Jaksollisisa funkioisa Jukka Liukkonen Ylioeaja Helsingin ammaikorkeakoulu Sadia Ymärillämme ja joa sisällämme on runsaasi jaksollisina oisuvia ilmiöiä: äivä seuraa yöä, kesä alvea, sydän lyö ahdissa, mainingi keinuava veneä, varusöllö oisaa yks oisa vihellysään varhaiskevään hämärässä. Jaksollisen ilmiön maemaainen malli on jaksollinen funkio. Millaisia jaksoja funkiolla voi olla? Onko jaksollisen funkioiden summa aina jaksollinen? Voiko kahden jaksollisen funkion summalla olla lyhyemiä jaksoja kuin yheenlaskeavilla funkioilla? Jaksollisen funkioiden erusominaisuuksia Noudaamme yleisä käyänöä ja merkisemme luonnollisen lukujen joukkoa symbolilla N = {1, 2, 3,...}, kokonaislukujen joukkoa symbolilla Z, raionaalilukujen joukkoa symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. Reaalilukua sanoaan funkion f : R R jaksoksi, jos yhälö f( + ) = f() oeuuu kaikilla reaaliluvuilla. Tällöin merkiään f( + ) f(). Funkio f on jaksollinen, jos sillä on ainakin yksi nollasa eroava jakso. Kahden jakson ja summa ja erous ova jaksoja, sillä f( + + ) f( + ) f(), f( + ) f( + + ) f( + ) f(). Valisemalla = ja oisamalla edellisä ääelyä havaiaan, eä jakson monikera n on jakso kaikilla kokonaisluvuilla n. Esimerkki 1. (a) Funkio sin : R R on jaksollinen; jakso muodosava joukon { 2nπ n Z }. (b) Mikä ahansa reaaliluku kelaa vakiofunkion f() c jaksoksi. (c) Määrielemme jokaisa reaalilukua kohi joukon + Q aseamalla + Q = { + r r Q }. (1) Jos 1 ja 2 ova reaalilukuja, on vain kaksi vaihoehoa: joko 1 + Q = 2 + Q ai 1 + Q 2 + Q =. Toisin sanoen jouko (1) ova keskenään erillisiä. Eho 1 + Q = 2 + Q oeuuu äsmälleen silloin, kun 1 2 Q. Joukkojen (1) yhdise on ieenkin koko R. Tällaisa kokoelmaa joukon R erillisiä osajoukkoja, joiden yhdise on R, kusuaan joukon R osiukseksi, ja R on joukkojen (1) erillinen yhdise. On aana merkiä R/Q = { + Q R }.
Inuiiivisesi unuu selvälä, eä jokaisa joukon R/Q alkioa Φ R voidaan valia edusamaan yksi joukon Φ alkio 1 ; merkiäköön siä symbolilla ϕ(φ) Φ. Tällä avoin saadaan ns. valinakuvaus ϕ : R/Q R, Φ ϕ(φ). Edellä sanoun eruseella kaikki raionaaliluvu ova yhdiseyn kuvauksen φ : R R, ϕ( + Q). jaksoja, kun aas yksikään irraionaaliluku ei ole jakso. Jos funkion osiiivisen jaksojen joukossa on ienin alkio, siä sanoaan funkion erusjaksoksi. Edellisen esimerkin kuvauksilla f ja φ ei ole erusjaksoa. Sinifunkion erusjakso on 2π. Jakuvan funkion jaksojen äärellinen raja-arvo on aina jakso: Lemma 2. Jos n on jakuvan funkion f jakso kaikilla n N, ja n kun n, raja-arvo on funkion f jakso. Todisus. Olkoon reaaliluku. Koska + n + kun n, jakuvuuden eruseella f( + n ) f( + ) kun n. Jos lisäksi f( + n ) = f() kaikilla n N, raja-arvon yksikäsieisyyden nojalla f( + ) = f(). Lause 3. Jos jakuva jaksollinen funkio ei ole vakiofunkio, sillä on erusjakso. Todisus. Olkoon f jakuva jaksollinen funkio. Merkiään = inf { > 0 on funkion f jakso }; s. on funkion f osiiivisen jaksojen suurin alaraja 2. Taauksessa > 0 luku on erusjakso lemman 2 eruseella. Taauksessa = 0 funkio f on vakio, kuen seuraavasa ilmenee. Olkoon 0 kiineä reaaliluku ja f( 0 ) = s 0. Riiää osoiaa, eä f() s 0 < ε kaikilla R olia ε > 0 mien ieni ahansa. Olkoon siis ε > 0. Jakuvuuden määrielmän eruseella on olemassa δ > 0, jolle f() s 0 < ε kaikilla ] 0 δ, 0 +δ[. Valisemme funkiolle f osiiivisen jakson δ < δ. Väie seuraa siiä, eä f oisaa iseään lukusuoran R eiävillä väleillä [ 0 k δ, 0 k δ + δ [, k Z, sillä ällöin f() s 0 < ε kaikilla [ 0 k δ, 0 k δ + δ [. Kuen arkkasilmäinen lukija huomasi, edellisen odisuksen aauksessa = 0 funkio f riii oleaa jakuvaksi vain yhdessä isessä s 0. Siis jos funkiolla f on mielivalaisen ieniä osiiivisia jaksoja, ja f on jakuva yhdessäkin iseessä, niin f on ise asiassa vakiofunkio. Reaalilukua δ > 0 sanoaan reaalilukujen x ja y yheiseksi miaksi, jos x = aδ ja y = bδ joillakin kokonaisluvuilla a ja b. Lukuja x ja y sanoaan yheismiallisiksi, jos niillä on yheinen mia; muussa aauksessa x ja y ova yheismiaoma. Luku nolla on yheismiallinen kaikkien muiden lukujen kanssa. On hyvin heloa osoiaa, eä x ja y ova yheismiaoma äsmälleen silloin, kun seuraava eho on voimassa: jos m, n Z ja mx + ny = 0, niin m = n = 0. Lukujen yheismiaomuuden käsie muisuaa siis vekorien lineaarisen riiumaomuuden käsieä. 3 Seuraavan lemman muooilu ja odisus ova lehori Heikki Visin käsialaa. Merkisemme S(x, y) = { mx + ny m, n Z }, S + (x, y) = { s S(x, y) s > 0 } ja σ(x, y) = inf S + (x, y). Lemma 4. Luvu x ja y ova yheismiallise, jos ja vain jos σ(x, y) > 0. Tällöin (a) S(x, y) = { kσ(x, y) k Z }, (b) σ(x, y) on lukujen x ja y yheinen mia, ja (c) σ(x, y) on asan jaollinen kaikilla lukujen x ja y yheisillä mioilla. Todisus. Olkoon δ lukujen x ja y yheinen mia, a, b Z, x = aδ, y = bδ ja s S + (x, y). Esiämme luvun s muodossa s = mx + ny, missä m, n Z. Koska δ > 0 ja s = (ma + nb)δ > 0, välämää ma + nb 1 ja siis s δ. Näin ollen δ on joukon S + (x, y) eräs alaraja, ja σ(x, y) δ > 0. Näin olemme odisanee, eä lukujen x ja y yheismiallisuudesa seuraa eho σ(x, y) > 0. Käänäen: olkoon σ(x, y) > 0. Valisemme alkion s S + (x, y), jolle σ(x, y) s < 2σ(x, y). Taauksessa σ(x, y) < s olisi olemassa s S + (x, y), jolle σ(x, y) s < s. Selväsi s s S + (x, y) ja s s < σ(x, y), mikä on risiriidassa luvun σ(x, y) määrielmän kanssa. Siis σ(x, y) s, jolloin σ(x, y) = s S + (x, y) eli σ(x, y) = min S + (x, y). Eriyisesi kσ(x, y) S(x, y) kaikilla k Z. Siis yhälössä (a) oikea uoli on vasemman osajoukko. Näyämme vielä, eä vasen uoli on oikean osajoukko. Jos olisi s S(x, y) ja kσ(x, y) < 1 Maemaaisessa mielessä kyseessä on syvällinen asia, ns. valina-aksiooma. 2 Luku a on reaalilukujoukon A alaraja, jos a x kaikilla x A. Jos joukolla on yksikin alaraja, joukkoa sanoaan alhaala rajoieuksi. Ns. äydellisyysaksiooman nojalla alhaala rajoieun eäyhjän joukon alarajojen joukossa on suurin alkio; siä merkiään inf A. 3 Ise asiassa kysymys on juuri lineaarisesa riiumaomuudesa, jos R ulkiaan Q-keroimiseksi vekoriavaruudeksi ja x sekä y kyseisen avaruuden vekoreiksi.
s < (k + 1)σ(x, y) eräällä k Z, luku s kσ(x, y) olisi aidosi ienemi joukon S + (x, y) alkio kuin σ(x, y), mikä on risiriia. Siis jokainen joukon S(x, y) alkio on muooa kσ(x, y), k Z. Täen (a) on ullu odiseuksi. Väie (b) seuraa kohdasa (a) ja siiä, eä x, y S(x, y). Näin olemme odisanee myös sen, eä ehdosa σ(x, y) > 0 seuraa lukujen x ja y yheismiallisuus. Olkoo δ, a ja b kuen odisuksen alussa. Koska σ(x, y) S(x, y), on olemassa luvu m, n Z, joille σ(x, y) = mx + ny = (ma + nb)δ. Tässä ma + nb Z. Sien myös (c) on voimassa. Lemma 5. Olkoo x ja y yheismiaomia lukuja. Tällöin mx + ny saadaan mielivalaisen lähelle nollaa valisemalla kokonaislukukeroime m ja n, m 0 ai n 0, soivasi. Todisus. Lemman 4 nojalla σ(x, y) = 0. Lemma 6. Jos funkiolla on keskenään yheismiaoma jakso, sillä on mielivalaisen ieniä jaksoja. Todisus. Olkoo ja funkion yheismiaoma jakso. Lemman 5 nojalla luku m + n 0 saadaan mielivalaisen lähelle nollaa valisemalla kokonaislukukeroime m ja n, m 0 ai n 0, soivasi. Väie seuraa siiä, eä m + n on jakso. Lause 7. Jos jakuvalla funkiolla on keskenään yheismiaoma jakso, funkio on vakio. Todisus. Väie on väliön seuraus lauseesa 3 ja lemmasa 6. Jaksollisen funkioiden summa Kahden jaksollisen funkion summa ei välämää ole jaksollinen, kuen seuraava esimerkki osoiaa: Esimerkki 8. Tarkaselkaamme kaha kosinifunkioa ( ) ( ) 2π 2π f() A cos + α ja g() B cos + β, joilla on yheismiaoma erusjakso ja. Jos summalla (f + g)() f() + g() olisi jakso r, jakson yli oeu inegraali olisi välämää nolla, sillä kummankin kosinifunkion inegraali yli kaikkien rajoieujen välien muodosava rajoieun joukon. Tällöin nimiäin summan inegraalin monikera +r n (f(s) + g(s)) ds +nr +nr (f(s) + g(s)) ds f(s) ds + +nr g(s) ds ei voi kasvaa rajaa kokonaisluvun n kasvaessa rajaa. Siis +r 0 (f(s) + g(s)) ds +r ( ) +r ( ) 2πs 2πs A cos + α ds + B cos + β ds A ( ) 2π( + r) 2π sin + α A ( ) 2π 2π sin + α + B ( ) 2π( + r) 2π sin + β B ( ) 2π 2π sin + β eli ( 2π A sin ( 2π B sin ) + α + 2πr ( 2π A sin + β ) B sin + 2πr ) + α ( 2π + β ). Yhälön vasemman uolen eräs jakso on. Toisaala myös on vasemman uolen jakso, sillä on oikean uolen jakso. Vasemmalla uolella on siis jakuva funkio, jolla on yheismiaoma jakso. Lauseen 7 eruseella vasen uoli on vakiofunkio, mua se on mahdollisa vain aauksessa 2πr = m 2π eli r = m, missä m Z. Oikea uoli on vakio vain, jos 2πr = n 2π eli r = n, missä n Z. Tällöin n m = 0, joen yheismiaomuuden nojalla n = m = 0. Siis r = 0. Johoääös: Jos kahdella kosinifunkiolla on yheismiaoma erusjakso, niiden summa ei ole jaksollinen. Sama koskee luonnollisesi myös sinifunkioia. Yheismiallisia erusjaksoja arkaselaessa yksiköksi voidaan valia yheinen mia. Näin ajaellen arkaselu voidaan rajoiaa sellaisiin funkioihin, joiden erusjakso ova osiiivisia kokonaislukuja. Lemma 9. Olkoon funkiolla f jakso N ja funkiolla g jakso N. Jos r on asan jaollinen kummallakin luvuisa ja, niin r on summan f + g jakso. Todisus. Oleakaamme, eä r on sekä luvun eä luvun monikera. Tällöin r on sekä funkion f eä funkion g jakso, joen r on summan f + g jakso. Jos x ja y 0 ova reaalilukuja, merkisemme x mod y = x max { my m Z, my x }.
Kokonaislukujen m 0 ja n > 0 aauksessa m mod n arkoiaa siis jakojäännösä, kun m jaeaan luvulla n. Seuraava esimerkki osoiaa, eä eäjakuvan funkion ei arvise olla vakio, vaikka sillä onkin yheismiaoma jakso (vr. lause 7). Esimerkki 10. Olkoon ξ kiineä irraionaaliluku. Jaamme reaaliluvu kahdeksi erilliseksi joukoksi sen eruseella, voidaanko ne esiää muodossa m + nξ, m, n Z, (2) vai ei. Jos m, n Z ja m + nξ = m + n ξ, niin m m = (n n)ξ, jolloin luvun ξ irraionaalisuuden eruseella välämää n = n ja m = m. Siis luvun esiys muodossa (2) on yksikäsieinen. Määrielemme funkio f, g : R R aseamalla { m mod 3 + nξ, = m + nξ, m, n Z, f() = 0, muulloin, ja g() = { m mod 2 nξ, = m + nξ, m, n Z, 0, muulloin. Funkion f eräs jakso on 3. Näyämme, eä luku r, 0 < r < 3, ei voi olla funkion f jakso. Jos r = m + nξ, missä m, n Z, niin f(1 + r) = (m + 1) mod 3 + nξ 1 = f(1). Eäyhälö nähdään väliömäsi odeksi ukimalla aaukse n = 0 ja n 0 erikseen. Jos r ei ole muooa (2), myöskään 1 + r ei ole muooa (2). Tällöin f(1 + r) = 0 1 = f(1). Siis funkiolla f on erusjakso 3. Samoin funkiolla g on erusjakso 2. On lisäksi ilmeisä, eä summalla f + g on jakso ξ. Lemman 9 nojalla summalla on myös jakson ξ kanssa yheismiaon jakso 2 3 = 6. Lemman 6 mukaan funkiolla f + g on ällöin mielivalaisen ieniä jaksoja. Johoääös: Vaikka kummallakin kahdesa funkiosa on erusjaksona kokonaisluku, funkioiden summalla voi olla ääreön määrä mielivalaisen ieniä irraionaalisia jaksoja. Lause 11. Olkoon funkiolla f erusjakso N ja funkiolla g erusjakso N, missä lukujen ja suurin yheinen ekijä on sy(, ) = 1. Jos r = m/n on summan f + g jakso, missä m N ja n N, niin m on jaollinen ulolla. Todisus. Yhälösä f( + knr) + g( + knr) f() + g() saadaan keroimella k = f( + m) f() (3) ja keroimella k = g( + m) g(). (4) Yhälö (3) oeuuu vain, jos m on jaollinen luvulla, sillä muulloin funkiolla f olisi jaksoa lyhyemi osiiivinen jakso m mod. Samoin (4) oeuuu vain, jos m on jaollinen luvulla. Korollaari 12. Olkoon funkiolla f erusjakso N ja funkiolla g erusjakso N, missä sy(, ) = 1. Jos n N ja /n on summan f + g jakso, niin sy(, n) = 1. Esimerkki yheismiallisisa jaksoisa Korollaarin 12 innoiamina konsruimme esimerkin aauksesa, jossa funkiolla f on erusjakso 3, funkiolla g on erusjakso 2, ja summalla f + g on erusjakso 6/5. Rakennamme esimerkin eäjakuvisa funkioisa määrielemällä niiden arvo nollaksi muualla aisi iseissä n/5, n Z. Koska jokaisella funkioisa f, g ja f + g on jaksona 6, voimme rajoiaa arkaselu funkioiden arvoihin iseissä n/5, 0 n < 30. Louksi muuamme eäjakuva funkio jakuviksi oeraaiolla, joa maemaaiko nimiävä konvoluuioksi; siinä jaksollisuusominaisuude säilyvä. Merkisemme lyhyyden vuoksi f n = f(n/5), n = 0, 1,..., 14, g n = g(n/5), n = 0, 1,..., 9, S n = (f + g)(n/5), n = 0, 1,..., 5. Funkiolla f +g on jaksona 6/5, jos ja vain jos seuraava yhälö ova voimassa yh aikaa: S 0 = f 0 + g 0 = f 6 + g 6 = f 12 + g 2 (5) = f 3 + g 8 = f 9 + g 4, S 1 = f 1 + g 1 = f 7 + g 7 = f 13 + g 3 (6) = f 4 + g 9 = f 10 + g 5, S 2 = f 2 + g 2 = f 8 + g 8 = f 14 + g 4 (7) = f 5 + g 0 = f 11 + g 6, S 3 = f 3 + g 3 = f 9 + g 9 = f 0 + g 5 (8) = f 6 + g 1 = f 12 + g 7, S 4 = f 4 + g 4 = f 10 + g 0 = f 1 + g 6 (9) = f 7 + g 2 = f 13 + g 8, S 5 = f 5 + g 5 = f 11 + g 1 = f 2 + g 7 (10) = f 8 + g 3 = f 14 + g 9.
Kun yhälöisä (5) ja (6) rakaisaan g 0,..., g 9 ja sijoieaan yhälöihin (7) (10), saadaan S 2 = f 2 + S 0 f 12 = f 8 + S 0 f 3 (11) = f 14 + S 0 f 9 = f 5 + S 0 f 0 = f 11 + S 0 f 6, S 3 = f 3 + S 1 f 13 = f 9 + S 1 f 4 (12) = f 0 + S 1 f 10 = f 6 + S 1 f 1 = f 12 + S 1 f 7, S 4 = f 4 + S 0 f 9 = f 10 + S 0 f 0 (13) = f 1 + S 0 f 6 = f 7 + S 0 f 12 = f 13 + S 0 f 3, S 5 = f 5 + S 1 f 10 = f 11 + S 1 f 1 (14) = f 2 + S 1 f 7 = f 8 + S 1 f 13 = f 14 + S 1 f 4. f 0 = f 10 S 1 + S 3, g 0 = S 4 f 10, f 2 = f 7 S 1 + S 5, g 1 = S 1 f 1, f 3 = f 13 S 1 + S 3, g 2 = S 4 f 7, f 5 = f 10 S 1 + S 5, g 3 = S 1 f 13, f 6 = f 1 S 1 + S 3, g 4 = S 4 f 4, f 8 = f 13 S 1 + S 5, g 5 = S 1 f 10, f 9 = f 4 S 1 + S 3, g 6 = S 4 f 1, f 11 = f 1 S 1 + S 5, g 7 = S 1 f 7, f 12 = f 7 S 1 + S 3, g 8 = S 4 f 13, f 14 = f 4 S 1 + S 5, g 9 = S 1 f 4. Esimerkki 13. Valisemalla S 0 = S 1 = S 2 = 0, S 3 = S 5 = 1 ja S 4 = 1 ehdo (25) ja (26) oeuuva. Aseamme f 1 = 1 ja f 4 = f 7 = f 10 = f 13 = 0. Silloin f 0 = f 2 = f 3 = f 5 = f 8 = f 9 = f 12 = f 14 = 1, f 6 = f 11 = 2, g 0 = g 1 = g 2 = g 4 = g 8 = 1, g 3 = g 5 = g 7 = g 9 = 0 ja g 6 = 2. Funkioiden f, g ja f + g arvoisa saadaan seuraava aulukko: Yhälöisä (11) rakeava ja yhälöisä (14) rakeava f 0 = f 5 + S 0 S 2, (15) f 3 = f 8 + S 0 S 2, (16) f 6 = f 11 + S 0 S 2, (17) f 9 = f 14 + S 0 S 2, (18) f 12 = f 2 + S 0 S 2, (19) f 2 = f 7 + S 5 S 1, (20) f 5 = f 10 + S 5 S 1, (21) f 8 = f 13 + S 5 S 1, (22) f 11 = f 1 + S 5 S 1, (23) f 14 = f 4 + S 5 S 1. (24) Sijoiamalla nämä yhälöihin (12) (13) saadaan S 3 = S 0 S 2 + S 5, (25) S 4 = S 1 + S 2 S 5. (26) Johoääös: Jos vakio S 0,..., S 5 oeuava ehdo (25) ja (26), yhälöryhmällä (5) (10) on ääreömän mona rakaisua. Ne saadaan valisemalla vaaasi arvo muuujille f 1, f 4, f 7, f 10, f 13 ja laskemalla muuujille f 2, f 5, f 8, f 11, f 14 arvo kaavoisa (20) (24). Tämän jälkeen muuujille f 0, f 3, f 6, f 9, f 12 laskeaan arvo kaavoisa (15) (19) ja muuujille g 0,..., g 9 yhälöisä (5) ja (6). Jos vakio S 0,..., S 5 eivä oeua ehoja (25) ja (26), yhälöryhmällä (5) (10) ei ole yhään rakaisua. Ehojen (25) ja (26) oeuuessa rakaisuksi saadaan f() g() f() + g() 0,0 1-1 0 0,2 1-1 0 0,4 1-1 0 0,6 1 0 1 0,8 0-1 -1 1,0 1 0 1 1,2 2-2 0 1,4 0 0 0 1,6 1-1 0 1,8 1 0 1 2,0 0-1 -1 2,2 2-1 1 2,4 1-1 0 2,6 0 0 0 2,8 1-1 0 3,0 1 0 1 3,2 1-2 -1 3,4 1 0 1 3,6 1-1 0 3,8 0 0 0 4,0 1-1 0 4,2 2-1 1 4,4 0-1 -1 4,6 1 0 1 4,8 1-1 0 5,0 0 0 0 5,2 2-2 0 5,4 1 0 1 5,6 0-1 -1 5,8 1 0 1 Taulukkoa ajaellaan jakeavan jaksollisesi arvoille = n/5, n Z, missä n < 0 ja 30 n. Jos ei ole muooa n/5, n Z, funkioiden arvo iseessä aseeaan nolliksi. Silloin funkion f erusjakso on 3, funkion g erusjakso on 2, ja funkion f + g erusjakso on 6/5.
Esimerkki 14. Muokkaamme esimerkin 13 muooon, jossa esiinyy vain jakuvia funkioia, ai ise asiassa ns. C -funkioia eli sellaisia funkioia, joilla on kaikkien keralukujen derivaaa. Käyämme rakennusalikkana funkiosa { e 2 /( 2 1), 1 < < 1, ψ : R R, ψ() = 0, muulloin, skaalaamalla saaavia funkioia ψ a () = ψ(/a), a > 0. Kuvaus ψ a on nolla välin ] a, a[ ulkouolella, se on aidosi vähenevä välillä [0,a[, ψ(0) = 1 ja ψ a ( ) = ψ a () kaikilla R. Lisäksi funkiolla ψ a on kaikkien keralukujen derivaaa kaikissa lukusuoran iseissä. Derivoiuvuus iseissä a ja a seuraa siiä, eä eksonenifunkio e voiaa kasvussa kaikki olynomifunkio, kun kasvaa rajaa. Siirämällä funkioa ψ 0,1 luvun n/5 verran saadaan kuvaukse θ n : R R, θ() = ψ 0,1 ( n/5), n Z. Funkio θ n on nolla välin ] n/5 1/10, n/5 + 1/10 [ ulkouolella. Korvaamalla esimerkissä 13 funkio f funkiolla F : R R, F () = f(n/5) θ n (), ja funkio g funkiolla G : R R, G() = n= n= g(n/5) θ n (), saamme C -kuvaukse F, G ja F + G, joilla on sama jaksollisuusominaisuude kuin funkioilla f, g ja f + g. Louksi Keksikö ise mielenkiinoisia jaksollisiin funkioihin liiyviä ilmiöiä? Voidaanko esimerkki 8 yleisää muillekin kuin rigonomerisille funkioille? Onko olemassa funkioia f ja g, joisa ensimmäisen erusjakso on 2, oisen erusjakso on 3 ja summan f + g erusjakso on 6/7? Enä muu aaukse, joia korollaari 12 ei sulje ois? Älä urhaudu! Rakaisujen keksiminen voi olla hyvinkin hankalaa, eikä niihin kannaa liikaa uhlaa aikaansa. Mikä sien on liikaa no jaa, riiuu kiinnosuksen määräsä. Ise käyin ämän juun kirjoiamiseen uole hiiholomasani. Aikaisemmin olin mieiny näiä asioia aina silloin ällöin muuamien kuukausien kuluessa. Jos jokin käsie ai muu asia jäi hämäräksi, Tamereen eknillisen ylioison verkkodokumeni Johdaus korkeakoulumaemaiikkaan osoieessa h://mawww.ee.u.fi/jkkm/oc.hml saaaa olla avuksi, vaikka eriaaeessa lukion ikän maemaiikan iäisi riiää.