Kinematiikka. Tommi Lintilä, Kari Tammi (Janne Ojalan kalvoista)

Transkriptio

1 1 Kinematiikka Tommi Lintilä, Kari Tammi (Janne Ojalan kalvoista)

2 Luennon sisältö Mekanismiopin ja kinematiikan käsitteitä Liikkuvuusaste ja vapausasteet Paikan määrittäminen Graafinen ratkaisu Kolmiointimenetelmä Nopeus Hetkellisen pyörimispisteen menetelmä Suhteelliset nopeudet Komponenttimenetelmä Kampimekanismit Kiihtyvyys Kiihtyvyyskuvaaja Coriolis-kiihtyvyys 2

3 Mekanismioppi Tutkii toisiinsa nähden liikkuvien jäykkien kappaleiden yhdistelmiä, joita käytetään liikkeiden ja voimien aikaansaamiseen ja siirtämiseen Tarkoituksena ymmärtää mekaanisia liikeratoja tuottavien laitteiden suunnittelua ja parantamista Sekoitus geometriaa, mekaniikkaa ja koneenrakennusta Mekanismianalyysi Tutkii rakenteeltaan ja mitoiltaan tunnettuja mekanismeja Mekanismisystematiikka Seuloo analyysin tulokset Luokittelee mekanismit rakenteen, rakenneryhmän ja liikemahdollisuuksien mukaan Mekanismisynteesi Etsii halutun liikeradan, nopeudet ja kiihtyvyydet toteuttavan mekanismin rakenteen (topologinen synteesi) ja mitat (dimensiosynteesi) Luovaa tai systemaattista 3

4 Kinematiikan käsitteitä Kinematiikka Oppi kappaleen tai kappalejärjestelmän liikeradoista, kun liikkeet riippuvat vain geometriasta ja ajasta Kinemaattinen ketju Muodostuu jäsenistä (elin) ja kinemaattisista pareista (nivel) Kinemaattinen ketju voi olla avoin tai suljettu. Suljetun ketjut jäsenet muodostavat lenkin Mekanismi Suljettu kinemaattinen ketju, jonka yksi jäsen on runko Aidon mekanismin liikkuvuusaste on yksi Mekanismi-nimitystä käytetään usein muistakin kinemaattisista ketjuista Kone Statiikka Kinematiikka Kun mekanismin yhteen osaan lisätään pakkokäyttö (esim. moottori, sylinteri tms.), saadaan liikkuvuusasteeksi nolla. Tällainen mekanismi siirtää energiaa ja sitä kutsutaan koneeksi. Mekaniikka Dynamiikka Kinetiikka Lujuusoppi 4

5 Kinematiikan käsitteitä Tasomekanismi Kaikki osat liikkuvat keskenään samassa tai samansuuntaisilla tasoilla Avaruusmekanismi Osat voivat liikkua 3-ulotteisesti Jäsen (elin, osa) Jäykkä kappale (vrt. lujuusoppi) Kinemaattinen pari (nivel) Kahden jäsenen välinen liitos, joka sallii jäsenten välisen liikkeen Kitkaton ja välyksetön Voidaan jakaa alempiin ja ylempiin pareihin 5

6 Alemmat kinemaattiset parit Jäsenten välillä pintakosketus Jäsenten suhteellinen liike ei riipu siitä kumpi jäsen liikkuu käännettävissä Alempia kinemaattisia pareja: kiertopari (sarana), 1 vapausaste liukupari (prisma), 1 vapausaste ruuvipari, 1 vapausaste sylinteripari, 2 vapausastetta pallonivel, 3 vapausastetta tasopari, 3 vapausastetta 6

7 Ylemmän kinemaattiset parit Jäsenten välillä piste- tai viivakosketus Suuri pintapaine kulumista, vaikea välittää suuria voimia Jäsenten paikkaa ei voida vaihtaa mekanismin muuttumatta, koska jäsenten suhteellinen liike riippuu siitä kumpi jäsen liikkuu Voidaan usein palauttaa alemmista pareista koostuviksi rakenteiksi Erilaisia pareja rajaton määrä, esim: - nokka ja rulla - tappi ja ura - pinta ja kuula 7

8 Parien konstruktiiviset ratkaisut Kinemaattiset parit voivat olla konstruktiivisesti erilaisia, vaikka ovat kinemaattisesti identtisiä Konstruktiivisen rakenteen valintaan vaikuttavat: Tilantarve Viereiset parit Jäykkyys Välitettävät voimat ja momentit Nivelkitka Hinta Vaikka nivelten laatu ei vaikuta kinemaattisiin ominaisuuksiin, vaikuttaa se keskeisesti todellisen mekanismin dynaamisiin ominaisuuksiin 8

9 Mekanismien luokitus Useita erilaisia luokitustapoja Releaux jakoi mekanismit elinparityyppien mukaan: vipumekanismit ruuvimekanismit johdemekanismit pyörämekanismit hihnamekanismit säppimekanismit 9

10 Liikkuvuusaste ja vapausasteet Kinemaattisen ketjun liikkuvuusaste on niiden toisistaan riippumattomien muuttujien, jotka on tunnettava ketjun jäsenten keskinäisen aseman määrittämiseksi, lukumäärä Kinemaattisen ketjun vapausasteiden lukumäärä on niiden toisistaan riippumattomien muuttujien, jotka on tunnettava ketjun kaikkien jäsenten aseman määrittämiseksi, lukumäärä. Esimerkki: nivelnelikulmio tasossa Jäsenten keskinäisen aseman määrittämiseksi riittää tuntea yksi kahden jäsenen välinen kulma. Liikkuvuusaste on siis 1. Jotta kaikkien jäsenten asema voidaan määrittää, on keskinäisen aseman määrittävän kulman lisäksi tunnettava jonkin jäsenen paikka ja asento (x- ja y-koordinaatit sekä kulma). Vapausasteita on siis 4. Termit liikkuvuusaste ja vapausaste menevät kirjallisuudessa usein iloisesti sekaisin. Käytetään kurssilla termejä yllä määritellyllä tavalla, jotta tiedetään aina mistä puhutaan! Jotta kinemaattinen ketju olisi aito mekanismi, on liikkuvuusasteen oltava 1 10

11 Liikkuvuusasteen laskeminen Kutzbachin menetelmä: Tasomekanismille pätee: 11

12 Liikkuvuusasteen laskeminen, esimerkkejä tai 12

13 Liikkuvuusasteen laskeminen Nivel, joka yhdistää n jäsentä samalla nivelakselilla, on laskettava (n-1) niveleksi (tai huomioitava useamman vapausasteen nivelenä) Osaketjut, joiden liikkuvuusaste on pienempi kuin 1 on laskettava yhdeksi jäseneksi ja niiden sisäiset nivelet jätetään huomioimatta. Esim: 13

14 Liikkuvuusaste avaruudessa, esimerkki Kuvassa on auton lasinpyyhkijöitä liikuttava koneisto. Sähkömoottori pyörittää kierukkavaihteen kautta kampea, joka kiertokankien välityksellä liikuttaa pyyhkijöihin kytkettyjä heilureita. Valitse nivelet kohtiin 1 5 Mikä on liikkuvuusaste, jos moottorin ajatellaan pyörivän vapaasti? 14

15 Liikkuvuusaste avaruudessa Runkoniveliin (3 ja 5) saranat => heilureilla vapaana vain rotaatio Moottorin akseliin kiinnitetyllä kammella vapaana vain rotaatio Nyt pisteiden 1, 2 ja 4 radat on määrätty. Valitaan kiertokankien nivelet siten, ettei pisteiden rataa yritetä määrätä kahdesta suunnasta => pallonivelet Jää kaksi ylimääräistä vapaata vapausastetta (kiertokankien rotaatio pitkittäisakseliensa ympäri), mutta ei haittaa toimintaa. Esimerkiksi saranoilla olisi tullut ylirajoitettu. 15

16 Paikan määrittäminen Graafinen ratkaisu Jos jäsenen asento ja jäsenessä olevan pisteen paikka tunnetaan, voidaan jäsenessä olevan toisen pisteen paikka määrittää suoraan astelevyllä Jäsenen ketjuun liittävä nivel määrää jäsenen liikemahdollisuudet - Kiertonivelellä liitetyn jäsenen jokaisen pisteen on oltava ympyräkaarella, jonka säde on nivelen ja pisteen välinen etäisyys - Liukunivelellä liitetyn jäsenen jokaisen pisteen on oltava suoralla, joka on nivelakselin suuntainen Nivelten paikat voidaan edellä esitetyn perusteella etsiä harppia ja astelevyä käyttäen 16

17 Paikan määrittäminen Graafisen ratkaisun esimerkki Määritä pisteen C paikka, kun kulma α on 20 ja origo on pisteessä A. Piirretään varsi AB astelevyllä, jolloin löydetään piste B. Piste D on BD-säteisellä ympyräkaarella, jonka keskipiste on piste B. Lisäksi sen on oltava ED-säteisellä kaarella, jonka keskipiste on piste E. Piirretään ympyräkaaret. Molemmat ehdot toteutuvat kaarten leikkauspisteessä, eli pisteen D on oltava siinä. Vastaavasti piste C löytyy piirtämällä kaaret pisteiden B ja D ympäri. Pisteen C koordinaatit saadaan piirretystä kuvasta mittaamalla 17

18 Esimerkki paikan laskemisesta graafista menetelmää seuraten Määritä pisteen D paikka, kun kulma α on 20 ja origo on pisteessä A. 18

19 Paikan määrittäminen Kolmiointimenetelmä Jaetaan ketju lävistäjillä kolmioiksi, jolloin voidaan käyttää kolmioiden laskusääntöjä, esim: 19

20 Paikan määrittäminen Kolmiointimenetelmän esimerkki Laske pisteen D paikka, kun kulma α on 20 ja origo on pisteessä A. 20

21 Paikan määrittäminen Kolmiointimenetelmän esimerkki 21

22 Hetkellisen pyörimiskeskipisteen menetelmä Jäykän kappaleen liike on suoraviivaisen liikkeen (translaatio) ja kiertoliikkeen (rotaatio) yhdistelmä Jäykän kappaleen liike voidaan tulkita puhtaaksi rotaatioksi hetkellisen pyörimiskeskipisteen ympäri, eli kappaleen jokainen piste liikkuu hetkellisesti ympyräkaarella hetkellisen pyörimiskeskipisteen ympäri. Pisteen liike voi olla puhdasta rotaatiota vain nopeuden normaalilla sijaitsevien pisteiden suhteen. Kappaleen hetkellisen pyörimiskeskipisteen on siis sijaittava normaalien leikkauspisteessä. Nopeuksille ja kulmanopeuksille pätee: 22

23 Hetkellisen pyörimiskeskipisteen menetelmän esimerkki Määritä pisteen C nopeus (suuruus ja suunta) kuvan asennossa, kun ylempi heiluri pyörii pisteen E ympäri kulmanopeudella 2 1/s myötäpäivään. Pisteiden koordinaatit kuvan asennossa: A: (0,0), B: (4,2), C: (5,5), D: (3,6), E: (0,6) 23

24 Hetkellisen pyörimiskeskipisteen menetelmän esimerkki 24

25 Suhteellisten nopeuksien menetelmä Jäykän kappaleen pisteen B nopeus voidaan tulkita muodostuvaksi saman kappaleen pisteen A absoluuttisesta nopeudesta lisättynä pisteen B suhteellisella nopeudella: V B = V A + V BA. Koska A:n ja B:n välinen etäisyys on vakio, jää suhteelliseksi nopeudeksi V BA tangentiaalinen kiertoliike A ympäri. 25

26 Suhteellisten nopeuksien menetelmä, esimerkki Esimerkki: Nivelen A tangentiaalinen nopeus on tunnettu. Piste B voi liikkua vain uran S-S suuntaisesti. Mikä on pisteen B nopeus? Piirretään nopeusvektori V A origosta alkaen. Piirretään nopeusvektorin V B suuntainen suora (vektorin pituutta ei vielä tiedetä) origosta. Piirretään suhteellisen nopeuden V BA suuntainen (kohtisuora janaan AB nähden) suora vektorin V A kärjestä. Pisteen B absoluuttisen nopeuden V B suuruus löytyy edellä piirrettyjen suorien leikkauspisteen avulla. 26

27 Nopeus komponenttimenetelmällä Jaetaan pisteen nopeus tangentiaaliseen ja radiaaliseen komponenttiin. Samassa kappaleessa olevien pisteiden nopeuksien radiaalikomponenttien on oltava yhtä suuret, koska pisteiden välinen etäisyys on vakio. Esimerkki: Nivelnelikulmion heilurin OA kulmanopeus kuvan hetkellä on 2 rad/s. Määritä pisteen B nopeus. A 600 mm B Pisteen A nopeus: V A =ω 1 *OA 1 90 Jaetaan V A tangentiaaliseen ja radiaaliseen komponenttiin (pun.) O C Tangentiaalinen komponentti ei vaikuta B:n nopeuteen. Radiaalikomponentin oltava sama A:lla ja B:llä, koska pisteiden A ja B etäisyys vakio V B = V A,rad = V A sin(30 ) 27

28 Kiihtyvyys Kiihtyvyys monimutkaisempi kuin nopeus Suoraan nopeuksiin soveltuvia menetelmiä käyttäen päädytään helposti virheisiin, koska saman kappaleen pisteillä voi olla kiihtyvyyttä toisiinsa nähden myös radiaalisuunnassa! Kiihtyvyyskuvaajaa varten lasketaan nivelten keskeis- ja tangentiaalikiihtyvyydet ja piirretään ne vektoreina kiihtyvyyskoordinaatistoon. Kuvan esimerkissä pisteen B kiihtyvyyttä on lähestytty reittiä OAB (pun. ja sin.) sekä suoraan reittiä CB (vihr.). Vain toista reittiä edeten ei saada laskettua B:n kiihtyvyyttä, mutta kahta reittiä käyttäen löydetään leikkauspiste, joka kuvaa B:n kokonaiskiihtyvyyden. 28

29 Kiihtyvyyskuvaaja, esimerkki Nivelnelikulmion nivelen A nopeus V A = 0.8 m/s ja nivelen B nopeus V B = 0.4 m/s. Heilurin OA kulmakiihtyvyys on 3 rad/s 2 vastapäivään. Määritä pisteen B kiihtyvyys. a tba :n ja a tbc :n on oltava kohtisuorassa keskeiskiihtyvyyksiin nähden löydetään leikkauspiste, joka vastaa B:n kiihtyvyyttä. 29

30 Kampi-luisti-mekanismi, höyryveturi wiki Laitoksen nimi 1/29/

31 Kampi-luisti-mekanismi Nivelnelikulmion muunnos Yksi nivel ja sivu korvattu prismaparilla (vastaten äärettömän pitkää nivelnelikulmion sivua) Käytetään tyypillisesti muuttamaan pyörimisliike edestakaiseksi lineaariliikkeeksi tai päinvastoin Trigonometrisessä analyysissa käytetään apuna sarjakehitelmää. Tarkastellaan kuvan mekanismia ja kiertokangen pistettä P: 31

32 Kampi-luisti-mekanismi 32

35 Coriolis-kiihtyvyys, wiki Coriolis-kiihtyvyys esiintyy, jos kappale on translaatioliikkeessä pyörivään kappaleeseen nähden Esim. Johde pyörii vakionopeudella nivelen O 2 ympäri ja luisti liukuu johdetta pitkin. Luistin liukuessa etäämmälle pyörimiskeskipisteestä sen tangentiaalinen nopeus kasvaa eli sen on kiihdyttävä tangentin suuntaan. Coriolis-kiihtyvyyden suunta saadaan kiertämällä suhteellisen nopeuden vektoria 90 pyörimisnopeuden suuntaan 35

36 Matlab-keskustelu luennon lopussa Jos haluat tehdä function: tallenna function_nimi.m editoi function määrittely (esimerkkejä saatavilla) function [ output_args ] = Untitled( input_args ) %UNTITLED Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here end Jos haluat laskea eim. murtoluvuilla, kokeile esim: format rat; 6032/24 Laitoksen nimi 1/29/

37 Lähteet Makkonen, Petri: kurssin luentokalvot aiemmilta vuosilta Kankare, Johannes, kurssin luentokalvot aiemmilta vuosilta Airila, Mauri: Mekatroniikka. Otatieto. Helsinki Shigley, J. E. & Uicker, J. J: Theory of machines and mechanisms. 2nd edition