7 SISÄLLYSLUETTELO Alkulause 5 Sisällysluettelo 7 Kirjallisuusluettelo 12 KINEMATIIKKA 1 JOHDANTO 15 1.1 Kinematiikan tehtävä 15 1.2 Historiallista taustaa 17 2 PARTIKKELIN KINEMATIIKKA 19 2.1 Suoraviivainen liike 19 2.1.1 Hetkellinen nopeus ja kiihtyvyys 19 2.1.2 Tasainen ja tasaisesti kiihtyvä liike 25 2.2 Käyräviivainen liike 27 2.2.1 Hetkellinen nopeus- ja kiihtyvyysvektori 27 2.2.2 Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit ratakoordinaatistossa 30 2.2.3 Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit radan radiaalikoordinaatistossa 37 2.2.4 Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit kiinteässä koordinaatistossa 43 2.2.5 Ympyräliike 49 2.3 Partikkelin harmoninen värähdysliike 51 2.4 Partikkelien kytketty liike 54 2.5 Harjoitustehtäviä 57 3 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOLIIKE 69 3.1 Tasoliikkeen lajit 69 3.2 Translaatio 71 3.3 Rotaatio 72 3.4 Yleinen tasoliike 77 3.4.1 Yleisen tasoliikkeen kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys 77 3.4.2 Yleisen tasoliikkeen nopeus- ja kiihtyvyysvektori 81 3.4.3 Hetkellinen nopeusnapa 91 3.4.4 Liukumatta vierivän pyörän kinematiikka 95 3.4.5 Kinemaattisten vektoriyhtälöiden ratkaiseminen 98 3.5 Harjoitustehtäviä 101 Sivu
8 *4 JÄYKÄN KAPPALEEN AVARUUSLIIKE 111 4.1 Yleistä 111 4.1.1 Kappaleen liikelajit 111 4.1.2 Jäykän kappaleen vapausasteiden lukumäärä avaruudessa 112 4.2 Kappaleen avaruustranslaatio 114 4.3 Kappaleen palloliike 114 4.3.1 EULERin kulmat 114 4.3.2 EULERin lause 115 4.3.3 Rotaatiokaava 117 4.3.4 Kappaleen kulmanopeusvektori 119 4.3.5 Kappaleen kulmakiihtyvyysvektori 123 4.3.6 Palloliikkeen kiinteä ja liikkuva napakartio 123 4.3.7 Hetkellinen nopeus- ja kiihtyvyysvektori 126 4.4 Jäykän kappaleen yleinen liike avaruudessa 127 4.4.1 Hetkellinen kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys 127 4.4.2 Hetkellinen nopeus- ja kiihtyvyysvektori 129 4.5 Sauvan ohjatun avaruusliikkeen kinematiikka 131 4.5.1 Pallonivelkiinnitys 131 4.5.2 Haarukkakiinnitys 134 4.6 Harjoitustehtäviä 137 5 PARTIKKELIN JA JÄYKÄN KAPPALEEN RELATIIVINEN LIIKE 141 5.1 Relatiivinen liike 141 5.2 Partikkelin relatiivinen liike 142 5.2.1 Partikkelin liike translaatiossa olevassa koordinaatistossa 142 5.2.2 POISSONin yhtälöt 145 5.2.3 Partikkelin liike mielivaltaisesti liikkuvan kappaleen suhteen 147 5.2.4 Partikkelin kuljetuspiste, kuljetusnopeus ja kuljetuskiihtyvyys 150 5.2.5 Partikkelin liike rotaatiossa olevassa koordinaatistossa 157 5.3 Kappalesysteemin relatiivisen liikkeen kinematiikka 159 5.3.1 Kappaleiden pyörimisliikkeiden yhdistäminen 159 5.3.2 Kappaleen liike liikkuvassa koordinaatistossa 167 5.3.3 Kappalesysteemin kinemaattiset suureet. Yhteenveto 170 5.4 Harjoitustehtäviä 175
9 KINETIIKKA 6 JOHDANTO 185 6.1 Kinetiikan tehtävä 185 6.2 Mekaniikan teoria 186 6.3 Mekaniikan peruskäsitteet 187 6.4 Mekaniikan perussuureet 188 6.5 Mekaniikan peruslait 189 6.6 Historiallista taustaa 193 7 PARTIKKELIN KINETIIKKA 195 7.1 Dynamiikan peruslaki 195 7.1.1 Levossa oleva koordinaatisto 195 7.1.2 Liikkeessä oleva koordinaatisto 195 7.1.3 Inertiaalijärjestelmän olemassaolo 203 7.1.4 Likimääräisiä inertiaalikoordinaatistoja 204 7.2 Työ- ja impulssilauseet 205 7.2.1 Yleistä 205 7.2.2 Voiman tekemä työ 206 7.2.3 Voiman teho ja hyötysuhde 214 7.2.4 Voimakentän potentiaalienergia 215 7.2.5 Liike-energia ja työlause 220 7.2.6 Mekaanisen energian säilymisen laki 222 7.2.7 Voiman impulssilauseet 225 7.2.8 Momentin impulssilauseet 229 *7.3 Partikkelin liike keskeiskentässä 232 7.3.1 Keskeiskentän ominaisuuksia 232 7.3.2 Keskeisliikkeen ominaisuuksia 233 7.3.3 Partikkelin rata keskeiskentässä 235 *7.4 Partikkelin liike gravitaatiokentässä 237 7.4.1 Satelliittien liike 237 7.4.2 Planeettojen liike. KEPLERin lait 245 7.4.3 Partikkelin liike lähellä maan pintaa 247 7.5 Harjoitustehtäviä 253 8 PARTIKKELISYSTEEMIN KINETIIKKA 265 8.1 Partikkelisysteemin liikeyhtälöt 265 8.1.1 Massakeskiön liikkeen lause 265 8.1.2 Liikemäärä ja liikemäärän momentti 269 8.2 Partikkelisysteemin impulssilauseet 274
10 8.3 Partikkelisysteemin työ- ja energia 276 *8.4 Kaksikappaleongelma gravitaatiokentässä 279 8.5 Harjoitustehtäviä 281 9 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA 285 9.1 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt 285 9.1.1 Massakeskiön liikkeen lause 285 9.1.2 Kappaleen hitausmomentti pisteen suhteen 286 9.1.3 Kappaleen rotaatioliikeyhtälö 288 9.2 Työ- ja energialauseet 295 9.3 Liikemäärä- ja impulssilauseet 300 9.3.1 Liikemäärä ja liikemäärän momentti 300 9.3.2 Voiman ja momentin impulssilauseet 302 9.4 Harjoitustehtäviä 307 *10 JÄYKÄN KAPPALEEN AVARUUSKINETIIKKA 317 10.1 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt 317 10.1.1 Liikemäärän momentin lauseke 317 10.1.2 Jäykän kappaleen EULERin liikeyhtälöt 321 10.1.3 Momenttiliikeyhtälö päähitauskoordinaatistossa 323 10.1.4 Pyörähdyssymmetrisen kappaleen liikeyhtälöt 327 10.1.5 Rotaatiossa olevan kappaleen tukireaktiot 331 10.2 Kappaleen työlauseet 335 10.3 Kappaleen impulssilauseet 338 10.4 Kappaleen hyrräliike 341 10.4.1 Hyrräliikkeen yleiset yhtälöt 341 10.4.2 Hyrrän pysyvä prekessioliike 343 10.4.3 Hyrrän momenttivapaa liike 345 10.4.4 Hyrräliikkeen teknisiä sovelluksia 346 10.4.5 Esimerkkejä hyrräliikkeestä 348 10.5 Harjoitustehtäviä 352 11 D`ALEMBERTIN PERIAATE 357 11.1 Hitausvoima-ajattelutapa 357 11.1.1 Partikkelin kuvitellut tasapainoyhtälöt 357 11.1.2 Liikeyhtälö liikkuvassa koordinaatistossa 359 11.1.3 Jäykän kappaleen tasoliike 360 11.1.4 Dynaamisten rasitusten laskeminen 365 11.2 Virtuaalisen työn periaate dynamiikassa 367
11 11.3 Harjoitustehtäviä 369 12 YHDEN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VÄRÄHTELY 373 12.1 Yleistä 373 12.2 Ominaisvärähtelyt 374 12.2.1 Vaimentamattomat ominaisvärähtelyt 374 12.2.2 Vaimennetut ominaisvärähtelyt 379 12.3 Dynaamisesti kuormitettu systeemi 385 12.3.1 Kuormitusten luokittelua 385 12.3.2 Vaimenemattomat pakkovärähtelyt 386 12.3.3 Vaimenevat pakkovärähtelyt 393 *12.4 Epäharmonisen jaksollisen herätteen vaste 400 *12.5 Jaksottoman herätteen vaste 403 12.5.1 Askelherätteen vaste 403 12.5.2 Impulssivaste 405 12.5.3 Yleinen jaksoton heräte 407 12.6 Harjoitustehtäviä 411 13 SYSÄYS 419 13.1 Yleistä. Sysäyskerroin 419 13.2 Keskeinen sysäys 421 13.2.1 Keskeinen suora sysäys 421 13.2.2 Kitkaton keskeinen vino sysäys 423 13.3 Kitkaton epäkeskeinen sysäys 425 13.4 Harjoitustehtäviä 430 14 AVOIMEN PARTIKKELISYSTEEMIN KINETIIKKA 433 14.1 Yleistä 433 14.1.1 Kontrollitilavuus 433 14.1.2 Virtasuureet 432 14.1.3 Kokoonpuristumattomuusehto. Jatkuvuusyhtälö 437 14.2 BERNOULLIn yhtälö virtaviivalla 440 14.3 Fluidin globaalit virtayhtälöt 444 14.3.1 Liikemäärävirtayhtälö 444 14.3.2 Liikemäärän momenttivirtayhtälö 446
12 14.3.3 Esimerkkejä 447 14.4 Suihkumoottori ja rakettimoottori 453 14.5 Harjoitustehtäviä 459 LIITE 1 KAPPALEEN MASSAN MOMENTIT 467 1 Massan momentit pisteen suhteen 467 2 Kappaleen massakeskiö 468 3 Hitausmomentit koordinaattiakselien suhteen 468 4 Hitausmatriisi ja päähitauskoordinaatisto 470 5 Esimerkki 471 6 Harjoitustehtäviä 473 7 Hitausmomenttitaulukot 475 HAKEMISTO 478 KIRJALLISUUSLUETTELO 1 Hannu Outinen, Dynamiikka. Kustannusyhtymä, Tampere, 1968. 2 Tapio Salmi, Mekaniikka 2, Kinematiikka. Kustannusyhtymä, Tampere, 1979. 3 Tapio Salmi, Mekaniikka 3, Kinetiikka. Kustannusyhtymä, Tampere, 1980. 4 Tapio Salmi, Teknillisen mekaniikan perusteet. 3. painos. Pressus Oy, Tampere, 2006 (2000). 5 Eero-Matti Salonen, Dynamiikka. Otakustantamo, Moniste 434, Espoo, 1980. 6 Max Sergelius, Erkki Niskanen, Teknillinen mekaniikka III. Dynamiikka. WSOY, Porvoo, 1954. 7 S., E., Stenij, Mekaniikan luennot. TKY, Luentomonisteita, Helsinki, 1947-1951. 8 Risto Arho, Avaruuslennon mekaniikan perusteet. TTKK, Opintomoniste 35, 1978. 9 F., Beer, E., R., Johnston Jr, Vector Mechanics for Engineers. Dynamics. 3 rd Ed., McGraw- Hill, Inc., New york, 1990 (1962). 10 J., L., Meriam, L., G., Kraige, Engineering Mechanics, vol 2, Dynamics. 5 th Ed., John Wiley& Sons, Inc., New York, 2003. 11 R., Hibbeler, Engineering Mechanics. 3 th SI-Ed., Prentice-Hall, Engl. Cliffs, 2004 (1974). 12 R., Soutas-Little, D., Inman, Engineering Mechanics, Dynamics. Prentice-Hall, Engl. Cliffs, New Jersey, 1999. 13 J., H., Williams Jr, Fundamentals of Applied Dynamics. John Wiley&Sons, Inc., New York, 1996. 14. W., Riley, L., Sturges, Engineering Mechanics, Dynamics. John Wiley&Sons, Inc., New York,
13 1993. 15. I., H., Shames, Engineering Mechanics, Dynamics. 4 th Ed., Prentice-Hall, Engl. Cliffs, New Jersey, 1997 (1958).