Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Transkriptio

1 1 Voimat mekanismeissa Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

2 Sisältö Staattiset voimat Staattinen tasapainotila Vapaakappalekuva Tasapainoyhtälöt Kitkavoimat Hitausvoimat Hitausvoimien redusointi Liikemäärä ja impulssivoimat Energiaperiaate 2

3 Staattiset voimat Staattisessa tilassa mekanismin jokaisen jäsenen kiihtyvyys ja siten hitaus- ja inertiavoimat ovat nollia. Sekä mekanismi kokonaisuutena että jokainen sen jäsen on staattisessa tasapainossa eli voimat ja momentit kumoavat toisensa. Pätee siis: Usein hitaasti muuttuvassa liikkeessä olevan mekanismin voima-analyysi voidaan tehdä olettaen tilanne staattiseksi tarkkuuden oleellisesti kärsimättä. Mikäli mekanismissa on staattisesti määräämättömiä voimia, elastisuus täytyy ottaa huomioon. 3

4 Staattinen tasapainotila kappaleessa Tasapainoehto, kun kappaleeseen vaikuttaa kaksi voimaa Tasapainon vallitessa voimien on oltava samalla vaikutussuoralla, vastakkaissuuntaiset ja itseisarvoiltaan yhtä suuret. Tasapainoehto, kun kappaleeseen vaikuttaa kolme voimaa Tasapainotilassa voimavektorit muodostavat suljetun kolmion ja voimien vaikutussuorat leikkaavat samassa pisteessä. Tasapainoehto, kun kappaleeseen vaikuttaa neljä voimaa Tasapaino vallitsee, kun voimat ovat pareittain samalla vaikutussuoralla ja vastakkaissuuntaiset tai voimat muodostavat kaksi voimaparia niin, että pätee 4

5 Staattinen tasapainotila mekanismissa Sekä koko mekanismiin että erikseen kuhunkin sen jäseneen vaikuttavien voimien ja momenttien summa on nolla. Jotta mekanismin sisäinen voimien ja momenttien jakautuminen tulisi huomioitua, jaetaan mekanismi vapaakappalekuviin ja luodaan tasapainoyhtälöt jäsenkohtaisesti - Oikominen tässä johtaa useimmiten pahasti harhaan! - Usein kannattaa aloittaa siitä jäsenestä, johon vaikuttava ulkoinen voima tunnetaan - Momenttitasapainoyhtälö kannattaa usein muodostaa sen pisteen (nivelen) suhteen, johon vaikuttaa eniten tuntemattomia voimia. Näin yhtälössä vähemmän tuntemattomia. - Tarkkana suuntien suhteen! Merkkivirheitä syntyy helposti. Monimutkaisen mekanismin voimatasapainon ratkaiseminen johtaa helposti useiden tasapainoyhtälöiden yhtälöryhmään Periaate paperilla, ratkaisu esim. Matlabissa 5

6 Vapaakappalekuvien piirtoa KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka, Luento 2: Voimasysteemit Googlaa: free body diagrams Tom Carter COD Guidelines for Drawing Freebody Diagrams Laitoksen nimi 11/02/2016 6

7 Vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt Esimerkki: Kuvassa on nivelnelikulmio, johon vaikuttaa ulkoinen voima P. Kuinka suuri momentti T pitää tuoda niveleen A 0, jotta mekanismi olisi tasapainossa? 7

8 Vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt, esimerkki Kiertokanki ABC Kampi A 0 A Kampi B 0 B 8

9 Vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt, esimerkki 6 tuntematonta: 6 yhtälöä: Ratkaistaan yhtälöryhmä saadaan arvo kysytylle momentille T 9

10 Vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt, esimerkki 2 Tason päällä 100 kg kuorma. Kuinka suuri sylinterin CF voima on kuvan tasapainotilanteessa? Nivelet kitkattomia ja osat massattomia. Nivel F sijaitsee BD:n puolivälissä. 10

11 Vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt, esimerkki 2 11

12 Vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt, esimerkki 2 12

13 Kitkavoimat Coulombin kitkalaki: Kitkakerroin riippuu materiaaliparista, pinnankarheudesta, kovuudesta ja voitelutilanteesta Kitkakerroin muuttuu yleensä nopeuden funktiona Usein yksinkertaistetaan määrittämällä kaksi arvoa; liike- ja lepokitka erikseen Joissain tapauksissa kitkakerroin riippuu merkittävästi myös normaalivoimasta, luistosta (esim. kumi tienpinta) Coulombin kitkalakia soveltaen kiertonivelen kitkamomentiksi saadaan: 13

14 Esimerkki Keltaisen liukupalan siirtymä x on nolla, kun harmaat varret ovat yhdensuuntaiset. Piirrä tasapainossa olevan mekanismin ylimpään niveleen kohdistettava pystysuora voima F siirtymän x funktiona, kun siirtymä x kasvaa nollasta 120 millimetriin. Jousen jousivakio on 12 N/mm ja puristuma on 135 mm siirtymän x ollessa 0. Liukupalan ja rungon välinen kitkakerroin on 0,3. Kaikki nivelet ovat kitkattomia ja osat massattomia. Mitat: a = 200 mm b = 100 mm c = 200 mm 14

15 Esimerkki 15

16 Esimerkki 16

17 Hitausvoimat Newtonin 2. peruslain mukaan kappaleen liikemäärän ja siihen vaikuttavan voiman yhteys on: Mekanismiopissa kappaleen massa on yleensä vakio, joten lausekkeen jälkimmäinen termi voidaan jättää pois Kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen voima-analyysi voidaan tehdä staattisen tilanteen tapaan tasapainoyhtälöin, kun lisätään yhtälöihin kiihtyvyyttä kuvaava näennäisvoima, jonka vaikutuspiste on kappaleen painopisteessä. Jos kappaleella on kulmakiihtyvyyttä, lisätään näennäismomentti 17

18 Hitausvoimat, esimerkki Kuinka suurella hidastuvuudella kuvan trukkia voidaan jarruttaa kaatamatta sitä? Oletetaan, että kuorma ei luista. Jarrut vaikuttavat vain etupyöriin. Trukin massa on 2500 kg ja painopiste keskellä korkeudella h pp =0,5m. Akseliväli l=1,6m. Kuorman massa m kuorma =1000kg, korkeus h kuorma =4m ja etäisyys etuakselista x kuorma =1m. 18

19 Hitausvoimat, esimerkki 19

20 Hitausvoimien redusointi Kinemaattisesti kytkeytyneessä järjestelmässä voidaan liikkuva massa konvertoida ekvivalentiksi hitausmomentiksi ja päinvastoin Lineaariliikkeessä olevan massan hitauden redusointi pyörivälle akselille energiaperiaateella: Vastaavasti hitauden redusointi välityksen (välityssuhde i) yli: 20

21 Hitausvoimien redusointi, esimerkki 21

22 Liikemäärä ja impulssivoimat Kappaleen liikemäärä Liikemäärän muutosnopeudelle pätee Liikemäärä muuttuu impulssivoimista Kahden kappaleen törmäys Liikemäärä säilyy. Liike-energia säilyy ideaalikimmoisessa törmäyksessä. Täysin plastisessa törmäyksessä kappaleiden nopeusero törmäyksen jälkeen on nolla. 22

23 Energiaperiaate ja energian säilyminen Suljetun systeemin alkuenergian ja loppuenergian erotus on systeemin tekemä työ Energia voi liikkua systeemiin tai systeemistä Eristetyssä systeemissä energian määrä on vakio Mekanismiopissa yleensä oleellista mekaaninen energia Liike-energia Potentiaalienergia Energiaperiaatteen soveltaminen tuo helpotusta moneen ongelmaan! 23

24 Esimerkkitehtävä Piirrä voima F korkeuden funktiona, kun korkeus h muuttuu 10 senttimetristä 90 senttimetriin. Ristikkäisten vipujen pituus on 1 metri. Kuorman massa on 200 kg ja painopisteen etäisyys s oikeanpuoleisista nivelistä on 40 cm. Nosturin osat voit olettaa massattomiksi. Liukupalojen ja rungon/nostolavan välinen kitkakerroin on 0,5. Kiertonivelet ovat kitkattomia. 24

25 Esimerkkitehtävä 25

26 Esimerkkitehtävä 26

27 Esimerkkitehtävä 27

28 Lähteet Makkonen, Petri: kurssin luentokalvot aiemmilta vuosilta Kankare, Johannes: kurssin luentokalvot aiemmilta vuosilta Airila, Mauri: Mekatroniikka. Otatieto. Helsinki Shigley, J. E. & Uicker, J. J: Theory of machines and mechanisms. 2nd edition