Jäykän kappaleen mekaniikkaa
|
|
- Aila Mäki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka Pyörivä koordinaatisto Vakio Ω Jäykän kappaleen liike Hitaustensori Pääakselit Liike-energia ja liikemäärämomentti Liikeyhtälöt Yhtälö L = Hyrräliike Johdanto Mekaniikka takastellee kappaleiden liikettä ja liikkeen syitä. Fysikaalinen maailma on kuitenkin yksityiskohtaisuudessaan valtavan haasteellinen struktuuri pukea matemaattisiksi malleiksi. Mekaniikkassakin on tyydyttävä fysikaalisen maailman tarkasteluun varsin yksinkertaistetussa muodossa. Tämä tarkoitaa, että todellisia tilenteita, joissa esiintyy liikettä mallinnetaan erilaisilla laskentamalleilla. Yksinkertaisin laskentamalli on partikkeli. Seuraavaksi haasteellisempi on partikkelisysteemi. Tästä seuraavaksi korvataan yksittäisten partikkelien systeemi jatkuvan aineen mallilla. Yksinkertaisetuin jatkuvan aineen malli on jäykkä kappale. Jos tästä vielä jatketaan päästään solideihin, milloin otetaan huomioon myös kappaleen deformoituminen liikkeen aikana. Solidin mekaniikkaa kutsutaan kontinuumimekaniikaksi. 1
2 2 Jäykän kappaleen mekaniikka Jäykkää kappaletta (lyhyesti kappale tästä eteenpäin) tarkastellessa keskeisenä ongelmana on sen massakeskiön liikkeen (rotaation ja translaation) määrittäminen. Olkoon massakeskiön asema vektori x(t). Luonnollisesti jäykkä kappale voi saada mielivaltaisia asentoja vektorin x(t) pysyessä vakiona. Ratkaistaan ongelma kiinnittämällä kappaleen massakeskiöön koordinaatisto {f k }, joka liikkuu kappaleen mukana. Olkoon lisäksi kiinteä ulkoinen tarkastelukoordinaatisto {e k }, mistä vektori x(t) ilmaisee kappaleen aseman. 2.1 Pyörivä koordinaatisto Oletataan, että koordinaatisto {f k } pyörii avaruudessa. Pyörivän koordinaatiston liike suhteessa kiinteään koordinaatistoon {e k } voidaan antaa roottorin R(t) avulla muodossa f k (t) = R(t)e k R (t). (1) appaleen koordinaateille voidaan johtaa Poinsotin yhtälöt 1 f k = ω f k, (2) missä ω on kappaleen kulmanopeus. un korvataan ristitulo vektorin ja bivektorin sisätulolla, saadaan Merkitään kulmanopeusbivektoria ω f k = ( Iω) f k = f k (Iω). (3) Ω = Iω. (4) un dervoidaan yhtälöä (1) ja sijoitetaan e k = R f k R, saadaan f k = Ṙe kr + Re k Ṙ = ṘR f k + f k RṘ. (5) Roottori on normeerattu, eli RR = 1. un derivoidaan tätä ajan suhteen, saadaan 0 = d dt (RR ) = ṘR + RṘ. (6) un sovelletaan tähän tulon reversiota, saadaan 1 Louis Poinsot ( ) ṘR = RṘ = (ṘR ). (7) 2
3 un sijoitetaan tämä yhtälöön (5), saadaan f k = ṘR f k f k ṘR = (2ṘR ) f k. (8) un sijoitetaan tämä yhtälöön (3) ja sovelletaan kaavaa (4), saadaan un operoidaan roottorilla oikealta, saadaan 2ṘR = Ω. (9) Ṙ = 1 ΩR, (10) 2 jota kutsutaan roottoriyhtälöksi. Myös puolittain reversioitu roottoriyhtälö on joskus käytännöllinen. Ṙ = 1 2 R Ω (11) ja kulmano- Voidaan ajatella, että roottorit R muodostavat Lien ryhmän 2 peusbivektorit Ω niiden Lien algebran Vakio Ω Tutkitaan vakiokulmanopeudella Ω pyörivää koordinaatisto. un integroidaan roottoriyhtälöä, saadaan R = e Ωt/2 R 0, (12) missä R 0 on alkuasema. Pyörivän koordinaatiston vektorit ovat tällöin f k (t) = e Ωt/2 R 0 e k e Ωt/2 R 0. (13) Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä, missä koordinaatiosto pyörii vakiokulmanopeudella koordinaattiakselin e 3 ympäri. Tällöin f 3 = e 3. Olkoon alkuasema R 0 = 1. Olkoon Ω = we 2 e 3, missä w on kulmanopeuden skalaariarvo. Tällöin pyörivän koordinaatiston vektorit ovat ( f k (t) = exp 1 ) ( 1 ) 2 e 1e 2 wt e k exp 2 e 1e 2 wt. (14) Esimerkiksi koordinaattiakseliksi f 1 saadaan f 1 = cos(wt)e 1 + sin(wt)e 2. (15) 2 Lien ryhmä on (reaalinen tai kompleksinen) monisto joka on myös ryhmä, jonka tulo ja käänteisalkio ovat analyyttisiä kuvauksia. 3 Jokaiseen Lien ryhmään voidaan liittää Lien algebra. Sophus Lie ( ). 3
4 2.3 Jäykän kappaleen liike Tarkastellaan kappaletta, joka on liikkeessä avaruudessa. Jotta kappaleen jokaisen pisteen paikka voidaan määrätä jokaisena ajanhetkenä tarvitaan kappaleen massakeskiön asema x 0 (t) kiinnitettyyn koordinaatistoon nähden ja partikkelin asema x j kappaleen koordinaatistoon nähden. Tällöin pisteen P j paikka vektori voidaan antaa suhteellisena liikkeenä muodossa y i (t) = x 0 (t) + x j(t). (16) oska kappaleen alueella etäisyydet eivät muutu, koskee ainoa muutos asemaa. Olkoon pisteen P j asema alkuhetkellä x j, jolloin se on ajanhetkellä t muotoa x j(t) = R(t)x i R (t). (17) Parikkelin aseman yhtälöksi saadaan y i (t) = x 0 (t) + R(t)x i R (t). (18) Yhtälöstä näkyy selvästi yleisen liikkeen jako kahteen komponenttiin, translaatioon ja rotaatioon. Pisteen nopeus saadaan derivoimalla aseman yhtälöä, eli v = ẋ 0 + Ṙ(t)x ir (t) + R(t)x i Ṙ (t) = v ΩRxR RxR Ω = (RxR ) Ω + v 0, (19) missä v 0 on massakeskiön nopeus. ulmanopeus Ω on lausuttu siis kulmanopeus kappaleen suhteen. ulmanopeus referenssikoordinaatiston suhteen on tällöin Ω B (t) = R(t)ΩR (t). (20) Roottoriyhtälöiksi tulee tällöin Ṙ = 1 2 ΩR = 1 2 RΩ B, ja Ṙ = 1 2 Ω BR. (21) Pisteen nopeus voidaan tällöin antaa muodossa v(t) = Rx Ω B R + v 0. (22) Jotta kappaleen liikemäärä voidaan laskea, tarvitaan kappaleen massa. Olkoon kappale. ontinuumin massa saadaan määrittelemällä kappaleelle tiheys ρ = ρ(x), kun x. Tällöin massa määritellään integraalina M = ρ(x) dx. (23) 4
5 appaleen liikemäärä on tällöin p = Mv 0. (24) 2.4 Hitaustensori Tarkastellaan kappaleen liikemäärämomenttia. Liikemäärämomentti (tarkastelemalla dierentiaalisen pientä elementtiä) on integraali L = ρ(x)(y 0 x) v dx = ρ(x)(rxr ) (Rx Ω B R + v 0 ) dx ( ) = R ρ(x)x (x Ω B ) dx R. (25) Määritellään hitaustensori integraalina I(B) = ρ(x)x (x B) dx. (26) Hitaustensori on lineaarinen funktio, joka kuvaa bivektoreja bivektoreiksi. Lineaarisuus seuraa suoraan integraalin ja sisä- sekä ulkotulon lineaarisuudesta, eli I(λA + µb) = ρ(x)x (x (λa + µb)) dx = ρ(x)(λx (x A) + µx (x B)) dx = λi(a) + µi(b). (27) Edellä hitaustensori on siis laskettu kappaleen massakeskiön suhteen. Hitaustensori pisteen a suhteen on I a (B) = ρ(x)(x a) (x a) B) dx. (28) Tällöin I a (B) = = ρ(x)(x a) (x a) B) dx ρ(x) ( x (x B) a (x B) + a (a B) ) dx = I(B) + Ma (a B). (29) Pisteen a suhteen hitaustensori on siis hitaustensori massakeskiön suhteen plus ns. Steinerin termi. 5
6 2.5 Pääakselit Tähän asti on tarkastelu ainoastaan hitaustensoria yleisesti. uitenkin käytännön laskuissa on usein tarpeen liittää kappaleeseen koordinaatisto, missä tarkastelu suoritetaan. iinnitetään kappaleeseen koordinaatisto {e k } ja määritellään koordinaatistoon liittyvä hitausmatriisi I ij asettamalla I ij = (Ie i ) I(Ie j ). (30) Matriisi I ij on symmetrinen. Tämän todistamiseen tarvitaan tulosta skalaari {}}{ A (x (x B) ) = A x (x B) }{{} 0 bivektori un sovelletaan tätä, saadaan = Ax(x B) 0 = (A x)xb 0 = B (x (x A)). (31) I ij = (Ie i ) I(Ie j ) = ρ(x) (Ie i ) (x (x (Ie j ))) dx }{{} (31) = ρ(x)(ie j ) (x (x (Ie i ))) dx = (Ie j ) I(Ie i ) = I ji, (32) eli matriisi I ij on symmetrinen. Tästä seuraa, että matriisi I ij on diagonaalinen, jos koordinaattivektorit {e k } ovat matriisin ominaisvektorien suuntaiset. Toisaalta a i a j I ij = ρ(x)(ia) (x (x (Ia))) dx = ρ(x)(x (Ia)) 2 dx 0, (33) eli matriisi I ij on myös positiivisemideniitti. Näistä ominaisuuksista seuraa, että hitausmatriisin ominaisarvot ovat positiivisia. Ominaisarvoja kutsutaan hitausmomenteiksi ja merkitään {i 1, i 2, i 3 }. Hitausmomentit riippuvat kappaleen ominaisuuksista. 6
7 2.6 Liike-energia ja liikemäärämomentti Tarkastelemalla jälleen dierentiaalista elementtiä 4, saadaan liike-energialle lauseke T = 1 ρ(x)v 2 dx 2 = 1 ρ(x)(rx Ω B R + v 0 ) 2 dx 2 = 1 ρ(x) ( (x Ω B ) 2 + 2v 0 (Rx Ω B R ) + v 2 0) 2 dx = 1 ρ(x)(x Ω B ) 2 dx Mv2 0. (34) Liike-energian lausekkeessa ensimmäinen termi tarkoitaa rotaatioliikkeen liikeenergiaa ja toinen translaation liike-energiaa. Pyritään lausumaan liike-energia hitaustensorin avulla. Tähän tarvitaan matemaattista identiteettiä (x Ω B ) 2 = x Ω B xω B 0 Ω B (x (x Ω B )). (35) un sovelleteaan identiteettiä liike-energian rotaatiotermiin, saadaan 1 ρ(x)(x Ω B ) 2 dx = Ω B ρ(x)x (x Ω B ) dx okonaisliike-energiaksi saadaan tällöin = 1 2 Ω B I(Ω B ). (36) T = 1 2 Ω B I(Ω B) Mv2 0. (37) Liikemäärämomentti voidaan antaa hitaustensorin avulla muodossa L = RI(Ω B )R. (38) un sijoitetaan liikemäärämomentin lauseke liike-energian lausekkeeseen ja sovelletaan kulmanopeuden kaavaa Ω B = R ΩR, saadaan 4 dt = 1 2 dmv2 = 1 2 ρ(x)v2 dx T = 1 2 Mv Ω L. (39) 7
8 oska kulmanopeudet Ω ja Ω B eroavat toisistaan ainoastaan havainnointipaikasta (ts. koordinaatistosta ja sen liikkeestä) voidaan ne antaa kulmanopeuskomponenttien {ω i } avulla muodossa Ω = 3 ω k If k ja Ω B = k=1 3 ω k Ie k. (40) k=1 un sovelletaan kulmanopeuskomponentteja ja hitausmomentteja, saadaan liike-enegian lauseke tuttuun muotoon 2.7 Liikeyhtälöt T = 1 2 Mv i k ωk. 2 (41) Yleinenliikeyhtälö on L = N, missä N on ulkoisten voimien aiheuttama momentti. un derivoidaan edellisessä kappaleessa johdettua liikemäärämomentti ajan suhteen, saadaan k=1 L = R ( I( Ω B ) 1 2 Ω BI(Ω B ) Ω BI(Ω B )Ω B ) R = N. (42) Tästä voidaan johtaa 5 perinteiset jäykänkappaleen liikeyhtälöt (Eulerin yhtälöt) i 1 ω 1 ω 2 ω 3 (i 2 i 3 ) = N 1, i 1 ω 2 ω 3 ω 1 (i 3 i 1 ) = N 2, (43) i 1 ω 3 ω 1 ω 2 (i 1 i 2 ) = N 3. Näiden yhtälöiden ratkaisemisesta on kirjoitettu useita hyllymetrejä kirjallisuutta Yhtälö L = 0 Eli kappaleeseen ei kohdistu ulkopuolista momenttia. ommutaattoritulo määritellään kaavalla A B = 1 (AB BA). (44) 2 un N = 0 liikeyhtälö tulee muotoon 5 kirja s.78 6 esim. ibble und Berkshire: Classical Mechanics I( Ω B ) Ω B I(Ω B ) = 0. (45) 8
9 Liikeyhtälö on ensimmäisen kertaluvun vakiokertoiminen dierentiaaliyhtälö. oska L = 0, ovat sekä liike-energia että liikemäärämomentti vakioita. Tällöin 3 L k = i k ω k ja L = L k If k. (46) Vaikka L on vakio, voivat sen komponentit L k silti olla aikariippuvaisia. Liikemäärämomentin suuruus on ja liike-energia k=1 L 2 = LL = L L L 2 3 (47) T = L2 1 2i 1 + L2 2 2i 2 + L2 3 2i 3. (48) Näin on sidottu kaksi liikemäärän kolmesta komponettista. Tämä kuitenkin mahdollistaa yhtälöiden analyyttisen ratkaisun Hyrräliike Hyrräliike on väännöttömän liikkeen erityistapaus. Hyrrässä i 1 = i 2. Tavoitteenamme on ratkaista hyrräliikkeen liikeyhtälöt. Tuntemattomana on kulmanopeus Ω. Hitaustensori on tällöin mikä voidaan kirjoitaa lyhemmin I(Ω B ) = i 1 ω 1 e 2 e 3 + i 1 ω 2 e 3 e 1 + i 3 ω 3 e 1 e 2 = i 1 Ω B + (i 3 i 1 )ω 3 Ie 3, (49) I(Ω B ) = i 1 Ω B + (i 3 i 1 )(Ω B e 3 )e 3. (50) un sijoitetaan hitaustensori edellisen kappaleen liikeyhtälöön, saadaan I( Ω B ) = (i 3 i 1 )Ω B ((Ω B e 3 )e 3 ). (51) oska Ω B e 3 on trivektori voidaan viimeiseen muotoon soveltaa duaalia, jolloin saadaan I( Ω B ) = (i 3 i 1 )e 3 ((Ω B e 3 )Ω B ), (52) mistä seuraa, että e 3 I( Ω B ) = 0 = i 3 ω 3 I. (53) 7 Homma tosi ei ole aivan triviaalia ja tarvitaan mm. elliptisiä funktioita. atso esim. Arnold, Vladimir Igorevich: Mathematical methods of classical mechanics 9
10 ulmanopeus ω 3 on siis vakio. Tällöin Eulerin yhtälöistä seuraa, että iω B = I( Ω B ) + (i 1 i 3 )ω 3 Ie 3. (54) un sijoitetaan tämä kulmanopeuksien relaatioaan, saadaan Tällöin roottoriyhtälöksi saadaan un merkitään Ω = Rω B R = L i 1 + i 1 i 3 i 1 ω 3 RIe 3 R. (55) Ṙ = 1 2 ΩR = 1 2i 1 (LR + R(i 1 i 3 )ω 3 Ie 3 ). (56) Ω l = L i 1 ja Ω r = ω 3 i 1 i 3 i 1 Ie 3, (57) saadaan roottoriyhtälö muotoon un merkitään un integroidaan, saadaan Ṙ = 1 2 Ω lr 1 2 RΩ r. (58) R(t) = exp( 1 2 Ω lt)r 0 exp( 1 2 Ω rt). (59) 10
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotKlassista mekaniikkaa - kahden kappaleen probleema
Klassista mekaniikkaa - kahden kappaleen probleema 24. marraskuuta 2005 Sisältö 1 Periaatteet 2 1.1 Liikemäärämomentti....................... 4 1.2 Partikkelisysteemi......................... 5 2 Kahden
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi:
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
Lisätiedot2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme
. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme William Kingdon Cliord (1845-1879) esitteli geometrisen algebransa 1800- luvulla. Cliord yhdisti sisä- ja ulkotulot yhdeksi tuloksi, geometriseksi tuloksi.
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotFysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.
766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s. 40-118. Johdanto Fysiikka on perustiede.
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille
LisätiedotHitaustensori. Inertiaalikoordinaatisto {x} Kappaleen (mahd. ei-inertiaalinen) lepokoordinaatisto {y} )2 x = 1 2 T = 1.
Torstai 2.10.2014 1/20 Hitaustensori Inertiaalikoordinaatisto {x} Kappaleen (mahd. ei-inertiaalinen) lepokoordinaatisto {y} T = 1 m i ( r i 2 )2 x = 1 m i ( R + ω ri ) 2 2 i i = 1 2 M R 2 + 1 2 ω i I ik
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
Lisätiedot6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA. 6.1 Pyörivistä kappaleista. Vaasan yliopiston julkaisuja Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa
Vaasan yliopiston julkaisuja 93 6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA Ch:DotCross :RotatingBody sec:fmomspace 6.1 Pyörivistä kappaleista 6.1.1 Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa Seuraavassa pohdiskelussa
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot