P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen nopeutt j kiihtyvyyden jkmist tngentti- j normlikomponentteihin. Huom: Kuvitus ilmestyy vst seurvn versioon. 4.1 Käyrän prmetrisointi Käyrällä trkoitetn joukko C R n, jok voidn esittää muodoss C = {r(t) t I}, missä funktio r: I R n on jtkuv. Tässä r on käyrän C prmetrisointi j I R on vstv prmetriväli. Käytännössä voidn jtell, että n = 2 ti n = 3, mutt ei ole välttämätöntä rjoittu näihin tpuksiin. Esimerkki 4.1 Jos n = 3, niin kyseessä on vruuskäyrä, jolle r(t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3. Tässä x, y, z ovt prmetrisoinnin koordinttifunktioit, j prmetrisoinnilt vdittv jtkuvuus trkoitt yksinkertisesti sitä, että nämä ovt jtkuvi funktioit jollkin prmetrivälillä I. Prmetrisointi r = r(t) kirjoitetn usein koordinttimuodoss x = x(t) y = y(t) t I. z = z(t) Tpuksess n = 2 kyseessä on tsokäyrä, jolloin yllä z-koordintti jää pois. Usein prmetriväli on suljettu väli [, b]. Jos tällöin r() = r(b), niin kyseessä on umpininen käyrä. Prmetrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnn, jolloin r() on käyrän lkupiste j r(b) sen päätepiste. Annetust prmetrisoinnist voidn muodost myös vstkkinen prmetrisointi, joss vstv käyrä pysyy smn, mutt prmetrisointiin liittyvät lku- j päätepiste vihtvt pikk. Tpuksess r: [0, 1] C vstkkinen prmetrisointi r sdn helposti kvll r (t) = r(1 t), t [0, 1]. Esimerkki 4.2 ) Ellipsi x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 voidn prmetrisoid muodoss { x = cos t y = b sin t, 1
missä t [0, 2π]. Tpuksess = b = R sdn R-säteisen origokeskisen ympyrän prmetrisointi. b) Jos f : I R on jtkuv yhden muuttujn funktio, niin sen kuvj {(x, y) x I, y = f(x)} on tsokäyrä, joll on prmetrisointi r(t) = (t, f(t)), t I. c) Pisteiden r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) j r 1 = (x 1, y 1, z 1 ) välisen yhdysjnn prmetrisointi voidn kirjoitt vektorimuodoss r(t) = r 0 + t(r 1 r 0 ), kun t [0, 1]. Tästä sdn myös koordinttimuoto x = x 0 + t(x 1 x 0 ) = (1 t)x 0 + tx 1 y = y 0 + t(y 1 y 0 ) = (1 t)y 0 + ty 1 z = z 0 + t(z 1 z 0 ) = (1 t)z 0 + tz 1. d) Sykloidi on tsokäyrä, jok kuv esim. vierivään renkseen trttuneen kiven rt. Jos renkn säde on j prmetriksi vlitn ik, niin kselin liikettä kuv prmetrisointi x = vt, y =. Kiven pyöriminen kselin suhteen tphtuu vierimisehdon perusteell kulmnopeudell ω = v/ j pyörimissuunt on negtiivinen. Jos vielä jn nollkoht vlitn selliseen hetkeen, kun kivi koskett mt, niin pyörimisliikettä kuv prmetrisointi { x = cos( (vt/ π/2)) = sin(vt/) y = sin( (vt/ π/2)) = cos(vt/). Kiven rt sdn yhdistämällä kselin liike j pyöriminen toisiins, joten sykloidin prmetrisointi on muoto { x = vt sin(vt/) y = (1 cos(vt/)). Mtemttisesti loogisemp on vlit prmetriksi t renkn kiertokulm, jolloin vierimisehdon perusteell v =, j lusekkeet yksinkertistuvt hiukn. Tsokäyrän yhtälö voidn usein ilmist myös implisiittisessä muodoss F (x, y) = 0, missä F on jokin khden muuttujn luseke. Konkreettisi esimerkkejä ovt funktion kuvj y = f(x), jok voidn määritellä muodoss F (x, y) = y f(x) = 0, j R-säteinen ympyrä x 2 + y 2 R 2 = 0. On kuitenkin huomttv, ettei yhtälön F (x, y) = 0 määräämä tsojoukko ole läheskään in tsokäyrä. Jos A R 2 on mikä thns tsojoukko (reunpisteetkin mukn), niin funktio F (x, y) = pisteen (x, y) pienin etäisyys joukost A on jtkuv (myöhemmin trksteltvss mielessä), mutt yhtälö F (x, y) = 0 esittää koko lkuperäistä joukko A. 2
Toinen yllättävä seikk on, ettei käyrä välttämättä näytä käyrältä. On esimerkiksi olemss jtkuv funktio r: [0, 1] N = [0, 1] [0, 1], jonk kuvjoukko on koko neliö N sisäpisteineen. Neliö N on siis määritelmän mielessä tsokäyrä (ns. Penon käyrä). Tällisist ongelmist päästään eroon, jos prmetrisoinnilt vditn jtkuvuuden lisäksi derivoituvuus, jot käsitellään seurvss kppleess. 4.2 Käyrän tngentti Trkstelln prmetrisointi r, jok on jtkuvsti derivoituv. Tämä trkoitt sitä, että jokisen koordinttifunktion täytyy oll derivoituv j derivtn vielä lisäksi jtkuv. Prmetriväliä [t, t + t] vstv käyrän sekntti on vektori r = r(t + t) r(t). Kun t 0, niin r kääntyy yhä enemmän käyrän tngentin suuntiseksi, mutt smll sen pituus pienenee kohti noll. Sklmll kertoimell t sdn kuitenkin erotusosmäärää vstv luseke, jost nähdään, että rjrvo r r (t) = lim t 0 t on olemss j se voidn käytännössä lske kvll r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. Perustelu: Vektorin r/ t ensimmäinen koordintti x(t + t) x(t) t x (t), kun t 0, j smoin käy muiss koordinteiss. Määritelmä 4.3 Jos käyrällä C R n on jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r, niin pisteessä r(t) käyrän tngenttivektori on r (t) = x 1(t)e 1 + + x n(t)e n, missä funktiot x i ovt prmetrisoinnin koordinttifunktiot j vektorit e i ovt vruuden R n luonnolliset kntvektorit, ts. e 1 = i jne. Jos prmetri t on ik j r(t) kuv jonkin kppleen rt, niin luseke r on sen siirtymä ikvälillä t. Kppleen keskinopeus on siis r/ t, joten tngenttivektorin fysiklinen tulkint on hetkellinen nopeus v(t) = r (t). Vstv trkstelu voidn sovelt uudelleen prmetrisointiin t v(t), jolloin sdn kppleen hetkellinen kiihtyvyys (t) = v (t) = r (t). Termejä nopeus j kiihtyvyys voidn käyttää kikille prmetrisoinneille, vikkei prmetrill t olisikn konkreettist tulkint ikn. 3
Esimerkki 4.4 Sykloidin prmetrisointi (kulmn vull) on muoto jost voidn lske tngenttivektori { x = (t sin t) y = (1 cos t), r (t) = (1 cos t)i + sin tj, j kiihtyvyys (t) = r (t) = sin ti + cos tj. On syytä huomt, että (t) = vkio = tsisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys. Sykloidiss esiintyy teräviä kulmi (niissä kohdiss, joiss kivi koskett mt). Miten se on mhdollist, kun kerrn tngentti r (t) on määritelty kikill t? Selitys on siinä, että r (2πn) = 0. Hetkellinen nopeus on siis näissä pisteissä noll, jolloin käyrän suunt voi muuttu jyrkästi. Pisteet, joiss r (t) = 0 ovt ongelmllisi myös sen vuoksi, ettei nollvektori void pitää oiken tngenttivektorin. Tämän vuoksi setetn seurv määritelmä. Määritelmä 4.5 Käyrän C prmetrisointi r on säännöllinen, jos se on jtkuvsti derivoituv (mhdollisi prmetrivälin päätepisteitä lukuunottmtt) j r (t) 0 kikill t. Fysiklisesti prmetrisoinnin säännöllisyys trkoitt sitä, ettei kppleen liikkeessä ole pysähdyksiä. Esimerkki 4.6 Prbelill y = x 2 on prmetrisointi x = t, y = t 2, jok on säännöllinen, sillä r (t) = i + 2tj 0 kikill t. Prmetrisointi ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös kvt x = t 3, y = t 6, määrittelevät smn prbelin, mutt nyt r (t) = 3t 2 i + 6t 5 j = 0 rvoll t = 0. Tämä prmetrisointi ei siis ole säännöllinen. Hvitsemme, ettei epäsäännöllinen prmetrisointi välttämättä trkoit käyrässä olevn teräviä kulmi tms. Säännöllisen prmetrisoinnin yhtenä etun on se, että käyrälle voidn määrittää jokiseen pisteeseen yksikkötngenttivektori u(t) = 1 r (t) r (t), jolle siis u(t) = 1 kikill t. Tätä voidn käyttää pun esimerkiksi kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponenttien määrittämiseen seurvll tvll. 4
Trkoituksen on siis kirjoitt kiihtyvyys muodoss = T + N, missä T u j N u. Käytännössä T on kiihtyvyyden vektoriprojektio u vektorin u määräämään suuntn, joten lsketn ensin, j sen vull sdn T = u = ( u)u = (t) r (t) r (t) 2 r (t) N = T. Esimerkki 4.7 Hiukknen liikkuu pitkin Helix-käyrää ( kierrejousi ), joll on prmetrisointi r(t) = (cos t, sin t, t), t R. Määritetään sen kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponentit. Nyt r (t) = v(t) = sin ti + cos tj + k j (t) = r (t) = cos ti sin tj, joten T = v sin t cos t sin t cos t v = v 2 sin 2 t + cos 2 t + 1 v = 0. Kiihtyvyys on siis pelkkää normlikiihtyvyyttä, eli N =. Tutkitn vielä lopuksi trkemmin yksikkötngenttivektori u(t). Kosk u(t) = 1, niin u(t) u(t) = 1. Derivoimll tämä yhtälö puolittin prmetrin t suhteen sdn d dt (u(t) u(t)) = d dt 1 = 0. Tässä d dt (u(t) u(t)) = d dt (u 1(t) 2 + u 2 (t) 2 + u 3 (t) 2 ) = 2u 1 (t)u 1(t) + 2u 2 (t)u 2(t) + 2u 3 (t)u 3(t) = 2u(t) u (t), joten u (t) u(t) kikill t. Jos u (t) 0, niin voidn määritellä n(t) = 1 u (t) u (t), jok on nimeltään käyrän päänormli. Lyhyellä lskull voidn osoitt, että { T = r (t) u(t) N = r (t) u (t) n(t), joten normlikiihtyvyys on in päänormlin suuntinen. Kolmiulotteisess tpuksess yksikkövektorit u(t) j n(t) määräävät sellisen tson, jot käyrä 5
hetkellisesti sivu prhiten. Käyrän kierevyys eli erkneminen ulos tästä tsost tphtuu suuntn u(t) n(t), jok on kohtisuorss vektoreit u(t) j n(t) vstn. Se on myös yksikkövektori j nimeltään käyrän sivunormli. Näiden kolmen yksikkövektorin vull voidn jokiseen käyrän pisteeseen liittää sen kulun knss yhteensopiv suorkulminen koordintisto. Tällöin esimerkiksi vektoreiden u(t), n(t) j u(t) n(t) derivtt voidn esittää linerikombintioin näistä kolmest lkuperäisestä vektorist. Tulokset tunnetn Frenet n kvojen nimellä, mutt emme käsittele niitä tällä kurssill sen trkemmin. 4.3 Krenpituus Olkoon r: [, b] R n käyrän C jtkuvsti derivoituv prmetrisointi. Jos käyrää pproksimoidn sen seknteist muodostetull murtoviivll j nnetn pproksimtion tihentyä, voidn olett, että murtoviivojen pituudet suppenevt kohti luku l, jok olisi tutkittvn käyrän krenpituus. Osoittutuu, että näin todell käy j että krenpituus sdn integrlin l(c) = b r (t) dt. Tämän perustelemiseksi trkstelln välin [, b] tsvälistä jko pisteillä t k = + k t, missä t = (b )/n j n on jkovälien lukumäärä. Tällöin siis t 0 = j t n = b. Jos merkitään r k = r(t k+1 ) r(t k ), niin vstvn murtoviivn pituus on k r k. Jokisell k on voimss joten murtoviivn pituus on likimäärin r k = r(t k + t) r(t k ) r (t k ) t, n 1 r (t k ) t k=0 b r (t) dt. Voidn osoitt, että rjll n, ts. kun t 0, murtoviivojen pituuksill on rj-rvon tämä integrli, jok siis esittää kyseisen käyrän krenpituutt. Jos käyrän prmetrisointi on inostn ploittin jtkuvsti derivoituv, sdn koko käyrän krenpituus lskemll osien krenpituudet yhteen. Kosk smll käyrällä voi oll useit erilisi prmetrisointej, herää kysymys siitä, onko krenpituus itse käyrään vi pelkästään tiettyyn prmetrisointiin liittyvä luku. Voidn osoitt, ettei krenpituus riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Hiemn täsmällisemmin muotoiltun pätee: jos uusi prmetrisointi sdn muuttujnvihdoll entisestä, niin niitä vstvien krenpituusintegrlien rvot ovt smt. Esimerkki 4.8 Lskemme Helix-käyrän r(t) = (cos t, sin t, t) krenpituuden prmetrivälillä t [0, 2π]. Kosk r (t) = sin ti + cos tj + k, niin r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2, 6
joten krenpituudeksi sdn l = 2π 0 r (t) dt = 2 2π. Esimerkissä prmetrisointi venyttää prmetrivälin pituutt kertoimell 2 2π/2π = 2. Vlitsemll uusi prmetri s = 2t, eli t = s/ 2, sdn toinen prmetrisointi r(s) = (cos(s/ 2), sin(s/ 2), s/ 2), jolle r (s) = 1 kikill s. Tämä trkoitt sitä, että krenpituus itse käyrällä on täsmälleen sm kuin vstvn prmetrivälin pituus. Tällist kutsutn prmetrisoinniksi krenpituuden suhteen j se voidn peritteess muodost kikille käyrille. Tuloksell on kuitenkin vin teoreettist mielenkiinto, kosk krenpituusintegrlej ei yleensä void esittää lkeisfunktioiden vull, vn ne täytyy lske numeerisesti. Esimerkki 4.9 Funktion kuvjn y = f(x) krenpituudelle on olemss jo ennestään tuttu kv. Tutkitn, millinen tulos sdn käyttämällä tämän luvun yleisempää tulost. Kuvj voidn prmetrisoid muodoss x = t, y = f(t), t [, b]. Tällöin r (t) = i + f (t)j j r (t) = 1 + f (t) 2, joten krenpituudeksi sdn b l = 1 + f (t) 2 dt ivn kuten ennenkin. Krenpituutt voidn yleisemmin tutki myös sellisille käyrille, joiden prmetrisointi on muodostettu rjoittmttomll välillä, j krenpituusintegrlist tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integrli on suppenev, niin käyrää snotn suoristuvksi. Esimerkki 4.10 Onko spirlin x = e t cos t, y = e t sin t, t 0, krenpituus äärellinen? Lsketn siis r (t) = e t ( cos t sin t)i + e t (cos t sin t)j j edelleen r (t) = e t ( cos t sin t) 2 + (cos t sin t) 2 = 2e t. Näin ollen krenpituudeksi sdn l = joten spirli on suoristuv. 0 r (t) dt = 2 0 e t dt = 2, Lopuksi on syytä huomutt, ettei pelkkä jtkuvuus tk edes sitä, että suljetull välillä prmetrisoitu tsokäyrä olisi suoristuv. Tunnetuin esimerkki tällisest on ns. lumihiutlekäyrä, jonk keksi ruotslinen Helge von Koch v. 1904; ktso esim. http://mthworld.wolfrm.com/kochsnowflke.html Tässä yleisemmässä tilnteess suoristuvuutt ei void enää tutki integrlin, vn päättelyn täytyy perustu suorn pproksimoivien murtoviivojen pituuksiin. 7
4.4 Krevuus Krevuus liittyy käyrän suunnn muutosnopeuteen. Geometrisesti trksteltun on luontevint selvittää ensin tutkittvss pisteessä käyrän krevuussäde R j määritellä sen vull krevuus K = κ = 1/R. Tsokäyrän krevuussäde sdn seurvll peritteell: etsitään sellinen ympyrä, jok nnetuss pisteessä mhdollisimmn trksti sivu käyrää, jolloin tämän ympyrän säde on krevuussäde j sen keskipiste krevuuskeskipiste. Ensimmäinen sivumisehto on tietysti se, että käyrällä j ympyrällä on kyseisessä pisteessä sm tngentti, mutt olennisempi ehto liittyy krtumiseen, jot kuv toinen derivtt. Krevuussäteelle voidn joht prmetrisoinnin vull lskettv kv seurvll tvll. Kosk ympyrän kksi normli leikkvt in ympyrän keskipisteessä, niin ehkäpä yleisen tsokäyrän kksi lähekkäisiin pisteisiin piirrettyä normlisuor leikkisivt toisens lähellä krevuuskeskipistettä? Määritetään siis tutkittvn pisteen r(t 0 ) kutt kulkev normli j muodostetn vstv normli lähellä olevn pisteeseen r(t 0 + t). Lsketn normlien leikkuspisteen koordintit j niistä rj-rvo, kun t 0. Tämän pisteen etäisyys tutkittvst käyrän pisteestä on etsitty krevuussäde. Väliviheet ovt peritteess suorviivisi, mutt teknisesti hiemn hnkli, joten tyydymme vin lskun lopputulokseen. Luse 4.11 Trkstelln tsokäyrää, joll on säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin pisteessä r(t) käyrän krevuus (ym. peritteen mukisesti) on κ = x (t)y (t) x (t)y (t) r (t) 3 j vstv krevuussäde on R = 1/κ. Tulost voidn sovelt myös erikoistpuksiin 1/0 = j 1/ = 0. Kokeilemll hvitn, että κ > 0, jos käyrä krtuu positiiviseen suuntn kuljettess vsemmlle, j κ < 0 oikelle suuntutuvss krteess. Esimerkki 4.12 Lsketn ellipsin x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 krevuus pisteessä (, 0). Ellipsillä on prmetrisointi x = cos t, y = b sin t j trksteltv piste vst prmetrin rvo t = 0. Nyt siis x (t)y (t) x (t)y (t) ( sin t)( b sin t) ( cos t)b cos t (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2 = ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2 = b ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2, joten rvoll t = 0 sdn κ = b b = 3 b. 2 Huomttkoon, että tpuksess = b = R tuloksest sdn R-säteisen ympyrän krevuudeksi 1/R, kuten pitääkin. 8
Krevuus voidn määritellä myös kolmiulotteiselle käyrälle, jolloin krevuuskeskipiste etsitään vektoreiden u(t) j n(t) määräämästä tsost. Itse siss koko käyrä voidn projisioid tähän tsoon j tutki krevuutt kksiulotteisesti. Nopeimmin oiken tulokseen päädytään kuitenkin trkstelemll tilnnett fysiklisesti. Jos kpple liikkuu tsist vuhti v pitkin R-säteistä ympyrärt, niin sen normlikiihtyvyys (eli keskeiskiihtyvyys) on muoto N = v 2 /R. Mikäli rt ei ole ympyrä, lienee ilmeistä, että R täytyy korvt rdn krevuussäteellä trksteltvss pisteessä. Tämän perusteell krevuussäteelle pätee R = v2 N = r (t) 2 N j tässä esiintyvä N = N voidn lske helposti seurvll tvll. Kosk r = = T u+ N n, niin muodostmll vektorin u ristitulo yhtälön molempien puolten knss sdn u r = T u u + N u n = N u n. Tässä u n on yksikkövektori (itse siss sivunormli), joten N = u r = r r. r Yhdistämällä sdut kvt päädytään seurvn määritelmään. Määritelmä 4.13 Jos r = r(t) on kolmiulotteisen käyrän säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi, niin käyrän krevuus pisteessä r(t) on κ = r (t) r (t) r (t) 3 = j vstv krevuussäde R = 1/κ. v(t) (t) v(t) 3 Esimerkki 4.14 Verrtn stu kv ikisempn kksiulotteiseen tpukseen j tutkitn sen vuoksi prmetrisointi, joss z(t) = 0 kikill t. Tällöin i j k r (t) r (t) = x (t) y (t) 0 x (t) y (t) 0 = (x (t)y (t) x (t)y (t))k j r (t) = x (t) 2 + y (t) 2, joten kksiulotteinen krevuus sdn yleisen kvn erikoistpuksen. 9
4.5 Sklrikentän viivintegrli Sklrikentällä trkoitetn usen muuttujn funktiot f : A R, missä funktion määrittelyjoukko A R n. Täsmällisemmin voidn sno, että kyseessä on n:n muuttujn funktio. Funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) kirjoitetn muodoss f(x 1,..., x n ), kun (x 1,..., x n ) A. Fysiklisist suureist sklrikenttiä ovt esimerkiksi kppleen lämpötil u = u(x, y, z, t) j sen tiheys ρ = ρ(x, y, z). Esimerkki 4.15 Sklrikenttä f : R 2 R määritellään kvll f(x, y) = xy x + 2y + 3. Tällöin f(-1,2)=6. Ryhdymme tutkimn, kuink pitäisi määritellä sklrikentän integrli pitkin prmetrisoitu käyrää. Johdttelevn esimerkkinä tutkitn, kuink lsketn epähomogeenisen mutkittelevn metllilngn mss. Esimerkki 4.16 Lngll on prmetrisointi r = r(t), missä t [, b], j sen pituustiheys ρ = ρ(r(t)) tunnetn kusskin pisteessä. Approksimoi lngn kokonismss. Trkstelln lyhyttä lngnpätkää, jok vst prmetriväliä [t, t + t]. Vstv käyrän os voidn pproksimoid erotusvektorill r = r(t + t) r(t) r (t) t (vrt. siirtymä = nopeus ikväli). Tämän lngn osn mss on siis m ρ(r(t)) r ρ(r(t)) r (t) t. Jos koko prmetriväli jetn tsvälisesti jkopisteillä = t 0, t 1,..., t n = b, niin koko lngn msslle sdn pproksimtio m n 1 m ρ(r(t k )) r (t k ) t. k=0 Kun jko tihentyy, eli t 0, niin summn rj-rvon sdn integrli b ρ(r(t)) r (t) dt, jok ilmeisesti prhiten kuv koko lngn mss. 10
Esimerkin perusteell setetn seurv määritelmä, joss tämän kurssin trpeisiin riittävät tpukset n = 2 j n = 3. Määritelmä 4.17 Olkoon C R n käyrä, joll on ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r = r(t), t [, b]. Jos f : C R on sklrikenttä, niin sen viivintegrli käyrää C pitkin on b f ds = f(r(t)) r (t) dt. C Seurviin seikkoihin on syytä kiinnittää erikseen huomiot: Ploittinen säännöllisyys näkyy lskuiss niin, että integrli jkntuu erikseen lskettviin osiin. Trksti otten täytyy vielä olett, että funktio t f(r (t)) on inkin ploittin jtkuv, jott sitä voidn integroid. Tämä plutuu itse sklrikentän f jtkuvuuteen, jot käsitellään myöhemmin. Viivintegrlin rvo ei riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Funktio f on usein määritelty muullkin kuin pelkäästään käyrän pisteissä r(t), mutt näillä rvoill ei ole mitään merkitystä tulokseen. Differentili ds = r (t) dt voidn tulkit krenpituuslkioksi. Jos f 1, niin b 1 ds = r (t) dt = l C on käyrän C krenpituus. Lusekett 1 f ds l kutsutn funktion f keskirvoksi käyrällä C. C Jos C on umpininen käyrä, niin viivintegrlille käytetään myös merkintää b f ds = f ds = f(r(t)) r (t) dt. C C Tällä ei siis ole mitään vikutust itse integrlin lskemiseen. 11
4.6 Vektorikentän viivintegrli 12