Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti, Frekvei, Kekihajota, Normaalijakauma, Odotuarvo, Odotuarvoje vertailuteti, Oto, Otokoko, Otovariai, Riippumattomat otoket, Riippumattomuu, Riippuvat otoket, Stadardoitu ormaalijakauma, Suhteellie frekvei, Suhteellie ouu, Suhteellite ouukie vertailuteti, Teti odotuarvolle, Teti parivertailuille, Teti uhteellielle ouudelle, Teti variaille, t-jakauma, t-teti, Todeäköiyy, Variai, Variaie vertailuteti, Ykikertaie atuaioto 0.. Tehda valmitaa auloja. Nauloje tavoitepituu o 0 cm. Nauloje pituu vaihtelee kuiteki atuaieti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje joukota poimittii ykikertaie atuaioto, joka koko oli 30. Otokekiarvoki aatii 9.95 cm ja otovariaiki 0.0 cm. Tetaa hypoteeia, että valmitettuje auloje todellie kekimääräie pituu o tavoitearvo mukaie, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että kekimääräie pituu o tavoitearvoa pieempi. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Ratkaiu: Olkoo X i = aula i pituu, i =,,, Yleie hypoteei H o muotoa: X i N( µ, σ ) X, X,, X ovat riippumattomia Nollahypoteei H 0 o muotoa: µ 0 = 0 Vaihtoehtoie hypoteei H o muotoa. µ 0 < 0 Sovelletaa yhde otoke t-tetiä. Tetiuureea o joa t = X µ / X = i= 0 X i = ( Xi X) i= TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Koka ollahypoteei H 0 pätieä E(t) = 0 ii iteiarvoltaa uuret tetiuuree t arvot johtavat ollahypoteei hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote X = 9.95 µ = 0 0 = 0.0 = 30 X µ 0 9.95 0 t = = =.739 / 0./ 30 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaeki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) = 0.005 jote ollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, koka p = 0.005 < 0.0 t-jakauma taulukoide mukaa joa Pr(t.46) = 0.0 t t(9) Site %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki t 0.0 aadaa Koka.46 t =.693 <.46 ollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla. Johtopäätö: Koe tekee ruuveja, jotka ovat kekimääri liia lyhyitä. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket 0.. Tehtaaa o kaki amalaiia kuulalaakeri kuulia valmitavaa koetta, K ja K. Kummaki koee valmitamie kuulie paiot vaihtelevat atuaieti (ja toiitaa riippumatta) joki verra oudattae ormaalijakaumaa. Kummaki koee valmitamie kuulie joukota poimitaa toiitaa riippumattomat ykikertaiet atuaiotoket ja otokita laketaa otokee poimittuje kuulie paioje aritmeettiet kekiarvot ja kekihajoat. Otokita aadut tiedot o aettu alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että koeet K ja K valmitavat kekimääri amapaioiia kuulia, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että koeide K ja K valmitamie kuulie paiot eroavat kekimääri toiitaa. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Koe Aritmeettie kekiarvo (g) Kekihajota (g) Otokoko K 0. 0. 3 K 0. 0. 0 Ratkaiu: Olkoo X i = koee K tekemä kuula paio, i =,,, X j = koee K tekemä kuula paio, j =,,, Yleie hypoteei H o muotoa: () X i () X j, i =,,, N( µ, σ ) N( µ, σ ), j =,,, (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteei H 0 o muotoa: µ = µ = µ Vaihtoehtoie hypoteei H o muotoa: µ µ Määritellää euraavat otouureet: k Xk = Xik, k =, k i= ( X X ), k =, k k = ik k k i= ( ) + ( ) p = + TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 3/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Kahde riippumattoma otoke odotuarvoje vertailuu o tarjolla kaki erilaita tetiuuretta. Tetiuuretta t A = X X + voidaa käyttää kaikia tilateia, joia yleie hypoteei H pätee. Jo ollahypoteei µ = µ = µ pätee, tetiuure t A oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: t A a N(0,) Pieiä otokia tetiuuree t A jakaumalle aadaa parempi approkimaatio käyttämällä approkimaatioa Studeti t-jakaumaa, joa vapauateide lukumäärää käytetää lukua ν = + + Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t A arvot otivat ollahypoteeia µ = µ = µ vataa. Jo myö hypoteei σ = σ = σ pätee, voidaa käyttää tetiuuretta t B = Jo ollahypoteei P X µ = µ = µ X + pätee, tetiuure t B oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei + : t B t( + ) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t B arvot otivat ollahypoteeia µ = µ = µ vataa. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 4/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Huomautu: Tehtyje oletukie pätieä t A oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa (tai t-jakaumaa), ku taa tetiuuree t B jakauma o tarkka. Jotta tetiuuretta t B voitaiii käyttää, o ei tetattava hypoteeia σ = σ = σ Tähä käytetää F-tetiuuretta Jo hypoteei F = σ = σ = σ pätee, tetiuure F oudattaa Fiheri F-jakaumaa vapauatei ja : F F(, ) Sekä uuret että pieet tetiuuree F arvot otivat ollahypoteeia σ = σ = σ vataa. Huomautu: Taulukoita käytettäeä kaattaa toimia ii, että uurempi otovariaeita aetetaa tetiuuree ooittajaa. Tetataa ii ei hypoteeia σ = σ = σ Tehtävä tapaukea jote = 0.04 = 0.0 = 3 = 0 = 0.04 F = 4 0.0 = Jo oletamme, että vaihtoehtoie hypoteei o -uutaie, tetiuuree arvoa vataavaki p-arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(F > 4) = 0.006 Site hypoteei σ = σ = σ variaie yhtäuuruudeta voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, koka p = 0.006 < 0.0 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 5/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket F-jakauma taulukoide mukaa joa Pr(F.07) = 0.0 F F(30, 9) Site %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki F 0.0 aadaa Koka.07 F = 4 >.07 hypoteei σ = σ = σ variaie yhtäuuruudeta voidaa hylätä %: merkitevyytaolla. Koka variaie yhtä uuruutta kokeva hypoteei σ = σ = σ hylättii, käytämme tetiuuretta t A ollahypoteei tetaamiee. µ = µ = µ Tehtävä tapaukea jote X = 0. X = 0. = 0.04 = 0.0 = 3 = 0 t X X A = = = 0.04 0.0 + 0. 0. + 3 0.363 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa ormaalijakauma-approkimaatiota käyttäe Pr(t >.363) = ( 0.9909) = 0.08 Site ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla, koka p = 0.08 > 0.0 Jo käytämme t-jakauma-approkimaatiota, vapauateide lukumääräki tulee + ν = = 46.69 + Käytämme vapauateide lukumäärää alapäi pyöritettyä lukua 46. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 6/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa t-jakauma-approkimaatiota käyttäe eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) = 0.0 = 0.0 Site ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla, koka p = 0.0 > 0.0 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, t-jakauma taulukoita aadaa %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki t 0.005 ja +t 0.005 luvut väleiltä Koka (.704,.678) ja (+.678, +.704).678 < t A =.363 < +.678 ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla. Johtopäätö: Koeide tekemie ruuvie kekimääräiet pituudet eivät poikkea toiitaa. Huomaa kuiteki, että johtopäätö vaihtuii päivataieki, jo merkitevyytaoki valittaiii 5 %. 0.3. Eräää kokeea verrattii kahta ademäärä mittaukee käytettävää laitetta. Kummallaki laitteella mitattii ademäärät 0 adepäivä aikaa. Mittautuloket (ademäärät mm:ä) o aettu alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että mittarit tuottavat kekimääri amoja mittautulokia, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että mittarit tuottavat kekimääri eri mittautulokia. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Laite 3 4 5 6 7 8 9 0 A.38 9.69 0.39.4 0.54 5.94 0.59.63.44 0.56 B.4 0.37 0.39.46 0.55 6.5 0.6.69.68 0.53 Ratkaiu: Huomaa, että tehtävää 0.. ovellettu riippumattomie otokie t-teti ei ole yt luvallie, koka havaiot riippuvat toiitaa, illä jokaie kymmee atee ademäärä o mitattu molemmilla laitteilla. Jo laitteet toimivat ede joaki määri luotettavati, A- ja B-laittee atavat amalle ateelle toiiaa lähellä olevia mittautulokia, t. mittaute välillä o tavallieti voimaka poitiivie korrelaatio; k. myö tehtävää 0.4. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 7/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Tehtävä tapaukea Cor(A-mittau, B-mittau) = 0.9997 joka elväti ooittaa otote riippuvuude toiitaa. Koka otoket ii riippuvat toiitaa, toimitaa tällaiea parivertailutilateea euraavati: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiet erotuket ja tetataa ollahypoteeia, joka mukaa erotuket ovat kekimääri ollia. Olkoo X Ai = havaitoarvo ryhmää A, i =,,, X Bi = havaitoarvo ryhmää B, i =,,, i = X Ai X Bi, i =,,, Olkoo yleieä hypoteeia H : (i) (ii) Erotuket i N( µ, σ ) i =,,, Erotuket,,, ovat riippumattomia Olkoo ollahypoteeia H 0 : Tetiuureea o joa E( i ) = 0, i =,,, t = = / i= i = ( i ) i= Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t arvot johtavat ollahypoteei hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote =.7 = 0.046 = 0.7 t = = = 8.8 / 0.4 / 0 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 8/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t < 8.8) 0 Site ollahypoteei voidaa hylätä kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla. %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki t 0.005 ja +t 0.005 aadaa t-jakauma taulukoita Koka 3.50 ja +3.50 8.8 < t = 3.50 ollahypoteei H 0 hylätää. Johtopäätö: Mittarit A ja B eivät äytä amoi. 0.4. Tetattaea erätä verepaielääkettä amoje potilaide (8 kpl) verepaie mitattii ee ja jälkee lääkkee auttimie. Koetuloket (verepaieet mm/hg) o eitetty alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että lääke ei kekimääri alea verepaietta, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että lääke kekimääri aletaa verepaietta. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. 3 4 5 6 7 8 Jälkee 8 76 0 49 83 36 8 58 Ee 34 74 8 5 87 36 5 68 Ratkaiu: Huomaa, että tehtävää 0.. ovellettu riippumattomie otokie t-teti ei ole yt luvallie, koka havaiot riippuvat toiitaa, illä ee- ja jälkee-mittauket o tehty amoille koehekilölle; k. myö tehtävä 3. Koka otoket ii riippuvat toiitaa, toimitaa tällaiea parivertailutilateea euraavati: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiet erotuket ja tetataa ollahypoteeia, joka mukaa ämä erotuket ovat kekimääri ollia. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 9/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Olkoo X Ei = havaitoarvo ryhmää E, i =,,, X Ji = havaitoarvo ryhmää J, i =,,, i = X Ei X Ji, i =,,, Olkoo yleieä hypoteeia H : (i) (ii) Erotuket i N( µ, σ ) i =,,, Erotuket,,, ovat riippumattomia Olkoo ollahypoteeia H 0 : Tetiuureea o joa E( i ) = 0, i =,,, t = = / i= i = ( i ) i= Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Suuret tetiuuree t iteiarvot johtavat ollahypoteei H 0 hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote = 4.5 = 8 = 6.6 4.5 t = = = 3.3 / 4.07/ 8 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) = 0.0083 Jo merkitevyytaoa o %, ollahypoteei H 0 hylätää, koka p = 0.0083 < 0.0 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 0/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki käytettäeä aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki +t 0.0 aadaa t-jakauma taulukoita Koka.998 t = 3.3 >.998 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: Lääke kekimääri aletaa verepaietta. 0.5. Erää tuottee valmitaja väittää, että tuotteita korkeitaa 5 % o vialliia. Aiaka poimii otoke, joka koko o 00 ja löytää 9 viallita tuotetta. Oko valmitaja väite oikeutettu? Tetaa ollahypoteeia, että valmitaja väite o oikeutettu, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että viallite uhteellie ouu o uurempi kui valmitaja väittämä 5 %. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Ratkaiu: Poimitaa valmitettuje tuotteide joukota ykikertaiella atuaiotaalla tuotetta tarkatettavaki. Olkoo ja A = Tuote o viallie Pr(A) = p Määritellää riippumattomat atuaimuuttujat Tällöi X i, jo i. tarkatettu tuote o viallie = 0, jo i. tarkatettu tuote ei ole viallie X i Ber(p) Aetetaa ollahypoteei H 0 : p = p 0 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Määritellää tetiuure joa Huomaa, että joa z = pˆ p 0 p0( p0) = Tarkatettavaki poimittuje tuotteide lukumäärä ˆp = Viallite tuotteide uhteellie ouu tarkatettuje joukoa ˆp = f / f = Viallite lukumäärä tarkatettuje joukoa Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure z oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(0,) Tehtävää ollahypoteei H 0 o ja jote p 0 = 0.05 pˆ = 9 / 00 = 0.095 = 00 z pˆ p 0.095 0.05 =.9 p0( p0) 0.05( 0.05) 00 0 = = Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa ormaalijakauma taulukoita Pr(z >.9) = 0.008. Site havaiot iältävät voimakata evideiä ollahypoteeia H 0 vataa. Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla olipa vaihtoehtoie hypoteei yki- tai kakiuutaie. Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki +t 0.0 Koka.33 z =.9 >.33 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Johtopäätö: Viallite uhteellie ouu o merkiteväti valmitaja ilmoittamaa uurempi. 0.6. 600 erääee vakavaa tautii airatuutta potilata jaettii atuaieti kahtee ryhmää A ja B, joia kummaaki oli 300 potilata. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) (b) Ryhmää A taudita parai 95 potilata ja ryhmää B 5 potilata. Suoitteliitko uude lääkkee ottamita käyttöö koetuloke peruteella? Ryhmää A taudita parai 5 potilata ja ryhmää B 95 potilata. Suoitteliitko uude lääkkee ottamita käyttöö koetuloke peruteella? Ratkaiu: (a) Jo uui lääke parataa vähemmä potilaita kui vaha lääke, ei tetauta tarvita e johtopäätöke tekemieki, että uutta lääkettä ei kaata ottaa käyttöö aiakaa tämä kokee peruteella. Se ijaa, jo uui lääke parataa eemmä potilaita kui vaha lääke, o tetau tarpee, jotta aadaa elville oko paratueide määrä liäätymitä pidettävä attumavaraiea eli otovaihteluta johtuvaa vai ei. (b) Jaetaa potilaat arpomalla ryhmää A, joa o potilata ja ryhmää B, joa o potilata. Olkoo ja A = Potila paraee Pr(A) = p, jo potila kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jo potila kuuluu ryhmää B Määritellää riippumattomat atuaimuuttujat Tällöi X ik, jo i. potila paraee ryhmää k = 0, jo i. potila ei parae ryhmää k X i Ber(p ) X i Ber(p ) Aetetaa ollahypoteei H 0 : p = p TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 3/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Määritellää tetiuure joa ja z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + ˆp = Paratueide uhteellie ouu ryhmää A = Potilaide lukumäärä ryhmää A ˆp = Paratueide uhteellie ouu ryhmää B = Potilaide lukumäärä ryhmää B Huomaa, että joa ja ˆp = Paratueide uhteellie ouu kaikkie potilaide joukoa ˆp = f / ˆp = f / f = Paratueide lukumäärä ryhmää A f = Paratueide lukumäärä ryhmää B f + f pˆ + pˆ p = = + + ˆ Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure z oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: Tehtävää jote z a N(0,) pˆ = 5/ 300 = 0.75 = 300 pˆ = 95/ 300 = 0.65 = 300 pˆ + pˆ 5 + 95 p = = = + 300 + 300 ˆ 0.7 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 4/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket ja z pˆ pˆ 0.75 0.65 = = pˆ( pˆ) + 0.7( 0.7) + 300 300 =.67 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree z arvoa vataava p-arvo o taulukoide mukaa Pr(z >.67) = 0.0038 Site aieito iältää voimakata evideiä ollahypoteeia H 0 vataa. Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoa o ykiuutaie hypoteei H : p > p Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki Koka.3 z =.67 >.33 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: Uude lääkkee käyttööotto o peruteltua. 0.7. Alueella A 300:ta atuaiotokee poimituita ääioikeutetuita 56 % kaatti ehdokata X. Alueella B ehdokkaa X kaatu 00: atuaiotokee poimitu ääioikeutetu joukoa oli 48 %. Muodota teti ollahypoteeille, että kaatuket eivät alueilla A ja B eroa toiitaa. Tetaa ollahypoteeia 5 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o (a) X: kaatu o alueella A uurempaa kui alueella B. (b) X: kaatu eroaa alueilla A ja B. Ratkaiu: Käytetää amaa tetiuuretta kui tehtävää 0.6. Nollahypoteeia o H 0 : p A = p B TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 5/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Tehtävää jote ja pˆ = 0.56 A A = 300 pˆ = 0.48 B B = 00 Apˆ A + Bpˆ B 300 0.56 + 00 0.48 pˆ = = = 0.53 + 300 + 00 A B pˆa pˆb 0.56 0.48 z = = pˆ( pˆ) + 0.53( 0.53) + 300 00 A B =.76 (a) Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä 5 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoa o ykiuutaie hypoteei H : p A > p B koka tällöi tetiuuree arvoa vataava p-arvo Pr(z >.76) = 0.039 < 0.05 Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa 5 %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki (koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki) Koka.65 z =.76 >.65 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: X: kaatu o teti mukaa uurempaa alueella A kui alueella B. (b) Nollahypoteeia H 0 ei voida hylätä 5 %: merkitevyytaolla, jo vaihtoehtoa o kakiuutaie hypoteei koka H : p A p B Pr(z >.76) = 0.039 = 0.0784 > 0.05 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 6/7
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa 5 %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki (koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki) Koka.96 ja +.96.96 < z =.76 < +.96 ollahypoteeia H 0 ei voida hylätä. Johtopäätö: Nollahypoteeia iitä, että X: kaatu o alueilla A ja B yhtä uurta ei voida hylätä. Huomautukia tilatollieta tetauketa () Teti tulo eli e, mitä ollahypoteeille tehdää, riippuu ekä valituta merkitevyytaota että vaihtoehtoie hypoteei muodota. () Käytäö tutkimukea apuai ei ole lueoitijaa, joka ataii vaihtoehtoie hypoteei muodo ja tetiä käytettävä merkitevyytao. (3) Tilato-ohjelmitot tulotavat uei ekä tetiuuree arvo että itä vataava p-arvo tai. hätätodeäköiyyde eli -uutaita vaihtoehtoita hypoteeia vataava p-arvo. (4) Tutkija joutuu ite päättämää p-arvo peruteella mitä hä ollahypoteeille tekee. Tämä o päätö, joho o aettava vaikuttaa myö päätöke euraukie; t. erilaiia tilateia o käytettävä erilaiia kyyarvoja. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 7/7