FYSIIKAN AIHEKOKONAISUUDET
|
|
- Jarkko Alanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LUENTO 1: KINEMATIIKAN JA LuK Riku Järvinen
2 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
3 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
4 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
5 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
6 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
7 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
8 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
9 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
10 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
11 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
12 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
13 SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
14 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
15 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA LÄHTÖKOHDAT j Klassinen mekaniikka toimii hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehittää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Tämä malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovat merkitybbksettömän pieniä. Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voidaan kuvailla. Erityistä huomiota kiinnitetään liikeyhtälöihin.
16 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA LÄHTÖKOHDAT Klassinen mekaniikka toimii hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehittää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. j Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Tämä malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovat merkitybbksettömän pieniä. Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voidaan kuvailla. Erityistä huomiota kiinnitetään liikeyhtälöihin.
17 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA LÄHTÖKOHDAT Klassinen mekaniikka toimii hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehittää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Tämä malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovat merkitybbksettömän pieniä. j Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voidaan kuvailla. Erityistä huomiota kiinnitetään liikeyhtälöihin.
18 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
19 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ j Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
20 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. j Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
21 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
22 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) j Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
23 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. j Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
24 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
25 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on j Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
26 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA j Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
27 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. j Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
28 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA j Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
29 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) j Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
30 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
31 TASAISEN LIIKKEEN KUVAAJIA KUVA: Tasainen liike (t, x)-koordinaatistossa.liikkuvan kappaleen vauhti on v k = 0, 5 m/s.
32 TASAISEN LIIKKEEN KUVAAJIA KUVA: Tasainen liike liike (t, v)-koordinaatistossa.
33 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä j Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, km/h 90 km/h
34 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu j Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, km/h 90 km/h
35 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. j Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, km/h 90 km/h
36 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, km/h 90 km/h
37 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, km/h 90 km/h
38 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, km/h 90 km/h
39 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
40 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MUUTTUVAN LIIKKEEN ERI TYYPIT j Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. Nyrkkisääntönä kannattaa muistaa, että suurin osa tutuista lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoastaan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle!! Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti kasvaa tai pienenee tasaisella muutosnopeudella.
41 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MUUTTUVAN LIIKKEEN ERI TYYPIT Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. j Nyrkkisääntönä kannattaa muistaa, että suurin osa tutuista lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoastaan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle!! Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti kasvaa tai pienenee tasaisella muutosnopeudella.
42 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MUUTTUVAN LIIKKEEN ERI TYYPIT Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. Nyrkkisääntönä kannattaa muistaa, että suurin osa tutuista lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoastaan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle!! j Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti kasvaa tai pienenee tasaisella muutosnopeudella.
43 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE j Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
44 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
45 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t j Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
46 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
47 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT j Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t at2 (7)
48 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t at2 (7)
49 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) j Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t at2 (7)
50 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. j Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t at2 (7)
51 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t at2 (7)
52 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE j Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
53 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. j Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
54 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. j Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
55 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
56 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
57 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t gt2 v(t) = v 0 + gt j Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
58 TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE GRAAFISESTI KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t,x)-koordinaatistossaesitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on a = 1 m/s 2.
59 TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE GRAAFISESTI KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, v)-koordinaatistossa, a = 1 m/s 2. KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t,x)-koordinaatistossaesitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on a = 1 m/s 2.
60 TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE GRAAFISESTI KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, v)-koordinaatistossa, a = 1 m/s 2. KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t,x)-koordinaatistossaesitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on a = 1 m/s 2. KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, a)-koordinaatistossa, a = 1 m/s 2.
61 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MIELIVALTAINEN MUUTTUVA LIIKE...? j Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät välttämättä päde. Ne pätevät jollakin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan sellaiseen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurin piirtein tasaista. Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinen kiihtyvyys.
62 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MIELIVALTAINEN MUUTTUVA LIIKE...? Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät välttämättä päde. j Ne pätevät jollakin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan sellaiseen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurin piirtein tasaista. Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinen kiihtyvyys.
63 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MIELIVALTAINEN MUUTTUVA LIIKE...? Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät välttämättä päde. Ne pätevät jollakin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan sellaiseen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurin piirtein tasaista. j Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinen kiihtyvyys.
64 HETKELLINEN NOPEUS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA j Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä t = t eli käyrän kulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä: v(t ) = dx(t) dt t=t (8) Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangenttisuora ja laskemalla suoran kulmakerroin.
65 HETKELLINEN NOPEUS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä t = t eli käyrän kulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä: v(t ) = dx(t) dt t=t (8) Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangenttisuora ja laskemalla suoran kulmakerroin.
66 HETKELLINEN NOPEUS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä t = t eli käyrän kulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä: v(t ) = dx(t) dt t=t (8) j Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangenttisuora ja laskemalla suoran kulmakerroin.
67 HETKELLISEN NOPEUDEN MÄÄRITTÄMINEN t x v(t) = x t t = T
68 HETKELLINEN KIIHTYVYYS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA j Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulmakerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. Koska derivaatan arvo voi muuttua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkelliseksi kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä: a(t ) = dv(t) dt t=t (9)
69 HETKELLINEN KIIHTYVYYS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulmakerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. j Koska derivaatan arvo voi muuttua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkelliseksi kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä: a(t ) = dv(t) dt t=t (9)
70 HETKELLINEN KIIHTYVYYS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulmakerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. Koska derivaatan arvo voi muuttua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkelliseksi kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä: a(t ) = dv(t) dt t=t (9)
71 HETKELLISEN KIIHTYVYYDEN MÄÄRITTÄMINEN a(t) = v t v t t = T
72 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
73 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MONIULOTTEINEN KINEMATIIKKA j Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudessa). Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Avaruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kuten pistetulo ja ristitulo. Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike.
74 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MONIULOTTEINEN KINEMATIIKKA Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudessa). j Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Avaruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kuten pistetulo ja ristitulo. Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike.
75 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MONIULOTTEINEN KINEMATIIKKA Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudessa). Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Avaruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kuten pistetulo ja ristitulo. j Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike.
76 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE OLETUKSET j Tämä on erittäin yksinkertaistettu malli luonnosta, sillä emme lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoon kulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus v 0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin komponentteihin siten, että v 0 = v x0 î + v y0 ĵ. Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselin suuntainen nopeuskomponentti vakiona eli a x = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike x-suunnassa.
77 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE OLETUKSET Tämä on erittäin yksinkertaistettu malli luonnosta, sillä emme lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. j Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoon kulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus v 0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin komponentteihin siten, että v 0 = v x0 î + v y0 ĵ. Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselin suuntainen nopeuskomponentti vakiona eli a x = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike x-suunnassa.
78 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE OLETUKSET Tämä on erittäin yksinkertaistettu malli luonnosta, sillä emme lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoon kulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus v 0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin komponentteihin siten, että v 0 = v x0 î + v y0 ĵ. j Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselin suuntainen nopeuskomponentti vakiona eli a x = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike x-suunnassa.
79 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT j Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
80 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
81 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) j Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
82 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
83 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) j Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
84 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
85 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
86 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS j Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
87 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
88 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) j Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
89 TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
90 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
91 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN j Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
92 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
93 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? j Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
94 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. j Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
95 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
96 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT VOIMA FYSIKAALISENA SUUREENA j Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. Voimat voidaan raa asti jakaa kahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevät kaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.
97 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT VOIMA FYSIKAALISENA SUUREENA Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. j Voimat voidaan raa asti jakaa kahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevät kaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.
98 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT VOIMA FYSIKAALISENA SUUREENA Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. Voimat voidaan raa asti jakaa kahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. j Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevät kaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.
99 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT HUOMATUKSIA NEWTONIN LAKEIHIN j Tässä yhteydessä pitää huomauttaa, että esitettävät säännöt, vaikka ne usein lakien nimellä kulkevatkin, eivät ehkä ole koko totuus. Newtonin mekaniikka on vain fysikaalinen malli, joka pätee tietyissä olosuhteissa jollakin tarkkuudella.
100 NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT HUOMATUKSIA NEWTONIN LAKEIHIN Tässä yhteydessä pitää huomauttaa, että esitettävät säännöt, vaikka ne usein lakien nimellä kulkevatkin, eivät ehkä ole koko totuus. j Newtonin mekaniikka on vain fysikaalinen malli, joka pätee tietyissä olosuhteissa jollakin tarkkuudella.
101 NEWTON 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Hiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisella nopeudella v (joka voi olla v = 0). Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme (3) kappaletta, voidaan tämä periaate lyhyesti kirjoittaa muodossa 3 F n = F1 + F2 + F3 = 0 (14) n=1
102 NEWTON 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Hiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisella nopeudella v (joka voi olla v = 0). j Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme (3) kappaletta, voidaan tämä periaate lyhyesti kirjoittaa muodossa 3 F n = F1 + F2 + F3 = 0 (14) n=1
103 NEWTON 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Hiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisella nopeudella v (joka voi olla v = 0). Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme (3) kappaletta, voidaan tämä periaate lyhyesti kirjoittaa muodossa 3 F n = F1 + F2 + F3 = 0 (14) n=1
104 NEWTON 2 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Jos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. Voima voidaan selvittää yhtälöstä F = m a (15) Yhtälössä (15) m on kappaleen massa, joka kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
105 NEWTON 2 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. j Voima voidaan selvittää yhtälöstä F = m a (15) Yhtälössä (15) m on kappaleen massa, joka kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
106 NEWTON 2 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. Voima voidaan selvittää yhtälöstä F = m a (15) j Yhtälössä (15) m on kappaleen massa, joka kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
107 NEWTON 2 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Oletetaan, että vaikuttavia voimia on esimerkiksi 3 kpl. Tällöin Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa: 3 F xn = ma x, n=1 3 F yn = ma y, n=1 3 F zn = ma z, (16) n=1 Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisessa suunnassa saadaan omat yhtälönsä, joita voidaan yrittää ratkaista. Joskus eri suunnat voivat olla relaatiossa toisiinsa, jolloin riippuvuus on luonnollisesti huomioitava laskuissa.
108 NEWTON 2 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Oletetaan, että vaikuttavia voimia on esimerkiksi 3 kpl. Tällöin Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa: 3 F xn = ma x, n=1 3 F yn = ma y, n=1 3 F zn = ma z, (16) n=1 Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisessa suunnassa saadaan omat yhtälönsä, joita voidaan yrittää ratkaista. Joskus eri suunnat voivat olla relaatiossa toisiinsa, jolloin riippuvuus on luonnollisesti huomioitava laskuissa.
109 NEWTON 2 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Oletetaan, että vaikuttavia voimia on esimerkiksi 3 kpl. Tällöin Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa: 3 F xn = ma x, n=1 3 F yn = ma y, n=1 3 F zn = ma z, (16) n=1 j Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisessa suunnassa saadaan omat yhtälönsä, joita voidaan yrittää ratkaista. Joskus eri suunnat voivat olla relaatiossa toisiinsa, jolloin riippuvuus on luonnollisesti huomioitava laskuissa.
110 NEWTON 3 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Jos kappale A kohdistaa voiman F AB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren mutta vastakkaissuuntaisen voiman FBA kappaleeseen A. Newtonin kolmatta lakia ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään: KYSYMYS Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summa ole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?
111 NEWTON 3 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos kappale A kohdistaa voiman F AB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren mutta vastakkaissuuntaisen voiman FBA kappaleeseen A. j Newtonin kolmatta lakia ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään: KYSYMYS Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summa ole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?
112 NEWTON 3 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos kappale A kohdistaa voiman F AB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren mutta vastakkaissuuntaisen voiman FBA kappaleeseen A. Newtonin kolmatta lakia ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään: KYSYMYS Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summa ole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?
113 NEWTON 3 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Jos edellinen kommentti olisi totta, niin mikään ei liikkuisi minnekään. Esimerkiksi minun painaessani tämän ohjaimen painiketta viidenkymmenen Newtonin voimalla, nappi kohdistaa minuun yhtä suuren voiman eikä hieno esitys etene. Mikä avuksi? Nyt tulee muistaa, että kappaleeseen kohdistuvien voimien kokonaisvaikutusta laskiessa tarkastellaan aina yhtä kappaletta. Newtonin kolmannessa laissa voimat kohdistuvat eri kappaleisiin, eli niitä molempia ei oteta huomioon, kun lasketaan yhteen kappaleeseen vaikuttavaa kokonaisvoimaa.
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotJakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.
Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotMekaniikkan jatkokurssi
Mekaniikkan jatkokurssi Tapio Hansson 16. joulukuuta 2018 Mekaniikan jatkokurssi Tämä materiaali on suunnattu lukion koulukohtaisen syventävän mekaniikan kurssin materiaaliksi. Kurssilla kerrataan lukion
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,
LisätiedotAUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,
AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotLiikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotLiike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä
Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotVUOROVAIKUTUS JA VOIMA
VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus
LisätiedotHuomaa, että 0 kitkakerroin 1. Aika harvoin kitka on tasan 0. Koska kitkakerroin 1, niin
Kun alat vetää jotain esinettä pitkin alustaa, huomaat, että tarvitaan tietty nollaa suurempi voima ennen kuin mainittu esine lähtee edes liikkeelle. Yleensä on vielä niin, että liikkeelle lähteminen vaatii
Lisätiedot5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =
TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotLiikemäärä ja voima 1
Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotPietarsaaren lukio Vesa Maanselkä
Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,
LisätiedotFYSIIKAN HARJOITUSKOE I Mekaniikka, 8. luokka
FYSIIKAN HARJOITUSKOE I Mekaniikka, 8. luokka Oppilaan nimi: Pisteet: / 77 p. Päiväys: Koealue: kpl 13-18, s. 91-130 1. SUUREET. Täydennä taulukon tiedot. suure suureen tunnus suureen yksikkö matka aika
LisätiedotFysiikka 1. Dynamiikka. Voima tunnus = Liike ja sen muutosten selittäminen Physics. [F] = 1N (newton)
Dynamiikka Liike ja sen muutosten selittäminen Miksi esineet liikkuvat? Physics Miksi paikallaan oleva 1 esine lähtee liikkeelle? Miksi liikkuva esine hidastaa ja pysähtyy? Dynamiikka käsittelee liiketilan
Lisätiedotv = Δs 12,5 km 5,0 km Δt 1,0 h 0,2 h 0,8 h = 9,375 km h 9 km h kaava 1p, matkanmuutos 1p, ajanmuutos 1p, sijoitus 1p, vastaus ja tarkkuus 1p
2. Pyöräilijä lähti Pietarsaaresta kohti Kokkolaa, jonne on matkaa 33 km. Hän asetti tavoitteeksi ajaa edestakaisen matkan keskinopeudella 24 km/h. Vastatuulen takia hän joutui käyttämään menomatkaan aikaa
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
LisätiedotAluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö
Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedot1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä
Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö.
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotVektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)
Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla
Lisätiedotmonissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
LisätiedotGravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike
Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotMatemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotMS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+
LisätiedotFysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus)
Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) 1) MEKANIIKKA Vuorovaikutus vuorovaikutuksessa kaksi kappaletta vaikuttaa toisiinsa ja vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa samanaikaisesti lajit: kosketus-/etä-
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotTehtävien ratkaisut. Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen FYSIIKKA 4. Liikkeen lait. Sanoma Pro Oy Helsinki
Tehtävien ratkaisut Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen FYSIIKKA 4 Liikkeen lait Sanoma Pro Oy Helsinki Sisällys Johdantotehtäviä... 4 1 Kappaleen liike... 6 2 Voima... 20 3 Energian
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotFYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen
FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN
LisätiedotSähköstaattisen potentiaalin laskeminen
Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa
Lisätiedot2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki
Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen
Lisätiedot4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta
LisätiedotFysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen)
1. Ylöspäin liikkuvan hissin, jonka massa on 480 kg, nopeus riippuu ajasta oheisen kuvion mukaisesti. Laske kannatinvaijeria jännittävä voima liikkeen eri vaiheissa. (YO, S 84) 0-4s: 4,9 kn, 4..10s: 4,7
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotHarjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio
Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan
LisätiedotHavainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!
Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
Lisätiedot:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotKERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1
KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen
LisätiedotKpl 2: Vuorovaikutus ja voima
Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Jos kaksi eri kappaletta vaikuttavat toisiinsa jollain tavalla, niiden välillä on vuorovaikutus Kahden kappaleen välinen vuorovaikutus saa aikaan kaksi vastakkaista voimaa,
LisätiedotMuunnokset ja mittayksiköt
Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
Lisätiedot3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio
3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot1.1 Funktion määritelmä
1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen
Lisätiedot