Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla jaksoaika? 4..7
Fourier-muuos Esieää sigaali Fourier-sarjaa: Raja-arvo : k, d, i k = i V() Euler iegral 4..7 3 Fourier-muuos Fourier-muuos Kääeismuuos Dirichle ehdo Fourier muuuvalle eergiasigaalille I: Sigaali o iseisesi iegroiuva v () d< II: Sigaali maksimi- ja miimiarvo ova äärellisiä jokaisella äärellisellä aikavälillä ( a, b) sup {(, )} s( ) ( ), i i i s i a i i b + + < < + i III: Sigaali epäjakuvuuskohia o rajallie määrä lim äärellisessä määrässä ε s ( + ε) v ( ε) piseiä välillä (-,) 4..7 4
Symmeria omiaisuude Jos v (), V() o hermiiie: oisi saoe Parillie Asia o helppo odeaa: iπ ( ) iπ ( ) = ( ) = ( ) * * iπ iπ V v e d v e d V ( ) = v ( ) e d = v( ) e d = V( ) v v v * () () = () Vasaavasi, jos v() o imagiäärie, V() o aihermiiie: V V * ( ) = ( ) Pario 4..7 5 Symmeria omiaisuude arkasellaa apausa, jossa v () Jos v() o parillie v(-)=v() o reaalie. ällöi * V( ) = V ( ) = V( ) eli V() o reaalie ja parillie Jos v() o pario v(-)=-v() ( π ) V( ) = v( )cos d V( ) = i v( )si( π ) d o imagiäärie. ällöi * V( ) = V ( ) = V( ) eli V() o imagiäärie ja pario 4..7 6 3
Symmeria omiaisuude arkasellaa apausa v () = ivq(), Im v () = vq() Jos v Q () o parillie v Q (-)=v Q () ( π ) V( ) = i vq ( )cos d o imagiäärie. ällöi V( ) = V( ) eli V() o imagiäärie ja parillie. Jos v Q () o pario v Q (-)=-v Q () ( π ) V( ) = vq ( )si d o reaalie. ällöi V( ) = V( ) eli V() o reaalie ja pario { } ( x) cos = cos( x) ( x) si = si( x) 4..7 7 Symmeria omiaisuude arkasellaa y apausa yleisä apausa v () Fourier-muuos o lieaarie operaaio, joe Re{v()} Parillie Pario Reaalie Parillie Parillie Pario { ()} = { Re { ()}} + { Im { ()}} F v F v i F v Im{v()} Parillie Pario Imagiaarie Parillie Pario Parillie Re{V()} Parillie Hermiiie Pario Ai-hermiiie Parillie Reaalie Im{V()} Pario Parillie Parillie Imagiaarie Pario Pario Pario Pario 4..7 8 4
Kausaalise sigaali Sigaali o kausaalie, jos v()=, <. Kausaalise sigaali Fourier-muuos Verraaa yksipuolisee Laplace-muuoksee Jos σ= ja ω=π, Laplace-muuoksesa ulee Fourier-muuos Laplace-muuos o olemassa laajemmalle joukolle sigaaleia kui Fourier muuos. 4..7 9 Esimerkki arkasellaa ekspoeiaalisa sigaalia v () = e a, Fourier muuos: Dirichle eho I:, a a a v () d= e d= e a =, a < a eli Fourier-muuos o olemassa ku -<a< (myöhemmi osoiauuu, eä myös apaus a= o muueavissa) a iπ F{ v() } = e e d =, a< π a+ i Laplace-muuos: a s a e e d = e d =, Re{} s < a a+ s Laplace-muuos löyyy myös apaukselle a> 4..7 5
Ampliudi spekriiheys Bode diagrammi Vaihespekriiheys Bode diagrammi: Ampliudi (db) ja vaihe aajuude ukioa 4..7 Esimerkki: Bode diagrammi Fourier-muuos Ampliudi ja vaihe: V( ) = V( ) e V( ) = iarg { V( )} ( π ) + π arg ( ) arca arca { V } = = ( π ) Im V( ) e { V )} i ( arg Re 4..7 6
Bode diagram Bode Diagram log ( V() ) Magiude (db) - - -3-4 Phase (deg) -45-9 - - 4..7 Frequecy (rad/sec) 3 Rayleigh Eergia eoreema * * Ev = v() v () d = V( ) V ( ) d Spekriiheys * * Ev = v() v () d = v() V ( )exp( iπ ) d d = ( π ) = ( π ) * * v() V ( )exp i d d v()exp i dv ( ) d V( ) * ulkia: V( ) = V( ) V ( ) keroo mie sigaali eergia o jakauuu eri aajuuksille (J/Hz) 4..7 4 7
Pulssi spekriiheys I Pulssi, joka eergia o J s () = Π Fourier-muuos (suoraa määrielmäsä) S( ) = g( )exp( iπ ) d = exp( iπ ) d. Π () = > = exp iπ exp iπ i π ( exp( iπ ) exp( iπ ) ) = π i si ( π ) = = sic( ) π S( ) = sic ( ) sic ( x) si ( π x) 4..7 5 = π x Pulssi ehospekri II Fourier-muuos käyäe hyväksi sigaali omiaisuuksia: Pulssi o reaalie ja parillie. Se Fouriermuuos o siis reaalie ja parillie. Fourier-muuos o siis (ks. kalvo 6) ( π ) V( ) = v( )cos d Muuokseksi saadaa ( ) ( π ) = si S( ) = Π ( )cos( π ) d = cos( π ) d = = π si π si ( π ) si ( π ) = = = sic( ) π π S( ) = sic si ( ax) dx = cos( ax) + C a 4..7 6 8
log S( ) 5 Pulssi ehospekri Pulse = = =3 Specral desiy (db/hz) -5 - -5 - -3 - - 3 Frequecy (Hz) 4..7 7 Fourier muuokse omiaisuuksia Lieaarisuus (superposiio) { } F av () + a v () = av ( ) + av ( ) Aikasiiro i { ( τ )} = V( ) e F v Aikaskaalaus F{ v( α) } = V α α Kojugaai { } * * F v = V () ( ) Duaalisuus F V () = v( ) { } π τ Derivaaa d F v() ( ) ( ) = i π V d Iegraali τ τ F... v( τ) dτ... dτ = V( ) ( iπ ) Kovoluuio F h( τ) v( τ) dτ = H( ) V( ) Kerolasku { () ()} = ( ) ( ) F hv Hφ V φ dφ 4..7 8 9
Superposiio Fourier muuos o lieaarie operaaori, joe osisa koosuva sigaali voidaa Fourier muuaa osissa { () + ()} = { ()} + { ()} F v u F v F u Esimerkki, sigaali joka eergia o J s() + τ = + τ F s () = Π + Π τ τ Π = sic( ) S( ) = sic( ) + τ sic( τ ) 4..7 9 Aikasiiro arkasellaa sigaalia s(), joka Fourier muuos o S() Sigaalia viiväseää τ: verra. s() s(-τ) τ Rakaisaa viiväsey sigaali Fourier-muuos iπ ehdää muuuja vaihdos F{ s( τ) } = s( τ) e d ' = τ = ' + τ, d ' = d i π ( ' + τ) iπ τ i π ' = s(') e d' = e s(') e d' S( ) Aikasiirrey sigaali Fourier-muuos: i { τ } = π τ F s( ) e S( ) 4..7
aajuussiro arkasellaa sigaalia s(), joka Fourier muuos o S() aajuussiiro S(- ) S() S(- ) Kääeismuuos iπ { ( ) } = ( ) F S S e d = iπ i π ' e S e d ( ') ' aajuussiirrey sigaali muuospari: iπ iπ { ( )} = { ( )} = ( ) F S F S e s e { } F s() e = S( ) ehdää muuuja vaihdos ' = = ' +, d ' = d iπ 4..7 Lieaarie modulaaio Moduloiu sigaali x() = s()cos ( π c) Voidaa kirjoiaa muooo x () = s () ( e + e ) = se () + se () iπ c iπ c iπ c iπ c Fourier muuos X( ) S( c) S( c) F s() e = S( ) iπ = + + { } Modulaaio siirää sigaali aajuuskaisa c ympärisöö: S() X() - c c 4..7
Kaisaleveys Kaisaleveys B määriää millä aajuusalueella merkiävä osa (esim. 95%) sigaali ehosa/eergiasa o. Kaisaleveyde määriämisessä huomioidaa vai posiiivise aajuude. S() X() 95% B s 95% B x Moduloidu sigaali kaisaleveys o kaksikeraie kaaaajuisee sigaalii ähde: B x =B s 4..7 3 Kaisaleveys Yksikeraie määrielmä o puoleeho (eergia) kaisaleveys. S() max S( ) max S ( b ) b -3 db B s S( b) = b > max S( ) B B s x = b = b b Kaaaajuie sigaali Moduloiu sigaali 4..7 4
Kaisaleveys Pulssi puole-eho kaisaleveys S( b) = sic ( b ) =.9 max S( b).8.7.443.6 sic( b ) = b.5.4.3 Bs = b.. Moduloidu pulssi Bx = b aajuuskaisa o käääe verraollie pulssi piuuee sic()..4.6.8..4.6.8 4..7 5 Kaisaleveys Pulse - -4-3 db -6 S() /max( S() ) -8 - - -4-6 = -8 = =3 - -3 - - 3 Frequecy (Hz) 4..7 6 3
Aika- ja aajuusskaalaus Aikaskaalaus aajuusskaalaus a F{ s( a) } = S F { S( a) } = s a a a a a odisus { } iπ F s( a) = s( a) e d ' d ' = a =, d = a a sg( a) i π ' F{ s( a) } = s( ') e d a sg( a) { ( )} F s a = S a a Muuuja vaiho Jos sg(a)=- iegroii raja vaihuva, ällöi arviaa kaavaa b a ( xdx ) = ( xdx ) a b 4..7 7 Duaalisuus Jos muuospari Fs (()) = S( ) ueaa, päee sigaalille y = S() F S() = s( ) F s( ) = S( ) { } { } odisus ( ) ( ( )) ( ) i π ( ) i π = = FS Se d Se d = S e d = s = s i π' ( ') ' ( ') ( ) S(): kääeismuuokse määrielmä = =- 4..7 8 4
Ideaalie alipääsösuodai Ideaalie kaisapääsösuodai joka aajuuskaisa o B S() S( ) =Π B B Π () = > Vasaava aikaaso sigaali (impulssivasee) Fourier-muuos o S( ) = F Π = sic ( ) Duaalisuudesa seuraa, eä F { S( ) } = F B Π = Bsic( B ) B B ja koska sic o parillie saadaa s() = Bsic( B) 4..7 9 Derivoimiskeio Lausuaa sigaali kääeismuuokse avulla s() = F { s() } = S( ) e i π d Sigaali aikaderivaaa d d = d iπ s() = S( ) e d d d iπ S( ) e d d iπ ( π ) = S( ) i e d d F s() d Muuoskaavaksi saadaa Koska iegraali ei ole muuuja suhee, voidaa derivaaa operaaori viedä iegraali sisälle Derivoidu sigaali Fourier-muuos d F s() = ( i π ) S( ) d 4..7 3 5
arkasellaa sigaalia τ y ( )... s( τ) dτ... dτ = kpl Iegroimiskeio ällöi d s() = y() d Derivoimiskeiosa seuraa d S( ) = F s( ) = i π Y( ) = ( π ) { } ( ) Joe Y( ) = S( ) iπ ( ) Muuoskaavaksi saadaa: F s() i S( ) d τ F... s( τ) dτ... dτ = S( ) ( iπ ) kpl 4..7 3 Kolmiopulssi (/) Kolmiopulssi A - ( ) A s () = > Kolmiopulssi aikaderivaaa A d + s () A A = Π Π d - -A Π () = > 4..7 3 6
Kolmiopulssi (/) Fourier-muueaa aikaderivaaa d + s () A A = Π Π d F AΠ = Asic( ) i { τ } = π τ F s ( ) e S( ) d F s( ) = Asic( ) e Asic( ) e d = iasic si ( ) ( ) i i s(): Fourier-muuos saadaa y iegroimiskeio avulla τ τ τ τ = kpl d iasic( ) si( ) S( ) = F s( ) = = Asic ( ) π π i d i F... s( ) d... d S( ) ( iπ ) 4..7 33 Gaussi pulssi (/4) Gaussi pulssi: s () = Aexp π Pulssi o parillie: s( ) = s( ).9.8.7.6.5.4 Pulssi derivaaa:.3.. - -.5 - -.5.5.5 s() d s() = Aπ exp π = π s() d 4..7 34 7
. Gaussi-pulssi derivaaa: d π s() = s() d. Derivaaa F-muuos Gaussi pulssi (/4) d F s () = i π S( ) d 3. Sovelleaa duaalisuua derivaaa F-muuoksee: F v( ) = V( ) { } d F v() = i π V( ) d d F v( ) = i πv( ) d 4. Huomaaa yheys kohie. ja 3. välillä: s( ) = s( ) d π s() = s() = ( i π) s( ) d i V( ) joe d d F s () = S( ) d i d d v ( ) d d F v( ) d 4..7 35 Gaussi pulssi (3/4) 5. Kooaa ulokse yhee Kohda. peruseella d F s () = i π S( ) d ja kohda 4. peruseella d d F s () = S( ) d i d Eli, i d S ( ) = i π S ( ) d 6. Rakaisaa diereiaali yhälö d S ( ) = π S ( ) d ds( ) = π d S( ) l S( ) = π + C S( ) = exp( π )exp( C) k = exp( C) C = l( k) k 4..7 36 8
Gaussi pulssi (4/4) 7. Vakio k määräyyy Rayleigh eergia eoreemasa S( ) d = s( ) d k exp( ) d A exp d ' π = π = ' =, d = d' ' d' k exp π = A exp π d k = A Muuuja vaiho 8. ulokseksi saaii S A ( ) = exp( π ) 4..7 37 Gaussi pulssi -II (/) oie apa: Käyeää hyväksi iegroiikaavaa πσ Sigaali s () = Aexp π Fourier-muuos: ( μ ) exp d = σ π ( π ) π π S( ) = Aexp exp i d = Aexp + i d 4..7 38 9
Gaussi pulssi -II (/) äydeeää eliöksi π 4 4 S( ) = Aexp + i + d ( ( i )) ( ( )) i = Aexp( π ) π exp d π π π π = A exp ( π ) = ( μ ) 4..7 πσ 39 exp d = σ Gaussi pulssi Gaussi pulssi Fourier-muuos s () = Aexp π S( ) = Aexp( π ( ) ) =. Pulssi muoo säilyy Fourier-muuoksessa..9.9.8.8.7.7.6.6 s().5 S().5.4.4.3.3.... -. -.5 -. -.5.5..5. - -5 - -5 5 5 4..7 4
Yksikköpulssi vs Gaussi pulssi.9.9.8.8.7.7.6.6 s().5 S().5.4.4.3.3.... - -.5 - -.5.5.5 - -.5 - -.5.5.5 4..7 4 Kovoluuio iegraali Kovoluuio y () x () = y( τ ) x ( τ) dτ ulkia x() y () x() peilaaa y-akseli suhee ja liueaa y(): yli 4..7 4 τ
Kovoluuio iegraali hp://www.jhu.edu/%7esigals/covolve/idex.hml 4..7 43 Kovoluuio iegraali Esimerkki: x() y () x () = muuoi e y () = < 4..7 44
Kovoluuio iegraali y () = - < > - - 4..7 45 τ τ τ τ τ y() = e d τ = ( + e ) y() e d τ τ = τ ( ) ( e ) e = + y () x () = y( τ ) x ( τ) dτ.4 Kovoluuio iegraali.35.3.5 y()..5..5..4.6.8..4.6.8 4..7 46 3
Kovoluuio iegraali arkasellaa kaha eergia sigaalia u() ja h(), joide Fourier-muuokse ova U() ja H(). Sigaalie välie kovoluuio o y(): Sigaali y() Fourier muuos -i 4..7 47 Kerolasku arkasellaa kaha eergia sigaalia u() ja h(), joide Fourier-muuokse ova U() ja H(). Sigaalie ulo y () = uh () () Sigaalie ulo Fourier-muuos: iπ iπφ iπ F { uh () ()} = uhe () () d= U( φ) e dφ he () d H( φ ) Muuos o kovoluuio iegraali 4..7 48 u () iπ( φ) = U( φ) h( ) e d dφ = U( φ) H( φ) dφ { } F u() h() = U( φ) H( φ) dφ 4
Kakaisu sigaali arkasellaa sigaalia s(), joka Fourier-muuos o S(). Kakaisaa sigaalisa jakso (-/,/). Kakaisu sigaali y () =Π s () Kakaisu sigaali Fourier-muuos ( ) Y( ) = S( φ) sic ( φ) dφ o sigaali Fourier-muuokse ja sic-ukio kovoluuio. 4..7 49 Kakaisu siisigaali Siimuooie sigaali s () = cos π [, ] ( ) c S( ) Kakaisu sigaali Y( ) cos( π c ) y () = > Joa spekri ei kakaisessa leviäisi, käyeää kakaisuu ikkuaukioia. 4..7 5 5