Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle sdn luseke x = 7 + y. Sijoitetn tämä lempn yhtälöön, jok nt (7+y) = y+ +y = y+ y = + y = () Sijoittmll stu tulos muuttujn x lusekkeeseen smme x = 7 + ( ) =. b) Sievennetään nnettu lusekett lgebrllisill opertioill: x+ x x+ + x = x+ (x ) x = x+ (x ) (x ) = + (x ) + Sijoittmll = j x = sdn lusekkeen rvoksi = ( ). c) Tämäntyyppisissä tehtävissä knntt yleensä kokeill jollkin pienillä luvuill, esimerkiksi luvuill ti - j ktso, mitä käy. Arvtn, että b =, jolloin luseke muuttuu muotoon c = c () c+ Yhtälöstä hvitn, että esimerkiksi luku c = toteutt nnetun yhtälön : () = + = Näin ollen sopivt kokonisluvut ovt b = j c =. (). Ktsotn lyhyesti verrnnollisuutt, vruusgeometri j permuttioit. ) Kun kksi si x j y ovt suorn verrnnolliset, niiden osmäärä x/y on vkioluku. Voimme kirjoitt nnettujen tietojen vull verrnnon jost smme tuntemttomlle x:lle rvon x = = 6. = x, (5) Tätä ei välttämättä knnt lk lskemn yhtälön rtkisun kutt, sillä siihen menee huomttvn pljon ik.
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 b) Tuopiss juomn yläpint on 5 cm piripinnst eli lsin pohjst 9 cm korkeudelle sti. Ympyräpohjisen lieriön tilvuus sdn kertomll pohjn pint-l πr korkeudell h = 9 cm, joten tulokseksi smme V = πr h = π (6 cm) 9 cm = 07, 87... cm =, 0787 l 0 cl (6) c) Kättelyjen määrä on helppo päätellä: ensimmäinen henkilö kättelee viittä muut, seurv neljää, seurv kolme j niin edelleen. Kättelyitä tulee yhteensä 5++++ = 5 kpl.. Piirretään tilnteest kuv, johon on merkitty kolmio j neliö (kuv ). h Kuv : Tehtävän kolmio j neliö. Pythgorn luseen vull sdn lskettu kolmion korkeus: = h + h = ( h = ) (7) = = Kolmion pint-l A k on knnn j korkeuden tulo jettun khdell: A k = h = Kuvn neliölle huomtn pythgorn luse kirjoittmll, että neliön sivun pituus on. Neliön l A n on näin ollen. Jkmll kolmion l neliön lll smme (8) A k A n = d = = 0,... % (9)
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00. Tehtävän iden on selvittää, kummn rk-ineen ylärj tulee ensiksi vstn. Khvippu A on nnoksess 0 % eli, grmm. Kosk ppuj oli yhteensä 500 g, niin nnoksi sdn 500/, = 08,... kpplett. Vstvsti ppultu B on nnost kohden 80 % eli 9,6 grmm, joten nnoksi sdn 00/9, 6 = 9, 58... kpplett. Ppultu A loppuu ensin, joten kokonisi nnoksi on 08, jok trkoitt,6 litr vlmist khvi. 5. Yhtyeen levyn tuotoksi hlutn 5 000 = 0000. Merkitään yksittäisen levyn hint muuttujll x. Yhden levyn bändille tuomille tuloille T voidn kirjoitt nyt luseke, jok huomioi kulut: T = x, 5 (0, 8+0, +0, ) (x, 5 ) (0) Kertomll yhden levyn tuotto myytävien levyjen määrällä sdn kokonistuotto, jok setetn yhtä suureksi kuin ostettviin instrumentteihin vdittv rhsumm eli 0000 : 0000 = 8500 T = 8500 [x, 5 0, 5 (x, 5 )] = 8500 0, 8 (x, 5 ) x = 0000 0, 8 8500 +, 5 = 5, 95098... 5, 95 () Levyn lopulliseksi hinnksi tulee krvn verrn lle kuusi euro. 6. Trkstelln korttipkn todennäköisyyksi hiemn tvllisest poikkevll pkll (poikke myös tvllisest UNO-pkst jonkin verrn). ) Kun korttej nostetn pkst, niin iemmt tphtumt vikuttvt seurvien tphtumien todennäköisyyksiin (korttien määrä pkss vähenee). Nyt nolli on jokisess värissä kksi kpplett eli yhteensä 8 j lisäksi on 0 jokerikortti, joten todennäköisyydeksi kolmelle nollkortille sdn P(kolme nollkortti) = 8 00 7 99 6 = 0, 0059... 0, 0 () 98 b) Pkst otetn erikoiskortit pois, jolloin pkkn jää 80 kortti. Todennäköisyys sille, että pkst nousee vihreä kortti, on 0, 5. Todennäköisyys kortille, jonk rvo on vähintään, on 0, 8. Hlutn, että molemmt ehdot ovt voimss, eli että kortti on vihreä j rvoltn vähintään, jolloin todennäköisyys ks. tphtumlle on 0, 5 0, 8 = 0,. Kosk kortti sekoitetn in noston jälkeen tkisin pkkn, niin jokisen viiden nostotphtumn todennäköisyys on tuo sm 0,. Näin ollen smme todennäköisyydeksi P(viisi vihreää, rvo väh. ) = 0, 5 = 0, 000 ()
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 7. Yhtälöryhmän ensimmäisestä yhtälöstä smme lusekkeen muuttujlle x, eli x = y + z. Sijoittmll tämä kolmnteen yhtälöön sdn Näin ollen meillä on yhtälöpri ( y+z)+7z = 9 y+z = 8 y 8z = 5 y+z = 8 Kertomll jälkimmäistä yhtälöä khdell j lskemll yhtälöt llekkin sdn rtkistu muuttuj y: y 8z = 5 y+8z = 6 6y = y = 6 Sijoittmll stu tulos ylempään yhtälöprin yhtälöön nt ( ) 8z = 5 6 8z = 8 6 0 6 z = 8 6 8 () = Sijoittmll lsketut z:n j y:n rvot yhtälöryhmän ensimmäiseen yhtälöön x = y + z smme muuttujn x rvoksi x = 6 = 78 6 6 = 9 6 6 = 6 Yhtälöryhmän rtkisut ovt siis x = 6/, y = /6 j z = /. Sijoittmll nämä nnetun funktion f() lusekkeeseen j littmll funktion rvo nollksi voimme lske nollkohdt toisen steen yhtälöstä: f() = 6 + 6 + = 0 = 6 ± ( 6 ) ( ( 6 ) 6 ) Sijoittmll lskimeen ylläolevt luvut erikseen j -merkeille smme funktion nollkohdiksi rvot 0, 55 j 0,. (5)
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 8. Vlumuotin ympärysmitn vull sdn lskettu muotin tilvuus V, sillä kehän pituudelle K on voimss K = πr r = K/π. Sijoittmll tämä puolipllon tilvuuden kvn smme V = πr = π ( K π = K ) π (6 cm) = π = 9, 9676... cm (6) Seoksest neljäsos on tin j loput tuntemtont metlli. Muotin mss m = 7 kg sdn osien summn: m = V ρ t + V ρ, (7) missä ρ t = 5, 77 g/cm on tinn tiheys j ρ on tuntemttomn metllin tiheys. Rtkisemll yhtälö ρ:lle smme lopult vstuksen: m = V ρ t + V ρ V ρ = m V ρ t ρ = m V ρ t V 7000 g 9, 97 cm 5, 77 g/cm = 9, 97 cm =, 769... g/cm, 77 g/cm (8) Tuntemttomn ineen tiheys on sm luokk kuin pltinn tiheys. 9. Trkstelln suorn j prbelin ominisuuksi lyhyesti. 5
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 ) Kirjoitetn suorn yhtälön perusmuoto molemmille pisteille: y y 0 = k(x x 0 ) y+ = k(x ) sij. (, ) y = kx k (9) y y 0 = k(x x 0 ) sij. (, ) y = k(x+) y = kx+k+ Nyt suorn vkiotermien tulee oll smt, eli smme kulmkertoimelle k yhtälön k = k+, jost kulmkertoimen rvoksi tulee k =. Sijoittmll tämä esimerkiksi ensimmäisen suorn yhtälöön sdn y = x suorn yhtälöksi. Suor x = 0 on itse siss y-kseli. Nyt voidn piirtää tilnteeseen pukuvion suorkulminen kolmio suorn kulmkertoimen perusteell (kuv ). y α x β l Kuv : Tehtävän 9 kolmio koordintistoss. Suorn kulmkertoimest on helppo päätellä kolmion sivujen pituudet suorn. Suor on merkitty kuvss symbolill l j se kulkee kolmion hypotenuus pitkin. Suorn y = x j y-kselin välisiä kulmi on kksi kpplett, α j β. Suorn j y-kselin välisiä kulmi on kksi, α j β, j ensimmäinen sdn lskettu tn- 6
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 gentin vull: tn(β) = β = rctn ( ) = 6, 565... (0) Toinen kulm α sdn oikokulmn kvst, eli α = 80 6, 565... = 5,.... Vstukseksi kulmille sdn siis α 5 j β 7. b) Annetulle prbelille f(x) hlutn, että f(x) 0 kikille reliluvuille x. Tämä ehto svutetn, kun vlitn vkio γ siten, että prbelin mksimirvon on pienempää kuin 0. Prbeli svutt mksimirvons sen derivtn nollkohdiss, joten lsketn derivttfunktio j setetn se nollksi: d dx f(x) = d [ x + x+γ ] dx = x+ = 0 () x = Tiedämme, että kyseinen piste todell on mksimipiste, sillä prbeli uke lspäin (miinusmerkki termin x edessä). Lsketn funkion f(x) rvo tässä pisteessä j setetn se pienemmäksi ti yhtäsuureksi kuin 0: f(/) = 9 + 9 + γ 0 () γ 9 Vkio γ olless γ 9/ svutt prbelifunktio f(x) vin ei-positiivisi rvoj. 0. Görnin etäisyys Tukholmst poliisien hvintohetkellä on 00 km. 0 kilometriä ennen Tukholm olevn pikkn on mtk 80 km, j Görnilt menee tähän mtkn ik t = 80 km/00 km/h =, 8 h Poliisit jvt mtkn s = (550 0) km = 50 km smss jss, jolloin keskinopeus v on v = 550 km, 8 h = 96, 8... km/h 00 km/h () 7