Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d = y. Sdn yhtälö + y = y ( ) + y = y + d = d ( ) + y = y y y+ = y + y 8= 6y + 9 y = + 8 : y = + Jos j b, niin = b = b. = = Pisteen (, y ) etäisyys pisteestä (, ) on d = ( ) + ( y y ) ( y ) d = + y = + Vstus y = +
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst y =. Sdn yhtälö + y = y+ ( ( ) + ( y ) ) = ( y+ ) d = d Jos j b, niin = b = b. = = Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on ( ) + ( y ) = ( y+ ) + + y y+ = y + 6y+ 9 y = y = : y = 5 5 d = + y Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst y = on d = y = y+ Vstus y = 5 5
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst =. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst = on d = Sdn yhtälö + y = ( + ( y ) ) = + y = + + y y+ = 6+ 9 + y y = d = d Jos j b, = y + y+ : = y + y+ niin = b = b. = = d = + y Vstus = y + y+
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Olkoon (, y ) prbelin piste. Prbelin määritelmän mukn pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) on yhtä suuri kuin etäisyys johtosuorst =. Sdn yhtälö + + y = + ( + + ( y ) ) = + + + y = + + + + y y+ = + 6+ 9 + y y = d = d = y y = y y Jos j b, niin = b = b. = Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) d = + + y on Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst = on d = = + Vstus = y y
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 85 Olkoon (, y ) prbelin piste. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (,) d = + + y Pisteen (, y ) etäisyys johtosuorst y = + eli y+ = on on Prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö d ( ( ) ( y ) ) ( ) ( y ) y+ Jos j b, ( + ) + ( y ) = niin = b = b. ( y+ ) y+ + + = = b b = d + + = = = ( y y ) ( y) ( y) + + + 6 + 9 = + + + 8+ 8+ y y+ 8= y+ y + y+ + + + y 8y+ y = d = y+ d = + ( ) y+ = + by + c + b Vstus + y + y+ 8y+ =
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty 9..6 86 Olkoon (, y ) prbelin piste. Pisteen (, y ) etäisyys polttopisteestä (, ) on d = + y j johtosuorst y = + eli + y = on Prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö d = d ( ( ) ( y ) ) ( ) ( y ) + y Jos j b, ( ) + ( y ) = 5 niin = b = b ( + y ) + y + = = 5 b b + = 5 5 = = ( y y ) ( y) ( y) 5 + + + = + + + 5 + + 5y y+ 5= + y+ y y+ 6+ + y 8y y = + y y 6 8y+ = d + y + y = = + 5 Vstus + y y 6 8y+ =
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty 9..6 87 Prbelin kseli kulkee polttopisteen (, ) j huipun (, ) kutt. Polttopisteen j huipun y-koordintti on, joten kselin yhtälö on y =. Johtosuor on kohtisuorss kseli vstn, joten se on pystysuor j siten sen yhtälö on =. Kosk huipun (, ) etäisyys polttopisteestä (, ) on, pitää oll välttämättä huipun etäisyys johtosuorst myös (prbelin määritelmä). Siis johtosuor on = (suor = ei kelp, kosk polttopiste ei ole johtosuorll). Prbelin polttopiste on siis (, ) j johtosuor on =. Olkoon (, y ) prbelin (mielivltinen) piste. Tällöin prbelin määritelmän mukn sdn yhtälö + + y = ( + + ( y ) ) = + + y = + + + y y+ = 6+ 9 8 + y y = d = d 8 = y + y+ = y + y+ 8 Jos j b, niin = b = b. = Vstus = y + y+ 8 y + 8 y =
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty 9..6 88, j kseli y-kseli ( = ). Kosk polttopiste on prbelin kselill, niin merkitään polttopistettä (, ). Johtosuor on kohtisuorss prbelin kseli vstn, joten se on vksuor j sen yhtälö on siten muoto y = k. Perusprbelin huippu on Huipun (, ) etäisyydet polttopisteestä y = k ovt yhtä suuret, joten k =. Siis johtosuor on y =., j johtosuorst ( ) + ( ) = ( ) d = d + = + ( ) + = + = + ( ) = ( + ) + + = + + = = Jos j b, niin = b = b. Polttopiste on siis, j johtosuor on y =. Prbelin piste on esimerkiksi (, ). Kosk prbelin pisteen etäisyydet polttopisteestä j johtosuorst ovt yhtä suuret, sdn yhtälö
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty 9..6 89 Vlitn koordintisto niin, että Aurinko j rtkäyrän (prbelin) polttopiste on origoss sekä johtosuor on vksuor j polttopisteen lpuolell. Prbelin huippu on lähinnä polttopistettä, joten huipust polttopisteeseen j johtosuorlle on 5 miljoon kilometriä. Kulm β sdn yhtälöstä 5 sin β = 5 β = 9,7... Kulm α on α = 8 β =,57... Tphtumien ikväli on siten t α = 65 vrk vrk 6 Vstus Aikväli on vuorokutt. Kosk M on prbelill j Mn etäisyys Auringost (prbelin polttopisteestä) on 5 miljoon kilometriä, niin Mn etäisyys johtosuorst on myös 5 miljoon kilometriä. Tällöin Mn etäisyys -kselist on 5 = 5 miljoon kilometriä.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Tp Vlitn koordintisto niin, että Aurinko on origoss j 6 pyrstötähti lähimmillään pisteessä (,d ), missä d = 5 km. Prbelin johtosuor on tällöin y = d. Prbelin yhtälöksi sdn y+ d = + y y + dy+ d = + y dy = d y = d d Mpllon rtkäyrä on + y = r, missä r = 5 km. Prbelin j ympyrän leikkuspisteet sdn yhtälöprist + y = r = y d d + y = r = dy+ d dy + d + y = r = dy+ d 6 ( ) y+ d = r y = d d y+ d = r y = d d y = r d r d = d d y = r d = dr d y =± dr d =± dr d y = r d Leikkuspisteiden välinen etäisyys on siis 6 s = dr d 8 km. ( y+ d > prbelill ) Aikero sdn rtkisemll törmäyshetkien määräämä Mn kulkem kri α : α dr d d d sin = = r r r joten α j ikväli on likimin 65 vrk vrk 6. Vstus Aikväli on vuorokutt.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 ) y = + + y = + b+ c, Prbeli on ylöspäin ukev, sillä = >. Prbelin huippu: y b = = = 6 = ( 6) + ( 6) + = 5 Huippu on ( 6, 5). Prbelin kseli on = 6. c) y = + y =, Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbelin nollkohdt ovt = j = joten prbelin hupun -koordintti on + + = = = Huipun y-koordintti on b) y = + 8+ 5 ( ) y = 8 5 y = + b + c, Prbeli on lspäin ukev, kosk = <. Prbelin huippu: y b 8 8 = = = = ( ) 6 = ( ) 8 ( ) 5= Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. y = + = Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. y 5= + y y =, d) Prbeli uke lspäin, kosk = <. Prbelin huippu on (, 5) j kseli =.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 ) y = + 6+ 5 y = + b+ c, Huippu on ( 5, ). Prbelin kseli on = 5. Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbelin huippu: b) y b 6 = = = = ( ) + 6 ( ) + 5= Huippu on (, ). Prbelin kseli on =. 5y = + 5 :5 y = + 5 y = + b + c, 5 Prbeli on lspäin ukev, kosk Prbelin huippu: b 5 = = = = = 5 5 5 = <. 5 c) y+ = y y =, Prbeli on lspäin ukev, kosk = <., j kseli =. Prbelin huippu on d) y = + y =, Prbeli on ylöspäin ukev, kosk = >. Prbeli nollkohdt ovt = j =. Prbelin huippu: + + = = = y = ( + )( ) = ( ) = y 5 5 5 = + = 5 Huippu on (, ). Prbelin kseli on =.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 ) y = + y = + b+ c, lspäin ukev prbeli, kosk = < huippu: b = = = ( ) y = + = huippu, nollkohdt: + = = = =± ) =± 6 =± ±, lisäpisteitä y = + (, y) 5 (, 5) 5, 5 b) y = 8 y = + b+ c, ylöspäin ukev prbeli, kosk = >. huippu: b = = = 8 y = 8= = 9 huippu, 9 nollkohdt: 8= ± 8 = ± ± 7 = = 6 6 ± 7 =, ti, lisäpiste: Kun =, niin Piste (,7 ). y = 8= 7
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 c) y = + y =, d) y = + y y =, lspäin ukev prbeli, kosk = <. nollkohdt: = j = huippu: + + = = = y = + =, huippu lisäpisteitä: y = +, y (,), ylöspäin ukev prbeli, kosk = > huippu on (,) lisäpisteitä: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = + +, y,, 9,9 5 9 5,9
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 8 Alspäin ukevn prbelin yhtälö on y = + b+ c, < Prbelin pisteet toteuttvt prbelin yhtälön, joten sdn yhtälöryhmä = + b + c = + b + c = ( ) + b ( ) + c () c = Sijoitetn yhtälöihin ( ) j ( ). + b+ c= ( ) b+ c= + b+ = b+ = Prbelin yhtälö on Prbelin huippu: y b = = = ( ) y = +. = + = + + = Huippu on,. Prbelin nollkohdt: + = ± ( ) ( ) ± 5 ± 5 = = = ( ) ( ) = b Sijoitetn yhtälöön ( 5 ). ( 5) b= ( b ) b= 6b = 6 b = Sijoitetn yhtälöön ( ). = b = ( ) = = Vstus Prbelin yhtälö on y = +. Huippu on,. ± 5 Nollkohdt ovt =.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty 9..6 8 Prbelin kseli on y-kseli (pystysuor), joten prbeli on ylös- ti lspäin ukev. Prbelin yhtälö on huippumuodoss y y =,, y =, ) y = ( ) y = Prbeli kulkee pisteen (,) = ( ) = = 5 Prbelin yhtälö on siis b) kutt, joten sdn yhtälö y = 5 Prbeli kulkee pisteen ( 6, ) = 6 = 6 = 6 = Prbelin yhtälö on siis kutt, joten sdn yhtälö y =. 85 Prbelin kseli on pystysuor, joten prbeli on ylös- ti lspäin ukev. Sen yhtälö on huippumuodoss y = ( + ), (, ) (,) y y = y = Prbeli kulkee pisteen 5, kutt, joten sdn yhtälö = ( 5+ ) = 9 9 9 = = = 9 9 Siis prbelin yhtälö on y = ( + ) Huomutus: Prbelin yhtälö perusmuodoss on y = ( + ) ( y = + + ) y = y = +
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty 9..6 86 Ylöspäin ukevn prbelin yhtälö nollkohtmuodoss on 87 y =, > =, = y = ( + )( ) Prbeli kulkee pisteen (, 6) kutt, joten 6 = ( + )( ) 6 = = ( > ) Prbelin yhtälö on siis y = ( + )( ). Prbeli leikk y-kselin, kun = : y = ( + ) ( ) = ( ) = Prbeli leikk y-kselin pisteessä (, ). Prbeli y = on prbelin y > y > + > : ( > ) + > y = yläpuolell, kun Nollkohdt: Kuvj: + = ( + ) = y = + = ti = Siis < < Vstus < <
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty 9..6 88 Suorn kulmkerroin on k 5 5 y y 7 = = = = : = = 7 Suuntkulm α sdn rtkisemll yhtälö Leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + + 6 + = + + 6 + 6= ± ( 6) ± 7 = = 6 8 = = ti = = y = + y = + = 5 ti y = ( ) + ( ) = tnα = tnα = k α = 56,99... α 56 Vstus Suuntkulm on 56 Leikkuspisteet ovt siis,5 j (,).
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty 9..6 89 Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. ) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = 6 + = 6 = = =± y = 6 Kun =, niin y = 6 =. Kun =, niin y = ( ) 6=. c) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = + = = = in epätosi < ei rtkisu Ei yhteisiä pisteitä. Yhteiset pisteet ovt (, ) j (, ). b) Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + y = + = = = = y = Kun =, niin y = =. Yhteinen piste on (, ).
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + + = Sijoitetn yhtälöön (). y = ( ) + = = Yhteisiä pisteitä on vin piste (,). Ylöspäin ukevn prbelin y = + + kseli on pystysuor. Kosk suor = on myös pystysuor, niin se ei ole prbelin tngentti. Suor = ei siis sivu prbeli vikk prbelill j suorll = on vin yksi yhteinen piste. 8 Leikkuspisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + t y = 8 + 5 Sijoitetn yhtälöön (). 8+ 5= + t + 5 t = Toisen steen yhtälön diskriminntti on D = ( ) ( 5 t) = + 8t = 8t+ ) Leikkuspisteitä on olemss, jos D. D 8t + 8t :8( > ) t Vstus Yhteisiä pisteitä on vin piste (,) Suor ei sivu prbeli..
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 b) Kosk prbelin y = 8+ 5 kseli on pystysuor, niin nousev suor y = + t sivu prbeli täsmälleen silloin, kun prbelill j suorll on vin yksi leikkuspiste. Siis D = 8t + = 8t = :8 t = 8 Prbeli y = on lspäin ukev, joten sen kseli on y-kselin suuntinen (pystysuor). Tällöin suor on prbelin tngentti, jos j vin jos suor ei ole pystysuor (eli sillä on kulmkerroin) sekä suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste. c) Leikkuspisteitä ei ole, jos D <. Siis D < 8t + < 8t < :8( > ) t < Olkoon tngentin kulmkerroin k. Sen yhtälö on (, ) (, ) y y = k y = y ( ) = k( ) y+ = k k y = k k Tngentill j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Vstus ) t b) t = c) t < () y = k k Sijoitetn yhtälöön ( ). y = k k = + k k = Toisen steen yhtälöllä on vin yksi rtkisu, jos j vin jos diskriminntti on noll.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 k ( k ) = k D = + 8k + 6= ( k + ) = k + = k = Tngentin yhtälö on siis D = b c =, b= k, c= k 8 y = + + b kulkee origon (, ) kutt, joten Käyrä = + + b b = Siis käyrän yhtälö on y = + Kosk lspäin ukevn prbelin y = + kseli on pystysuor, niin prbeli sivu nousev suor y = + jos j vin jos niillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. y = k k k = y = + 5 Vstus y = + 5 Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = + Sijoitetn yhtälöön ( ). y = + + = + + + = + ( ) + =
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Kosk yhteisiä pisteitä on vin yksi, niin 8 Prbeli kulkee pisteen (, ) kutt, joten sdn yhtälö D = ( ) = ( ) = 6 =± 6 =± = ti = = ti = 7 = = 7 Vstus ti b= b= D = b c =, b=, c= = + b + + b= Prbeli y = + b+ on ylös- ti lspäin ukev, joten sen kseli on pystysuor (y-kselin suuntinen). Suor y = ei ole pystysuor, joten se sivu eli on prbelin tngentti, jos j vin jos suorll j prbelill on vin yksi yhteinen piste. Yhteiset pisteet sdn rtkisemll yhtälöpri. () y = y = + b + Sijoitetn yhtälöön ( ). ( + b+ ) = b = ( ) + b + = + ( b ) + = Kosk yhteisiä pisteitä on vin yksi, niin sdn yhtälö ( b ) = b b+ 6 = D = D = b c
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 Sdn yhtälöpri + b= b b+ 6 = ( ) b= Sijoitetn yhtälöön ( ). ( ) b b+ 6 = ( ) ( ) + 6 = + 8+ 6 = 8+ = : + = ( ) = = = Sijoitetn yhtälöön ( ). b= = = Vstus = j b= 85 ) Auton jrrutusmtk Auton nopeus y (m) km h Kosk jrrutusmtk on suorn verrnnollinen nopeuden neliöön, sdn yhtälö y = k vkio k km Jos = h, niin y = 6 ( m), joten sdn yhtälö vkion k rtkisemiseksi. 6 = k 6 6 k = = = 5 Siis y =, 5 Riippuvuutt kuv ylöspäin ukevn prbelin os. Huippu on origoss. km h y( m) 5 5 6 86,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 b) km = h y = = = 9,6( m) 5 5 Jrrutusmtk on 9,6 metriä. c) y = ( m) y = 5 = 5 5 5 = 5 = 5 km = ( ± ) = 9,99... h 86 Väite. Käyrä y+ 5= ( ) ei leikk -kseli. Todistus. Käyrä y+ 5= ( ) on prbeli, kosk yhtälö on muoto y y =,. Prbelin huippu on (, 5), jok on -kselin lpuolell. Lisäksi prbeli on lspäin ukev, kosk = <, joten prbeli sijitsee kokonn -kselin lpuolell. Käyrä ei siis leikk -kseli. Auton nopeus on km/h.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 6 Päivitetty 9..6 Tp Väite. Käyrä y+ 5= ( ) ei leikk -kseli. Todistus. Käyrän y 5 ( ) sdn rtkisemll yhtälöpri. + = j -kselin y = leikkuspisteet () y+ 5= ( ) y = Sijoitetn yhtälöön (). + 5= ( ) + = 5 in epätosi < 87 5 y = + + 5 Kosk käyrä y = + + on prbeli, niin Jos > eli <, niin prbeli on ylöspäin ukev. Tällöin se ei voi oll kokonn -kselin lpuolell. Siis rvot < eivät kelp. Yhtälöllä ei ole rtkisu. Siis käyrällä j -kselill ei ole leikkuspisteitä. Jos < eli >, niin prbeli on lspäin ukev. Prbeli on kokonn -kselin lpuolell, jos j vin jos prbelill ei ole nollkohti. Tällöin diskriminntin pitää oll negtiivinen.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 7 Päivitetty 9..6 5 < 5 + < 5+ < D< D = b c 88 Funktion f kuvj on prbeli y = + + eli y = + ( ) + jok on ylöspäin ukev. Funktion pienin rvo on yhtä suuri kuin prbelin huipun y-koordintti. Nollkohdt: Kuvj: 5+ = 5± ( 5) = 5± = 8 = ti = Siis < < > Vstus < < y = 5+ Huipun -koordintti on b ( ) = = = Huipun y-koordintti on y = + ( ) + ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) + = ( ) + = )
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 8 Päivitetty 9..6 Sdn yhtälö ( ) + = ( ) + = ( ) = 6 ( ) = 6 =± 6 =± = ti = = ti = 5 Vstus = ti = 5 89 Prbelin y = + + + huipun koordintit ovt b = = = y = + + + ) = + + ) ) = + + + = Siis sdn yhtälöpri = Rtkistn prmetri. + y = () = Sijoitetn yhtälöön. + y = y ( ) + ( ) + + = = = = + Vstus Prbelin y = +.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 9 Päivitetty 9..6 8 Pisteet muodostvt kolmion, jos j vin jos piste (, ) -kselill eli. Medinien leikkuspiste on (, y) M = A + B + C ya + yb + yc =, + + + + =, + =,, ei ole Siis medinien leikkuspisteen (, y ) koordintit toteuttvt ehdon + =, joten ( y, ), y = Koordinttien välinen yhtälö sdn eliminoimll prmetri. + = y = = + y = () = Sijoitetn yhtälöön ( ). y = y = ( ) y = 9 + y = +, (, y), Vstus Medinien leikkuspiste piirtää prbelin y = + lukuun ottmtt pistettä, (prbelin huippu).
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 8 y + y y 7 ) Käyrä y = on ylöspäin ukev prbeli, kosk = >. Prbelin huippu on Prbelin nollkohdt b = = = = = y = = = ± ±, huippu (, ) Lisäpisteitä y = (, y) (, ), (,), Epäyhtälön y toteuttvt prbelin y = pisteet j kikki sen lpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä. ( ) ( y ) + 7= ( ) ( y ) + = + + 7 ( ) ( y ) + = 9 ( ) + ( y ) = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on. Epäyhtälön + y y 7 eli + ( y ) toteuttvt ympyrän + y = pisteet j kikki ympyrän sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) toteutt epäyhtälön. Epäyhtälöprin rtkisun on lue, joss molemmt epäyhtälöt ovt voimss eli kuvn väritetty lue. Alueen reun kuuluu rtkisuun. ) Käyrä + y y 7= on ympyrä, kosk + y y 7= + y y 7= + + y y + 7=
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 8 ) y y + Epäyhtälön y rtkisun on -kseli y = j sen yläpuolinen lue. Käyrä y = + on lspäin ukev prbeli, kosk = <. Prbelin huippu on Prbelin nollkohdt: y b = = = = + = huippu on, + = = : = =± ±,5 Lisäpisteitä: y = + (, y),,,, Epäyhtälön ( ) ( ) y + toteuttvt prbelin y = + pisteet j kikki sen lpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (,) toteutt epäyhtälön. ) Käyrä + y + + = on ympyrä, kosk + y + + = + + y + = + + + y + = ( + ) + y + = + + y = ( + ) + y = Ympyrän keskipiste on (,) j säde.
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu 5 Päivitetty 9..6 Epäyhtälön + y + + eli ( + ) + y toteuttvt ympyrän + + y = pisteet j kikki sen sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä. Kun yhdistetään kohtien ), ) j ) rtkisut, kuuluvt rtkisuun kikki ne pisteet, jotk toteuttvt inkin jonkin kohdist ), ) ti ). Rtkisulue on väritetty kuvss. Alueen reun kuuluu rtkisuun. ) Käyrä + y + = on ympyrä, kosk + y + = + y + = + + y + = ( ) + y + = + y ( ) + y = = Ympyrän keskipiste on (, ) j säde on. Epäyhtälön + y + eli ( ) + y toteuttvt ympyrän + y = pisteet j kikki sen sisäpuolell olevt pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteut epäyhtälöä.