Klassista mekaniikkaa - kahden kappaleen probleema

Transkriptio

1 Klassista mekaniikkaa - kahden kappaleen probleema 24. marraskuuta 2005 Sisältö 1 Periaatteet Liikemäärämomentti Partikkelisysteemi Kahden kappaleen ongelma Neliövoimat

2 Klassisen mekaniikan eli Newtonin mekaniikan (mekaniikka ennen Albert Einsteinia sekä suhteellisuusteoriaa) osa-alueita ovat kinematiikka (oppi liikeilmiöistä), dynamiikka (liikeilmiöt sekä voimavaikutukset), sekä statiikka (kappaleiden tasapainoehdot). Kinematiikan peruslakeja ovat matkan, nopeuden, vauhdin sekä kiihtyvyyden määrittelyt. Dynamiikan peruslakeja ovat voiman ja sen aiheuttaman kiihtyvyyden keskinäinen riippuvuus, jatkavuuden laki, sekä voiman ja vastavoiman laki. Statiikan peruslähtökohtana on, että kappaleeseen vaikuttavien voimien summan on oltava 0, jotta kappale olisi tasapainossa. Nesteiden mekaniikkaa sanotaan hydromekaniikaksi (hydrostatiikka ja hydrodynamiikka), kaasujen aero-mekaniikaksi (aerostatiikka ja aerodynamiikka). Tässä esityksessä tarkastellaan pääsääntöisesti partikkelin, partikkelisysteemin ja jäykänkappaleen dynamiikkaa. Dynamiikkaa hallitsevat dynamiikan peruslait ovat Newtonin I, II ja III laki. Dynamiikka on kirjoitettu perinteisesti vektorialgebran kielellä. 1 Periaatteet Tarkastellaan partikkelia ja sen liikettä. Partikkeli ajatellaan massan m omaavaksi pisteeksi. Partikkelin ratakäyrää merkitään x(t). Partikkelin liike ilmoitetaan paikkavektorina jonkin kiinnitetyn origon suhteen ajan funktiona. Ajan t ajatellaan tässä esityksessä olevan ns. Newtonilaista aikaa, eli sama kaikille havaitsijoille. Parikkelin nopeus määritellään aseman muutosnopeutena v = ẋ = dx dt. Yllä olevassa lausekkeessa piste vektorin x päällä tarkoittaa derivointia ajan suhteen. Tämä notaatio on yleisesti käytössä mekaniikassa. Olkoon partikkelilla massa m. Partikkelin liikemäärä määritellään tällöin p = mv. Olkoon lisäksi partikkeliin vaikuttavien voimien resultantti f. Tällöin Newtonin II laki voidaan esittää muodossa ṗ = f. Laki on näin kirjoitettuna hyvin yleinen, kaikki sen osaset m, v ja f voivat olla ajan funktioita. Muutuva massa (esimerkiksi avaruusraketti) monimutkaistaa teorian kehittelyä huomattavasti. Oletetaan tästä eteenpäin massa m vakioksi. Partikkelin kiihtyvyys määritellään nopeuden muutosnopeutena a = v = d2 x dt 2. 2

3 Kiihtyvyyden ja (vakio)massan avulla lausuttuna Newtonin II laki voidaan kirjoittaa hieman tutumpaan muotoon f = ma. Partikkelin ratakäyrä x(t) on siis ratkaistavissa yllä olevasta 2. asteen dierentiaaliyhtälöstä jos tiedämme voimavektorin f ja alkuehdot. Alkuehtoina ovat yleensä partikkelin asema ja nopeus alkuhetkellä. Olkoon partikkelin massa m ja siihen kohdistuva voima f = f(t). Voiman f tekemä työ aikavälillä [t 1, t 2 ] määritellään viivaintegraalina W 12 = t2 t 1 f v dt = t2 t 1 f ds. Jälkimmäisestä muodosta näkee, että integraali on riippumaton siitä, miten partikkelin ratakäyrä on parametrisoitu. Merkitään v 2 = v 2 ja sovelletaan Newtonin II lakia f = m dv yllä olevaan työn lausekkeeseen, saadaan dt t2 W 12 = m v v dt = m t2 d t 1 2 dt (v2 ) dt. Viimeisestä muodosta nähtään, että työ on sama asia kuin liike-energian T muutos. Liikenenergian lauseke partikkelille on T = 1 2 mv2. Voima f on konservatiivinen, jos sen tekemä työ riippuu vain siirtymän alku- ja loppupisteestä, ei siirtymäreitistä. Esimerkiksi painovoima ja jousivoima (harmoninen voima) ovat konservatiivisia. Konservatiinen voima voidaan esittää jonkun skalaarifunktion V = V (x) gradientin avulla muodossa f = V. Miten sitten todeta jokin voima konservatiiviseksi? Voidaan osoittaa, että ns. roottoriehto f = 0 on riittävä ehto voimakentän konservatiivisuudelle, jos kenttä on määritelty yhdesti yhtenäisessä (simply connected) alueessa. Kahdessa ulottuvuudessa yksikin piste riittää tuhoamaan yhdesti yhtenäisyyden. Kolmessa ulottuvuudessa yhden pisteen poistaminen ei muuta yhdesti yhtenäisyyttä, joten vastaavaa tilannetta ei synny. Kolmessa ulottuvuudessa siis kaikki voimakentät, 3 t 1

4 jotka on määritelty muualla kuin yhdessä pisteessä ja joiden roottori häviää, ovat konservatiivisia. Todettakoon, että varmin tapa todistaa, että tietty voimakenttä f on konservatiivinen, on antaa eksplisiittinen potentiaalifunktio V, mille f = V. Konservatiivisien voimien tekemä työ on t2 W 12 = f ds = V 1 V 2 t 1 ja kokonaisenergia T + V = E on konservatiivinen. 1.1 Liikemäärämomentti Liikemäärämomentti partikkelille määritellään tavallisesti partikkelin aseman ja liikemäärän ristitulona. Lähdetään rakentamaan teoriaa määrittelemällä liikemäärämomentti bivektorina, eli L = x p, missä siis x on partikkelin asema ja p partikkelin liikemäärä. Nyt ja tulevassa esityksessä kannattaa huomioida eräs parannus perinteiseen 'ristin ja pisteen' avulla kirjoitettuun mekaniikkaan. Perinteisesti vektoreilla on mallinnettu lähes kaikki liike, voima ja niihin liittyvät suuret. Tällaisessa lähestymistavassa kalkyyliin on tullut kahdenlaisia vektorisuureita: fysikaalisen sisällön omaavat vektorisuureet (asema, voima, nopeus, kuuhtyvyys, liikemäärä) ja laskennan takia määritellyt (laskennalliset) vektorisuureet (kiertymä, momentti, kulmanopeus, kulmakiihtyvyys, liikemäärämomentti). Tämä johtuu luonnollisesti siitä, ettei vektoreilla voi niiden luonteen takia kunnollisesti mallintaa rotaatioon liittyviä fysikaalisia suureita. Vastaavaa ongelmaa ei esiinny kirjoitettaessa mekaniikkaa geometristen algebrojen avulla. Fysikaaliset vektorit pysyvät vektoreina ja laskennalliset vektorit, eli rotaatioon liittyvät suureet, kirjoitetaan bivektoreina. Jatketaan teorian kehittämistä... Derivoidaan liikemäärämomenttia ajan suhteen, saadaan dl dt = v } {{ (mv) +x (ma) = x f. } Määritellään pisteessä x vaikuttavan voiman f momenttia =0 N = x f. 4

5 Yllä olevista saadaan yhteys momentin ja liikemäärämomentin välille, joka on L = N. Useissa käytännön ongelmissa on hyväksi havaittu liikemmäärämomentin lausekkeen hieman erilainen muotoilu, missä käytetään hyväksi ainoastaan partikkelin asemaa x. Lause 1 Olkoon x partikkelin asema ja m partikkelin massa. Partikkelin liikemäärämomentti on tällöin missä r = x ja ˆx = x/r. Todistus: Olkoon siis x = rˆx. Tällöin L = mr 2 ˆxˆx ẋ = d (rˆx) = ṙˆx + r ˆx. dt Sijoitetaan tämä liikemäärämomentin lausekkeeseen, saadaan L = x (mẋ) = mrˆx (ṙˆx + r ˆx) = mr 2ˆx ˆx. Toisaalta, koska ˆx 2 = 1, saadaan 0 = dˆx2 dt = 2ˆx ˆx. Joten liikemäärämomentti saadaan muotoon L = mr 2 ˆx ˆx = mr 2 ˆxˆx. 1.2 Partikkelisysteemi Edellisen kappaleen määritelmät yleistyvät helposti partikkelisysteemille. Partikkelisysteemi koostuu partikkeleista joita merkitään indekseillä i = 1,..., n. Kullakin partikkelilla on massa m i ja partikkelista j kohdistuu voima f ij partilleliin i. Lisäksi partikkeliin i kohdistuu ulkoinen voima fi e (external force). Luonnollisesti energian konservatiivisuudesta johtuen partikkelista ei kohdistu voimaa itseensä, eli f ii = 0. Partikkelin i liikeyhtälöksi tulee f ji + fi e = ṗ i j 5

6 missä p i on partikkelin liikemäärä. Newtonin III lain heikko muoto on tällöin f ij = f ji. Newtonin III lakia kutsutaan usein voiman ja vastavoiman laiksi. Puhuttaessa tästä eteenpäin voimista, tarkoitetaan voimia jotka ovat Newtonin III lain mukaisia (näin ollen esim. ns. keskipako/hakuvoima ei ole voima). Oletimme, että partikkelin massat ovat vakiot, eli ṗ i = m i a i. Summaamalla yli kaikkien partikkelien saadaan koko systeemin liikeyhtälö m i a i = f ji + fi e = fi e. i i,j i i Partikkelisysteemin massakeskiön paikka on X = i m ix i = S M i m i missä M on kokosysteemin massa ja S systeemin 1. momentti. Massakeskiön avulla liikeyhtälö tulee muotoon M d2 X dt 2 = i f e i = f e missä siis f e on systeemiin kohdistuvien ulkoisten voimien resultantti. Partikkelisysteemin liikemäärä on partikkelin liikemäärien summa, eli P = i p i = M dx dt. Vastaavasti partikkelisysteemin liikemäärämomentti on partikkelien liikemäärämomenttien summa L = x i p i. i Kun derivoidaan liikemäärämomentin lauseketta ajan suhteen saadaan L = i x i ṗ i = i x i f e i + i,j x i f ji. Viimeinen termi on kaksoissumma missä summataan pareja x i f ji + x j f ij = (x i x j ) f ji = 0. 6

7 Tätä relaatiota partikkelien i ja j välille kutsutaan Newtonin III lain vahvaksi muodoksi. Kun merkitään olkoisten voimien auheuttamaa vääntömomenttia N e = i x i f e i voidaan partikkelisysteemin liikeyhtälö kirjoitaa tämän avulla muotoon L = N e. Jos ulkoisten voimien momentti on nolla, eli N e = 0, on partikkelisysteemi translaatioliikkeessä. Usein partikkelin paikka ilmoitetaan massakeskiön X suhteen. Olkoon x i partikkelin i asema massakeskiön suhteen. Tällöin kyseisen partikkelin asema ulkoiren referensikoordinaatiston suhteen on x i = x i + X. Kun derivoidaan tätä relaatiota ajan suhteen saadaan nopeuksille relaatio v i = v i + v missä v = Ẋ on massakeskiön nopeus. Näin ollen partikkelisysteemin kokonaisliikemäärämomentiksi saadaan L = i x i m i v i = i ( ) X mi v i + x i m i v i + m i x i v + X m i v i. Koska P = i m i(v + v i) ja p i = m i (v i + v) voidaan liikemäärämomentti kirjoitaa muodossa L = X P + x i p i. i Vastaavasti liike-energia voidaan jakaa massakeskiön liikkeen ja partikkelien suhteelliseen liikkeen liikke-energiaksi, eli T = i 1 2 m iv 2 i = 1 2 Mv2 + i 1 2 m iv i 2. 2 Kahden kappaleen ongelma Tutkitaan kahden kappaleen ongelmaa missä partikkeleihin vaikuttaa ainoastaan partikkelien välinen veto/työntövoima. Tällaisen ongelman liikeyhtälöt voidaan ratkaista analyyttisesti. Olkoot partikkelien paikkavektorit x 1 ja x 2 7

8 sekä massat m 1 ja m 2. Olkoon lisäksi X partikkelien massakeskiö. Partikkelien liikettä hallitsee yhtälöpari { d m 2 x 1 1 = f d t 2 Merkitään m 2 d 2 x 2 d t 2 = f. x = x 1 x 2. Kun derivoidaan vektoria x kahdesti ajansuhteen ja sovelletaan liikeyhtälöparin yhtälöitä saadaan m 1 m 2 dx 2 dt 2 = (m 1 + m 2 )f m 1m 2 m 1 + m 2 dx 2 dt 2 = f. Mekitään vektorin x edessä olevaa massatermiä µ = m 1m 2 m 1 + m 2 ja kutsutaan tätä kahden partikkelin redusoiduksi massaksi. Redusoidun massan avulla yhtälö menee muotoon µ dx2 dt 2 = f. Tämä liikeyhtälö on ekvivalentti alkuperäisen liikeyhtälöparin kanssa. Newtonin III lain vahva muoto sanoo, että vektorit x ja f ovat yhdensuuntaiset. Jos siis vektorin x suuntainen yksikkövektori on ˆx voidaan voimavektori kirjoitaam muodossa f = F ˆx missä F on voiman suuruus. Muodostetaan seuraavaksi liikemäärämomentti kahdelle kappalelle. Kirjoitetaan aluksi p 1 = m 1 x 1 = m 1 X + µx ja p 2 = m 2 x 2 = m 2 X + µx. Kokonaisliikemäärämomentti on tällöin L t = x 1 p 1 + x 2 p 2 = MX Ẋ + µx ẋ. Koska systeemiin ei kohdistu ulkoisia voimia on systemin kokonaisliikemäärämomentin arvo säilyy. Tällöin partikkelien liikemäärämomentiksi tulee L = µx ẋ. 8

9 Liikemäärämomentin L arvo on myös vakio, eli partikkelit liikkuvat tasolla L. Kun jälleen kirjoitetaan x = rˆx saadaan liike-energian lauseke muotoon T = 1 2 µẋ2 = 1 2 µ(ṙˆx + r ˆx) 2 = 1 2 µṙ µr2 ˆx 2. Kun sovelletaan kappaleessa 1 todistettua Lausetta 1 saadaan liikemäärämomentti muotoon L 2 = µ 2 r 4ˆx ˆx ˆxˆx = µ 2 r 4 ˆx 2. Olkoon nyt l liikemäärämomentin L suuruus, eli Liike-energia tulee tällöin muotoon l = µr 2 ˆx. T = µṙ2 2 + l2 2µr 2. Koska voima f on konservatiivinen, voidaan se kirjoittaa muodossa Kokonaisenergian on tällöin 2.1 Neliövoimat f = V (r). E = µṙ2 2 + l2 2µr 2 + V (r). Neliövoimilla (Inverse-Square Forces) tarkoitetaan kahden kappaleen välillä vaikuttavia voimia jotka ovat muotoa f = k r 2 ˆx. Tällaisia voimia partikkelien välillä esiintyy gravitaatiossa ja sähkömagnetiikassa. Liikeyhtälö tulee muotoon µ d2 x dt 2 = k r 2 ˆx = k r 3 x. Liikeyhtälö on 2. kertaluvun vektoridierentiaaliyhtälö jonka rataksemiseksi tarvitaan kaksi alkuehtoa. Tavallisesti alkuehdot ovat alkuasema x(0) = x 0 ja alkunopeus ẋ(0) = v 0. Liikemäärämomentti on tällöin L = µr 2ˆx ˆx = µr 2 ˆxˆx. Tästä seuraa, että L v = k Lˆx = k ˆx, µr2 9

10 mikä voidaan kirjoittaa muodossa d ( ) Lv kˆx = 0. dt Partikkelien liikettä edustaa siis yhtälö Lv = kˆx. Kun yhtälö ratkaistaan saadaan tulokseksi ympyrän yhtälö. Tästä ratkaisusta ei mekaniikan kannalta juuri iloa ole. Häiritään yksikkövektoria ˆx hieman vektorilla e. Liikeyhtälö saa tällöin muodon Lv = k(ˆx + e). Vektoria e kutsutaan eksentrisyysvektoriksi. Määritetään trajektori, ensinnäkin Lvx = L(v x + v x) = v xl + 1 µ LL = k(r + ex). Kun otetaan tästä skalaariosat, saadaan r = l 2 kµ(1 + e ˆx). Tämä yhtälö määrittelee kartioleikkauksen kolmessa dimensiossa symmetriaakselin ollessa e. Kartioleikkaus on tasolle L. Trajektori x(t) = rˆx(t) on siis hyperbeli, paraabeli, ellipsi tai ympyrä. Kartioleikkausen laatu määräytyy eksentrisyysvektorin e itseisarvon e mukaan seuraavasti: e > 1 e = 1 e < 1 e = 0 hyperbeli paraabeli ellipsi ympyrä. Neliövoimien kahden kappaleen kokonaisenergiaksi saadaan E = µk2 2l 2 ( e 2 1). (1) 10