Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Ann-Riikk Pvol Integrli j yleistetty Pythgorn luse Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Mrrskuu 28

Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Pvol, Ann-Riikk: Integrli j yleistetty Pythgorn luse Pro grdu -tutkielm, 52 s. Mtemtiikk Mrrskuu 28 Tiivistelmä Käsittelen tutkielmssni integrlej, integrlin sovelluksi j yleistettyä Pythgorn lusett. Kppleess 2 käydään läpi integrliin liittyviä luseit j määritelmiä, sekä lsketn esimerkkejä pint-lst j tilvuuksist. Kppleess 3 todistetn Pythgorn luse, esitellään yleistyksiä Pythgorn luseest, lsketn esimerkkejä yleistetystä Pythgorn luseest j esitellään muutm yleistetystä Pythgorn luseest johdettu luse. Pääsillisin lähteinä ovt olleet integrlilskennss Slksen, Hillen j Etgenin Clculus, yleistetyssä Pythgorn luseess Fongin j Wngin Clculus sekä rtikkeleit yleistetystä Pythgorn luseest. 1

Sisältö 1 Johdnto 3 2 Integrli 4 2.1 Pint-l.............................. 4 2.2 Jtkuvn funktion määrätty integrli............. 8 2.2.1 Määrätty integrli.................... 8 2.2.2 Riemnnin summ.................... 14 2.3 Esimerkkejä pint-ln lskemisest............... 25 2.4 u-sijoitus.............................. 27 2.5 Tilvuuden lskeminen integrlill............... 28 3 Yleistetty Pythgorn luse 31 3.1 Pythgorn luse........................ 31 3.2 Ensimmäinen yleistys Pythgorn luseest.......... 33 3.3 Muit Pythgorn luseen yleistyksiä............. 4 2

1 Johdnto Integrlilskennst on hyvin pljon sovelluksi. Se on kiinnostv siksi, että sen vull voidn lske konkreettisi sioit, kuten kppleiden tilvuuksi. Tässä tutkielmssni keskityn integrlin sovelluksist vin pieneen osn, pint-ln j tilvuuden lskemiseen, sekä yleistettyyn Pythgorn luseeseen eli kosiniluseeseen. Lukijn on hyvä oll perehtynyt mtemtiiseen esitystpn, merkintöihin j todistustekniikkn. Tutkielmn sisällön ymmärtäminen voi onnistu lukion pitkän mtemtiikn suorittneelt, mutt vrsinkin loppuos on helpompi luke vst mtemtiikn perus- ti ineopintojen jälkeen. Kppleess 2 käydään läpi integrliin liittyviä luseit j määritelmiä, sekä lsketn esimerkkejä pint-lst j tilvuuksist. Kppleess 3 todistetn Pythgorn luse, esitellään yleistyksiä Pythgorn luseest, lsketn esimerkkejä yleistetystä Pythgorn luseest j esitellään muutm yleistetystä Pythgorn luseest johdettu luse. Esimerkit ovt lähdekirjojen tehtäviä, kirjn esimerkeistä muunneltuj esimerkkejä ti tutkielmn kirjoittjn keksimiä tehtäviä. Pääsillisen lähteenä kppleen 2 integrlilskennss on ollut Slksen, Hillen j Etgenin Clculus j kppleess 3 Fongin j Wngin Clculus. Lisäksi tutkielmn loppuosss on käytetty lähteinä kht rtikkeli yleistetystä Pythgorn luseest. 3

2 Integrli Tässä koko integrli käsittelevässä kppleess on käytetty lähdettä [5, s.262-343]. 2.1 Pint-l Pint-ln A lskeminen voi oll hnkl, jos jokin reunoist ei ole suor viiv vn os jonkin muunlist jtkuv funktiot f. Kuvitelln tilnne, joss l rjoittuu lhlt x-kseliin, sivuilt kohtiin j b j ylhäältä funktioon y = f(x). Ktso tilnnett kuvst 1. Kuv 1. Pint-ln määrittämistä vrten jetn väli [,b] äärelliseen määrään osvälejä [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ], joss = x < x 1 <... < x n = b. Tällöin lue A jkutuu n:ään os-lueeseen, ktso myös kuv 2 A 1, A 2,..., A n. 4

Kuv 2. Nyt voidn rvioid koko lueen A pint-l rvioimll os-lueiden A 1,..., A n lt j lskemll ne yhteen. Mksimirvoll lsketust pintlst voi tull suurempi kuin pint-l oikesti on j minimirvoll lsketust pint-lst voi tull pienempi kuin oike pint-l. Alueen oiken pintln on oltv jossin minimi- j mksimirvoill lskettujen pint-lojen välissä. Merkitään kirjimell M i välin [x i 1, x i ] funktion mksimirvo j kirjimell m i minimirvo. Kuv 3. Minimirvoll lskettu pint-l r i on tummnhrmll kuvss 3. Mksimirvoll lskettu pint-l R i on kuvttu tummnhrmll kuvss 4. 5

Kuv 4. Kuv 5. Kuvss 5 näkyvä oike pint-l A i on mksimi- j minimirvoll lskettujen pint-lojen välissä, merkitään seurvsti r i A i R i. 6

Kosk pint-l r i lsketn kvll r i = m i (x i x i 1 ) j pint-l R i lsketn kvll R i = M i (x i x i 1 ), niin myös epäyhtälö m i (x i x i 1 ) A i M i (x i x i 1 ) on voimss. Merkitään x i = x i x i 1, joten m i x i A i M i x i. Tämä epäyhtälö pätee, kun i = 1, 2,..., n. Lskemll yhteen minimi- j mksimirvoill lsketut pint-lt i:n eri rvoill sdn m 1 x 1 + m 2 x 2 +... + m n x n A M 1 x 1 + M 2 x 2 +... + M n x n. Määritelmä 2.1. Os-lueiden summ kutsutn funktion f lsummksi. m 1 x 1 + m 2 x 2 +... + m n x n Alsummn kuuluv lue on merkitty vlenhrmll kuvn 6. Kuv 6. Määritelmä 2.2. Os-lueiden summ M 1 x 1 + M 2 x 2 +... + M n x n kutsutn funktion f yläsummksi. 7

Sitä on kuvttu vlenhrmll kuvss 7. Kuv 7. Jtkuvlle funktiolle f on olemss vin yksi oike pint-l, se on suurempi kuin määritelmässä 2.1 määritelty lsumm j pienempi kuin määritelmässä 2.2 määritelty yläsumm. 2.2 Jtkuvn funktion määrätty integrli 2.2.1 Määrätty integrli Määritelmä 2.3. Välin [, b] osituksell trkoitmme välin [, b] äärellistä osjoukko, johon kuuluvt lkiot j b. Alkiot kirjoitetn niiden luonnollisess järjestyksessä, joten jos niin siitä voidn päätellä, että P = {x, x 1, x 2,..., x n } on välin [, b] ositus, = x < x 1 <... < x n = b. Jos P = {x, x 1, x 2,... x n } on välin [, b] ositus, niin P jk välin [, b] n:ään osväliin [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ], 8

joiden pituuksi merkitään symboleill x 1, x 2,..., x n. Oletetn nyt, että f on jtkuv funktio välillä [, b]. Silloin jokisell osvälillä [x i 1, x i ] funktion f s mksimirvon M i j minimirvon m i. Määritelmä 2.4. Luku U f (P ) = M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M n x n kutsutn funktion f yläsummksi P, j luku L f (P ) = m 1 x 1 +m 2 x 2 +...+m n x n kutsutn funktion f lsummksi P. Esimerkki 1. [5, s.267 olevn esimerkin tpn]. Funktio f (x) = 3 x 2 on jtkuv välillä [ 1, 3]. Ositus P = { 1, 1, 3, 2, 3} jk välin [ 1, 3] neljään 2 2 osväliin [ [x, x 1 ] = 1, 1 ] [ 1, [x 1, x 2 ] = 2 2, 3 ] [ ] 3, [x 2, x 3 ] = 2 2, 2, [x 3, x 4 ] = [2, 3], joiden pituudet ovt x 1 = 1 2 ( 1) = 3 2, x 2 = 3 ( ) ( ) 1 3 2 = 1, x 3 = 2 = 1 2 2 2, x 4 = 3 2 = 1 9

Kuv 8. Kuten kuvst 8 näkyy, mksimirvot ovt [ M 1 = f () = 3 välillä 1, 1 2 ], M 2 = f ( ) 1 = 11 [ 1 2 4 välillä 2, 3 ], 2 1

M 3 = f ( ) 3 = 34 [ ] 32 2 välillä, 2 j M 4 = f (2) = 1 välillä [2, 3]. Minimirvot ovt [ m 1 = f ( 1) = 2 välillä 1, 1 ] ( ) 3, m 2 = f = 3 [ 1 2 2 4 välillä 2, 3 ], 2 [ ] 3 m 3 = f(2) = 1 välillä 2, 2, j m 4 = f(3) = 6 välillä [2, 3]. Sijoitetn mksimi- j minimirvot l- j yläsummn kvn. Sdn yläsummksi j lsummksi U f (P ) = 3( 3 2 ) + 11 4 (1) + 3 4 (1 2 ) + ( 1)(1) = 65 8 L f (P ) = 2( 3 2 ) + 3 4 (1) + ( 1)(1 2 ) + ( 6)(1) = 23 4. Määritelmä 2.5. Olkoon funktio f on määritelty välillä [, b]. Silloin f on integroituv välillä [, b], jos on olemss vin yksi luku I, jolle pätee epäyhtälö L f (P ) I U f (P ) kikill välin [, b] osituksill. Tätä yksikäsitteistä luku I kutsutn funktion f määrätyksi integrliksi :st b:hen j sitä merkitään I = Esimerkki 2. Tehtävä: Osoit ylä- j lsummi käyttäen, että.5 < 2 1 f(x)dx. dx x < 1. Vstus: Otetn ositus P = [ 1, 3 2, 2] j lsketn l- j yläsumm. Alsumm lsketn kvst L f (P ) = m 1 x 1 + m 2 x 2. Nyt x 1 sdn lskemll 3 1 = 1 j x 2 2 2 sdn lskemll 2 3 = 1. 2 2 Minimikoht välillä [ 1, 2] 3 on luvun 3 kohdll, joten minimi välillä [ 1, 3 2 2] on ( ) 3 f = 1 2 3/2 = 2 3. 11

Minimikoht välillä [ 3 2, 2] on luvun 2 kohdll, joten minimi välillä [ 3 2, 2] on Nyt lsummksi sdn L f (P ) = 2 ( ) 1 + 1 3 2 2 Yläsumm lsketn kvst f (2) = 1 2. ( ) 1 = 1 2 3 + 1 4 = 4 12 + 3 12 = 7 12. U f (P ) = M 1 x 1 + M 2 x 2. Mksimikoht välillä [ 1, 3 2] on kohdss 1, joten mksimi välillä [ 1, 3 2] on f(1) = 1 1 = 1. Mksimikoht välillä [ 3 2, 2] on kohdss 3 2, joten mksimi välillä [ 3 2, 2] on Yläsummn rvoksi tulee ( ) 1 U f (P ) = 1 + 2 2 3 Nyt voidn kirjoitt Siis kosk j L f (P ) < I < U f (P ), niin f( 3 2 ) = 1 3 2.5 < 7 12 < 2 = 2 3. ( ) 1 = 1 2 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6. I =.5 < 1 2 2 1 1 dx x < 5 6 < 1. dx x dx x < 1. Luse 1. Jos f (x) = k on vkio kikill x : n rvoill välillä [, b], niin f (x) dx = k (b ). 12

Todistus. Otetn välille [, b] ositus P = {x, x 1,..., x n }. Kosk f on vkio, se s jtkuvsti rvon k välillä [, b], täten se s rvon k myös jokisell osvälillä [x i 1, x i ]. Siten myös M i j m i ovt rvoltn k. Siitä seur, että j U f (P ) = k x 1 + k x 2 +... + k x n = k ( x 1 + x 2 +... + x n ) = k [(x 1 x ) + (x 2 x 1 ) + + (x n x n 1 )] = k (b ) L f (P ) = k x 1 +k x 2 +...+k x n = k ( x 1 + x 2 +... + x n ) = k (b ). Tällöin pätee kksoisepäyhtälö L f (P ) k (b ) U f (P ). Kosk epäyhtälö pätee kikille välin [, b] P osituksille, voimme päätellä, että f (x) dx = k (b ). Jos k >, niin lue jok on vkiofunktion f (x) = k kuvjn lpuolell j x-kselin yläpuolell on nelikulmio, jonk korkeus on k j pituus välin [, b] pituus. Tällöin integrli nt tämän ln pint-ln. Jos k < niin integrlin rvo on negtiivinen j tällöin pint-l on integrlin itseisrvo. Luse 2. Olkoon f (x) = x in, kun x [, b]. Tällöin xdx = 1 2 ( b 2 2). Todistus. Olkoon välin [, b] mielivltinen ositus P = x, x 1,..., x n. Jokisell osvälillä [x i 1, x i ] funktioll f(x) = x on mksimirvo M i j minimirvo m i. Kosk f(x) = x on ksvv funktio, niin mksimirvo sijitsee välin oikess päätepisteessä j minimirvo vsemmss päätepisteessä. Siispä jokisell osvälillä M i = x i j m i = x i 1. Siitä seur, että U f (P ) = x 1 x 1 + x 2 x 2 +... + x n x n j L f (P ) = x x 1 + x 1 x 2 +... + x n 1 x n. Jokiselle indeksille i x i 1 1 2 (x i + x i 1 ) x i, kosk x i 1 x i. 13

Kerrotn epäyhtälö puolittin luvull x i = x i x i 1, jolloin x i 1 x i 1 2 (x i + x i 1 )(x i x i 1 ) x i x i, jok voidn kirjoitt x i 1 x i 1 2 (x2 i x 2 i 1) x i x i. Kun summtn kikki indeksit 1:stä n:ään, sdn x x 1 +...+x n 1 x n 1 2 (x2 1 x 2 )+ 1 2 (x2 2 x 2 1)+...+ 1 2 (x2 n x 2 n 1) x 1 x 1 +...+x n x n L f (P ) 1 2 (x2 1 x 2 ) + 1 2 (x2 2 x 2 1) +... + 1 2 (x2 n x 2 n 1) U f (P ). Keskellä olev summ supistuu muotoon Siispä sdn 1 2 (x2 n x 2 ) = 1 2 (b2 2 ). L f (P ) 1 2 (b2 2 ) U f (P ). Kosk P vlittiin mielivltisesti, voimme päätellä, että epäyhtälö pätee kikille osituksille P välillä [, b]. Siitä seur, että xdx = 1 2 ( b 2 2). 2.2.2 Riemnnin summ Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Johdtuksessmme integrliin huomsimme, että integrli f(x)dx on yksikäsitteinen luku, jok toteutt epäyhtälön L f (P ) f(x)dx U f (P ) kikill välin [, b] osituksill. Tämä edellä esitetty metodi, joll määritetään määrätty integrli hrukoimll sitä kohti ylä- j lsummill on nimeltään Drboux n metodi. On olemss toinenkin usein käytetty tp määrittää integrli, se esitetään seurvksi. 14

Otetn ositus P = {x, x 1,..., x n } väliltä [, b]. Sitten jetn väli [, b] n:ään osväliin [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [ x ( n 1), x n ] joiden pituudet ovt x 1, x 2,..., x n. Vlitn piste x 1 väliltä [x, x 1 ] j muodostetn tulo f (x 1) x 1. Sitten vlitn piste x 2 väliltä [x 1, x 2 ] j muodostetn tulo f (x 2) x 2. Jtketn näin kunnes sdn kikille väleille määriteltyä tulot, jotk ovt Näiden tulojen summ f (x 1) x 1, f (x 2) x 2,..., f (x n) x n. S (P ) = f (x 1) x 1 + f (x 2) x 2 +... + f (x n) x n kutsutn Riemnnin summksi. Luse 3. [5, s.272]. Jos P on mikä thns välin [, b] ositus j S (P ) on mikä thns sitä vstv Riemnnin summ, niin L f (P ) S (P ) U f (P ). Todistus. Tutkielmn tekijä on itse ltinut tämän todistuksen. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j P tämän välin jko n:ään osväliin, jotk ovt [, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b] j joiden pituudet ovt x 1, x 2,..., x n. Tällöin l- j yläsumm sdn kvoist L f (P ) = m 1 (x 1 ) +... + m n (b x n 1 ) U f (P ) = M 1 (x 1 ) +... + M n (b x n 1 ). Vlitn pisteet x 1, x 2,..., x n väleiltä [, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b]. Tällöin on Nyt siis pitää pikkns S (P ) = f(x 1)(x 1 ) +... + f(x n)(b x n 1 ). L f (P ) = m 1 x 1 +... + m n x n U f (P ) = M 1 x 1 +... + M n x n S (P ) = f(x 1) x 1 +... + f(x n) x n. Nyt on voimss m 1 f(x 1) M 1 j myös m n f (x n) M n. Nyt kosk x:t voidn kerto näihin kksoisepäyhtälöihin niin sdn L f (P ) S (P ) U f (P ). 15

Funktion f määrätty integrli voidn esittää Riemnnin summien rjrvon. Mille thns välin [, b] jolle P määritellään P, eli P :n normi settmll P = mx( x i ), 1 i n. Jokist luku ɛ > kohti on olemss δ > siten, että jos P < δ, niin S (P ) f (x) dx < ɛ, miten thns x i vlitnkin väliltä [x i 1, x i ]. Integrli f (x) dx voidn nyt kirjoitt trkoittmn, että f (x) dx = lim [f P (x 1) x 1 + f (x 2) x 2 +... + f (x n) x n ]. Luse 4. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j olkoot P j Q välin [, b] osituksi. Jos P Q, niin L f (P ) L f (Q) j U f (Q) U f (P ). Todistus. Tutkielmn tekijä on itse muotoillut todistuksen, [5, s.277] perusteell. Todistus on hvinnollinen, kuviin perustuv. Täsmällinen todistus sivuutetn. Kosk P Q, niin silloin jkoon P kuuluu vähemmän ti yhtä pljon pisteitä kuin jkoon Q. Tällöin jos lsumm lsketn jon P mukn, niin osvälejä on vähemmän ti yhtä pljon, kuin jon Q mukn tehtyjä lueit, kuten kuvist 9 j 1 näkyy. 16

Kuv 9. Jko kuvss 9 on tehty osituksen P mukn. Kuv 1. Jko kuvss 1 on tehty osituksen Q mukn. Kuvist 9 j 1 nähdään, että hrm pint-l on pienempi kuvss 9, kun jko on tehty osituksen P mukn, kuin jos se on tehty osituksen Q mukn, kuten kuvss 1. Pint-lt voivt oll yhtä suuret, jos ositukset P j Q ovt 17

smt. Tällöin siis lsumm jon P mukn lskettun on joko pienempi ti yhtä suuri kuin jon Q mukn lskettu lsumm, eli L f (P ) L f (Q). Myös jos yläsumm lsketn jon P mukn, niin osvälejä on vähemmän ti yhtä pljon, kuin jon Q mukn tehtyjä lueit, kuten kuvist 11 j 12 näkyy. Kuv 11. Jko kuvss 11 on tehty osituksen P mukn. 18

Kuv 12. Jko kuvss 12 on tehty osituksen Q mukn. Kuvist 11 j 12 nähdään, että pint-l on suurempi ti yhtä suuri kuvss 11 kuin kuvss 12, kun kuvss 11 pint-l on lskettu osituksen P mukn j kuvss 12 osituksen Q mukn. Tällöin yläsumm jon P mukn lskettun on suurempi ti yhtä suuri kuin jon Q mukn lskettu yläsumm, eli U f (Q) U f (P ). Luse 5. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b] j < c < b, niin f (t) dt + f (t) dt = c f (t) dt Todistus. Todistksemme tämän luseen meidän täytyy inostn näyttää, että jokiselle välin [, b] P-ositukselle pätee kksoisepäyhtälö L f (P ) f (t) dt + c f (t) dt U f (P ). Määrätyn integrlin määritelmän 2.5 mukn tällöin on voimss myös L f (P ) f (t) dt U f (P ). Me loitmme välin [, b] mielivltisell joll P = {x, x 1,..., x n }. 19

Kosk jko Q = P {c} sisältää joukon P, tiedämme luseen neljä perusteell, että L f (P ) L f (Q) j U f (P ) U f (P ). Joukot Q 1 = Q [, c] j Q 2 = Q [c, b] ovt välien [, c] j [c, b] osituksi. Lisäksi voidn päätellä, että (2.1) L f (Q 1 ) + L f (Q 2 ) = L f (Q) j U f (Q 1 ) + U f (Q 2 ) = U f (Q). Kosk L f (Q 1 ) f (t) dt U f (Q 1 ) j L f (Q 2 ) niin yhdistämällä kksoisepäyhtälöt sdn L f (Q 1 ) + L f (Q 2 ) Yhtälön (2.1) perusteell sdn L f (Q) Luseen 4 perusteell L f (P ) L f (Q) f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt + Siis tästä päästään lopputulokseen L f (P ) f (t) dt + c c c c c f (t) dt U f (Q 2 ), f (t) dt U f (Q 1 ) + U f (Q 2 ). f (t) dt U f (Q). f (t) dt U f (Q) U f (P ). f (t) dt U f (P ). Määritelmä 2.6. b f(t)dt = f(t)dt Määritelmä 2.7. c f(t)dt = Määritelmä 2.8. Olkoon f : A R j x derivtt on f, jonk rvo kohdss x on ti yhtäpitävästi f (x ) = lim x x f (x) f (x ) x x f f (x + x) f (x ) (x ) = lim x x (, b) A. Funktion f 2

joss x = x + x. Yleisesti otten, derivtn määritelmä voidn kirjoitt myös seurvsti. Funktion f derivtt missä thns pisteessä x (, b) A on f f (x + h) f (x) (x) = lim. h h Jos derivtt f (x ) on olemss, niin snomme, että funktioll f on derivtt ti se on derivoituv pisteessä x. Jos funktioll f on derivtt jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, sen snotn olevn derivoituv. Luse 6. Olkoon p >. Oletetn, että kikill x:llä, joill < x c < p on voimss h (x) f (x) g (x). Jos niin lim x c h (x) = L j lim g (x) = L, x c lim f (x) = L. x c Todistus. Olkoon ɛ >. Olkoon p > siten, että Vlitn δ 1 siten, että Vlitn δ 2 siten, että jos < x c < p, niin h(x) f(x) g(x). jos < x c < δ 1, niin L ɛ < h(x) < L + ɛ. jos < x c < δ 2, niin L ɛ < g(x) < L + ɛ. Olkoon δ = min {p, δ 1, δ 2 }. Kun x toteutt ehdon < x c < δ,niin L ɛ < h(x) f(x) g(x) < L + ɛ. Siis on myös oltv f (x) L < ɛ. Luse 7. Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Funktio F, jok on määritelty välillä [, b] kvll F (x) = x f(t)dt, on jtkuv välillä [, b], differentioituv voimell välillä (, b) j sillä on derivtt F (x) = f(x) kikill x (, b). 21

Todistus. Aloitmme niin, että x kuuluu puolivoimelle välille [, b) j osoitmme, että F (x + h) F (x) lim = f(x). h + h Jos x < x + h b, niin Siitä seur, että F (x + h) F (x) = x+h (2.2) F (x + h) F (x) = kosk f(t)dt x+h x x f(t)dt f(t)dt. Nyt setetn x+h f(t)dt x f(t)dt = F (x + h) F () (F (x) F ()) = F (x + h) F (x) = x+h x f(t)dt. M h = funktion fmksimirvo välillä [x, x + h] j m h = funktion fminimirvo välillä [x, x + h]. Kosk M h [(x + h) x] = M h h on funktion f yläsumm välillä [x, x + h] j m h [(x + h) x] = m h h on funktion f lsumm välillä [x, x + h], niin m h h Ktso tilnnett kuvst 13. x+h x f (t) dt M h h. 22

Kuv 13. Nyt, käyttämällä tämän todistuksen yhtälöä (2.2) j tieto h > seur, että F (x + h) F (x) m h M h. h Myös kosk f on jtkuv välillä [x, x + h] j niin lim m h = f (x) = lim M h, h + h + (2.3) lim h + F (x + h) F (x) h = f (x) luseen 6 perusteell. Smll tvll kuin todistimme puolivoimelle välille [, b), voimme todist myös toiselle puolivoimelle välille (, b], että kun x (, b], niin (2.4) lim h F (x + h) F (x) h = f (x). Kun x kuuluu voimelle välille (, b), yhtälöt (2.3) j (2.4) pitävät pikkns j F F (x + h) F (x) (x) = lim = f (x). h h Tämä todist, että F on differentioituv välillä (, b) j sillä on derivtt F (x) = f (x). Kiken tämän jälkeen trvitsee vielä todist, että F on jtkuv oikelt pisteessä j vsemmlt pisteessä b. Rj-rvo (2.3), kohdss x = on F ( + h) F () lim = f (). h + h 23

Kun h >, niin joten F ( + h) F () = lim [F ( + h) F ()] = lim h + h + Siksi F ( + h) F () h ( F ( + h) F () h lim F ( + h) = F () h + h, ) h = f () lim =. h + on voimss. Tämän perusteell F on jtkuv oikelt pisteessä. Jtkuvuus vsemmlt pisteessä b voidn näyttää sijoittmll yhtälöön (2.3) x=b. Määritelmä 2.9. Antiderivtn määritelmä Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Funktiot G kutsutn ntiderivtksi funktiolle f välillä [, b] jos G on jtkuv välillä [, b] j G (x) = f (x) kikill x (, b). Aiemmin on todettu, että jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin F (x) = x f (t) dt on funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Nyt siis tiedämme, että funktion f ntiderivtt sdn integroimll funktio f. Luse 8. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Jos funktio G on funktion f ntiderivtt välillä [, b] niin f (t) dt = G (b) G (). Todistus. Määritelmän 2.9 perusteell tiedämme, että funktio F (x) = x f (t) dt on ntiderivtt funktiolle f välillä [, b]. Jos G on myös ntiderivtt funktiolle f välillä [, b], niin molemmt funktiot F j G ovt jtkuvi välillä [, b] j F (x) = G (x) kikill x (, b). On olemss sellinen vkio C, että F (x) = G (x) + C kikill x [, b]. Kosk F () =, G () + C = j C = G (). 24

Siitä seur, että F (x) = G (x) G () kikill x [, b]. Erityisesti f (t) dt = F (b) = G (b) G () 2.3 Esimerkkejä pint-ln lskemisest Esimerkki 3. Lsketn funktion f (x) = 5 3x 2 j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l. Lsketn ensin x-kselin leikkuspisteet. Funktion f kuvj leikk x- kselin, kun y =, joten rtkistn 5 3x 2 =. Rtkistn toisen steen yhtälö Leikkuskohdt ovt 5 3 j 5 3x 2 = 5 3 3x 2 = 5 x 2 = 5 3 5 x = ± 3.. Pint-l lsketn siis seurvsti 5/3 (5 3x 2 )dx 5/3 = [ 5x x 3] 5/3 5/3 [ 5 = (5 3 5 5 5 3 3 ) ( 5 3 + 5 ] 5 3 3 ) 5 = 1 3 1 5 3 3 = 2 5 3 3 Jos toinen rjoittv suor ei olekn x-kseli, vn hlutn lske khden funktion väliin jäävän lueen pint-l, niin se voidn lske vähentämällä isommst pint-lst pienempi pint-l. Jos siis funktio f (x) = 4 j g (x) = 2, niin niiden väliin välillä [, b] jäävä pint-l lsketn A = [f (x) g (x)] dx 25

Esimerkki 4. Lsketn funktioiden f(x) = x+2 j g(x) = x 2 väliin jäävä pint-l. Lsketn ensin funktioiden leikkuskohdt, x 2 = x + 2 x 2 + x 2 =. Toisen steen yhtälön rtkisukvll x = 1 ± 1 2 4 ( 2) 2 x = 1 ± 9 2 x = 1 ± 3 2 x = 1 ti x = 2. Pint-l sdn lskettu seurvsti 1 [ ] [ ( x + 2) x 2 x 2 x3 dx = + 2x 2 2 3 [ 1 = 2 + 2 1 3 ( 22 2 4 8 ] 3 ) ] 1 2 = 1 1 6 + 6 8 3 = 9 2. Esimerkki 5. Lsketn sellisen lueen pint-l, jot rjoitt lhlt funktio f(x) = sin x j ylhäältä funktio g(x) = cos x, x-kselin välillä [ 3π, π ]. Se lsketn seurvsti 4 4 π 4 3π 4 [cos x sin x] = [sin x + cos x] π 4 3π 4 = sin π 4 + cosπ 4 [sin( 3π 4 ) + cos( 3π 4 )] = sin π 4 + cosπ 4 sin5π 4 cos5π 4 = 1 + 1 + 1 + 1 2 2 2 2 = 2 2. Esimerkki 6. Lsketn pint-l lueelle, jot esiintyy x-kselin molemmill puolill. X-kselill lue rjoittuu välille [ 1, 4] j funktio jok x-kselin 26

knss luett rjoitt on f(x) = 3x x 2. Kosk x-kselin lpuolelt pintl lskettess se tulee integrlist negtiivisen, sen eteen täytyy litt miinus-merkki, jott sdn oike pint-l. Funktio f leikk x-kselin kohdiss x = j x = 3, joten siis x-kselin lpuolell ovt välit [ 1, ] j [3, 4]. Pint-l sdn siis lskemll = 1 ( x 2 + 3x)dx + 3 [ 1 3 x3 + 3 2 x2 ] 1 + ( x 2 + 3x)dx [ 1 3 x3 + 3 2 x2 ] 3 4 3 ( x 2 + 3x)dx [ 1 3 x3 + 3 2 x2 ] 4 3 = 13 5 6 Esimerkki 7. Lsketn seurvksi pint-l luelle, joss välin päätepisteinä olevt rvot ovt y:n rvoj (iemmiss esimerkeissä päätepisteinä on ollut vn x-kselin rvoj) j joss funktiot ovt muoto x = F (y). Funktiot, jotk rjoittvt luett ovt f(y) = y 2 j g(y) = y +2. Funktiot leikkvt toisens pisteissä (1, 1) j (4, 2). Pint-l sdn lskettu seurvsti A = 1 2 [ ( y + 2) y 2 ] dy [ = 1 2 y2 + 2y 1 ] 1 3 y3 2 = 1 2 + 2 1 ( 3 2 4 + 8 ) 3 = 3 + 8 1 2 = 5 1 2 = 9 2 2.4 u-sijoitus Jos integrli näyttää todell vikesti lskettvlt, sen lskemiseen voidn käyttää pukeinoj. Näistä yksi on u-sijoittminen. Silloin sijoitetn integroinnin jksi sisäfunktion tillle u j derivoidn yhtälö u =(sisäfunktio), lopuss sijoitetn ts u:n tillle lkuperäinen sisäfunktio. Esimerkki 8. Lske integrli (x 3 5) 5 (3x 2 )dx. Tehdään u-sijoitus u = x 3 5, joten du = 3x 2. 27

(x 3 5) 5 3x 2 dx = u 5 du = 1 6 u6 + C = 1 6 (x3 5) 6 + C. 2.5 Tilvuuden lskeminen integrlill Jos pint-l A(x) muuttuu, kun x muuttuu, niin tilvuus voidn lske seurvsti, integroimll A(x) :st b:hen. V = b A(x)dx. Jos kpplett rj funktio j kpple on x-kselin ympärillä sen tilvuus sdn kvst V = b π [f(x)] 2 dx. Vstvsti jos kpple on y-kselin ympärillä tilvuus sdn kvst V = d c π [g(y)] 2 dy. Esimerkki 9. [5, Tehtävä 27, s. 341]. Kppleen pohj on ympyrä x 2 +y 2 = r 2. Määritä kppleen tilvuus, kun kohtisuort läpileikkukset x-kselin knss ovt neliöitä. Rtkisu : Tilvuus lsketn kvll V = A(x)dx. Tästä A(x) = b (2y)2 = 4y 2 = 4(r 2 x 2 ) j kosk lue rjoittuu välille [ r, r] tilvuus sdn lskemll r = r r 4(r 2 x 2 )dx r 4r 2 4x 2 dx = [4r 2 4 3 x3 ] r r = 4r 3 4 3 r3 (4r 2 ( r) 43 ) ( r)3 = 16 3. 28

Esimerkki 1. Olkoon lueen A rjoin suor y = 4 j funktio f(x) = 1 + x. Lsketn tilvuus kppleelle mikä syntyy, kun tämä lue A kierretään y-kselin ympäri seurvsti V = = π 5 1 5 1 π[(y 1) 2 ] 2 dy (y 1) 4 dy (y 1)5 = π[ ( 5) 4 5 = π 5 = 24 4 5 π. Esimerkki 11. [5, Tehtävä 45. s. 342]. Olkoon funktio f määritelty näin f(x) = x 2/3, kun x >. ) Osoit, että funktion j x-kselin rjmn lueen pint-l välillä x = 1 j x = b sdn lskettu yhtälöstä A(b) = 3(b 1/3 1). Rtkisu : ] 5 1 A(b) = 1 x 2/3 dx = [3x 1 3 ] b 1 = 3b 1 1 3 + 3 3 = 3(b 1/3 1). b) Osoit, että kun -kohdss määritelty lue kierretään x-kselin ympäri sdn tilvuus lskettu yhtälöstä V (b) = 3π(1 b 1/3 ). Rtkisu : V (b) = = π 1 1 π [ x 2/3] 2 dx x 4/3 dx = π[ 3x 1/3 ] b 1 = π 3b 1/3 + 3 1/3 = 3Π(1 b 1/3 ). Jos pyörähdyskpplett x-kselin ympäri rj molemmilt puolilt funktiot, ulkopuolell y = f(x) j sisäpuolell y = g(x) voidn sen tilvuus ls- 29

ke Wsherin metodill V = π([f (x)] 2 [G(x)] 2 )dx. Jos ts pyörähdyskpplett y-kselin ympäri rj molemmilt puolilt funktiot, ulkopuolell x = f(y) j sisäpuolell x = g(y) voidn sen tilvuus lske Wsherin metodill V = d c π([f (y)] 2 [G(y)] 2 )dy. Esimerkki 12. [5, Tehtävä 48, s. 342] Olkoon funktio f(x) = x 3 j g(x) = x. Lsketn ) missä nämä funktiot leikkvt, b) niiden väliin jäävä pint-l, c) sekä tilvuus kun tämä lue pyöräytetään x-kselin ympäri. ) Rtkistn kolmnnen steen yhtälö b) Lsketn pint-l x 3 = x x 3 x = x(x 2 1) = x = ti x 2 = 1 x = ti x = ±1. (2.5) A = 1 x 3 xdx + 1 x x 3 dx = / 1 1 4 x4 1 2 x2 + / 1 1 2 x2 1 4 x4 = ( 1 4 + 1 2 x2 ) + 1 2 1 4 = 1 2. c) Lsketn tilvuus (2.6) (2.7) (2.8) V = 1 π([x 3 ] 2 x 2 )dx + 1 = π/ x 7 1 7 x3 3 + x 3 π/1 3 x7 7 = π 1 7 1 3 + π 1 3 1 7 = 2 3 π. π(x 2 [x 3 ] 2 )dx 3

3 Yleistetty Pythgorn luse 3.1 Pythgorn luse Luse 9. Olkoon suorkulmisen kolmion hypotenuus c, lyhyempi kteetti j pidempi kteetti b, kuten kuvss 14. Tällöin yhtälö pitää pikkns. 2 + b 2 = c 2 Kuv 14. Todistus. Todistus Pythgorn luseelle Eukleideen ensimmäisen todistuksen tpn, lähteenä olen käyttänyt Jim Moreyn ltim todistust [3]. 31

Kuv 15. Todistus perustuu pint-loihin, isoimmn neliön pint-l on yhtä suuri kuin khden pienemmän neliön pint-lojen summ. Kuvst 15 nähdään miten neliöt rkentuvt suorkulmisen kolmion ympärille j miten kolmiot, joit todistuksess käytetään sijoittuvt. Ensinnäkin ABK = ACE, kosk AC = AK, AB = AE, BAK = BAC + CAK = BAC + EAB = EAC j CAK = 9 = EAB. Kolmioll ABK on knt AK j korkeus AC, kosk BCA on suor kulm j jos sivu AK jtkettisiin, niin pisteestä B jtkeelle piirretty kohtisuor jn, olkoon se BN olisi smn pituinen kuin sivu AC. Tämän tki kolmion ABK pint-l on puolet neliön CAHK A 1 = AC AK 2 A 2 = AK AC pint-lst. Toislt kolmioll ACE on knt AE j korkeus AM, kosk jos sivu EA jtkettisiin j siitä piirrettäisiin kohtisuor pisteestä O pisteen C 32

kutt, niin nämä jnt OC j AM olisivt smnsuuntiset j yhtä pitkät. M on CL:n j AB:n leikkuspiste, CL j AE ovt yhdensuuntisi. Nyt kolmion ACE pint-l AE AM A 3 = 2 on siis puolet neliön AMLE A 4 = AM AE pint-lst. Se trkoitt, että neliöiden, jotk lähtevät sivuilt AC j AM pint-lt ovt smt. Smoin myös sivult BC lähtevän neliön pint-l täsmää neliön BDLM pint-ln knss. Nyt siis neliöiden BDLM j AM LE pint-lt yhteensä vstvt hypotenuuslt AB lähtevän neliön pint-l, joten (AC) 2 + (BC) 2 = (AM) 2 + (BM) 2 = (AB) 2. 3.2 Ensimmäinen yleistys Pythgorn luseest Tästä loppuun sti olen käyttänyt lähteenäni [2, Fongin j Wngin tekemää Clculust]. Pythgorn luse on erittäin hyvin tunnettu luse. Melkein yhtä hyvin tunnetn kuvio, joss kteetit on nimetty :ksi j b:ksi, hypotenuus c:ksi j jonk ympärillä neliöt, jotk on piirretty kolmion sivuist, joiden sivujen pituudet ovt,b j c. Tätä kuviot käytetään Pythgorn luseen Eukleideen todistuksess, jok esitettiin kppleess 3.1. Sitä tieto, että nämä neliöt voidn korvt ympyröillä, puoliympyröillä, smnlisill kolmioill ti oikestn millä thns smnkltisell kksidimensioisell kuvioll, joll kuvio sdn "suljettu", ei kuitenkn tunnet yhtä hyvin. Nyt lmme trkstelemn yleistettyä Pythgorn lusett, yksi sellinen on nimeltään kosiniluse. Pythgorn luse (3.1) 2 + b 2 = c 2, liittää yhteen suorkulmisen kolmion kteettien pituudet hypotenuusn pituuteen. Kun kerrotn yhtälön (3.1) molemmt puolet π :llä sdn 4 π 2 4 + πb2 4 = πc2 4, mikä trkoitt sm kuin khden ympyrän, joiden hlkisijt ovt j b pint-lojen summ yhtä kuin ympyrän, jonk hlkisij on c pint-l. 33

Jos kerrotn Pythgorn luse (3.1) π :ll sdn 8 π 2 8 + πb2 8 = πc2 8, mikä nyt vst puoliympyröiden, joiden hlkisijt ovt, b j c, pint-loj. Ajtelln sitten kolmiot, joss on kulmt α, β j γ, j jonk kulmn α vstkkisen sivun pituus on x. Tällisen kolmion pint-l on K = x2 sinβsinγ 2sinα. Jos kerrotn Pythgorn luseen (3.1) molemmt puolet luvull sinβsinγ, 2sinα niin sdn 2 sinβsinγ + b2 sinβsinγ = c2 sinβsinγ 2sinα 2sinα 2sinα, mikä liittää yhteen kolme kolmiot, joiss on yhtä suuret kulmt j kulm α vstvt sivut ovt pituudeltn, b j c. Nämä kolme viimeistä esimerkkiä ovt erityistpuksi pljon yleisemmästä tuloksest. Nyt, että päästään siihen trvitn lisää huomioit j määritelmiä. Käytetään merkkiä > kuvuksess, esimerkiksi f, g, F, φ, silloin funktio merkitsee relist jtkuv funktiot suljetull välillä, määrittelyjoukkonn [, ], esimerkiksi f : [, ] R. Jos b, j f : [, ] R j f b : [, b] R, niin funktioist f, f b ei tule päätellä niiden olevn smnkltisi, esimerkiksi että f (x) = f b (x), kun x [, ] [, b]. Voi oll, että f (x) = e x, kun x [, ] j f b (x) = cosx, kun x [, b], j b. Siis f : [, ] R trkoitt vin, että funktioll f on määrittelyjoukkonn [, ]. Jos = b, niin f = f b. Funktio f on verrnnollinen (ti similrinen) funktion f b knss, merkitään f f b, jos j vin jos f b (x) = ( b ) f (( b ) x ), x [, b]. ( Huomioidn, että x b on yhtäpitävää sen knss, että ( b ) x ). Huomtn myös, että on ekvivlenssireltio. Mille thns >, olkoot f j g jtkuvi relifunktioit, joill on sm määrittelyjoukko [, ]. Olkoon R (f, g ) merkintä siitä lueest xytsoll, jot rjoittvt y = f (x) j y = g (x), sekä x = j x =. Kosk f j g ovt jtkuvi välillä [, ], niin voimme määritellä uuden jtkuvn funktion F : [, ] R, jok toteutt ehdon F (x) = (f g ) (x) = f (x) g (x) 34

kikill x [, ]. Siis lueen R (f, g ) pint-l, jot merkitään A (F ) sdn lskemll A (F ) = F (x) dx. Khdelle positiiviselle luvulle, b R, lue R (f, g ) on verrnnollinen lueen R (f b, g b ) knss, merkitään R (f, g ) R (f b, g b ) jos j vin jos f on verrnnollinen funktion f b knss j g funktion g b knss. Edellä kerrottuj väitteitä merkitään seurvsti R (f, g ) R (f b, g b ) f f b j g g b. Jos f f b j g g b, niin (f g ) (f b g b ), joten F F b. Siis iemmin tässä kppleess minittujen tietojen perusteell silloin pitää pikkns F b (x) = b ( ) F b x x [, b]. Luse 1. Pythgorn luseen ensimmäinen yleistys Olkoon,b j c suorkulmisen kolmion kteettien j hypotenuusn pituuksi. Oletetn, että lueet R (f, g ), R (f b, g b ) j R (f c, g c ) ovt similrisi. Silloin A (F c ) = A (F ) + A (F b ). Kuv 16. Kuvss 16 nähdään luseen 11 tilnne. 35

Todistus. Kosk R(f, g ) R(f b, g b ) R(f c, g c ), niin F F c j F b F c mikä trkoitt, että F (x) = ( c )F c( c x), x [, ] j F b (x) = ( b c )F c( c x), x [, b]. b Lskemll yhteen A(F ) j A(F b ) sdn Tehdään u,v-sijoitukset A(F ) + A(F b ) = = F (x)dx + c F c( c x)dx + F b (x)dx u = c x j v = c b x. b c F c( c b x)dx. Nyt siis, kun x = niin u = j kun x = niin u = c. Ottmll differentili puolittin yhtälöstä u = c x, sdn (3.2) du = c dx, joten kun kerrotn yhtälö (3.2) puolittin luvull c sdn dx = c du. Nyt sdn myös että, kun x = niin v = j kun x = b niin v = c. Ottmll differentili puolittin yhtälöstä v = c b x, sdn dv = c b dx, joten kun kerrotn puolittin luvull b c, sdn dx = b c dv. 36

Sijoittmll nyt sdn A(F ) + A(F b ) = = 2 c 2 = 2 c 2 c F c(u) c du + = 2 + b 2 = c 2 c = A(F c ). F c (u)du + b2 c 2 F c (x)dx + b2 c 2 F c (x)dx b c F c(v) b c dv F c (v)dv F c (x)dx (tekomuuttuj) F c (x)dx supistus Pythgorn luseen 2 + b 2 = c 2 mukn Huomutus: Jos g t (x) = kikill x [, t], missä t {, b, c} j f t (x) = t, x [, t], missä t {, b, c}, niin määritelmän 3.2 j iemmin tässä kppleess nnettujen tietojen mukn A(F c ) = A(F ) + A(F b ) F c (x) dx = (f c (x) g c (x)) dx = (c ) dx = c dx = dx + F (x) dx + F b (x) dx (f (x) g (x)) dx + (f (x) g (x)) dx + b dx. (f b (x) g b (x)) dx (f b (x) g b (x)) dx Nyt integrlit lskemll päästään Pythgorn luseeseen, kosk [cx] c = [x] + [bx] b c 2 = 2 + b 2. 37

Kuv 17. Kuvss 17 on voimss: F = f, F b = f b, F c = f c f f b f c A(f ) + A(f b ) = A(f c ). Esimerkki 13. Tutkielmn tekijä on itse keksinyt esimerkin. Olkoot,b j c suorkulmisen kolmion kteettien j hypotenuusn pituuksi, = 3, b = 4 j c = 5. Olkoot f (x) = 5 3 πx2, f b (x) = 5 4 πx2 j f c (x) = πx 2, jolloin f f b f c, kosk jolloin f c f b, j f c (x) = c b f ( b c x) = 5 4 (5 4 π(4 5 x)2 ) = πx 2, f b (x) = b f ( b x) = 4 3 (5 3 π(3 4 x)2 ) = 4 3 32 4 2 πx2 5 3 = 3 4 5 3 πx2 = 5 4 πx2, 38

joten f b f j f f b f c. Olkoot g =, g b = j g c =, jolloin g g b g c. Tällöin lueet R(f, g ) R(f b, g b ) R(f c, g b ) ovt verrnnollisi, kosk f f b f c j g g b g c. Tällöin luseen 11 mukn on voimss yhtälö A(f ) + A(f b ) = A(f c ). Kosk F (x) = (f g )(x) = f (x) g (x) = 5 3 πx2 = 5 3 πx2, j F b (x) = (f b g b )(x) = f b (x) g b (x) = 5 4 πx2 = 5 4 πx2 F c (x) = (f c g c )(x) = f c (x) g c (x) = πx 2 = πx 2, niin tällöin voidn kirjoitt A(f ) + A(f b ) = = 3 5 3 πx2 dx + 4 = [ 5 9 πx3 ] 3 + [ 5 12 πx3 ] 4 = 5 9 π33 + 5 12 π43 = 125 3 π = [πx 3 x3 ] 5 = = F c (x)dx = A(f c ). F (x)dx + 5 4 πx2 dx 5 πx 2 dx F b (x)dx 39

3.3 Muit Pythgorn luseen yleistyksiä Kuv 18. Otetn sitten trksteluun kosiniluse c 2 = 2 + b 2 2b cosα. Luse 11. Olkoon, b j c sellisen kolmion sivujen pituuksi, joll on kulm θ sivu c vstmss kuten kuvss 18. Jos lueet R (f, g ), R (f b, g b ) j R (f c, g c ) ovt verrnnollisi niin A (F c ) = A (F ) + A (F b ) 2bcosθ c 2 A (F c ). Todistus. Johdetn yhtälö, kuten edellisessä todistuksess. Kosk R(f, g ) R(f b, g b ) R(f c, g c ), niin F F c j F b F c mikä trkoitt, että F (x) = ( c )F c( c x), x [, ] j F b (x) = ( b c )F c( c x), x [, b]. b Lskemll yhteen A(F ) j A(F b ) sdn A(F )+A(F b ) = Tehdään u,v-sijoitukset F (x)dx+ F b (x)dx = u = ( c x) j v = (c b x). c F c( c x)dx+ b c F c( c b x)dx. Nyt kun x = niin u = j kun x = niin u = c. Ottmll puolittin differentili yhtälöstä u = ( c x), 4

sdn du = ( c )dx, joten kun kerrotn puolittin luvull sdn c dx = c du. Sdn myös että, kun x = niin v = j kun x = b niin v = c. Ottmll puolittin differentili yhtälöstä ( c ) v = b x, sdn dv = ( c b )dx, joten kun kerrotn puolittin luvull sdn b c, dx = b c dv. Sijoittmll sdn joten siis A(F ) + A(F b ) = = 2 c 2 = 2 c 2 c F c(u) c du + = 2 + b 2 c 2 F c (u) du + b2 F c (x)dx + b2 = 2 + b 2 c 2 A(F c ), c 2 c 2 F c (x)dx A (F ) + A (F b ) = 2 + b 2 Kosiniluseest sdn sijoitettu b c F c(v) b c dv c 2 A (F c ). 2 + b 2 = c 2 + 2b cosθ, F c (v)dv F c (x)dx 41

joten sdn A(F ) + A(F b ) = c2 + 2b cosθ 2b cosθ A(F c 2 c ) = A(F c ) + A(F c 2 c ), jost sdn A(F c ) = A(F ) + A(F b ) 2b cosθ c 2 A(F c ). Huomutuksi : (i) Jos θ = π, niin Pythgorn luseen ensimmäisen yleistys seur 2 välittömästi luseest 11. Kun cosθ = cos π =, niin on jälleen 2 A(F c ) = A(F ) + A(F b ). Joten ensimmäinen yleistys Pythgorn luseest on luseen 11 erikoistpus. (ii) Jos F t (x) = t, [, t], j t, b, c, j niin meillä on kosiniluse. Silloin A(F t ) = t F t(x)dx = t t dt = t[x ] t = t 2, eli 2b cosθ A(F c ) = A(F ) + A(F b ) A(F c 2 c ) 2b cosθ cdx = dx + bdx c 2 [cx] c = [x] + [bx] b 2b cosθ [cx] c c 2 c 2 = 2 + b 2 2b cosθ c 2 c 2 c 2 = 2 + b 2 2b cosθ Siis tunnettu kosiniluse on myös erikoistpus luseest 11. cdx 42

Kuv 19. Kuvss 19 pitää pikkns f f b f c A(f c ) = A(f ) + A(f b ) 2b cosθ c 2 A(f c ) (iii) Jos θ = π, F 2 t(x) = t kikill x [, t], j t, b, c, niin kosiniluseest tulee Pythgorn luse, kosk 2b cos π =, joten 2 c 2 = 2 + b 2. Esimerkki 14. Tutkielmn tekijä on itse keksinyt esimerkin. Esimerkissä käytetään likirvoj. Olkoot = 2.1, b = 4., c = 5.27 kolmion sivujen pituuksi j sivun c vstisen kulmn suuruus θ = 116. Olkoot f (x) = 2x, f b (x) = 2x j f c (x) = 2x, jolloin funktiot f, f b j f c ovt verrnnollisi keskenään, kosk f (x) = 4. 2.1 f b( 2.1 4. x) = 4. 2.1 22.1 4. x = 2x 43

j Olkoot f c (x) = 4. 5.27 f b( 5.27 4. x) = 4. 5.27 25.27 4. x = 2x. g (x) = 4x, g b (x) = 4x j g c (x) = 4x, jolloin nekin ovt verrnnolllisi keskenään. Aiemmin on todettu, että joten myös F (x) = f (x) g (x) = 2x ( 4x) = 2x, Nyt luseen 11 ehdot täyttyvät, joten F b (x) = 2x j F c (x) = 2x. Lsketn siis A(F c ) = A(F ) + A(F b ) 2b cosθ c 2 A(F c ). A(F c ) = Lsketn sitten yhtälön toinen puoli 5.27 = [x 2 ] 5.27 = 27.77. 2xdx 2b cosθ A(F ) + A(F b ) A(F c 2 c ) 2.1 4 2 2.1 4 cos116 = 2xdx + 2xdx (27.77) (5.27) 2 = [x 2 ] 2.1 + [x 2 ] 4 16.8 (.438) (27.77) 27.77 = 4.41 + 16 + 7.36 = 27.77. Molemmist puolist tuli yhtä suuret tulokset, joten esimerkki oli hvinnollistus luseest 11. Trkstelln nyt uudestn kosinilusett c 2 = 2 + b 2 2b cosθ. 44

j positiivisten relilukujen, b j c suhdett. Tästä näkökulmst ktsottun olkoon 1, 2, 3,..., n sellisi positiivisi lukuj, että ( 1, 2, 3,..., n ) on rtkisu nnettuun yhtälöön, jok on muoto (3.3) x 2 1 = x 2 2 + x 2 3 +... + x 2 n + f (x 1, x 2,..., x n ). Yhtälö (3.3) voisi oll esimerkiksi reltio, jok on määritelty seurvsti x 2 = y 2 + z 2 + 3xyz. Sillä on kksi rtkisu, jotk ovt ( ( 1, 2, 3 ) = 3 + ) 14, 1, 2 j ( 1, 2, 3 ) = ( 9 + ) 94, 2, 3. Tämä esimerkki tk sen, että yhtälö (3.3) on olemss. Siis smme seurvn luseen 12. Luse 12. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.4) x 2 1 = x 2 2 + x 2 3 +... + x 2 n + f (x 1, x 2,..., x n ). missä jokinen i >, i {1, 2,..., n}. Oletetn, että R (f 1, g 1 ), R (f 2, g 2 ),..., R (f n, g n ) ovt kikki similrisi. Silloin A (F 1 ) = A (F 2 ) + A (F 3 ) +... + A (F n ) + f ( 1,..., n ) A (F 2 1 ). 1 Todistus. Käyttämällä khden edellisen luseen todistuksi sdn A (F 2 ) + A (F 3 ) +... + A (F n ) = = 2 2 2 = 2 2 2 1 1 F 2 (x)dx + 3 F 1 ( 1 x)dx + 1 2 F 1 (x)dx + 2 3 = 2 2 + 2 3 +... + 2 n 2 1 F 3 (x)dx +... + 3 1 2 1 1 3 1 F 1 ( 1 n F n (x)dx 3 x)dx +... + F 1 (x)dx +... + 2 n 2 1 F 1 (x)dx n 1 = 2 1 f( 1,..., n ) A(F 2 1 ) (yhtälön (3.4) perusteell) 1 = 1 f( 1,..., n ) A(F 2 1 ). 1 n 1 F 1 ( 1 n x)dx F 1 (x)dx 45

Huomutus : Jos n = 3, 1 = c, 2 =, 3 = b, j f( 1, 2, 3 ) = f(c,, b) = 2b cos θ = 2 2 3 cos θ, niin nähdään, että luse khdeksn on erikoistpus luseest yhdeksän, jok on prs Pythgorn luseen yleistys, kun järkeillään verrnnollisi kuviot. Loppuosss olen käyttänyt lähdettä [1, Generliztions of Pythgors theorem-rtikkeli]. Trkstelln yhtälöä z 2 = x 2 + y 2 d 2, joss f(z, x, y) = d 2. Tämä yhtälö on meille tutumpi, kun se ilmistn muodoss (3.5) x 2 + y 2 z 2 = d 2. Yhtälö (3.5) kuv yksivippist hyperboloidi. Kertomll yhtälö (3.5) puolittin π:llä, sdn (3.6) πx 2 + πy 2 πz 2 = πd 2, ti jos r 2 = x 2 + y 2, (3.7) πr 2 + πz 2 = πd 2. Ajtelln yksivippist hyperpoloidi x 2 + y 2 z 2 = d 2. Tällisell hyperpoloidill on vyötärö (engl. wist) W, jok on ympyrä x 2 + y 2 = d 2 tsoll, joss z =. Tällä ympyrällä on pienin pint-l niistä hyperpoloidin leikkuksist, joill z = z. Olkoon (, b, c) mikä thns piste hyperpoloidist, trkstelln myös sylinteriä x 2 +y 2 = 2 +b 2. Tämä sylinteri leikk hyperpoloidin muodosten kksi ympyrää, toinen niistä on tsoll z = c j toinen tsoll z = c. Merkitään sitä ympyrää, jok on tsoll z = c kirjimell C. Hyperpoloidiss on myös ympyräperhe, joiden keskus on pisteessä (, b, ) j hlkisij segmentti pisteiden (, b, c) j (, b, c) välinen jn. Vlitn mikä thns näistä j merkitään sitä kirjimell T. Jos X on ympyrä, merkitään sen pint-l A(X). Yhtälö (3.7) voidn siis kirjoitt muotoon A(C) A(T ) = A(W ), kosk ympyrän pint-l lsketn kvll A = πr 2 j tämä on voimss kikill ympyräpreill C j T. Pisteestä (, b, c) svutetn myös muunlisi ympyröitä. Esimerkiksi tsolt y = b lähtee ympyrä, jonk säde on j keskipiste (, b, c). Kutsutn sitä A:ksi. Tsoll, joss x = on ympyrä, jonk säde on b j keskipiste (,, c). Kutsutn sitä B:ksi. Yhtälö (3.6) voidn kirjoitt muotoon A(A) + A(B) A(C) = A(W ), 46

j tämä pitää pikkns kikill tällisill ympyröillä A, B j C. Trkstelln sitten kksivippist hyperpoloidi, jok määritellään yhtälöllä (3.8) x 2 + y 2 z 2 = d 2. Kertomll yhtälö (3.8) π:llä sdn (3.9) πx 2 + πy 2 πz 2 = πd 2, jos r 2 = x 2 + y 2 niin yhtälö (3.9) on muoto (3.1) πr 2 πz 2 = πd 2. Olkoon W ympyrä, jonk keskipiste on (,, ) j hlkisij on segmentti pisteiden (,, d) j (,, d) välissä. Sylinteri x 2 + y 2 = 2 + b 2 leikk jälleen hyperpoloidin muodosten kksi ympyrää. Olkoon C toinen ympyröistä tsoll z = c. Ympyrän T keskipiste on (, b, ) j hlkisij segmentti välillä (, b, c) j (, b, c). Yhtälö (3.1) tulee muotoon A(C) A(T ) = A(W ) mikä on toisin snoen A(T ) A(C) = A(W ), mikä pitää pikkns ympyräprill C j T. Yhtälöstä (3.9) tulee iemmin kerrotuill perusteill ti vihtoehtoisesti A(A) + A(B) A(C) = A(W ) A(C) [A(A) + A(B)] = A(W ) ympyröille A, B, C, jotk on määritelty iemmin. Molemmiss tpuksiss, jos d =, niin x 2 + y 2 = z 2, mikä on ympyräkrtio (engl. circulr cone). Ympyrät A, B, C j T on määritelty vstvsti j niistä sdn (3.11) A(A) + A(B) = A(C) = A(T ). Näiden esimerkkien jälkeen ktsotn pllo (3.12) x 2 + y 2 + z 2 = d 2. Kertomll yhtälö (3.12) π:llä sdn (3.13) πx 2 + πy 2 + πz 2 = πd 2. 47

Mille thns pisteelle (, b, c), jok on tällä plloll, sylinteri on x 2 + y 2 = 2 + b 2 j ympyrä C leikk pllon, sylinterin j tson z = c. Jälleen on olemss ympyrä, jonk keskipiste on (, b, ) j hlkisij segmentti pisteiden (, b, c) j (, b, c) välillä. Vlitn yksi niistä j nimetään sitä kirjimell T, jolloin yhtälöstä (3.13) tulee A(C) + A(T ) = A(W ), missä W on pllon, tsoll z = iso ympyrä. Jälleen tämä pätee ympyräprill C j T. Näistä trksteluist siirrytään positiiviisiin lukuihin, joit merkitään i, j joist muodostuu rtkisu ( 1, 2,..., n ) yhtälöön, jok on muoto (3.14) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 +... + x 2 n = f(x 1, x 2,..., x n ). Yhtälöstä sdn 4 viimeistä lusett. Tietenkin f(x 1, x 2,..., x n ) voi oll mikä thns relirvoinen funktio, esimerkiksi f(x 1, x 2,..., x n ) = 1, jolloin rtkisut yhtälöön (3.14) ovt yksikköympyrän pisteet n-dimensioisess Euklidisess vruudess. Luse 13. [2, Tehtävä 1, s.265]. Olkoon ( 1, 2,... n ) rtkisu reltiolle, jok on muoto x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n = f(x 1, x 2,..., x n ), missä jokinen i >, 1 i n. Oletetn, että lueet R(f 1, g 1 ),..., R(f n, g n ) ovt kikki similrisi. Silloin (3.15) kun 1 i n. J jos niin n j=1 A(F j ) = f( 1,... n ) A(F 2 i ) i A(F i ), (3.16) f( 1, 2,..., n ) = 2 i A(F i ) n A(F j ). Todistus. Tutkielmn tekijä on itse keksinyt tämän todistuksen. Aiemmin kerrottujen tietojen perusteell pitää pikkns n A(F j ) = A(F 1 ) + A(F 2 ) +... + A(F n ) j=1 = 1 j=1 F 1 (x)dx +... + n F n (x)dx, kosk kikki lueet ovt similrisi. Siis muun muss F 1 j F n ovt similrisi keskenään,sekä F 1 j F i ovt similrisi. Kun 1 i n, niin on 1 F 1 (x)dx +... + n = F 1 (x) = 1 i F i ( i 1 x)dx. F n (x)dx 48

Myös kun 1:n tillle vihdetn mikä thns luku väliltä [1,..., n], joten 1 F 1 (x)dx+...+ n F n (x)dx = 1 1 i F i ( i 1 x)dx+...+ Olkoon u 1 = ( i )x, u 2 = ( i )x,..., u n = ( i )x. 1 2 n Nyt, kun x =, niin u 1 = j kun x = 1 niin u 1 = i, sekä dx = 1 i du 1 Smoin myös muille u 2, u 3,...u n :lle. Nyt sdn n A(F j ) = A(F 1 ) + A(F 2 ) +... + A(F n ) j=1 = i 1 = 2 1 2 i = 2 1 2 i i F i (u 1 ) 1 du 1 +... + i i i F i (u 1 )du 1 +... + 2 n F i (x)dx +... + 2 n = 2 1 + 2 2 +... + 2 n 2 i = f( 1,... n ) A(F 2 i ). i i 2 i i i 2 i i F i (x)dx n n i F i (u n ) n i du n F i (u n )du n F i (x)dx n i F i ( i n x)dx. Luse 14. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.14), missä jokinen i > j 1 i n. Oletetn, että lueet R(f k, g k ) ovt kikki verrnnollisi j 1 k n. Silloin A(f k, g k ) =, missä 1 k n jos j vin jos n j=1 A(f j, g j ) =. Todistus. Todistetn ensin toiseen suuntn, eli jos A(f i, g i ) =, niin yhtälön (3.15) mukn n j=1 A(f j, g j ) =. Sitten toiseen suuntn vstoletuksell, eli jos n j=1 A(f j, g j ) = j A(f k, g k ), jollkin k:ll, jok kuuluu välille 1 k n, niin f( 1, 2,..., n =, yhtälön (3.16) perusteell. Tästä tulee ristiriit yhtälön (3.14) j tiedon, että i :t ovt positiivisi knss, joten väite on tosi. Luse 15. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.14), missä jokinen i > j 1 i n. Oletetn, että lueet R(f j, g j ) ovt kikki verrnnollisi j 1 j n. Silloin on voimss jos A(f i, g i ). 2 i A(f i, g i ) = 2 k, kun 1 i, k n, A(f k, g k ) 49

Todistus. Yhtälön (3.16) perusteell, 2 i A(F i ) n A(F j ) = f( 1, 2,..., n ) = j=1 Tästä seur, että 2 i A(f i, g i ) = 2 k A(F k ) 2 k A(f k, g k ) pitää pikkns, kosk A(f i, g i ) luseen 13 mukn. n A(F j ), 1 i, k n. Luse 16. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.14), missä jokinen i > j 1 i n. Oletetn, että lueet R(f j, g j ) ovt kikki verrnnollisi j 1 j n. Oletetn, että lueet R(F j, G j ) ovt kikki verrnnollisi j 1 j n. Silloin jos A(F i, F i ). j=1 A(f i, g i ) A(F i, G i ) = A(f k, g k ), kun1 i, k n, A(F k, G k ) Todistus. Luseen 14 perusteell on (3.17) 2 i A(f i, g i ) = 2 k A(f k, g k ). Yhtälö (3.17) voidn kirjoitt myös muotoon A(f i, g i ) 2 i = A(f k, g k ). 2 k Alueiden R(F j, G j ) olless verrnnollisi, luseess 14 on todistettu, että tällöin (3.18) 2 i A(F i, G i ) = 2 k A(F k, G k ). Jos yhtälön (3.17) molemmt puolet kerrotn ristiin sdn se muotoon jost päästään muotoon 2 i A(f k, g k ) = 2 k A(f i, g i ), 2 i 2 k = A(f i, g i ) A(f k, g k ) jkmll 2 k :llä j A(f k, g k ):llä. Jos ts yhtälön (3.18) molemmt puolet kerrotn ristiin sdn se muotoon 2 i A(F k, G k ) = 2 k A(F i, G i ), 5

jost päästään muotoon 2 i 2 k = A(F i, G i ) A(F k, G k ) jkmll 2 k :llä j A(F k, G k ):llä. Yhdistämällä näin sdut yhtälöt sdn A(f i, g i ) A(f k, g k ) = 2 i 2 k jost ristiin kertomll sdn = A(F i, G i ) A(F k, G k ), A(f i, g i ) A(F k, G k ) = A(f k, g k ) A(F i, G i ). Nyt jkmll A(F i, G i ):ll j A(F k, G k ):ll sdn todistetuksi luse. Siis A(f i, g i ) A(F i, G i ) = A(f k, g k ) A(F k, G k ) pitää pikkns. 51

Viitteet [1] Cly Jmes R.,Fong Yuen, Ojed-Peñ Edurdo, Shum Kr Ping. Generliztions of Pythgors theorem. SEA Bull. Mth. Vol.19, No.1, 1995. s.19-26. [2] Fong Yuen, Wng Yun. Clculus. Springler-Verlg Singpore Pte. Ltd. 2. [3] Morey Jim. The proof of Pythgors theorem. [www]. (Viitttu 16.8.28) Stviss : http://www.cut-the-knot.org/pythgors/index.shtml [4] Poly George. Generliztion, Speciliztion, Anlogy. The Americn Mthemticl Monthly, Vol.55, No.4, 1948, s. 241-243. [5] Sls Sturnino, Hille Einr, Etgen Grret. Clculus, Ninth Edition. John Wiley Sons, Inc., USA, 23. 52