Sisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja

Transkriptio

1

2 Sisällys Alkusana Thävin rakaisuja Joukko-oppia Logiikkaa 6 Todisusmnlmiä Lukuoriaa Lisähäviä Pikasi 9 Krauskok painos Alkusana Tämä ainiso liiyy pikän mamaiikan oppikirjaan Lukion Calculus 6:n, ja s on arkoiu hlpoamaan opajan yöä ja nopuamaan häviin uusumisa Ainiso sisälää syvnävän kurssin Lukuoria ja logiikka hävin rakaisu Lähs kaikkin hävin rakaisu on siy Hlpommisa hävisä on ilmoiu vain vasauks Samoin on mnly, jos hävän rakaisminn i ol dllyäny riyisä päälyä ai välivaihidn kirjaamisa Vaikka rakaisu ova monsi lyhnnyjä, on opisklija syyä ouaa siämään arpllis pruslu ja laaimaan vasauksnsa niin, ä siiä käy ilmi, min rakaisu on ajalu Tämä dllyää usin juuri äydnävän sanallisn slviyksn käyöä 5 Paavo Jäppinn, Alpo Kupiainn, Mai Räsänn ja Kusannusosakyhiö Oava Hlmikuussa 5 Tkijä Taio: Paavo Jäppinn Kopioinihdo: Tämä os on opajan opas/opajan kirja Tos on suojau kijänoikuslailla (/6) Tksisivujn valokopioiminn on killy, lli valokopioiniin ol hankiu lupaa Tarkisa, onko oppilaioksllann voimassaolva valokopioinilupa Lisäioja luvisa ja niidn sisällösä anaa Kopioso ry, wwwkopiosofi/ Toksn kaikkin kalvopohjin ja kokidn valokopioini opuskäyöön on salliua, mikäli oppilaioksllann on voimassaolva valokopioinilupa Toksn ai sn osan digiaalinn kopioiminn ai muunlu on hdoomasi killy Painopaikka: Oavan Kirjapaino Oy Kuruu 5 ISBN 95---

3 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Thävin rakaisuja Lukuoria ja logiikka Joukko-oppia Pruskäsiiä Tämän oppaan ksissä luonnollisn lukujn, kokonaislukujn, raionaalilukujn ja raalilukujn jouko mrkiään vasaavasi kirjaimin N, Z, Q ja R a) {,,,,,5} b) {,,,,,} c) {,, } a) {,,,,,5,6 } b) {,,5, 7, } c) {, 6,,,,,,6, } a) { x x <, x Z } b) x x N, x N c) { x x < } A:n osajoukkoja ova kohin a, b, d, ja f jouko Kohdan d joukko on sama kuin joukko A 5 Mrkinä ilmais, ä luonnollisn lukujn joukko on kokonaislukujn osajoukko Tämä puolsaan on raionaalilukujn osajoukko Raionaalilukujn joukko on vasaavasi raalilukujn osajoukko 6 a) b) c) 5 6 x x x 7 Mrkinä k arkoiaa parillisa kokonaislukua ja mrkiä k + vasaavasi pariona kokonaislukua, kun k Z a) {,,,,,, } b) {, 5,,,,, 5, } c),,,,, Joukon {a, b, c} osajouko ova, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} ja {a, b, c}

4 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Yhdis, likkaus ja rous 9 On annu jouko A = {,,, }, B = {,, 5} ja C = {,, } a) A B = {,,,,5} b) A C = {,,,} c) A B = {,} d) A C,, = { } Jouko A, B ja C ova dllisn hävän jouko a) A \ B = {,} b) A \ C = { } c) B \ C =,5 d) C \ B =, { } { } a) A B = { x 5 x 5} = [ 5, 5] b) A B = a) A B = [, 5] b) A B = ],] c) A \B = [,] ], 5 d) B \ A = ) CAB [,],5 = ] ] ] A A U B x A \ B = C A B AU B A A B U B B x a) A A = A b) A A = A c) A = A d) A = E = {lukion oppilaa}, A = {yöoppilaa} ja B = {all 8-vuoiaa oppilaa} a) A = {lukion poja} b) B = {vähinään 8-vuoiaa oppilaa} c) A B = {yö ja all 8-vuoiaa oppilaa} d) A B = {all 8-vuoiaa yö} ) A B = {vähinään 8-vuoiaa poja} 5 B C = {,,,, 5 A } A B C = { } 6 a) A B C b) C A B C C A B A B c) ( A B) ( B C) d) C ( A B) ( B C) ( C A) C A B A B

5 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 5 7 a) 8 b) 8 a) Koska A = {,5, 6, 7,8,9,}, on B = {,5, 6, 7,8,9,} b) Koska A B = {,,,6,7,8, 9}, on A B = {, 5,} c) Koska B C = {} 8 ja B C = {,,,,5,6,7,9,}, on A B C = {,,,,5, 6,7,9,} A 9 a) A A = E b) A A = c) A = A d) Ø = E ) E = Tulojoukko a) A B = {(, ), (, ), (, 5),(, ), (, ), (, 5), (, ), (, ),(, 5), (, ), (, ),(, 5)} b) A B = {(, p), (, q),(, r),(f, p), (f, q), (f, r), (g, p), (g, q), (g, r)} Molmmissa joukoissa on alkioa a) y b) 5 y 5 5 x 5 x a) Koska B C = { c, d}, on A ( B C) = {(, c ),(, d),(, c),(, d),(6, c),(6, d)} b) B = (, a ),(, b),(, c),(, d),(, a),(, b),(, c),(, d),(6, a),(6, b),(6, c),(6, d) ja A C = {(, c), (, d), (, ), (, c), (, d), (, ), (6, c), (6, ), (6, d)} Tällöin ( A B) ( A C) = {(, a ),(, b),(, c),(, d),(, ), (, a), (, b), (, c), (, d), (, ), (6, a), (6, b), (6, c), (6, d), (6, )} A { } Kolmsa pusrosa ja kolmsa hamsa 5 A B = B A vain silloin, kun saa 9 rilaisa asuyhdislmää A = B 6 A B C = {(,,),(,,),(,,),(,, ), (,,),(,, ),(,,),(,, )} 7 a) y b) y x x 8 a) y S = {(,), (,)} b) y T = {(,)} x x

6 6 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Logiikkaa Logiikan konnkiivi 9 Kohda a, c ja ova proposiioia, muu ivä ol a) Kaikki ivä ol läsnä Tai: Ainakin yksi on poissa b) Poikia on vähinään viisi c) Molmma linnu ivä ol sorsia Tai: Ainakaan oinn linu i ol sorsa d) Kukaan i kuunl ) Luku on nolla ai ngaiivinn f) Silmälukujn summa on ninään yhdksän a) Hän on nuori ai kaunis b) Hän on nuori ja kaunis c) Jos hän on kaunis, niin hän on nuori d) Jos hän on nuori, niin hän i ol kaunis a) A B b) A B c) A B a) A B b) A B c) B A Lausia ova a, b ja d c- koha i ol laus, koska implikaaio on aina kahdn lausn välinn - koha i ol laus, koska siinä on kaksi aomilausa (B) präkkäin ilman konnkiivia 5 a) Laus P Q on osi, samoin laus Q P on osi b) Laus P Q on osi, laus Q P on päosi c) Laus P Q on osi, samoin laus Q P on osi 6 a) Implikaaio A B on osi, samoin implikaaio B A on osi b) Implikaaio A B on osi, samoin implikaaio B A on osi Yhdisyn lausn ouusarvo 7 Kaikissa kohdissa uloimma sulkumrki ova arpoma a) ( P Q) R Sulkumrki arviaan osoiamaan, ä implikaaio, joka on disjunkioa hikompi, suoriaan nsin b) P Q R Sismpiä sulkumrkkjä i arvia, koska disjunkio on vahvmpi kuin implikaaio c) P Q R Sismpiä sulkumrkkjä i arvia, koska konjunkio on vahvmpi kuin implikaaio d) P ( Q R S) S Sulkumrki arviaan, koska kvivalnssi on hikompi kuin disjunkio

7 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 7 8 Sarak A B piää olla,,, Sarak A piää olla,,, 9 a) A: Lähdn lnkill, B: Ulkona saaa B A b) A: Opin logiikkaa, B: Lun oriaosuudn, C: Tn harjoiushävä B C A c) A: Tmm yöä, B: Elämm A B a) Humbai on pussiläin ja s lää Kiinassa b) Jos Vill on msäsäjä ja msäsäjä jahaava pussiläimiä, niin humbai on pussiläin ai humbai lää Kiinassa c) Humbai on pussiläin ja s lää Kiinassa, ai i ol oa s, ä jos Vill on msäsäjä, niin msäsäjä jahaava pussiläimiä Tidään, ä A on osi ja B päosi a) A ( B B) Yhdisy laus on osi c) ( B A) B Yhdisy laus on osi b) ( A B) ( A B) Yhdisy laus on päosi d) ( B A) B Yhdisy laus on osi a) b) c) A A A A) (A B ) A (A B) ( A B) A B ( A B ) A A B Lausilla on sama ouusarvo, koska lihavoiujn sarakkidn ouusarvo ova sama A: Koira haukkuu B: Pihapiirissä liikkuu joku B A A B Laus Jos pihapiirissä liikkuu joku, koira haukkuu ja Jos koira i hauku, pihapiirissä i liiku kukaan ova kvivalnja

8 8 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 5 6 S T S T S T ( S T ) ( S T ) ( S T ) ( S T ) (P Q) (P Q) P Q P Q 7 a) A B A B A B ( A B) Vraamalla aulukoidn lihavoidulla mrkiyjä ouusarvoja havaiaan, ä ( A B) ( A B) b) A B A B A B A B Vraamalla lihavoidulla mrkiyjä ouusarvoja havaiaan, ä (A B) ( A B) c) A B A B A B (A B) ( A B) Vraamalla lihavoidulla mrkiyjä sarakkia havaiaan laus yhäpiäviksi li (A B) (A B) ( A B)

9 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 9 8 Shffrin viiva Pircn nuoli P Q P Q P Q P Q Tauologia 9 a) Lapsi i varu ai i viisasu b) Sulho kuuluu ai näkyy c) Tippuu ai liris 5 (A B) ( B A) Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa konraposiion auologiaksi 5 a) b) c) A B B A A B (A B) (A B) Laus i ol auologia Laus on auologia Laus on auologia 5 Jos Paavon päivänä paukkuu pakkann, niin ul hyvä ksä Ja Paavon päivänä i pauku pakkann Siis i ul hyvä ksä 5 (( P K ) P) K 5 (A B) A B Pääly i ol osi kaikilla aomilausidn ouusarvoyhdislmillä, jon laus i ol auologia Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa d Morganin lain auologiaksi

10 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja A: "Saaa", B: "Lähdn lnkill" a) A B, b) ( A B) a) A B b) ( A B ) Koska lihavoidulla mrkiy sarakk ova samoja, laus ova kvivalnja 55 C ( A B) ( A B ) C Koska lihavoidulla mrkiy sarakk ova samoja, laus ova kvivalnja 56 ( x < x > ) ( x x ) li x 57 (( A B ) A) B Pääly on pävä 58 Ensimmäinn osilulaki A (B C ) ( A B ) ( A C)

11 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Toinn osilulaki A ( B C ) (A B ) ( A C) 59 ( P Q) = ( P Q) = ( ( P Q) = P Q 6 a) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( B A) b) ( A B) ( A B) ( A B) A B ( A B) (( A B) ( B A)) 6 a) A B A b) ( A B C ) c) A B ( A B) 6 Mrkiään: P: "Tidän olvani kuollu" ja Q: "Oln kuollu" ((P Q) (P Q )) P Pääly ((P Q) (P Q )) P on auologia 5 Prdikaailogiikkaa 6 Sijoiamalla päyhälöön annu x:n ja y:n arvo havaiaan, ä a-koha on osi ja muu kohda päosia 6 a) Kaikkin raalilukujn nliö ova posiiivisia Laus on päosi, sillä luvun nolla nliö i ol posiiivinn b) On olmassa kokonaisluku, joka on käänislukuaan pinmpi Laus on osi, sillä simrkiksi on pinmpi kuin sn käänisluku c) Kaikill raaliluvuill x ja y on voimassa ho xy = yx Kysssä on krolaskun vaihdanalaki, joka on voimassa kaikill raaliluvuill

12 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 65 a) Jokaisn raaliluvun nliö on nolla ai ngaiivinn luku Laus on päosi, sillä jokaisn raaliluvun nliö on i-ngaiivinn luku b) On olmassa ainakin yksi raaliluku, jonka nliö on Tosi Tällaisia raalilukuja ova ja c) Jokainn kokonaisluku kahdlla jauna on kokonaisluku Laus on päosi, sillä simrkiksi luvun kolm puolikas i ol kokonaisluku d) Jokaisn raionaaliluvun nliöjuuri on raaliluku Epäosi, sillä simrkiksi luvun, nliöjuuri i ol raaliluku 66 a) Laus on päosi Jos x on simrkiksi 5, saadaan yhälösä x = y y:ll arvo,5 Tämä i kokonaisluku b) Laus on osi Olkoonpa x mikä raaliluku ahansa, aina on sllainn raaliluku y, x ä x = y, nimiäin y = 67 a) Laus on päosi, sillä annun joukon alkio ja ivä ol luonnollisia lukuja b) Laus on osi Alkioksi x sopii Tällöin x + y A kaikill A:n alkioill y c) Laus on päosi, sillä simrkiksi ulojn ( ) ja ( ) arvo ivä ol luonnollisia lukuja 68 x, y R: x > y x y > 69 a) x, y N: xy N Tosi b) ( x N : x < ) Tosi c) x R: x > Epäosi 7 a) x R : x b) x Q : x x c) x R y R : x + y 7 Laus ivä ol sisällölään samoja Edllinn laus on osi, sillä jokaisn luonnollisn luvun nliö on luonnollinn luku Jälkimmäinn laus on päosi, sillä simrkiksi luonnollisll luvull y = i löydy hdon = x äyävää luonnollisa lukua x 7 a ja c ova osia, b ja d päosia 7 x:n arvo x = (x )(x + ) = x < x = < x < x = x > Ekvivalnssi on osi

13 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 7 Kahdn raaliluvun välissä on aina kolmas raaliluku 75 Tukiaan, millä a:n arvoilla oisn asn yhälöllä x + x + a = on rakaisuja Yhälöllä on (raalisia) rakaisuja, kun a Tällöin a a) Kun =, a ], ] A R b) Kun =, a {,,,, } 76 a) B b) C c) A d) E A N * 6 Loogis virapiiri 77 a) a + b b) a + bc 78 a) a + b(c + d) b) ab + b 79 a) b) a ab a b b b a + b b ( a + b)b 8 a) b a ab ab( a + c) c a + c b) a b c ab ( + c) a( b + c ) + abc abc 8 a) Kun oaan huomioon, ä A B saadaan muooon A B, vasaava loogisn piirin lausk on a b + b) Ekvivalnssi A B voidaan korvaa yhäpiävällä lauslla ( A B) ( A B) Tällöin loogisn piirin lausk saa muodon ab + a b c) Logiikan lauska ( A ( A B)) ( A B) vasaava loogisn piirin lausk on a + a + b + ab

14 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 8 a) a b a + b ab ( a + b ) ab b) a b a + b ab ab ( a + b) ab P Q P Q Todisusmnlmiä Ylisä 8 a) Olus: Kuvio on kolmio Väi: Kulmin summa on 8 b) Olus: Kulmall ja sn viruskulmall on piirry puoliaja Väi: Puoliaja ova kohisuorassa oisiaan vasaan 8 a) Olus: Olkoon n luonnollinn luku Väi: Summa n+ n on jaollinn kahdlla b) Olus: Kokonaisluku pääyy nollaan Väi: Luku on jaollinn kymmnllä c) Olus: Funkio on linaarinn Väi: Funkiolla on ninään yksi nollakoha d) Olus: Ympyrän kaar ova yhä suur Väi: Kaaria vasaava kskuskulma ova yhä suur Suora odisus 85 Pyhagoraan laus: Suorakulmaisssa kolmiossa kain nliöidn summa on hyponuusan nliö Käänislaus: Jos kolmion kahdn sivun nliöidn summa on yhä suuri kuin kolmannn sivun nliö, niin kolmio on suorakulmainn

15 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 5 86 a) Jos mnsyn koulussa, niin oln ahkra b) Jos luvun nliö on posiiivinn, niin luku on posiiivinn 87 a) Jokainn pis, joka on yhä äällä kulman kyljisä, on kulman puoliajalla b) Jos luvun numroidn summa on jaollinn yhdksällä, luku on jaollinn yhdksällä 88 (A B) (A B) (B A) Taulukko osoiaa laus A B ja (A B) (B A) yhäpiäviksi 89 Olkoon a = m + ja b = n + (m, n Z) Tällöin a + b = m + n + = (m + n + ) Saadusa summan arvosa nähdään parillisuus 9 Parion luku kirjoiaan muooon n + (n Z) Tällöin (n + ) = n + n + = n + n a) Kun dllä saau ulos kirjoiaan muooon n + n = ( n + n), nähdään nljällä jaollisuus b) Kirjoiaan n + n muooon n ( n + ) Koska saadussa ulossa jompikumpi kijöisä n ai n + on jaollinn kahdlla, on ulo jaollinn :lla li kahdksalla 9 a) Saaa b) Luku n on parillinn Jos saaa, niin on pilvisä Jos n on parillinn, niin n + on parion Siis on pilvisä Siis n + on parion 9 Kaikki pääly ova päviä 9 Pääly i ol pävä, sillä Kall voi saada logiikan kurssisa huonon arvosanan simrkiksi siksi, i hän osaa muia logiikkaan kuuluvia asioia Ohinn ouusaulu liiyy ko päälyyn 9 Olaan, ä n on parion kokonaisluku li n = k + Tällöin n + n n( n + ) (k + )(k + ) = = Koska molmma osoiajan kijä ova n ( n )( n + ) k(k + ) pariomia, lausk i supisu kahdlla Olaan suraavaksi, ä n on parillinn kokonaisluku li muooa k Tällöin n + n n( n + ) k (k + ) = = Molmma nimiäjän kijä ova pariomia Näin olln lausk i supisu luvulla n ( n )( n + ) (k )(k + ) kaksi

16 6 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Vasasimrkin käyö 95 a) Valiaan kokonaisluvu ja Niidn summa on parillinn, mua kumpikaan yhnlaskavisa i ol parillinn b) Kun simrkiksi n =, niin n + n + saa arvon 69, joka i ol alkuluku Näin olln laus on päosi 96 Esimrkiksi kuvan nlikulmio i ol suunnikas, vaikka lävisäjä ova kohisuorassa oisiaan vasaan Väi i siis pidä paikkaansa 97 a) Valiaan simrkkiluvuksi Esiy laus on päosi, % + % sillä 9 99 b) Valiaan luvu 5 ja 6 Niidn summa on ja sn käänisluku Lukujn 5 ja 6 käänislukujn ja summa puolsaan on 5 6 Laus on päosi, koska c) Laus on päosi, sillä simrkiksi ( ) = = 98 a) Olus: x Z Väin mukaan x x li x x Epäyhälö ouuu, kun x x Tämän mukaan väi on osi kaikill kokonaisluvuill b) Olus: x R Edllisn kohdan mukaan hdon äyäviä lukuja x ova äsmälln n, joill x x Väi i siis pidä paikkaansa kaikill raaliluvuill 99 a) Väi i pidä paikkaansa, sillä arvolla x = päyhälön vasn puoli on nolla b) Väi i pidä paikkaansa, sillä simrkiksi x = on yhälön raalinn rakaisu Epäsuora odisus a) Jos jokaislla oppilaalla olisi ninään kuusi oppikirjaa, niin luokan 8 oppilaalla olisi yhnsä ninään 68 kirjaa Tämä on vasoin olusa, jon ainakin yhdllä oppilaalla on nmmän kuin kuusi kirjaa b) Jos jokaislla suomalaislla olisi ri määrä hiuksia, olisi jollakulla yli viisi miljoonaa hiusa S i kuinkaan ol mahdollisa oluksn mukaan Näin olln ainakin kahdlla suomalaislla on sama määrä hiuksia A ( B A ) B Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa päsuoran päälyn säännön päväksi

17 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 7 Olus: a( a ) Väi: a Todisus: Thdään vasaväi li olaan, ä a <, jolloin a < ja a < Tällöin a ( a ) >, joka on risiriidassa oluksn kanssa Vasaväi on siis väärä ja alkupräinn väi oika Ei ol riiävä ho Jos simrkiksi x =, niin ( ) > a) Olus: n on parillinn luonnollinn luku Väi: n + on parion luonnollinn luku Todisus: Thdään vasaväi, ä n + on parillinn luonnollinn luku Silloin on sllainn kokonaisluku k, ä n + = k Ny n = k, joka on parion luku Tämä on kuinkin risiriidassa oluksn kanssa, jon vasaväi on väärä ja väi oika b) Olus: a on irraionaaliluku Väi: a + 7 on irraionaaliluku Todisus: Esiään vasaväi, ä a + 7 on raionaaliluku Koska kahdn raionaaliluvun rous on aina raionaaliluku, on myös a+ 7 7 = a raionaaliluku Tämä on kuinkin risiriidassa oluksn kanssa Näin olln siy vasaväi on väärä ja alkupräinn väi oika 5 Olus: 5n + on parion ja n N Väi: n on parion a) Suora odisus: Oluksn mukaan 5 n + on parion, jon 5n+ = k + jollkin kokonaisluvull k k Täsä saadaan n = Murolauskkn osoiaja on parion, ja kun s jaaan pariomalla luvulla 5, on uloksna parion luku 5 n b) Epäsuora odisus: Thdään vasaväi, jonka mukaan n on parillinn Silloin on olmassa sllainn kokonaisluku k, ä n = k, jon 5n+ = 5( k) + = k + = ( 5k + ) Saau luku on parillinn, mikä on risiriidassa oluksn kanssa Koska vasaväi on väärä, väi on oika 6 Olus: Luku x on irraionaaliluku x Väi: Luku on irraionaaliluku x + x Todisus: Thdään vasaväi, ä luku on raionaaliluku Tällöin on sllais x + x m m + n kokonaisluvu m ja n, ä = Kun äsä rakaisaan x, saadaan x =, x + n n m jos n m Koska m ja n ova kokonaislukuja, ova myös m + n ja n m kokonaislukuja, jon luku x on raionaaliluku Tämä on kuinkin risiriidassa oluksn kanssa, jon vasaväi on väärä ja väi oika x m Tukiaan vilä mahdollisuus, ä n = m Tällöin = = Yhälön sivnäminn anaa =, jon yhälöllä i ol rakaisua x + m x Näin on odisu, ä luku on irraionaaliluku, kun x on irraionaaliluku x +

18 8 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 7 Suora odisus: Parillisna lukuna m on muooa m = k, pariomana n on muooa n = k +, k Ζ Tällöin summa m + n = k + k + = k + Täsä nähdään summa pariomaksi Epäsuora odisus: Mrkiään m = k ja n = k +, k Ζ Thdään vasaväi, ä summa m + n on parillinn li m + n = s Tällöin m = s n = s (k + ) = s k = (s k) Viimksi saau muoo osoiaa, ä luku m on parion Tämä on vasoin olusa Koska vasaväi on väärä, väi on oika 8 Olus: Kahdn luvun m ja n ulo mn on parillinn Väi: Ainakin oinn luvuisa m ja n on parillinn Todisus: Thdään vasaväi, ä molmma luvu ova pariomia li m = k + ja n = s +, k, s Ζ Tällöin mn = ( k + )(s + ) = ks + k + s + = (ks + k + s) + Saau luku on parion Koska ulos on risiriidassa oluksn kanssa, vasaväi on väärä ja väi oika 9 Thdään vasaväi, ä (a + ) on jonkin luvun nliö li (a + ) = k, k Z Jos k on parillinn luku li muooa p, p Z, on (a + ) = p Täsä saadaan dlln a= p, joka i ol kokonaisluku Tulos on risiriidassa oluksn kanssa, jon vasaväi on väärä ja väi oika Vasaavasi käsillään apaus k on parion li muooa k = p + Olus: A B ja B A Väi: A = B Todisus: Thdään vasaväi, ä A B Silloin on olmassa alkio x, joka kuuluu oisn näisä joukoisa, mua i kuulu oisn Jos x A ja x B, niin i voi olla A B Vasaavasi, jos x A ja x B, i voi olla B A Molmma uloks ova risiriidassa oluksn kanssa, misä johun vasaväi on väärä ja väi oika r Thdään vasaväi, ä R + :n pinin luku on r Tällöin myös R + Mua koska r < r, on surauksna risiriia Tämän pruslla luku r i voi olla R + :n pinin luku Siis joukossa R + i ol pininä lukua *5 Indukioodisus n( n + ) Arvolla n = yhälö n = on osi, sillä = ( + ) = k( k + ) Olaan yhälö oikaksi, kun n= k, jolloin k = Osoiaan yhälö oikaksi, kun n= k+ li osoiaan, ä ( k + )( k + ) k + ( k + ) =

19 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 9 k( k + ) k( k + ) + ( k + ) ( k + )( k + ) k + ( k + ) = + ( k + ) = = k ( k+ ) n( n + ) Indukiopriaan mukaan yhälö n = on osi kaikilla n Z+ a) Kun n =, kaavan voimassaolo nähdään suoraan Olaan kaava oikaksi, kun n = k, jolloin k = k(k + ) Osoiaan kaava oikaksi, kun n= k+: k + ( k + ) = k( k + ) + ( k + ) = ( k + )( k + ) k ( k + ) Indukiopriaan mukaan annu kaava on osi kaikilla n Z+ b) Kun n =, kaava on voimassa, koska = Osoiaan kaavan paikkansapiävyys, kun n= k+: (6k ) + (6( k + ) ) = k + 6k + = ( k + k + ) = ( k + ) k 6k+ Indukiopriaan mukaan annu kaava on osi kaikilla n Z+ Tapa : Kirjoiaan luku n n muooon nn ( )(n+ ) = ( n ) n( n+ ) Kun n =, ulo on nolla ja jaollinn kolmlla Kun n, ulon kijöinä on kolm präkkäisä posiiivisa kokonaislukua Koska näisä yksi on aina jaollinn kolmlla, ulo on jaollinn kolmlla Tapa : Indukioodisus Kun n =, saadaan =, joka luku on jaollinn kolmlla Olaan väi oikaksi, kun n= k Koska k kon jaollinn kolmlla, voidaan mrkiä k k = m, jossa m N Arvolla n= k+ saadaan ( k + ) ( k + ) = k + k + k + k = k k + ( k = m + ( k + k) = ( m + k + k) Viimksi saadusa muodosa näkyy kolmlla jaollisuus m + k) Indukiopriaan mukaan n n on jaollinn kolmlla aina, kun n Z + + ( ) 5 Arvolla n = yhälö on osi, sillä = Olaan yhälö odksi, kun n = k, jolloin Osoiaan yhälö odksi, kun n k + ( k + ) k ( k + ) ( k + ) ( k + ) = = k+: k = ( k + ) ( k + ) + Indukiopriaan mukaan annu yhälö on osi kaikilla n Z + k ( k ) + + k = ( k + ) ( k + k + ) =

20 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 6 Kun n =, saadaan 7 = 7 = 5, joka on viidllä jaollinn k k Olaan väi odksi, kun n= k, jolloin voidaan kirjoiaa 7 = 5m, m Z + k+ k+ Osoiaan, ä myös luku 7 on jaollinn viidllä Rakaisaan dllissä k roukssa 7 ja sijoiaan s jälkimmäisn rouksn, jolloin saadaan k+ k+ k k k k k k k 7 = 7 7 = 7( 5m+ ) = 5 7m+ 7 = 5( 7m + ) Täsä muodosa nähdään viidllä jaollisuus n Indukiopriaan mukaan 7 on viidllä jaollinn, kun 5 7 Kun n = 5, saadaan osi päyhälö 5 = 5< = Olaan päyhälö odksi, kun n = k > 5, jolloin on voimassa k Osoiaan odksi myös päyhälö ( k + ) < n k+ Rakaismalla päyhälö varmisuaan nsin, ä k + < k indolus n Z + k k + voidaan päällä, ä ( k + ) = k + k + < k < = n Indukiopriaan mukaan n <, kun n 5 k <, kun k > 5 Sn jälkn Väi on osi, kun n =, sillä =, joka on kokonaisluku 6 Thdään indukio-olus, jonka mukaan väi on osi, kun n = k (k on kokonaisluku, k + 5k k ), li olaan, ä on kokonaisluku 6 Osoiaan väi odksi, kun n = k + Saadaan aluksi ( k + ) + 5( k + ) k + k + k + + 5k + 5 k + 5k k + k + 6 = = + Ensimmäinn yhnlaskava on kokonaisluku indukio-oluksn mukaan Jälkimmäinn yh k + k + 6 k + k + k( k + ) + k( k + ) nlaskava on = = = + S on kokonaisluku, sillä oinn präkkäisisä kokonaisluvuisa k ja k + on parillinn, jon u- 6 lo k(k + ) on jaollinn kahdlla Indukiopriaan nojalla väi on osi, kun n =,,, 9 Olkoon n = Kahdn pisn välill voi piirää vain yhdn janan Arvolla n = lausk saa arvon = n( n ) ( ) Olaan, ä k:n pisn kaua voidaan piirää k( k ) janaa Osoiaan, ä k +:n pisn kaua voidaan piirää ( k + )(( k + ) ) k( k +) li janaa Piirrään uusi kuvio, jossa on yksi pis (pis x) nmmän kuin siä dllisssä, jon nisn k( k ) janan lisäksi voidaan piirää k uua janaa (kuviossa kakoviivoilla) x

21 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja k ( k ) k( k ) + k ( k + ) k Yhnsä janoja on ny + k = =, Indukiopriaan mukaan väi on osi kaikilla n =,, kun piikin ( ) Arvolla n = yhälö on osi, sillä = Olaan yhälö odksi, kun n = k, jolloin + Osoiaan yhälö odksi, kun n = k + : (k )(k+ ) 678 k (k ) (k ) + (k + ) = k (k ) + 5 k(k ) + + (k ) = (k + ) + k(k )(k + ) + (k + ) (k + )(k + 5k + ) ( k + )(k + )(k + ) = = = n(n ) n(n )(n + ) Kun oikan puoln lauskksn = sijoiaan ( k + )(k + )(k + ) n = k +, päädyään muooon, joka on sama kuin dllä saau Indukiopriaan mukaan väi on osi kaikilla n Z+ Kirjoiaan kolmn präkkäisn posiiivisn kokonaisluvun kuuioidn summa muooon n + ( n + ) + ( n + ) Kun n =, summa + + = 6 on jaollinn yhdksällä Olaan, ä väi on osi, kun n= k, jolloin k + ( k + ) + ( k + ) = 9m, m Z + Osoiaan lausn paikkansapiävyys, kun n= k+ Tällöin ( k + ) + ( k + ) + ( k + ) = 9m k = 9m k + k + 9k + 7k + 7 = 9( m + k + k + ) Viimksi saadusa muodosa nähdään yhdksällä jaollisuus Indukiopriaan mukaan väi on osi kaikilla n =,,, + ( k + ) * Kun n =, päyhälö saa muodon ( + x) + x li, joka on osi k Olaan väi oikaksi, kun n = k, jolloin ( + x) + kx k + Osoiaan kaava oikaksi, kun n = k +, li osoiaan, ä ( + x) + ( k + ) x Koska oluksn mukaan x > ja siis + x >, alkupräinn päyhälömrkki säilyää suunansa krroassa ( + x) : llä Saadaan k ( + x)( + x) ( + x)( + kx) ja dlln ( + x) k+ + kx + x + kx k + = + ( k + ) x + kx { + ( k + ) x Näin väi ( + x) + ( k + ) x on odisu oikaksi, jon indukiopriaan mukaan Brnoullin päyhälö on voimassa kaikilla luonnollisilla luvuilla

22 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Lukuoriaa Paikkajärjslmä 6 a) = b) =,9 a) 576 = b) 7 6 = c) 85 = d) 7,7 = ),86 = a) 5 = = = 6 b) = = = 586 c) 75,8 = = = 79 = 79,75 8 d) 6 5 ABE7FC = = = a) = = + + = b) = = c) = =

23 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 8 a) Annusa hdosa saadaan oisn asn yhälö 5k + k + = 6 ja dlln 5k + k 59 = Kanaluvuksi klpaa ainoasaan kokonaislukurakaisu k = 7 b) Annusa hdosa saadaan kolmannn asn yhälö k + k + = 8 ja dlln k + k 5 = Yhälön ainoa sovluva rakaisu on k = 5 9 Ehdosa k + 56k = k saadaan k-kanaisssa järjslmässä yhälö k + k + + 5k + 6 = k + k +, joka sivn muooon k 7k 8= Yhälön rakaisuisa kanaluvuksi klpaa k = 8 a) CAFE 6 = = ABBA 6 = = 96 BABA 6 = = 7 8 b) Muunnaan luku nsin -järjslmän luvuksi 6 5 = = 7 7 = = 5 c) 5 = = 5 5 = = Summa = 5 Tulo 5 5 = 5 Muunnaan 7-järjslmän luvu -järjslmän luvuiksi = = a) = = = 57 7 = = = Muunnaan -järjslmän luvu 7-järjslmän luvuiksi = = 7 = = = = 5 b) c) + + = = d) + = 5 7

24 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Kokonaislukujn jaollisuus a) i, b) kyllä, c) kyllä, d) kyllä 5 b- ja d- kohdan luvu 6 a) Mrkinnän ab mukaan on olmassa sllainn kokonaisluku r, ä b = ra Kun yhälö krroaan k:lla, saadaan kb = kr a Tämä ulos osoiaa kb:n olvan jaollinn a:lla li a kb b) Oluksn pruslla voidaan kirjoiaa a = rk ja b = sk Tällöin ma + nb = mrk + nsk = k( mr + ns), josa nähdään, ä k ( ma+ nb) 7 a) 6 = b) 9 = 7 7 c) 555 = 5 7 d) 7 = 7 ) 6 6 = a) on alkuluku b) = c) = d) 6 on alkuluku ) 979 = 89 9 Kolmlla jaollisia ova luvu 6, 6, ja Yhdksällä jaollisia ova luvu 6, ja a) :lla, kun c on,,, 6 ai 8 b) 5:llä, kun c on ai 5 c) :llä, kun c on Luku a+ b+ c+ d voidaan kirjoiaa muooon 999a+ 99b+ 9c+ ( a+ b+ c+ d), josa slviää kolmlla (yhdksällä) jaollisuus Parion luku k voidaan siää muodossa k = p +, p Z Tällöin k = ( k )( k + ) = ( p + )( p + + ) = p( p + ) = p( p + ) Tulossa p( p + ) oinn kijöisä p ja p + on parillinn li jaollinn luvulla kaksi Näin olln ulo p( p + ) li luku k on jaollinn kahdksalla, kun k on parion luku Väin odisamisssa voidaan käyää apuna simrkiksi aulukkokirjasa löyyvää n n n n n n polynomin jakoyhälöä a b = ( a b)( a + a b+ + ab + b ) Sn mukaan n a b on polynomin a n b kijä li a b a n b n Jos ähän sijoiaan a = ja b =, saadaan n ( ) n Kun n on parillinn, on ( ) n = Täsä suraa a- kohdan väi n + Vasaavalla avalla n:n pariomilla arvoilla saadaan ( ) n =, josa suraa b-kohdan väi n

25 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 5 Jakoyhälö 78 = 5 + Saadaan pakkausa Kolm palloa jää yli 5 a) = b) 57 = 5 + c) = Kysyy luku on = = = 8 ( 8 + ) + = 8 ( 8 ( 8+ ) + ) + = = 8 9 Jako hiin jollakin luvuisa,, 5,, 7, 5 ai 5 a) Koska = , jakojäännös on b) Koska = , jakojäännös on c) Koska = , jakojäännös on 9 5 Koska ( + ) : ( 6) = +, jakojäännös on 7 5 a) Mrkki on, ai, koska kolmannn ja nljännn numron yhdislmä arkoiaa kuukausia Kun =, jakoyhälö saa muodon 9 = , li ällä arvolla arkisusmrkki on oika b) Mrkki voi olla, ai, koska nsimmäisn ja oisn numron yhdislmä arkoiaa päiviä Kun =, jakoyhälö saa muodon 7 = Saaua jakojäännösä 5 vasaa arkisusmrkki T 5 Euklidn algorimi 5 a) 6 b) c) 6 d) 5 a) b) 8 c) 5 55 a) Koska lähöväliaikojn,, 5 ja pinin yhinn jaava on, suraavan krran kaikki juna ova yhä aikaa lähdössä kahdn unnin kuluua li kllo 7: b) Kaikki juna ova yksioisa kraa yhä aikaa lähdössä 56 a) 5 = 5 5 = 5 7 sy = 5 = 5 b) 5 = 7 79 = sy = = 6

26 6 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 57 a) = b) 5 = = 5 89 = 7 89 = 7 7 = 7 = 7 sy = = 7 sy = 7= 58 Lähdään liikkll jakolaskun lopusa = = + 8 = 5 Luvu ova 9 ja = = 9 59 a) Vuodn 6 nsimmäinn päivä on sunnunai, sillä 65 = b) Vuodn 8 nsimmäinn päivä on iisai, sillä 65 = c) Laskuissa oava huomioon, ä vuosi 8 on karkausvuosi Vuodn nsimmäinn päivä on lauanai, sillä = a) 85 = = = = = = sy(85, 667) = = ( ) b) 5768 = = + = + 9 = = sy(5768, 55) = = 5768 ( ) c) 757 = = = = = = = = = + = + 6 a) 5 = 5 5 = = 5 pyj = 5 7 = 575 sy( 757, 769) = = 757 ( 55) b) = 5 6 = 7 6 = 5 5 = 5 7 pyj= 5 7 = 6 6 a) 5) 5) ) = b) ) + 6 8) 56 = c) 7) ) 65 65) 586 = 5 685

27 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 7 6 a) 78 = = + 8 = = 6 sy = 6 pyj saadaan yhälösä 6 pyj= 6 78 pyj = 5 88 b) 55 = = = = = 59 sy = 59 pyj saadaan yhälösä 59 pyj = pyj = Määriään Euklidn algorimilla sy( 86, 6) 86 = = = = + 8 = 8 Jakoyhälön pruslla sy( 86, 6) = 8 Määriään suraavana yhälön 8 = 86a + 6b kroim a ja b 8 = 5 = 5 ( 86 5) = 5 86 = ( 6 86) 86 = = 6 97 ( 86 6) = sy( 86, 6) = 8 skä a = 97 ja b = 6 65 Koska sy(a, b, c) = 7, voidaan kirjoiaa a = 7 x, b= 7 y ja c= 7 z Tällöin olisi a + b + c = 7 x + 7 y + 7z = 7( x + y + z) = Koska luku i ol jaollinn luvulla 7, summa a + b + c i voi olla 6 Diofanoksn yhälö 66 a) sy(, ) = Koska = ( ) +, niin yhälön räs rakaisu on xo = y = b) sy(, ) = Koska = ( ) +, on yhälön räs rakaisu xo = y = c) sy(, ) = Koska = ( ) +, on yhälön räs rakaisu xo = y = d) Yhälöllä x + y = i ol rakaisua, koska sy(, ) i ol :n kijä 67 a) sy(, ) = Koska = ( ) +, niin yksiäinn rakaisu on x = ja y = x = + n = + n Kaikki rakaisu ova ällöin (n Z) y = n = n o o o

28 8 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja b) sy(, ) = Kun a-kohdan yhälö = ( ) + krroaan 5:llä, saadaan 5= ( 5) + 5, josa nähdään yksiäisksi rakaisuksi x = 5 ja y = 5 Kaikki x = 5 + n rakaisu ova näin olln (n Z) y = 5 n c) sy(9, 9) = 7 Kun yhälö 7 = 9 ( ) + 9 krroaan luvulla 7, saadaan 89 = 9 ( 7) Kaikki rakaisu ova ällöin x = 7 + n y = 5 + n = 7 + 7n = 5 n (n Z) 68 a) sy(8, ) = Tällöin = 8 ( ) + ja dlln = 8 ( 6) + 8, josa havaiaan yksiäisksi rakaisuksi x = 6 ja y = 8 Diofanoksn yhälön kaikki rakaisu ova ällöin x = 6 + n y = 8 n 8 = 6 + 7n = 8 9n (n Z) b) Koska sy(, 8) =, saadaan = ( ) 8 ( ) ja dlln kromalla 5:llä x = 5 + n 5 = ( 5) 8 ( 7) Rakaisu ova siis y = 7 n 8 = 5 6n (n Z) = 7 n c) sy(8, 6) = Tällöin = ( ) ja dlln 8 = ( 6) Kaik- 6 x = 8 + n = 8 + 9n ki rakaisu ova ällöin ( n Z) 8 y = 6 n = 6 7n 69 Yhälö x + y = 6 voidaan siää muodossa 5 x + y = 8 Koska sy(5, ) =, saadaan = 5 ja dlln 8 = ( 6) x = 8 + n = 8 + n Yhälön kaikki rakaisu ova ( n Z) 5 y = 6 n = 6 5n 7 Trun osoksisa saadaan yhälö,95x +,5y =,, jossa x arkoiaa halvmman ja y kalliimman kahvipakin hinaa Kromalla ämä sadalla saadaan Diofanoksn yhälö 95 x + 5y =, sivnnynä 9 x + 9 y = 66 Koska sy(9, 9) =, saadaan = 9 ( 5) + 9 ja dlln kromalla luvulla 66 yhälö 66 = 9 ( ) x = + 9n Kaikki rakaisu ova y = 5 9n Ehdoisa x > ja y > suraa + 9n > ja 5 9n > Rakaisuna saadaan 6,9 < n < 6,, jon n = 6 Tällöin x = = 6 ja y = = 8 Trun ososkori sisälsi 6 pakia halvmpaa ja 8 pakia kalliimpaa kahvia

29 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 9 7 Suoran yhälö 5x + 96 y = saadaan luvulla 7 supisamalla muooon 5 x + y = Koska sy(5, ) =, saadaan = 5 + ( 8) ja dlln = ( 6) x = 6 + n = 6 + n Yhälön kaikki rakaisu ova ( n Z) 5 y = 6 n = 6 5n x = 6 + n Suora 5x + 96 y = kulk siis pisidn (n Z) kaua y = 6 5n 7 Lukujn 9 6 ja 5 6 sy on Tämä luku voidaan lausua muodossa = ( 9), josa 9 76 = ( 5) Yhä- 5 6 x = 8 + n = 8 + 7n lön kaikki rakaisu ova ( n Z) 9 6 y = 5 n = 5 89n 7 Vähnämällä yhälö puoliain saadaan x + y = 5 Luvull sy(, ) = pä yhälö = + ( ), josa saadaan muoo 5= 5+ ( 5) Näin olln yhälön x + y = 5 ylinn rakaisu on x = 5+ n, y = 5 n Kun saadu x ja y sijoiaan yhälöparin jälkimmäisn yhälöön, saadaan z = + n x = 5 + n Siis y = 5 n ( n Z) z = + n 7 Kongrunssi 7 a) Kongrunssi on osi, sillä 89 5 = 6 on jaollinn :llä b) Kongrunssi i ol osi, sillä = 9 i ol jaollinn 6:lla c) Kongrunssi i ol osi, sillä ( 67) = 76 i ol jaollinn 7:lla 75 a) Koska oluksn mukaan a b (mod n) ja c d(mod n), on voimassa a b = pn ja c d = qn, ( p, q Z) Laskmalla yhn (vähnämällä) yhälö saadaan ( a± c) ( b± d) = n ( p ± q) Tulos osoiaa, ä yhälön vasn puoli on jaollinn n:llä Näin olln a± c b± d (mod n) b) Lähin idosa, ä a b(mod n) ja k k(mod n), saadaan a b= pn ja k k = qn, ( pq Z, ) Kun yhälö laskaan yhn (vähnnään), saadaan ( a± k) ( b± k) = n ( p ± q) Tulos osoiaa, ä yhälön vasn puoli on jaollinn n:llä, jolloin a± k b± k (mod n) Oluksn mukaan a b(mod n), jolloin a b= pn Krroaan yhälö k:lla, minkä uloksna k( a b) = k pn ja dlln ka kb = n ( kp) Saau ulos osoiaa, ä vasn puoli on jaollinn n:llä, jolloin voidaan kirjoiaa ka kb (mod n)

30 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 76 Oluksn mukaan a b(mod n), jolloin a b= pn Krroaan yhälö nsin a:lla ja sin b:llä ja laskaan saadu yhälö yhn, jolloin ( a ab) + ( ab b ) = npa + npb li a b = n( pa+ pb) Tulos osoiaa, ä a b on jaollinn n:llä li a b (mod n) Suraavaksi yhälö a b = n( pa+ pb) krroaan a:lla ja yhälö a b= pn krroaan b :llä skä laskaan näin saadu yhälö yhn Tällöin saadaan a b = n( pa + pab + pb ), jonka pruslla k k a b (mod n) Ylisämällä pääsään uloksn a b (mod n) Toisin: Kongrunssin laskusäännön (oppikirja s 68) pruslla kongrunssin a b(mod n) voi kroa isllään, jolloin saadaan a b (mod n) Tämä voidaan dlln kroa kongrunssilla a b(mod n), jolloin uloksna on a b (mod n) k k Ylisämällä pääsään uloksn a b (mod n) 77 Koska 7 (mod 8), niin 7 ( ) (mod 8) Jakojäännös on siis yksi Havaiaan, ä 9 (mod 7) ja dlln 9 (mod 7) Tämä arkoiaa, ä li luku on jaollinn sismällä Koska 6 (mod ), niin 6 (mod ) Vasaavasi 5 (mod ) ja 7 5 (mod ) Tällöin 6 5 (mod ) Pinin luku on nolla 8 Luvun viiminn numro saadaan slvill ukimalla kymmnllä jaollisuua 5 5 Koska 999 (mod), niin 999 ( ) 9(mod) Luvun viiminn numro on 9 8 Kllonaika on sama kuin ny, koska (mod ) 8 Viikonpäivän slviämisksi voidaan käyää joko jakoyhälöä ai kongrunssia Vuodn jouluaaoon mnnssä on kaksi karkausvuoa (8 ja ), jon päiviä kryy kysisll aikavälill 65 Kongrunssiyhälön 65 x (mod 7) rakaisuna x = 5 Tämä arkoiaa, ä vuonna jouluaao on kskiviikkona 8 a) x = 6+ 7 n, b) x = + 5 n, c) Yhälöllä i ol rakaisua 8 a) Rakaisaan Diofanoksn yhälö x 5y = 9 Luvull sy(, 5) = pä yhälö = 5 ja dlln 9 = Täsä saadaan x = + n 5 8 = 8 5n b) Kongrunssisa saadaan Diofanoksn yhälö x y = 8 Oamalla huomioon, ä sy(, ) = saadaan = ja dlln 8= 88 Kongrunssin rakaisuna on x = + n 88 = 88 n c) Rakaisaan yhälö 7x 56y = 5 sy(7, 56) = Tällöin = 7 ( 7) 56 ( ) ja dlln 5 = 7 ( 65) 56 ( ) Kongrunssin rakaisu on ällöin x = 65 56n li x = 7 56 n

31 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 85 Koska 6 (mod 7), niin 6 ( ) (mod 7) Tidään, ä 6 6(mod 7) Krroaan kongrunssi 6 (mod 7) ja 6 6(mod 7) ksknään, jolloin saadaan 6 6(mod 7) 86 Luku on jaollinn yhdksällä, sillä numroidn summa on jaollinn yhdksällä Siksi (mod 9) Koska 8 (mod 9), niin ( ) (mod 9) Näin olln (mod 9) Jakojäännös on n n 87 8 (mod), ( ) (mod), n+ n+ (mod), (mod), n n (mod) n n Saau ulos osoiaa, ä luku, n N, on jaollinn kymmnllä n n 88 Koska (mod ), niin an + an + an + + a+ a n n n an + an + an + + a + a a + a + a + + a n + an (mod) n n n Luku an + an + an + + a+ a on jaollinn kolmlla, jos ja vain jos a a + a + + a n + a n on jaollinn kolmlla + Koska 7 (mod ) ja (mod ), on ( ) (mod ), li luku 7 + on jaollinn kolmlla n 89 Todisus n dllisn hävän kohdan avoin n *8 Tunnuja lukuorian lausia ja onglmia 9 6= = = = a), + + 5= 8 ( köyhä) b), = 6 ( rikas) c), = ( rikas) d) 8, = 8 ( äydllinn) ), = 8( rikas) f) 8, = ( köyhä) Vraa - ja f-kohdan lukuja ja uloksia! g) 96, = 96 ( äydllinn)

32 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 9, 7,, 7, 8 9, 7, 5 87 ja M 6 = M 89 = M 67 = Esimrkiksi: a) 9 = + 8 b) = + 89 c) 6 = + d) 97 = a) Frma n pinn lausn mukaan = (mod ) 6 b) Koska (mod ), niin ( ) (mod ) li 6 (mod ) Edlln 6 6 (mod ) 98 Luku on alkuluku Jos on luonnollisn luvun n kijä li n =k, niin n n = (k) s = k((k) k = k((k) 6 ) = s, jossa ) on kokonaisluku Tällöin n n (mod ) Jos i ol luvun n kijä, niin Frma n pinn lausn mukaan n = k, k Z Tällöin n n = n( n ) = nk, jossa nk on kokonaisluku Siis n n (mod ) Näin väi on odisu 99 Frma n pinn lausn pruslla = (mod ) Edlln = ( ) (mod ) Koska = 8 (mod ), saadaan 996 = (mod ) Jakojäännös on siis kolm Luvu ova Pyhagoraan lukuja, jos ( m n ) + (mn) = ( m + n ) Sivnnyksn uloksna saadaan m m n + n + m n = m + m n + n ja dlln m m n n m m n + + = + + n Tulos osoiaa annu luvu Pyhagoraan luvuiksi

33 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Lisähäviä Joukko-oppia a) {,,,, } b) {,} Yhälöllä x + = i ol rakaisua raalilukujn joukossa Y on yhjä joukko { } B = n Z n < 5 = a) A B = {,} b) A B = {,,,,,,,,, 6,8,,,} c) A \ B ={ 6,8,,,} =,, 6,8,,, ja A { } {,,,,,,,, } a) A B = {,,,, 5, 6,7} b) B = {,, 5, 7} A c) A \ B = {,, 6} d) B \ A = ) A \ N = f) N \ A = {, 8, 9,,, } g) A \ = A 5 a) b), c) Osajoukkoja on {},{ }{, }{,, } d),{ }{, }{, }{,, }{,, }{,, }{,,, } n kappala, kun n on joukon alkioidn lukumäärä 6 a) y S = {(,), (,)} b) y T = {(,)} x x 7 a) b) y 5 y x 5 x c) d) y y x x

34 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Logiikkaa a) päosi proposiio b) i ol proposiio c) proposiio, jonka ouus voi muuua ilmaisuajankohdan mukaan d) i ol proposiio ) osi proposiio a) B A b) ( A B) c) B A (A B) A B Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa d Morganin nsimmäisn lain oikaksi a) Saku i ik ikä naura b) Äii i oru ai isä i moii 5 ( P Q ) P Q Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa lausn auologiaksi 6 7 (A B ) (B C ) (A C) A B B A Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa lausn auologiaksi Vraamalla aulukoidn lihavoidulla mrkiyjä sarakkia havaiaan laus A B ja B A yhäpiäviksi

35 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 5 8 a) Laus on osi, sillä simrkiksi on hdon äyävä luku b) Laus on osi, sillä x on kaikilla raaliarvoilla i-ngaiivinn c) Laus on päosi Yhälö ouuu vain, jos x = ja y = Jälkimmäinn luku i ol luonnollinn luku > 9 a) x N : x ; osi b) x R : x < ; päosi Nollan ja ngaiivisn luvun vasaluku i ol ngaiivinn c) x Q y Z : xy Z ; osi Ehdon äyävä luku y on simrkiksi luvun x käänisluku Kun x =, luvuksi y sopii mikä kokonaisluku ahansa a) On olmassa raaliluku, jonka nliö on ngaiivinn Laus on päosi Lausn ngaaio: Jokaisn raaliluvun nliö on suurmpi ai yhä suuri kuin nolla b) x Z : x > x a) x : ( P( x) P( x)) i missään ryhmässä b) ( x : P( x)) ( x : ( P( x))) skaryhmässä c) x : ( P( x) P( x)) kaikissa ryhmissä d) ( x : P( x)) ( x : ( P( x))) samaa sukupuola olvissa ryhmissä Todisusmnlmiä Nljän präkkäisn parioman kokonaisluvun summall saadaan muoo (k + ) + (k + ) + (k + 5) + (k + 7) = 8k + 6 = 8(k + ), k Z Tulokssa 8(k + ) nähdään kahdksalla jaollisuus Pääly i ol pävä, sillä voin olla väsyny muusakin syysä kuin liiasa lukmissa Esiään vasaväi, jonka mukaan x < Tällöin x < ja x < li x + x <, mikä on vasoin olusa Koska vasaväi on väärä, väi on oika Olus: Luku on irraionaaliluku + Väi: Luku on irraionaaliluku Todisus: Esiään vasaväi, jonka mukaan luku Rakaisaan yhälösä, jol- + on sllais kokonaisluvu m ja n, ä m n loin =, jos m n m + n m = n + on raionaaliluku Tällöin

36 6 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Koska m ja n ova kokonaislukuja, ova m n ja m + n kokonaislukuja Myös niidn osamäärä li luku on raionaaliluku Saau ulos on risiriidassa oluksn kanssa, jon vasaväi on väärä ja väi oika + m Tukiaan vilä apaus m = n Tällöin = =, josa dlln =, mikä n + on mahdoona Näin on odisu, ä luku m 5 Olkoo a = ja n m p a) a b = + n r osamäärä (jakaja on irraionaaliluku p b = raionaalilukuja Tässä m, n, p ja r Z r mr + np + = on raionaaliluku, koska kokonaislukujn summa, ulo ja nr ) ova raionaalilukuja m p mp b) a b = = on raionaaliluku, koska kokonaislukujn ulo ja osamäärä n r nr ova raionaalilukuja a m p m r mr c) = : = = on raionaaliluku, koska kokonaislukujn ulo ja osamäärä ova b n r n p np raionaalilukuja 6 a) Pääly on pävä b) Pääly i ol pävä *7 Huomauus: Thävän rakaisminn dllyää logarimiopin ioja Irraionaaliluku on raaliluku, joa i voida siää kahdn kokonaisluvun osamääränä Irraionaaliluvun dsimaalisiys on pääymäön ja jaksoon Olus: n on parion luonnollinn luku ja Väi: log n on irraionaaliluku Todisus: Koska n >, niin log n > Esiään vasaväi, jonka mukaan log n on raionaaliluku li p log n =, jossa p, r Z +, r Tällöin = n, josa pons- r siin r koroamalla saadaan r p r r r ( ) = n = n Koska n on oluksn mukaan p parion, on myös n parion Toisaala on parillinn On päädyy risiriiaan, jon vasaväi on väärä ja väi, ä log n on irraionaaliluku, on oika ( + )( + ) *8 Arvolla n = yhälö on osi, sillä = k( k + )( k + ) Olaan yhälö odksi, kun n = k, jolloin k ( k + ) = Osoiaan yhälö odksi, kun n = k + p r p r

37 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja k( k + ) + ( k + )( k + ) k( k + )( k+ ) k( k + )( k + ) ( k + )( k + ) ( k + )( k + )( k + ) = + = Saau lausk on sama kuin annun kaavan oika puoli arvolla n = k + Indukiopriaan mukaan annu yhälö on osi kaikilla n Z+ Lukuoriaa 6 5 a) = = = 7 b) 5 7 = = = 8 c) 887, 9 = = = d) BCEF9 = = = Muuaan yhnlaskava -järjslmän luvuiksi 5 = = = = = = = = 5 Luku i ol alkuluku, sillä = 7 Riiää, kun jaaan luvuilla ja a) 665 = 5 7 b) 6 = 7 c) = 7 d) 8 58 = a) Jos m on n:n kijä ja n on m:n kijä, niin on sllais kokonaisluvu k ja p, ä n = km ja m = pn Näin olln n = km = kpn Yhälö ouuu vain, jos n = ai kp = Jos n =, on m = p = Jos luvuill k ja p on voimassa ho kp =, on joko k = p = ai k = p = Edllinn mrkis, ä m = n ja jälkimmäinn m = n, ja yhdisynä, ä m = ±n b) Jos on olmassa luvu k ja r sin, ä n = km ja p = rn, niin p = rkm, mikä osiaa, ä m on p:n kijä 6 Jakoyhälö anaa uloksn: = , 76 = 5 7 +, 5 = 7 +

38 8 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Tällöin = = (5 7 + ) 7 + = 5 7 = ( 7 + ) = = 7 7 Lukujn sy = 5 =, pyj = 5 7 = 88 8 a) sy(8,) =, = 8 + ( ) b) sy(77, 9) = 7, 7 = ( 5) c) sy( 757, 769) =, = 757 ( 55) Jaaan annu luvu alkukijöihin 9 7 = = 96 = sy = 5 = 65 pyj= 5 7 = 8 6 Osoksisa saadaan Diofanoksn yhälö 99 x + y = 77, jossa x arkoiaa halvmpin ja y kalliimpin laskinn kappalhinaa Koska sy(99, ) =, saadaan = ( 7) ja dlln 77 = ( 9) x = n Yhälön kaikki rakaisu ova n Z y = 9 99n, Ehdoisa x > ja y > suraa n > ja 9 99n > Rakaisuna saadaan 6, < n < 5,8, jon n = 6 Tällöin x = ( 6) = 8 ja y = 9 99 ( 6) = 5 Hankina sisälsi 8 halvmpaa ja 5 kalliimpaa laskina a) Kongrunssi i ol osi, sillä = 9 i ol jaollinn luvulla 6 b) Kongrunssi on osi, sillä ( ) = 99 on jaollinn luvulla Koska 9 (mod 5), niin ( ) ( ) (mod 5) Jakojäännös on ällöin a) Rakaisaan Diofanoksn yhälö 5x y = 6 Luvull sy(5, ) = pä yhälö = 5 ( ) ( ) ja dlln 6 = 5 ( ) ( 6) Yhälön 5 6 (mod ) rakaisuna on x = n, n Z Vasaus saadaan haluassa muooon x = ( n ) = n, n Z b) Kun yhälö x + (mod 7) kirjoiaan muooon x (mod 7), nähdään hlposi rakaisu x = + 7 n, n Z c) Rakaisaan Diofanoksn yhälö 6x 6 y = 5 Koska sy(6, 6) =, saadaan = 6 ( 55) 6 ( ), josa dlln kromalla yhälö 5:lla muoo 5 = 6 ( 6 5) 6 ( 68) Yhälön 6x 5(mod 6) rakaisuna on x = 65 8 n, joka saadaan haluassa muooon x = 65 8( n ) = + 8n, n Z

39 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 9 a) x = 9, sillä ( 56 9) b) x =, sillä 7 c) x = 5, sillä 5 5 (mod ) ja dlln 5 (5 ) 5 5(mod ) 5 Koska n on parion luku, ova molmma luvu n ja n + parillisia, ja oinn niisä on jaollinn luvulla Tällöin n = ( n )( n+ ) (mod 8) Siis n (mod 8) Pikasi } a) {,,6,9, Annun joukon muodosava kolmlla jaollis luonnollis luvu b) {,,, 6, 8, }, 5], 5[ [, 5] a) [ Avoimn väliin ], 5[ liiään välin pääpis b) [ Suljusa välisä poisaan oikanpuolinn pääpis c) {,5} Kun suljusa välisä poisaan vasaava avoin väli, jää jäljll välin pääpis Jos änään on maananai ai ulkona saaa, n halua mnnä kouluun a) x R : x > b) x R : x < 5 a) 7 = 7 b) 85 = 5 9 c) 5 on jaoon luku Tukiaan jaollisuua luvuilla,, 5, 7,,, 7, 9 ja 6 Väiään, ä ainakin yhdn oppilaan koimaka on yli kolm kilomriä Mikäli ämä i ol osi, jokaisn oppilaan koimaka olisi ninään kolm kilomriä Silloin 5 oppilaan yhnlasku koimaka olisi ninään 75 kilomriä Tämä on annun idon mukaan mahdoona, jon alkupräinn väi koimakan piuudsa on oa 7 Sadan päivän pääsä lauanaisa on maananai, sillä = a) = b) 6 = 8 = sy = = pyj = = 5 = 5 = 5 5 = 5 5 = 5 sy = 5 pyj = 5 = Koska 6 (mod 5) ja 6 (mod 5), niin 6 (mod 5) ja 6 (mod 5) Tällöin 6 6 (mod 5) Pinin luonnollinn luku on Koska luku on jaollinn sismällä, pinin kongrunssin ouava luku on nolla

40 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Krausko Annu jouko alkioiain luluina ova A =,,, 5, 6, 7, B = 6, 5,,,,,,,,, 5, 6 ja C = { } { } {,,,, 5, 6} a) {} b) c) { 7 7} a) En ol lukiolainn b) Opiskln mamaiikkaa c) Oln lukiolainn ja opiskln mamaiikkaa d) Ei pidä paikkaansa, ä oln lukiolainn nkä opiskl mamaiikkaa ((A C) (C B)) (A B) Lihavoidulla mrkiy sarak osoiaa, ä laus on auologia a) x A y B: x = y, osi b) x A y B: xy Z +, osi c) x A y B: x < y, osi 5 Väiään, ä ainakin yhdllä vljksisä on nmmän kuin yksi hvonn Mikäli ämä i ol oa, jokaislla vljksisä olisi ninään yksi hvonn Silloin sismällä vljksllä olisi yhnsä ninään sismän hvosa Tämä on annun prusidon ( hvosa) mukaan mahdoona, jon jollakin vljksisä äyyy olla nmmän kuin yksi hvonn 6 75 = = 9 = = 7 Esiään nsin lukujn sy = = = = = 7 5 Lukujn sy on siis 7 5 Pyj saadaan yhälösä 7 5 pyj = , jolloin pyj = 7 57

41 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja 8 a) Koska (mod 5 ), niin = ( ) (mod 5) Vasaavasi 7 (mod 5), jon + 7 (mod 5) Pinin luonnollinn luku on siis b) Havaiaan, ä 5 (mod ), 69 (mod ) ja 87 (mod ) Kun oaan huomioon, ä 69 (mod ) ja 87 7 (mod ), saadaan kong- 9 9 runssja muokkaamalla 5 ( ) 6 5(mod ) Pinin luonnollinn luku on näin olln 5 *9 Kaava on voimassa, kun n =, sillä ( ) = Olaan, ä kaava on voimassa, kun n = k, jolloin ( k ) = Osoiaan kaava oikaksi, k( k ) ( k + )( k + ) kun n = k + li ä ( k ) + ( k + ) = Yhälön vasn puoli saa muodon k( k ) k( k ) + ( k + ) k + 5k + ( k + )( k + ) + ( k + ) = = =, joka on sama kuin yhälön oika puoli Indukiopriaan mukaan kaava on voimassa kaikill n Z + Krausko a) A B=,, A B=,, A \ B =, b) A B = ], [, A B = [,5 ], A \ B = ], [ c) A B=,, A B=,,, A \ B = ] [ ], ] a) Jos Pri on abiurini, hän osallisuu ylioppilaskirjoiuksiin b) Ei pidä paikkaansa, ä Pri on abiurini ikä osallisu ylioppilaskirjoiuksiin A B ( A B ) Lihavoidulla ksillä mrkiy rivi osoiava, ä lausilla on sama ouusarvo Mrkiään P:n ouusarvoa :llä ja Q:n ouusarvoa :llä ( P Q) (( P) Q) Laus on päosi

42 Lukuoria ja logiikka (MAA) Thävin rakaisuja Lihavoidulla mrkiy kirjain ( ai ) ilmais lausn ouusarvon I a) A B C D II a) A B C D b) A B C D b) A B C D c) A B C D c) A B C D d) A B C D d) A B C D 5 a) Laus on päosi Kahdn irraionaaliluvun summa i ol aina irraionaaliluku, sillä simrkiksi π + ( π ) = Yhnlaskun uloksna saau luku on raionaaliluku b) Laus on päosi, sillä kahdn irraionaaliluvun ulo i ol aina irraionaaliluku, simrkiksi 5 5 = 5 6 = = 5 = = + = = 7 Osoksisa saadaan yhälö,x +, y = 9, 9, jossa x arkoiaa omnin ja y banaanin kilohinaa Kromalla yhälö :llä saadaan Diofanoksn yhälö x + y = 99 Koska sy(, ) =, saadaan = ( ) + ja dlln kromalla 99:llä yhälö 99 = ( 99) + 99 x = 99 + n Kaikki rakaisu ova n Z y = 99 n, Ehdoisa x > ja y > suraa 99 +n > ja 99 n > li yhdisynä 7,6 < n < 8,, jon n = 8 Tällöin x = 5 ja y = Osoksssa oli 5 kg omnoia ja kg banaania 8 a) 7 = 66 ( 9) + 7 b) = 7 ( 5) a) Käyämällä hyväksi ioa, ä (mod 5), saadaan = ( ) (mod 5) 5 56 b) Yhdisämällä ido = ( ) (mod 5) ja (mod 5) saadaan 5 5 = 5 (mod 5) c) b-kohdan pruslla saadaan = ( 5 ) (mod 5)