rad s rad s km s km s

Transkriptio

1 otoni 5 6- Ketautehtävien atkaiut Luku. Satelliitti kietää Maata päiväntaaajataoa 50 k Maan pinnan yläpuolella. Sen kietoaika on 90 in. Määitä atelliitin kulanopeu ja atanopeu. Maan ekvaattoiäde on noin 6380 k. Ratkaiu: Määitellään: h = atelliitin kokeu = 50 k R = aapallon äde = 6380 k T = atelliitin kietoaika = 90 in Satelliitin kulanopeu on π π ω = = T 90 in 60 in ad = 0, 006 0, ad Satelliitin atanopeu on b g k π R+ h π 6630 v = = T 90in 60 in k = 774, 77,. Kuvaaja eittää kiekon kulanopeutta ajan funktiona. a) Kuinka onta kieota kiekko pyöähtää? b) Eitä gaafieti kiekon kulakiihtyvyy ja kietyä ajan funktiona. k ad/ 5 ω. 4 t Ratkaiu: a) Liike on taaieti kiihtyvää, joten kietyä välillä (0, ) laketaan kulanopeuden kuvaajan ja aika-akelin fyikaalien pinta-alan avulla:

2 otoni 5 6- b g b g I K J = ad ad ϕ = t 05, ω+ ω = -0 05, ad Kietyä välillä (, 4 ) on ad ad ϕ = t 05, bω+ ωg = b4-g 05, ad I K J = Kokonaikietyä on 5 ad + 5 ad = 0 ad =,6 kieota b) Kulakiihtyvyy laketaan taulukon avulla; Gaafinen eity: 3 Kulakiihtyvyy (ad/^ Aika () 3. Kuvaaja eittää pyöän kulanopeutta ajan funktiona. Mikä on pyöän kekiäääinen kulanopeu aikavälillä 0 0?

3 otoni / ω 6 4 t Ratkaiu: Laketaan kietyät ei aikaväleillä: Kekiäääinen kulanopeu onω k = ϕ t = 9, 5ad = ad 95, 0 4. Ypyälevy, jonka äde on 0 c, pyöii kiinteän akelin ypäi. Kuvaaja eittää en kieotaajuutta ajan funktiona. Määitä levyn kietyä, kehäpiteen iityä (eli alku- ja loppuhetken ijaintien väliatka) ja kehäpiteen ataiityä (eli vataava etäiyy kaata pitkin) hetkillä a),0 ja b) 5,0.

4 otoni / 0 n 5 t Ratkaiu: Kietyät laketaan kekiäääien kieotaajuuden avulla: k = 05 t n+ n, b g iä k = kietyä, t = aikaväli, n = alkukieotaajuu, n = loppukieotaajuu. Keätään tuloket taulukkoon: a) :n jälkeen levyn kietyä on 5 kieota = 94 ad. Kehäpiteen iityä on 0 c, koka levy palaa alkuaentoona. Saoin ataiityä on 0 c. b) 5 :n jälkeen levyn kietyä on 8,75 kieota = 8 ad. Kahden nueon takkuudella tää on 0 ad.

5 otoni d Kehäpiteen on 0,5 keota = 90 atetta yötäpäivään lähtöpiteetä. Sen iityä on ii d = + = = 0 c = 83, c 8c Siityä kehää pitkin lakettuna lyhintä tietä on π π = ϕ = = 0 c = 3, 4c 3 c. 5. Auton voianiion välityuhde on,80:, joten oottoi pyöii,80 kieota kun taka-akeli pyöii yhden kieoken. Pyöän halkaiija on 60. Mikä on oottoin a) kulanopeu b) kieonopeu (/in) kun auton nopeu on 35 k/h? Ratkaiu: Määitellään g = välityuhde =,80 d = pyöän halkaiija = 0.6 v = auton nopeu = 35 k/h v a) Pyöien kulanopeu on ω p = Moottoin kulanopeu on ω 80, 35 gv 36, = gω p = = 06, = 599 ad 60 b) Moottoin kieonopeu on n = ω = 5700 π in 6. Tehtävän 5 auto kiihtyy 0 00 k/h noin 6,5 :a. a) Mikä on pyöän ulkopinnan kekiäääinen tangenttikiihtyvyy tällä nopeuvälillä? b) Mikä on pyöän

6 otoni ulkopinnan noaalikiihtyvyy nopeudea 35 k/h? Vetaa noaalikiihtyvyyttä painovoian kiihtyvyyteen. Ratkaiu: Määitellään: v l = loppunopeu = 00 k/h t = kiihtyvyyaika = 6,5 v = takatelunopeu = 35 k/h a) Ulkopinnan kekiäääinen tangenttikiihtyvyy on aa kuin auton. Koketupiteen kiihtyvyy on nolla, koka e on aina levoa ja enkaan yliän piteen kiihtyvyy on kaki ketaa auton kiihtyvyy. Autonkiihtyvyy on v a = l = t I K J 00 36, 6,5 = 43, v b) Pyöän ulkopinnan noaalikiihtyvyy on a = = Luku I K J 35 36, 0, 305 = Taapakun tangon alapää on einää olevaa lovea, ja yläpää on kiinnitetty einään vaakauoalla köydellä. Tangon ja köyden välinen kula on 3, ja niiden liitokohdata iippuu kevyt kieejoui, jonka pituu on,. Tangon aa on 5,0 kg. Kun jouen päähän iputetaan etallipallo, jonka aa on 4, kg, joui venyy 8 c. a) Kuinka uui on köydeä vaikuttava voia, kun pallo iippuu jouen päää levoa? b) Pallo pannaan heilahteleaan pytyuunnaa aplitudilla 3 c. Kuinka uui on uuin köydeä vaikuttava voia heilahtelun aikana? (Yo k 98) Ratkaiu: Tehtävää annetut uueiden avot: M = 50, kg = 4, kg

7 otoni y 0 = 08, α = 3 a) Tankoon vaikuttavat voiat: tangon paino Mg tangon alapäähän vaikuttava tukivoia N köyden jännityvoia T voia, jolla joui vaikuttaa tankoon T j Palloon vaikuttavat voiat: pallon paino g voia, jolla joui vaikuttaa palloon T j. Todetaan enin Tj = T' j = Tj. Köyden ja jouen aat oletetaan nollaki. Valitaan oenttipiteeki lovea oleva auvan pää. Olkoon tangon pituu l ja jouen jouivakio k. Kun pallo on levoa, pallolle ja tangolle aadaan taapainoehdot: pallo Tj g =0, iä Tj = k y 0 tanko Tl inα T l Mg l j coα coα = 0 Näitä atkaitaan köydeä vaikuttava voia: I g + Mg M g T = K J I coα + = K J b4, + 5, gkg = 9, 8 = 05, N = 0, kn inα tanα tan3 b) Nyt jouen akiivenyä on y0 + y ax = b08, + 03, g = 03,. Pallon ollea aliaa aeaa jouen haoninen voia on Tj ax = kby0 + yaxg. Jouivakio aadaan a-kohdan taapainoehdota:

8 otoni , kg 9,8 g k y0 = g k = = y0 0,8 = 9 N. Jouen haoninen voia aa ii uuiillaan avon T = k y + y j ax N b 0 axg = = 9 03, 7096, N Moenttiehdota T l T l Mg l ax inα j ax coα coα = 0. aadaan langan jännityvoia: Tj ax + g 70, 96N+ 9, 8 Tax = 5,0kg = tanα tan3 = 53 N = 0, 5 kn. 8 a) Miki tähden luhituea neutonitähdeki en pyöiinopeu voi kavaa jopa yli iljoonaketaieki? b) Helikopteihypyä (twiteiä) kupaelakija kietää ylävataloa ja ukia ei uuntaan. Miki hänen on ahdotonta kääntää olepia aanaikaieti aaan uuntaan? c) Miki kivääin piipun akenne on ellainen, että iitä lähtevä luoti pyöii pituuakelina ypäi? Ratkaiu: a) Pyöiiäää äilyy Jω = Jω. Oletetaan, että tähti on upinainen pallo. Tähden hitauoentti on J =. 5 Tähden luhituea neutonitähdeki, tähden äde voi pienentyä tuhanneoaan alkupeäietä, jolloin hitauoentti pienenee iljoonaoaan. Pyöiiäään äilyilain ukaan pyöiinopeu kavaa tällöin iljoonaketaieki. b) Hyppääjän pyöiiäää on vakio. Hyppääjään ei kohditu ulkoiten voiien oenttia. Jotta hyppääjä pytyy kääntäään jalkojaan, on hänen käännettävä ylävataloaan vatakkaieen uuntaan. c) Pyöiiäää on vektoiuue ja vektoin uunta äilyy. Luodin pyöieä pituuakelina ypäi e äilyttää uuntana paein kuin luoti joka ei pyöi, koka luodilla on akelina uuntainen pyöiiäää. 9. Miki lyhtypylvä voi kaatua taakepäin kun autolla ajetaan en juueen?

9 otoni Ratkaiu: Töäyketä yntyvä voia ynnyttää vatavoian pylväänjuuea, joka pykii kietäään pylvätä vatakkaieen uuntaan. 0. Voiailija vetää kuinnauhaa uoaki ja nauha katkeaa äkillieti. Miki voiailija aattaa loukkaantua vakavati vaikka kuinauhan voia häviää en katketea? Ratkaiu: Niin kauan kuin nauha on ehjä, lihaket pitävät käivaia voialla, joka on vatakkaiuuntainen kuinauhan voialle. Jo nauha katkeaa, lihaten voia ei heti palaa nollaan, vaan e vaikuttaa vielä lyhyen hetken ilan nauhan vatavoiaa ja aattaa vahingoittaa käivaia tai hatioita. Luku 3. Pieni kappale, jonka aa on 35 g, pannaan liukuaan oheien kuvion ukaita pintaa pitkin piteetä A. Oa AB on ylinteipinta, jonka kaaevuuäde on 0,5, ja BC taopinta, jonka pituu on 0,50. Kappaleen ja pinnan välinen kitkakeoin on 0,8 ja kappaleen nopeu piteeä B on,0 /. Lake a) kappaleeeen vaikuttavan kitkavoian uuin avo ja b) kappaleen nopeu piteeä C. (Yo 90) Ratkaiu: Kappaleen aa = 35 g kappaleen nopeu piteeä B v B = 0, ylinteipinnan kaaevuuäde = 0,5 taopinnan pituu = 0,50 kappaleen ja pinnan välinen liukukitkakeoin µ = 08, kaata AB vataava kekukula ϕ AB = 60 taopinnan kaltevuukula θ = 30

10 otoni A α µ N g inα B g coα g N µ g θ C θ a) Liukukitkalle pätee µ = µ N. Kitkakeoin on vakio. joten kitka on uuin illoin, kun tukivoia on uuin. Kappaleen liikeyhtälö µ + G + N = a voidaan kijoittaa koponenttiuodoa käyällä AB: uoalla BC: g coα µ = a t N ginα = v g inθ µ = at N gcoθ = 0 Kitka on liikekitkaa, joten kitkavoia koko adalla on uotoa µ = µ N. Kitkavoian lakeinen uoaan eiekiki enegiapeiaatteeta on vaikeaa. Tää kyytään ainoataan kitkavoian uuinta avoa, joten tää oa tehtävätä voidaan atkaita päätteleällä. Eniki todetaan, että kitkavoia aavuttaa uuian avona iellä, iä noaalivoia on uuin. Käyällä AB pätee N = ginα + v unktio g inα kavaa onotonieti koko käyän oalla. Takatellaan nopeutta. Nopeu on annettu piteeä B, joten voie iinä lakea kiihtyvyyden tangentin uuntaien koponentin (huoaa, että θ on taon kaltevuukula!):

11 otoni 5 6- a µ N b g = ginθ = ginθ µ gcoθ + t B 9,8 = in 30 0, 8 9, 8 co 30 + v I KJ I K J I J 0,50 0,40 J = Kiihtyvyy on ii käyän aliaa piteeä poitiivinen. Käyällä oalla liikeyhtälön tangentin uuntainen koponentti on a g g N g v t = coα µ = coα µ = coα µ +g inα K I KJ Suue g coα pienenee koko käyän atkalla ja funktio v + g inα kavaa, joten kiihtyvyy ei vaihda ekkiä käyällä AB. Se takoittaa yö, että nopeu kavaa v onotonieti. Noaalivoia N = ginα + kavaa illoin yö onotonieti käyää AB pitkin. Kitkavoia µ = µ N aavuttaa ii uuian avona käyän AB alapäää eli piteeä B: vbg B µ = gin 60 + = 0, 54 N 0,5N Sen jälkeen kaaevuuäde, joten noaalivoia pienenee avoon N = gin60 ja kitkavoia aoin avoon µ N = µ gin60. b) Nopeu piteeä C laketaan enegiapeiaatteen avulla. Aetetaan potentiaalienegian nollatao piteeeen C. Näin aadaan bg bg bg v C = v B + ginθ µ = v B + ginθ µ gcoθ bg bg b g Tätä atkaitaan vc = vb + ginθ µ co θ 7,.. Heo päättää akentaa lingon. Siinä on kaki naua, joiden väliä on pala nahkaa, joka pitää kiveä paikallaan kunne toinen nau päätetään iti. Naujen pituu on 90, ja Heo haluaa heittää kiviä, joiden aa on 65 g. Kuinka uui kuoa pitää kunkin naun ketää, jo halutaan tuvallieti kivelle antaa 8 / alkunopeu?

12 otoni 5 6- Ratkaiu: v Kiveen vaikuttaa noaalivoia n =. Kunkin naun pitää ketää puolet tätä: 0, 065kg 8 v nau = = 09, I K J =, 44N, 5 N Huoaa, että tulo on pyöitettävä ylöpäin, koka uuten tulee liian heikot naut! 3. Miki auto lähtee halliteattoaan luitoon jo e ajaa öljykeokeen vaikka itä ei kiihdytetä lainkaan? Ratkaiu: Autoa vie eteenpäin tien pintaan nähden levoa olevaa koketupiteeä vaikuttava kitkavoia. Jo kitka häviää, vetovoia häviää yö. Saoin auton ohjauvoia yntyy ohjaavien pyöien kitkavoiata. Kitkan häviäinen aiheuttaa yö ohjattavuuden häviäien. Luku 4 4. a) Selota lyhyeti, itä takoitetaan kappaleen hitauoentilla. b) Kahdella etallipallolla on aa äde ja aa. Toinen palloita on ontto. Kuinka aat elville palloja ikkoatta, kupi on ontto? c) Minkä vuoki uiahyppääjä uoittaa oninketaiet volttina keien? (Yo 93) Ratkaiu: a) Kiinteän akelin ypäi pyöivään kappaleeeen vaikuttavien voiien oentti M akelin uhteen ääää kappaleen kulakiihtyvyyden α iten, että M = Jα iä vakio J on kappaleen hitauoentti akelin uhteen. Tää lainalaiuu tunnetaan pyöiien liikeyhtälönä. Kun veataan itä etenevän liikkeen liikeyhtälöön, dynaiikan peulakiin = a, havaitaan että hitauoentilla on pyöiiliikkeeä aa ekity kuin aalla etenevää liikkeeä. Hitauoentti ii ilaiee kappaleen pyöiien hitauden. Hitauoentti iippuu kappaleen aata ja iitä, iten kappaleen aa on jakautunut pyöiiakelin uhteen. b) Päätetään pallot aanaikaieti vieiään ala kaltevaa pintaa. Tällöin ontto pallo jää jälkeen, koka illä on uuepi hitauoentti. Onton pallon aa ijaitee kekiääin kauepana akelita kuin pallon ollea upinainen. c) Uiahyppääjän pyöiiäää L0 = Jω äilyy hypyn aikana. Kun uiahyppääjän kietyy keälle, hänen aana on kekiääin lähepänä pyöiiakelia kuin

13 otoni uoin vataloin. Tällöin hitauoentti pienenee ja kulanopeu kavaa pyöiiäään äilyilain ukaan. 5. a) Kaki upinaita ja aanpainoita lieiötä, joita toinen on valitettu puuta ja toinen teäketä, päätetään yhtä aikaa vieiään ala loivaa äkeä. Kupi lieiöitä on enin alhaalla? b) Kaki aankokoita lieiötä, upinainen puulieiö ja ontto teälieiö, päätetään yhtäaikaa vieiään ala loivaa äkeä. Kupi palloita on enin alhaalla? Ratkaiu: a) Koka lieiöt on tehty ei ateiaaleita, utta niiden aa on aa, on puulieiö uuepi kooltaan kuin teälieiö. Mekaaninen enegia äilyy: lieiöiden potentiaalienegia E pot lähdöä uuttuu niiden liike-enegiaki E kin äen alla: E pot = E kin gh = v + Jω. Upinaien lieiön hitauoentti on J =. Vieiiehto v aadaan gh = v + ( v ) 4gh = 3v 4 gh = v 3 = ω huoioiden Nopeu ei iipu aata eikä äteetä, kun lieiö on tullut ala kokeuden h. Koko ei vaikuta, vaan lieiöt vieivät yhtä nopeati. b) Enegiapeiaate : lieiöiden potentiaalienegia uuttuu niiden liike-enegiaki E pot = E kin gh = v + Jω. Upinaielle lieiön hitauoentti on J = ja onton J =. Sijoittaalla ja ieventäällä aadaan upinaielle lieiölle gh = v + ( v ) 4gh = 3v 4 gh = v 3 ja ontolle lieiölle gh = v + ( v ) gh = v gh = v Upinainen lieiö aavuttaa uuean nopeuden aalla atkalla, joten e on aikaiein alhaalla. 6. Oppitunnilla ääitettiin jääkiekon hitauoentti aattaalla kiekko vieiään pitkin kallitettua pöytää. Kiekon aa oli 65 g ja halkaiija 7,6 c. Vieiiaika,30 pitkällä taolla viiden ittauken kekiavona oli,3. Taon kokeu oli

14 otoni ,5 c. a) Mikä oli jääkiekon hitauoentti geoetiten ittojen ja punnitutuloken peuteella? b) Mikä tuli jääkiekon hitauoentiki kaltevan taon ittauken peuteella? Ratkaiu: a) Jääkiekko on upinainen lieiö. Sen hitauoentti on 4 4 J = = 0, 65 kg (0,038 ) = 9, 0 kg, 0 kg b) Oletetaan, että ilanvatu on pieni, koka kiekon nopeu on pieni. Mekaaninen enegia äilyy, joten potentiaalienegia E pot taon yläpäää on aa kuin kineettinen enegia E kin taon alapäää: Ekin = Epot v + Jω = gh Kiekko päätetään vieiään levota ja liike on taaieti kiihtyvää, joten en kulkea v atka taon alapäää on = t.tätä atkaitaan loppunopeu v = t Sijoitetaan vieiiehto v = ω ja atkaitaan enegiayhtälötä hitauoentti: v gh v v + J = gh J =. v taon pituu =,30 vieiiaika (viiden ittauken kekiavona),3 taon kokeu h = 0,095 kiekon aa = 0,65 kg d 0,076 kiekon äde = = =0, 038 kiekon nopeu taon alaoaa v = = 30, =, t,3 Kiekon hitauoentiki aadaan ittautuloten peuteella 0,65 kg 9,8 0,095 0,65 kg, gh v J = = = v, 0, ,0 0 kg 6,0 0 kg

15 otoni Autolla ajetaan 80 k/h tuntinopeudella. Auton nataenkaiden halkaiija on 64 c. Nata itoaa enkaata natan ollea enkaan yliää kohdaa. a) Millä nopeudella nata itoi enkaata? b) Mikä oli natan noaalikiihtyvyy itoaihetkellä? c) Kuinka uui voia vähintään tavitaan, jotta nata pyyy enkaaa, jo autolla ajetaan 00 k/h nopeudella? Natan aa on, g. Ratkaiu: a) Natan nopeu oli itoaien jälkeen autonnopeu + enkaan yliän kohdan nopeu autoon nähden = 80 44, , =., v b) Natan noaalikiihtyvyy on an = = = ,3 00 v 3,6 c) = = 0,00 kg =,65 N,7 N 0,3 8. Tyhjän koianuokatölkin aa on 37 g ja halkaiija 7, c. a) Mikä on tölkin hitauoentti yetia-akelin uhteen? b) Tölkki päätetään vieiään, atka pitkin pöytäpintaa, jonka kaltevuukula vaakataota itattuna on 5 o. Minkä nopeuden tölkki aavuttaa, atkalla? Ratkaiu: a) Tyhjä tölkki on ontto lieiö. Sen hitauoentti on 5 5 J = = 0, 037 kg (0,036 ) = 4, kg 4, 8 0 kg b) Oletetaan, että ilanvatu on pieni, koka tölkin nopeu on pieni. Mekaaninen enegia äilyy, joten potentiaalienegia E pot taon yläpäää on aa kuin kineettinen enegia E kin pöydänpinnan alapäää: Ekin = Epot v + Jω = gh. Kokeu h aadaan tigonoetiata: h o o o = in5 h= in 5 =, in 5 = 0, 3 Tölkki päätetään vieiään levota. Sijoitetaan vieiiehto v = ω ja atkaitaan enegiayhtälötä nopeu:

16 otoni v v J + J ( ) = gh v ( + ) = gh v = gh + J = 0, 037 kg 9,8 0, 3-5 4,795 0 kg 0, 037 kg + (0,036 ) = 74, 7, 9. Minkälaieki pitää tehdä kappale, jonka ulkopinta on uoa ypyäylintei ja joka on otaatioyetinen kekiakelin uhteen, jotta e vieii ahdolliian hitaati taoa ala? Peutele! Ratkaiu: Kappaleen aa on ijoitettava iten, että en hitauoentti on ahdolliian uui. Silloin aa on ijoitettava ahdolliian kaua kekiakelita. Se uodotaa illoin ylinteikuoen. 0. Kappale, jonka aa on, on kiinnitetty vaakauoaan tankoon, jonka pituu on l. Tangon toinen pää on kiinnitetty pytyuoaan akeliin iten, että tanko voi pyöiä vapaati akelin ypäi. Tankoon lentää lintu, jonka aa on, nopeudella v. Se tulee vaakauoaan tankoa vataan kohtiuoaan ja itahtaa tangolle. a) Mikä on tangon kulanopeu en jälkeen, kun lintu on itahtanut? b) Kuinka paljon linnun liike-enegia uuttuu? Ratkaiu: a) Oletetaan, että lintu itahtaa tangon päähän. Syteein hitauoentti, kun lintu on itahtanut, on J = l + l = 3 l. Linnun liikeäääoentti akeliin nähden ennen kuin e itahtaa on L = vl.

17 otoni Liikeäääoentti äilyy, joten e on aa töäyken jälkeen. Kulanopeu on L vl ω = = = J 3l 3 v l b) Linnun kineettinen enegia ennen kuin e itahtaa on Ek = v v =. Nopeu kun lintu on itahtanut, on v = ω l = v. 3 ja kineettinen enegia Ek v v = H G I K J =. 5 Kineettien enegian uuto on Ek = Ek Ek = v. 9 ja uhteellinen uuto E E k k = 5 v 9 5 = 56 %. v 9 Huoaa, että tää takoittaa kappaleen aa eikä linnun aaa, joka on. L= vl. Poika, jonka aa on, eioo leikkikentän kauellin ulkoeunalla, joka pyöii kulanopeudellaω. Hänen etäiyytenä kekutaan on. Hän kävelee kohti kekutaa etäiyydelle / iitä. Kauellin aa on M ja itä voidaan pitää hoogeeniena ypyälevynä. Miten uuttuvat kauellin kulanopeu ja kineettinen enegia? Ratkaiu: Kauellin hitauoentti on Jk = M Pojan hitauoentti alua on Jp = ja koko yteein hitauoentti J = M + Lopua pojan hitauoentti on J p = H G I K J = 4 d i Syteein pyöiiäää on L= Jω = Jk + Jp ω = M + ω I K J

18 otoni ja kineettinen enegia Ek = J ω = M + ω Kun poika kävelee etäiyydelle / kekutata, hitauoentti uuttuu avoon J = Jk + Jp = M + 4 Koka pyöiiäää äilyy, kulanopeu uuttuu avoon M + L ω = = G Jω > ω J + M 4 KJ Kulanopeu kavaa ii. Kineettinen enegia on Ek = J ω = M + 4 = M + I K J ω I M M Kineettinen enegia kavaa yö. I K J M M I J K Ek J = I K J I KJ M M ω I J K Ek J > Luku 5. Janne ja Teeu eiovat tennikentällä 0 :n päää toiitaan. Janne heittää tenniailan Teeulle niin, että aila pyöähtää ilalennon aikana täyden kieoken, ja Teeu ieppaa en,0 kuluttua. a) Miä kulaa Janne heittää ailan? b) Kuinka uuen kekiäääien oentin hän kohditaa ailaan en aakekipiteen uhteen, jo heitto tapahtuu 0,0 ekunnia ja ailan hitauoentti on 0, N? Ratkaiu: Mekitään t l = ailan lentoaika l = heiton pituu α = ailan lähtökula vaakataoa vataan J = ailan hitauoentti

19 otoni a) v 0 v 0y α v 0x l Nopeuden koponentit ajan funktiona ovat vx = v0x = v0coα vy = v0y gt = v0inα gt Nopeuden x-koponentti atkaitaan heiton pituudeta: l = v0xtl v0 x= l tl y-koponentti aadaan ehdota vybg= tl v0y gtl = v0y v0y = gtl Lähtökula vaakataoa vataan atkaitaan alkunopeuden koponenttien avulla: v0y tanα = = v0x 98,. gtl tl gt = l = l l 0 bg =, 96 α = 63 b) Jo oentti M vaikuttaa ajan t h, aila aa pyöiiäään L = Mth = Jω Koka aila pyöii yhden kieoken ilalennon aikana, en kulanopeu on π ω = t l

20 otoni Kekiäääinen oentti on ii M J 3 ω πj π 05, 0 kg = = = th t th 0, 00, = 0, 004 N 3. Ohueen lankaan kiinnitetty kuula (aa ) liikkuu vaakauoalla ypyäadalla, jonka äde on,0. Kuulan kulanopeu on 0,50π / ja ajanhetkellä t = 0 kietokula ϕ = 0. Ajanhetkellä 5,0 lanka katkeaa. Miä ohea kuvatun aanpinnan taoa olevan koodinaatiton piteeä kuula on oueaan aahan, kun ypyäadan taon etäiyy aata on,50? Koodinaattiakeleiden ykiköt ovat etejä. Lanka oletetaan aattoaki eikä ilanvatuta oteta huoioon (HY fyiikan valintakoe 00) y ω h - ϕ x tilanne ivulta katottuna - tilanne ylhäältä katottuna

21 otoni 5 6- Ratkaiu: Kietyä on ϕ(t) = ω t. Hetkellä t = 5,0 kietyä on ϕ(5,0 ) = 0,50 π / 5,0 =,5 π. Kuula on ii pyöähtänyt,5 kieota. Kuula on itoaihetkellä piteeä (0,). Langan katketea kuula lähtee ypyäadan tangentin uuntaan (tää tapaukea ii x-akelin negatiivieen uuntaan) nopeudella v 0 = ω = 0,50 π /,0 = 0,50 π /. h Maahan putoaieen kuluva aika aadaan yhtälötä h = gt t = g Itoaihetkellä kuulan nopeudella ei ole pytyuuntaita nopeukoponenttia. Matka, jonka kuula lentää putoaien aikana vaakauoaa uunnaa (vaakauuntainen nopeukoponentti pyyy vakiona koko lennon ajan): h x = v0t = ωt = ω = 050, π 0, g,5 98, 087, Kuulan y-koodinaatti on aa kuin itoaihetkellä, koka nopeu on illoin x- akelin uuntainen. Putoaipite ijaitee ii koodinaatiton piteeä (-0,87;). 4. Opikelijat tutkivat putoailiikettä potkaiealla taanteen eunalta pallon vaakauoaan nopeudella 6,5 /. Potkun hetkellä pudotetaan toinen pallo uoaan ala taanteen eunalta. a) Kuinka pitkän ajan kuluttua pallot ouvat 7,0 alepana olevalle vaakauoalle kentälle? b) Mikä on pallojen etäiyy niiden ouea eniäien kean aahan? c) Millä nopeudella pallot ouvat aahan?

22 otoni 5 6- Ratkaiu: a) Alapäin putoava pallo on taaieti kiihtyvää liikkeeä. Kiihtyvyy on putoaikiihtyvyy jolloin y = gt, joa y on putoaikokeu ja t putoaiaika. y 70, Putoaiaika on t = = g 9,8 = 9,, b) Vaakauoaan potkaitu lähtee vaakauoalla nopeudella. Jo ilanvatuta ei oteta huoioon, pallon liike on vaakauoaa uunnaa taaita. Pallon kulkea atka on x = vt = 65, 9, = 7,76 7,8 c) Pudotetulla pallon nopeu on pytyuoa nopeu oueaan aahan: vy = gt = 98, 9, = -,67, Maahan oueaan vaakauoaan potkaitulla pallolla on nopeu v = vx + vy iä v x on vaakauoa nopeu ja v y pytyuoa nopeu. Vaakauoaa uunnaa pallolla ei ole kiihtyvyyttä, joten nopeuden vaakauoa koponentti on aa kuin lähtönopeu. Potkaitun pallon nopeu on v = vx + vy = (, ) (, ) = 3, 36 3 Nopeuvektoin uuntakula vaakataota alapäin itattuna aadaan nopeuden v, 67 y koponenttien uhteeta: tanα = = α 6 vx 6, 5 = -60,9 o o.

23 otoni Kuinka pitkän pituuhypyn voi opikelija, joka pytyy juokeaan 00 aikaan 3,7, hypätä? Kuinka kokealla hyppääjä käy hypyn aikana? Ratkaiu: Vinon heittoliikkeen kantaa on R on 45 o. Tällöin R v = 0. Hyppääjän nopeu on v g = v0 in α. Kantaa on uuin, kun lähtökula g 00 = = = t 3,7 pituudeki tulee R = v ( 730, ) 0 = = 543, 5,4. g 98, Hypyn kokeudeki tulee enegiapeiaatetta oveltaalla o o v ( 730, in 45 ) y ( vo in 45 ) gh = vy h = = = g g 98, 730,. Hypyn = 36,,4 Käytännöä hyppy ei ole näin kokea, koka ponnituken aikana ei ehditä kavattaa pytyuoaa nopeutta yhtä uueki kuin vaakauoa nopeu. 6. Tane halui tehdä lähepää tuttavuutta eään fyiikan 5. kuilla olevan tytön kana anoen tälle: Kuu vetää Maata ja Maa vetää Kuuta puoleena, inä vedät inua puoleei ja inä vedän inua puoleeni, kun tulen lähellei. Tyttö vatai: Vetovoiai on itättöän pieni. a) Kuinka uuella voialla Tane veti tyttöä puoleena työn ollea etäiyydellä Taneta, kun tytön aa on 55 kg ja Tanen 65 kg? b) Tane alkoi hajoitella kuntoalilla, inkä jälkeen hänen aana oli 70 kg, Kuinka uuella voialla hän veti tyttöä puoleena 0,5 etäiyydellä tytötä. Mikä oli tuolloin tytön kiihtyvyy? Ratkaiu: a) Gavitaatiolain ukaan Tanen tyttöön kohditaa vetovoia on G Ta Ty N 65 kg 55 kg 7 7 G = = 667, 0 = 38, 0 N 4, 0 N kg (, 0) b) G Ta Ty N 70 kg 55 kg 7 6 G = = 667, 0 =,. 3 0 N, 0 0 N=,0µ N. kg ( 05, ) 6 G 03, 0 N 8 8 Tytön kiihtyvyy on G = tya a = = = 87, 0 9, 0 55 kg ty

24 otoni Johda gavitaatiolaita lähtien ypyäadalla olevan kietolaien avulla Keplein kola laki. Ratkaiu: Laki johdetaan otoni 5:n ivuilla Kuinka uui on Kuun kiihtyvyy Maata kohti? Ratkaiu: Kiihtyvyy voidaan atkaita painovoian kiihtyvyyden avulla itattuna Maan pinnalla. Maan kekiäääinen äde on 6370 k ja painovoian kiihtyvyy 9,8 /. Kuun etäiyy Maata on kekiääin k. Kiihtyvyy on kääntäen veannollinen etäiyyden neliöön. Tätä atkaitaan , 8 0, 007 a kuu = H G I K J = 9. Main toien kuun. Phoboken, kietoaika ypyänuotoieki oletetulla atakäyällä on 0,39 d ja adan äde on 9370 k,. Lake Main aa? Ratkaiu: Määitellään = Phoboken adan äde T = Phoboken kietoaika p = Phoboken aa M = Main aa Phoboken liike on ypyäliikettä, joten kiihtyvyy on noaalikiihtyvyyttä. Se on v an = = π T I K J 4π = T Liikeyhtälö on G P M = = a = Main aaki aadaan: P n P 4π. T π 4π ( ) M = = GT N 6, 67 0 ( 0, ) kg 3 3 = 6, kg 6, 4 0 kg. 30. Neuvotoliitota laukaitiin eniäinen Maata kietävä atelliitti Sputnik vuonna 957. Sputnik kiei Maata kekiääin 580 k kokeudella. Millä nopeudella Sputnik kiei Maata?

25 otoni Ratkaiu: Määitellään = Sputnikin aa M = Maan aa = 5., kg R = Maan äde = 6370 k h = adan kokeu aanpinnata = 58 k = adan äde Gavitaatiovoia on ainoa Sputnikiin vaikuttava voia. Se antaa noaalikiihtyvyyden a = a = n v ypyäadalla. Sputnikin liikeyhtälö on G M = v, iä adan äde on = R + h = 6950 k Tätä aadaan Sputnikin atanopeudelle laueke GM k v = = 756, 76, R k. =R+h 3. GPS-atelliitti kietää Maata k kokeudella. Mikä on atelliitin kietoaika ja kiihtyvyy? Ratkaiu: Määitellään = atelliitin aa M = aan aa R = Maan äde h = adan kokeu aanpinnata = adan äde Gavitaatiovoia on ainoa atelliittiin vaikuttava voia. Se antaa atelliitille noaalikiihtyvyyden a = a = Satelliitin liikeyhtälö on G M n v ypyäadalla. = v, iä adan äde on = R + h.

26 otoni R =R+h Satelliitin kietoaika on 3 π T = = π v γ M 3 9 b g 0 = π N 6, , kg 4 3 kg = 460, 8 h ja kiihtyvyy v γm a = an = = N 6, , kg = c 4 h kg = 0, 573 0, Avauuukkulan lentokokeu Maan pinnata itattuna voi olla välillä 90 k k. Millä välillä putoaikiihtyvyy vaihtelee ukkulan lentokokeudella? Avauuukkula Atlanti lakeutuaa.

27 otoni Ratkaiu: R Putoaikiihtyvyy etäiyydellä Maan kekipiteetä on a bg= g H G I K J. Sijoittaalla ukkulan lentokokeu aadaan kiihtyvyydeki a a R = g H G I K J = H G I K J 98, = 95, R = g H G I K J = H G I K J 98, = 735, Planeetta liikkuu ypyäadalla etäiyydellä Auingota. a) Mikä en nopeu on? b) Mikä on planeetan liike-enegia ekä en potentiaalienegia? c) Mikä on liikeenegian ja potentiaalienegian uhde? Opatu: Käytä planeetan liikeyhtälöä. Ratkaiu: a) Planeetan liikeyhtälö on Tätä atkaitaan nopeu v = b) Kineettinen enegia on Ek = v = GM Potentiaalienegia on E p = GM GM = = a = GM v c) Kineettien enegian ja potentiaalienegian uhde on Ek GM I = E GM K J = p 34. Kiekonheittäjä linkoaa kiekkona 64 :n päähän. Avioi hänen käivatena kulanopeu kiekon iotea kädetä. Käden etäiyy pyöiiakelita on 90 c. Ratkaiu: Määitellään l = heiton pituu = 64 = käden etäiyy pyöiiakelita = 0,90

28 otoni Oletetaan, että kiekko lähtee 45 ateen kulaan nopeudella v. Heiton pituu on illoin l = v g ja nopeu v = gl v gl Kulanopeu onω = = = 98, 64 0,9 ad = 7, 8 8 ad Todettakoon, että jo kyeeä on naiten kiekko (aa kg), vataava v gl noaalivoia on n = n = = 680 N. Tää vataa 70 kg:n aan painovoiaa.