Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess, Frekvessjkum, Keskee rj-rvoluse, Normljkum, Odotusrvo, Otos, Otoshjot, Otosjkum, Otoskoko, Otosvrss, Rppumttomuus, Stdrdotu ormljkum, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Todeäkösyys, Ykskerte stusotos, Vrss Otokset j otosjkumt Ykskerte stusotos Olkoo X 1, X,, X (ykskerte) stusotos jkumst, jok pstetodeäkösyys- t theysfukto o f(x). Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom, dettsest jkutuet stusmuuttuj, joll o sm pstetodeäkösyys- t theysfukto f(x): X1, X,, X X f( x), = 1,,, Otostuusluku Olkoo X 1, X,, X ykskerte stusotos jkumst, jok pstetodeäkösyys- t theysfukto o f(x). Olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok stusmuuttuje X 1, X,, X (mtlle) fukto. Stusmuuttuj T kutsut (otos-) tuusluvuks. Oletet, että otokse pommse jälkee stusmuuttujt X 1, X,, X svt hvtuks rvoksee hvtorvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällö tuusluku T = g(x 1, X,, X ) s hvtuks rvoksee t fukto g rvo psteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) TKK @ Ilkk Mell (008) 1/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse jkumst f(x) j olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok otostuusluku. Kosk tuusluku T o stusmuuttuj, sllä o todeäkösyysjkum, jot kutsut tuusluvu T otosjkumks. Tuusluvu T otosjkum muodost tlstollse mll el todeäkösyysmll tuusluvu T rvoje stusvhtelulle otoksest tosee. Artmeettse keskrvo j otosvrss otosjkumt Artmeette keskrvo j otosvrss Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse jkumst, jok odotusrvo o µ j vrss o. Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom stusmuuttuj, joll kkll o sm odotusrvo j vrss: X 1, X,, X E(X ) = µ, = 1,,, Vr(X ) = D (X ) =, = 1,,, Otokse omsuuks vod kuvt hvtorvoje rtmeettsell keskrvoll j vrssll. Määrtellää hvtoje X 1, X,, X rtmeette keskrvo kvll X 1 X = 1 = Määrtellää hvtoje X 1, X,, X otosvrss kvll 1 s = ( X X) 1 = 1 Huom, että sekä rtmeette keskrvo X että otosvrss s ovt hvtoje X 1, X,, X fukto stusmuuttuj, jode smt rvot vhtelevt stusest otoksest tosee. Artmeettse keskrvo odotusrvo j vrss Hvtoje X 1, X,, X rtmeettsell keskrvoll X o em. oletuste pätessä seurv odotusrvo j vrss: E( X ) = µ = = Vr( X) D ( X) TKK @ Ilkk Mell (008) /18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Huom, että hvtoje X 1, X,, X rtmeettse keskrvo X vrss otoksess o peemp ku hvtoje vrss, jos otoskoko > 1. Lsäks rtmeettse keskrvo vrss X peeee, jos otoskoo et ksv. Artmeettse keskrvo X stdrdpokkem D( X ) = kutsut tvllsest keskrvo keskvrheeks j se kuv rtmeettse keskrvo otosvhtelu om odotusrvos µ ympärllä. Otosvrss odotusrvo Hvtoje X 1, X,, X otosvrssll s o em. oletuste pätessä seurv odotusrvo: E(s ) = Artmeettse keskrvo otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ). Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom stusmuuttuj, jotk oudttvt sm ormljkum N(µ, ): X 1, X,, X X ~ N(µ, ), = 1,,, Hvtoje X 1, X,, X rtmeette keskrvo X oudtt em. oletuste pätessä ormljkum prmetre µ j / : Ertysest X N µ, E( X ) = µ = = Vr( X) D ( X) mkä pätee myös lm ormlsuusoletust. Artmeettse keskrvo pproksmtve (symptootte) otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse jkumst, jok odotusrvo o µ j vrss o. Tällö keskesestä rj-rvoluseest seur, että hvtoje rtmeette keskrvo X oudtt suurss otoksss pproksmtvsest (symptoottsest) ormljkum prmetre µ j / : TKK @ Ilkk Mell (008) 3/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset X N µ, Otosvrss otosjkum Oletet, että hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ). Tällö hvot X 1, X,, X ovt rppumttom stusmuuttuj, jotk oudttvt sm ormljkum N(µ, ): X 1, X,, X X ~ N(µ, ), = 1,,, Olkoo s hvtoje X 1, X,, X otosvrss. Stusmuuttuj ( 1)s / oudtt em. oletuste pätessä χ -jkum vpusste ( 1): ( 1) s χ ( 1) Lsäks vod osott, että rtmeette keskrvo X j otosvrss s ovt stusmuuttuj rppumttom: X s Ste suor Studet t-jkum määrtelmä muk X µ t = t( 1) s/ em. oletuste pätessä. Suhteellse frekvess otosjkum Frekvess j suhteelle frekvess Olkoo A S jok otosvruude S tphtum j olkoo p = Pr(A) q = 1 Pr(A) = 1 p Pomt otosvruudest S ykskerte stusotos, jok koko o. Olkoo f A-tyyppste lkode frekvess el lukumäärä otoksess j f pˆ = vstv suhteelle frekvess el osuus. Huom, että sekä frekvess f että suhteelle frekvess pˆ = f / ovt stusmuuttuj, jode smt rvot vhtelevt stusest otoksest tosee. TKK @ Ilkk Mell (008) 4/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Frekvess odotusrvo, vrss j otosjkum Frekvess f odotusrvo j vrss: E( f) = p Vr( f ) = D ( f ) = pq joss q = 1 p. Frekvess f oudtt otoksess bomjkum prmetre j Pr(A) = p: f B( p, ) Suhteellse frekvess odotusrvo j vrss Suhteellse frekvess pˆ = f / odotusrvo j vrss: E( pˆ ) = p pˆ pq = pˆ = Vr( ) D ( ) joss q = 1 p. Huom, että suhteellse frekvess ˆp vrss peeee, jos otoskoo et ksv. Suhteellse frekvess pˆ = f / stdrdpokkem pq D( pˆ ) = kutsut tvllsest suhteellse frekvess keskvrheeks j se kuv suhteellse frekvess otosvhtelu om odotusrvos p ympärllä. Suhteellse frekvess otosjkum Keskesestä rj-rvoluseest seur, että suhteelle frekvess ˆp otoksess oudtt em. oletuste pätessä suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum: p pq ˆ N p, TKK @ Ilkk Mell (008) 5/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Tehtävä 8.1. () (b) Koe vlmst kuullker kuul, jode hlksjt vhtelevt stusest oudtte ormljkum prmetre µ = 10 mm, = 0.01 mm Pomt kuule joukost ykskerte stusotos, jok koko = 10 j olkoot X j s kuule hlksjode rtmeette keskrvo j otosvrss otoksess. Mtkä ovt rtmeettse keskrvo X j otosvrss s muuokse ( 1)s / jkumt otoksess? Ääestäjstä 5 % ktt puoluett ABC. Pomt ääestäje joukost ykskerte stusotos, jok koko = 1000. Mkä o puoluee ABC kttje suhteellse osuude f/ pproksmtve jkum otoksess? Tehtävä 8.1. Mtä opmme? Tehtävä ()-kohdss trkstell rtmeettse keskrvo j otosvrss otosjkum. Tehtävä (b)-kohdss trkstell suhteellse osuude (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.1. Rtksu: () Oletukse muk hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss = 10 µ = 10 mm = 0.01 mm = 0.0001 mm Ste kuule hlksjode rtmeette keskrvo X oudtt otoksess ormljkum N(µ, /), joss µ = E( X ) = 10 mm 0.0001 = Vr( X) = D ( X) = = 0.00001 mm 10 Olkoo s kuule hlksjode vrss otoksess. Tällö stusmuuttuj ( 1) s / oudtt otoksess χ -jkum vpusste 1 = 10 1 = 9 (b) Olkoo A = stusest vlttu ääestäjä ktt puoluett ABC Oletukse muk Pr(A) = p = 0.5 Pomt ääestäje joukost ykskerte stusotos, jok koko o = 1000. TKK @ Ilkk Mell (008) 6/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Puoluett ABC kttve ääestäje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum: p pq ˆ N p, joss ss p = Pr(A) = 0.5 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.75 Ste puoluee ABC kttje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum prmetre E( pˆ ) = p= 0.5 pˆ pq 0.5 0.75 0.1875 = pˆ = = = = 1000 1000 Vr( ) D ( ) 0.0001875 Tehtävä 8.. () (b) Meste ptuus eräässä mss vhtelee stusest oudtte ormljkum prmetre µ = 180 cm, = 5 cm Pomt meste joukost ykskerte stusotos, jok koko = 100 j olkoot X j s ptuukse rtmeette keskrvo j otosvrss otoksess. Mtkä ovt rtmeettse keskrvo X j otosvrss s muuokse ( 1)s / jkumt otoksess? Koee vlmstmst mutterest 5 % o vlls. Pomt mutterede joukost ykskerte stusotos, jok koko = 100. Mkä o vllste mutterede suhteellse osuude f/ pproksmtve jkum otoksess? Tehtävä 8.. Mtä opmme? Tehtävä ()-kohdss trkstell rtmeettse keskrvo j otosvrss otosjkum. Tehtävä (b)-kohdss trkstell suhteellse osuude (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.. Rtksu: () Oletukse muk hvot X 1, X,, X muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss = 100 µ = 185 cm = 5 cm = 5 cm TKK @ Ilkk Mell (008) 7/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Ste meste ptuukse rtmeette keskrvo X oudtt otoksess ormljkum N(µ, /), joss µ = E( X ) = 185 cm 5 = Vr( X) = D ( X) = = 0.5 cm 100 Olkoo s meste ptuukse vrss otoksess. Tällö stusmuuttuj ( 1)s / oudtt otoksess χ -jkum vpusste 1 = 100 1 = 99 (b) Olkoo A = stusest vlttu mutter o vlle Oletukse muk Pr(A) = p = 0.05 Pomt muuterede joukost ykskerte stusotos, jok koko o = 100. Vllste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum: p pq ˆ N p, joss ss p = Pr(A) = 0.05 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.95 Ste vllste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksess oudtt suurss otoksss pproksmtvsest ormljkum prmetre E( pˆ ) = p= 0.05 ksv. pˆ pq 0.05 0.95 0.0475 = pˆ = = = = 100 100 Vr( ) D ( ) 0.000475 Huomutuks tehtäv 8.1. j 8..: () () Tehtäve 8.1. j 8.. de o kerto stä, mlls ovt tvomste hvost lskettve otostuuslukuje jkumt perusjoukoss, jos hvtoje jkum perusjoukoss tuet. Jtkmme tehtävssä 8.3.-8.9. tvllsmpe otostuuslukuje omsuuks tutkmst. Otostuuslukuje jkum koskevt tulokset ovt sä melessä epäopertols, että jkume prmetrej e yleesä tuet. TKK @ Ilkk Mell (008) 8/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset () Jos hvtoje jkum prmetrej e tuet, e vod pyrkä estmom el rvom otoksest stuje tetoje perusteell; ks. luku Tlstollste mlle prmetre estmot. (v) Perusjouko prmetre rvost tehtyjä oletuks vod pyrkä testm tlstollsest otoksest stuje tetoje perusteell; ks. luku Tlstollste hypoteese testus. (v) Myös perusjouko jkum tyyppä koskev oletuks vod pyrkä testm tlstollsest otoksest stuje tetoje perusteell; ks. luku Yhteesopvuude, homogeesuude j rppumttomuude testme. Tehtävä 8.3. Olkoot X, = 1,,, rppumttom ormljkutuet stusmuuttuj, jode odotusrvo E(X ) = µ j vrss Vr(X ) = j trkstell seurv todeäkösyyksä: (1) Pr(X > µ + ) () Pr(X 1 + X + + X > (µ + )) (3) Pr( X > µ + ) () Määrää todeäkösyys (1). (b) Todst, että todeäkösyys () o peemp ku todeäkösyys (1), jos >1. (c) Todst, että todeäkösyys () peeee, ku +. (d) Todst, että todeäkösyys (3) o sm ku todeäkösyys (). (e) Määrää todeäkösyys (), ku = 10. Tehtävä 8.3. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell rppumttom stusmuuttuj, jotk oudttvt sm ormljkum j vertll yksttäse muuttuj, muuttuje summ j muuttuje rtmeettse keskrvo jkum. Tehtävä 8.3. Rtksu: Oletukse muk X1, X,, X X N( µ, ), = 1,,, () Helpost ähdää, että X µ Pr( X > µ + ) = Pr > 1 = Pr( Z > 1) joss stdrdotu stusmuuttuj TKK @ Ilkk Mell (008) 9/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset X E( X) X µ Z = = D( X ) oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk Pr( Z 1) = 0.8413 jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 1) = 1 Pr( Z 1) = 0.1587 (b)&(c) Olkoo Y = X = 1 Tällö E(Y) = µ Kosk stusmuuttujt X, = 1,,, o oletettu rppumttomks, Vr(Y) = D (Y) = Ste kklle > 1 pätee Pr( ( )) Pr Y µ Y > µ + = > = Pr( Z > ) < Pr( Z > 1) joss stdrdotu stusmuuttuj Y E( Y) Y µ Z = = D( Y ) oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Todeäkösyydet Pr( Z > ) muodostvt dost väheevä lukujoo, jos + (d) (e) Tulos o trvlst sm ku kohdss (c), kosk Pr( X > µ + ) = Pr( Y > ( µ + )) Jos = 10, (c)-kohdst seur, että TKK @ Ilkk Mell (008) 10/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Pr( X1+ X + + X > ( µ + )) = Pr( Y > 10( µ + )) = Pr( Z > 10) = Pr( Z > 3.16) joss stdrdotu stusmuuttuj Y E( Y) Y µ Y 10µ Z = = = D( Y ) 10 oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk Pr( Z 3.16) = 0.999 jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 3.16) = 1 Pr( Z 3.16) = 0.0008 Tehtävä 8.4. Oletet, että hvot X, = 1,,, 100 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(1,4). Määrää todeäkösyys, että hvtoje rtmeette keskrvo X s suuremp rvoj ku 1.1. Tehtävä 8.4. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell rtmeettse keskrvo otosjkum. Tehtävä 8.4. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 100 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 1 = 4 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 100 rtmeette keskrvo 100 1 1 X = X = X = 1 100 = 1 Oletuksst seur, että stusmuuttuj X oudtt ormljkum prmetre µ j / : joss ss X N µ, TKK @ Ilkk Mell (008) 11/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset µ = 1 4 1 = = = 0.04 100 5 Tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr( X > 1.1) Selväst X µ 1.1 µ 1.1 1 Pr( X > 1.1) = Pr > = Pr Z > = Pr Z > 0.5 / / / 100 joss stdrdotu stusmuuttuj X E( X) X µ Z = = D( X ) / oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) ( ) Normljkum tulukode muk Pr(Z 0.5) = 0.6915 jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( X > 1.1) = Pr( Z > 0.5) = 1 Pr( Z 0.5) = 1 0.6915 = 0.3085 Tehtävä 8.5. Oletet, että suomlste meste ptuus o ormljkutuut prmetre µ = 175 cm j = 5 cm. Pomt meste joukost ykskerte stusotos, jok koko o 100. Määrää lukurvo, jot suuremp rvoj hvtoje rtmeette keskrvo s todeäkösyydellä 0.01. Tehtävä 8.5. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell rtmeettse keskrvo otosjkum. Tehtävä 8.5. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 100 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 175 = 5 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 100 rtmeette keskrvo 100 1 1 X = X = X = 1 100 = 1 TKK @ Ilkk Mell (008) 1/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Oletuksst seur, että stusmuuttuj X oudtt ormljkum prmetre µ j / : X joss ss X N µ, µ = 175 5 1 = = = 0.5 100 4 Tehtävää o määrätä lukurvo, jot suuremp rvoj hvtoje rtmeette keskrvo s todeäkösyydellä 0.01. Kosk X N µ, stdrdotu stusmuuttuj X E( X) X µ Z = = D( X ) / oudtt stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukost äemme, että Pr(Z.33) = 0.9901 0.99 Komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk Pr(Z >.33) = 1 Pr(Z.33) 1 0.99 = 0.01 Smme ste epäyhtälö X µ Z = >.33 / jost rtmeettselle keskrvolle sd ehto 5 X > µ +.33 = 175 +.33 = 176.165 100 Ste Pr( X 176.165) = 0.01 Tehtävä 8.6. TKK @ Ilkk Mell (008) 13/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Oletet, että hvot X, = 1,,, 101 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(1,4). Määrää lukurvo, jot peempä rvoj hvtoje otosvrss s todeäkösyydellä 0.01. Tehtävä 8.6. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell otosvrss otosjkum. Tehtävä 8.6. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 101 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 1 = 4 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 101 rtmeette keskrvo 101 1 1 X = X = X = 1 101 = 1 j otosvrss s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = 1 100 = 1 Oletuksst seur, että stusmuuttuj ( 1) s V = joss = 4 = 101 oudtt χ -jkum vpusste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukurvo, jok erott χ -jkum vsemmlle häälle todeäkösyysmss, jok koko o 0.01. χ -jkum tulukost ähdää suor, että Pr(V 70.065) = 0.01 ku Kosk V χ (100) ( 1) s 100s V = = = 5s 4 smme epäyhtälö TKK @ Ilkk Mell (008) 14/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset 5s 70.065 jost otosvrsslle s sd ehto Ste s.803 Pr( s.803) = 0.01 Tehtävä 8.7. Oletet, että suomlste meste ptuus o ormljkutuut prmetre µ = 175 cm j = 5 cm. Pomt meste joukost ykskerte stusotos, jok koko o 101. Määrää lukurvo, jot suuremp rvoj otosvrss s todeäkösyydellä 0.01. Tehtävä 8.7. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell otosvrss otosjkum. Tehtävä 8.7. Rtksu: Oletet, että hvot X, = 1,,, 101 muodostvt ykskertse stusotokse ormljkumst N(µ, ), joss µ = 175 = 5 Olkoo hvtoje X, = 1,,, 101 rtmeette keskrvo 101 1 1 X = X = X = 1 101 = 1 j otosvrss s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = 1 100 = 1 Oletuksst seur, että stusmuuttuj ( 1) s V = joss = 5 = 101 oudtt χ -jkum vpusste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukurvo, jok erott χ -jkum okelle häälle todeäkösyysmss, jok koko o 0.01: TKK @ Ilkk Mell (008) 15/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset χ -jkum tulukost ähdää suor, että Pr(V 135.807) = 0.01 ku Kosk V χ (100) ( 1) s 100s V = = = 4s 5 smme epäyhtälö 4s 135.807 jost otosvrsslle s sd ehto Ste s 33.9518 Pr( s 33.9518) = 0.01 Tehtävä 8.8. Oletetet, että teemme 100 tosst rppumtot Beroull-koett, joss kostukse kohtee olev tphtum A todeäkösyys o 0.. Määrää todeäkösyys, että tphtum A suhteelle frekvess tostoje joukoss o suuremp ku 10. Tehtävä 8.8. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell suhteellse frekvess (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.8. Rtksu: Olkoo f = tphtum A frekvess tostoje joukoss f pˆ = = tphtume A suhteelle frekvess tostoje joukoss = tostoje lukumäärä Kosk tostoje lukumäärä = 100 o äk suur, vomme melko hyv pproksmod suhteellse frekvess ˆp ottjkum ormljkumll: joss p pq ˆ N p, p = 0. q = 1 p = 0.8 = 100 TKK @ Ilkk Mell (008) 16/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Ste stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ oudtt pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Kosk 10 1 = = 0.1 100 10 tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr ( p ˆ > 0.1) Selväst pˆ p 0.1 p 0.1 0. Pr( pˆ > 0.1) = Pr > = Pr Z > = Pr Z >.5 pq / pq / 0. 0.8/100 joss stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ ( ) oudtt ss pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk Pr(Z.5) = 0.006 jote komplemetttphtum todeäkösyyde kv muk kysytty todeäkösyys o Pr( pˆ > 0.1) = Pr( Z >.5) = 1 Pr( Z.5) = 1 0.006 = 0.9938 Tehtävä 8.9. Oletet, että 30 % suomlsst ktt NATO:o lttymstä. Pomt suomlste joukost ykskerte stusotos, jok koko o 100. Määrää todeäkösyys, että NATO: kttje suhteelle osuus otoksess o peemp ku 0 %. Tehtävä 8.9. Mtä opmme? Tehtävässä trkstell suhteellse frekvess (pproksmtvst) otosjkum. Tehtävä 8.9. Rtksu: Olkoo f = NATO: kttje frekvess otoksess f pˆ = = NATO: kttje suhteelle frekvess otoksess TKK @ Ilkk Mell (008) 17/18
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset = otoskoko Kosk otoskoko = 100 o melko suur, vomme melko hyv pproksmod suhteellse frekvess ˆp otosjkum ormljkumll: joss p pq ˆ N p, p = 0.3 q = 1 p = 0.7 = 100 Ste stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ oudtt pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Tehtävää o määrätä todeäkösyys Selväst Pr( p ˆ < 0.0) pˆ p 0.0 p Pr( pˆ < 0.0) = Pr < pq/ pq/ 0. 0.3 = Pr Z < 0.3 0.7 /100 = Pr <.18 ( Z ) joss ss stdrdotu stusmuuttuj pˆ E(ˆ) p pˆ p Z = = D( pˆ ) pq/ oudtt pproksmtvsest stdrdotu ormljkum: Z N(0,1) Normljkum tulukode muk kysytty todeäkösyys o Pr(Z.18) = 0.0146 TKK @ Ilkk Mell (008) 18/18