Luento 16: Fluidien mekaniikka
|
|
- Kirsi Sariola
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki
2 Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki
3 Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla ja nesteille Väliaineen muoto riippuu voimakkasti ulkoisista voimista Väliaineen tasapainotilanteita analysoidaan N-I:n ja N-III:n avulla Keskeiset käsitteet tiheys, paine ja noste Dynamiikkaa voidaan analysoida yksinkertaistettujen mallien avulla Eräs monimutkaisimmista mekaniikan osa-alueista CFD (computational fluid dynamics) oma tärkeä tieteenhaaransa
4 Tiheys Aineen tiheys on elementin massa jaettuna tilavuudella ρ = m V Homogeeninen aine = vakiotiheys jokaisessa kohdassa Ei-homogeenisessä aineessa tiheys ei vakio, vaan paikan funktio ρ = dm dv Tiheys riippuu yleensä myös olosuhteista kuten paineesta ja lämpötilasta Suhteellinen tiheys (specific gravity) on materiaalin tiheyden suhde veden tiheyteen 4 C lämpötilassa (ρ = 1000 kg m 3 )
5 Paine Väliaine tasapainossa: kaikkiin väliaineen kanssa kosketuksissa oleviin pintoihin kohdistuu normaalivoima Kuvitellaan väliaineen sisään pinta da Väliaine tasapainossa: pinta tasapainossa Pintaan kohdistuu voima df jotta tasapaino säilyisi, pintaan kohdistuttava toiselta puolelta voima df Määritellään pintaan da kohdistuva paine p = df da Paineen yksikkö on 1 Pa = 1 N m 2, muita yksiköitä 1 bar = 100 kpa, 1 atm = bar = Pa! Huom! Tässä yhteydessä p on paine, ei liikemäärä
6 Väliaineen aiheuttama paine Väliaineen oma paino vaikuttaa myös paineeseen Tarkastellaan väliaine-elementtiä, jonka paksuus pystysuunnassa on dy Elementin pohjaan vaikuttaa voima pa (suunta ylöspäin) Yläpintaan voima (p + dp)a (alaspäin) Lisäksi elementin oma paino dm g = ρga dy (alaspäin) Tasapaino = Fy = pa (p + dp)a ρga dy = 0 josta A dp ρga dy = 0 = dp = ρg dy
7 Paine syvyyden funktiona Vakiotiheyksiselle väliaineelle saadaan integroimalla p 2 p 1 y 2 dp = ρg y 1 dy = p 2 p 1 = ρg(y 2 y 1 ) Paine voidaan ilmoittaa myös syvyyden avulla p = p 0 + ρgh kun p 0 on paine väliaineen pinnalla Katso Esimerkki 1
8 Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki
9 Pascalin laki Paine väliaineen pinnalla välittyy sellaisenaan väliaineen jokaiseen osaan ja astian seinämiin Esimerkiksi hydraulisen nostimen toisen männän kohdistama paine p = F 1 /A 1 välittyy sellaisenaan toiseen mäntään Jos toisen männän pinta-ala on A 2 F 1 A 1 = p = F 2 A 2 = F 2 = A 2 A 1 F 1
10 Paineen mittaus Yleisin tapa paineen mittaamiseen on nesteellä täytetty taivutettu putki Toinen pää mitattavassa tilassa, toinen referenssipaineessa Paine luetaan nesteen pinnankorkeuserosta Manometrissä referenssipaine on ilmanpaine p 0 Suhteellinen paine (gauge pressure) Nestepatsaan korkeudesta saadaan absoluuttinen paine p a = p 0 ρgh Barometrissä vertailupaine on tyhjö Absoluuttinen paine suoraan p a = ρgh
11 Arkhimedeen laki Kappaleiden paino vaikuttaa pienemmältä nesteeseen upotettuna Neste kohdistaa kappaleeseen nostetta Arkhimedeen periaate: kun kappale on kokonaan tai osittain nesteen pinnan alapuolella, kohdistuu kappaleeseen nostevoima (buoyant force) Suunta ylöspäin Suuruus sama kuin kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino
12 Todistus Otetaan mielivaltaisen muotoinen nestetilavuus Neste on tasapainossa, joten tilavuuteen kohdistuvien voimien summa nolla F = d F + w = 0 joten nestetilavuuden pintaan kohdistuu voima d F = w Korvataan nestetilavuus samankokoisella ja -muotoisella kappaleella Sama voima w kohdistuu kappaleen pintaan
13 Pintajännitys Kolikko saattaa kellua veden pinnalla vaikka sen tiheys on moninkertainen verrattuna veden tiheyteen Syynä molekyylien väliset vetovoimat eli pintajännitys (surface tension) Pintajännityksen takia neste pyrkii minimoimaan pinta-alansa Tämän vuoksi sadepisara on pallo Pienin kaikista vastaavan tilavuuksisista muista muodoista
14 Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki
15 Väliaineen virtaus Erilaisia virtaustyyppejä Stationaarinen (steady) Virtausnopeus ei muutu ajan funktiona Laminaarinen (laminar) Vierekkäiset kerrokset eivät sekoitu Pyörteinen (turbulent) Muuttuu ajan funktiona epäsäännöllisesti Ideaalinen väliaine kokoonpuristumatonta (ρ = vakio) Eikä siinä ole sisäistä kitkaa eli viskositeettiä Nesteet ovat kokoonpuristumattomia Kaasutkin voi approksimoida kokoonpuristumattomiksi Edellyttää pieniä paine-eroja
16 Virtausviiva Virtausviiva (flow line) polku, jota pitkin yksittäinen hiukkanen virtauksen mukana etenee Virtausputki (flow tube) tietyn poikkipinta-alan reunoista lähtevien virtausviivojen rajoittama osa virtausta. Ideaalisessa stationaarisessa virtauksessa virtausputken sisä- ja ulkopuolinen aine ei sekoitu. Virtaavan väliaineen massa ei muutu virtauksen edetessä Johtaa ns. jatkuvuusyhtälöön (continuity equation).
17 Jatkuvuusyhtälö Ajassa dt väliaine virtaa kohdassa 1 matkan v 1 dt ja kohdassa 2 matkan v 2 dt Poikkipintojen läpi siirtyvä massa oltava sama dm 1 = dm 2 = ρ 1 A 1 v 1 dt = ρ 2 A 2 v 2 dt Jos väliaine kokoonpuristumatonta, niin ρ 1 = ρ 2 ja A 1 v 1 = A 2 v 2
18 Tilavuus- ja massavirta Av on tilavuusvirta (volume flow rate) dv dt = Av ρav on massavirta (mass flow rate) dm dt = ρav Jatkuvuusyhtälöstä seuraa, että virtausputken kaikille poikkipinnoile Yleisessä tapauksessa massavirta vakio Kokoonpuristumattomalle väliaineelle myös tilavuusvirta vakio
19 Virtauksen aiheuttava voima Jatkuvuusyhtälö: virtausnopeus voi muuttua paikan funktiona stationaarisessa virtauksessa Väliaineeseen kohdistuu voima työ Ajassa dt väliaine liikkuu matkan ds 1 = v 1 dt kohdassa 1 ja matkan ds 2 = v 2 dt kohdassa 2 Kohdassa 1 väliainepalasta työntävä voima on F 1 = p 1 A 1 Kohdassa 2 väliainepalasta vastustaa voima F 2 = p 2 A 2
20 Työ ja kineettinen energia Väliainesosaan kohdistuu nettotyö dw = F 1 ds 1 + F 2 ds 2 = p 1 A 1 ds 1 p 2 A 2 ds 2 Jatkuvuusyhtälön perusteella A 1 ds 1 = A 2 ds 2 = dv = nettotyö dw = (p 1 p 2 ) dv Väliaineen kineettisen energian muutos dk = 1 2 dm(v 2 2 v 2 1 ) = 1 2 ρ dv (v 2 2 v 2 1 )
21 Bernoullin yhtälö Jos väliaineen päät ovat eri korkeudella potentiaalienergian muutos du = dm g(y 2 y 1 ) = ρg(y 2 y 1 ) dv Energian säilymisen perusteella dw = dk + du (p 1 p 2 ) dv = 1 2 ρ dv (v 2 2 v 2 1 ) + ρg(y 2 y 1 ) dv p 1 + ρgy ρv 2 1 = p 2 + ρgy ρv 2 2 mikä on Bernoullin yhtälö Pätee vain jos väliaine kokoonpuristumatonta ja ilman viskositeettiä
22 Viskositeetti Aiheutuu väliaineen sisäisestä kitkasta Viskoosit voimat vastustavat väliaineen osan liikettä toisen suhteen Viskoosi väliaine pyrkii tarttumaan kiinteään seinämään, johon se on kontaktissa Seinämän viereen muodostuu rajakerros (boundary layer), jossa väliaine lähes levossa. Viskositeetin takia soutaminen vaatii työtä Toisaalta viskositeetin ansiosta pystyy ylipäänsä soutamaan Tärkeä vaikutus virtaukseen putkissa
23 Esimerkki 1 Tarkastellaan patoa, jonka vedenpuoleinen seinämä oletetaan suorakulmaiseksi (pinta-ala A). Järven pinta on aivan padon yläreunan tasalla. 1. Osoita, että patoon kohdistuu vaakasuora voima F = ρgha/2, missä ρ on veden tiheys ja H padon korkeus. 2. Laske patoon kohdistuva vääntömomentti padon alareunan mukaisen akselin suhteen
24 Ratkaisu 1. Pinta-alaelementti da, korkeus dy, leveys L. Ilmanpaine vaikuttaa padon molemmille puolille nettovoima vain nesteen omasta painosta aiheutuva paine p = ρgy. Elementtiin da kohdistuu voima df = p da = ρgyl dy. Integroidaan F = df = H ρgly dy = 1 2 ρglh2 = 1 2 ρgah 0 2. Elementin aiheuttama vääntömomentti padon pohjan suhteen suhteen on dτ = (H y)ρgly dy, koska y on syvyys τ = dτ = ρgl H 0 (Hy y 2 ) dy = ρgl [ H 3 2 H3 3 ] = 1 6 ρgah2
25 Esimerkki 2 Metallipallon paino ilmassa on 29.4 N ja vedessä 18.5 N. Mikä on metallin tiheys? Ratkaisu ilmassa vedessä jaetaan w = mg = ρgv w w = mg F b = ρgv ρ w gv ρ ρ w = w w ρ w w ρ = ρ w = kg m 3 w w w
26 Esimerkki 3 Ylhäältä avoimen vesiastian kyljessä on kapeneva putki (ks. kuva). Tankin vesi pääsee valumaan putkea pitkin ulos tankista. Putken poikkipinta-ala kapenee S s. Määritä veden putkeen kohdistama vaakasuora voima, joka yrittää kiskoa putken irti tankista. Veden pinta vesisäiliössä on h metriä putken yläpuolella. Kitkavoimat voi jättää huomiotta. S s Ratkaisu pitkähkö, esitetään luennolla
Luento 16: Fluidien mekaniikka
Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 010 Jukka Maalampi LUENTO 9 Paine nesteissä Nesteen omalla painolla on merkitystä Nestealkio korkeudella y pohjasta: dv Ady dm dv dw gdm gady paino Painon lisäksi alkioon
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 8 Paine nesteissä Nesteen omalla painolla on merkitystä Nestealkio korkeudella y pohjasta: dv Ady dm dv dw gdm gady paino Painon lisäksi alkioon
LisätiedotKuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa
8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti
LisätiedotLiike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä
Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan
LisätiedotMekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot
Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 21. helmikuuta 2016 Osa II Luku 12: Nestemekaniikka
Lisätiedoty 1 x l 1 1 Kuva 1: Momentti
BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Kevät 17 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä suurimmassa
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi
LisätiedotDemo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT
Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen
LisätiedotFluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla
Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotNESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA
NESTEIDEN ja KSUJEN MEKNIIKK Väliaineen astus Kaaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kaaleeseen törmääät molekyylit ja aine-erot erot aiheuttaat siihen liikkeen suunnalle astakkaisen astusoiman, jonka
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
Lisätiedot3. Bernoullin yhtälön käyttö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
3. Bernoullin yhtälön käyttö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Mitä Bernoullin yhtälö tarkoittaa ja miten sitä voidaan käyttää virtausongelmien ratkaisemiseen? Motivointi: virtausnopeuden
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotEsim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).
3. Peruslait 3. PERUSLAIT Hydrauliikan peruslait voidaan jakaa hydrostaattiseen ja hydrodynaamiseen osaan. Hydrostatiikka käsittelee levossa olevia nesteitä ja hydrodynamiikka virtaavia nesteitä. Hydrauliikassa
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT N = 1,40 N -- 0,84 N = 0,56 N. F 1 = p 1 A = ρgh 1 A. F 2 = p 2 A = ρgh 2 A
TEHTÄVIEN RATKAISUT 8-1. Jousivaa an lukema suolavedessä on pienempi kuin puhtaassa vedessä, koska suolaveden tiheys on suurempi kuin puhtaan veden ja siksi noste suolavedessä on suurempi kuin puhtaassa
LisätiedotMekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot
Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 20. helmikuuta 2017 Osa II Luku 12: Nestemekaniikka
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 26.5.2017 8:00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotPuhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p
KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten
LisätiedotMyös hiekan sideaine vaikuttaa sullonnan määrään. Hartsisideainehiekkojen sullontatarve on huomattavasti vähäisempi kuin bentoniittihiekkojen.
12. Muotin lujuus Raimo Keskinen, Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Muotti joutuu usein alttiiksi suurille mekaanisille rasituksille sulan metallin aiheuttaman paineen ja painovoiman vaikutuksesta. Jotta
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotKun voima F on painovoimasta eli, missä m on massa ja g on putoamiskiihtyvyys 9.81 m/s 2, voidaan paineelle p kirjoittaa:
1 PAINE Kaasujen ja nesteiden paineen mittaus on yksi yleisimmistä prosessiteollisuuden mittauskohteista. Prosesseja on valvottava, jotta niiden vaatimat olosuhteet, kuten paine, lämpötila ja konsentraatiot
LisätiedotVISKOSITEETTI JA PINTAJÄNNITYS
VISKOSITEETTI JA PINTAJÄNNITYS 1 VISKOSITEETTI Virtaavissa nesteissä ja kaasuissa vaikuttaa kitkavoimia, jotka vastustavat hiukkasten liikettä toisiinsa nähden. Tämä sisäinen kitka johtuu hiukkasten välisestä
LisätiedotKertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?
Lisätiedot2.11 Väliaineen vastus
Jokainen, joka on taistellut eteenpäin kohti kovaa vastatuulta tai yrittänyt juosta vedessä, tietää omasta kokemuksestaan, että väliaineella todellakin on vastus. Jos seisoo vain hiljaa paikoillaan vaikkapa
LisätiedotTyössä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.
TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotHydrauliikka: kooste teoriasta ja käsitteistä
ENY-C003 / S-05 Hydrauliikka: kooste teoriasta ja käsitteistä Sovelletussa hydrodynamiikassa eli hydrauliikassa käsitellään veden virtausta putkissa ja avouomissa sekä maaperässä. Käsitteitä Rataviiva,
Lisätiedot4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe :00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe 16.2.2018 13:00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin
LisätiedotSorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä
Sorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä Yleista Sorptioroottorin jäähdytyskoneiston jäähdytystehontarvetta alentava vaikutus on erittän merkittävää
LisätiedotKAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]
KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
Lisätiedot10 Jatkuvan aineen mekaniikkaa (Continuum mechanics)
10 Jatkuvan aineen mekaniikkaa (Continuum mechanics) 10.1 Jatkuvan aineen dynamiikka Aineet voidaan jakaa kahteen kategoriaan, kiinteisiin aineisiin sekä fluideihin (nesteet ja kaasut). Kiinteillä aineilla
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Ensimmäisen luennon aihepiirit. Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET
SMG-4500 Tuulivoima Ensimmäisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat 1 TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET Tuuli on ilman liikettä suhteessa maapallon pyörimisliikkeeseen.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotTyössä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.
TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
LisätiedotW el = W = 1 2 kx2 1
7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen
LisätiedotLuku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission
LisätiedotVirtaus ruiskutusventtiilin reiästä
Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 1.9.2017 klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.
LisätiedotKon-41.4027 Hydraulijärjestelmien mallintaminen ja simulointi L (3 op)
Kon-41.4027 Hydraulijärjestelmien mallintaminen ja simulointi L (3 op) Viikkoharjoitukset syksyllä 2015 Paikka: Maarintalo, E-sali Aika: perjantaisin klo 10:15-13:00 (14:00) Päivämäärät: Opetushenkilöstö
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotElastisuus: Siirtymä
Elastisuus: Siirtymä x Elastisuus: Siirtymä ja jännitys x σ(x) σ(x) u(x) ℓ0 u(x) x ℓ0 x Elastisuus: Lämpövenymä ja -jännitys Jos päät kiinnitetty eli ε = 0 Jos pää vapaa eli σ = 0 Elastisuus: Venymätyypit
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
Lisätiedot15. Rajakerros ja virtaus kappaleiden ympäri. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
15. Rajakerros ja virtaus kappaleiden ympäri KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten virtaus käyttäytyy fluidiin upotetun kappaleen ympärillä ja erityisesti sen välittömässä läheisyydessä?
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Ensimmäisen luennon aihepiirit. Ilmanpaine Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat ILMANPAINE (1/2)
SMG-4500 Tuulivoima Ensimmäisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmanpaine Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat 1 ILMANPAINE (1/2) Ilma kohdistaa voiman kaikkiin kappaleisiin, joiden kanssa
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotFYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen
FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN
LisätiedotKOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma
KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,
Lisätiedot13. Sulan metallin nostovoima
13. Sulan metallin nostovoima Raimo Keskinen, Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Jos putkessa, jonka poikkipinta-ala on A, painetaan männällä nestepinnat eri korkeuksille, syrjäytetään nestettä tilavuuden
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotIlman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella:
ILMANKOSTEUS Ilmankosteus tarkoittaa ilmassa höyrynä olevaa vettä. Veden määrä voidaan ilmoittaa höyryn tiheyden avulla. Veden osatiheys tarkoittaa ilmassa olevan vesihöyryn massaa tilavuusyksikköä kohti.
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
Lisätiedot:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotREAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut
Kaasut REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaasu on yksi aineen olomuodosta. Kaasujen käyttäytymistä kokeellisesti tutkimalla on päädytty yksinkertaiseen malliin, ns. ideaalikaasuun. Määritelmä: Ideaalikaasu on yksinkertainen
Lisätiedot9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.
Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol
LisätiedotIX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208
IX OINEN PÄÄSÄÄNÖ JA ENROPIA...08 9. ermodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon... 08 9. ermodynamiikan toinen pääsääntö... 0 9.3 Entropia termodynamiikassa... 0 9.3. Entropian määritelmä... 0 9.3.
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotTermodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita
Termodynamiikka Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt...jotka ovat kaikki abstraktioita Miksi kukaan siis haluaisi oppia termodynamiikkaa? Koska
Lisätiedot= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotKpl 2: Vuorovaikutus ja voima
Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Jos kaksi eri kappaletta vaikuttavat toisiinsa jollain tavalla, niiden välillä on vuorovaikutus Kahden kappaleen välinen vuorovaikutus saa aikaan kaksi vastakkaista voimaa,
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
LisätiedotLuento 5: Voima ja Liikemäärä
Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotChapter 5. Life in the Slow Lane: The Low Reynolds-Number World
Chapter 5. Life in the Slow Lane: The Low Reynolds-Number World 1 Luento 5 10..017 Viskoosit nesteet Laminaarinen virtaus Turbulenssi Reynoldsin luku Pienten Reynoldsin lukujen maailma Kitkallinen virtaus
LisätiedotMetra ERW 700. Energialaskuri
Metra ERW 700 Energialaskuri 2013 2 Energialaskuri ERW 700 sisältää monipuoliset laskentaominaisuudet erilaisten virtausten energialaskentaan. Höyryn, lauhteen, maakaasun, ilman jne. ominaisuudet ovat
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotMatemaattisesta mallintamisesta
Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
Lisätiedot