Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Transkriptio

1 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

2 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman otoksen F-testi variansseille Suhteellisen osuuden testaus Suhteellisten frekvenssien vertailutesti Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

3 Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille 1/3 Oletetaan, että X 1,..., X n riippumattomia ja Nollahypoteesi: Vaihtoehtoiset hypoteesit: X i N(µ, σ 2 ), i = 1, 2,..., n. H 1 : σ 2 > σ 2 0 H 1 : σ 2 < σ 2 0 H 0 : σ 2 = σ 2 0. } (yksisuuntaiset), tai H 1 : σ 2 σ 2 0 (kaksisuuntainen). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

4 Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille 2/3 Olkoot X = 1 n n i=1 X i ja s 2 = 1 n 1 n (X i X ) 2 tavanomaiset harhattomat estimaattorit parametreille µ ja σ 2. Määritellään χ 2 -testisuure i=1 χ 2 = (n 1)s2 σ0 2, joka nollahypoteesin pätiessä noudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastein (n 1), eli χ 2 χ 2 (n 1). Valitaan merkitsetvyystasoksi α. Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

5 Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille 3/3 Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : σ 2 > σ0 2, niin kriittinen arvo saadaan ehdosta Pr(χ 2 χ 2 α) = α. Testin hylkäysalue on muotoa (χ 2 α, + ). Vastaavasti, jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : σ 2 < σ 2 0, niin kriittinen arvo χ 2 1 α saadaan ehdosta Pr(χ2 χ 2 α 1 ) = α ja hylkäysalue on muotoa (0, χ 2 1 α ). Kaksisuuntaisessa tapauksessa H 1 : σ 2 σ 2 0 kriittiset arvot χ2 1 α/2 ja χ 2 α/2 saadaan ehdoista Pr(χ 2 χ 2 1 α/2 ) = Pr(χ2 χ 2 α/2 ) = α/2 ja hylkäysalue on muotoa (0, χ 2 1 α/2 ) (χ2 α/2, + ). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

6 Esimerkki Herkkiä teknisiä laitteita sisältävässä tilassa ilman suhteellisen kosteuden tulisi pysyä mahdollisimman tarkaan vakiona 45% ja hajonnan saisi olla korkeintaan 3%. Tutkitaan, täyttykö hajonnalle asetettu vaatimus merkitsevyystasolla 0.05, kun mitatut suhteelliset kosteudet ovat Oletetaan ilman kosteus normaalijakautuneeksi ja asetetaan nollahypoteesiksi oletus, että kosteus vaihtelee sallituissa rajoissa. Siis H 0 : σ 3, H 1 : σ > 3. Otoskeskihajonta s = ja otoskoko n = 14, joten χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 = > = χ Testin tulos on selvästi hylkäysalueella, joten kosteuden säätöä on syytä parantaa. Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

7 Kahden riippumattoman otoksen F-testi variansseille 1/3 Olkoot X i N(µ 1, σ1 2) ja Y j N(µ 2, σ2 2 ), missä i = 1,..., m ja j = 1,..., n. Oletetaan, että havainnot X i, Y j ovat riippumattomia kaikilla i, j. Nollahypoteesi σ 1 = σ 2 = σ. Vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : σ 2 1 > σ2 2 H 1 : σ 2 1 < σ2 2 } (yksisuuntaiset), tai H 1 : σ 2 1 σ 2 2 (kaksisuuntainen). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

8 Kahden riippumattoman otoksen F-testi variansseille 2/3 Määritellään F-testisuure F = s2 X sy 2, missä s X (vast. s Y ) on havaintojen X i (vast. Y j ) harhaton otosvarianssi. Nollahypoteesin pätiessä testisuure F noudattaa F-jakaumaa vapausastein m 1 ja n 1, eli F F (m 1, n 1). Valitaan merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : σ1 2 > σ2 2, niin kriittinen arvo F α saadaan ehdosta Pr(F F α ) = α. Testin hylkäysalue on muotoa (F α, + ). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

9 Kahden riippumattoman otoksen F-testi variansseille 3/3 Vastaavasti, jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : σ 2 1 < σ2 2, niin kriittinen arvo F 1 α saadaan ehdosta Pr(F F 1 α ) = α ja hylkäysalue on muotoa (0, F 1 α ). Kaksisuuntaisessa tapauksessa vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : σ 2 1 σ2 2 ja kriittiset arvot F 1 α/2 ja F α/2 saadaan ehdoista Pr(F F 1 α/2 ) = Pr(F F α/2 ) = α/2 ja hylkäysalue on muotoa (0, F 1 α/2 ) (F α/2, + ). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

10 Esimerkki (Niemi) 1/3 Tutkittiin, onko kahden eri valmistajan katalysaattoreilla eroa. Valittiin kokeeseen 32 samanmerkkistä ja mallista autoa. Näistä valittiin umpimähkään 16 autoa, joihin asennettiin valmistajan A katalysaattori, loppuihin valmistajan B. Autoja käytetiin samanlaisissa olosuhteissa ja mitattiin pakokaasun häkäpitoisuus. Tulokset olivat: A B Oletetaan häkäpitoisuus normaalijakautuneeksi ja testataan, ovatko valmistajien A ja B katalysaattoreiden suodattamien pakokaasujen häkäpitoisuuksien keskiarvot samat vai eivät. Testataan aluksi, ovatko häkäpitoisuuksien hajonnat samat. Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

11 Esimerkki (Niemi) 2/3 Testissä H 0 : σ 1 = σ 2 ja H 1 : σ 1 σ 2. Valitaan α = Otoshajonnat ovat s A = ja s B = Testimuuttuja F = = 1.68 ja kriittiset arvot F (15, 15) = 2.86 ja F (15, 15) = 1/F (15, 15) = Hajontoja siis voidaan pitää yhtäsuurina. Tätä voisi perustella myös sillä, että testiin valitut autot olivat samanlaisia. Tutkitaan seuraavaksi merkitsevyystasolla 0.01, onko häkäpitoisuuksissa eroja. Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

12 Esimerkki (Niemi) 3/3 Nyt H 0 : µ A µ B = 0 ja H 1 : µ A µ B 0. Otoskeskiarvot ovat x A = ja x B = Saadaan (16 1) s p = 2 + (16 1) = Testisuureen arvo t 0 = x A x B = s p 1/nA + 1/n B /16 = Kriittinen arvo t (30) = 2.750, joten nollahypoteesi jää voimaan. Ei ole riittävää näyttöä sille, että valmistajien A ja B katalysaattoreissa olisi eroa. Tulos on kuitenkin melko lähellä hylkäämisrajaa, ja nollahypoteesi olisi hylätty merkitsevyystasolla Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

13 Suhteellisen osuuden testaus 1/3 Olkoon A tapahtuma ja X i, i = 1, 2,..., n satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta, jossa p = Pr(A). Oletetaan, että X 1,..., X n ovat riippumattomia ja X i Bernoulli(p). Nollahypoteesti H 0 : p = p 0. Vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 } (yksisuuntaiset), tai H 1 : p p 0 (kaksisuuntainen). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

14 Suhteellisen osuuden testaus 2/3 Olkoon ˆp = 1 n n X j = f /n, i=1 missä f on tapahtuman A frekvenssi otoksessa ja f /n on suhteellinen frekvenssi. Määritellään Z-testisuure Z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 )/n. Jos nollahypoteesi H 0 : p = p 0 on tosi, niin Z noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1). Vrt. esimerkki viime viikon luennoissa. Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos nˆp 10 ja n(1 ˆp) 10. Valitaan merkitsevyystasoksi α. Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

15 Suhteellisen osuuden testaus 3/3 Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : p > p 0, niin kriittinen arvo +z α saadaan ehdosta Pr(Z +z α ) = α. Testin hylkäysalue on muotoa (+z α, + ). Vastaavasti, jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : p < p 0, niin kriittinen arvo z α saadaan ehdosta Pr(Z z α ) = α ja hylkäysalue on muotoa (, z α ). Kaksisuuntaisessa tapauksessa H 1 : p p 0 kriittiset arvot z α/2 ja +z α/2 saadaan ehdoista Pr(Z z 2 α/2 = Pr(Z +z α/2) = α/2 ja hylkäysalue on muotoa (, z α/2 ) (+z α/2, + ). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

16 Suhteellisten frekvenssien vertailutesti 1/4 Olkoon A tapahtuma ja X ik, i = 1, 2,..., n k, k = 1, 2 satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta, jossa p k = Pr(A). Oletetaan, että X 1k,..., X nk k ovat riippumattomia ja X ik Bernoulli(p k ), i = 1,..., n k, k = 1, 2. Nollahypoteesti H 0 : p 1 = p 2 = p. Vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : p 1 > p 2 H 1 : p 1 < p 2 } (yksisuuntaiset), tai H 1 : p 1 p 2 (kaksisuuntainen). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

17 Suhteellisten frekvenssien vertailutesti 2/4 Olkoon n k ˆp = 1 X j = f k /n k, n k missä f k on tapahtuman A frekvenssi otoksessa k ja f k /n k on suhteellinen frekvenssi. Nyt n k i=1 f k = X ik Bin(n k, p k ), k = 1, 2. i=1 Jos nollahypoteesi H 0 : p 1 = p 2 = p pätee, otokset voidaan yhdistää ja parametrin p harhaton estimaattori ˆp on ˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 n 1 + n 2 = f 1 + f 2 n 1 + n 2. Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

18 Suhteellisten frekvenssien vertailutesti 3/4 Määritellään Z-testisuure Z = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp)(1/n1 + 1/n 2 ). Jos nollahypoteesi H 0 : p 1 = p 2 = p on tosi, niin Z noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1). Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n k ˆp k 5 ja n k (1 ˆp k ) 5. Valitaan merkitsevyystasoksi α. Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : p 1 > p 2, niin kriittinen arvo +z α saadaan ehdosta Pr(Z +z α ) = α. Testin hylkäysalue on muotoa (+z α, + ). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19

19 Suhteellisten frekvenssien vertailutesti 4/4 Vastaavasti, jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : p 1 < p 2, niin kriittinen arvo z α saadaan ehdosta Pr(Z z α ) = α ja hylkäysalue on muotoa (, z α ). Kaksisuuntaisessa tapauksessa H 1 : p 1 p 2 kriittiset arvot z α/2 ja +z α/2 saadaan ehdoista Pr(Z z α/2 ) = Pr(Z +z α/2 ) = α/2 ja hylkäysalue on muotoa (, z α/2 ) (+z α/2, + ). Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta / 19