Fyiia evät 006 JAMK/IT -Intituutti Luentoonite: Meaniia Pai Repo & Pea Vai (päivitetty..06) 0. Johdanto... 0.. Fyiian ääitelä... 0.. Mittau ja yiöt.... -ulotteita ineatiiaa... 3.. Keivauhti... 3.. Keinopeu... 3.3. Taainen liie... 4.4. Hetellinen nopeu... 4.5. Kiihtyvyy... 5.6. Taaieti iihtyvä liie... 5.7. Liie painovoiaentää... 6.8. Kuljettu ata pinta-alana (t,v)-oodinaatitoa... 6. 3-ulotteita ineatiiaa... 6.. Vetoilaentaa... 6... Peuäitteitä... 6... Vetoeiden yhditäinen... 7..3. Vetoeiden oponenttieity... 7.. Paia-, nopeu- ja iihtyvyyvetoit... 8... Paiavetoi... 8... Nopeuvetoi... 8..3. Kiihtyvyyvetoi... 9.3. Taaieti iihtyvä liie... 9.4. Heittoliie... 9 3. Ypyäliie... 3.. Taainen ypyäliie... 3.. Yleinen ypyäliie... 4. Suhteellinen liie... 4... Galilein uunno... 5. Dynaiia... 3 5.. Newtonin lait... 3 5... Newtonin. lai (jatavuuden lai)... 3 5... Newtonin. lai (dynaiian peulai)... 3 5..3. Newtonin 3. lai (vaiutuen ja vatavaiutuen lai)... 3 5.. Voiien yhditäinen... 4 5.3. Liieyhtälö... 4 5.4. Painovoia ja paino... 5 5.5. Tuivoia... 5 5.6. Newtonin laien ovelluia... 6 5.6.. Kappale, jota vedetään öydellä vaaauoaa itatonta alutaa pitin... 6 5.6.. Liie itattoalla altevalla taolla... 7 5.6.3. Kai toiiina öydellä yhditettyä appaletta, joita vedetään öydellä itattoalla alutalla... 8 5.7. Kita... 8 5.7.. Liuuitavoia... 9 5.7.. Lepoitavoia... 0 5.8. Taaien ypyäliieen dynaiiaa... 6. Työ, enegia ja teho... 6.. Työ... 6.. Enegia... 3 6... Potentiaalienegia... 3 6... Liie-enegia (eli ineettinen enegia)... 3 6..3. Meaanien enegian äilyinen... 4 6.3. Teho... 5 7. Liieäää ja ipuli... 6 7.. Liieäää... 6 7.. Ipuli... 6 8. Liieäään äilyinen ja töäyet... 7 8.. Liieäään äilyinen... 7 8.. Töäyet... 7 8... Täyin ioia töäy... 8 8... Täyin ioton töäy... 8 8..3. Oittain ioia töäy... 8
Fyiia evät 006 Meaniia 0. Johdanto 0.. Fyiian ääitelä Fyiian opati ääitelä: Fyiia on peuluonnontiede joa tutii aiia luonnoniliöitä ja pyii elittäään ne yleiten peulaien avulla. Huo.: ) Fyiia on luonnontiede ) Fyiian piiiin uuluvat aii luonnoniliöt 3) Fyiia on peuluonnontiede 4) Fyiia tutii yleiiä peulaeja (ateatiia ielenä) 0.. Mittau ja yiöt Fyiia on oeellinen tiede, aii fyiaalinen tieto peutuu ittauiin. Mittauita aadaan vantitatiivita tietoa luonnoniliöitä. Määiteliä: ) Fyiaalinen uue Fyiaalien yteein (appaleen iliön) itattava oinaiuu ) Mittau Taateluohteena olevan uueen vetaainen ovittuun ittayiöön Mittauen tulo l. ittaluu ilaiee uina onta etaa ittayiö iältyy itattavaan uueeeen, t. uue = ittaluu ittayiö Fyiaaliet uueet jaautuvat ahteen yhään: peuuueiiin ja johdettuihin uueiiin. Eiei: Valitaan peuuueii pituu ja aia, tällöin pituu nopeu = aia on johdettu uue. Suuejäjetelä = peuuueiden valinta Mittajäjetelä = uuejäjetelän ja ittayiöiden valinta Kanainvälieti ovittu ittajäjetelä: SI-jäjetelä Peuuue Yiön nii Tunnu pituu eti aia eunti aa ilogaa g ähövita apeei A läpötila elvin K valovoia andela cd aineäää ooli ol Meaniiaa on ole peuuuetta: pituu, aia ja aa. Näiden uueiden avulla voidaan uvata täydellieti hiuaen ( = piteäinen appale, jolla ei ole ulottuvuutta eiä iäitä aennetta) eli aapiteen äyttäytyinen.
Fyiia evät 006 Meaniia 3. -ulotteita ineatiiaa Määitelä: Kineatiia on oppi appaleen liietilata iinnittäättä huoiota iihen, iten liietila yntyy (vt. dynaiia). Luonnoa eiintyvä liie, ei. hyönteien lento, on yleenä oliulotteita ja äyäviivaita. Monia liieitä voidaan pitää aiulotteiina eli taoliieinä. Eieii heitetty pallo pyyy oo ajan aaa pytytaoa. Yinetaiinta on -ulotteinen eli uoaviivainen liie, jona ataäyä on uoa... Keivauhti Määitelä: Keivauhti = uljettu ata äytetty aia, SI-yiö Eiei: Henilö juoee 00 :n atan :a ja en jäleen ävelee taaiin lähtöpaiaana 80 :a. 00 = 9, juou 00 eivauhti = =, ävely 80 00 =, oo ata 9.. Keinopeu Valitaan oodinaatito iten, että appaleen atauoa = aeli. Tällöin liieata voidaan ilaita ateaattieti: ijainti ajan t funtiona = t (). Liieadan uvaaja voidaan eittää gaafieti ( t-oodinaatitoa:, ) Määitelä: Keinopeu v = Δ Δ t, SI-yiö. t t t t Sii iityä Δ = jaettuna aiavälillä Δ t = t t Δt t Δ t Kuvaajata nähdään, että einopeu t, yhditävän uoan ulaeoin. ja ( ) v on piteitä ( t, ) Huo.: Δ voi olla > 0 tai < 0 liieen uunnata. v voi olla > 0 tai < 0 t. v :n ei iippuu Δ (iityä, ei ata) ottaa huoioon vain alu ja loppupiteet
Fyiia evät 006 Meaniia 4 Eiei: (jatoa ) v + 00 00 =+ 9, juou, =, ävely 80 = 0 = 0 oo ata 9.3. Taainen liie Taainen liie on yinetaiin liieen alli. Liie on taaita, jo en einopeu aiina aiaväleinä on aa. Tää einopeu on taaielle liieelle oinainen vaio v 0, joa ääittelee liieen nopeuden. Taaien liieen uvaaja ( toodinaatitoa on uoa, jona ulaeoin on taaien liieen nopeu v 0, ). Taaien liieen adan yhtälö on ii: Tää on uoan ( ) ( t) = 0 + v0t, iä 0 on appaleen ijainti ajanhetellä t = 0 ja v 0 on liieen nopeu = t yhtälö (t,) oodinaatitoa..4. Hetellinen nopeu A Δt t A t D t B t E t C Δ t Oheien uvaajan uaiea liieadaa nopeu ei vaio, illä einopeu iippuu aiavälitä Δ t. Miäli halutaan ääittää hetellinen nopeu ohdaa A (ajanhetellä t A ), voidaan taatella yhä lyhyepiä aiavälejä Δ t (uvaajaa t A :ta t, t, t, B C D t E :hen). Näin aiaväliä lyhentäällä aadaan hetellinen nopeu piteeä A aja-avona Δ d( ta ) vt ( A ) = li =. Geoetinen eity tälle on Δ t 0 Δt dt uvaajalle piteeeen A piietyn tangentin ulaeoin. Määitelä: Hetellinen nopeu v on liieadan uvaajan tangentin ulaeoin. Hetellien nopeuden ajanhetellä t A antaa liieadan () t deivaatta: d( ta ) vt ( A ) = dt Sii jo liie ei ole taaita, nopeu on ajata iippuva v = v( t). Nopeu etoo uina onta pituuyiöä appaleen ijainti uuttuu yhdeä aiayiöä. Taein ottaen hetellinen nopeu etoo uina onta pituuyiöä appaleen ijainti uuttuii yhdeä aiayiöä, jo nopeu olii aa oo aiayiön ajan. Keinopeu etoo uina onta pituuyiöä appaleen ijainti eiääin uuttuu yhdeä aiayiöä. Eiei: 6 4 / 4 6 8 0 t/ Oheien uvaajan uaiea liieeä nopeu on ollut uuiillaan n.,3 ohdalla 5,5 =, un taa ei. 5 eunnin ohdalla nopeu on ollut n. 0, 4 5, 5 on ollut 6 = 0, 6 0. Keinopeu välillä 0 0
Fyiia evät 006 Meaniia 5.5. Kiihtyvyy Kiihtyvyy uvaa nopeuden uutota. Taaiea liieeä nopeu v = vaio, jolloin iihtyvyy = 0. Jo v vaio, niin yeeä on iihtyvä liie ja iihtyvyy 0. Jo iihtyvyy = vaio, niin yeeä on taaieti iihtyvä liie. Δv Määitelä: Keiiihtyvyy a =, iä Δ v = v v on nopeuden uuto ja Δ t Δ t = t t on ajan uuto Keiiihtyvyy ii ittaa nopeuden eiäääitä uutovauhtia. SI-yiö on = Huo.: a voi olla > 0 tai < 0 iippuen Δ v :n eitä. Määitelä: Hetellinen iihtyvyy a on äyän v = v( t) tangentin ulaeoin dv( t) d ( t) a = = dt dt (Sii uten hetellinen nopeu v, utta taateltuna (t,v) oodinaatitoa) Kiihtyvyy etoo uina onta nopeuyiöä appaleen nopeu uuttuu yhdeä aiayiöä..6. Taaieti iihtyvä liie Taaieti iihtyvää (uoaviivaiea = uunta ei uutu) liieeä a = vaio ja a = a (oa a ei iipu ajata). Oletetaan että hiuaen alunopeu on v0 v( t 0) vt ( ) = v. Tällöin v v = = = = + t 0 0 a a at v v0 v v0 at = =, ja että ajanhetellä t > 0 nopeu v Tää on uoan v v( t) = yhtälö (t,v) oodinaatitoa Δ 0 Koa v = =, niin hiuaen paia hetellä t > 0 Δt t 0 = + v t. Taaieti iihtyvälle liieelle pätee yö on 0 v = ( v0 + v). Kun ijoitetaan tää edellieen yhtälöön, aadaan = 0 + ( v0 + v) t, ja edelleen ijoittaalla tähän v = v0 + at aadaan lopulta () t = 0 + v0t+ at v 0 Δt Δv Δv a = Δ t t Sii taaieti iihtyvää liieeä appaleen ijaintia ajan funtiona uvaava äyä (t,) oodinaatitoa on paaabeli. 0 t
Fyiia evät 006 Meaniia 6 Eiei: Auton nopeu on 4 /. Jauttainen aiheuttaa taaien hidatuvuuden 4,0 /. Määitä jautuata. Laetaan enin jautueen uluva aia: ( ) v = v0 + at 0 = 4 / + 4, 0 / t t = 6, 0 Matalle aadaan: = ( ) ( ) 0 + v0t+ at = 0 + 4 / 6, 0 + 4, 0 / 6, 0 = 7.7. Liie painovoiaentää Vapaa putoailiie: liie, joa ilanvatu y. vatuvoiat on jätetty huoiotta. Kaiien appaleiden, jota putoavat vapaati aan pinnan lähellä, aaa iihtyvyy on vaio g = 9,8. g ooittaa aina alapäin, valitaan oodinaatito.e. aeli ooittaa ylöpäin, jolloin hiuaen aaa iihtyvyy on negatiivinen a = g( < 0). v = v0 gt = 0 + v0t gt.8. Kuljettu ata pinta-alana (t,v)-oodinaatitoa Kun liieen nopeu v tunnetaan ajan funtiona, voidaan piitää (t,v)-oodinaatitoon nopeuden uvaaja. Tää uvaajaa aiavälillä t t uljettua ataa eittää uvaajan v() t ja t-aelin väliin jäävä pinta-ala välillä t t. Tää on luettava poitiiviena t-aelin yläpuolella ja negatiiviena t-aelin alapuolella. Eiei: 4 v// 3 4 5 t/ Oheien uvaajan tilanteea appale on liiunut aiavälillä 0 + 4 = 6 poitiivieen uuntaan (puoliuunniaan pinta-ala) Aiavälillä 5 appale on liiunut negatiivieen uuntaan 3 3= 9 (uoaulion ala) Saat tuloet aataiiin yö lauaavoja äyttäällä.. 3-ulotteita ineatiiaa Yiulotteien (uoaviivaien) liieen yleity: 3-ulotteinen liie, jota voidaan äitellä olena yiulotteiena liieenä vetoeiden äyttö.. Vetoilaentaa... Peuäitteitä Aia, läpötila ja aa ovat uueita, joita voidaan uvata yilölliellä luvulla. Tällaiet uueet ovat alaaeja. Joihinin uueiiin, ei. nopeuteen, iihtyvyyteen ja voiaan liittyy uuuuden liäi uunta. Suuuuden ja uunnan avulla uvatut uueet ovat vetoiuueita. Ei. oliulotteiea avauudea liiuvan appaleen nopeu äittää vauhdin (/) ja liieen (nopeuden) uunnan.
Fyiia evät 006 Meaniia 7 Vetoiuuetta voidaan havainnollitaa nuolella, jona pituu iloittaa uueen uuuuden. Pituudeta äytetään yö teiä vetoin iteiavo. Kaavoia ja lauia vetoiuue eotetaan alaaita ijoittaalla viiva tai nuoli vetoia uvaavan ybolin päälle, ei. v tai v. Vetoin iteiavoa (uuuutta, pituutta) eitään iteiavoeien avulla v, vetoin iteiavo on ii pelä luu eli alaai. a b... Vetoeiden yhditäinen Kahden voian yhditäinen tavalliella yhteen- tai vähennylaulla äy vain, un ne vaiuttavat aaan uuntaan tai vataaiiin uuntiin. Muua tapauea täytyy yhditää voiia uvaavat vetoit. Vetoeiden a ja b ua uodotetaan iitäällä b yhdenuuntaiiiolla alaaan piteetä, johon a päättyy, ja yhditäällä vetoin a alupite ja b loppupite. Vetoi voidaan etoa luvulla (alaailla), jolloin vetoin uunta ei uutu, vaan ainoataan vetoin pituu (iteiavo) tulee eottua o. luvulla. Toin jo luu on negatiivinen, vetoin uunta uuttuu vataaiei. Meintä a (= a ) taoittaa vetoin a vatavetoia, joa on ii aanittainen uin a, utta vataaiuuntainen...3. Vetoeiden oponenttieity y-taoa vetoit iloitetaan yleenä oodinaattiaelin uuntaiten antavetoien î ja ĵ avulla, jota ovat - ja y-aelin uuntaiet yiövetoit (pituu = ). Eieii piteetä (,) piteeeen (5,6) uleva vetoi aadaan, un ennään 3 yiöä ( î :tä) oiealle ja 5 yiöä ( ĵ :tä) ylöpäin. Näin ollen o. vetoi voidaan eittää uodoa 3iˆ+ 5ˆj. Muotoa a = a iˆ+ a ˆj olevaa eitytä ututaan vetoin y a oponenttieityei (etoiet a ja a y ovat luuja, ei vetoeita). Koponenttieityen avulla vetoeiden lautoiituet ovat helppoja uoittaa laealla eieen -aelin ja y-aelin uuntaiet oponentit. Jo taatellaan tilannetta 3-ulotteiea avauudea, otetaan äyttöön olain antavetoi, z-aelin uuntainen ˆ. Nyt vetoi voidaan iloittaa olen oponentin avulla a = a ˆ ˆ ˆ i + ay j + az. Koponenttieityetä voidaan laea vetoin pituu aavalla a = a + a + a. y z a + b a î î î a a ĵ ĵ ĵ ĵ ĵ b b a = a a = 0,5a
Fyiia evät 006 Meaniia 8.. Paia-, nopeu- ja iihtyvyyvetoit... Paiavetoi Tietyllä ajanhetellä hiuaen paian (oigon uhteen) antaa paiavetoi ( t) z Hiuaen ijainti tietyllä ajanhetellä t zt () î () t ˆ ĵ yt () y Tää vetoi voidaan eittää oodinaattiaelien uuntaiien oponenttivetoeiden uana: t = t i ˆ + y t ˆ j+ z t ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ Siityä ahden ajanheten t ja t eotu. Myö tää eitetään oponenttien avulla, t. uina paljon appale on iitynyt t välillä on paiavetoeiden ( ) -aelin, y-aelin ja z-aelin uunnia. Δ = t t = t t iˆ+ y t y t ˆj+ z t z t ˆ ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )... Nopeuvetoi Määitelä: Keinopeu(vetoi) Δ t t v = = Δt t t ( ) ( ) ja ( t ) Huo.: v on aanuuntainen iityävetoin Δ ana ( v Δ ) Hetellinen nopeuvetoi v antaa hiuaen nopeuden taateluhetellä t t. v = v( t) Myö nopeuvetoi eitetään yleenä uoaulaiten oponenttien avulla: v t = v () t iˆ+ v () t ˆj+ v () t ( ) ˆ y z Vauhti v on nopeuden v uuuu (iteiavo, vetoin pituu) vt = vt = v() t + v() t + v() t Eiei: () () y z y Oheieen iityään A B uluu aiaa 6,0. Lae einopeu. (Koodinaatiton pituuyiö on eti) B (,6) t ( ) = 4iˆ+ 3ˆj 3ˆ 3ˆ Δ = i + j t ( ˆ ˆ ) = i+ 6j Δ A (4,3) Δ 3iˆ+ 3ˆj ˆ v 0,5 0,5 ˆ = = = i + j Δt 6, 0 Eli appale on liiunut eiääin 0,5 negatiivien -aelin uunnaa (vaealle) ja aaa nopeutta poitiivien y-aelin uunnaa (ylöpäin)
Fyiia evät 006 Meaniia 9..3. Kiihtyvyyvetoi Määitelä: Keiiihtyvyy(vetoi) Δv v( t) v( t) a = = Δt t t Huo.: Kiihtyvyyvetoi on aanuuntainen nopeuden uutovetoin ana a Δv v() t :n uunnanuuto ja uuuuden uuto uuttavat a :ta Hetellinen iihtyvyy(vetoi) a antaa hiuaen iihtyvyyden taateluhetellä t a = a t = a () t iˆ+ a () t ˆj+ a () t ( ) ˆ y z Eiei: Auto uvaa 90 utan vaiovauhdilla 5 /,.e. utan ajo etää 6,0. Miä on eiiihtyvyy tällä aiavälillä? v v = 5 i ˆ v = 5 ˆ j v v v ˆ Δ = ˆ = 5 5 i j 5 iˆ 5 ˆj Δv ˆ a 4, 4, ˆ = = i j Δt 6,0 y v.3. Taaieti iihtyvä liie Oloon a = a ˆ ˆ ˆ i + ay j+ az ovat vaiota. Tällöin v = v0 + at v = v0 + at vy = v0y + ayt vz = v0 z + azt = vaio(vetoi), ii ei iipu ajata, jolloin a, ay, a z = 0 + v0t + at = + v t + at y = y + v t+ a t z = z0 + v0zt + azt 0 0 0 0y y.4. Heittoliie Koliulotteien ineatiian ovellu: heittoliie painovoiaentää. Koodinaatito voidaan valita iten, että appaleen liie tapahtuu oo ajan aaa pytytaoa 3-ulotteieta -ulotteiei ongelai. Aetetaan oigo appaleen lähtöpiteeeen, näin aadaan appaleen ataäyä: y v 0 y v 0 lentoata Tää v 0 on appaleen alunopeuvetoi ja α on appaleen lähtöula. Lähtöulan avulla alunopeuvetoi voidaan jaaa pyty- ja vaaauoiin oponentteihin: v ˆ ˆ 0 = v0i + v0y j = v coα iˆ v inα ˆ + j v = v ( ) 0 0 0 0 α v 0
Fyiia evät 006 Meaniia 0 Jo ilanvatuta ei oteta huoioon, appaleen nopeu -aelin uunnaa on vaio oo heittoliieen ajan, un taa y-aelin uunnaa appale on painovoian aiheuttaaa taaieti iihtyvää liieeä, iä a = g ˆj Näin appaleen nopeudei ja ijainnii ajanhetellä t aadaan: v () ( ) 0 co t v0 coα t = v α t = vy () t = v0 inα gt y() t = v0 inα t gt Lentoadan oinaiuuien laeinen Lentoaia T: laetaan, illoin appaleen ijainnin y-oodinaatti on jälleen nolla yt () = 0 ( ) Nouuaia t a : laetaan, illä ajanhetellä appaleen nopeu y-uunnaa on nolla v () t = 0 ( y ) Lentoata eli antaa R: laetaan appaleen ijainnin -oodinaatti hetellä t = T ( T ) ( ) Nouuata eli laioeu y a : laetaan appaleen ijainnin y-oodinaatti hetellä yt ( ) t = t a ( ) a Eiei: Pallo heitetään ulaa 45 vinoti ylöpäin alunopeudella 30,0 /. a) Määitä en iihtyvyy, nopeu ja paia ajanhetellä t =,0. b) Miä on pallon nouuaia? a) Kiihtyvyy on oo lennon ajan vaio ˆ a = g j = 9,8 ˆj Nopeuvetoi ja paiavetoi aadaan laealla eieen vetoeiden - ja y- uuntaiet oponentit: v () t = v0 coα = 30, 0 co 45, vy () t = v0 in α gt = 30, 0 in 45 9, 8, 0, 57 (, 0 ), ˆ v = i +, 57 ˆ j () t = v0 coα t = 30, 0 co 45, 0 4,4 y() t = v0 in α t gt = 30, 0 in 45, 0 9, 8 (, 0 ), 8, 0 = 4, iˆ+, 8 ˆj ( ) b) Tutitaan illoin nopeu y-uunnaa on 0. vy () t = v0 in α gt = 30, 0 in 45 9,8 t = 0 t,
Fyiia evät 006 Meaniia 3. Ypyäliie Ypyäliie on yhden hiuaen liiettä pitin iinteän ypyän ehää. Se on yinetaiin alli pyöiiliieetä. Kun jäyä appale pyöii iinteän aelin ypäi, en joainen pite on ypyäliieeä. Kappaleen ollea ypyäadalla on äytännöllitä iityä taateleaan uljetun atan Δ ijata pyöähdyulan φ uutota Δ φ. 3.. Taainen ypyäliie Taaiea ypyäliieeä hiuaen vauhti on vaio, utta oa nopeuden uunta uuttuu, iihtyvyy 0, eli yeeä on iihtyvä liie. Kuitenin aaa ajaa hiuaen ietoula φ uuttuu aina aan vean. Määitelä: Kulanopeu Δφ φ φ ω = = Δt t t SI-yiö on ad Huo.: ) φ itataan adiaaneia ) 360 = π adiaania Δ 3) Δ φ = ( on ataypyän äde) 4) ω on ii ulan uutonopeu 5) ω ovaa ypyäliieeä vauhdin v äitteen 6) Taaiea ypyäliieeä ω = vaio (vt. taainen liie) Δφ Δ π Kieoaia T = etoo uina paljon hiuaelta uluu aiaa yhteen ieoeen ω (unin ieoen aiana ula uuttuu π adiaania) ω Pyöiitaajuu f = = etoo ieoten luuäään aiayiöä; T π SI-yiö on Hz = (heti) Jaon T aiana hiuanen ulee atan π (= ypyän piii) π Hiuaen vauhti on v = v = ω T Ypyäataa ietävän hiuaen nopeuvetoi uuttuu ajan uana. Tää taoittaa itä, että hiuanen on iihtyvää liieeä. Voidaan ooittaa, että tää iihtyvyyvetoi ooittaa ypyän eipiteeeen. v a a 3 a v v 3
Fyiia evät 006 Meaniia Määitelä: Keeiiihtyvyy v a = = ω Eiei: LP-levy pyöii 33 ieota inuutia. Levyn halaiija on 30 c. Lae ulanopeu ja levyn uloadalla olevan pölyhiuaen 3 vauhti. f ω 33 3 ad = ω = π f = π 3,5 π 60 ad v = ω = 3, 49 0,5 0,5 3.. Yleinen ypyäliie Hiuaen ulanopeu ω vaio. Edelleen hiuaen vauhti v hiuaella on liieadan uuntaita iihtyvyyttä. = ω ja eeiiihtyvyy a ω =. Näiden liäi Määitelä: Tangentiaaliiihtyvyy at = α, iä Δω ad α = on ulaiihtyvyy SI-yiö Δ t Huo.: ) Tangentiaaliiihtyvyy liittyy atanopeuden uuttuieen ) Kulaiihtyvyy on ulanopeuden uutonopeu 3) Liieen oonaiiihtyvyy on a = a = a + a t 4. Suhteellinen liie Kappaleen paia ja tietyn tapahtuan ajanheti eivät ole havaitijata (ittaajata) iippuattoia. Paia ja aia ovat uhteelliia äitteitä: Paia itataan valitun oodinaatiton uhteen Tapahtuan ajanheti taoittaa aiaa valitun ajan nollaohdan uhteen. Tään vuoi yö liie (nopeu) on uhteellita. Liiettä aanpinnalla taatellaan tavallieti liieenä Maan uhteen. Mutta liiuvaa junaa oleva voi yö todeta aean liiuvan junan uhteen. Tavallieti tää anotaan päinvatoin, oa aata on totuttu pitäään paiallaan olevana peuappaleena. 4... Galilein uunno Oloot oodinaatitot A ja B, jota liiuvat iten, että A:n nopeu B:n uhteen on v AB. Nyt appaleen C, jona iityä oodinaatitoa A on CA, iityä oodinaatitoa B on Δ CB = Δ CA +Δ, iä AB Δ on oodinaatiton A iityä oodinaatiton B uhteen. Vataavati appaleen C nopeu oodinaatiton B uhteen on A B v = v + v. CB CA AB Eiei: Matutat junaa, jona vauhti on 0 /h. a) Miä on nopeutei napaai iinnitetyn oodinaatiton uhteen? b) Miä on nopeutei junan iunata atotun luiuon uaan? c) Miä on nopeutei junan uuntaieti ajavan autoilijan (v = 00 /h) uhteen? d) Entä, jo auto ulee vataaieen uuntaan? a) 0 b) 0 /h c) 0 /h 00 /h = 0 /h d) 0 /h + 00 /h = 0 /h
Fyiia evät 006 Meaniia 3 5. Dynaiia Määitelä: Dynaiia on oppi voiita ja niiden vaiutueta appaleen liietilaan Klainen eaniia yhditää eilaiia liieitä oevat lait liieiliöiden yleiei teoiai. Siinä appaleen eteneiliieeeen vaiuttavat appaleen ja ypäitön oinaiuudet eitetään uueiiin aa ja voia F. Voia ilaiee ypäitön vaiutuen appaleen liieeeen. Klaien eaniian peulait eitti englantilainen Iaac Newton 600-luvulla. 5.. Newtonin lait 5... Newtonin. lai (jatavuuden lai) NI: Kappale, johon ei vaiuta uloita voiaa (= vapaa appale ) pyyy levoa tai jataa taaita uoaviivaita liiettä Mateaattieti: F = 0 v = vaio (tää F on appaleeeen vaiuttava uloinen voia, v on appaleen nopeu) 5... Newtonin. lai (dynaiian peulai) NII: Kappaleeeen vaiuttava oonaivoia F aa aiaan appaleelle iihtyvyyden a iten, että F = a (tää on appaleen aa) Huo.: Eiei: ) Voia on vetoiuue ) Voian SI-yiö: g = N = Newton 3) F on appaleeeen vaiuttavien voiien vetoiua eli eultanttivetoi (t. 5. Voiien yhditäinen) Heitetään pallo ohtiuoaan ylöpäin. Heiton itoaien jäleen pallolla on oo liieen ajan iihtyvyy 9,8 / (alapäin). Sii palloon vaiuttava oonaivoia ooittaa oo ajan alapäin; vaia pallo liiuuin alui ylöpäin, ei iihen vaiuta ylöpäin voiia, oa ylöpäin uuntautuva liie hidatuu iihtyvyyden uunta on alapäin. 5..3. Newtonin 3. lai (vaiutuen ja vatavaiutuen lai) NIII: Kai appaletta vaiuttaa toiiina yhtä uuilla ja vataaiuuntaiilla voiilla Mateaattieti: F = F (tää F = appaleen appaleeeen ohditaa voia ja F = appaleen appaleeeen ohditaa voia) Huo.: ) Vaia voiat ovat yhtä uuet ja vataaiuuntaiet, niiden vaiutuet liietilaan ovat eilaiet, illä ne vaiuttavat ei appaleiiin NΙΙ ) F = F a = a
Fyiia evät 006 Meaniia 4 Eiei: 4 Maa ( = 5, 974 0 g) vetää puoleena tennipalloa ( = 58 g ) voialla, jona uuuu on 0,570 N. Tällöin yö tennipallo vetää aata puoleena aanuuuiella, utta vataaiuuntaiella voialla. Tennipallolle F 0, 570 N F = a a = = 9,8 ( = g) 0,058 g Maapallolle F 0, 570 N 6 F = a a= = 9, 5 0 0 4 5, 974 0 g 5.. Voiien yhditäinen Jo appaleeeen (aa = ) vaiuttaa aanaiaieti ueita voiia F, F, F3,..., niin appale aa iihtyvyyden, joa vataa oonaivoiaa F = F + F + F + = a (luonnonlai aivan uten Newtonin laitin) 3... Eiei: Voiavetoeiden yhditäinen gaafieti F F F 3 F F 3 F = F+ F + F3 F 5.3. Liieyhtälö NII:ta ututaan uein niellä liieyhtälö. Jo appaleeeen vaiuttava voia tunnetaan, niin NII antaa iihtyvyyden, jolloin appaleen liietila aadaan täydellieti ääiteltyä: F a = F ( tunnetaan) a = liietila ( v ja, un v0 ja 0 tunnetaan) Käänteinen ongela: a tunnetaan, NII antaa appaleeeen vaiuttavan voian F F = a( tunnetaan) F Eiei: 950 g auto iihdyttää taaieti 0 00 /h 0 eunnia. Lae autoon vaiuttava voia. 00 / 3,6 Δv a = = =,78 F = a = 950 g, 78, 6 N Δt 0 Tää F on liieen uuntainen oonaivoia (= oottoin aiaanaaa voia vatuvoiat)
Fyiia evät 006 Meaniia 5 5.4. Painovoia ja paino Maan painovoian eli gavitaation -aaieen ohditaa voia G on vetovoia. Oli (t..7.): Lähellä aan pintaa painovoian aiheuttaa iihtyvyy g on vaio(vetoi) vapaaa putoailiieeä. NII G = g G :n uunta on aina ohti aapallon eipitettä Yleiieleä teillä paino taoitetaan uein appaleen aaa. Fyiian ieleä paino taoittaa uitenin voiaa. Standadin uaan appaleen paino on e voia, joa on uottava appaleen pitäiei paioillaan tietyä oodinaatitoa. Jo appaleeeen ei vaiuta uita voiia y-uunnaa, niin appaleen paino w on painovoian uuuinen voia: w= G = g = g Huo.: Kappaleen paino w iippuu paiti aata yö g:tä (g vaihtelee) 5.5. Tuivoia Maanpinnan läheiyydeä appaleeeen vaiuttaa aan painovoia G = g, jolloin joaien appaleen tulii NII:n uaan iihtyä iihtyvyydellä g. Kuitenin eieii pöydälle aetettu ija jää paialleen, t. ijaan vaiuttavien voiien uan on oltava 0. Eli on oltava G :lle yhtä uui ja vataaiuuntainen voia, joa uoaa ijaan ohdituvan painovoian. Kappaleeeen ohdituvaa oetuvoiaa anotaan pinnan tuivoiai N, joa on aina ohtiuoaa oetupintaa eli tuipintaa vataan. N NII a = 0 F = N + G = 0 G N G N Riputu- tai iinnityöyi aiheuttaa appaleeeen tuivoian T, joa ajoittaa appaleen liiettä öyden uunnaa. T vaiuttaa öyden iinnityohdaa ja on öyden uuntainen. T G T N G
Fyiia evät 006 Meaniia 6 Eiei: Kappale (aa = ) iihtyvää liieeä (iihtyvyy = a) olevan hiin lattialla. y Hiioppi liiuu ylöpäin iihtyvyydellä a = aˆj = va- io N Kappaleeeen vaiuttavat voiat: NII: a = F = N + G aj ˆ = Nj ˆ Gj ˆ a = N G = N g N = g + a = ( g + a) Koa lattian tuivoia N ja appaleen lattiaan ohditaa voia ovat vatavoiapai, aadaan N = w jota edelleen appaleen paino w = w = N = ( g + a) G = g 5.6. Newtonin laien ovelluia Voia- eli vapaaappalediagain piitäinen ja oodinaatiton valinta. Voiadiagai: eitetään aii appaleeeen vaiuttavat voiat Koodinaatito: Valitaan (,y)-oodinaatito, jona uhteen liiettä taatellaan Sii: Kappaleen liietilan ääittää täydellieti iihen vaiuttavien voiien vetoiua. jo a > 0, paino liääntyy jo a < 0, paino vähentyy jo a = g, t. hii ja appale ovat vapaaa putoailiieeä, appale on painoton y f N g T 5.6.. Kappale, jota vedetään öydellä vaaauoaa itatonta alutaa pitin Voiadiagai: öyi y N g T Liieyhtälö (NII): a = F = g + N + T = g ˆj + N ˆj + T iˆ tutitaan eieen - ja y-uunnia: a = T a y = N g ei liiettä y-uunnaa a y = 0 N = g -uunnaa: T a =
Fyiia evät 006 Meaniia 7 5.6.. Liie itattoalla altevalla taolla Valitaan oodinaatito iten, että -aeli on liieen (taon) uuntainen, ja jaetaan appaleeeen vaiuttavat voiat - ja y-aelin uuntaiiin oponentteihin. Voiadiagai N α = altevuuula g coα α g inα g α g (= G ) = aan vetovoia (uuntautuu uoaan alapäin, t. ei ole tää oodinaatitoa oodinaattiaelien uuntainen) N = tuivoia (ohtiuoaa alutaa vataan, t y-aelin uuntainen) Liieyhtälö (NII): a = F = g + N Jaetaan aan vetovoia taon uuntaieen ja taoa vataan ohtiuoaan (- ja y- aelin uuntaiiin) oponentteihin: G = ginα ja tutitaan eieen liieyhtälöä - ja y-aelin uunnaa: Gy = gcoα a = g inα a = g in α ( = vaio! ) ay = N g co α, ay = 0 N = g coα Eiei: α = 30, Lae appaleen nopeu,0 uluttua liieellelähdötä. Kuina pitän atan appale on liuunut eniäien eunnin aiana. Kyeeä on taaieti iihtyvä liie -aelin (taon) uunnaa, jolloin nopeu ja paia ajanhetellä t aadaan aavoita: vt () = v0 + at () t = 0 + vot + at v(,0) = 9,8 in30,0 9,8, valitaan v(0) = 0 = v 0 (0) = 0 = 0 (,0) = 9,8 in30 (,0) 9,8 (paian voii laea helpoti yö einopeuden avulla)
Fyiia evät 006 Meaniia 8 5.6.3. Kai toiiina öydellä yhditettyä appaletta, joita vedetään öydellä itattoalla alutalla Oletu: öydet venyättöiä, appaleita yhditävän öyden aa häviävän pieni (= 0) veto öyi öyi Voiadiagait: ( appaletta, vain -uuntaiille voiille) T T F äi Jo väliöyi on evyt jännity aa oo öydeä (eit. oleia päiä) eli T = T eitään: T = T jolloin T = T Liieyhtälöt (NII): ( pl) a = F = T a = F= Fäi + T Koa öyi on venyätön, on aiien oien iihtyvyy aa: a = a öyi = a = a Laetaan ylin ja alin liieyhtälö puolittain yhteen: Fäi a + a = T+ Fäi + T ( + ) a = Fäi a = + ja eityieti -uunnaa: a = F äi + 5.7. Kita Kita (voia) = Kahta lajia: ahden appaleen oetupintojen välinen vatuvoia, joa pyii hidataaan tai etäään näiden pintojen liuuita toitena uhteen lepoita f liuuita f
Fyiia evät 006 Meaniia 9 5.7.. Liuuitavoia Vaiuttaa liiuvaan appaleeeen pyien hidataaan en liiettä Määitelä: f = μ N μ = liuuitaeoin Huo. Eiei: μ on palja luu, pintapaille oinainen vaio f :n uunta on aina appaleen liieuunnalle vataainen f :n uuuu ei iipu appaleen liieen nopeudeta, vaan pelätään pintojen laaduta (itaeoin) ja pinnan tuivoiata (joa iippuu appaleen aata) N voiadiagai vedettäeä appaletta oiealle italliella alutalla. T f g Eiei: Laatioa, jona aa on 45 g, vedetään vaionopeudella pitin vaaauoaa pintaa. Vetoöyden ja vaaataon välinen ula on 30,0 ja öyteen vaiuttaa 60 N voia. Kuina uui on liuuitaeoin? Voiadiagai: N F in 30 F f 30 F co30 g Liieyhtälö (NII): a = F = F + g + N + f = 0 (appale taaiea liieeä a = 0) tutitaan eieen -ja y-uunnat 0 = F co 30 f f = F co 30 = 60 N co 30 5,7 N 0 = F in 30 g + N N = g F in 30 = 45 g 9, 8 60 N in 30 3, 9 N = toiaalta f 5,7 N f = μn μ = = 0, 7 N 3, 9 N
Fyiia evät 006 Meaniia 0 5.7.. Lepoitavoia Vaiuttaa levoa olevaan appaleeeen pyien etäään en liieellelähtöä. Kappaletta voidaan vetää italliella alutalla eiuuuiilla voiilla iten, että appale pyyy uitenin paiallaan lepoitavoia vaihtelee en uaan, uina uuia ovat vataaieen uuntaan vaiuttavat voiat, ja appaleen pyyeä paioillaan lepoita on aina yhtä uui uin vataaieen uuntaan vaiuttavien voiien ua. Kun appaletta vetävät voiat avavat tapeei uuii, lähtee appale liieelle. Tään liieellelähtövoian uuuita itavoiaa anotaan uuiai (tai täyin ehittyneei) lepoitai f,a ja itä vataavaa itaeointa μ pintojen väliei lepoitaetoiei. Sii: f,a = μ N μ = lepoitaeoin (yleenä μ > μ, eli appaleen aainen liieelle vaatii uuean voian uin appaleen pitäinen taaiea liieeä) Oheinen uvaaja uvaa itavoian f uuuutta vataaieen uuntaan vaiuttavan voian (tai voiien uan) F funtiona: f f,a = μ N f = F f = μ N f,a F appale levoa appale liieeä Eiei: Aetetaan euon olio vaaa-aennoa olevan ijan päälle. Aletaan piuhiljaa allitaaan ijaa, eitään allituulaa α :lla. Kun α avaa tiettyyn avoon α, a alaa olio liuua alapäin. Määitä ula α, un ijan annen ja olion välinen lepoitaeoin μ tunnetaan. a α
Fyiia evät 006 Meaniia Voiadiagai: y Liieyhtälö (NII): a = F = g + N + f = 0 (appale levoa) tutitaan eieen -ja y-uunnat 0= g inα f f = g inα 0 = g coα + N N = g coα α g in α N g f g coα oa liieellelähdön ajalla f = μn g inα = μ g coα a a μ = = coαa a inα α = tan μ tanα a a 5.8. Taaien ypyäliieen dynaiiaa v Oli (3..): eeiiihtyvyy a = ohti ataypyän eipitettä. NII:n uaan iihtyvyy aiheutuu voiata: v F = a=, jona uunta ooittaa ohti ataypyän eipitettä. F v (aava etoo vain voian uuuuden) F on nieltään eeivoia (tai eihauivoia). Keeivoia on e oonaivoia, iä tavitaan pitäään hiuanen, jona aa on, -äteiellä ypyäadalla. Eieii langan päää pyöivälle appaleelle eeivoiana toiii voia, jolla lana vetää appaletta ohti eipitettä. Jo lana ateaa, ei voiaa enää ole ja appale jataa uoaviivaieti adan en hetien tangentin uuntaan. Huo. Keipaoivoia on näennäinen (uviteltu) voia, joa tuntuu ei. uuella nopeudella aaetta ajavaa autoa, jolloin tuntuu uin join voia työntäii havaitijaa poi adalta. Toiaiaa uaan tai iään ei työnnä, vaan pyyäeen adalla henilön on ite pidettävä ituieta iinni, jolloin ituin aiheuttaa häneen eipiteeeen päin olevan voian. Kuviteltu eipaoivoia johtuu ii iihtyvää liieeä olevata havaitijata. 6. Työ, enegia ja teho Luonnontieteiden täein uue on enegia. Enegia eiintyy ueapana eilaiena uotona: eaaninen enegia, läpöenegia, eiallinen enegia, ähöagneettinen enegia gavitaatioenegia ja ydinenegia. Kun enegia uuttuu uodota toieen,
Fyiia evät 006 Meaniia enegian oonaiua äilyy vaiona. Ueiia enegiauutoia join voia teee työtä ja työn teeien ipey ilaitaan tehona. Tää oniteea taatellaan lähinnä eaanita enegiaa. 6.. Työ Vaiovoian F vaiutupiteen iityeä voian uuntaan atan, voia teee työn W = F Jo iityä ei ole voian uuntainen, otetaan voiata huoioon vain iityän F = F coθ, jolloin voian teeä työ on uuntainen oponentti ( ) W = F = F co θ Työ on ii alaaiuue ja työn SI-yiö on g [ W ] = N = J (joule) J = Joule on yö aienuotoien enegian SI-yiö. Jo voia on ohtiuoaa iityää vataan, niin voian iityän uuntainen oponentti on nolla, ja illoin yö voian teeä työ on nolla. Eieii appaleen iityeä vaaauoaan painovoian teeä työ on nolla. Myöään eeivoiat eivät tee työtä pitäeään appaleen ypyäadalla. Työ on negatiivinen, jo voian vaiutuuunnan ja iityän uunnan välinen ula on yli 90. Eieii itavoian teeä työ on negatiivinen (voian ja iityän välinen ula on 80 F θ F coθ Eiei: Kappale liuuu altevaa taoa pitin alapäin atan Δ =. Kappaleen aa on = g, taon altevuuula α = 40 ja liuuitaeoin = 0,36. Lae appaleeeen vaiuttavien voiien (painovoia, pinnan tuivoia ja itavoia) teeät työt. Voiadiagai N f y g coα α g g inα α Määitetään enin liieyhtälötä tuivoian N ja itä autta itavoian f uuuudet: y-uunnaa: N gcoα = a = 0 N = gcoα Nyt itavoiai f aadaan f = μn = μgcoα
Fyiia evät 006 Meaniia 3 Voiien teeät työt: Painovoia: WG = ginα Δ = g 9,8 in 40 = 90 J ( g in 40 on painovoian liieen uuntainen oponentti) toiaalta painovoian teeä työ on gh, oa h =Δ in 40 = oeueo Tuivoia: työ on nolla, oa voia on ohtiuoaa liiettä vataan Kitavoia: työ on negatiivinen, oa voia vaiuttaa liieuuntaa vataan Wf = μ co 0, 36 g 9,8 co 40 390 J g α Δ = = Eä työn uoto on nototyö, jota tehdään aina appaletta notettaea. Kappaleen notaiei vaionopeudella tavitaan NII:n uaan painovoian g uuuinen voia. Jo appale, jona aa on, notetaan oeudelle h, tehdään työ W = gh. Nototyöllä on ellainen oinaiuu, että e ei iipu tietä. Saanuuuinen työ tehdään, un notetaan appale uoaan auton lavalle tai vieitetään altevaa lanua pitin (jo vieiiitaa ei huoioida). 6.. Enegia Enegia on yy tehdä työtä. Miä tahana aine, laite tai olio, jolla anotaan olevan enegiaa, voi tehdä työtä eli ynnyttää liiuvia voiia. SI yiö : J (joule, uten työlle) Eieii oeudelle h notetulle -aaielle appaleelle tehdään työ W = gh. Tällöin illä on yy tehdä työtä aeana aniota. Kappaleella on enegiaa aan vean uin iihen tehtiin työtä. 6... Potentiaalienegia Potentiaalienegia = yy tehdä työtä ijaintina aniota p Määitelä: Kappaleen potentiaalienegia (painovoian aiheuttaana) on E = gh iä h on oeuuuntainen iityä (valitun potentiaalienegian nollataon uhteen) Näin ollen appaleelle tehty nototyö on yhtä uui uin appaleen potentiaalienegian liäy. Vataavati appaleen tullea alapäin, en potentiaalienegia pienenee ääällä, joa vataa painovoian appaleelle teeää työtä. 6... Liie-enegia (eli ineettinen enegia) Määitelä: Kappaleen liie-enegia on E = v iä v on appaleen vauhti v = v Liie-enegia on ii alaaiuue (ei vetoiuue), eli nopeuden uunta ei vaiuta liie-enegian uuuuteen. Kappaleeeen vaiuttavan oonaivoian (voiavetoeiden uan) iityää Δ = teeä työ W on yhtä uui uin appaleen liie-enegian uuto W = E E = v v
Fyiia evät 006 Meaniia 4 Eiei: Auto pyähtyy vaaauoalla tiellä luojautuea nopeudeta 85 /h. Renaiden ja tien välinen liuuitaeoin on 0,5. Lae jautuata. Jo ilanvatuta ei huoioida, on liuuita ainoa liieuunnaa vaiuttava voia (painovoia ja tuivoia uoavat toiena) f on autoon vaiuttava oonaivoia. Kitavoian uuuu on f = μn = μg ja itavoian teeä työ atalla Δ on Wf = f Δ = μg Δ. Tää työ on yhtä uui uin auton liie-enegian uuto: Δ E = 0 v = v 85 v 3, 6 μg Δ = v Δ = = = 55 μ g 0,59.8 6..3. Meaanien enegian äilyinen Kappaleen potentiaali- ja liie-enegian uaa ututaan appaleen eaaniei enegiai: Eo = Ep + E = gh+ v Tää on yö appaleen oonaienegia painovoiaentää. Jo ainoa eaanieen yteein vaiuttava voia on painovoia, niin appaleen oonaienegia ei ajanhetillä on vaio. E = E + E = vaio E + E = E + E o p p p Miäli appaleeeen vaiuttaa painovoian liäi uita voiia (ei. ita), näiden voiien teeä työ (uloinen työ W u ) näyy appaleen eaanien enegian uutoena. Saoin, jo yteei ite teee työtä (iäinen työ W ) ei. auton oottoi, näyy tääin työ eaaniea enegiaa. Voidaanin ijoittaa: W + W =Δ E u o Taennu: Potentiaalienegian äitteen voi laajentaa oeaan painovoian liäi uitain onevatiiviia voiia. Voia on onevatiivinen, jo en teeä työ ei iipu eititä, jota appale iityy piteetä toieen, vaan pelätään alu- ja loppuijainnita. Painovoian liäi toinen eiei onevatiivieta voiata on jouen haoninen voia (äitellään taein väähtely- ja aaltofyiian ouudea). Miäli appaleeeen vaiuttaa ueita onevatiiviia voiia, potentiaalienegiai E tulee laea aiien näihin liittyvien potentiaalienegioiden ua. p Huo.: Kita ei ole onevatiivinen voia. Eiei: Mie eioo oton eunalla ja heittää iven pytyuoaan ylöpäin alunopeudella 8 / iten, että ivi putoaa otoon. Millä nopeudella ivi ohtaa 49 lähtötaona alapuolella olevan oton pohjan? Tää aiein ineatiian aavoilla ataitu tehtävä voidaan nyt laea enegiapeiaatteen avulla. Kun vatuvoiia ei huoioida, on iven oonaienegia aa alua ja lopua. Valitaan potentiaalienegian nollataoi oton pohjan tao.
Fyiia evät 006 Meaniia 5 Eo = Ep + E = gh+ v = 9, 8 49 + 8 Eo = E = v Eo = Eo v = 9, 8 49 + 8 v = ± 35, 9 Luonnollieti nopeu on negatiivinen, joten vatau on 35,9 Eiei: Hyppyiäen ponnitupöydän ja vauhdinottoäen välinen oeueo on 43. Hyppääjä uineen painaa 75 g ja lähtee liuuaan ilan alunopeutta. Hyppyin noalla itataan hyppääjän nopeudei 86,4 /h. Lae vatuvoiien teeä työ. Vatuvoiien teeä työ = eaanien enegian uuto. Laetaan ii hyppääjän eaaninen enegia alua ja lopua. Ylhäällä: Eo = Ep = gh = 75 g 9, 8 43 = 3, 7 J (valitaan potentiaalienegian nollataoi hyppyipöydän tao) Hyppyin noalla: 86,4 Eo = E = v = 75 g, 6 J = 3,6 Kyytty työ on E E =, 6 J 3, 7 J = 0,J o o 6.3. Teho Määitelä: Voian eiäääinen teho P on voian teeä työ jaettuna työhön äytetyllä ajalla W P = SI-yiö J W t = = watti Työn ääitelätä voidaan johtaa vaiovoian F eiäääielle teholle: P = Fcoθ v, iä v appaleen eivauhti ja F coθ on voian liieen uuntainen oponentti (= F, jo voia vaiuttaa liieen uuntaan) Voian hetellinen teho on P = Fcoθ v, iä v on appaleen hetellinen vauhti. Eiei: Auto ulee vaionopeudella 5 / pitin vaaauoaa tietä ja oottoi antaa tehon 4, W. Lae vatuvoiien ua. Koa auton nopeu on vaio (a = 0), niin oottoin antaa voia on yhtä uui uin vatuvoiien ua. Saadaan P 400 W P = Fv F = = = 70 N v 5/ Muita enegian/työn ja tehon yiöitä: Koa J=W, voidaan aaa aiaa (enegiaa/työtä) itata yö yiöllä 6 Wh = ilowattitunti. Wh = 000 W 3600 = 3,6 0 J = 3,6 MJ cal (aloi) = 4,868 J hv (hevovoia) = 735,5 W
Fyiia evät 006 Meaniia 6 Laitteiden ja oneiden uuttaea ähö- t. enegiaa eaaniei enegiai oa äytetytä enegiata uluu laitteen iäiten vatuvoiien voittaieen. Näin ollen oneen antaa enegia on aina oneen ottaaa enegiaa pienepi. Määitelä: Hyötyuhde η taoittaa oneen antaan äyttöelpoien tehon/enegian uhdetta oneen ottaaan tehoon/enegiaan Panto Eanto η = = P E otto otto Eiei: Puppu notaa vettä,5 3 tunnia 8 oeuteen. Kuina uuen tehon puppu ottaa ähöveota, jo pupun hyötyuhde on 0,70? 7. Liieäää ja ipuli 7.. Liieäää Puppu teee nototyön W = gh iitäeään vettä aan oeudelle h. Sii yhden tunnin aiana puputa veteen iityy enegiaa 500 g 9,8 8 = 6540 J. Pupun antaa teho on ii W 6540J Panto = = = 73,65W. Otetui tehoi aadaan t 3600 Panto Panto 73, 65 W η = Potto = = 05 W P η 0, 70 otto Määitelä: Nopeudella v liiuvan -aaien appaleen liieäää p on g p = v SI-yiö Huo: 7.. Ipuli ) Liieäää on vetoiuue ) Liieäää on aanuuntainen nopeuden ana Määitelä: Uloien vaiovoian F antaa ipuli I aiavälillä Δt on g I = F Δ t SI-yiö N = Huo: ) Ipuli on vetoiuue ) Ipuli on aanuuntainen voian ana 3) Ipuli uvaa voian F oonaivaiututa appaleeeen tietyllä aiavälillä 4) Eieii töäyiä appaleiiin vaiuttaa uuttuva voia F hyvin lyhyen ajan ( Δt hyvin pieni) 5) Jo voia F vaio, tällöin I = F Δt, iä F on eiäääinen voia aiavälillä Δ t
Fyiia evät 006 Meaniia 7 Vaiovoian F aiheuttaaa taaieti iihtyvää liieeä: Δv v v v v p p Δp Δp F = a = = = = = F = F Δ t = Δp Δt Δt Δt Δt Δt Δt I = Δp (ipulipeiaate, voian antaa ipuli = appaleen liieäään uuto ) Huo: Eiei: ) Tää tulo pätee aina ) Voiaa F ei tavite tuntea (töäyiä ja äjähdyiä vaiea itata) Poia heittää palloa. Pallon aa on 80 g ja aluvauhti 4 /. Lae palloon vaiuttavan eiäääien voian uuuu, un äi oettaa palloa 0, ajan. Pallon liieäään uuto g Δp = v v = 0,080 g 4 0 =,9 g,9 Ipulipeiaate Δp Δp = I = F Δ = = t F = 9 N Δt 0, Eiei:,0 g:n appale on alui levoa vaaauoalla alutalla. Kappaletta vedetään vaaauoalla 4,9 N voialla 3,0 eunnin ajan. Kun voia on laannut vaiuttaata appale liuuu vielä,0. Lae appaleen ja alutan välinen liieitaeoin μ. Vetävän voian antaa ipuli I = F Δt = 4,9 N 3,0 = 4,7 N (liieen uuntaan) Myö itavoia on oo liieen ajan vaio (ei iipu nopeudeta), joten itavoian antaa ipuli I = f Δt = f 5,0. (vataaieen uuntaan) Iteiavoltaan nää ipulit ovat yhtä uuia, oa liieäään uuto on 0 (alua ja lopua appale on levoa) 4,7 N + f 5,0 = 0 f =,94 N Toiaalta itavoia f,94 N f = N = g = = 0, 30 g,0 g 9,8 / μ μ μ 8. Liieäään äilyinen ja töäyet 8.. Liieäään äilyinen Jo yteeiin vaiuttavien uloiten voiien ua on nolla ( F = ul 0 ), niin yteein liieäää ei uutu. Fyiaalita yteeiä, johon ei vaiuta uloiia voiia anotaan eitetyi. 8.. Töäyet Töäyongela on tavallieti ahden appaleen eitetty jäjetelä ( F = 0 ul ).. Tällöin jäjetelän liieäää p äilyy töäyiä.. Toinen appale aa yhtä uuen ja vataaiuuntaien ipulin uin toinen antaa. Jo eitään appaleiden aoja,, nopeuia ennen töäytä v,v ja nopeuia töäyen jäleen u,u, aadaan liieäään äilyien peuteella: v + v = u + u Sen ijaan yteein liie-enegian uutoen peuteella töäyet voidaan jaaa ei tapauiin
Fyiia evät 006 Meaniia 8 8... Täyin ioia töäy Täyin ioiaa (eli elatiea) töäyeä yteein liie-enegia äilyy. Peiaatteea täyin ioiia töäyiä tapahtuu vain atoitaolla, utta eieii ahden biljadipallon töäteä voidaan iittävällä tauudella olettaa liie-enegian äilyvän. Täyin ioia töäy: liieäää äilyy v + v = u + u liie-enegia äilyy v + v = u + u Kun taatellaan uoaa ja eeitä töäytä (appaleet liiuvat painopiteidenä autta ulevalla uoalla, -ulotteinen liie), voidaan iityä nopeuvetoeita alaaiavoihin. -ulotteiia tapauia nopeuvetoit voidaan jaaa - ja y-aelin uuntaiiin oponentteihin ja tutia oleat uunnat liieäään äilyien oalta eieen. 8... Täyin ioton töäy Täyin iottoaa töäyeä appaleet taetuvat toiiina. Tällainen voi olla eieii autojen töäy. Taetuien jäleen appaleet jatavat ataa yhteiellä nopeudella (eitään u). Täyin iottoaa töäyeä liie-enegia pienenee aina, illä oa enegiata uluu ei. appaleiden uodonuutoiin. Täyin ioton töäy: liieäää äilyy v + v = ( + )u liie-enegia pienenee uuialla ahdolliella ääällä 8..3. Oittain ioia töäy Uein töäyiä appaleiden oonailiie-enegia pienenee, utta appaleet eivät uitenaan taeu toiiina iinni. Eieii töäävät autot aiheuttavat looja, utta jatavat uitenin töäyen jäleen eillään. Myö näiä tapauia liieäää äilyy. Eiei: Pallo, jona aa 0,90 g, töää nopeudella 3,0 / levoa olevaan 0,0 g palloon. Töäy on uoa ja eeinen. Lae pallojen nopeudet töäyen jäleen jo töäy on a) täyin ioia b) täyin ioton. c) Kuina onta poenttia alupeäietä liie-enegiata uuttuu b)-ohdan töäyeä uuhun uotoon? a) = 0,90 g = 0,0 g v = 3,0 v = 0 täyin ioia töäy: = + v + v = u + u 0,90 g 3,0 0,90 g u 0,0 g u v + v = u + u 0,90 g 3,0 = 0,90 g u + 0,0 g u
Fyiia evät 006 Meaniia 9 u =,4 / (yhtälöpain toinen ataiu u = 3 / u = 5,4 / u = 0 / on alutilanne) b) täyin ioton töäy: v + v = + u u ( ),7 / = c) liie-enegia alua v + v = 4,05 J = lopua ( + ) u 3,645 J 3,645 J 4,05 J = 0, 9 väheni 0 %