3.5.005 Ma -.08 Sovelleun maemaiian erioisyö Esiäsielyen vaiuusesa aiasaran speriin Lassi Similä 5050L Tenillisen fysiian ouluusohelma
Sisällyslueelo Johdano... 3 Aiasara- analyysin perusäsieiä... 4. Taauus- a aia- aluee... 4.. Nyquis- aauus... 6. Aiasaran ominaisuusia... 7.. Saionaarisuus... 7.. Sysemaaise vaihelun lähee... 8..3 Saunnainen vaihelu... 9 3 Aiasaran speri: eoreeisia araselua... 0 3. Määrielmä... 0 3. Sperin ulina... 0 3.3 Sperin esimoinnisa... 3.3. Viiveiuna... 3 3.3. Liuuvan esiarvon asoius... 4 3.4 Lineaarisen suodinen vaiuusesa speriin... 4 3.4. Differensoini... 6 3.4. Kausidifferensoini... 7 3.4.3 Liuuvan esiarvon asoius... 7 3.4.4 ARMA- suoime... 9 3.5 Graafisia esimereä... 3.5. Differensoini... 3.5. Kausidifferensoini... 3.5.3 Liuuvan esiarvon asoius... 3 3.5.4 ARMA- suoime... 4 4 Todellisen aiasaran araselu... 8 4. Raeneiden näyminen a suodausen vaiuus aauusalueessa mallinnusprosessin eri vaiheissa... 8 4.. Trendi a asollise omponeni... 8 4.. Differensoini... 30 4..3 ARMA- raeneen idenifioini... 30 4..4 Residuaalien araselu... 33 4. Liuuvan esiarvon asoiusen vaiuus speriin... 35 5 Yheenveo a ohopääöse... 37 6 Lähdelueelo... 38
Johdano Aiasara- analyysin aroiusena on mallinaa a unnisaa oin reaalimaailman ilmiö ehyen havainoen peruseella sien, eä saaua mallia voidaan äyää esimerisi ennuseiden eemiseen. Aiasara- aineison erääminen a sen hyväsiäyö ilasoieeen einoin aiasara- analyysilla on yleisä esimerisi alousieeen, insinööriieeiden a luonnonieeiden ongelmissa. Aiasara- analyysissa aiasara uliaan onin soasisen prosessin realisaaiosi. Ongelmaa, ossa pyriään unnisamaan havaiun äyäyymisen riiävällä avalla seliävä prosessi, usuaan idenifioiniongelmasi. Idenifioiniongelman raaisussa äyeyssä meneelyssä, idenifioiniprosessissa, havaiusa aiasarasa esimoidaan ieyä funioia, uen auoorrelaaio - a osiaisauoorrelaaiofunio. Teemällä verailua eoreeisen malliprosessien unneuihin vasaaviin funioihin, voidaan havaiu prosessi unnisaa a esimoida havainoen peruseella ilmiöä uvaava malli. Funioiden araselua voidaan ehdä oo aia- ai aauusalueessa, oisa ässä esiysessä esiyään aauusalueeseen. Yleisimmin äyey aauusalueen apuväline on aiasaran speri. Aiasaran sperillä aroieaan inuiiivisesi puhuen sen esimääräisä aauussisälöä: aiasaran sisälämä asollisuus ieyllä aauudella ω voidaan luea aiasaran sperisä. Sperin avulla saadaan siis ieoa aiasaran sylisisä omponeneisa. Mone aiasaroen sperien ominaisuude ova analogisia fysiaalisen värähelyilmiöiden - uen valon - sperien vasaaviin ominaisuusiin. Idenifioiniprosessin eri vaiheissa aiasaralle ouduaan usein eemään erilaisia esiäsielyä, uen differensoini ai asoius liuuvan esiarvon suoimella. Tässä yössä äsielemme erilaisen esiäsielyen (a eräiden muidenin lineaarisen suodinen) vaiuusa aiasaran speriin. Ilmiöiä äsiellään ensin eoreeisella asolla maemaaisen esiysen muodossa a esielyä funioia havainnolliseaan uvaaien avulla. Havainnollisamisaroiusessa esiellään myös analogioia aiasaroen sperin a valon sperin välillä. Tuimme myös reaalimaailman esimeriapausen avulla, mien eoriasa ohdeu ulose näyvä eräässä odellisen havainnoinnin ulosena saadussa aiasarassa. 3
Aiasara- analyysin perusäsieiä Tässä appaleessa äydään läpi aiasara- analyysin peruseoriaa a määrielmiä perusaausena se, eä ne äsiee, oia äyeään myöhemmissä appaleissa speraalianalyysin yheydessä, uleva esiellyisi; aroiusena ei siis ole esiää yhenävää aiasara- analyysin uvausa. Läheenä on äyey Mellinin (004) luenomaeriaalia.. Taauus- a aia- aluee Soasinen prosessi on saunnaismuuuien ono. Soasisesa prosessisa saadaan ieoa onona perääisisä oisisaan riippuvisa havainnosa, aiasarana. Aiasara uliaan soasisen prosessin realisaaiosi, oen aiasara analyysin avoieena on selviää havainoen riippuvuuden luonne eli idenifioida se generoinu soasinen prosessi (Ruusunen, 985). Meriään soasisen prosessin realisaaiosa ehyä havainoa eli aiasaraa indesoiuina saunnaismuuuina x, ossa =,, N on aiaindesi a N on aiasaran piuus. Havainno on siis ehy asavälisesi yhden ysiön väliaoilla. Aiaysiö voi olla sovellusesa riippuen esimerisi uuausi, nelännesvuosi ai vuosi. Aiasaroen eoriaa voidaan äsiellä myös auva- aiaisen muuuien apausessa, mua ässä esiysessä esiyään disreeiaiaisiin soasisiin prosessien a aiasaroihin. Aiasaraa voidaan arasella myös aauusasossa eli alueessa. Taauudella yleisesi oaen aroieaan luumäärää, oa ilmoiaa, uina mona eraa ilmiö apahuu valiun aiaysiön aiana. Aiasara- analyysin yheydessä aauus liiyy havaiun saran sisälämiin asollisiin omponeneihin. Asian maemaaisesi havainnollisavana pohusavana esimerinä aaellaan mallia (Chafield, 004) X = R cos( ω + φ) +, () Z ossa R on periodisen omponenin ampliudi, φ on vaiheulma a Z on osain saionaarisesa (aso appale..) saunnaissarasa peräisin oleva havaino, oa uvaa saran havainoihin liiyvää saunnaisvirheä. Tällöin sanoaan, eä ω on sinimuooisen vaihelun aauus. π Taauua ω vasaava periodi on - oisin sanoen osiniermin arvo oisuva aiaω argumenin saadessa periodin moninerran suuruisen lisäysen. Taauus ω on äsmällisemmin ilmaisuna ulmaaauus (ysiönä radiaani/ aiaysiö), un aas ω irallisuudessa myös esiinyvä aauusäsie f = (Ruusunen, 985), ierrosaauus π (ysiönä asoa ai ierrosia aiaysiöä ohden), anaa osus aauudelle sovellusissa helpomman fysiaalisen ulinnan. 4
On selvää, eä ysineraisin sinimuooisa vaihelua sisälävä malli () ei mahdollisa monenaan reaalimaailman ilmiön uvaamisa. Käyännössä havaiua aiasaroa uvaava malli muodoseaan summasaroina, ossa aauus ω a muu parameri saava useia eri arvoa vasaen aia alueessa esimerisi päivä, viio- ai uuausivaihelua. Kuva havainnollisaa, mien eräs eoreeinen auvisa havainnoisa oosuva aiasara sisälää eriaauisia vaiheluomponenea. Kosini - (ai sini-) muooisen omponenien, oiden ason piuus ilmenee osioisa π π (Kuva ), yhälöä () vasaavien aauusparamerien arvo ova ω = = π, ω =, 3 π π ω 3 = =. Aiaasossa nämä siis vasaava aha uuaua, olmea uuaua 6 3 (nelännesvuoa) a uua uuaua (puola vuoa). Muu parameri ova aiille π omponeneille R =, φ = a Z = 0 aiille, eli ässä uvaaan vain aiasaran deerminisisiä vaiheluomponenea. Aiasara Kuva. Aiasaran aauussisällön havainnollisaminen X muodosuu siis sinimuooisen omponenien summana 5
X = 3 = 3 π cos( ω ) = sin( ω ). = () Tosielämäsä peräisin oleva aiasara ova usein disreeeä, olloin uvieellisesa prosessisa (Kuva, oiea alalaia) saaaisiin ieoa esim. vain aanheillä = 0,,.. Nyquis- aauus Disreeein väliaoin havainnoidulle aiasaralle X on olemassa yläraa aauudelle, oia oreampia aauusia ei voida eroaa aiasarasa. Miäli perääisen havainoen väli π (näyeenooväli) on T, ämä yläraa, oa usuaan Nyquis- aauudesi, on. T Taauussisälö uvaa aiasaran sisälämiä asollisia omponenea, a piuudelaan pienin mahdollinen aso oosuu ahena perääisenä aanheenä ehdyisä havainnoisa. Näyeenoovälillä T ää asoa vasaa aia- aselilla väli T. Miäli asoaisuua uvaaan sinimuooisilla funioilla, a aso haluaan eroaa oisisaan, on sinifunion ason piuus, π, masimaalinen aiaväliä T vasaava vaiheulman muuos. Näin saadaan inuiiivinen peruselu Nyquis- aauudelle: ω N = π T = π. T (3) Aiasara- analyysissa aia- aseli on usein saalau sien, eä T=, oen Nyquisaauuden suuruus on ässä apausessa π. Käyännön esimerinä Chafield (004) mainisee ilasollisen uimusen, ossa lueaan uloilman lämpöilaa miarisa. Tavoieena on uia yö- a päivälämpöilan eroa. Miäli miari lueaan erran vuoroaudessa, on selvää, eä ällä miaussraegialla ei saada informaaioa vuoroauden sisäisesä lämpöilan vaihelusa. Tämä voidaan nähdä Nyquis- aauuden valossa, oa on erran vuoroaudessa ehdyille miausille π radiaania eli syliä päivässä s. ysi ierros ahdessa päivässä: valiulla miaussraegialla ei voi eroaa aha päivää lyhyempiä syleä. Yö- a päivälämpöiloen vaihelun uimisesi näyeenooväliä olisi sien ihenneävä aheen miauseen vuoroaudessa, osa ää miaussraegiaa vasaava Nyquisaauus on yhä suuri uin iinnosusen oheena olevan vaihelun aauus, ierros päivässä ( π radiaania). Maemaaisesi ilmaisuna (Chafield, 004) Nyquis- aauus voidaan perusella seuraavien aavoen avulla cos cos[ ( ω even π ) ] = cos( ω) [( ω π ) ] = cos(( π ω) ) + (4) +, (5) odd 6
ossa even = 4,,0,,4, on parillinen oonaisluu a odd = 3,,,3, parion oonaisluu. Kaavoen (), (4) a (5) verailu eroo saman asian uin yhälöä (3) edelävä inuiiivinen peruselu: asollisa vaihelua oreammilla aauusilla uin 0,π. π ei voida eroaa vasaavasa vaihelusa välillä ( ). Aiasaran ominaisuusia Kappaleessa.. esiellään aiasara- analyysissa äreä soasisen prosessin ominaisuus, saionaarisuus. Taraselaessa osielämän daasa oosuvia aiasaroa, havaiaan, eä ne sisälävä usein ieyä sysemaaisia raenneomponenea, oa voiva olla oo deerminisisiä ai soasisia. Kappaleessa.. äydään läpi ne omponeni, oisa aiasaran voidaan aaella oosuvan... Saionaarisuus Soasinen prosessi on saionaarinen, miäli sen ominaisuude eivä riipu aasa. Täsmällisemmän määrielmän iroiamisesi disreeille aiasaralle määriellään ensin soasisen prosessin ominaisuusia uvaava avanomaise unnusluvu (Mellin, 004): odousarvo varianssi a ovarianssi E( x ) = µ, T, (6) [( x µ ) ] T Var( x ) = σ = E,, (7) [( x µ )( x )], s T Cov( x, x ) = γ = E µ,. (8) s s s s Disreeiaiainen aiasara voimassa: x, T on ny saionaarinen, miäli seuraava ehdo ova E( x ) = µ, T, (9) Var( x ) = σ, T, (0) Cov( x, x ) = γ,, s T. () s Toisin sanoen odousarvo (6) a varianssi (7) eivä riipu aanheesä a ovarianssi (8) riippuva vain heien a s väliaasa: saionaarisen aiasaroen yheydessä puhuaan auoovariansseisa. s 7
Aiasaralle ehävien esiäsielyen, oia ässäin yössä äsiellään, aroiusena on usein niiden saionarisoini, sillä hyviä eoreeisia ominaisuusia omaavina saionaarise soasise prosessi muodosava äyöelpoisen malliluoan aiasaroille (Mellin, 004). Saionaarisille prosesseille ehieyä eoriaa voidaan siis sovelaa sellaisiinin aiasaroihin, oa eivä suoraan ähän luoaan uulu. Useissa äyännön apausissa uiava aiasara eivä ole suoraan saionaarisia... Sysemaaise vaihelun lähee Tässä appaleessa äydään läpi ne sysemaaise vaihelun lähee deerminisise a soasise - oa mallinnusproseduuria suorieaessa pyriään aiasarasa unnisamaan. Jaoelu on läheesä Chafield (004). Trendi Aiasaran sanoaan sisälävän rendiä, miäli sen aso (odousarvo) ei pysy vaiona aan uluessa (yhälö (9) ei ole voimassa). Esimerisi appaleessa 4 äsielävä osielämän daaan perusuva aiasara sisälää rendin (Kuva 0). Trendi voidaan uvailla sanallisesi piän aiavälin muuosena aiasaran asossa. Tilaneesa riippuen piä aiaväli voi vaihdella. Esimerisi iey ilmasollise muuua sisälävä sylisä vaihelua opa 50 vuoden piuisilla periodeilla. Miäli daaa on ässä ilaneessa äyeävissä vain 0 vuoden aala, periodisuus ei näy a aiasara näyää sisälävän rendin. Jos daaa puolesaan olisi ässä ilaneessa äyeävissä saoen vuosien aala, 50 vuoden periodia vasaava asollisuus näyisi havainnoisa. Kausivaihelu Sanoaan, eä sara sisälää periodisa äyäyymisä eli ausivaihelua periodilla s, miäli havainnoissa on samanalaisuua s aiaysiön välein. Aiasara voi sisälää useaa ausivaiheluomponenia vasaen esimerisi viioiaisa a uuausiaisa vaihelua. (Box a Jenins, 976). Kuva havainnollisaa eri periodisisa (aauisisa) vaiheluomponeneisa muodosuvan uvieellisen aiasaran raennea. Useia odellisia aiasaroa araselaessa, esimerisi eonomerisissä sovellusissa, havaiaan ausivaihelua. Esimerisi avaraalon myynimääriä uvaavissa saroissa myyni voi vaihdella uuausiain sien, eä ouluuinen myyni on vuoden sisäisisä uuausisa suurin. Muu sylinen vaihelu Kausivaihelusa poieen ou aiasara voiva sisälää osain uloisesa fysiaalisesa syysä esiinyvää vaihelua. Päivän sisällä apahuva lämpöilan vaihelu mainiaan esimerinä äsä (Chafield, 004). Eenin eonomerisen mallien on havaiu sisälävän syleä, oa ova (uiavasa muuuasa riippuen) yypillisesi piuudelaan 3-0 vuoden miaisia (business cycles); suomen ielellä puhuaan suhdannevaiheluisa. Suoraa fysiaalisa ai inhimillisen oiminnan rymiin liiyvää perusea ai ulinaa ei ällaisille syleille uienaan ole 8
löydeävissä (Chafield, 004). Tenisesi oaen ausivaihelu a muu sylinen vaihelu eivä poiea oisisaan, vaan ne poiseaan aiasarasa samalla meodiialla. Muu raeneellinen vaihelu Trendin, ausivaihelun a muiden sylisen vaiheluomponenien unnisamisen äleen aiasarassa mahdollisesi älellä oleva ilasollisa raennea sisälävä vaihelu, oa ei siis ole äysin saunnaisa (appale..3), pyriään aiasara- analyysissa mallinamaan valmiiden malliluoien avulla. Näisä yleisesi äyey esimeri, ARMA- malli, on esiely lyhyesi appaleessa 3.4.3. Peruseellisempi määriely löyyy useisa ilasoieeen oppiiroisa, esimerisi ämän yön lähdelueeloisa mainiuisa...3 Saunnainen vaihelu Aiasara- analyysissa on usein avoieena sellaisen esiäsielyen suoriaminen a malliraeneiden valina, eä havaiuen arvoen seä mallin anamien arvoen erouse - residuaali - ova äysin saunnaisa; aroius on unnisaa a poisaa aii appaleessa.. uvau sysemaaise a raeneellise ominaisuude. Miäli ähän ilaneeseen pääsään, malli seliää havainno äydellisesi seliämäön osa, oa uliaan ilasollisesi virheesi, on äysin saunnaisa eli se ei sisällä minäänlaisa ilasollisa raennea. Jäännösermien saunnaisuuden esaaminen ilasollisin esein on äreä osa mallin riiävyyden arvioinia eli validoinia. Valoinen ohina Valoisella ohinalla aroieaan äysin saunnaisa soasisa prosessia: E(ε ) = 0, T, () Var( ε ) = σ, T, (3) Cov( ε, ε ) = 0, s. (4) s Nimiys valoinen ohina ohuu analogiasa valo- opin anssa, ossa niin sanou valoinen valo sisälää aiia sähömagneeisen aaloliieen aallonpiuusia (väreä) saman verran. Analogia ulee siiä, eä osa valoinen ohina on äysin saunnaisa, miään aauus ei uoa enempää prosessin oonaisvarianssisa uin oinen, oen valoinen ohina sisälää saman verran aii aauusia a sien myös aallonpiuusia 9
3 Aiasaran speri: eoreeisia araselua 3. Määrielmä Speraalianalyysissa uiaan aiasaroa niiden aauussisällön valossa. Pyrimysenä on, usein yhdessä aia- alueen araseluen anssa, idenifioida havainoen ausalla oleva soasinen prosessi. Saionaarisen aiasaran speri määriellään aavalla ω ω = i f ( ) γ,0 ω π = e, π (5) oa on auoovarianssin γ [( x µ )( x µ )] = E (6) disreei Fourier- muunnos. Speri voidaan määriellä usealla eri, ulonäöllisesi oisisaan poieavalla avalla. Aiasaralle speri määriellään vain äärellisellä välillä [ 0,π ], sillä disreeein, ässä ysiöaiavälein, ehdyisä havainnoisa ei voida Nyquisaauua π suurempia aauusia eroaa välin [ 0,π ] aauusisa. (aso appale..). Miäli speri määrieläisiin oo reaaliaselilla, olisi se asollinen periodilla π, oen aavan (5) muainen määrielmä sisälää aien informaaion aiasaran aauussisällösä. Kosa auoovarianssille päee γ = γ, voidaan sperin määrielmä iroiaa myös = + f ( ω ) γ 0 γ cos( ω). π = (7) 3. Sperin ulina Sperin määrielmän ausan ymmärämisesi voidaan aiasaran, ossa on parion määrä havainoa, N = q +, aaella oosuvan eri aauisisa sini- a osiniermeisä seuraavasi (Ruusunen, 985) x = α + q ( α cos( ω) + β sin( ω) ) 0. = (8) Taauude ω voidaan valia esimerisi seuraavan pääelyeun ulosena: aauua ω π vasaava periodi on, a aiasarassa esiinyvä pisin mahdollinen aso on sen oo ω piuus, N aiaysiöä. Maalin (ulma)aauus, oa voidaan eroaa, on näin ollen π suuruudelaan. Korein aauus on puolesaan Nyquis- aauus π (aso appale N 0
..), oa vasaa periodin piuua (lyhyin mahdollinen periodi). Täen eräs yleinen apa valia aauude, oia vasaava vaioermiα 0 seä regressioeroime α a β, =,, q, esimoidaan, on ω = π, =,,, q. N (9) Jäännösermien puuuminen regressiomallisa (8) seliyy sillä, eä esimoiavien paramerien luumäärä on sama uin havainoen, N = q +. Esimoinnissa raaisavassa lineaarisessa yhälöryhmässä on sien unemaomia sama määrä uin yhälöiä. Malli saadaan sisi sovieua havainoihin äydellisesi, oen äännösermi ova nollia. Sama araselu voidaan ehdä myös aiasaralle, ossa on parillinen määrä havainoa. Miäli N = q, on sin( ω q) = sin( π) = 0 aiilla. Tällöin erroin β q voidaan äää mallisa pois, a esimoiavien paramerien määrä on q, olloin saadaan ysiäsieise raaisu mallin (8) eroimille. Parilliselle havainomäärällä ehdy periodisuuden araselu ova maemaaisesi ysineraisempia a lisäsi valiaessa aauude ω parillisen havainomäärälle yhälön (9) muaisesi, saadaan aauusisi ω = π / N,4π / N,, π. Näiä aauusia usuaan harmonisisi aauusisi: maalin aauus π / N on π perusaauus a aauus, =,3, q ämän :s harmoninen aauus. Harmonisen N aauusien äyön euna on se, eä niille on usein olemassa seleä ulina: Nyquisaauus π vasaa periodia a perusaauus π / N periodia N. Muu aauude vasaava oonaisluuisia periodea ääripäiden välilä. Jos vain on mahdollisa, havainosaran piuus annaaa valia sien, eä mieleniinnon oheena oleva aauude osuva perusaauuden harmonisisi aauusisi (Chafield, 004). Jaossa äsielemme aiasaroa, oissa on parillinen määrä havainoa. Saran oonaispiuuden ollessa suuri, voidaan aiasarasa arviaessa ehdä parillisen piuinen meneämää meriäväsi informaaioa esimerisi poisamalla ensimmäinen havaino (Chafield, 004). Miäli havaiu aiasara sovieaan malliin (8) a eroime α 0, α a β, esimoidaan pienimmän neliösumman einolla, ilmenee, eä esimaaeisa N muodoseu lausee ( ) N a + b uvaa välin =,, q, a a b π ω ± osuua soviusen N oonaisneliösummasa ( x x) a sien myös yseisen aauusvälin osuua oo = prosessin energiaaaumassa. Energiaaaumasa puhuaessa äyeään analogiaa
sähömagneeisiin signaaleihin: fysiaalisen värähelysyseemin esimääräinen energia on verrannollinen ampliudin neliöön. Täsmällisessä maemaaisessa muodossa varianssin aauuminen aauusväleille unneaan Parsevalin eoreemana. q ( x x) / N = R / + a, = q (0) ossa R = a + b. Parsevalin eoreema näyää, mien saran oonaisvarianssi (oa fysiaalisissa sovellusissa vasaa värähelyn oonaisenenergiaa) oosuu eri aauisisa omponeneisa. Havaiusa aiasarasa esimoidun sperin avulla voidaan sien uia, miä aauusomponeni uoava suurimman osan saran oonaisvaihelusa a idenifioida niiä vasaava periodisuude (appale.). Ilmaisaan vielä sama asia sanallisesi: deerminisiselle signaalille disreei Fouriermuunnos määriellään eri aauisen siniaaloen painoeuna summana. Miäli signaalilla on nopeia muuosia (oreaaauisia värähelyä), ämä ilmenee oreaaauisen siniomponenien dominoinina, a hiaille muuosille päinvasoin. Deerminisisen signaalin speri muodosuu näiden omponenien eroimisa. Kosa soasisesa prosessisa saau realisaaio vaihelee oosesa oiseen, sperin määrielyssä äyeään auoovarianssia, ona äyön voi heurisisesi perusella seuraavasi posiiivisen auoovarianssin apausessa. Jos soasinen signaali x muuuu hiaasi aan funiona, auoovarianssi γ muuuu hiaasi viipeen asvaessa. Tällöin Fourier- muunneu auoovarianssifunio eli speri painouu maaliin aauusiin. Miäli x muuuu nopeasi, eli x a x + ova orreloimaomia o pienillä viipeen arvoilla, auoovarianssifunio puoaa nopeasi masimiarvosaan a sen Fourier- muunnos sisälää oreia aauusia (Seiala, 004). Sperin inuiiivinen sisälö on molemmissa apausissa sama: sperin arvo aauudella ω uvaa signaalin (odousarvoisa) aauussisälöä. Esimerisi appaleessa. määriellyn valoisen ohinan speri on asainen (vaio aauuden ω suheen), sillä se sisälää aiia aauusia yhä palon. 3.3 Sperin esimoinnisa Yhälön ( a b ) N I ω ) = + 4 π ( () määrielemää funioa usuaan periodogrammisi a se on eräs area sperin esimaai.
Kosa periodogrammi saadaan haluuille aauusille ω myös auoovarianssifunion esimaain c avulla esimoiua aavalla (Ruusunen, 985) n = + I( ω ) c0 c cos( ω), π = () verailemalla aavoa (7) a () seä suorieun regressioaraselun avulla (havainoen x sovius malliin (8)) voidaan ymmärää aavalla (5) määriellyn sperin uvaavan soasisen prosessin odousarvoisa aauussisälöä. Vaia periodogrammi on sperin harhaon esimaai E ( I( ω)) f ( ω), (3) N se ei ole arenuva: periodogrammin varianssi ei pienene, vaia havainoen määrää asvaa. Yhälön (8) araselu palasaa seliysen: vaia havainoen määrää N asvaeaan, esimoiavien paramerien määrä asvaa samaa ahia. (Chafield, 004). Periodogrammin arenumaomuus ilmenee epäasaisuuena ( piiiyyenä ), oa vaieuaa asollisen omponenien unnisamisa. Periodogrammin havainnollisuua sperin esimaaina voidaan paranaa ieyin äsielyin, oisa asi esiellään seuraavassa. 3.3. Viiveiuna Periodogrammin aavassa () esiinyvä auoovarianssifunion esimaai c huononeva viipeen asvaessa a lähesyessä havainoaineison piuua N, sillä ne laseaan yhä harvempien havainoarvoen peruseella. Periodogrammin paranamiseen ähäävän viiveiunoinnin aausena on painoaa enemmän lyhyiä viipeiä, oia vasaava auoovarianssin esimaai ova parempia. Viiveiunoinnin avulla saadaan ieyen ehoen oeuuessa arenuva sperin esimaai f w M ( ω ) = w0 c0 + wc cos( ω), π = (4) ossa äyeään painoraennea w, = 0,,,, M. Koonaisluua M<N usuaan aaisuohdan piuudesi. Viiveiunoinnin aausen oeuamisesi äyeään sellaisia painoraeneia, oa eliminoiva suurilla viipeillä ilmenevän auoovarianssin esimaaien arenumaomuuden. Näille painoraeneille päee sisi usein w > w + : paino ova siä pienempiä, miä suuremmasi viive asvaa. Aiasaran analysoian ehäväsi äävä aaisuohdan piuuden seä viiveiunan muodon valinna. Chafieldin (004) muaan asi unneuina viiveiunaa ova Tueyn iuna (oissain läheissä myös Tuey- Hanningin ai Blacman- Tueyn iuna) 3
w π (5) = + cos, = 0,,, M M seä Parzenin iuna 3 6( / M ) + 6( / M ), 0 M / w =. 3 ( / M ), M / M (6) Sopivaa aaisuohdan piuua M valiaessa on huomaava, eä liian pieni arvo asoiaa speriä liiaa, olloin mahdollisesi meriysellise ysiyisohda aoava. Liian suuri arvo asoiaa speriä liian vähän, olloin epäasaisuus a sen aiheuama vaiea uliavuus eivä poisu esimaaisa (Mellin, 004). 3.3. Liuuvan esiarvon asoius Toisen vaihoehdon periodogrammin uliavuuden paranamiseen, liuuvan esiarvon asoiusen, äyö perusuu seuraavaan aauseen: f ( ω ) = I( ω ), m (7) ossa periodogrammia I( ω ) asoieaan sien, eä ω = π / N, ossa indesi saa m perääisä oonaisluuarvoa sien, eä aauude ω sioiuva symmerisesi mieleniinnon oheena olevan aauuden ω ympärille. Sperin esimoimisesi aauusilla 0 a π on sien selväsi ehävä erioisäsielyä (Chafield, 004). Myös liuuvalla esiarvolla asoieu periodogrammi on ieyin ehdoin arenuva esimaaori sperille. Paramerin m, oa usuaan äneen piuudesi, oiean arvon määriäminen aiheuaa samanalaisen valinailaneen uin aaisuohdan M ohdalla appaleessa 3.3.: liian pieni m asoiaa speriä liian vähän a liian suuri m liiaa. 3.4 Lineaarisen suodinen vaiuusesa speriin Tuliaan prosessin x synyneen saionaarisesa soasisen prosessisa y sien, eä = x = w y, (8) 4
ossa paino w oeuava ehdon = saau suodaamalla soasisesa prosessisa suodina, ona muodosaa painoraenne { } Aiasaroen x a y sperien f x a ossa w <. Sanoaan, eä soasinen prosessi x on y äyäen lineaarisa aiainvariania w (Mellin, 004). f y välillä päee ny f ( ω) = W ( ω) f ( ω), (9) x y W = w e iω ( ω), = (30) oa on deerminisisen luuonon { w } disreei Fourier- muunnos, olle äyeään myös nimiysä ehoiheyssperi. Tulos (9) saadaan sioiamalla määrielmä (8) soasiselle prosessille määriellyn sperin lauseeeseen (5) (ässä oleeu nollaesiarvoinen prosessi) π iω f ( ω ) = E[ ( x ] = x ) e π iω E ( w y w y ) e, 0 ω π. (3) = = = = Yhälön (3) peruseella määrielmän (30) iseisarvon neliön esiinymisen lauseeessa (9) voi ymmärää. Yhälössä (3) speri f (ω) on äsmällisemmin ilmaisuna ehosperi, oa uvaa soasisen prosessin { x } odousarvoisa aauussisälöä. Nimiys uonuu siiä, eä fysiaalinen väräheliä - analogiassa sperin (3) ysiö on energia/ aauus, sillä energia on verrannollinen ampliudin neliöön. Sperin erilaisia määrielmiä esielevä aremmin irassaan esimerisi Lung a Glad (994). y sperien välisen yheyden ulina on, eä suodaeun prosessin speri saadaan eromalla aluperäinen speri suoimen painoraeneesa riippuvalla eiällä W (ω), ona määrielmäsä (30) voi nähdä Näin soasisen prosessien { x } a { } analogian soasisen prosessin sperin määrielmään (5). 5
Sopivalla suoimen valinnalla voidaan prosessin { x } aauusominaisuusia muoaa haluuisi. Suodausen vaiuus speriin seleyyy hyvin esimeriapausen avulla, oia on esiely seuraavissa appaleissa. 3.4. Differensoini Määriellään aiasaralle { x } viiveoperaaori L sien, eä viiveoperoinnilla saadaan aiasaran edellinen havaino: Lx = x. Viiveoperaaori yleisyy useampiaseisesi n ilmeisellä avalla: L x = x n. Viiveoperaaorille äyeään irallisuudessa (Chafield (004), Lung a Glad (994), Ruusunen (985)) usein myös merinää B. Differenssioperaaori D määriellään viiveoperaaorin L:n avulla: Dx = ( L) x = x x. Näin määriely (.) differenssioperaaio muoaa aiasaraa sien, eä aluperäisisä arvoisa laseaan ahden perääisen arvon erousia eli muuosia: (.) differensoini poisaa aiasarasa deerminisisen lineaarisen rendin. Differensoini voidaan yleisää useampiaseisesi ilmeisellä avalla: esimerisi. aseen differenssi muodoseaan seuraavasi D x = ( L) x = ( L)( x x ) = x x + x. (3) Operaaiolla (suodausella) (3) poiseaan aiasarasa. aseen polynominen rendi. n Useampiaseise differenssioperaaori D, oissa n >, määriellään analogisesi yhälön (3) anssa: suorieaan viiveoperoini n eraa perääin. Meriään erran differensoiua aiasaraa y a aluperäisä x. Tällöin on voimassa = x = x = y w x, (33) ossa w =, w = a w = 0 muuen. Kosa yhälö (33) on samaa muooa uin (8), 0 differensoini voidaan ulia aiasaralle suorieavana lineaarisena suodausena. Differensoinia vasaavan suoimen speri (ehoiheys) on luvun 3.4 aavan (30) muaan ny W ( ω) iω = w e iω 0 iω = e + ( ) e = = e iω. (34) Siirofunio, oa uvaa differensoinnin vaiuusa aiasaraan aauusasossa saadaan ämän omplesiarvoisen funion iseisarvon neliönä, oa voidaan lasea äsin omplesiluuen lasusäänöä äyäen. Sopivan ieooneohelmison, uen 6
Mahemaican, avulla, myös siirofunioiden uvaaia voidaan helposi piirää araselua varen. Tehoiheyssperiä (34) vasaavan siirofunion lauseeesi saadaan Määriellään summausoperaaori S seuraavasi: ( ω) W ( ω) = cos. (35) Sy + L + L + ) y = y + y + y + (36) = ( Sioiamalla y = Dx = ( L) x yhälöön (36) nähdään, eä Sy = x ; aluperäinen aiasara saadaan siis summaamalla differensoiua aiasaraa a äsä syysä oissain läheissä summausoperaaorisa puhuaan differensoinioperaaorin ääneisoperaaorina. Summausoperaaori yleisyy suurempiin eraluuihin evivalenisi differenssioperaaorin anssa. 3.4. Kausidifferensoini Kausidifferensoini poisaa aiasarasa deerminisisen ausivaihelun (appale..), ona periodi on s. Kausidifferensoinioperaaori määriellään viiveoperaaorin L avulla seuraavasi D s s = ( L ). (37) Esimerisi operaaio D x = ( L ) x = x x eee uuausiaiasaralle x muunnosen, ossa arasellaan absoluuisa muuosa verrauna edellisen vuoden vasaavaan uuauden ilaneeseen. Kausidifferensoinioperaaoria D s vasaavan suoimen painoraeneesi saadaan w, w = a w = 0 muuen. Vasaavan suoimen (ehoiheys)speri saadaan 0 = s sioiamalla nämä paino w aavaan (30) W ( = iω iω 0 iω s ω) w e = e + ( ) e = = e iω s, (38) a siirofuniosi W ( ω) = cos( ωs). (39) 3.4.3 Liuuvan esiarvon asoius Liuuvalla esiarvolla aroieaan lineaarisa esiäsielyä, ossa esiäsiely sara { } y saadaan seuraavan aavan avulla määriellyn suodausen ulosena. 7
s + r= q y = a x, r + r (40) r ossa paino a r oeuava ehdon a =. Liuuvan esiarvon asoius uliaan sien, eä suodaeu arvo y laseaan painoeuna esiarvona heen seä q edellisä a s seuraavaa havainoa äyäen. Koonaisluua + q + s usuaan äneen piuudesi. Liuuvan esiarvon suodausella pyriään poisamaan aiasarasa häiriseväsi oeu vaihelu; se suodaaa aiasarasa sellaise vaiheluomponeni, oiden eso on lyhyempi uin äneen piuus (Mellin, 004). Läheen Chafield (004) muaan ysineraisin esimeri asoiussuoimesa on symmerinen suodin ( q = s ), ossa aii paino ar ova yhä suuria. Tällöin y + q = x + r q + r= q. (4) Selvää on, eä liuuvan esiarvon asoiusen suodinen ei välämää arvise olla symmerisiä yhälön (40) painoen a r eiä paramerien q a s suheen. Käyeään uienin yhälön (4) määrielemää suodina esimeriapausena sperin araselussa. Tällä suoimella voi olla äyöarvoa esimerisi ausivaihelun poisamisessa (Chafield 004). Yhälö (30) anaa suoimen (4) sperisi, un q = e 3 oen siirofuniosi saadaan W (ω) w e iω = iω ( ) ω = = iω 0 i + e + e = 3 3 iω iω e + e + = 3 3 (4) + cosω. 3 3 ( + 4cosω 4cos ω) W ( ω) = + cosω = +. 3 3 9 (43) 8
3.4.4 ARMA- suoime Tässä appaleessa näyämme, eä yleisesi aiasara- analyysissä äyey malliraenne, ARMA- malli, voidaan esiää lineaarisen suodausen ulosena. ARMA- malli oosuva auoregressiivisesä (auoregressive, AR) seä liuuvan esiarvon (moving average, MA) osisa sien, eä havainnon x ausalla oleva ilasollinen malli on muooa ossa viivepolynomi φ( L) x = θ ( L) ε, ε ~ i. i. d.(0, σ ), (44) φ L = φ L φ L ( ) φ, (45) L p p a θ ( L) = + θ L + θ L + + θ. (46) q q L ARMA- mallien eoria osee saionaarisia (appale..) soasisia prosessea; miäli saionaarisuuden saavuamisesi daa ouduaan differensoimaan erran ai useammin (appale 3.4.), puhuaan ARIMA- mallisa, ossa irain I viiaa sanaan inegraed - aluperäinen aiasara saadaan ällöin summaamalla (yhälö (36)) eli inegroimalla differensoidusa daasa. ARMA- malli voidaan iroiaa muooon θ ( L) x = ε, ε ~ i. i. d.(0, σ ), φ( L) (47) olloin uliaan havainnon x synyneen suodaamalla valoisa ohinaa äyäen suodina, ona ominaisuude määräyyvä viivepolynomien φ (L) a θ (L) eroimien φ, n =,, p aθ m, m =, q seä aseluuen p a q peruseella. n Voidaan osoiaa (Mellin, 004), eä saionaariselle ARMA- prosessille on olemassa MA ( ) - esiys x = Ψ( L) ε, (48) ossa viivepolynomi Ψ( L) = ψ L, oa on samaa muooa uin (8). Näin ARMA= 0 prosessi voidaan luea lineaarisen suodinen luoaan. ARMA- mallin (44) speriiheysfunion yleisesi lauseeesi saadaan ARMA(p, q)- mallin apausessa saadaan aavan (9) peruseella 9
σ + θe f ( ω) = π φ e iω iω + θ e φ e iω iω + + θ e q φ e p qiω piω, (49) σ ossa eiä on valoisen ohinan speriiheysfunio. Kaavan (49) π omplesisuudesa ohuen ARMA- mallien sperisä on vaiea sanoa miään yleisä. Parhaien asiaa voidaan havainnollisaa uvaaien avulla, oisa esieään esimeriapausia a ulinoa appaleessa 3.5. Speraalianalyysia voidaan havainnollisaa myös ARMA- mallien avulla, vaia yleisesi mallinraennusproseduurissa ei ARMA- prosessia aiasaralle ehäväsi esiäsielysi uliaaan. Voidaan uienin aaella, eä valoisesa ohinasa uoeaan havaiu (värillinen) aiasara suodaamalla se ARMA- suoimen seä valiuen esiäsielysuodinen ääneissuoimien läpi. Toiseen suunaan voidaan aaella esiäsielyen avulla uoeun saionaarinen aiasaran sisälävän sisäisä ARMAraennea, värillisyyä, un pelä esiäsiely eivä uoa riiävän valoisa ohinaa. Kuva (Ruusunen, 985) havainnollisaa aausa hyvin. Valoinen ohina ε θ (L) φ ( L) Liuuvan esiarvon suodain e Saionaarinen auoregressiivinen suodain y S d Epäsaionaarinen summaussuodain Aiasara x Kuva. ARIMA- mallin raenne suodinen avulla Kuva ei sisällä havainnollisuuden vuosi ausivaihelua poisavaa (ai aiheuavaa) suodina, mua se voiaisiin lisää uvaan epäsaionaarisa summaussuodina vasaavalla avalla. Kuvasa voidaan luea esimerisi normaali ARMA- mallin esiysmuoo d d φ ( L) y = θ ( L) ε ai suorieu differensoini S y = x y = D x, ossa operaaori S a D ova appaleessa 3.4. määrielly differensoini- a summausoperaaori d eraa suorieuna. Aiasaran yhälön x suodauminen valoisesa ohinasa suodinen läpi saadaan ny esieyä x d = S φ ( L) θ ( L) ε, (50) muodossa, oen ARMA- suoime a esiäsielysuoime ova maemaaisessa mielessä verailuelpoisia. Yhälö (50) peruselee raaisun ARMA- suodinen esielyyn ässä yössä lineaarisen esiäsielysuodinen yheydessä. Lisäsi appaleissa 3.4., 3.4. a 3.4.3 läpiäydy esiäsiely voidaan ulia ARMA- suoimien erioisapausina. 0
3.5 Graafisia esimereä Tässä luvussa esielemme sopivasi valiuen eoreeisen prosessien spereä, oa havainnollisava luvuissa 3.4 esieyä asioia. 3.5. Differensoini Differensoinia vasaavan siirofunion lausee on luvun 3.4. aavan (35) muaan W ( ω) = cos( ω). Kuva 3 esiää ää funioa välillä [ 0,π ], oa on väli, olla aiasaran speri määriellään (luu 3.). 4 3 0.5.5.5 3 Kuva 3. Ensimmäisen eraluvun differensoinia vasaavan siirofunion speri Kuva 3 havainnollisaa, uina differensoini vaiuaa aiasaran aauussisälöön: aavan (9) muaan differensoidun aiasaran speri on siirofunion a aluperäisen aiasaran ulo. Siirofunion uvaaasa nähdään, uina differensoiaessa orea aauude vahvisuva suheessa maaliin aauusiin. Kosa differenssi muodoseaan lasemalla ahden perääisen havainnon erouse, a ää vasaava viive on pieni eli aauus orea, on ulina selvä. Toisaala siirofunion arvo aauudella 0 on W (0) = cos(0) = 0, eli aauua 0, oa vasaa ääreömän piää syliä, vasaava maala aauude vaimeneva. Tämä vasaa deerminisisen rendin poisumisa differensoidusa aiasarasa. 5.5 0 7.5 5.5 0.5.5.5 3 Kuva 4. Toisen eraluvun differensoinia vasaavan siirofunion speri Toisen eraluvun differensoinia vasaava siirofunio saadaan sioiamalla aavan (3) ulos yhälöön (30)
W ( ω) iω iω 0 iω i ω iω iω = w e = e + ( ) e + e = e + e. = (5) Kuva 4 esiää Mahemaica- ohelman avulla piirreyä yhälön (5) määrielemän ehoiheyssperin siirofunioa W (ω). Kuvaaasa voi luea, eä oisen eraluvun vahvisaa suuria aauusia suheellisesi enisä enemmän (huomaa aseio). Ise asiassa siirofunion lausee W (ω) saadaan eromalla funio (35) isellään, uen inuiiivisesi selvää onin; oinen differenssihän muodoseiin suoriamalla ensimmäisen aseen differensoini ahdesi perääin (appale 3.4.). 3.5. Kausidifferensoini Tarasellaan ausidifferenssoinnin siirofunion uvaaaa, un auden piuus s =. Tällöin aavan (37) peruseella on W ( ω) = cos(ω ). 4 3 0.5.5.5 3 Kuva 5. Kausidifferensoinia vasaavan siirofunion uvaaa Kuva 5 näyää havainnollisesi, uina ausidifferensoini poisaa aiasarasa auden piuua vasaava aauude. Kauden piuus on ny, a uvasa havaiaan, eä π π π π π W ( ω) = 0, un ω =,,,6. Perusaauuden ω s = = lisäsi 6 6 6 6 ausidifferensoini siis poisaa välille [ 0,π ] osuva perusaauuden harmonise aauude, oa periodia vasaava ausivaihelu aiheuaa. Näiä aauusia vasaava auden π piuude saadaan aavasa s =. ω Kausidifferenssoinnin vaiuus aauussisälöön voidaan yleisemmin nähdä siä vasaavan siirofunion W ( ω) = cos( ωs) aavasa (39). Sylinen omponeni, ona periodi on s, näyy saionaarisen soasisen prosessin sperissä huippuina π perusaauuden ωs = lisäsi harmonisilla frevensseillä ω s, =,, [ s / ], ossa s
[ / ] s on suurin oonaisluu, oa s / (Mellin, 004). Sioiamalla harmonise frevenssi ω s siirofunion aavaan (39) saadaan aiilla,, [ s / ] W ( ω ) = cos( ω s s s ) = cos( π ) = 0, (5) =. Kausidifferenssoinnin oonaisvaiuus speriin on sien π π [ s / ] π aauusien 0,,,,, π vaimeneminen. s s s 3.5.3 Liuuvan esiarvon asoius Luvussa 3.4.3 esiely esiäsielymeneelmän, liuuvan esiarvon asoiusa vasaavan siirofunion lausee sai yhälön (43) muaisen muodon, un parameri q a s saiva arvon a aiien niiden havainoen painoarvo, oisa esiarvo laseiin, oli samansuuruinen. 0.8 0.6 0.4 0. 0.5.5.5 3 Kuva 6. Liuuvan esiarvon siirofunion uvaaa, q = s= Kuva 6 osoiaa, uina liuuvan esiarvon äneen piuua q + s + = 3 vasaavaa π aauua ω =, suuremma aauude suodauva aiasarasa pois ää suodina 3 äyeäessä. Kuva 7 esiää aavan (30) muaisesi Mahemaica- ohelmisolla laseun liuuvan esiarvon asoiusa vasaavan siirofunion uvaaaa, un q = s = a suoimen painoraenne on asainen aavassa (40) a r = aiilla r =,,. 5 3
0.8 0.6 0.4 0. 0.5.5.5 3 Kuva 7. Liuuvan esiarvon siirofunion uvaaa, q=s= π Ny äneen piuua q + s + = 5 vasaa aauus ω =, 3, oa suuremma aauude 5 suodauva aiasarasa älleen pois eoriaa (Mellin, 004) vasaen. 3.5.4 ARMA- suoime Tässä appaleessa esiellään ysineraisimman (aidon) ARMA- suoimen, ossa AR- a MA- osien eraluvu p= a q=, speri. Kappaleessa havainnolliseaan, uina valoinen ohina väriyy ARMA- prosessin vaiuusesa ilasollisa raennea sisäläväsi a uina AR a MA- osien paramerien arvo vaiuava prosessin ominaisuusiin a sien myös aauussisälöön. Sperin lausee ARMA(, )- apausessa saadaan aavasa (49) σ + θ + θ cosω f ( ω) =, π + φ φ cosω (53) oa oosuu valoisen ohinan aiheuamasa eiäsä π σ, yhälön oisen eiän nimiääsä saadaan mallin AR- osaa vasaava siirofunio a osoiaasa MA- osaa vasaava siirofunioon. Paramerien arvoilla θ = 0, a φ = 0, 3 saamme ARMA- prosessin vaiuusen valoisen ohinan speriin aavasa (53). 4
.5.5 AR- osa MA- osa ARMA- suodin 0.5 0 0 0.4 0.8..6.4.8 Kuva 8. ARMA- prosessin siirofunion uvaaan omponeni Kuva 8 näyää ARMA- suodausen siirofunion muodosumisen osiensa ulona: ARosa vahvisaa maalia aauusia un aas MA- osalla on oreampia aauusia vahvisava vaiuus (paramerien arvoillaθ = 0, a φ = 0, 3). AR- osan vaiuus oonaisuueen on ässä dominoiva, uen Kuva 8 osoiaa. Perusellaan vielä ARMA- suoimen vaiuusen aauusalueessa esiäminen omponeniensa ulona. Miäli aiasaran suodaus apahuu useamman (n appalea) lineaarisen suoimen läpi, aava (9) yleisyy ilmeisellä avalla (Chafield, 004) f ( ω) = W ( ω) W ( ω) W ( ω) f ( ). (54) x n y ω Kiroieaan yhälön (53) siirofunio muooon W ( ω) = W ( θ ( L)) W ( φ( L)) = ( + θ + θ cosω), + φ φ cosω (55) ossa W ( φ( L)) a W ( θ ( L)) ova AR- a MA- suodinen siirofunio. Näin voidaan arasella ummanin suoimen vaiuus syöeen (ARMA- mallissa valoisa ohinaa) speriin eriseen; oonaisvaiuus on näiden ulo (Kuva 8). MA- osan siirofunio ( + θ + θ cosω) W ( ω) =. (56) on maemaaisesi hieman ysineraisempi uin AR- osan, oen uiaan esimerinomaisesi MA- osan suoimen äyäyymisä a esieään älle ulina 5
paramerin θ saadessa eri arvoa yhälön (48) muaan ARMA- suodaus voidaan esiää ääreönaseisena MA- suodausena. Oleeaan aiissa apausissa, eä θ MA()- prosessin äänneävyysehdon (Mellin, 004) oeuumisesi. < Tarasellaan ensin apausa θ > 0. Kosinifunio on aidosi vähenevä a posiiivinen aauusvälillä ω 0, π : paramerin θ 0 > asvaessa ällä välillä myös siirofunio π asvaa aiilla aauusilla. Välillä ω, π osinifunio on aidosi vähenevä a negaiivinen, olloin paramerin θ > 0 asvu ieyn aauusarvon äleen ei välämää asvaa siirofunioa yhälön (56) ermisä θ cosω ohuen. Sanallisesi ämän araselun ulina on, eä miä suurempi parameri θ 0 on, siä enemmän vahvisuva maala aauude ω 0, π. MA()- suodausen esiys aia- alueessa (yhälön (44) erioisapaus) > x = + θε ε. (57) a sen auoovarianssifunio γ 0 = σ [( ε + θ ε )( ε + θ ε ] = E[ θ ε ] θ γ ( = σ = E x x ) = E ) γ = 0, l 0, l (58) l seliävä MA()- suodausen vaiuusa valoisen ohinaan speriin araseluissa ilmenneen maalien aauusien vahvisumisen: miä suurempi parameri θ > 0 on, siä suuremman arvon saa γ (auoovarianssi viipeellä ). Suuri posiiivinen auoovarianssi implioi hiaia muuosia aia- alueessa, oia vasaava maala aauude. (laselma (58) on ehy yhälöissä (),(3) a (4) esieyihin valoisen ohinan ε ominaisuusiin perusuen) Kun θ < 0, pääelmä suoimen siirofuniosa muuuva vasaaisisi edellä esieyen pääelmien suheen: miä negaiivisempi parameri θ on, siä enemmän orea aauude vahvisuva. 6
4 3.5 3.5.5 0.5 0 0 0.4 0.8..6.4.8 Paramerin arvo 0,3 Paramerin arvo 0.9 Paramerin arvo -0,3 Paramerin arvo -0,9 Kuva 9. MA()- suoimen siirofunioia paramerinθ eri arvoilla Kuva 9 veää yheen paramerin θ arvon vaiuuse speriin: vaiuusen suuruus on verrannollinen paramerin iseisarvoon, negaiivise arvo vahvisava oreia aauusia a posiiivise maalia aauusia. Yleisemmän, ARMA (p, q)- prosessin apausessa suoimia vasaavien siirofunioiden lauseee muodosuva paramerien suheen monimuaisisi (49), oen niiden uliseminen on muiaampaa uin ässä appaleessa esieyn ysineraisen esimeriapausen. 7
4 Todellisen aiasaran araselu Tässä appaleessa havainnolliseaan luvussa 3 esieyä speraalianalyysin eoriaa reaalimaailman daaan perusuvan mallinnusprosessin avulla. Taraselun oheena oleva aiasara äsiää 6 uuausiaisa havainoa Havaiilla siaiseva Mauna Loaulivuoren yllä ehdyisä hiilidiosidimiausisa. 4. Raeneiden näyminen a suodausen vaiuus aauusalueessa mallinnusprosessin eri vaiheissa Luodaan ensin yleisasaus araselavaan aiasaraan aia- alueen uvaaan avulla. 35.0 Plo of MLCO 8.8 MLCO.5 6.3 0.0 0.9 54.9 08.9 6.9 6.9 Time Kuva 0. Mauna Loa- ulivuoren yläpuolella miau uuausiaise hiilidiosidipääsö Graafisen esiysen (Kuva 0) peruseella, vaiuaa, eä aiasara ei ole saionaarinen, vaan se vaiuaa sisälävän lineaarisen rendin. Tulivuoren yllä ehyen hiilidiosidimiausen havaiaan myös sisälävän selvää ausivaihelua sien, eä ason piuus on vuoden miainen. 4.. Trendi a asollise omponeni Tarasellaan aiasaraa seuraavasi aauusalueessa; esieään NCSS- ohelman (Hinze, 00) avulla aiasarasa esimoidu periodogrammi (aava ()) seä speriesimaai (aava (7)). 8
Periodogram of MLCO 0. 0. Period 0. 0.0 0.0 0.0 0.9.8.6 3.5 Frequency Kuva. Aiasarasa esimoiu periodogrammi 0. Specral Analysis of MLCO 0. Specrum 0. 0.0 0.0 0.0 0.9.8.6 3.5 Frequency Kuva. Aiasarasa esimoiu speri Periodogrammi (Kuva ) on esimoiu 00 asaväliselle aauudelle välillä [0.5583, π ], osa Chafieldin (004) suosiusen muaan noin 00 00 aauua vasaava sperin esimaai on sperisä ulinoen eemisen annala riiävä määrä. Käyämme aossa samaa esimoiavien sperin arvoen luumäärää (00) speriesimaaien verailavuuden vuosi. NCSS lasee speriesimaain (Kuva ) liuuvan esiarvon asoiusen meneelmällä (aava 7) peruseella. Luvun 3.3. muaan aavassa (7) esiinyvä parameri m on valiava sopivasi äärimmäisyysien välilä: liian suuri arvo asoiaa aauusia vasaava piii pois esimaaisa a liian pieni arvo vaieuaa näiden aauusien 9
eroamisa. NCSS suosielee arvoa (Hinze, 00), oa on lähellä luua N / 40, ossa N on niiden aauusien luumäärä, oia vasaava sperin arvo esimoidaan. Tällä peruseella äyämme aossa arvoa m=3. Speriesimaaeisa havaiaan asi piiiä, suurin piirein aauusarvoen ω 0, 54 aω, ohdalla. Näiä vasaava periodi ova s / 0,54, = π 6 a s = π /, 5,7. Aiasarauvaaasa idenifioiu asollisuus periodilla uuaua näyy myös aauusasossa. Taauua ω vasaava piii seliyy sillä, eä ω ω ; piii vasaa sien perusaauuden ω. harmonisa aauua (appale 3.4.). 4.. Differensoini Kappaleessa 4. mainiuen piiien lisäsi havaiaan sperin asvavan aauuden lähesyessä arvoa ω = 0, oa vasaa ääreönä syliä a viiaa rendin olemassaoloon (Mellin, 004), uen myös aiasaran uvaaan (Kuva 0) peruseella näyää. Täsä syysä aiasara differensoidaan erran (appale 3.4.). 4.0 Specral Analysis of MLCO 3.0 Specrum.0.0 0.0 0.0 0.9.8.6 3.5 Frequency Kuva 3. Differensoidun aiasaran esimoiu speri Aluperäisen (Kuva ) a differensoidun aiasaran (Kuva 3) speriesimaaien verailu osoiaa aauusalueessa, uina differensoini poisaa aiasarasa lineaarisen rendin; aauusarvon 0 lähellä siaiseva omponeni aoava, uen eorian (appale 3.4.) piääin. Differensoidusa aiasarasa on helpompi eroaa piii aauusilla ω a ω. 4..3 ARMA- raeneen idenifioini Sopivan differensoinnin eraluvun valinnan äleen (oa edellisen appaleen peruseella on ) mallinnusprosessi eenee sien, eä on löydeävä sopiva eraluvu a malliraenne 30
ARMA- prosessille, oa suodaaa valoisesa ohinasa värähelyä, ona aauussisälö on edellisen (Kuva 3) muainen. Valoanalogissa piii (Kuva 3) voisiva vasaa esimerisi elaisa a sinisä valoa. Aiasara, ona generoinua soasisa prosessia yrieään idenifioida, vasaisi ny värähelysisällölään ieyn sävyisä vihreää. Tehävä, ossa olisi valiava ominaisuusilaan sopiva linssi, oa suodaava valoisesa valosa elaisen a sinisen esiin sien, eä ulos vasaa havaiua vihreää, vasaa sopivan soasisen prosessin (ny ARMA- mallin) esimisä. Osoiauuu, eä mulipliaiivinen ARMA- malli (äsmällisemmin SARIMA- malli, S viiaa sanaan seasonal) (Box a Jenins, 976) L Φ L D x L L ε, (59) s d s φ p ( ) P ( ) = θ q ( ) ΘQ ( ) ossa viivepolynomien eraluvu p = P = q = Q = a differensoinnin eraluu d = a auden piuus s =, on eräs malli, oa uvaa araselua Mauna Loa- ulivuoren ylä miaua hiilidiosidipioisuusia ilasollisesi riiävällä avalla. d Meriään D x = y, olloin voidaan lasea yhälön (59) muooisen saionaarisen ARMA- prosessin speri aavan (49) peruseella. Saadaan f ( ω) iω iω 3iω σ + θe + θe + θθ e =. (60) ω ω 3 ω π i i i φe φe + φφ e Sioiamalla NCSS:n anama parameriesimaai φ = 0, 44, φ = 0, 9804, θ = 0,448, 505 θ = 0, voidaan Mahemaicalla piirää ARMA- suoimen siirofunion uvaaa (yhälö (60) ilman valoisesa ohinasa aiheuuvaa eiää π σ ). Teoreeisen ARMA- prosessin siirofunion uvaaan piirämisen aroiusena on arisaa, aiheuuuo prosessin seä summaussuoimen (ääneinen operaaio differensoinnille) yheisvaiuusena aauussisällölään samanalainen speri uin aiasarasa esimoiu (Kuva molempiin suuniin lueuna). 3
4000 000 0000 8000 6000 4000 000 0.5.5.5 3 Kuva 4. Valiun ARMA- suoimen siirofunio Koo valiun mallin siirofunio, ARMA- raeneen a summaussuoimen oonaisvaiuus valoisen ohinan speriin saadaan aavan (54) peruseella iω iω 3iω + θe + θe + θθ e ( = iω iω 3iω ( cos( ω)) φe φe + φφ e W ω),0 < ω π, (6) ossa eiä /( cos( ω)) aiheuuu epäsaionaarisesa summaussuoimesa, ona vaiuus on ääneinen differensoinnin siirofunioon (35) nähden. Huomaavaa on, eä funio (6) ei ole määriely aauuden arvolla nolla ämä heiaselee sperin (5) määrielemisä ainoasaan saionaarisille prosesseille. Valiun prosessin (ARMA- raeneen a differensoinien eraluvu) aauusalueen suodausominaisuusien havainnollisamisesi piirreään oonaissiirofunion uvaaa 0.0,π. (6) sisi välillä [ ] 80000 60000 40000 0000 0.5.5.5 3 Kuva 5. Valiun SARIMA- prosessin siirofunio 3
Aiasarasa esimoidun sperin (Kuva ) a havainno generoineesi unniseun prosessin siirofunion (Kuva 5) araseluissa havaiaan sama aauusominaisuude (piii samoilla ohdilla). 4..4 Residuaalien araselu Teorian muaan riiävällä avalla havaiun vaihelun seliävän mallin residuaali RES i = y FIT, i =, N, (6) i i ossa y i on havaino a FIT i mallin (59) anama sovie esimoiduilla paramerien arvoilla, ova valoisa ohinaa. Tässä appaleessa havainnolliseaan asiaa aia- a aauusalueen uvaaien avulla..0 Auocorrelaions of Residuals Auocorrelaions 0.5 0.0-0.5 -.0 0.0.3 4.5 36.8 49.0 Lag Kuva 6. Residuaalien auoorrelaaio. Miäli malli on riiävä, residuaalien auoorrelaaioiden (Kuva 6) ρ γ γ = = γ 0 σ, (63) ossa γ on auoovarianssi () ulisi äyäyyä saunnaisesi sien, eä ne ova iseisarvolaan pieniä. Tesi sille, ono auoorrelaaioissa älellä ilasollisa raennea, on nimelään Pormaneau- esi, ossa esisuure (Hinze, 00) r Q( ) = N( N + ), (64) = N 33
oa noudaaa χ - aaumaa vapausaseparamerilla p q P Q. Kaavan (64) muodosa nähdään, eä suure esisuureen arvo aiheuava nollahypoeesin residuaalien auoorreloimaomuudesa hyläämisen. NCSS anaa eri viipeille ulosen, ossa ahdella viipeen arvolla esi eroo, eä malli ei ole riiävä a 4 esisuureen arvon muaan malli on riiävä. Nollahypoeesien hyläävien esiulosen osuus aiisa eseisä on 0, 04545, oen oimiaessa 44 risiasolla 0,05 esiulos ei viiaa siihen, eä valiu malliraenne ei ole ilasollisesi riiävä. 0.5 Specral Analysis of RESIDUAALIT 0.4 Specrum 0.3 0. 0.0 0.0 0.9.8.6 3.5 Frequency Kuva 7. Residuaaleille esimoiu speri. Residuaalien speriä (Kuva 7) araselaessa saaaa vaiuaa, eä aauusvälillä [.6,.6] esiinyvä piii edusaa meriävää aauusomponenia. Piiin suuruua voidaan arasella huomioiden, eä NCSS lasee normeeraaua spereä. Kappaleessa 3. esieyn ulinnan muaan piiiä vasaavan osuus oonaisvarianssisa suuruusluoa saadaan siä vasaavana pina- alana. Normeerauen sperien apausessa saadaan suheellinen osuus saran oonaisvarianssisa. Approsimoimalla epäilyä piiiä asaylisellä olmiolla, ona äre ova piseissä 0,45 (.6, 0), (.6, 0) a (.44, 0.45), osuuden suuruusluoasi saadaan 0,36 8%, 0,36 un äysin asaisella sperillä vasaavan levyisellä aauusvälillä on % osuus π varianssisa. 34
Lisäsi residuaalien esimoidun sperin (Kuva 7) heilahelu apahuu äysin valoisen ohinan normalisoidun sperin f ( ω) = 0, 3 ympärillä. π Edellisen peruseella voidaan pääellä, eä Kuva 7 ei sisällä meriäviä aauuspiieä, vaan residuaali ova valoisa ohinaa, uen myös auoorrelaaioiden (Pormaneauesi) peruseella pääeliin. 4. Liuuvan esiarvon asoiusen vaiuus speriin Kappaleessa 3.4.3 määriely liuuvan esiarvon asoiusen äyön on aroius poisaa aiasarasa häiriseväsi oeu vaihelu. Taauude, oa suodauva pois, riippuva äneen piuudesa + q + s (appale 3.4.3). Havainnolliseaan liuuvan esiarvon asoiusessa äyeyn äneen piuuden vaiuusa aauusalueessa araselaessa luvussa äsiellyn Mauna Loa- aiasaran (Kuva 0) avulla. Aiasara on myös differensoiu erran. Käyeään ensin äneen piuua 3 a symmerisä painoraennea, olloin liuuva esiarvo y laseaan aluperäisesä (differensoidusa) aiasarasa x yhälön y = x + x + x+, =,35, 3 3 3 (65) peruseella. Seuraavassa esieään liuuvalla esiarvolla asoieusa aiasarasa esimoidun sperin uvaaa. 5.0 Specral Analysis of FILTERED_3 3.8 Specrum.5.3 0.0 0.0 0.9.8.6 3.5 Frequency Kuva 8. Liuuvalla esiarvolla asoieu aiasara, äneen piuus 3 Taauusalueissa apahuva verailu asoieun (Kuva 8) a aluperäisen (Kuva ) aiasaran välillä eroo, eä aauussisällölle ei apahunu olennaisesi miään; ise 35
asiassa ainain aauua ω vasaava piii on asoieulle aiasaralle suurempi, oa on ymmärreävissä äneen piuua 3 vasaavan siirofunion uvaaan (Kuva 6) π peruseella. Kosa äneen piuua 3 vasaava aauus on, a asoius suodaaa 3 pois ää suuremma aauude, on äyeävä pidempää änneä. Miäli periodia vasaavasa vaihelusa a ämän harmonisisa aauusisa aiheuuva piii haluaan suodaaa araselavasa aiasaran sperisä pois, on äyeävä liuuvan esiarvon suodina, ossa äneen piuus + q + s =. Käyeään painoraeneelaan symmerisä asoiusa, ossa aavan (40) parameri saava arvo q = a r = 0. Tasoiusen lauseeesi saadaan y = x + x 0 + x 9 + + x, =,3,4,,6, (66) a asoieun aiasaran speri esieään seuraavassa. 0.3 Specral Analysis of FILTERED_ 0. Specrum 0. 0. 0.0 0.0 0.9.8.6 3.5 Frequency Kuva 9. Liuuvalla esiarvolla asoieu aiasara, äneen piuus π Kuva 9 osoiaa havainnollisesi, uina aauus 0, 5 a vasaava harmonise aauude suodauva pois. Sopiva liuuvan esiarvon asoius (ässä äneen piuuena ) palasaa häirisevinä oeuen aauusien ala ilasollisa raennea, oa on mahdoona havaia ilman asoiusa (Kuva ). On huomaava, eä appaleessa 4. uvaussa mallinnusproseduurissa periodia vasaava vaihelu ei ole häiriö, oa haluaan poisaa aiasarasa, vaan se pyriään sopivalla SARIMA- raeneen valinnalla mallinamaan ilasollisesi riiävällä avalla. 36
Kuvaaan (Kuva 9) osoiama ilasollinen vaihelu on periodilla apahuvaan vaiheluun verrauna häviävän pienä, a sisi saaiin raenneua ilasollisesi riiävä malli ilman ämän vaihelun huomioimisain. 5 Yheenveo a ohopääöse Työn eoriaosassa äyiin läpi ensin aiasara- analyysin perusäsieiä (luu ) sperin määrielyn a sen ulinoen esiämisen mahdollisamisesi (luu 3). Kappaleessa 3.4 esieliin lisäsi ämän yön aiheen raausen annala äreä ulos, lineaarisen suodinen äyön vaiuus aauusalueessa (aava (9)), ona äleen appaleessa sovelleiin ulosa yössä äsieläväsi valiuen lineaarisen suodinen apausiin (3.4. Differensoini, 3.4. Kausidifferensoini, 3.4.3 Liuuvan esiarvon asoius a 3.4.4 ARMA- suoime). Kappaleessa 3.5 havainnolliseiin näiden suodinen äyön vaiuusia aauusalueessa graafisen esiysen avulla. Luvussa 4, oa voidaan piää yön sovelavana osuuena, äsieliin osielämäsä peräisin olevaa aiasaraa NCSS - ilaso - ohelmison avulla. Käsiellyssä aiasarassa miausen oheena oliva Havaiilla siaisevan Mauna- Loa- ulivuoren yläpuolella havaiu hiilidiosidipioisuuden 6 uuauden miaisen havainoperiodin aiana. Kappaleessa 4. esimoiiin speri mallinraennusen eri vaiheissa. Eri äsielyen aiheuamia muuosia sperissä verailiin luvun 3 eoriaan a niille esieiin ulinoa. Esimoiua spereä äyeiin seä havainno generoineen soasisen prosessin eraluuen (differensoini a ARMA- raenne) määriämisesi (appalee 4.., 4.. a 4..3) eä mallin riiävyyden varmisamisesi (residuaalien valoisuuden araselu appaleessa 4..4). Taauusalueen araseluen peruseella valiu SARIMA- malli (59) ei varmasi ole ainoa eiä välämää paras diagnosise esi läpäisevisä malleisa, mua ämän yön puieissa ysymys ei ole meriysellinen. Aiheraausen vuosi aaus oliin löyää vain oin ilasollisesi riiävä malli a havainnollisaa mallinraennusen eri vaiheissa relevanien lineaarisen suodinen äyön vaiuusa aauusasossa. Kappaleessa 4. havainnolliseiin, mien aiasarasa voidaan suodaaa pois häiriseväsi oeu vaihelu sopivalla liuuvan esiarvon äyön avulla: äyeiin seä väärää eä oieaa liuuvaa esiarvoa. Lineaarisen (esiäsiely)suoimien vaiuusia uiaessa aauusalueessa yösenely on eriyisen edullisa sovellusissa, ossa valoinen ohina väriyy usealla perääisellä suoimella. Tällöin vaiuus aauusalueessa saadaan siirofunioiden erolasulla (54), oa on maemaaisesi ysinerainen verrauna aia- alueen onvoluuiolasuihin (Chafield, 004). Toisaala speri on auoovarianssia hieman epäinuiiivisempi väline a sen määrielmän ymmäräminen a uliseminen muiaampaa. Joa apausessa 37