9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen on erittäin raskasta ja useissa käytännön tilanteissa riittävään tarkkuuteen päästään huomattavasti yksinkertaisemmalla virtausmallilla. Yksinkertaistettu malli paljastaa myös usein huomattavasti enemmän virtausongelman keskeisistä riippuvuuksista. Young et al, kappaleet 6.4-6.5
Osaamistavoitteet Käyttää potentiaali- ja virtafunktiota virtauksen kuvaamiseen. Selittää, mihin oletuksiin näiden funktioiden käyttö perustuu.
Miten voimme perustella virtausyhtälöiden yksinkertaistamista?
Miten voimme perustella virtausyhtälöiden yksinkertaistamista? Esimerkki: siipiprofiili Van Dyke (1988), An Album of Fluid Motion
Miten yhtälöt yksinkertaistuvat kitkattomalla virtauksella?
Miten yhtälöt yksinkertaistuvat kitkattomalla virtauksella? 0 Eulerin yhtälöt
Mitä saimme aiemmin kitkattomassa tapauksessa? Luento 2 (Bernoullin yhtälö) Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5th edition
Eikö Eulerista pitäisi saada sama virtaviivalla?
Miten Eulerin yhtälö voidaan kirjoittaa toisin?
Mitä saamme integroimalla virtaviivaa pitkin? 0, tarkastellaan ajasta riippumatonta tapausta
Mitä saamme integroimalla virtaviivaa pitkin? Bernoullin yhtälö Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5th edition
Miten virtausongelma yksinkertaistuu, jos oletamme lisäksi pyörteettömyyden?
Miten virtausongelma yksinkertaistuu, jos oletamme lisäksi pyörteettömyyden? Nopeuspotentiaali
Mikä on potentiaalifunktion tapauksessa vallitseva yhtälö?
Mistä saamme yhtälön potentiaalifunktiolle? Nopeuspotentiaali Laplace-yhtälö Jatkuvuusyhtälö
Miten potentiaali- ja virtafunktio liittyvät toisiinsa?
Mistä saamme yhtälön virtafunktiolle? Virtafunktio Pyörteettömyys Laplace-yhtälö
Miten funktiot liittyvät toisiinsa? Potentialifunktio (aina pyörteetön) Virtafunktio (aina massan säilyminen) Jatkuvuusyhtälö Pyörteettömyys
Miten funktiot liittyvät toisiinsa? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5th edition
Esimerkki: potentiaali- ja virtafunktio Prob. 6.25 = vakio Erään kaksiulotteisen virtauksen virtafunktio on = 5x2y (5/3)y3 Määritä tätä vastaava potentiaalifunktio. Vastaus: = (5/3)x3 5xy2 + C Virtaviiva, = vakio
Miten Bernoullin yhtälö muuttuu pyörteettömässä tapauksessa?
Miten Bernoullin yhtälö muuttuu pyörteettömässä tapauksessa? 0, ajasta riippumaton 0, pyörteetön mielivaltainen siirtymä
Miten Bernoullin yhtälö muuttuu pyörteettömässä tapauksessa? Bernoullin yhtälö
Esimerkki: Bernoullin yhtälö ja potentiaalivirtaus Prob. 6.31 Eräs kitkaton, kokoonpuristumaton virtaus on kuvattu potentiaalifunktiolla = 2x2y (2/3)y3, jossa :n yksiköt ovat m2/s, kun x ja y ovat metreissä. Määritä paine pisteessä x = 2 m, y = 2 m, kun paine pisteessä x = 1 m, y = 1 m on 200 kpa. Korkeuseroja ei tarvitse huomioida ja fluidi on vettä. Vastaus: 80 kpa
Miten tilanne muuttuu sylinterikoordinaatistossa?
Miten tilanne muuttuu sylinterikoordinaatistossa? Laplacen yhtälö
Miten tilanne muuttuu sylinterikoordinaatistossa? Potentiaalifunktio Virtafunktio
Mitä opimme?
Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa?
Seuraavaksi kerraksi Torstain luennon aiheena: Potentiaaliteorian perusratkaisut ja superponointi, Young et al (2012): 6.5.1-6.7 Miten potentiaaliteoriaa voidaan soveltaa virtausongelmien ratkaisemiseen? Motivointi: yhdistelemällä potentiaaliteorian perusratkaisuja tai näiden jakaumia voidaan hyvin nopeasti kuvata riittävällä tarkkuudella useita käytännön virtaustilanteita, millä on suuri merkitys esimerkiksi suunnittelussa ja optimoinnissa