpreaions of Probabiliy (de Gruyer, 2. painos, 29 [21]. 7

10 Määrielmä 2.6. Jos kolmikko (Ω, F, P on odennäköisyysavaruus, niin funkioa Y : Ω R n kusuaan F-mialliseksi, jos (2.7 Y 1 (U = {ω Ω : Y (ω U} F kaikille Borel-joukoille U R n. Tarvisemme myös keinon liiää arkaselavan saunnaisilmiön realisoiunee ulokse numeerisiin miareihin, ja ähän käyämme kirjallisuudessa yleisesi vakiinunua saunnaismuuujan käsieä. Määrielmä 2.8. Reaaliarvoisa kuvausa X kusuaan saunnaismuuujaksi, jos jokaiselle Borel-joukolle B R päee (2.9 X 1 (B = {ω : X(ω B} F. Saunnaismuuuja on siis F-miallinen funkio X(ω = Ω F. Jakossa käyämme saunnaismuuujalle lyhyä merkinää X(ω = X. Lisäksi jokainen saunnaismuuuja X viriää jakauman P X. Määrielmä 2.1. Saunnaismuuujan X viriämää odennäköisyysmiaa P X kusuaan (saunnaismuuujan X jakaumaksi, jos kaikille Borel-joukoille B päee (2.11 P X (B = P (X 1 (B. 2.2 Kasaus odousarvoon, Lebesgue-inegraaleihin, niiden ominaisuuksiin ja raja-arvoihin Oleellisena osana odennäköisyyslaskennan yökalupakkia on saunnaismuuujan X Lebesguen inegraali 2, joka voidaan määriellä kolmella askeleella saunnaismuuujan odousarvon käsieen avulla [31]. Ensiksi määrielemme odousarvon yksinkeraiselle diskreeille saunnaismuuujalle: Määrielmä Muooa X = n i=1 α i1 Ai, α i R, A i F olevan 3 saunnaismuuujan odousarvo ja vasaavasi Lebesguen inegraali on (2.13 E(X = X(ωdP (ω := α i P [A i ]. Ω i 2 Tämän ukielman viieessä arvisemme inegraalin vain saunnaismuuujan X suheen, minkä akia ämä lähesymisapa on mielekäs. 3 Muisuuksena, eä merkinnällä { 1 Ai arkoiamme saunnaismuuujaan X(ω liiyvää indikaaorifunkioa, eli arkemmin 1 Ai = 1, jos ω A i, jos ω / A i 8

11 Selkeyden vuoksi sanoakoon, eä yleensä kirjoiamme edellisen inegraalin lyhenneynä muodossa Ω XdP. Olkoon E kaikkien diskreeejen saunnaismuuujien joukko. Seuraavaksi konsruoimme inegraalin kaikille niille (jakuville saunnaismuuujille, joka ova monoonisen diskreeien saunnaismuuujien raja-arvoja eli joukolle (2.14 E := {X : u 1 u 2..., u n E, u n X}. Ny määrielemme ällaiselle raja-arvosaunnaismuuujalle X E seuraavasi: (2.15 XdP := lim u n dp. Ω n Ω Kolmanneksi eli viimeiseksi inegraalin konsruoinnissa käyämme mielivalaiselle saunnaismuuujalle X hajoelmaa X = X + X, missä X + = sup(x, ja X = sup( X,. Äskeisen peruseella X +, X E. Seuraavaksi määrielemme yleisen Lebesguen inegraalin: jos E(X + < ai E(X <, niin (2.16 XdP = X + dp X dp, Ω eli odennäköisyyslaskennan mielessä saunnaismuuujan X odousarvo on (2.17 E(X = E(X + E(X. Ω Esielen ny muuamia Lebesguen inegraalin ja samalla odousarvon ominaisuuksia lyhyesi [31], joa voimme jakossa nojauua yleisimpiin raja-arvoihin ja epäyhälöihin. Näihin raja-arvouloksiin palaamme seuraavissa kappaleissa. Lemma Lebesguen inegraaleilla on seuraava ominaisuude: (a Lineaarisuus: Joillekin vakioille a R n, b R n ja saunnaismuuujille X, Y päee (2.19 (ax + by dp = a XdP + b Y dp. Ω (b Lisäksi saunnaismuuujan X posiiivisuudesa seuraa inegraalin posiiivisuus: (2.2 X > (ai X XdP > (vasaavasi XdP, ja lisäksi (2.21 Ω Ω XdP > P (X > >. 9 Ω Ω Ω Ω

12 (c Lebesguen inegraalille päee myös ns. Beppo Levin eoreema eli monooninen suppeneminen: Olkoon {X n } n=1 kasvava jono saunnaismuuujia. Ny jonolle on olemassa raja-arvo (2.22 X = lim x X n E, ja edelleen (2.23 lim X n dp = x Ω Ω Ω lim X ndp = x Ω XdP. (d Faoun lemma. Vasaavasi kuin yllä, olkoon {X} n=1 jono saunnaismuuujia mikä on alhaala rajoieu eli X > C jollekin vakiolle C. Ny (2.24 lim inf X ndp lim inf X n dp, n n ja vasaavasi ylhäälä rajoieulle saunnaismuuujajonolle (2.25 lim sup X n dp lim sup X n dp. n n Ω (e Viimeisenä ässä lisau ominaisuus inegraalille esieään odousarvon muodossa: Jensenin epäyhälön mukaan jos X on inegroiuva saunnaismuuuja R:ssä, ja f : R R konveksi 4 funkio 5, niin (2.26 f(e(x E(f(X. Todisus. Sivuueaan, sillä nämä ominaisuude ova esiely inegraalin sovelamisarpeia ajaellen ja odisaminen laajenaisi ukielmaa arpeeomaksi. Todisukse löyyvä esimerkiksi läheesä [1]. Lebesguen inegraaleilla on monia vahvuuksia perineisiin Riemann-inegraaleihin nähden, mua eriyisesi raja-arvoeoreema saunnaismuuujille peruseleva Lebesguen inegraalin käyön sokasiikan koneksissa 6. Siirrymme seuraavaksi käsielemään niin kusuua L p -avaruua, joa voimme hyödynää rakenamaamme inegraalia esimerkiksi raja-arvokysymyksissä. 4 Sanomme, eä funkio on konveksi, jos kaikille x 1, x 2 R d ja [, 1] päeef(x 1 + (1 x 2 f(x 1 + (1 f(x 2. 5 Merkinnällä R arkoiamme ns. laajenneua reaalilukujen joukkoa R = [, ] 6 Aiheesa lisää esimerkiksi läheessä [27], mua arkaselemme saunnaismuuujien raja-arvoja myöhemmin ukielmassa. 1 Ω Ω

13 2.2.1 L p -avaruude Käsielemme lyhyesi L p -avaruuksia (1 p < ja niiden ominaisuuksia. L p -avaruuden olemassaolo ja L p -normin määriely ässä avaruudessa on ärkeää esimerkiksi neliöinegroiuvuuden käsieen vuoksi. Määrielmä Avaruudella L p (Ω arkoiamme kaikkien niiden saunnaismuuujien X kokoelmaa ripleissä (Ω, F, P, joille päee (2.28 E( X p < jollekin 1 p <. Jos X L p, niin L p -normi on (2.29 X p = (E( X p 1 p. Tällä L p -normilla on muun muassa seuraava ominaisuude: Lemma 2.3. (a Hölderin epäyhälö saunnaismuuujien L p -normeille: olkoon X L p (Ω ja Y L q (Ω, missä 1/p + 1/q = 1. Ny ( 1 ( 1 (2.31 X Y dp X p p dp Y q q dp <. Ω Ω Ω (b Jos p < q, niin L q L p. (c Avaruus L p (Ω osoiauuu normieuksi vekoriavaruudeksi, sillä X, Y L p (Ω X + Y L p (Ω ja edelleen p-normeille päee kolmioepäyhälö X + Y p X p + Y p. L p -avaruuksien ärkeä erikoisapaus odennäköisyyslaskennan mielessä on apaus p = 2. Sanomme, eä L 2 -avaruuden alkio ova neliöinegroiuvia, ja ässä avaruudessa voimme määriellä skalaariulon. Määrielmä Neliöinegroiuville saunnaismuuujille X, Y skalaariulo määriellään inegraalina (2.33 X, Y = XY dp, josa seuraa (2.34 X 2 = X, X. Edelleen, ny saamme Hölderin epäyhälölle 2.3 muodon (2.35 X, Y = XY dp X 2 Y 2. Ω 11 Ω

14 2.2.2 Saunnaismuuujien raja-arvoisa Kuen kappaleen 2.2 alussa mainisimme, Lebesguen inegraalin ärkeimmä vahvuude löyyvä saunnaismuuujien raja-arvoeoreemisa. Ny määrielemme niisä yleisimmä. Olkoon seuraavissa määrielmissä X saunnaismuuuja ja {X n } n=1 =: X n saunnaismuuujajono odennäköisyysavaruudessa (Ω, F, P. Määrielmä Sanomme, eä jono X n suppenee kohi saunnaismuuujaa X P - melkein varmasi (m.v., engl. almos surely, a.s. jos (2.37 P ({ω : X n (ω X(ω} = 1. Tällöin sanomme, eä X n X P m.v. Määrielmä Sanomme, eä jono X n suppenee odennäköisyys-mielessä kohi saunnaismuuujaa X, jos jokaiselle ε > (2.39 lim n P ( X n X > ε = ja ällöin merkisemme P lim X n = X. Määrielmä 2.4. Olkoon X n L p (Ω:ssä jollekin 1 p <. Tällöin X n suppenee kohi saunnaismuuujaa X L p :ssä, jos (2.41 lim n X n X p =. Tällöin merkisemme X n X L p :ssä. Määrielmä Jono X n suppenee jakaumamielessä ai heikosi (engl. in disribuion, weakly, jos jollakin merisellä avaruudella E jakuvalle ja rajoieulle funkiolle f : E R päee (2.43 lim f(x n dp n = lim f(xdp. n Ω n n Ω Tällöin kirjoiamme X n f X, Xn d X ai X n X heikosi. Saunnaismuuujien suppenemiseen liiyy olennaisesi ärkeä apuulos Borel-Canellin lemma.. Esielemme sen vielä ennen siirymisä sokasisiin prosesseihin. Lemma (Borel-Canell Jos jollekin apahumajonolle A n päee (2.45 P (A n <, n=1 12

15 niin 7 (2.46 P (lim sup A n =. n Todisus. Olkoon N = k 1 A k realisoiuneiden apahumien lukumäärä. Ny (2.47 E(N = k P (A k <, jolloin P -melkein varmasi N <, jolloin käsieen lim sup ulkinnan myöä ulos on odiseu. Ny kun olemme esiellee yleisiä raja-arvouloksia saunnaismuuujille, voimme aloiaa valmisauumisen sokasisen prosessien käsielyyn. Tämä on luonnollisa, sillä sokasise prosessi ova hyvin usein aikasidonnaisia ja niiden mielenkiinoisimma ominaisuude esiinyvä usein silloin, kun aika. 2.3 Työkaluja sokasisen prosessien käsielyyn Sokasise prosessi ova modernin sokasiikan olennaisimpia rakennuspalikoia. Tarvisemme niiden käsielyyn ns. prosessien hisoriaa ja havaiua informaaioa kuvaavien lraaioiden sekä niihin liiyvän ehdollisen odousarvon käsiee. Näiden jälkeen esielemme maringaalien käsieen ja pysähdysajan sokasisille prosesseille. Aloiamme arkaselun lraaioiden käsieesä ja eenemme luonevasi näiden avulla kohi sokasisen prosessien määrielyä, ja lopula voimme siiryä Brownin liikkeeseen Filraaio Todennäköisyysavaruuden hisoriaa eli aiemmin havaiua informaaioa kuvaaan usein lraaiolla: Määrielmä Sanomme, eä kasvava kokoelma F:n ali-σ-algebroja {F } on lraaio, jos 1. F on F:n ali-σ-algebra, joka sisälää kaikki P-yhjä jouko F:sä ja 2. kuvaus F on oikeala jakuva. 7 Muisuuksena lukijalle, eä lim sup n A n = lim m n=ma n. Jos apahuma A n ova perusjoukon Ω alkioia, voidaan lim sup A n ulkia niiden alkeisapauksien ω joukkona joka kuuluva ääreömän moneen apahumajonon A n alkioon. 13

16 σ-algebraa F voidaan kuvailla joukkona havaiavia 8 apahumia, ja vasaavasi F :ä ennen ajanhekeä havaiavien apahumien joukkoa. Filraaion myöä voimme oaa käsielyyn ns. hisoriaiedon omaavan eli laajenneun odennäköisyysriplein, joa kusumme sokasiseksi kannaksi. Määrielmä Sanomme nelikkoa (Ω, F, P, {F } sokasiseksi kannaksi (engl. Sochasic Basis, jos 1. (Ω, F, P on äydellinen odennäköisyysavaruus ja 2. {F } on sen lraaio. Lisäksi liiämme ällaiseen lraaioon σ-algebran P progressiivisesi miallisisa osajoukoisa Ω R + seuraavasi: Määrielmä 2.5. P = P(F on joukkojen A Ω R + σ-algebra sien, eä jokaiselle päee (2.51 A (Ω [, ] F B [,], missä laskuoimius viiaa vekoriavaruuksien F ja B [,] väliseen ensoriuloon Ehdollinen odousarvo ja johdano sokasisiin prosesseihin Ehdollinen odousarvo on ärkeä yökalu sokasisen prosessien rakenamisessa. Ehdollisella odousarvolla voimme laskea ja hahmoaa esimerkiksi saunnaismuuujan odousarvon jonkin ieyn apahuman apahumisen ehdolla 1. Tai yleisemmin voimme arkasella saunnaisprosessin kulkua jo aiemmin apahuneen apahuman luoman informaaion avulla. Tässä kappaleessa hyppäämme unemaomaan, kun määrielemme yleisen ehdollisen odousarvon orogonaalisena projekiona kuen Pardoux ja Rascanu kirjassaan [29] yhdelä odennäköisyysripleilä oiselle. Tämä vaaii kuienkin alusuksen kyseisille kolmikoille: Määrielmä Oleeaan, eä G ja H ova σ-algebran F ali-σ-algebroja odennäköisyysavaruudessa (Ω, F, P. Lisäksi yksinkeraisuuden vuoksi oleamme, eä G ja H sisälävä kokoelman kaikisa F:n P -yhjisä osajoukoisa. Tällöin saunnaismuuujan X 8 Tämä jälleen ns. saunnaisilmiöiden mielessä, eli saunnaisilmiön arpomisen jälkeen havaiavien apahumien joukkona. 9 Määriely esimerkiksi kirjan [29] sivulla Tämä voidaan esimerkiksi määriellä poseriorijakauman f X Y odousarvona E(X 14

17 ehdollinen odousarvo ehdolla G on orhogonaalinen projekio 11 avaruudesa 12 L 2 (Ω, F, P avaruudelle L 2 (Ω, G, P. Merkisemme ällaisa ehdollisa odousarvoa (2.53 E(X G. Huomion arvoisa ehdollisessa odousarvossa on, eä E(X G on saunnaismuuuja, oisin kuin aikaisemmin määriely ei-ehdollinen odousarvo E(X. Eriyisesi, E(X G on G-miallinen ja kaikille Y L 2 (Ω, G, P päee (2.54 E(Y X = E(Y E(X G, ja edelleen jos Y = 1, niin 13 (2.55 E(E(X G = E(X. Yhälöä 2.55 kusuaan ns. ieroiduksi odousarvoksi. Tukielman luoneen vuoksi jäämme ehdollisen odousarvon muu ominaisuude lukijalle uusuavaksi, eriyisesi kuen kirjassa [29] proposiio (1.28 ai laajemmin ansioiuneen kirjan [1] kappaleesa 5. Käyämme loppukappaleen sokasisen prosessien esielemiseen. Kuen ässä ukielmassa on ullu avaksi, arkoiuksenamme on esiellä sokasisen prosessien ydinkäsieisöä mielekkään kokonaisuuden luomiseksi, mua näiden arkemma jopa ärkeimmä ominaisuude ja käsiee jäämme muille läheille, eriyisesi kirjoihin [1] ja [33]. Koska emme käsiele kaikkia sokasisen prosessien ominaisuuksia ässä, lukijan ulee muihin läheisiin uusuessa eriyisesi kiinniää huomioa ydinkäsieisiin kuen Markovominaisuueen ja saionaarisuueen. Pyrimme avaamaan lisää ydinkäsieiä esimerkiksi Brownin liikkeen esielyn yheydessä. Määrielmä Olkoon X opologinen avaruus 14 ja T R d Borel-joukko. Kuvaus X : Ω T X on X-arvoinen sokasinen prosessi (engl. Sochasic Process, jos jokaiselle T X(, on X-arvoinen saunnaismuuuja. Lyhennämme jakossa merkinäapaa ja merkisemme X = X(,. Yksiäisiä saunnaisilmiön realisoiuja kuvauksia X(ω,, ω Ω, kusumme sokasisen prosessin poluiksi. Yleiseysi kusumme siis kaikkia ajasa riippuvia saunnaismuuujajonoja {X } sokasisiksi prosesseiksi. Joskus kirjallisuudessa sokasinen prosessi erminä 11 P -yhjien osajoukkojen sisälyminen ekee L 2 (Ω, G, P :sä L 2 (Ω, F, P :n ali-hilber-avaruuden [29] eli äydellisen sisäuloavaruuden [8]. 12 Lukijalle muisuuksena, eä jos X on saunnaismuuuja ja E( X 2 <, niin X L 2. Eriyisesi, L 2 -avaruude ova Hilberin avaruuksia [8]. 13 Alkiolla Y = 1 arkoiamme avaruuden yksikköalkioa, oisin sanoen kaikille avaruuden alkioille u päee 1u = u1 = u yleisen kerolaskuoimiuksen merkinnöin. 14 Kirja [3], määrielmä (2.1. Mielekäs määrielmä avoinen joukkojen avulla. 15

18 viiaa nimen omaan yksiuloieiseen prosessiin 15, mua jakossa ukielmassa viiaamme ermillä yleisesi kaikkiin sokasisiin prosesseihin, ja arkennamme käsieä arviaessa. Liiämme sokasisiin prosesseihin prosessin hisorian käsieen käeväsi lraaioiden avulla. Yhdisämme niin kusuun luonnollisen lraaion sokasiseen prosessiin X : Ω R + X, mikä on lraaio (2.57 F X = σ{x s : s } N, missä N on kokoelma P -yhjiä joukkoja algebrassa F, σ{x s : s } kuvaa joukon X s : s viriämää σ-algebraa ja edelleen relaaiosymbolilla arkoiamme pieninä sellaisa σ-algebraa, joka on muodoseu symbolia ympäröivien joukkojen yhdiseesä. Lisäksi sanomme yleisesi, eä sokasisa prosessia X : Ω R + X sanoaan P- progressiivisesi mialliseksi, jos X on (P, B X -miallinen kappaleen merkinöjen mukaisesi Pysäyysaika ja maringaali Ny esielemme lyhyesi pysäyysajan ja maringaalien käsiee ennen Brownin liikkeeseen siirymisä. Määrielmä Jos kiinniämme sokasisen kannan (Ω, F, P, {F} niin sanomme, eä saunnaismuuuja τ : Ω [, ] on pysäyysaika jos (2.59 {τ } = {ω Ω : τ(ω } F, kaikilla [, ]. Huomaamme, eä koska lraaio on oikeala jakuva funkio eli F = F +, niin määrielmä 2.58 voidaan esiää myös muodossa (2.6 τ on pysäysaika {τ < } F, kaikilla [, ]. Pysäyysaika τ ulkiaan aikana, milloin arkaselava sokasinen prosessi käyäyyy ieynlaisei, esimerkiksi saapuu ieyyn piseeseen. Maringaalien käsie on amerikkalaisen maemaaikon Joseph L. Doobin ( käsialaa. Maringaalien eoria on ärkeä yökalu analysoidessa jakuva-aikaisia saunnaismuuujien liikkeiä, sillä ne kerova olennaisa ieoa prosessien odousarvoisesa käyöksesä ulevina ajanhekinä. Esielemme myös Doobin maringaaliepäyhälön, mua maringaalien muua eoriaa vain nopeasi. Kaavamman kasauksen saamikseksi maringaalien eoriaan liiyen lukijan on syyä lähesyä esimerkiksi eoksia [13], [38] ai [27]. 15 Kaso esimerkiksi [29]. 16

19 Määrielmä Olkoon (Ω, F, P, {F } anneu sokasinen kana, ja P ähän liioksissa oleva σ-algebra kuen osiossa Ny P-miallinen d-uloeinen sokasinen prosessi M on maringaali, jos (1 E( M < kaikille ja (2 E(M F s = M s P m.v. kaikille s. Jos kohdan 2 yhälö vaihdeaan epäyhälöiksi ai, niin kusumme sokasisa prosessia vasaavasi ylimaringaaliksi ai alimaringaaliksi. Lisäksi sanomme, eä maringaali M on jakuva, mikäli sen polkufunkio M on jakuva funkio määrielyalueellaan. Jos sokasinen prosessi on maringaali, prosessi saa siis ulevaisuuden aikapiseissä odousarvoisesi samoja arvoja kuin arkaseluhekellä s. Vasaavasi, jos prosessi on ylimaringaali, saa se odousarvoisesi pienempiä arvoja kuin arkaseluhekellä ja alimaringaaleille vasaavasi suurempia arvoja. Maringaaleihin liiyy olennaisesi monia ärkeiä uloksia sokasisen diereniaaliyhälöiden eorian kannala ja esielemme niisä myöhemmin esimerkiksi keskeisen Girsanovin lauseen neliöheilahelun käsieen yheydessä, mua ny esielemme Doobin maringaaliepäyhälön myöhempää käyöä varen. Lause (Doobin maringaaliepäyhälö: Jos M on maringaali, jonka polu M ova P -melkein varmasi jakuvia, niin kaikille p 1, T > ja λ > päee (2.63 P ( sup M λ 1 T λ E( M p T p. Todisus. Sivuueaan. Esielemme lisää maringaaleihin liiyviä uloksia, kunhan saamme aluseua Brownin liikkeeseen ja Iô-analyysiin liiyvää eoriaa. Ny olemme esiellee ukielman kannala kriiisiä sokasisen prosessien ominaisuuksia ja niihin liiyviä käsieiä ja voimme siiryä erikoisumaan kohi sokasisen prosessien erikoisapausa, Brownin liikeä. 2.4 Brownin liike Brownin liike (engl. Brownian moion, BM on sokasisen prosessien erikoisapaus, jolla kuvaaan muun muassa aomi- ai molekyylivärähelyn aiheuamaa hiukkasen saunnaisliikeä neseessä ai kaasussa [12] ai rahoiusinsrumenien hinnan muuoksia ajan suheen [31]. Brownin liike liiyy olennaisesi normaalijakauuneisiin eli Gaussisiin 17

20 saunnaismuuujiin 16, sillä prosessin arvojen eri ajanhekien eroukse ova normaalisi jakauuneia [1]. Määrielmä Sanomme, eä saunnaismuuuja X noudaaa normaalijakaumaa odousarvolla µ ja varianssilla σ 2, jos sen iheysfunkio 17 on muooa (2.65 f(x = 1 (x µ2 e 2σ 2. 2πσ 2 Tällöin merkisemme X N(µ, σ 2. Lisäksi sanomme, eä d-uloeinen saunnaisvekori X = (X 1,..., X d T on normaalijakauunu 18 jos jokaiselle a R d summa (2.66 d a i X i i=1 on normaalijakauunu saunnaismuuuja. Moniuloeisella normaalijakaumalla on odousarvovekori µ = (E(X 1,..., E(X d T ja kovarianssimariisi 19 Σ = E((X E(X(X E(X T, ja merkisemme ällöin X N(µ, Σ. Seuraavaksi määrielemme yksiuloeisen Brownin liikeen. Käymme läpi sen ärkeimpiä ominaisuuksia lyhyesi, jonka jälkeen määrielemme d-uloeisen Brownin liikkeen ja kolmanneksi yhdisämme näihin määrielmiin lraaion käsieen. Brownin liikkeen lyhyen esielyn jälkeen jakamme vihdoin Iô-inegraaleihin ja siä kaua sokasisiin diereniaaliyhälöihin. Brownin liikkeen yleisyys reaalimaailman ilmiöiä mallinaessa seuraa keskeisesä rajaarvolauseesa: olkoon {X n } n=1 jono oisisaan riippumaomia ja samoin jakauuneia saunnaismuuujia 2, joille kaikille i = 1, 2,... päee E(X i = ja Var(X i = E(Xi 2 = σ 2. Merkiään näiden saunnaismuuujien summaa S n = X 1 +X 2 + +X n. Ny keskeisen 16 Gaussise saunnaismuuuja muodosava mielenkiinoisen arkaselukohdan niin luonnonieeissä kuin saunnaisooksien ulkisemisessa, sillä keskeisen raja-arvolauseen mukaan oannassa saaujen oisisaan riippumaomien saunnaisoosen keskiarvo suppeneva jakaumamielessä (kaso kappale 2.2 kohi normaalijakaumaa. 17 Lukijalle muisuuksena: funkio f(x : Ω R d on saunnaismuuujan X iheysfunkio, jos se on koko määrielyalueellaan posiiivinen ja P (X B = 1 df(x jollekin Borel-joukolle B Ω, ja lisäksi B 1 df(x = 1. Saunnaismuuujien iheysfunkioisa ja muisa ominaisuuksisa lisää kirjassa [1]. Ω 18 Normaalijakauunee saunnaisvekori unneaan kirjallisuudessa moniuloeisena normaalijakaumana, englanniksi mulinormal disribuion. 19 Joskus kirjallisuudessa kovarianssimariisi esiinyy myös nimellä varianssi-kovarianssimariisi. 2 Tällaisa saunnaismuuujajonoa kusuaan usein ns. i.i.d.-jonoksi. Lyheneen alkuperä on englanninkielisessä fraasissa independen and idenically disribued, suomeksi siis riippumaoma ja samoin jakauunee. 18

21 raja-arvolauseen mukaan 21 (2.67 S n σ n N(, 1 heikosi. Edelleen, jos määrielemme jokaiselle ja n N jonon (2.68 B n = S [n] σ n, niin huomaamme vasaavasi, eä kaikille s < päee (2.69 B n B n s N(, s heikosi. Lisäksi B n :n lisäykse ova riippumaomia ja raja-arvoprosessi on P m.v. jakuva. Näillä peruseilla voimme määriellä yksiuloeisen Brownin liikkeen. Määrielmä 2.7. Yksiuloeinen Brownin liike on jakuva 22 sokasinen prosessi B : Ω R +, jolle päee (a B =, (b B B s N(, s kaikille s <, (c Jos < 1 < < n, niin B(, B( 1 B(,, B( n B( n 1 ova riippumaomia 23. Brownin liikkeen merkinää lyhenneään jakossa yleensä jäämällä alkeisapaus ω merkisemää ja oamalla aika alaindeksiin: B(, ω = B( = B. Suoraan määrielmäsä 2.7 saamme mukavan apuuloksen koskien Brownin liikkeen odousarvoisa liikeä: Lemma Jokaiselle p > päee (2.72 E( B B s p = 1 (2 s p/2 Γ ( p + 1, π 2 missä Γ : (, (, on gammafunkio (2.73 Γ ( x = x 1 e d. 21 Emme esiele keskeisä raja-arvolausea ässä arkemmin, mua sen sisälö vasaa oleellisesi ämän esimerkin sisälöä yleiseyssä ympärisössä. Lisää esimerkiksi kirjassa [1]. 22 Sanomme, eä sokasinen prosessi B(, ω on jakuva mikäli polu B(, ω ova jakuvia P - melkein varmasi. 23 Muisuuksena, eä saunnaismuuuja X ja Y ova riippumaomia, jos kaikille Borel-joukoille A, B päee P (X AP (Y B = P (X A, Y B. 19

22 Todisus. Koska B B s N(, s, voimme merkiä sen sandardinormaalijakauuneen saunnaismuuujan Z avulla seuraavasi: B B s = sz. Ny E( B B s p = se( Z p = ( s p/2 1 2π 2 z p e z2 /2 dz = 1 (2 s p/2 z p e z2 /2 dz π = 1 (2 s p/2 Γ ( p + 1. π 2 Lemmasa 2.71 seuraa suoraan, eä inkremenaaioiden ensimmäisille keskusmomeneille päee 24 2 (2.74 E( B B s = s, π (2.75 E( B Bs 2 = s ja (2.76 E( B B s 4 = 3( s 2. Usein mielenkiinnon koheena on myös moniuloeinen Brownin liike. Määrielmä R d :ssä arvojaan saavaa sokasisa prosessia {B, } kusuaan d-uloeisesi Brownin liikkeeksi, jos sen komponeni B 1,..., B d ova oisisaan riippumaomia yksiuloeisia Brownin liikkeiä. Määrielmäsä 2.77 seuraa suoraan, eä moniuloeinen Brownin liike voiaisiin määriellä myös ilman yksiuloeisen liikkeen apua: {B, } on d-uloeinen Brownin liike, jos (i B =, (ii B B s N(, ( si d d joillekin s < ja (iii B 1 B,..., B k B (k 1 ova riippumaomia saunnaisvekoreia kaikilla k > 1 ja = < 1 < < k. 24 Lukijalle muisuuksena seuraava gammafunkion Γ ominaisuude: Γ(x + 1 = xγ(x, Γ(1 = 1 ja Γ(1/2 = π. 2

23 Brownin liikkeen luonnollinen lraaio voidaan määriellä yksinkeraisesi, ja (2.78 F B = σ({b s : s } N, missä N on kokoelma P -yhjiä joukkoja. Kuienkaan luonnollisen lraaion F B sisälämä hisoriainformaaio ei aina riiä sovellusapauksissa. Tällaisia apauksia ova esimerkiksi ne, joissa arkaselemme Brownin liikkeen ohella joain oisa saunnaismuuujaa ai - prosessia. Nämä ilanee moivoiva määrielemään Brownin liikkeen vielä kolmannella avalla, jossa hyödynnämme lraaioiden käsieä. Määrielmä Olkoon {Ω, F, P, {F} } sokasinen kana ja P siihen liiey progressiivisesi miallisen Ω R + :n osajoukkojen σ-algebra. d-uloeisa, P-progressiivisesi miallisa ja jakuvaa sokasisa prosessia B kusuaan d-uloeiseksi F -Brownin liikkeeksi, jos (i B =, (ii B B s on riippumaon F :n suheen ja (iii B B s N(, ( si d d. Vaikka määrielmä 2.79 on hyvin samankalainen määrielmien 2.77 ja 2.7 kanssa, se sisälää jakoa ajaellen paljon lraaion uomaa lisäinformaaioa. Lisäksi määrielmä on omiaan liiämään progressiivisesi miallisen ja jakuvien prosessien P käsieen Brownin liikkeeseen ja siä kaua edelleen Iô-inegraaleihin. Olemme ny määriellee ja käynee läpi paljon esiieoja, ja voimmekin siiryä arkaselemaan Iô-analyysin alkuaskelia. 21

24 Luku 3 Iô-analyysin alkee ja sokasise diereniaaliyhälö 3.1 Iôn perinö sokasisessa analyysissä Iôn sokasise inegraali ja Iôn lemma Kyoshi Iô ( oli uraauurava japanilainen maemaaikko, jonka ämän ukielman kannala olennaisimma läpimurro koskiva sokasisen inegraaion ja sokasisen diereniaaliyhälöiden eoriaa: Iô-analyysi kokonaiskäsieenä ja eriyisesi sen ulos Iôn lemma mullisi käsiyksen saunnaisliikkeiden käyöksesä. Kirjallisuudessa yleensä mainiaan Iôn olevan odennäköisyyslaskennan ja saunnaisliikkeiden mallinamisen päänimiä herrojen Kolmogorov, Levy, Wiener ja Markov ohella 1. Tässä luvussa havainnollisamme lukijalle arpeen Iô-inegraalien ja neliöheilahelun käsieelle. Iô-inegraali ja Iôn lemman esielemme niin sanousi duaalisesi, missä oinen ulos seuraa oisesa pääsäänöisesi kirjojen [1] ja [31] mukaisesi. Todisamme yksiuloeisen Iôn lemman ja esielemme ämän lisäksi d-uloeiseen Brownin liikkeeseen sidonnaisen version äsä. Tämän jälkeen esielemme vielä niin kusuun yleisen Iô-inegraalin yleiselle inegrandille. Tämän määrielmän lähesymisapa eroaa hieman aikaisemmisa, ja peruselemme yleisen inegraalin olemassaolon irrallisena Iôn lemmasa. Näiden jälkeen havainnollisamme Iô-analyysin käyännön hyöyjä siirymällä sokasisen diereniaaliyhälöiden eoriaan. 1 Lohr, Seve (November 23, 28, "Kiyosi Io, 93, Mahemaician Who Described Random Moion, Dies", NY Times. 22

25 3.1.1 Neliöheilahelu ja yksiuloeinen Iô-inegraali Iô-analyysin ero avanomaiseen analyysiin on ieyllä apaa yksinkerainen, mua siäkin ärkeämpi. Perineisessä analyysissä valisemme joksikin arkaselavaksi funkioksi funkion, joka on yleisesi ns. sileä funkio, ja lisäksi hyvin usein inegroiuva määrielyalueellaan 2. Jos esimerkiksi ukimme funkioa, joka mallinaa esimerkikski saunnaisilmiöä kuen johdannaisen hinnoielua, ei ämän funkion käyrä ole inegroiuva missään määrielyalueellaan 3. Tällöin luonnollisesi perineisen analyysin keino eivä oimi ja se arvisee laajennuksen ns. rajoiamaomasi heilaheleviin funkioihin. Tähän käyöön valjasamme neliöheilahelun käsieen. Määrielmä 3.1. Olkoon {τ n } n N jono äärellisiä osiuksia τ n = { = < 1 < < in < }, n n joille in ja τ n = sup i+1 i, ja lisäksi X olkoon reaaliarvoinen ja jakuva funkio välillä [,. Jos raja-arvo (3.2 X = lim (X i+1 X i 2 n i τ n, i < on olemassa kaikilla, kusumme funkioa X X:n neliöheilaheluksi. Funkioia, joilla ei ole posiiivisa neliöheilahelua kusuaan rajoieusi heilaheleviksi funkioiksi. Merkisemme ällöin X FV(R + 4. Seuraava lemma havainnollisaa ää yheyä: Lemma 3.3. Jos X F V (R +, niin X = kaikilla. Todisus. Kaikille päee (X i+1 X i 2 sup X i+1 X i X Xi+1 i. i τ n 2 Naura non faci salus! on kuuluisan saksalaisen ieeilijän Gofried Leibnizin oeamus, joka arkoiaa eä luonnossa esiinyviä prosesseja mallinaessa ei ule olla epäjakuvuuksia. Tämä yleisyy maemaiikan kielellä siihen, eä ällaisen funkioiden ulee olla sileiä. (New Essays on Human Undersanding, IV, 16: "la naure ne fai jamais des saus" 3 Huomiona lukijalle, eä kun funkioia, joiden massasa suurin osa on epäjakuvuuspiseiä, löydeiin ensimmäisiä keroja 18-luvulla, maemaaiko piivä ällaisia funkioia vain maemaaisina kuriosieeeinä, joilla ei ole juurikaan sovelluskoheia. 4 Lukijalle muisuuksena, eä X FV(R +, jos sup τn i τ n X i+1 X i <. Edellisä supremumia kusuaan kirjallisuudessa yleisesi kokonaisheilaheluksi (engl. Toal Variaion. 23

26 Oleuksesa X F V (R + seuraa, eä ulon jälkimmäinen osapuoli on rajoieu. Lisäksi X on jakuva, ja koska jakuva funkio ova asaisesi jakuvia kompakeissa joukoissa, niin sup X i+1 X i n, mikä odisaa lemman. Tässä vaiheessa on ärkeää huomaa, eä hieman ironisesi X FV(R + 5, misä seuraa eä inegraali (3.4 f(sd X s on hyvin määriely Lebesgue-Sieljes -inegraalina jollekin sopivasi käyäyyvälle arkemmin Borel-mialliselle funkiolle f(s. Tälle huomiolle ulee käyöä myöhemmin ässä kappaleessa. Brownin liikkeen neliöheilahelu on olennainen osa rahoiuseoreeisia sovelluksia ja kuen seuraavaksi osoiamme, sen neliöheilahelu on posiiivisa ja sien Brownin liikkeen analyysiin arvisemme Iô-analyysin yökaluja. Proposiio 3.5. (Paul Lévy Brownin liikkeen B (ω poluille B (ω päee P -melkein varmasi (3.6 B (ω = kaikilla. Todisus. Todisamme väieen kuen läheessä [1] kiinnieylle, mua arbiraarille raionaaliluvulle o Q +. Tämä riiää ilman yleisyyden meneämisä 6, sillä raionaalilukujen joukko Q + on numeroiuva. Tällöin Brownin liikkeen polkujen P -melkein varmasa jakuvuudesa seuraa odisuksen yleisyminen kaikille R +. Merkiään (3.7 X n := (B i+1 B i 2 := Yi 2, i τ n, i i misä seuraa suoraan Y i N(, i+1. Edelleen oisen momenin unnusluvu ova helposi laskeavissa: (3.8 (3.9 E(Yi 2 = Var(Y i = i+1, Var(Yi 2 = E(Yi 4 E(Yi 2 2 = 3Var(Y i 2 ( i+1 2 = 2( i Tämä on helposi odeavissa laskemalla neliöheilahelulle joko kokonaisheilahelu ai neliöheilahelu. 6 Kirjallisuudessa käyeään usein ermiä wihou loss of generaliy, w.l.o.g. 24

27 Edelleen keskeisen raja-arvolauseen mukaan (3.1 X d n N ( i, 2 i i ( i 2. Selkeäsi ämä jakauma suppenee edelleen kohi jakaumaa N(, eli kiinnieyä raionaalilukua 7, arkemmin (3.11 X n i L 2 (P -normissa, ja ämän jälkeen piää vielä osoiaa eä suppeneminen päee myös P - melkein varmasi. Merkiään A n = X n ε jollekin kiinnieylle ε >. Ny raja-arvon 3.11 peruseella (3.12 P (A n <, n=1 ja edelleen Borel-Canellin 2.44 mukaan (3.13 P (lim sup A n =, i eli oisin sanoen P -melkein varmasi (3.14 lim {τ n} n=1,2,... X n =, ja edelleen on olemasssa {τ n }:n osajono {τ n } sien, eä (3.15 B (ω = lim X n = P -melkein varmasi. Tämä odisaa väieen. Koska aika on yleisesi posiiivinen suure, proposiiosa 3.5 seuraa Brownin liikkeen luoman polun neliöheilahelu, ja äsä edelleen näiden polkujen rajaon heilahelu. Esielemme ja odisamme ny yksiuloeisen Iô:n kaavan, ja samalla määrielemme Iô-inegraalin. Kaava on odiseu ensimmäisen kerran klassikkoarikkelissa [17]. Lause (Iôn kaava ai Iôn lemma R:ssä: Olkoon X : [, R jakuva funkio jakuvalla neliöheilahelulla X, ja lisäksi F C 2 (R kahdesi derivoiuva reaaliarvoinen funkio. Ny, kaikilla päee 7 Tällaisa normaalijakauman erikoisapausa, missä varianssi on ja odousarvo äärellinen, kusuaan Dirac-massaksi [29]. 25

28 (3.17 F (X = F (X + missä eriyisesi (3.18 F (X s dx s = lim on F (X :n Iô-inegraali X :n suheen 89. F (X s dx s n i τ n, i F (X s d X s, F (X i (X i+1 X i Todisus. Kappaleen eeman mukaisesi, olkoon >, i τ n, i. Ny Taylorin sarjan 1 mukaan päee F (X i+1 F (X i = F (X i X i F (X i ( X i 2 (3.19 = F (X i X i F (X i ( X i 2 + R n ( i, missä X i = X i+1 X i, i ( i, i+1 ja ns. virheermi R n ( i = 1/2(F (X i F (X i ( X i 2. Seuraavaksi määrielemme apuermin δ n = max i τ n, i X i. Edelleen äsä seuraa (3.2 R n ( i 1 2 max F (x F (y ( X i 2 ε n ( X i 2 x y δ n;x,y X[,] jollekin posiiiviselle ε n >, sillä F on asaisesi jakuva X[, ]:ssä. Lisäksi huomaamme, eä ermi ε n ( X i 2 δn. Ny peruselemme kaavan (3.21 F (X i+1 F (X i = F (X i X i F (X i ( X i 2 + R n ( i 8 Lukijalle huomauuksena: määrielemme ämän paljon puhuun Iô-inegraalin suorana seurauksena Iôn kaavasa. Vaihoehoisesi voiaisiin ulkia, eä koska määrielemme Iô-inegraalin näin, niin lause seuraa määrielmäsä. Kaavan odisuksessa peruselemme myös inegraalin olemassaolon raja-arvona Iôn kaava esieään usein kirjallisuudessa myös muodossa df (X = F (XdX + 1/2F (Xd X. Tämä muoo on muodon 3.17 kanssa äysin yhäpiävä, merkinä esieään vain derivaaojen avulla inegraalimerkinnän sijasa. 1 Lukijalle muisuuksena, eä Taylorin sarjalla arkoieaan sarjaa jolla approksimoidaan ehokkaasi jakuvasi derivoiuvia funkioia polynomeiksi. Lisää Taylorin sarjoisa esimerkiksi läheessä [16]. 26

29 ermien paisi Iô-inegraaliksi suppenevan ermin F (X i X i Riemann-summien raja-arvojen olemassaolo ja muodo, kun n. Tällöin, kun oamme Riemann-summien raja-arvo kaavan 3.21 ermeisä, saamme kaavan 3.17 ja huomaamme, eä jäljelle jäävä ermi on Iô-inegraali Suoraan yhälälösä 3.2 näemme, eä (3.22 R n ( i εn ( X i 2 n. i τ n i τ n Seuraavaksi, koska erous F (X i+1 F (X i on vaiheleva summa 11, päee (3.23 F (X F (X. Viimeiseksi huomaamme, eä (3.24 i τ n F (X i+1 F (X i n i τ n 1 2 F (X i ( X i 2 n 1 2 F (X s d X s. Koska yhälön kaikki muu ermi suppeneva, on myös ermin i τ n F (X i X i rajaarvon olava olemassa. Tää raja-arvoa kusumme Iô-inegraaliksi, eli odisuksen viimeiselee yheys (3.25 lim n i τ n F (X i X i =: F (X s dx s Kovariaaio ja moniuloeinen Iôn lemma Joa voisimme ymmärää moniuloeiseen Iôn kaavaan liiyviä ermejä ja edelleen käsiellä heken kuluua sokasisia diereniaaliyhälöiä, arvisemme muuaman lisäkäsieen rajoiamaomasi heilahelevien funkioiden käsielyyn. Olkoon funkio X, Y C [, varuseu jakuvilla neliöheilaheluilla edellä esiellyn osiusjonon τ n suheen. Määrielmä Jos raja-arvo (3.27 X, Y = lim n i τ n, i ( X i ( Y i 11 Täsmennyksenä, vaihelevalla summalla arkoiamme summaa, jonka peräkkäise ermi kumoava oisensa. 27

30 on olemassa kaikille, niin kusumme funkioa X, Y X:n ja Y :n kovariaaioksi 12. Tuemme määrielmää ja sen mielekkyyä seuraavalla lauseella: Lause (Polarisaaiokaava Kovariaaio X, Y on olemassa jos ja vain jos X +Y on olemassa. Tällöin (3.29 X, Y = 1 2( X + Y X Y. Todisus. Seuraa väliömäsi neliöheilahelun määrielmäsä summalle X + Y. Edelleen, koska neliöheilahelu ova rajoieuja funkioia, raja-arvo summisa on olemassa summien raja-arvoina. Huomauus 3.3. Kaava 3.28 on selväsi yhäpiävä kaavan (3.31 X + Y = X + Y + 2 X, Y kanssa 13. Eriyisesi d-uloeiselle Brownin liikkeelle päee 14 P -melkein varmasi (3.32 B k, B l = δ kl, missä (3.33 δ kl = { 1, kun k = l, kun k l Yhälö 3.32 on inuiiivinen ulos, sillä muisamme eä B =. Lause (d-uloeinen Iôn kaava: Olkoon F C 2 (R d. Ny 15 (3.35 F (X = F (X + F (X s dx s d k,l=1 F xk,x l (X s d X k, X l s, 12 Engl. Covariance, esimerkiksi kirjassa [31]. Lukijan on syyä huomaa, eä merkinä eroaa skalaariulon merkinnäsä alaindeksillä. Kuienkin jakossa saaamme lyhenää kovariaaion merkinää pudoamalla alaindeksin pois: näissä apauksissa merkinnän laau selviää koneksisa. 13 Kaava 3.31 esiinyy yleisesi esimerkiksi rahoiuseoreeisilla sovellusalueilla. Jos funkio X ja Y kuvaava esimerkiksi johdannaisen hinakäyrää, on niiden yheiskovariaaio suuren mielenkiinnon koheena. Tää lähesymisapaa esiellään esimerkiksi kirjassa [13]. 14 Tässä asiayheydessä siis perusjoukko Ω = C[, d. Tässä lisäksi käyämme miana ns. Wienermiaa sien, eä P = d i=1 P i missä P i on Wiener-mia. Wiener-mian konsruoini ja esimerkin yheyden olemassaolosa lisää kirjassa [4]. 15 Muisuuksena lukijalle lauseessa esiinyviä vekorianalyysin merkinöjä: F (x on funkion F gradieni, F (x on funkion F Laplace-operaaori ja df (x on skalaariulo ( F (x, dx. Näisä operaaoreisa lisää esimerkiksi Olli Marion klassikkoeoksessa [26]. 28

31 ja raja-arvo (3.36 F (X s dx s := lim n i τ n, i ( F (Xi, (X i+1 X i on olemassa. Eriyisesi, raja-arvoa 3.36 kusuaan d-uloeiseksi Iô-inegraaliksi. Todisus. Lauseen odisus on äysin analoginen 1-uloeisen Iôn kaavan odisuksen kanssa. Ainoa ero on Taylorin kaavan d-uloeisen version käyäminen. Huomauus Lauseen 3.34 Iôn kaava voidaan esiää yhäpiävässä diereniaalimuodossa 16 (3.38 df (X = ( 1 2 F F (X, dx + (X d X k, X l. 2 x k x l Eriyisesi d-uloeiselle Brownin liikkeelle B = (B 1,..., B d päee yhälön 3.32 myöä (3.39 df (B = ( F (B, db F (B d. Kuen klassisessa analyysissä, arvisemme myös derivaaan ulosäänöä jakon diereniaaliyhälöiä varen: Lause 3.4. (Tulosäänö Iô-analyysissä: Jollekin funkioille X, Y, joilla on jakuva neliöheilahelu ja kovariaaio, päee (3.41 d(xy = XdY + Y dx + d X, Y. Todisus. Lauseen 3.34 merkinnöin ny F (X, Y = XY. Suoraan, kun d = 2, saamme df (X, Y = d(xy = XdY + Y dx + 1 (1 + 1d X, Y 2 = XdY + Y dx + d X, Y. k,l Määrielemme ny erään ärkeän kokoelman sokasisen diereniaaliyhälöiden ja Iô-inegraalien käyöön: Määrielmä Sanomme kokoelmaa H 2 kokoelmaksi progressiivisesi miallisia prosesseja φ, joille päee 17 E( φ 2 d <. Ennen kuin siirrymme arkaselemaan sokasisia diereniaaliyhälöiä, määrielemme vielä Iô-inegraalin yleiselle inegrandille f(, ω = F (, ω H Tää kusuaan kirjallisuudessa sokasisen derivaaojen kejusäännöksi esimerkiksi läheissä [1], [31] ja [27]. 17 Huomauuksena, eä voimme yleisää kokoelman H 2 kokoelmaksi H α koskemaan myös joakin inegrandin korkeampaa poenssia α > 2. 29

32 3.1.3 Yleinen Iô-inegraali Käymme ny peruseellisesi läpi yleisen Iô-inegraalin määrielyn ja olemassaolon sekä Iô-isomerian apuuloksen. Käyämme olemassaolon peruselemiseen kirjallisuudessa esimerkiksi läheissä [27], [15] ja [7] esiinyvää akiikkaa 18, jossa peruselemme inegraalin olemassaolon ja Iô-isomerian aluksi yksinkeraisille funkioille, jonka jälkeen laajennamme käsieen yleisille funkioile f H 2. Haluamme ny määriellä muooa (3.43 I(f, ω = S f(, ωdb (ω olevan Iô-inegraalin ja perusella sen olemassaolon yleiselle inegrandille f(, ω H 2. Vasaavasi kuen määrielmässä 2.12, olkoon X H 2 yksinkerainen funkio (3.44 X = i α i (ω1 [i, i+1 (. Lisäksi koska X H 2, äyyy jokaiselle α i päeä α i F. Ny voimme määriellä inegraalien 3.36 ja 3.18 hengessä Iô-inegraalin (3.45 S X(, ωdb (ω = i α i (ω(b i+1 B i (ω yksinkeraiselle inegrandille X H 2. Seuraavaksi esielemme ja odisamme ärkeän Iô-analyysin uloksen, Iô-isomerian, yksinkeraisille funkioille X: Lemma (Iô-isomeria yksinkeraisille funkioille: Jos X(, ω on rajoieu ja yksinkerainen funkio, niin (( 2 ( (3.47 E X(, ωdb (ω = E X(, ω. 2 S S Todisus. Olkoon B i = B i+1 B i. Koska α i α j B i ja B j ova riippumaomia kun i > j, niin {, kun i j, (3.48 E(α i α j B i B j =, E(αi 2 ( i+1 i, kun i = j 18 Muisuuksena lukijalle, eä käyimme samanlaisa lähesymisapaa Lebesgue-inegraalin 2.12 määrielemisessä. 3