6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot snotnkin differentili- j integrlilskennn ("nlsin") perusluseeksi. Tästä eteenpäin trkoitmme termillä "integrli" in määrättä integrli, ellei toisin nimenomn snot. Integrlin esiintminen liitt usein kumultiivisiin ilmiöihin. Esimerkiksi, jos hden muuttujn funktio kuv nopeutt v j ik etenee hetkestä t i välin t i, niin v(t i ) t i kertoo ikvälillä t i edetn mtkn, likimin tosin, kosk v voi muuttu välillä t i. Kun jko ik-kselill tihennetään j mtkplset summtn hteen, tulln kuljetun kokonismtkn likirvoon. Trkstelln si geometrisesti. Jos positiivisen jtkuvn rjoitetun funktion f() kuvjn j -kselin välisen lueen pint-l hlutn määrittää välillä [,], niin voidn kättää suorkulmioit ln pproksimoimiseen. Suorkulmion korkeudeksi vlitn funktion suurin j vstvsti pienin rvo kntn olevll osvälillä. Jos osvälejä lhennetään eli välin [,] jko tihennetään, niin ilmeisesti kummtkin pproksimtiot trkentuvt. Edellisessä tpuksess sdn pint-llle A läpproksimtio S j vstvsti jälkimmäisessä l-pproksimtio s. Kirjimell on merkitt pproksimtioon liittvää jko, jok ll olevss kuvss on tsvälinen. Jon määrittelevät sen jkopisteet = 0< < < n =. Snomme, että S j s ovt funktion f jkoon liittvät lä- j lsummt välillä [,]. n Jos funktio on välillä [,] ksvv, niin suurin rvo svutetn kunkin osvälin oikess päätepisteessä j pienin vsemmss oheisen kuvion mukisesti.
62 Vikutt ilmeiseltä, että sillä ei ole merkitstä, onko jko tsvälinen vi ei. Kosk läsummill (kun jkoj vihdelln mielivltisesti) on in lrjn mikä hvänsä lsumm, on niitten joukoll infimum eli suurin lrj inf S. Vstvsti lsummill on supremum eli pienin lärj sups. Funktiot f snotn välillä I=[,] integroituvksi (trkemmin Riemnnintegroituvksi), jos läsummien suurin lrj j lsummien pienin lärj ovt smt: sup s = f( ) d= inf S. Tämä hteinen rvo on funktion f (Riemnn-)integrli "li välin [,]" eli määrätt integrli. Voidn osoitt, että (inkin) kikki rjoitetut ploittin jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi.
63 Toinen tp on vlit välin [, ] jon : = 0< < n < n = osväleiltä [ i-, i ] mielivltinen piste i j määrittää suorkulmion korkeudeksi f( i ). Silloin l pproksimoi Riemnnin summ n i= f( i ) i missä i = i - i- on i:nnen osvälin pituus. Merkitään suurimmn osvälin pituutt eli jon normi = m( i i ). Snomme, että jko tihenee rjtt, jos 0, kun i. Silloin siis osvälien määrä ksv rjtt j niiden pituudet lähestvät noll. i Funktion f määrätt integrli (Riemnn-integrli) on silloin n f ( d ) = lim f( ) n n i n 0 = i n i missä rj-rvo trkoitt mitä hvänsä Riemnnin summien jono, joss jot rjtt tihenevät. (Täsmälliset todistukset, ks. kurssit Mtemttinen nlsi sekä Mitt- j integrliteori.)
64 o 2 3 i f ( i ) i n 2 3 i n Määrätlle integrlille voidn joht seurvt perusominisuudet. f ( d ) = f ( d) 2. f ( ) d= 0 c c 3. ( ) + ( ) = ( ) f d f d f d (dditiivisuus) f g d f d g d (linerisuus) 4. α ( ) + β ( ) = α ( ) + β ( ) 5. ( ) ( ) = / ( ) ( ) ( ) ( ) f g d F g F g d (osittisintegrointi)
65 f ( g ) g ( ) d= f ( t) dt ( t g( ) ) 6. ( ) g ( ) ( ) g 7. ( ) ( ) ( ) ( ) f g f d g d = (Sijoitus) 8. f ( d ) f ( d ) M ( ), M= m f ( ), Voidn osoitt, että välillä [,] jtkuvlle funktiolle f löt in piste c voimelt väliltä (,) siten, että pint-l sdn hdellä suorkulmioll: f()d = f(c)(-). Tämä htälö pätee mös muille kuin ei-negtiivisille funktioille (siis ilmn em. geometrist tulkint). (Integrlilskennn välirvoluse.) =f() f(c) 0 c
66 Jos määrätn integrlin lärj otetn jtkuvn funktion f integrliss muuttujksi: G() = f(t)dt, niin stu funktio on differentioituv: +h G(+h) - G() = f(t)dt - +h f(t)dt = f(t)dt = f(c) h = f() h + (f(c) -f()) h = f() h + ε(h) h missä <c<+h j ε(h) = f(c)-f() 0, kun h 0. Sdn siis tulos: Jos f on jtkuv välillä [,], niin funktion G() = f(t)dt derivtt välillä (,) on G '() = f(). Siis eritisesti todetn, että G() on funktion f () integrlifunktio (primitiivi). Jos F on toinen f:n integrlifunktio, niin se ero G:stä vin vkion verrn: F() = G() + C.
67 Kosk G() = 0, on tämä vkio C = F(). Siis mille hvänsä f:n integrlifunktiolle F pätee F() = f(t)dt + F(). Tästä sdn sijoittmll = htes, joll määrätt integrlit voidn lske integrlifunktion vull: f()d = / F() = F() -F() (ifferentili- j integrlilskennn perusluse)
68 Epäoleelliset integrlit Jos integroimisväli ulottuu äärettömteen ti funktio on rjoittmton, edellä esitett määrätn integrlin määritelmä Riemnnin summn ei sellisenn toimi. Näistäkin tpuksist kuitenkin selvitään, kun lähesttään tilnteit sopivill rj-rvoill. Yhteisellä nimellä näin sntviä integrlej kutsutn "epäoleellisiksi integrleiksi" (improper integrls). Integrointi li äärettömän välin Iden on, että integroidn rjoitetun välin li j nnetn muuttuvn päätepisteen (ti molempien) lähestä ääretöntä. Jos näin stu luseke suppenee, kseinen rj-rvo sovitn integrlin rvoksi j integrlin snotn suppenevn, muuten integrli hjntuu: f() d = lim f()d =f() S 0 f()d = lim f()d c f()d = f()d + c f()d Viimeisessä tpuksess on jouduttu kättämään pun välipistettä c, jok voi oll mikä hvänsä äärellinen reliluku (usein c = 0).
69 Huomttkoon, että rj-rvo CPV r r r f()d = lim f()d, joss l- j lärjt menevät "htik" äärettömteen, ei välttämättä nn sm rvo kuin sitä edeltävä määritelmä. Näin määriteltä integrli snotn Cuchn päärvoksi. Jos integrli f()d suppenee, se j Cuchn päärvo ovt smt. Mutt toisin päin voi kädä niin, että Cuchn päärvo on olemss, vikk o. integrli ei suppene. Srjteoriss hödnsimme seurv tulost: Esim. Integrli Tpuksess p sdn ntmll (>0): / p d suppenee täsmälleen silloin, kun p>: / p d = /(-p) ( -p - ) /(p-), kun p> j, kun p<. Jos p=, niin (>0) / d = ln - ln = ln, kun. = 2 =
70 Integroitv funktio rjoittmton Jos funktio lähest (mhdollisesti toispuoleisen rj-rvon) plus ti miinus ääretöntä välin [,] josskin pisteessä c, kseinen piste c (singulriteetti) eristetään, j integrlit määritellään ts rj-rvoin. Jos rj-rvo on olemss, integrli suppenee, muuten hjntuu: c = : t + s f()d = lim f()d c = : s t f()d = lim f()d <c<: c f()d = f()d + c f()d =f() = 0 t 0 t 0 c Esim. 2 Integrli 0 / p d suppenee täsmälleen silloin, kun p<: Singulriteetti on nt ilmeisesti kohdss 0. Jos s>0, s 0+, niin silloin tpuksess p on s / p d = /(-p) (-s -p ) /(-p), kun p<, j, kun p>. Jos p=, niin (s>0) s / d = ln - ln s = -ln s, kun s 0+.