Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Transkriptio

1 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis W V { x R x on tasan jaollinen kolmella TAI x on joukon V alkio} { x Ζ x on tasan jaollinen kolmella TAI x on joukon V alkio} {, 9, 6,, 0,,,, 5, 8, 9,, 5, 8,, 4, 7, 0,, 6, 9, 4, 45, 48, 5, 54, 57, 60, 6 4, 7, 9, 0,,, 6, }, sillä joukon V kolmella jaolliset alkiot ovat 0,, 9 ja 5. Niitä ei toisteta. Muuten V :n alkiot ovat kolmella jaollisten lomassa. Joukon W V alkiot ovat siis ne, jotka ovat molemmissa, toisin sanoen joukon V kolmella jaolliset alkiot, joten V {0,, 9, 5}. T Ilolassa olevat {x on Otavan Opiston opiskelija tai henkilökuntaa x on Ilolassa}. Emme nyt laske mahdollisia vierailijoita. T W V { x Ζ x on tasan jaollinen kahdella TAI x on tasan jaollinen kolmella} { x Ζ x on tasan jaollinen kahdella}. Jos luku on tasan jaollinen sekä kahdella että kolmella, se on tasan jaollinen kahden ja kolmen tulolla eli kuudella. Näin ollen Todetaan aluksi, että V { x Ζ x on parillinen} W V { x Ζ x on tasan jaollinen kahdella JA x on tasan jaollinen kolmella} { x Ζ x on tasan jaollinen kuudella} Vastaus: W V { x Ζ x on tasan jaollinen kahdella TAI x on tasan jaollinen kolmella} ja W V { x Ζ x on tasan jaollinen kuudella}. T 4

2 W V { x on suomalainen x:llä on kirjava pipo JA x:llä ei ole kirjavaa pipoa} Φ, koska ehdot ovat ristiriidassa keskenään. T 5 Emme tiedä, sisältyykö joukko K O { x on suomalainen x:llä on keltainen pipo tai x:llä on valkoinen pipo} mihinkään mainituista joukoista, koska niissä ei puhuta mitään keltaisen pipon omistajista! Koska joukon K O { x on suomalainen x:llä on keltainen pipo ja x:llä on valkoinen pipo} kaikilla alkioilla on myös valkoinen pipo, niin se sisältyy joukkoon O. Emme tiedä, sisältyykö K O muihin joukkoihin. Emmehän tiedä esimerkiksi, onko kaikilla kirjavan pipon omistajilla myös joko valkoinen, keltainen tai molemmat pipot. T 6 T {x on suomalainen x:llä on valkoinen pipo JA x:llä on kirjava pipo}. Tehtävämme on löytää joukon T ehdon x:llä on valkoinen pipo JA x:llä on kirjava pipo täydellinen vastakohta. Piirretään tilannetta havainnollistava kuva. Kaikki suomalaiset Kirjava pipo Valkoinen pipo Kuva ei tietenkään todista mitään, mutta sen avulla on helppo ajatella, että alkiot, jotka jäävät kuviossa sekä kirjavan pipon omistajien joukon ulkopuolelle että valkoisen pipon omistajien joukon ulkopuolelle, ovat niitä joilla ei ole kirjavaa pipoa valkoista pipoa kumpaakaan: ei ole valkoista eikä kirjavaa pipoa (tämä kieltää joukkojen yhteisen alueen eli leikkauksen)

3 Täten ehdon x:llä on valkoinen pipo JA x:llä on kirjava pipo kielto ei (x:llä on valkoinen pipo JA x:llä on kirjava pipo) on ehto x:llä ei ole valkoista pipoa, x:llä ei ole kirjavaa pipoa ja x:llä ei ole valkoista eikä kirjavaa pipoa. Ehdon viimeinen kohta joukkojen yhteisen alueen eli leikkauksen kieltäminen kuulostaa jankutukselta, mutta on nyt paikallaan. Yleisemmin voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla: Jos T {x on suomalainen x:llä on valkoinen pipo JA x:llä on kirjava pipo}, O {x on suomalainen x:llä on valkoinen pipo} ja P {x on suomalainen x:llä on kirjava pipo}, niin T O P O P {x on suomalainen x:llä ei ole valkoista pipoa TAI x:llä ei ole kirjavaa pipoa}. Joukko on T seuraavassa kuvassa merkitty sinisellä. Kirjava pipo Valkoinen pipo Harjoitus Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: Nuolen pituus Rationaalilukujen harjoituksia

4 0 0 Joukon luonnolliset luvut:, kun se kirjoitetaan muodossa 5. Joukkona:, siis vain yksi luku on luonnollinen luku Kokonaisluvut: 50,, kun se kirjoitetaan muodossa 5 ja muodossa 0. Kaikki luetellut luvut ovat myös rationaalilukuja. Joukkona: 50,,. 0 Huomaa Lukujoukkoon kuuluminen ei siis riipu siitä, missä muodossa luku on esitetty, vaan siitä mikä luku lopulta on kyseessä. Luku saatetaan siis kaikkein yksinkertaisimpaan esitysmuotoonsa ja vasta sitten otetaan kantaa sen lajiin. Reaalilukujen harjoituksia ) 8, ;,7 7.. ja 0,66... Huomaa, että tässä oli lu- 7 vallista käyttää tarkkaa yhtäsuuruutta () likiarvon ( ) sijaan, koska antamalla jakson kaksi kertaa ja kirjoittamalla kaksi pistettä desimaaliesityksen loppuun ilmoitimme, että luku on päättymätön, jaksollinen desimaaliluku. ) Texas Instruments Voyage 00:, ja, Windows Xp:n laskin:, ja, ) Luku ei voi olla pii, koska on rationaaliluku ja pii on irrationaaliluku. Toisaalta 55 on moneen käytännön tilanteeseen riittävän tarkka piin likiarvo. Ja vielä toisaalta: laskimissa on pii näppäin, samoin monissa ohjelmointikielissä on varattu sana pi. Käytä näitä ) On. Perustelu: Koska, 459 ja, 444, niin , sekä 459 ja 444 Q sekä , Muista, kuinka rationaalilukujen joukko määritellään. Yleisesti on voimassa, että kahden rationaaliluvun osamäärä on rationaaliluku, jos jakaja ei ole nolla. 5) Koska < ja > ,

5 ei tehtävänasettelun tarkoittamaa lukua ole. Huomaa, että neliöön korotetut luvut (564 ja 564) ovat peräkkäisiä kokonaislukuja ) Sijoitusten arvo oli yhteensä Täten Albert sai euroa ja Niels ja 8000 Erwin saivat 900 euroa kukin. 7) Astioita mahtuu tasan kuusi kappaletta kolmen metrin matkalle, mutta 40 senttiin kahdeksan ja hukkatilaa jää 0 cm. Siis kappaletta. 8) 50 pullon panteista saa 50 0c 5. Tällä saa 0 pullollista pantteineen. Näistä saa vielä euroa pantteina. Pullollinen maksaa ilman panttia,0. Joten panttia maksamatta saa vielä kaksi pullollista ja 60 snt jää yli tai tasan kaksi pullollista pantteineen, yhteensä pullollista juomaa. 9) Tietoa pullon tilavuudesta ei tarvita. Jos Leenu juo, niin jää. Liinu juo tästä, joten jäljellä olevasta jää, siis 9 koko tilavuudesta jää. 55 Piin likiarvo : Zu Chongzhi (40-50 AD). Lähde: A History of Pi, JJ O'Connor ja EF Ro- bertson, URL -osoitteessa: Laskujärjestyksen harjoituksia ) ) a) 44 b) Ryhmittele: ( + 00) + ( + 99) + ( + 98) + + (50 + 5) , sillä suluissa olevia yhteenlaskulausekkeita on 50 kappaletta ja jokaisen summa on 0. c) 6 d) )

6 a) b) c) 000 d) 000 e) 4 0,5 f) g) 7 0,7, , 7 7 h) Koska 4 7 ) ) , niin Harjoituksia aiheesta Luvut ja lukujoukot Jos luonnollinen luku kerrotaan kahdella ja tuloon lisätään yksi, saadaan luonnollinen luku. Vastaus: Kyllä. Itse asiassa { x + x Ν} Ν! Vastaus: Ε { x Ν} x sisältyy kokonaislukujen, rationaalilukujen ja reaalilukujen joukkoihin. Ensinnäkin Α Ζ. Lisäksi Α eli siis Ζ sisältyy rationaalilukujen ja reaalilukujen joukkoihin. x Valitaan x 0. Silloin, joka ei ole kokonaisluku. Koska annetussa joukossa on ainakin yksi alkio, joka ei ole Ζ :n alkio, ei kysytty sisältyminen ole voimassa. x + 5 Koska x +, niin itse asiassa annettu joukko on sama kuin kokonaislukujen joukko. Vastaus: Kyllä.