DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi"

Transkriptio

1 DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

2 LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille systeemeille Lagrangen liikeyhtälöiden johto Lagrangen formalismi II: Virtuaalinen työ ja Lagrangen liikeyhtälöiden johto. Virtuaalisen työn lausekkeen käytöstä dynamiikassa. Konservatiiviset systeemit, potentiaali-energia ja konservatiiviset voimat. Lagrangen funktio ja konservatiivisen systeemin liikeyhtälöt.

3 KERTAUS

4 KERTAUS: LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Lagrangen liikeyhtälöt N-partikkelin partikkelisysteemille, jolla n vapausastetta (hyvin samantyyppiset jäykälle kappaleelle): Ylestetyt koordinaatit: q j, j = 1, 2,..., n Paikkavektorit: r i = r i(q 1, q 2,..., q n), i = 1, 2,... N Yleistetty voima: Q j = Liike-energia: T = 1 2 Liikeyhtälöt: (F i + f i ) r i, m iṙ i ṙ i j = 1, 2,..., n d dt ( T q j ) T = Q j, j = 1, 2,..., n

5 KERTAUS: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKE Saadaan siis sivennettyä liike-energialle kolme varsin kompaktia esitystapaa A on mv. siirtopiste: A on massakeskipiste C: A on kiinteä piste (v A = 0): T = 1 2 mva va + mva (ω ρ AC) ωt J Aω T = 1 2 mv C v C ωt J C ω T = 1 2 ωt J A ω Siirtopiste A:n helpoimpiin LY:hin johtava valinta riippuu yleensä ongelmasta. Näitä systemaattisesti käyttämällä saadaan esitettyä systeemin liike-energia.

6 LF: YLEISTETYT KOORDINAATIT JA VAPAUSASTEET Yleistetyt koordinaatit q i ovat toisistaan riippumattomia ja määrittävät systeemin aseman yksikäsitteisesti rikkomatta sen kinemaattisia rajoitteita. Jos systeemissä on N partikkelia ja n vapausastetta voidaan sen partikkeleiden asema kuvata paikkavektoreilla N = 2 & n = 1 Oletus: pallonivel O:ssa r i = r i (q 1, q 2, q 3,..., q n, t) i = 1, 2, 3,..., N Huomaa tässä, että n ei ole välttämättä ole sama kuin N. Yleistyt koordinaatit voidaan valita usealla eri tavalla, mutta niiden lukumäärä on tietylle systeemille vakio. N = 1 & n = 3

7 LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT Virtuaalinen siirtymä on paikkavektorin variaatio yleistettyjen koordinaattien suhteen δr i = r i q 1 δq 1 + r i q 2 δq 2 + r i q 3 δq r i q n δq n = r i δq j Toisaalta virtuaalinen siirtymä voidaan kirjoittaa komponenttimuodossa kuten vektori δr i = δx i i + δy i j + δz i k = x i δq j i + y i δq j j + z i δq j k Kinemaattisesti luvalliset virtuaaliset siirtymät eivät riko tehtävän kinemaattisia rajoitteita differentiaalisen (hyvin pienen) siirtymän mielessä. Meille hyvä valinta. Kinemaattisesti luvattomat virtuaaliset siirtymät puolestaan rikkovat systeemin kinemaattisia rajoitteita. Voi käyttää esim. statiikan tehtävissä näppärästi. Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: esim. voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa (pikkasen abstrakti juttu).

8 LF: VIRTUAALINEN TYÖ Määritelmä: virtuaalinen työ δw saadaan N partikkelin systeemille yhtälöstä r i δw = K i δr i = K i δq j = K i r i }{{} Q j (määritelmä) δq j = Q j δq j Edellisillä kalvoilla todetusta seuraa: kinemaattisesti sallitussa virtuaalisessa siirtymässa rajoitevoiminen tekemä virtuaalinen työ häviää (Z i δr i Z i δr i = 0). g N g N δr N δr = 0 N δr 0 Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: esim. voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa (pikkasen abstrakti juttu). δr

9 DYNAMIIKKA II: L8: LAGRANGEN FORMALISMI II Arttu Polojärvi

10 OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Tuntee Lagrangen liikeyhtälöiden, liikelain f = ma ja virtuaalisen työn periaatteen väliset yhteydet (LY:iden johdon kaikkia yksityiskohtia ei tarvitse osata) Tietää kuinka määritellään konservatiivinen voima ja systeemi sekä kuinka muodostetaan yksinkertaisen systeemin potentiaali-energia. Osaa soveltaa Lagrangen funktiota yksinkertaisten konservatiivisten systeemien liikeyhtälöiden muodostamisessa.

11 LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖIDEN JOHTO

12 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Viime luennolla kirjoiteltiin liikelaki muotoon (sisältäen tässä myös rajoitevoimat) (K i m i a i ) δr i = 0 Edellisessä lausekkeessa voitaisiin vielä huomioida systeemin sisäiset voimat f i (K i + f i m ia i) δr i = 0 Määritellään sitten Ulkoinen, sisäinen ja hitausvoimien virtuaalinen työ δw ext = K i δr i δw int = f i δr i δw ine = m i a i δr i Sijoitetaan vaan nämä edelle liikelakiin: tulos virtuaalisen työn periaate δw ine + δw int + δw ext = 0,

13 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Edellä on esitetty liikeyhtälöille ekvivalentti esitysmuoto (virtuaalisen työn periaate) δw ine + δw int + δw ext = 0. Määritellään yleistetyt voimat (jaetaan tyypeittäin) ja saadaan kohta johdettua δw :ille δw ext = δw int = δw ine = Q ext j δq j, jossa Q ext j = Q int j δq j, jossa Q int j = Q ine j δq j, jossa Q ine j = K i r i f i ri m ia i ri = d dt ( dt d q j ) dt dq j Kun kaikki tämä sijoitetaan ensimmäiseen saadaan (tässä Q j sisältää Q ext j :n ja Q int j :n) [ ( ) d T T ] Q j δq j = 0 d ( ) T T Q j = 0 dt q j dt q j Lagrangen liikeyhtälöt saadaan virtuaalisen työn yhtälön manipuloinnin avulla.

14 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Aloitetaan puurtaminen δw ext :n ja δw int :n lausekkeista. Muistetaan määritelmä δr i = r i δq j, jossa r i = r i (q 1, q 2,..., q n ). Ulkoinen ja sisäinen virtuaalinen työ saadaan edellisen sivun muotoon sijoittelemalla δw ext r i = K i δr i = K i δq j = K i ri }{{} =Q ext j (määritelmä) δq j = Q ext j δq j δw int r i = f i δr i = f i δq j = f i ri }{{} =Q int j (määritelmä) δq j = Q int j δq j

15 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Johdetaan hankalin (tai vaan pisin) termi eli hitausvoimien tekemä virtuaalinen työ δw ine r i = m ia i δr i = m i r i δq j = m i r i ri }{{} =Q ine j (määritelmä) δq j = Q ine j δq j johon vielä edelleen pitäisi saada johdettua Q ine j :lle Lagrangen liikeyhtälöihin muoto Q ine j = d dt ( dt d q j ) dt dq j Lähtien liikkeelle määritelmästä voidaan tulon derivoimissäänön mukaan kirjoittaa Q ine j = m i r i ri = ( ) d m i ṙ i ri dt m i ṙ i d r i dt Pieni muistutus derivaatoista: r i derivaatta ajan suhteen saadaan ketjuderivoimalla ṙ i = dr i dt = n k=1 r i q k q k t + r i t = n k=1 r i q k + r i q k t

16 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Jotta päästäisiin eteenpäin, tarvitaan vielä pari aputulosta. Näistä ensimmäinen ṙ i = k=1 2 r i q k q k + 2 r i t = q k k=1 ( ri ) q k + t ( ri ) = d dt ja toinen (tässä kirjoita ṙ i auki ja huomioi q k / q j = 0 jos k j) ( ṙ i = n ) ( r i q k q j q j q k t + r i = n ) r i q k + r i t q j q k t Toisin sanoen Q ine j k=1 k=1 = r i :n lausekkeeseen voidaan siis sijoittaa aputuloksien yhteydet ( ) d ri = ṙi r i ja = ṙi dt q j Q ine j = = ( ) d m i ṙ i ri dt ( ) d m i ṙ i ṙi dt q j m i ṙ i d r i dt m iṙ i ṙi ( ri )

17 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Saatiin edellisellä sivulla ( ) Q ine d j = m i ṙ i ṙi m iṙ i ṙi dt q j joka sievenee edelleen muotoon Q ine j = ( [ ]) d 1 m i dt q j 2 ṙi ṙ i m i koska (tulon derivointi ja pistetulon vaihdannaisuus: a b = b a) [ ] 1 ṙi ṙi = 1 ( ) ṙi ṙ i + ṙ i ṙi = ṙ i ṙi q j 2 2 q j q j q j [ ] 1 2 ṙi ṙ i Huomioidaan vielä että ṙ i = v i ja että systeemin liike-energia (määritelmä) T = 1 2 m iv i v i ja järjestellään termit (derivointi-operaattorit summien eteen): Q ine j = d dt q j 1 mivi vi 2 jne. 1 2 mivi vi = d T T dt q j

18 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA LAGRANGEN LIIKEYHTÄLÖT Sijoitetaan edellä aukaistut δw ext, δw int ja δw ine virtuaalisen työn periaateeseen δw ext + δw int + δw ine = [ ( ) d T T ] Q j δq j = 0 dt q j Koska tässä δq j:t ovat mv. voidaan on summalausekkeen toteuduttava termeittäin! Eli: Virtuaalisen työn periaatteesta saadaan n kappaletta liikeyhtälöitä: ( ) d T T Q j = 0. dt q j Lagrangen liikeyhtälöt saadaan aukomalla virtuaalisen työn periaatteen termejä! Aina saman verran liikeyhtälöitä kuin systeemin yleistettyjä koordinaatteja! Todella tehokasta: T ja Q j määritelmien mukaan, sievennä, derivoi LY:t. Huomaathan: yleistetyt voimat Q j eivät ole vektoreita vaan skalaareita!

19 LF: VIRTUAALISESTA TYÖSTÄ JA YLEISTETYISTÄ VOIMISTA Erityisesti jäykkien kappaleiden tapauksessa usein on tehokasta käyttää yhtälöä δw ext = F i δr i + M i δθ i, jossa siis momentti tekee virtuaalista työtä virtuaalisen kulmanmuutoksen vuoksi. 6. Johda kuvassa esitetyn esitetyn sauvaheilurisysteemin potentiaalienergia sekä liikeyhtälö, Lagrangen kun liikeyhtälö, yleistettynä kunkoordinaattina yleistettynä koor- on Lagrangen kulma dinaattina θ. on Kierrejousen kulma. Kierrejousen (palauttava) (palauttava) momentti momentti M on M on suoraan verrannollinen kulmaan eli M = k, jossa suoraan verrannollinen kulmaan θ eli M = kθ, jossa k on jousivakio. Sauvan hitausmomentti massakeskipisteen suhteen on jousivakio. on I Sauvan hitausmomentti kierrejousen c = ml2 kiinnityspisteen suhteen. 12 on I = ml 2 /3. Vastaus: 1mL2 + k + mg L sin =0 3 2 Ratkaisu Katso myös esimerkki verkosta luennon alta! Vain painovoima ja jousivoima tekevät työtä ja molemmat ovat konservatiivisia. Systeemi on siis konservatiivinen. Potentiaalienergiaa varten tarvitaan jousen ja kappaleen

20 KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT

21 KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: ESIMERKKI Tutuin tapaus lienee gravitaatio ja potentiaalienergia: (x 2, y 2 ) (a) y Tällöin sen potentiaali- (b) g (x 1, y 1 ) x Kuvan partikkeli (massa m) siirtyy uuteen asemaan. energia kasvaa määrän V = mg(y 2 y 1 ) V (y) = mgy jossa on oletettu V = 0, kun y = 0. Huomataan, että V on vakio, siirtyi partikkeli mitä tahansa polkua pitkin (kuten esimerkiksi kuvan (a) ja (b) polku). Painovoiman partikkeliin aiheuttama voima F = mgj saadaan potentiaalienergian gradientista: F = V = V x i V y j V z k = mgj.

22 KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: GRADIENTTI Potentiaalin yhteydessä tullaan käyttämään gradienttioperaattoria ( nabla ): = x i + y j + z k. Gradientti siis operoi skalaariarvoiseen funktioon ja tuloksena on vektori. Esimerkki funktion nablauksesta: operoidaan skalaarifunktiota f :lla f(x, y, z) = ax 2 + bxy + cz 3 f = f x i + f y j + f z k = (2ax + by)i + bxj + 3cz2 k Edellä tämä jo nähtiin: potentiaalienergia V = mgy on skalaari ja toisaalta F = V = (mgy) x i (mgy) y j (mgy) k = mgj z

23 KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: MÄÄRITELMIÄ Voima F on konservatiivinen, jos on olemassa voiman vaikutuspisteen paikasta r riippuva potentiaali V (r 1, r 2,..., r N ) ja F saadaan V :n gradientista F = V = V x i V y j V z k ja yksityiskohtaisemmin voidaan kirjoittaa konservatiivisen voiman komponentit F x = V x i F y = V y j F z = V z k Konservatiivisen voiman systeemiin tekemä työ riippuu vain systeemin osien alku- ja loppupisteistä (katsotaan työtä ja V :tä vielä tarkemmin ensi luennolla). Ajatusmalli: systeemin potentiaalienergian V kasvaessa varastoidaan energiaa, joka voi muuttua liike-energiaksi (konservatiivisten voimien kautta). Muista myös että Lagrangen liikeyhtälössä r i = r i (q 1, q 2,..., q n ) ja näin ollen voidaankin kirjoittaav = V (q 1, q 2,..., q n). Konservatiivinen systeemi: kaikki systeemin voimat ovat konservatiivisia voimia.

24 KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: MÄÄRITELMIÄ Systeemin kokonaispotentiaalienergia on sen osien potentiaalienergioiden summa V = V jouset + V grav +... Partikkelin i (paikka r i = x ii + y ij + z ik) konservatiivisten voimien resultantti on F i = i V = V x i i V y i j V z i k, jossa i = x i i + y i j + z i k. Edellä i ottaa osittaisderivaatat koko systeemin V :stä i:n koordinaattien suhteen. Partikkelisysteemi gravitaatiokentässä: partikkeliin i vaikuttaa painovoima (oletus: y-akseli ylöspäin ja gravitaatio alaspäin, 0-taso kohdassa y = 0): F i = m i gj i:n pot.energia on mgy i ja siis F i = i mgy i Koko systeemin potentiaalienergia on varmaan helppo uskoa saatavan summana V = N m igy i ja myös F i = iv = i m igy i = imgy i

25 KONSERVATIIVISET VOIMAT JA SYSTEEMIT: ESIMERKKEJÄ Tyypillisimmät konservatiiviset voimat (meille täällä riittävät). Tyyppi Esimerkki Potentiaali Vakiovoimat: F = a xi + a yj V = ax by G = mgj (painovoima) V = mgy Jousivoimat : F = kxi (lin. jousi) V = (1/2)kx 2 Näissä on oletettu, että potentiaali on nolla, kun koordinaatti on nolla ( nollataso on kohdassa nolla ). Jousen voima riippuu sen pituuden l muutoksesta: suuntaa huomiomatta F = k( l) ja V = (1/2)k( l) 2. Tyypillisimmät epäkonservatiiviset voimat (me käytämme näitäkin). Tyyppi Esimerkki Huomioita Kitkavoimat: F = µn Voiman tekemä työ riippuu polusta Vaimennusvoimat: F = cẋ Ei riipu paikasta vaan nopeudesta

26 LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT

27 LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: MÄÄRITELMIÄ Konservatiiviselle systeemin liikeyhtälöt saadaan käyttäen Lagrangen funktiota Liike-energia: T = 1 2 m i ṙ i ṙ i Potentiaalienergia: V = V (q 1, q 2,..., q n ), j = 1, 2,..., n Lagrangen funktio: L = T V Liikeyhtälöt: Yleistetty voima: d dt ( L ) L = 0, j = 1, 2,..., n q j Q j = V Konservatiiviselle systeemille on usein helppo muodostaa potentaalienergia (ainakin helpompi kuin muodostaa voimaresultanteista yleistettyjä voimia jne.).

28 LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: YLEISTETTY VOIMA Sijoitetaan edeltä yleistetyn voiman lausekkeeseen ja saadaan käyttökelpoinen yhteys Q j = = = F i r i = iv r i ) ( V x i i + V y i j + V z i k V x i x i + V y i y i + V z i z i ( ) xi i + yi j + zi k = V Edellisessä ollaan viimeisessä vaiheessa käytetty derivoinnin ketjusääntöä V :lle. Konservatiivisen systeemin tapauksessa n yleistettyä voimaa saadaan yhteyksistä Q j = V (q 1, q 2,..., q n ), j = {1, 2, 3,..., n}

29 LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: JOHTO Oletetaan konservatiivinen systeemi ja katsotaan termeittäin yhtälöä (L = T V ) d dt ( L ) L = 0 q j Sijoittamalla yleistetyn voiman ja potentiaalin välinen yhteys ensimmäiseen termiin Q j = V L = (T V ) = T V = T + Q j Seuraavaksi: V = V (q 1, q 2,..., q n ) eikä siis näin ollen riipu nopeuksista q j V = 0 (T V ) = T q j q j q j Kun yhdistetään nämä tiedot päästään jo tutumpaan muotoon lagrangen liikeyhtälöistä d dt ( L ) L q j = d dt ( T q j ) T Q j = 0.

30 LAGRANGEN FUNKTIO JA LIIKEYHTÄLÖT: ESIMERKKI 6. Johda kuvassa esitetyn esitetyn sauvaheilurisysteemin potentiaalie- potentiaalienergia sekä sekä Lagrangen Lagrangen liikeyhtälö, funktio kun ja yleistettynä liikeyhtälöt, koordinaattina onkoordinaattina kulma. Kierrejousen on kulma (palauttava) θ. Kierrejousen momentti kun yleistettynä (palauttava) M on suoraan momentti verrannollinen M on kulmaan suoraan verrannollinen eli M = k, jossa kulmaan k on jousivakio. θ eli M = Sauvan kθ, hitausmomentti jossa k on jousivakio. massakeskipisteen Sauvan hitausmomentti suhteen on I c = ml2 kierrejousen. kiinnityspisteen suhteen on I = ml 2 12 /3. Vastaus: 1mL2 + k + mg L sin =0 3 2 Ratkaisu Vain painovoima ja jousivoima tekevät työtä ja molemmat ovat konservatiivisia. Systeemi on siis konservatiivinen. Potentiaalienergiaa varten tarvitaan jousen ja kappaleen painon (vakiovoima) potentiaalienergian lausekkeita. Lisäksi liikeyhtälöä varten tarvitaan jäykän kappaleen liike-energian esitystä. Yleistetty koordinaatti on kallistuskulma (vastapäivään). Vapaakappalekuva kannattaa myös hahmotella, vaikka se ei tässä olekaan täysin välttämätöntä.

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

W el = W = 1 2 kx2 1

W el = W = 1 2 kx2 1 7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.

Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia. Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

Klassisen mekaniikan historiasta

Klassisen mekaniikan historiasta Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen

Lisätiedot

Kertausta: Vapausasteet

Kertausta: Vapausasteet Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia

Luento 11: Potentiaalienergia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee

Lisätiedot

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima. Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia

Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan

Lisätiedot

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

STATIIKKA. TF00BN89 5op

STATIIKKA. TF00BN89 5op STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017 1 Piirrä vapaakappalekuviot kuvien partikkeleille/äykille kappaleille a muodosta vaikuttavien voimien resultantit massakeskipisteiden suhteen Käytä

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA 1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 1 Voimat mekanismeissa Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 12.2.2016 Sisältö Staattiset voimat Staattinen tasapainotila Vapaakappalekuva Tasapainoyhtälöt Kitkavoimat Hitausvoimat Hitausvoimien

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot