Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa palin pituussäiitä vastaan. Elmntti sovltuu sllaisnaan pinill siirtymill ja irtymill, mutta sitä voidaan sovltaa myös suurill siirtymill ja irtymill, unhan vain vnymä on pini. Krrataan alusi aarvuudn äsit. Kaarvuus v α R s α v α+ α määritllään tasoäyrän aarvuus raja-arvona α dα κ lim R s 0 s ds () uvasta huomataan, ttä dv tanα () d josta diffrntioimalla
Palilmntti hum.0. ( tan α ) + dα v d v dα +, v, d, () vastaavasti s + v v v, (, ) s + v ds + v d, (4) yhdistämällä tulost saadaan aarvuudn laussi κ v, / ( + v, ) (5) Käytttässä pintn siirtymin ja vnymin toriaa, utn tällä urssilla, voidaan aarvuudn laus orvata sn liilauslla κ v, (6) Alla olvassa uvassa on vilä havainnollistttu millainn ympyränaari on ysssä, jossa aarvuudn liilaus tuottaa %:n virhn aarvuudll. Taipuma v [mm] 000 500 000 500 0-000 -500-000 -500 0 500 000 500 000-500 -000-500 -000 [mm] Kuva. Palin aarvuus
Palilmntti hum.0. Vnymä Ω α R y v v() v(+ ) Kuva. Palin aarutuminn taivutusrasitussta johtun Puhtaassa taivutusssa palin uormittamattomana suora immoviiva (uvassa atoviiva) muuttuu R- sätissi ympyränaarsi säilyttän alupräisn pituutnsa. Kuvassa immoviivalta orudlla y olvin säiidn alupräinn pituus on siis R α. Palin taivutusn johdosta säiidn pituus uormitttuna on (R - y) α, jotn säiidn vnymä on ( ) R y α R α y ε y v R α R, (7) Kimmonrgia Jos palin matriaali on linaarissti immoista, niin sn immonrgian laus saadaan yllä olvaa vnymän laustta äyttän U U dv σ ε dv E ε dv E y v dv (8) 0, V V V V Olttamalla immorroin vaiosi poiipinnan alulla saadaan immonrgia vilä muotoon U E v y da d EI v d (9),, A
Palilmntti hum.0. Kahdn solmuvapausastn palilmntti Olttamalla palin nutraaliaslin orudlla olvat säit vnymättömisi, voidaan tasopalilmntin solmull valita asi vapausasttta, jota ovat solmun siirtymä palin paiallisoordinaatiston y-aslin suunnassa sä palin irtymä -aslin ympäri. Kosa äyttään pintn siirtymin toriaa, niin palin irtymä α ja taipuman drivaatta v, voidaan samaistaa. q q q q 4 ξ Kuva. Kahdn solmuvapausastn palilmntti Käyttään lmntin alulla lisäsi niin sanottua mooordinaatistoa, jossa mooordinaatti ξ saa arvoja välillä [-, ]. Tällöin lmntin pistn ξ vastaava -oordinaatti, jona mittausn origo on solmussa, saadaan ( ξ ) ( ξ ) N l (0) missä intrpolaatiofuntio -aslin suunnassa on N ( ξ ) ( + ξ ) () ähdtään sittn tsimään intrpolaatiofuntioita H i mooordinaatin ξ avulla palin taipumafuntioll v(ξ). Etsitään funtioita sitn, ttä uin intrpolaatiofuntio antaa arvon omalla solmuvapaustllaan ja arvon 0 muilla solmuvapausastilla. Näin saadaan ullin funtioll nljä htoa, jotn tsitään funtioita olmannn astn polynomin jouosta. H ( ξ ) α + α ξ + α ξ + α ξ () i i i i i 0 missä indsi i viittaa vapausastisiin..4. Intrpolaatiofuntion hdoista vapausastll q saadaan α0 α + α α α α + α 0 α 0 + α + α + α 0 α + α + α 0 () 4
Palilmntti hum.0. joa voidaan lausua matriisimuodossa 0 0 α (4) 0 0 0 Rataismalla yhtälöryhmä saadaan rtoimill arvot ( ) T α 0 (5) 4 vastaavalla tavalla saadaan muut intrpolaatiofuntiot, jotn H ( ξ + ξ ) 4 H ( ξ ξ + ξ ) 4 (6) H ( + ξ ξ ) 4 H 4 ( ξ + ξ + ξ ) 4 Funtiot H ja H lpaavat sllaisnaan palilmntin taipumaviivan approsimaatiosi, mutta osa v dv dξ v (7) dξ d l,, ξ niin thdään tarvittavat orjaust funtioihin H ja H 4, jotta taipuman drivaatta v, saa oiat arvot ( ja 0) solmuissa ja, jotn ahdn solmuvapausastn palilmntin muotofuntiot ovat l l N ( ξ ) H H H H4 (8) ja palin taipumaviivan approsimaatio on l l v( ξ ) Hq + H q + Hq + H 4q4 q q l l H H H H 4 Nq q q 4 (9) 5
Palilmntti hum.0. Jäyyysmatriisi Jäyyysmatriisin lausn johtamissi määrittään nsin taipumaviivan v toinn drivaatta v d v dξ,, ξξ dξ d l l 4 4 l 6 l [ 6 ] 6 N q [ 6 ] 4 ξ + ξ ξ + ξ q ( 6 ξ l [ + ξ ] 6 ξ l [ + ξ ]) q N, q l (0) Palilmntin immonrgia on EI U EI v d d q N N q () T T,,, Kosa muotofuntiot on lausuttu mooordinaatin avulla, niin muuttaan intgrointirajat sijoittamalla l q N N q q N N ξ q T T T T U EI,,,, d EI d 6ξ l ( + ξ ) 6ξ l ( ξ ) 6ξ l ( ξ ) dξ q l ( + ξ ) T q l + + 6ξ EI EI ( + ) l ( + ) 6ξ 6lξ ξ 6ξ 6 ξ ξ 6l ξ ( + ξ ) l ( + ξ ) 6l ξ ( + ξ ) l ( + 9ξ ) T dξ q q q 6ξ 6 ξ ( + ξ ) 6ξ 6l ( ) ξ + ξ 6lξ ( + ξ ) l ( + 9ξ ) 6lξ ( + ξ ) l ( + ξ ) T q l l () jäyyysmatriisin laussi saadaan suorittamalla intgroinnit ( + ) l ( + ) 6ξ 6lξ ξ 6ξ 6 ξ ξ EI 6l ( ) ( ) ( ) ( ξ + ξ l + ξ 6lξ + ξ l + 9ξ ) d l ξ 6ξ 6lξ ( + ξ ) 6ξ 6lξ ( + ξ ) 6lξ ( + ξ ) l ( + 9ξ ) 6lξ ( + ξ ) l ( + ξ ) 6l 6l EI 6l 4l 6l l l 6l 6l 6l l 6l 4l () 6
Palilmntti hum.0. Kaavaoolmassa lmntin pituus l on orvattu mitalla, jotn ahdn solmuvapausastn palilmntin jäyyysmatriisi on 6 6 EI 6 4 6 (4) 6 6 6 6 4 Evivalnttist solmuuormitust Viivauormitusn aihuttama vivalnttinn solmuuormitus Palin tilavuusuormitus tai sn pintaan ohdistuva painuormitus voidaan äsitllä samalla tavalla viivauormitusna q, jona ysiö on N/mm tai N/m. Tarastllaan tässä yhtydssä tasaista viivauormitusta q, jona positiivinn suunta on palin y-aslin positiivinn suunta q F/ q q q q 4 Kuva 4. Pali, johon ohdistuu tasainn viivauorma q Viivauormitusn potntiaali T ql T T ql T WP v q d v( ξ ) dξ dξ q N ξ + ξ l T ql T T ql q N dξ q 4 + ξ ξ l q l / q l / T q q l / ql / ( ξ ξ + ξ ) ( ξ + ξ + ξ ) dξ (5) jotn tasaisn viivauormitusn vivalnttinn solmuuormitusvtori 7
Palilmntti hum.0. ql ql p V f f (6) ql q l missä yläindsi p viittaa painuormaan ja V tilavuusuormitusn. Kosa uormitusn viivatihys on tässä salaarisuur, niin on äyttty viivatihydn symbolina q irjainta rotusna vtoriarvoissta viivauormitussta, jota on mritty symbolilla r, jotta sitä i soitta lmntin solmusiirtymävtoriin q. Pistvoiman aihuttama vivalnttinn solmuuormitusvtori Toinn äsilasnnassa usin äyttty uormitus on pistuormitus lmntin alulla q q ξ F q q 4 a b Kuva 5. Elmntin alulla olva pistuorma Pistuormitusn potntiaali ξ + ξ l ( ξ ξ + ξ ) T T T T F WP v F F ( ξ ) q N q 4 ξ ξ (7) + l ( ξ + ξ + ξ ) mooordinaatin arvo voidaan rataista yhtydstä a a ( + ξ ) l ξ (8) l ottamalla vilä äyttöön lyhntt 8
Palilmntti hum.0. a b a b l l (9) ja sijoittamalla n potntiaalin laussn saadaan ( + a ) b ab q ( (0) + ) ba T WP F a b jotn lmntin alulla olvan pistuormitusn vivalnttinn solmuuormitusvtori on b ( + a ) ab p f () F a ( + b ) ba missä yläindsi p viittaa nyt ylistttyyn painsn li pistvoimaan. Jos pistvoima on lmntin sllä, niin vivalnttinn solmuuormitusvtori on F F P 8 f () F F 8 Välion I alu vuonna 0 päättyy suraavaan simriin. 9
Palilmntti hum.0. asntasimri as ohisn palirantn taivutusmomnttiuvio ja tuiratiot. EI F / Jataan malli äsilasnnan hlpottamissi vain ahtn lmnttiin. Kuvassa on sittty lmnttijao sä ainoa globaalivapausast Q. / Q F,EI,EI Elmntti q q q q 4 EI ξ Elmntti F q q q q 4 ξ Koo rantn lasntamallin jäyyysmatriisi saadaan sijoittlusummamalla lmnttin jäyyysmatriisit EI 8EI K 44 + ( 4 + 4) Jäyyysmatriisin ääntismatriisi EI 0 0 0 6 6 0 6 4 6 0 6 6 0 6 6 4 0 0 0 6 6 0 6 4 6 6 6 0 6 6 4 0 f P F F 8 F F + 8 K 8EI 0
Palilmntti hum.0. Kosa lmntillä on nttäuormitus, niin siitä aihutuu oo rantn lasntamallin uormitusvtoriin F trmjä (ysi trmi). F [ F /8] astaan globaali siirtymävtori Q Q K F F F 8EI 8 64EI Elmntti F 6 6 0 6 F EI 6 4 6 0 F F f q 6 6 0 64EI 6 64 F 6 6 4 4 F Elmntti F 6 6 0 F P EI 6 4 6 F 8 f q f 6 6 0 64EI F 6 6 4 0 F + 8 F F 6F F 6 6 F F 4F F 4 F 8 4 8 + 6 + 64 F F 6 F 9F 6 F F 4 F 5F 8 4 8 Taivutusmomnttiuvio Taivutusmomnttin arvot lmnttin solmuilla on nyt slvittty ja jos lmntin alulla i ol nttäuormitusia, voidaan taivutusmomnttiuvio piirtää suorana solmuarvolta solmuarvoll. Solmulla olva solmuarvo f on taivutusmomntin vastaluu ja solmulla olva solmuarvo f 4 on suoraan taivutusmomntti. Jos lmntin alulla on nttäuormitusia, niin niidn vaiutus taivutusmomnttiuvioon lmntin alulla tul ottaa huomioon. Slimmin tämä tapahtuu lmntin palasn vapaaappaluvan avulla. Alla olvassa uvassa on lmntin oianpuolinn osuus nnn pistuormitusta F ja vasn puoliso havainnollisuudn vuosi.
Palilmntti hum.0. f F V V 9F/ f M t M t -5F/ Momnttitasapainosta pistn suhtn saadaan 9F 5F + M t ( ) 0 9F 5F M t ( ) + 9F 0F 9F M t ( / ) + + 64 64 64 Kosa muita nttäuormitusia i ol, niin taivutusmomnttiuvio voidaan nyt piirtää. M t 9F + 64 F + - F - 5F Tuiratiot Pystyratio Ry Momntti Vasn tui Oia tui Ksitui F 9F F F F + F 5F Tasapainotarastus Pystyratio + Uloinn pystyuormitus Momnttitasapaino oialla tulla F 9 6 + F + F F 0 OK F 5F F F F + + 0 OK
Palilmntti hum.0. Kolmn solmuvapausastn palilmntti isäämällä dllä sitltyyn ahdn solmuvapausastn palilmnttiin asiaalisiirtymät ja numroimalla lmntin vapausastt solmuittain tnnväsi saadaan uvan muainn olmn solmuvapausastn palilmntti. Kosa tyydytään linarisoituun toriaan, niin suoran palin vto ja puristus ivät ol ytnnässä taivutusn ja liausn, jotn oosttaan olmn solmuvapausastn palilmntti yhdistämällä ahdn vapausastn sauvalmntti ja ahdn solmuvapausastn palilmntti. q q y,v(), u() q q 5 q 6 ξ ξ - ξ q 4 Elmntin jäyyysmatriisi saadaan sijoittlusummaamalla nljän vapausastn palilmntin ja ahdn vapausastn sauvalmntin jäyyysmatriisit " " i i () ja 5 6 6 6 6 6 EI 6 4 6 6 4 6 κ 6 6 5 6 6 6 6 4 6 6 6 4 4 EA 4 (4) (5) suorittamalla sijoittlusummaus saadaan
Palilmntti hum.0. 0 0 0 0 0 κ 6 κ 0 κ 6 κ 0 6 κ 4 κ 0 6 κ κ 0 0 0 0 0 κ 6 κ 0 κ 6 κ 0 6 κ κ 0 6 κ 4 κ (6) Solmumittausjärjstlmän irto Kutn nljän vapausastn sauvalmntin yhtydssä oli sillä, on olmn solmuvapausastn palilmntti vilä sijoitttava milivaltaisn asntoon globaalisn y-oordinaatiston suhtn. Tällöin palin loaalioordinaatiston siirtymät q voidaan lausua globaalisn y-oordinaatiston siirtymin q avulla l m 0 0 0 0 q m l 0 0 0 0 q 0 0 0 0 0 q q q (7) 0 0 0 l m 0 q4 0 0 0 m l 0 q5 0 0 0 0 0 q 6 missä l ja m ovat palin suuntaosinit Globaalista solmumittausta vastaava jäyyysmatriisi on y T (8) missä saadaan aavalla (6). Evivalnttist solmuuormitusvtorit tul oota palin paiallisoordinaatistossa sauva- ja paliosall ja n muunntaan globaalisn y-oordinaatistoon aavalla f v y T fv (9) asuharjoitusissa tul olmaan ysi simri m. muunnosista. 4
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) Khärantt Khärantn osina olvat palit voivat ottaa vastaan aiia annattimn rasitusia, jota ovat normaalija liausvoima sä taivutus- ja vääntömomntti. Khärantssa taivutuslla ja/tai väännöllä on olllinn mritys ainain rantn jossain osassa. Khärantn lasntamallissa on siis momnttin ja liausvoimin uormittamia palja, mutta muana voi myös olla vain normaalivoimaa vastaanottavia sauvoja. Ylnsä härantn palin olttaan iinnittyvän toisiinsa jäyästi hän nurissa. Tällöin palin päät ivät irry toisiinsa nähdn vaan ovat saman nuraan liittyvän rotaation. Khärannmallissa voi josus siintyä sisäisiä nivliä tai luistja. Niillä voidaan mallintaa palin pään iinnitysiä, jota ivät ota mrittävästi vastaan taivutusmomnttia tai liausvoimaa tityssä suunnassa. Khärantn palin gomtria mallinntaan niidn pintasiöviivoilla, jota liittyvät toisiinsa hän nurissa joo suoraan tai tityllä päsisyydllä. Palit ovat ylnsä tasapasuja, jolloin niill tarvitaan annattimn torian muaist poiiliausn pintasuurt. Muuttuvan poiiliausn omaavan annattimn äsittly i onnistu ovin ylissti pruslujuusopilla, mutta lmnttimntlmässä s voidaan mallintaa halutulla taruudlla jaamalla pali riittävän monn tasapasuun osaan. Khärantn inttinn uormitus oostuu palihin tai nuriin ohdistuvista pistmäisistä voima- ja momnttiuormitusista sä palihin ohdistuvista viivauormitusista ja lämpötilauormitusista. Kinmaattinn uormitus sisältää tuipistidn tunntut translaatio- ja rotaatiosiirtymät. asnnan tulosna saadaan palin rasitusuvat ja vastaavat jännityst sä nurin translaatio- ja rotaatiosiirtymät ja palin immoviivojn laust. Tavallissti härantn nuriin syntyy uormitusn vaiutussta sä translaatiosiirtymiä ttä rotaatiosiirtymiä. Joissain tapausissa nuriin tul translaatiosiirtymiä vain normaalivoimista johtuvin pituudnmuutostn taia. Kosa hässä palin pituudnmuutost ovat ylnsä niidn taipumiin vrrattuna piniä, i thdä suurta virhttä, vaia n olttaan nollisi. Tällä oltuslla ysssä olva hä on nuristaan siirtymätön ja sn nuriin voi syntyä vain rotaatioita. Nuristaan siirtymätön hä on harvinainn rityistapaus ja ylnsä hät ovat siirtyvänuraisia. Tässä tarastllaan uitnin nuristaan siirtymätöntä häranntta, osa vastaavalla palilmntillä tarvitaan vain asi rotaatiovapausasttta, jotn siitä on ysinrtaisinta aloittaa palilmnttin torian hittly. Ristiorantidn yhtydssä sittty suoran lmnttimntlmän formulointi sovltuu sllaisnaan härantisiin. Uutna piirtnä on rotaatiovapausastidn äyttö solmumittausssa. asnnassa tarvitaan ylisn tasohän ja avaruushän äsittlyyn sopivat lmntit ja on tunnttava niidn jäyyysmatriisin ja vivalnttistn solmuuormitusvtoridn laust. Palilmntit ryhmitllään sn muaan, mitn n ottavat huomioon liausvoiman vaiutusn taipumaan. Hoian palin lmntti i ota liausvoimaa huomioon lainaan ja oran palin lmntti ottaa sn huomioon liimääräissti poiiliausn liausrtoimn avulla. iausvoiman vaiutus on ylnsä pini. Tässä äsitllään ysityisohtaissti vain hoian palin lmnttjä ja oran palin lmntin tulost sittään ilman johtoa. Edllä johdtut palilmnttin jäyyysmatriisit prustuivat tnisn taivutustoriaan, jolloin on otttu huomioon vain taivutusmomntin vaiutus palin taipumaan. Palin liausvoima aihuttaa myös taipumista, joa varsinin orilla palilla vaiuttaa himan tulosiin. iausvoiman vaiutusn 5
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) määritys ylisll poiiliausll i onnistu tarasti annattimn torialla, mutta riittävän tara liirataisu saadaan äyttämällä liausrrointa φ, joa riippuu palin matriaalista ja gomtriasta. Monill poiiliausill voidaan johtaa liausrtoimn liiarvo simrisi tnisn taivutustorian tai nrgiapriaattn avulla. Voidaan osoittaa, ttä liausrrointa äytttässä uudn vapausastn palilmntin loaali jäyyysmatriisi muuttuu muotoon iausrtoimn φ laus voidaan sittää muodossa EI A i φ 4( + ν ) GAs As (40) jossa E, G ja ν ovat matriaalivaiot, As thollinn liauspinta-ala (liausvoiman vastaanottava pintaala) ja i poiiliausn nliösäd. iauspinta-aloja löytyy lujuusopin irjallisuudsta, simrisi suoraulmioll A s 5A / 6, ympyräll A s 9A /0 ja I-profiilill uuman pinta-ala. Kaavasta näyy, ttä liausmuodonmuutosn vaiutus on pini, jos palin hoiuusluu λ / i i ol ovin pini. Kun ν 0, ja arvioidaan arasti, ttä A s A, saadaan suraavia arvoja joista näyy slvästi, ttä tavanomaisn hoiuudn omaavalla palilla liausvoiman vaiutus taipuman arvoon on vähäinn. Edll sitlty olmn solmuvapausastn palilmntti (Bam) on vilä muana ANSYS0-ohjlmassa ja sitä voi äyttää vaihtohtoisna lmnttinä harjoitustyön rataisussa. Vrsiossa 4 lmnttinä pitän äyttää simrisi palia Bam88, jolla on uusi solmuvapausasttta. Palin Bam88 muotofuntiot ivät ol Hrmit n polynomja vaan palin irtymät on intrpoloitu rillisinä translaatiosiirtymiin nähdn. Aihalutta on äsitlty simrisi urssilla: Maniian rityisysymysiä: Moniappalmaniia. 6
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) Avaruushät Vain tasapasuja ja suoria osia sisältävän avaruushän tara rataisu saadaan lmnttivrolla, jossa solmut sijoittuvat nuriin, tuipistisiin, ulopäihin ja poiiliausn muutosohtiin. Avaruushän lmntit ovat suoria asisolmuisia palilmnttjä. Kuvassa 6 on simri avaruushän lmnttivrosta, jossa on 4 solmua ja lmnttiä. Avaruushäll sovitaan globaali y-oordinaatisto, jona aslidn suhtn solmumittaus suorittaan. Solmumittaus sisältää translaatiot ja solmuvoimat globaalisuunnissa ja rotaatiot ja momntit globaalisuuntin ympäri. Solmulla on 6 ja lmntillä vapausasttta. Elmntin solmuvoimavtoridn dimnsio on ja jäyyysmatriisi on matriisi. Kuvassa 6 on sittty nuolisymbolilla solmun vapausastt. Kullain lmntillä on oma loaali y -oordinaatisto, jona -asli on lmntin suuntainn ja y-oordinaatisto on sn poiiliausn pääoordinaatisto. Kuvassa 6 on lmntin 9 loaalioordinaatisto ja globaali solmumittaus. Avaruushän lmnttjä rasittaa taivutusmomntti ja liausvoima sn poiiliausn päätasoissa ja lisäsi normaalivoima ja vääntömomntti. Näidn äsittlmisn tarvitaan poiiliausn pintasuurt li ala A, päänliömomntit I y ja I sä vääntönliömomntti I v, miäli liausmuodonmuutosta i otta huomioon ja rajoitutaan vapaan väännön toriaan olttan lisäsi pintasiön ja vääntösiön yhtyvän. iausmuodonmuutos voidaan tarvittassa ottaa liimääräissti huomioon umpaanin päätasoon liittyvin liausrtoimn φ ja φ y avulla. Kuva 6. Avaruushän lmnttivro ja sn lmntti 7
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) Elmntin loaali jäyyysmatriisi Avaruushän äsittlyyn lmnttimntlmällä tarvitaan uvan 7 (b) globaalioordinaatistossa milivaltaisssa asnnossa olvan vapausastn palilmntin jäyyysmatriisi, jona solmumittaus liittyy globaalioordinaatiston aslidn suuntiin. S voidaan johtaa oordinaatiston irtoa äyttän, jolloin lähdtään liill uvan 7 (a) loaalioordinaatiston solmumittaussta inaarisn lujuusopin torian muaan vto/puristus, vääntö sä poiiliausn ummanin päätason taivutus ja liaus ovat toisistaan riippumattomia. Tästä suraa, ttä loaalioordinaatiston jäyyysmatriisi voidaan muodostaa sijoittlusummaamalla uvassa 8 sittyt vto/puristusn, väännön sä poiiliausn ummanin päätason taivutusn ja liausn jäyyysmatriisit. Tulossi sijoittlusummaussta tul lmntin jäyyysmatriisi. Kuva 7. Avaruushän lmntin loaali- ja globaalimittaus Kuvassa 8 sittty vääntöuormitusn jäyyysmatriisi suraa vapaan väännön toriasta, jolloin loaali - asli on vääntösiön ohdalla. Kosa uvan 8 muissa uormitustapausissa loaali -asli on pintasiön ohdalla, on jäyyysmatriisi tarasti voimassa vain, un vääntösiö yhtyy pintasiöön, utn simrisi asoissymmtrisillä poiiliausilla. iausvoimin vaiutus taipumaan voidaan 8
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) ottaa liimääräissti huomioon liausrtoimilla φ ja φ y muuttamalla jäyyysmatriisissa ummanin päätason taivutusta ja liausta vastaavat aliot aavan (40) muaisisi. Kuva 8. Sijoittlusummattavat jäyyysmatriisit Suorittamalla sijoittlusummaus saadaan vapausastn palilmntin jäyyysmatriisi. 9
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) EA EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 6EI EI 6EI 0 0 0 0 0 0 0 0 EI y 6EI y EI y 6EI y 0 0 0 0 0 0 0 0 GIv GIv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI y 4EI y 6EI y EI y 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI 4EI 6EI EI 0 0 0 0 0 0 0 0 EA EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 6EI EI 6EI 0 0 0 0 0 0 0 0 EI y 6EI y EI y 6EI y 0 0 0 0 0 0 0 0 GIv GIv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI y EI y 6EI y 4EI y 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI EI 6EI 4EI 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 6 7 8 9 0 Palilmntin globaali jäyyysmatriisi Palilmntin loaalioordinaatiston jäyyysmatriisi on muunnttava globaalioordinaatistoon. Tällöin saadaan jäyyysmatriisi y, joa antaa globaalioordinaatiston solmusuurvtoridn välisn yhtydn. Koordinaatiston muunnos avaruudn pistll Tarastllaan nsin avaruudn pistttä r, jona omponntit ( r ) T ry r tunntaan yoordinaatistossa. Taroitusna on lausua pistn omponntit ( r ) T r y r y -oordinaatistossa. Mritään y -oordinaatiston antavtorita, ja, joidn omponntit (suuntaosinit) ( l m n ) T ( l m n ) ( l m n ) T T (4) 0
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) tunntaan y-oordinaatistossa. y' y r r r r y ' ' Kuva 9. Avaruudn pist r Halutut omponntit saadaan pistn r pisttuloina antavtoridn suhtn r ri r l + r m + r n y r ri r l + r m + r n y y r ri r l + r m + r n y (4) joa voidaan lausua matriisimuodossa r l m n r r r l m n r Tr (4) y y r l m n r Koordinaatiston muunnos palilmntin siirtymäll Palilmntin siirtymä y-oordinaatistossa on ( q q q q q q q q q q q q ) T q (44) 4 5 6 7 8 9 0 Ryhmittlmällä trmjä siirtymä voidaan lausua d φ q d φ (45)
Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) missä siirtymätrmit on lausuttu solmuittain rottan translaatiosiirtymät d ja irtymät ϕ. Kantavtoridn, ja määräämässä suunnassa siirtymäomponntit saadaan q d T 0 0 0 d φ 0 T 0 0 φ d 0 0 T 0 d φ 0 0 0 T φ q (46) Globaalista solmumittausta vastaava jäyyysmatriisi on y T (47) missä palilmntin loaali jäyyysmatriisi. Evivalnttist solmuuormitusvtorit tul oota palin paiallisoordinaatistossa sauva- ja paliosill ja n muunntaan globaalisn y-oordinaatistoon aavalla f v y T fv (48)