Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Transkriptio

1 Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti

2 Pitkä matematiikka, syksy 010 Mallivastaukset, Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hän on tarkastanut matematiikan ja fysiikan yo-kokeita koko tämän ajan. Teemu Kekkonen ja Antti Suominen toimivat opettajina MA-FY Valmennus Oy:ssä. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmennus Oy:n omaisuutta. MA-FY Valmennus Oy on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Vuoden 010 keväästä alkaen olemme julkaisseet internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön ja omien yo-vastausten tarkistamista varten. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää näitä mallivastauksia oppimateriaalina lukiokursseilla. MA-FY Valmennus Oy:n yhteystiedot: internet: s-posti: puhelin: TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

3 1. a) Sievennä lauseke (a + b) (a b). b) Ratkaise yhtälö tan x = 3. c) Määritä f ( 3), kun f(x) = x x+1. Ratkaisu. a) b) (a + b) (a b) = a + ab + b (a ab + b ) = a + ab + b a + ab b = 4ab tan x = 3 x = π 3 + nπ, n Z c) f(x) = x x + 1 f (x) = x (x + 1) x 1 (x + 1) = x + x x (x + 1) = x + x (x + 1) f ( 3) = ( 3) + ( 3) [ ( 3) + 1 ] f ( 3) = 3 4 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1

4 . a) Ratkaise epäyhtälö x 7 3 4x. b) Laske integraali x + 1 dx. c) Ratkaise yhtälö x 4 3x 4 = 0. Ratkaisu. a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < 0 x b) Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö x + 1 dx = / 1 0 ln x + 1 = ln ln = ln 0 u 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 u 4 = 0 tai u + 1 = 0 u = 4 Sijoitetaan u = x, saadaan Vastaus: x = ± x = 4 tai x = 1 x = ± u = 1 ei ratkaisua TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

5 3. a) Suoran vektorimuotoinen yhtälö on OP = ī + j + k + t(ī + j + s k), missä t R on suoran parametri. Määritä sellainen luku s, että suora on tasossa 3x + 4y + 5z = 1. b) Olkoon F se funktion f(x) = ( x) 3 integraalifunktio, jolle F (0) = 0. Määritä F (1). Ratkaisu. a) OP = ī + j + k + t(ī + j + s k) Suora on tasossa 3x + 4y + 5z = 1, kun sen kaksi pistettä ovat tasossa. Kun t = 0, niin OP = ī + j + k. Sijoitetaan piste P = (1,, ) tason yhtälöön = 1 1 = 1 tosi Piste (1,, ) on tasossa. Valitaan t = 1. OP = ī + j + k + 1 (ī + j + s k) = ī + j + k + ī + j + s k = 3ī + 3 j + ( + s) k Sijoitetaan piste (3, 3, + s) tason yhtälöön ( + s) = s = 1 5s = 10 : 5 s = Suora kulkee kahden tason pisteen kautta, kun s =. Vastaus: Suora on tasossa, kun s =. b) f(x) = ( x) 3 Määritetään funktio F (x). F (x) = ( x) 3 dx = ( 1) ( 1) ( x) 3 dx = 1 4 ( x)4 + C TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

6 Määritetään vakio C siten, että F (0) = ( 0)4 + C = C = 0 C = 4 Funktio saa muodon F (x) = 1 4 ( x) Lasketaan funktion arvo, kun x = 1 F (1) = 1 4 ( 1)4 + 4 F (1) = F (1) = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4

7 4. Funktion f(x) = ax + bx + c kuvaaja kulkee pisteiden ( 1, 1), (0, 5) ja (, 3) kautta. Määritä lausekkeen a + b + c arvo. Ratkaisu. Jokaisen pisteen täytyy toteuttaa paraabelin y = ax + bx + c yhtälö. a ( 1) + b ( 1) + c = 1 a 0 + b 0 + c = 5 a + b + c = 3 a b + c = 1 (1) c = 5 () 4a + b + c = 3 (3) Sijoitetaan () yhtälöihin (1) ja (3). { a b + 5 = 1 4a + b + 5 = 3 { a b = 7 4a + b = 8 { a b = 14 (4) 4a + b = 8 6a = 6 : 6 a = 1 Sijoitetaan a = 1 yhtälöön (4). 1 b = 7 b = 6 ( 1) b = 6 Kysytty summa a + b + c = = 0 Vastaus: Lausekkeen a + b + c arvo on 0. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5

8 5. Vene A ylittää joen 45 asteen kulmassa nopeudella 16 km/h, ja vene B ylittää joen 30 asteen kulmassa nopeudella 14 km/h. Molemmat kulmat on mitattu joen poikkisuunnasta. Veneet lähtevät yhtä aikaa. Kumpi veneistä pääsee vastarannalle aikaisemmin? Ratkaisu. Joen leveys on x, x > 0. Veneen A nopeus v A = 16 km/h. Veneen B nopeus v B = 14 km/h. Veneen A kulkema matka s A = x cos α = x cos 45 Veneen B kulkema matka s B = x cos β = x cos 30 Veneiden joen ylitykseen käyttämät ajat: t = s v t A = s A v A x/ cos 45 = 16 x = 16 cos 45 = 0, x 0,088x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6

9 t B = s B v B x/ cos 30 = 14 x = 14 cos 30 = 0, x 0,08x Koska t B < t A, pääsee vene B aikaisemmin vastarannalle. Vastaus: Vene B pääsee vastarannalle aikaisemmin. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7

10 6. Monivalintatestissä on 5 väitettä ja kussakin kaksi vastausvaihtoehtoa. Opiskelija tietää oikean vastauksen 10 väitteeseen, mutta joutuu arvaamaan loput. Millä todennäköisyydellä hän läpäisee testin, kun läpipääsyyn vaaditaan 15 oikeaa vastausta? Ratkaisu. Opiskelijan täytyy siis arvata oikein vähintään viiteen tehtävään viidestätoista. Merkitään n = 15 on tehtävien määrä k on oikein arvattujen vastausten määrä p = 1 on todennäköisyys vastata oikein yhteen tehtävään q = 1 on todennäköisyys vastata väärin yhteen tehtävään Kysytty todennäköisyys on P (k 5) = 1 P (k 5) = 1 P (k < 5) vastatapahtuman tn. = 1 P (k = 0 tai k = 1 tai k = tai k = 3 tai k = 4) = 1 [ P (k = 0) + P (k = 1) + P (k = ) + P (k = 3) + P (k = 4) ] Sovelletaan binomitodennäköisyyden kaavaan ( n k) p k q n k, saadaan [ (15 ) ( P (k 5) = ( ) 1 15 ( ) + 15 ) ( ( ) 1 14 ( ) + 15 ) ( 1 ( ) 1 + ( ) ( ( ) 1 1 ( ) + 15 ) ( ( ) 1 ) ] 11 = 1 ( [ 1 15 (15 ) ( ) ) ( ) ( + 15 ) ( ) ] 4 = 0, Vastaus: Opiskelija läpäisee testin todennäköisyydellä 0,94. ) 13 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8

11 7. Määritä funktion f(x) = cos x 1 cos x suurin ja pienin arvo. Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan? Ratkaisu. f(x) = cos x 1 cos x f(x) = cos x 1 ( cos x 1) f(x) = cos x cos x + 1 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva, kun x R. f (x) = sin x ( sin x) cos x = sin x cos x sin x = sin x( cos x 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 0 sin x( cos x 1) = 0 sin x = 0 tai cos x 1 = 0 x = nπ, n Z cos x = 1 : cos x = 1 x = ± π 3 + πn, n Z Osoitetaan, että funktio f(x) on jaksollinen jaksolla π. Kosinifunktio on jaksollinen: joten cos x = cos(x + π) () cos x = cos (x + π), f(x) = cos x cos x + 1 = cos(x + π) cos (x + π) + 1 = f(x + π). Funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämisessä voidaan siis tutkia suljettua väliä [0, π]. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9

12 Suljetulla välillä jatkuvan ja derivoituvan funktion suurin ja pienin arvo löytyvät derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. f(0) = cos 0 cos = 1 f ( ) π 3 3 = suurin arvo 4 f(π) = 3 pienin arvo f ( π + π) = f ( 5π ) 3 3 = suurin arvo 3 4 f(π) = 1 Suurin arvo löytyy pisteistä x = ± π 3 + πn, n Z. Vastaus: Pienin arvo on 3 ja suurin arvo on 3 ( 4. Suurin arvo saavutetaan pisteissä ± π 3 + πn, 3 ), 4 n Z. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 10

13 8. Jono (a n ) on aritmeettinen jono. Osoita, että jono (b n ), missä b n = 3 an, on geometrinen. Millä jonoa (a n ) koskevalla ehdolla jono (b n ) on aidosti vähenevä? Ratkaisu. Jono (a n ) on aritmeettinen, joten a n+1 a n = d, d R Tutkitaan kahden peräkkäisen jäsenen suhdetta jonossa (b n ). b n+1 b n = 3an+1 3 an = 3 a n+1 a n = 3 d Peräkkäisten jäsenten suhde on n:stä riippumaton vakio 3 d, joten jono (b n ) on geometrinen. Kaikki jonon (b n ) jäsenet ovat positiivisia, koska b n = 3 an > 0. Lukujono (b n ) on aidosti vähenevä, jos b n+1 < b n. Tutkitaan milloin epäyhtälö on voimassa. b n+1 < b n b n+1 : b n < 1 Sij. b n+1 = 3 d b n b n 3 d < 1 ln() ln 3 d < ln 1 d ln 3 < 0 : ln 3, ln 3 1,1 > 0 d < 0 Vastaus: Jono (b n ) on aidosti vähenevä, kun (a n ) on aidosti vähenevä, eli kun jonon (a n ) peräkkäisten jäsenten erotus d < 0. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 11

14 9. Arkhimedeen lain mukaan vedessä kelluvan esineen syrjäyttämän veden paino ja esineen paino ovat samat. Pyöreästä ja tasapaksusta puutukista jää veden yläpuolelle sen halkaisijasta viidesosa. Määritä tukin tiheys. Veden tiheytenä käytetään arvoa 1,00 kg/dm 3. Ratkaisu. Merkitään halkaisijaa d:llä. x = d 5 x = r 5 Lasketaan keskuskolmion A k ala Sij. d = r Pythagoraan lauseen mukaan y + ( ) 3r = r 5 y = r 9 5 r y = 16 5 r y = ( + ) y = 4 5 r 16 5 r TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1

15 Kolmion pinta-alaksi saadaan Lasketaan kulmat α ja β. A k = y 3 5 r = y 3 5 r = 1 5 r cos α = 3 r 5 r cos α = 3 5 α = 53, β = α = 106,60... Lasketaan sektorin A s ala γ = 360 β Pinnan alle jäävän osuuden pinta-ala: = 53, A s = γ 360 πr A 1 = A k + A s = 1 5 r + γ 360 πr ( 1 = 5 + γ ) 360 π TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 13 r

16 Koko poikkipinta-ala: Tukin tilavuus on nyt A = πr V = A h ja tukin syrjäyttämän veden tilavuus on missä h on tukin pituus. Merkitään V 1 = A 1 h, ρ 1 = 1,00 (kg/dm 3 ) on veden tiheys ρ on tukin tiheys. Kappaleen massa on suoraan verrannollinen kappaleen painoon, joten Arkhimedeen lain mukaan on tällöin ρ 1 V 1 = ρ V ρ 1 A 1 h = ρ A h : h ρ 1 A 1 = ρ A : A ρ = A 1 ρ 1 A ( 1 5 = + γ π) r 360 ρ πr 1 ( 1 5 = + 53, π ) r 360 1,00 πr = 0, ,86 (kg/dm 3 ) Vastaus: Puun tiheys on 0,86 kg/dm 3. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 14

17 10. Suora kulkee kiinteän pisteen (a, b), a > 0, b > 0, kautta ja muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion. Mikä on tällaisen kolmion pienin mahdollinen pinta-ala? Ratkaisu. Suoran täytyy olla laskeva, jotta kolmio muodostuisi, eli k < 0. y-akselin leikkauspiste on (0, B). Määritetään x-akselin leikkauspiste. 0 = kx 0 + B kx 0 = B x 0 = B k : ( k) Kolmion sivujen pituudet ovat x 0 ja B, joten kolmion ala on A = 1 x 0B = 1 ( B ) B = B k k (1) Suora kulkee pisteen (a, b) kautta, joten y b = k(x a) y = kx ak + b Suoran yhtälön vakio B on siis B = ak + b. Sijoitetaan tämä yhtälöön (1), saadaan ( ak + b) A(k) = k = a k abk + b k = 1 a k + ab 1 b k 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 15

18 Tehtävänä on etsiä funktion A(k) pienin arvo välillä k ], 0[. Derivaatan nollakohdat A (k) = 1 a b ( 1) k = 1 a + 1 b k 1 a + 1 b k = 0 k a k + b = 0 a k = b : ( a ) k = b a k = ± b a Vain negatiivinen nollakohta on tarkasteluvälillä. Tutkitaan derivaatan merkkiä nollakohdan eri puolilla kohdissa b ja 1 b a a A ( ) b 1 a = a + 1 ( b b ) a Kulkukaavio = 1 a + 1 b a 4 b = 1 a a = 3 8 a < 0 A ( ) b 1 a = a + 1 b = 1 a + 1 b 4a b = 1 a + a = 3 a > 0 ( b ) a TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 16

19 Pienin arvo löytyy kohdasta b. Pinta-ala on tällöin a A ( ( ) b 1 a = a b ) + ab 1 ( a b b ) 1 a = 1 ab + ab + 1 b a b = 1 ab + ab + 1 ab = ab Vastaus: Kolmion pienin mahdollinen pinta-ala on ab. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 17

20 11. Olkoot A, B ja C lauseita. Tutki ovatko lauseet a) A B, b) (A B) (C B) tautologioita. Ratkaisu. a) Vastaus: Ei ole tautologia. b) Vastaus: On tautologia. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 18

21 1. Määritä a siten, että polynomi P (x) = x 4 3x 3 7x + a on jaollinen binomilla x 1. Määritä tätä a:n arvoa vastaavat yhtälön P (x) = 0 juuret. Ratkaisu. Tutkitaan jakojäännöstä Jakojäännöksen täytyy olla nolla, jotta P (x) on jaollinen binomilla x 1. a = 0 a = Kun a =, voidaan P (x) jakaa tekijöihin P (x) = (x 1)(x 3 x 4x ). Ratkaistaan yhtälö Tulon nollasäännön mukaan P (x) = 0 (x 1)(x 3 x 4x ) = 0 x 1 = 0 x = 1 : x = 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 19

22 tai x 3 x 4x = 0 Merkitään q(x) = x 3 x 4x. Jaetaan q(x) tekijöihin, jotta yhtälö voidaan ratkaista. Huomataan, että q( 1) = ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) = 0, joten q(x):llä on nollakohta x = 1 ja siten polynomilla q(x) on tekijälauseen mukaan tekijä x + 1. (Huomautus lukijalle: nollakohta keksittiin kokeilemalla laskimella lukuja 1, 1, ja. Näitä lukuja lähdettiin kokeilemaan, koska q:n vakiotermi on ja vakiotermi on aina juurien tulo.) Edelleen Jakolaskun perusteella saadaan q(x) = (x + 1)(x x ) Yhtälö q(x) = 0 tulee muotoon (x + 1)(x x ) = 0 Tulon nollasäännön mukaan x + 1 = 0 x = 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0

23 tai x x = 0 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( ) 1 x = ± 1 x = ± 3 x = 1 ± 3 Vastaus: Oltava a =, jotta P (x) on jaollinen binomilla x 1. Tällä a:n arvolla yhtälön P (x) = 0 juuret ovat x = 1, x = 1 3, x = 1 ja x = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1

24 13. Määritä sellainen kerroin a, että funktio { ae 3x, kun x 0, f(x) = 0, kun x < 0, on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Mikä on tällöin kertymäfunktion lauseke? Laske P (X t), kun t 0. Ratkaisu. f(x) = { ae 3x, kun x 0, 0, kun x < 0. f(x) on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio, jos ja Lasketaan integraali f(x) dx = = 0 f(x) 0 ae 3x 0 a 0 0 = 0 + a f(x) dx = 1. (1) f(x) dx + 0 dx + ( 1 3 = a 3 lim = a 3 lim b / b e 3x b 0 = a (0 1) 3 = a 3 Jotta ehto (1) täyttyisi, pitää olla a 3 = 1 3 a = 3. f(x) dx ae 3x dx ) 3e 3x dx ( e 3b e 0) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

25 Kertymäfunktio on Kun x 0, on Φ(x) = x f(t) dt. Φ(x) = x 0 = ( 1) = 0 x/ 3e 3t dt x 0 e 3t = (e 3x e 0 ) = 1 e 3x. 3e 3t dt Kun x < 0, on Saadaan Kertymä: Φ(x) = Φ(x) = x f(t) dt = x 0 dt = 0. { 1 e 3x, kun x 0, 0, kun x < 0. P (X t) = 1 P (x t) = 1 (1 e 3t ) = e 3t Vastaus: a = 3, kertymäfunktio on Φ(x) = ja P (X t) = e 3t. { 1 e 3x, kun x 0, 0, kun x < 0 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

26 14. a) Osoita, että funktiolla f(x) = ln x + x + 1, x > 0, on käänteisfunktio g = f 1. ( p.) b) Määritä käänteisfunktion derivaatta g (). ( p.) c) Missä pisteissä funktion f kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan? (3 p.) d) Kuinka suuressa kulmassa kuvaajat leikkaavat toisensa? ( p.) Ratkaisu. a) Tutkitaan funktion f(x) kulkua. f(x) = ln x + x + 1 f (x) = 1 x + 1 Derivaatan nollakohdat 1 x + 1 = 0 1 x = 1 x = 1 () 1 Derivaatalla ei ole nollakohtia, kun x > 0, joten se on kaikkialla saman merkkinen. f (1) = ln = 0 + = > 0 Derivaatta on kaikilla x > 0 positiivinen, joten f(x) on aidosti kasvava. Tällöin f(x):llä on käänteisfunktio. b) Käänteisfunktion derivaatalle pätee Tässä tilanteessa y 0 =, joten ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ), kun y 0 = f(x 0 ). f(x 0 ) = ln x 0 + x = ln x 0 + x 0 = 1 Huomataan, että ln = = 1, TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4

27 joten x 0 = 1 on yhtälön ratkaisu. Siten ( ) f 1 1 () = f (1) = = 1 Vastaus: g () = 1 c) Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen, joten kuvaajat leikkaavat niissä kohdissa, joissa ne leikkaavat peilaussuoran y = x. Riittää siis etsiä käyrän y = f(x) ja suoran y = x leikkauspisteet. f(x) = x ln x + x + 1 = x Tällöin y-koordinaatti on y = x = e 1. ln x = 1 e () x = e 1 Vastaus: Funktion f kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan pisteessä (e 1, e 1 ). d) Tarvitaan kuvaajien tangenttien kulmakertoimet. Ne saadaan derivaattojen arvoista leikkauspisteessä (e 1, e 1 ). f (e 1 ) = 1 e = e + 1 Lasketaan f 1 :n derivaatta kuten b-kohdassa. Nyt f(e 1 ) = e 1, joten ( ) f 1 (e 1 1 ) = f (e 1 ) = 1 e + 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5

28 Tangenttien välinen kulma tan ϕ = k 1 k 1 + k 1k e+1) e e+1 tan ϕ = 1 + (e + 1) 1 e+1 (e + 1) e+1 tan ϕ = e+1 (e + 1) + (e + 1) 1 e+1 (e + 1) tan ϕ = e + e e e + 1 tan ϕ = e + e e + tan ϕ = 1, ϕ = 59,89... Vastaus: Kuvaajat leikkaavat toisensa 59,9 kulmassa. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6

29 15. a) Miten määritellään tylppäkulmainen kolmio? ( p.) b) Johda kolmion pinta-alan kaava käyttäen hyväksi seuraavia tietoja: Suorakulmion pinta-ala on ab, kun a ja b ovat suorakulmion sivujen pituudet. Suorakulmion lävistäjä jakaa suorakulmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan. (4 p.) c) Johda puolisuunnikkaan pinta-alan kaava. (3 p.) Ratkaisu. a) Tylppäkulmaisessa kolmiossa yksi kulma on suurempi kuin 90. b) Kolmion CDE suurin kulma on E ja se voi olla joko terävä, suora tai tylppä kulma. Piirretään kolmion ympärille suorakulmio ABCD. Määritetään kolmion CDE pinta-alan lauseke pituuksien h ja a avulla. Suorakulmion AEF D pinta-ala on A 1 = a 1 h. Suorakulmion EBCF pinta-ala on A = a h. Kolmion DEF pinta-ala on Kolmion CEF pinta-ala on A 3 = A 1 = a 1h. A 4 = A = a h. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7

30 Kolmion CDE pinta-ala on A = A 3 + A 4 A = a 1h + a h A = a 1h + a h A = (a 1 + a )h A = ah Johdetaan seuraavaksi pinta-alan kaava tapauksessa, jossa korkeusjana on suorakulmaisen kolmion kateetti. Jos kolmio ABD on suorakulmainen ja A = 90, niin kateetit ovat sivut AB ja AD. Suorakulmion ABCD pinta-ala on tällöin A 1 = ah ja kolmion ABD pinta-ala A = A 1 A = ah Johdetaan edellisiä tuloksia hyväksi käyttäen pinta-ala vielä siinä tapauksessa, jossa korkeusjana tulee kohtisuorasti kannan jatkeelle. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8

31 Kolmion kanta a = a a 1. Kolmion ADE pinta-ala on A 1 = a 1h Kolmion BCD pinta-ala on A = a h Suorakulmion ABCD pinta-ala on A s = a h Kolmion BDE pinta-ala A saadaan vähentämällä suorakulmion ABCD pintaalasta kolmioiden ADE ja BCD alat, eli A = A s (A 1 + A ) ( a1 h A = a h + a ) h A = a h a 1h A = (a a 1 ) h Sij. a a 1 = a A = ah TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9

32 c) Täytyy tutkia kaksi tapausta Tapaus 1 Tapaus Kolmion ABD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A 1 = ah. Kolmion BCD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = bh. Puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = A 1 + A A = ah + bh ah + bh A = A = 1 (a + b)h TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 30