Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun vuotuinen korkokanta r: n 1 n P x (r) = (1 + r) i x i. Määritellään diskonttotekijä d = 1 1+r ja saadaan P x(d) = d i x i. On huomattava, että jos korko lisätään pääomaan useammin kuin kerran vuodessa (esim. joka kuukausi = 12 kertaa vuodessa) on nykyarvoa laskettaessa vuotuinen korkokanta jaettava perioidien lukumäärällä. Esim. kuukausittaiseksi korkokannaksi saadaan r kk = r 12, kun vuotuinen korkokanta on r. Vastaavasti tällöin diskonttotekijäksi saadaan d kk = 1 1+r kk. Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) sisäinen korkokanta (IRR) määritellään yhtälön P x (r) = x 0 + 1 1 + r x 1 1+,..., (1 + r) n x n = 0 ratkaisuna korkokannan r suhteen. Ts. sisäinen korkokanta on se korko, jolla kassavirran nykyarvo on 0. Yhtälölle ei yleensä löydy analyyttista ratkaisua, mutta se voidaan ratkaista lähes aina numeerisesti. Esim. Excelissä funktio IRR(values;guess), missä values viittaa soluihin, joissa kassavirta ja guess on alkuarvaus sisäiselle korkokannalle. Algebran peruslauseen mukaisesti sisäisellä korkokannalla on vähintään 1 ja korkeintaan n kpl eri ratkaisuja, mutta osa näistä (tai kaikki) voivat olla kompleksisia. Kts. IRR:n peruslause luentokalvoista tai Luenbergin sivuilta 23-24 (Main theorem of internal rate of return). Inaatiolla tarkoittaa hintatason yleistä nousua, jolloin rahan ostovoima alenee. Jos inaatio oletetaan vakioksi f = 2% vastaa 1000 euroa tänään ostovoimaltaan 1050 euroa vuoden kuluttua. Mikäli tänään talletat pankkiin 5% korolla 1000 euroa niin saat vuoden päästä 1050 euroa, mutta mikäli 2% inaatio otetaan huomioon, on investoinnin ostovoima nykyrahassa 1050/1.02 = 1029 euroa. Ts. ostovoiman kannalta investointi on kasvanut korkoa ainoastaan 2.9%.
1. (L2.5) Suuressa eurooppalaisessa lotossa on päävoittona 10 miljoonaa euroa, joka maksetaan 20 vuoden aikana 500 000 euron erissä. Voittaja saa ensimmäisen erän heti. Mikä on lottovoiton nykyarvo, kun korkokanta on 10%? Korkokanta r = 0.10 ja diskonttotekijä d = 1 1+0.10 0.909. Kassavirta x = (x 0, x 1,..., x 19 ), missä x i = +500000 euroa kaikille i = 0,..., 19. Nykyarvo P x (d) = x 0 + d x 1 +... + d 19 x 19 +4682460 euroa. 2. (L2.6) Nuoripari on maksanut kuuden kuukauden vuokrasopimuksesta ensimmäisen kuukauden vuokran 700 euroa, jota ei voi periä takaisin. Seuraavana päivänä he löytävät toisen aivan yhtä hyvän asunnon, mutta jonka vuokra on vain 600 euroa kuussa. Korkokanta on 12%. a) Kannattaako nuorenparin vaihtaa asuntoaan, kun he suunnittelevat asuvansa siinä vain kuusi kuukautta? b) Entä jos he asuisivat vuoden? a) Mahdolliset kassavirrat Wanha asunto: x = (x 0, x 1,..., x 5 ), missä x i = 700 euroa kaikille i = 0,..., 5. Uusi asunto: y = (y 0, y 1,..., y 5 ), missä y 0 = 700 600 = 1300 euroa ja y i = 600 euroa kaikille i = 1,..., 5. Kuukausittainen korkokanta r kk = 0.12/12 = 0.01 ja diskonttotekijä d kk = 1 1+0.01 0.990. Kassavirtojen nykyarvot: P x (d kk ) = x 0 + d kk x 1 +... + d 5 kk x 5 4097 euroa. P y (d kk ) = y 0 + d kk y 1 +... + d 5 kk y 5 4212 euroa. P x (d kk ) > P y (d kk ) ts. uusi asunto tulee kalliimmaksi ei kannata vaihtaa. b) Mahdolliset kassavirrat Wanha asunto: x = (x 0, x 1,..., x 11 ), missä x i = 700 euroa kaikille i = 0,..., 11. Uusi asunto: y = (y 0, y 1,..., y 11 ), missä y 0 = 700 600 = 1300 euroa ja y i = 600 euroa kaikille i = 1,..., 11. Kuukausittainen korkokanta r kk = 0.12/12 = 0.01 ja diskonttotekijä d kk = 1 1+0.01 0.990. Kassavirtojen nykyarvot: P x (d kk ) = x 0 + d kk x 1 +... + d 11 kk x 11 7957 euroa. P y (d kk ) = y 0 + d kk y 1 +... + d 11 kk y 11 7521 euroa. P x (d kk ) < P y (d kk ) ts. wanha asunto tulee kalliimmaksi kannattaa vaihtaa.
3. (L2.8) Saatavilla on kaksi kopiokonetta, joiden kummankin käyttöikä on viisi vuotta. Toisen näistä voi joko vuokrata tai ostaa, toisen voi vain ostaa. Näin ollen valinta tehdään kolmen vaihtoehdon välillä: A (koneen 1 vuokraus), B (koneen 1 osto) ja C (koneen 2 osto). Taulukossa 1 on esitetty vaihtoehtojen kulut ja tuotot sekä nykyarvo laskettuna 10% korolla. Nykyarvon perusteella vaihtoehto B tulisi valita. Sisäistä korkokantaa ei voida suoraan laskea, koska kaikki tulevaisuuden kassavirrat eivät ole positiivisia. Voimme kuitenkin laskea sisäisen korkokannan, jolla vaihtoehdosta toiseen siirtymisen (vaihtoehtojen kassavirtojen erotuksen) nykyarvo menee nollaksi. Mikäli tämä ylittää annetun korkokannan, kannattaa tämän kriteerin perusteella siirtyä vaihtoehdosta toiseen. a) Kannattaako vaihtoehdosta A siirtyä vaihtoehtoon B? b) Entä vaihtoehdosta B vaihtoehtoon C? Taulukko 1: Kopiokonevaihtoehdot Vaihtoehto A B C Alkuinvestointi -6000-30000 -35000 ttainen kustannus -8000-2000 -1600 (kohdistetaan vuoden alkuun) Jälleenmyyntiarvo 0 10000 12000 (kohdistetaan viimeisen vuoden loppuun) Nykyarvo -39359-32131 -34221 Kassavirrat ovat Vaihtoehdolle A: x = (x 0,..., x 5 ), missä x 0 = 14000, x i = 8000 kaikille i = 1,..., 4 ja x 5 = 0. Vaihtoehdolle B: y = (y 0,..., y 5 ), missä y 0 = 32000, y i = 2000 kaikille i = 1,..., 4 ja y 5 = +10000. Vaihtoehdolle C: z = (z 0,..., z 5 ), missä z 0 = 36600, z i = 1600 kaikille i = 1,..., 4 ja z 5 = +12000. Kun vuotuinen korkokanta r = 0.10, kassavirtojen nykyarvot ovat 1 Vaihtoehdolle A: P x (r) = (1 + r) i x i 39359 euroa. Vaihtoehdolle B: P y (r) = Vaihtoehdolle C: P z (r) = 1 (1 + r) i y i 32131 euroa. 1 (1 + r) i z i 34221 euroa. Lasketaan kassavirtojen erotukset termeittän: a) Vaihtoehdosta A siirtyminen vaihtoehtoon B (B-A). Kassavirta a = (a 0,..., a 5 ) = (y 0 x 0,..., y 5 x 5 ), missä a 0 = 32000 ( 14000) = 18000, a i = 2000 ( 8000) = +6000 kaikille i = 1,..., 4 ja a 5 = +10000 0 = +10000. Kassavirran a nykyarvoksi saadaan P a (r) = 5 1 a (1+r) i i +7228 euroa. Lisäksi kassavirran a sisäiseksi korkokannaksi saadaan laskettua (esim. Excel) r a 0.24 ja koska r a = 0.24 > 0.10 = r saadaan, että vaihtoehdosta A kannattaa siirtyä vaihtoehtoon B.
b) Vaihtoehdosta B siirtyminen vaihtoehtoon C (C-B). Kassavirta b = (b 0,..., b 5 ) = (z 0 y 0,..., z 5 y 5 ), missä b 0 = 36600 ( 32000) = 4600, b i = 1600 ( 2000) = +400 kaikille i = 1,..., 4 ja b 5 = +12000 10000 = +2000. Kassavirran b nykyarvoksi saadaan P b (r) = 5 1 (1+r) i b i 2090 euroa. Lisäksi kassavirran b sisäiseksi korkokannaksi saadaan laskettua (esim. Excel) r b 0.06 ja koska r b = 0.06 < 0.10 = r saadaan, että vaihtoehdosta B ei kannatta siirtyä vaihtoehtoon C. 4. (L2.13) Kaksi kassavirtajonoa x = (x 0, x 1,..., x n ) ja y = (y 0, y 1,..., y n ) leikkaavat, jos x 0 < y 0 ja n n x i > y i. Olkoot P x (d) ja P y (d) x:n ja y:n nykyarvot diskonttotekijän d funktiona (d = 1 1+r ). a) Osoita, että on olemassa leikkauspiste c > 0 siten, että P x (c) = P y (c). b) Laske taulukon 2 kassavirroille leikkauspistekorko. Taulukko 2: Projektien 1 ja 2 kassavirrat 0 1 2 3 4 5 Projekti 1-100 30 30 30 30 30 Projekti 2-150 42 42 42 42 42 n n n a) Lähtötiedoista saadaan x 0 y 0 < 0 ja x i y i > 0 x i y i > 0. Määritellään kassavirta n z = (z 0,..., z n ) siten, että z i = x i y i kaikille i = 0,..., n. Nyt pätee siis z 0 < 0 ja z i > 0. Toisin sanoen kassavirran z nykyarvolle pätee esim. P z (0) < 0 ja P z (1) > 0, joten väliarvolauseen perusteella, jollekin c [0, 1] pätee P z (c) = 0. m.o.t. b) Olkoon projektin 1 kassavirta x = ( 100, 30, 30, 30, 30, 30) ja projektin 2 kassavirta y = ( 150, 42, 42, 42, 42, 42). Tällöin siis x 0 = 100 > 150 = y 0 ja lisäksi pätee x i = 50 < 60 = y i jolloin a) kohdan perusteella, jollekin c [0, 1] pätee P z (c) = 0, missä kassavirta z = (y 0 x 0,..., y 5 x 5 ). Lasketaan leikkauspiste Excelin Solverilla ja saadaan c 0.9398.
5. (L2.15) ABBOX on kehittänyt uuden tuotteen. Tuotannon käynnistäminen vaatii 10 miljoonan euron alkuinvestoinnin. Tuotteen menekiksi arvioidaan miljoona yksikköä vuodessa seuraavan viiden vuoden aikana, jonka jälkeen tuote poistuu markkinoilta vanhentuneena ja tuotanto lopetetaan. Tuotteen vuosittainen tuotanto vaatii 10 000 henkilötyötuntia ja 100 tonnia raaka-ainetta. Tällä hetkellä (vuosi 0) palkkataso on 30 euroa tunnilta ja raaka-aineen hinta on 100 euroa tonnilta. Tuotteen myyntihinta on 3.30 euroa, joka nousee vuosittain ainostaan inaation verran ja muuten pysyy vakiona. ABBOX käyttää 12% korkoa tämän tyyppisille projekteille ja joutuu maksamaan 34% veron myyntivoitosta. Poistot alkuinvestoinneista voidaan tehdä viiden vuoden aikana siten, että vuosittain vähennetään viidennes alkuinvestoinnista. Poistot alentavat maksettavan veron määrää pienentämällä liikevoittoa. Poistot eivät ole kassavirtaa, joten niitä ei muutoin huomioida investointilaskelmassa. a) Mikä on investoinnin nykyarvo, kun inaatiota ei oteta huomioon? b) Mikä on investoinnin nykyarvo 4%:n vuosittaisella inaatiolla? Inaatio nostaa palkkatasoa, raakaainekustannuksia sekä tuotteen myyntihintaa. Lähtötiedot: Alkuinvestointi: I = 10000000 (euroa) Tuotteen menekki: S = 10000000 (yksikköä/vuosi) Tuotantoon tarvitaan: p hl = 10000 (henkilötyötuntia/vuosi) ja p ra = 100 (raaka-aine tonnia/vuosi) Palkkataso tällä alussa: c hl = 30 (euroa/henkilötyötunti) Raaka-aineen hinta alussa: c ra = 100 (euroa/raaka-aine tonni) Tuotteen myyntihinta alussa: h = 3.30 (euroa/yksikkö) Korkokanta: r = 0.12 Veroprosentti: v = 0.34 Vuotuiset poistot: P = 200000 (euroa) Liikevaihto = Tuotteen menekki Tuotteen myyntihinta = S h = 10000000 3.30 = 3300000 (euroa/vuosi). Kustannukset = Henkilötyötuntien tarve Palkkataso + Raaka-aineen tarve Raaka-aineen hinta = p hl c hl + p ra c ra = 10000 30 + 100 100 = 310000 (euroa/vuosi). Käyttökate = Liikevaihto - Kustannukset = 2990000 (euroa/vuosi). Poistot alentavat vain maksettavan veron määrää pienentämällä liikevoittoa. Ne eivät siis ole kassavirtaa, joten niitä ei huomioida investointilaskelmassa.
a) Muodostetaan tilikauden voiton/tappion laskemiseksi seuraavanlainen taulukko: 0 1 2 3 4 5 Käyttökate 0 2990000 2990000 2990000 2990000 2990000 Poistot 0-200000 -200000-200000 -200000-200000 Liikevoitto/-tappio 0 990000 990000 990000 990000 990000 Verot 0-336600 -336600-336600 -336600-336600 Tilikauden voitto/tappio 0 653400 653400 653400 653400 653400 ttainen kassavirta saadaan ensimmäisen vuoden alussa (vuosi 0) alkuinvestoinneista. Muina vuosina kassavirta = toiminnan kassavirta - verot. Toisin sanoen saadaan: 0 1 2 3 4 5 Σ Kassavirta -10000000 2653400 2653400 2653400 2653400 2653400 3267000 Nykyarvo -10000000 2369107 2115274 1888638 1686284 1505610-435087 Investoinnin nykyarvo on siis 435087 euroa, kun inaatiota ei oteta huomioon.
b) Nyt myyntihinta sekä palkka- ja raaka-ainekustannukset nousevat inaation verran. Käyttökatteeksi saadaan nyt Käyttökate = liikevaihto 1.04 i - kustannukset 1.04 i = (liikevaihto - kustannukset) 1.04 i, missä i = 0,..., 5 viittaa vuoteen. Toisin sanoen käyttökate kasvaa a) kohtaan verrattuna. Muodostetaan tilikauden voiton/tappion laskemiseksi vastaavanlainen taulukko kuin a) kohdassa: 0 1 2 3 4 5 Käyttökate 0 3109600 3233984 3363343 349777 3637792 Poistot 0-200000 -200000-200000 -200000-200000 Liikevoitto/-tappio 0 1109600 1233984 1363343 1497877 1637792 Verot 0-377264 -419555-463537 -509278-556849 Tilikauden voitto/tappio 0 732336 814429 899807 988599 1080943 Edelleen taulukosta voidaan laskea kassavirta ja sen nykyarvo: 0 1 2 3 4 5 Σ Kassavirta -10000000 2732336 2814429 2899807 2988599 3080943 Nykyarvo -10000000 2439586 2243646 2064025 1899309 1748210 394775 Investoinnin nykyarvo on siis +394775 euroa, kun inaatio otetaan huomioon.