F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään

Transkriptio

1 31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan ymmärtää kahden vektorin F i j k F i Fy j Fz k, y z mutta pitää muistaa, että paitsi vektoriluonteinen olio, on myös derivaattaoperaattori. Niinpä tavallisten vektoreiden pistetulon ominaisuus A B B A ei päde tulolle F, sillä F F Fy Fz ei ole divergenssi, koska y z siinä ei derivoida F :ää vaan jotain perässä tulevaa funktiota. Jos vektori on skalaarin f( r ) ja vektorin vr ( ) tulo, sen divergenssi on ( f v) ( f ) v f ( v).

2 3 Esimerkki: Paikkavektorin r i yj zk divergenssi on r y z 3. y z Huomataan, että paikkavektorin divergessi on kaikkialla sama. Esimerkki: Lasketaan vektorinf yi zj yzk divergenssi: F y z yz y z ( ) ( ) ( ) y 0 y 3 y. Esimerkki: Edellisen esimerkin vektori voidaan kirjoittaa skalaarin ja vektorin tulona: F yi zj yzk ( yi zj yzk) G. Silloin tulon divergenssin kaavasta saamme ( G) ( ) G ( G) i j k yi zj yzk y z i ( y) ( z) ( yz) y z y ( y 0 y) 3 y. OK.

3 33 Divergenssi liittyy fysiikassa mm. vuon laskemiseen. Jos vektori on esimerkiksi nesteen virtaustiheys (tiheys nopeus = ( r ) v( r )) jossakin tilavuusalkiossa, kuvaa divergenssi ( v) nesteen nettovirtausta ulos tuosta tilavuusalkiosta aikayksikössä eli se on vuontiheys. Jos ( v) 0, tilavuusalkion sisällä on lähde, jossa syntyy lisää nestettä, ja jos ( v) 0, tilavuusalkion sisällä on nielu, johon nestettä katoaa. Tähän liittyy divergenssistä suomenkielessä käytetty nimitys lähteisyys. Jos ( v) 0, virtauksen sanotaan olevan kokoonpuristumatonta. (Tähän asiaan palataan myöhemmin pintaintegraalien yhteydessä.) Esimerkkejä erilaisista divergensseistä: F 0 F 0 F 0 Esimerkki: Sähköopin mukaan sähkökentän E divergenssi jossakin pisteessä on sama kuin varaustiheys tässä pisteessä, (, y, z) E(, y, z). Positiivinen sähkövaraus ( 0) on siis sähkökentän lähde ja negatiivinen sähkövaraus on sähkökentän nielu ( 0). 0

4 34 Sähkökentän kenttäviivat, joiden tangentteja sähkökentät ovat, lähtevät positiivisista sähkövarauksista ja päätyvät negatiivisiin sähkövarauksiin. Kun gradientista ottaa divergenssin, saa ( f (, y, z)) ( f ) ( f ) ( f ) y y z z f f f y z y z f. Kahden nablan pistetuloa sanotaan Laplace-operaattoriksi : y z i j k i j k y z y z. Laplace-operaattorista käytetään joskus myös merkintää. Esimerkki: Staattisessa tapauksessa sähkökenttä saadaan potentiaalista, E V. Siten E V. Alueessa, jossa ei ole sähkövarausta (ks. edellinen esim.), on siten voimassa Laplacen yhtälö V 0.

5 35 Roottori F Toinen yleinen vektoreihin kohdistuva kolmiulotteinen derivointioperointi on roottori, joka määritellään i j k F y z F F F y z F Fy z F F Fz y F i j k. y z z y Roottorille käytetään myös merkintää curl, F curl F. Roottori on kahden vektorin ristitulona vektori. Huomaa, että jos vektori on ( y-tasossa, ) eli F(, y) F (, y) i F (, y) j, on roottori z- akselin suuntainen vektori: y F y F F y k. Roottori on määritelty vain kolmiulotteisen avaruuden vektoreille (ja kaksiulotteisen Oikean käden säännön mukaisesti roottori F osoittaa katsojaa kohti.

6 36 avaruuden vektoreille, jolloin tulos on aina kolmannessa ulottuvuudessa), toisin kuin gradientti ja divergenssi, joita voidaan käyttää kaiken dimensioisissa avaruuksissa. Karkeasti sanottuna roottori Fr ( ) ilmaisee, kuinka voimakkaasti vektorikenttä Fr ( ) on kiertynyt pisteen r ympäri. Suomenkielessä roottorista käytetään myös nimitystä pyörteisyys ( Fr ( ) on pyörretiheys). Mitä suurempi roottori on, sitä tiukempaa on pyörteisyys. Esimerkki: Lasketaan vektorin F( r) i yj roottori: i j k F y z y 0 [ 0 ( y)] i [ 0] j [ ( y) ] k yk. y z z y (Sain tämän kuvan kirjoittamalla Wolfram Alphan ruutuun (,y).) Tässä kenttäviivat ovat kiertyneet z-akselin ympäri. Ylätasossa ( y 0) F osoittaa katsojaa päin, alatasossa ( y 0) poispäin oikena käden säännön mukaan.

7 37 Lopuksi vielä joukko nablailutuloksia: ( A B) B ( A) A ( B), ( A B) B ( A) A ( B), ( F G) ( G) F ( G ) F ( F) G ( F ) G, ( A) ( ) A ( A), ( F) 0, (roottori on lähteetön) ( ) 0, (gradientti on pyörteetön) ( F) ( F) F. Esimerkki: Johdetaan malliksi alin kaava. Merkitään jne y y i j k F F F i F F j F F y z y z z y z z y y F F F y z Tästä edelleen i j k ( F) y z yfz zfy zf Fz Fy yf yfy yyf zzf zf z i zyfz zzfy Fy yf j zf Fz yyfz yzf y k.

8 38 Lisätään ja vähennetään nyt jokaiseen hakasulkeiseen sieltä puuttuva uufu -tyyppinen termi, esim. ensimmäiseen F. Silloin miinusmerkkisistä tämän tyyppisistä termeistä saadaan ( yy zz )( Fi Fy j Fz k) F. Ensimmäiseen hakasulkeiseen jää [ ] [ ] yfy F zf z i yfy F zfz i F i, jossa on käytetty derivointijärjestyksen vaihdannaisuutta jne. Muista hakasulkeista saadaan vastaavat y y lausekkeet eli kaikkiaan [ F] i [ F] j [ F] k ( F). y z Ja niin onkin kaava tullut näytetyksi toteen.