SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus, EMC

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus, EMC Kevät 2009 Kurssimateriaali Jukka-Pekka Uusitalo (Pieni päivitys, 29.01.09 J. Kangas)

Alkulause Tämä SMG-5250 -kurssimateriaali on tehty Tampereen Teknillisen Yliopiston Elektroniikan laitoksella, tarkemmin sanottuna Sähkömagnetiikalla. Kiitos työkavereille avusta. Tampereella 10. maaliskuuta 2008 Jukka-Pekka Uusitalo Sähkömagnetiikka, Sc305b jukka-pekka.uusitalo@tut.

Sisältö 1 Johdanto 7 1.1 Suoritusvaatimukset....................... 8 1.2 EMC:n perusteet......................... 8 1.3 Motivaatio kurssille........................ 12 2 Teorian kertausta 13 2.1 Maxwellin yhtälöt......................... 13 2.2 Väliaineyhtälöt.......................... 14 2.3 Rajapintaehdot.......................... 15 2.4 Termien ja suuruusluokkien kertaus............... 16 2.5 Virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä........... 16 2.6 Kirchhon virtalaki....................... 17 2.7 Kirchhon jännitelaki...................... 17 2.8 Resistiivisyys, johdin ja vastus.................. 18 2.9 Kapasitanssi ja kondensaattori.................. 19

2.10 Induktanssi ja kela........................ 21 3 Piirit ja piirikomponentit 24 3.1 Piirien ja piirikomponenttien epäideaalisuudesta........ 24 3.1.1 Epäideaalinen johdin................... 25 3.1.2 Epäideaalinen vastus................... 28 3.1.3 Epäideaalinen kela.................... 30 3.1.4 Epäideaalinen kondensaattori.............. 32 3.1.5 Piirien epäideaalisuudesta................ 33 3.2 Piirien ja piirikomponenttien keskinäinen kytkeytyminen... 34 3.2.1 Kapasitiivinen kytkeytyminen.............. 34 3.2.2 Induktiivinen kytkeytyminen............... 36 3.3 Maadoitus............................. 37 3.4 Kuristin ja ferriittirenkaat.................... 39 4 Sähkömagneettiset aallot 41 4.1 SMG aallon synty......................... 41 4.2 SMG aallon matemaattinen malli................ 42 4.2.1 Aaltoyhtälöt........................ 42 4.2.2 Vaihe- ja vaimenemisvakiot............... 44 4.2.3 Aallon käyttäytyminen hyvässä johteessa, tunkeutumissyvyys........................... 45

4.3 Tasoaallolta suojaaminen..................... 46 4.3.1 Tehtävän esittely..................... 46 4.3.2 Reunaehdot........................ 48 4.3.3 Lopputulos........................ 50 4.4 Poyntingin teoreema....................... 51 5 Siirtolinjat ja aaltoputket 53 5.1 Milloin siirtolinja syntyy?.................... 53 5.2 Siirtolinja piirien yhteydessä................... 54 5.3 Milloin/miksi aaltoputkia tarvitaan?.............. 59 5.4 Aaltoputkien toiminnasta.................... 59 5.5 Aaltoputket ja EMC....................... 59 6 Antennit 62 6.1 Antennin synty.......................... 62 6.2 Sähköinen dipoliantenni..................... 63 6.2.1 Matemaattinen malli................... 63 6.2.2 Lähi- ja kaukokentät................... 64 6.3 Yleiset antennirakenteet..................... 66 6.4 Antenneja kuvaavia parametreja................. 66 7 ESD 69

7.1 ESD:n synty............................ 69 7.2 Ihminen ja ESD.......................... 71 7.3 ESD ja EMC........................... 72 Kirjallisuutta 74

Luku 1 Johdanto Tämän kurssimateriaalin tavoitteena on antaa lukijalleen käsitys siitä, miksi sähkölaitteet voivat toisinaan toimia eri tavalla kuin on tarkoitettu. Tähän pyritään pääsemään vertailemalla sähkötekniikan ja elektroniikan tavanomaisia suunnittelumenetelmiä piirien ja piirikomponenttien todelliseen käyttäytymiseen. Tämä kurssi on jossain mielessä myös teoreettisempi vastapari Elektroniikan laitoksen toiselle EMC-kurssille ELE-3150, EMC-suunnittelu, mutta toimii myös itsenäisenä kokonaisuutena. Esitietovaatimuksina ovat SMG kentät ja aallot 1 ja 2. Kurssimateriaalin merkittävin lähde on C.R. Paulin kirjoittama alan perusteos Introduction to electromagnetic compatibility [1]. Tätä on käytetty kurssimateriaalin edetessä useaan kertaan (kertaakaan tämän jälkeen lähdettä mainitsematta). Kyseinen kirja ei kuitenkaan sovi suoraan kurssimateriaaliksi laajuutensa vuoksi. 7

LUKU 1. JOHDANTO 8 1.1 Suoritusvaatimukset Kurssilla on pakollinen harjoitustyö ja tentti. Harjoitustyöohjeet löytyvät kurssin nettisivulta: www.tut./smg -> Opinnot -> Sähkömagneettinen yhteensopivuus. Tenttiaikataulut löytyvät kurssin kotisivuilta ja oinfosta. Harjoitustyön suorittaminen antaa mahdollisuuden osallistua niihin kolmeen tenttiin, jotka pidetään ennen kurssin seuraavaa luennointikertaa. 1.2 EMC:n perusteet Joitakin lyhenteitä: EMC = Electromagnetic combatibility (Sähkömagneettinen yhteensopivuus) EMI = Electromagnetic interference (Sähkömagneettinen häiriö/häirintä) ESD = Electrostatic discharge (Sähköstaattinen purkaus) EMC on määritelmänsä mukaan järjestelmän tai laitteen kyky toimia tyydyttävästi sähkömagneettisessa ympäristössään tuottamatta muille laitteille, järjestelmille tai itselleen sietämätöntä häiriötä tässä ympäristössä. Kysymys on siis rajatusta säteilyn tuottamisesta ja kyvystä sietää tietty määrä säteilyä. Sietoraja vs. päästöraja, yhteensopivuusmarginaali. Esimerkkejä: Radio, kännykkä, salama, ESD testit (10kV testilataus Nokialla), tietokoneet, sotilastarkoitukset, avaruustekniikka, itsensä maadoittaminen tietokoneeseen, faradayn häkki, sähkömagneettinen pulssi. Onko ideaalisesti toimivaa sähkölaitetta olemassa (joka toimii täysin suunnitellusti)? Ei, mutta esim. sähkövastus tasavirtakytkettynä on aika lähellä. Sähkömagneettiset häiriöt voidaan jakaa luonnonilmiöistä, toisista laitteista

LUKU 1. JOHDANTO 9 Amplitudi Hetkellinen sietotaso Sietoraja Yhteensopivuusmarginaali Päästöraja Hetkellinen päästötaso Aika Kuva 1.1: Säteilyn sietoraja vs. päästöraja ja yhteensopivuusmarginaali. ja ihmisestä aiheutuviin (ESD). Sähkömagneettista yhteensopivuutta voidaan parantaa (ja häiriötä vähentää) kolmella tavalla: a) Poistamalla häiriötekijä b) Poistamalla välittävä tekijä c) Poistamalla (suojaamalla) häirittävä elementti. Häiriöt voivat kytkeytyä johtumalla ja säteilemällä. Välittäjänä on kuitenkin aina sähkömagneettinen kenttä. Välittävänä tekijänä voi olla kapasitiivinen kytkeytyminen, induktiivinen kytkeytyminen tai aallon kytkeytyminen. Häiriö voi myös kulkeutua rakenteiden kautta, mukaan luettuna maadoitusrakenteet. Esimerkit johtuvasta kytkeytymisestä, kapasitiivisesta kytkeytymisestä ja induktiivisesta kytkeytymisestä on annettu kuvissa 1.2, 1.3 ja 1.4. SMG-säteilyn tarkoituksetonta välittymistä voidaan ehkäistä koteloinnilla, suodattamalla, geometriaa muuttamalla (antenni), maadoittamalla (hyvä maadoitus, huono maadoitus) ja kasvattamalla välimatkaa.

LUKU 1. JOHDANTO 10 Piiri1 Piiri2 Piiri3 Maavirta Kuva 1.2: Johtuva kytkeytyminen rakenteita pitkin. Kuvassa maan kautta piiristä toiseen kytkeytyvä häiriö. Kapasitiivinen kytkeytyminen R C 1 V C 2 Kuva 1.3: Kapasitiivinen kytkeytyminen kahden johtimen välillä. Ensimmäisessä johtimessa vaihtojännite, toinen johdin maadoitettu. ESIM: Mikroaaltouuni. Onko mikroaaltouuni vaarallinen? Mikä toimiii ssähkömagneettisen energian välittäjä, mikä on kohde? Aallon synnyttäjä on antenni (magnetroni), sitten mahdollisesti aaltoputki

LUKU 1. JOHDANTO 11 C R 2 I Induktiivinen kytkeytyminen B V R 1 Kuva 1.4: Induktiivinen kytkeytyminen kahden silmukan välillä. välittää aaltoa, aalto heijastuu seinistä ja kytkeytyy lopulta ruokaan. Säteily tulee ulos lasin päällä olevasta metalliritilästä, mutta ritilän reikien pienen halkaisijan vuoksi se vaimenee eksponentiaalisesti. Mistä EMC-ongelmat aiheutuvat: - Piirianalyysin epätäydelliset suunnittelumenetelmät - Puutteellinen suojaus tiedossa olevilta ongelmilta - Luonnonilmiöt tai esim. onnettomuudet, joihin ei voida välttämättä ennalta varautua.

LUKU 1. JOHDANTO 12 1.3 Motivaatio kurssille EMC-suunnittelun kysyntä kasvoi 1990-luvun alussa uusien lakien myötä. Voi vain kuvitella kuinka paljon tänä päivänä esim kännykkään on käytetty EMC-suunnittelua. EMC:tä voidaan parantaa monin elektroniikan keinoin, jolloin jossain määrin epäonnistunutta suunnittelua paikataan lisäsuunnittelulla, jotka perustuvat ainakin osittain samoihin (virhettä tuoviin) oletuksiin. Siksi juuri myös taustalla olevien ilmiöiden ymmärtämistä tarvitaan.

Luku 2 Teorian kertausta Aluksi kerrataan SMG-kenttien ja aaltojen kurssien perussisältöä, mutta koko ajan edetään pikkuhiljaa syvemmälle itse asiaan. 2.1 Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt ovat kompakti tapa esittää SMG-kenttätehtäviä. Ne ovat lähinnä lineaarisuutensa vuoksi ratkaistavissa ja varsin tarkasti numeerisesti mallinnettavissa. Vrt. virtausoppi, sääennuste, yms. epälineaarisista yhtälöryhmistä ratkaistavat tehtävät (Navier-Stokesin yhtälöt). Silti, aikariippuvat piiritehtävät, jotka sisältävät epälineaarisia väliaineita, ovat varsin raskaita laskennallisesti. Maxwellin yhtälöt on annettu dierentiaalimuodossaan (pisteittäinen muoto) taulukossa 2.1. Faradayn ja Ampèren lait kuvaavat sähkömagneettista induktiota ja Gaussin lait sähkömagneettisten kenttien pistelähteitä. Ampèren lain aikariippuvaa termiä sanotaan usein siirtymävirraksi. Ampèren lain vasenta puolta sanotaan magnetomotoriseksi voimaksi ja Faradayn lain vastaavaa termiä sähkömotoriseksi voimaksi (vaikka niillä ei siis ole voimien 13

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 14 kanssa suoraan tekemistä). Usein on havainnollisempaa/tarpeen käyttää Maxwellin yhtälöiden integraalimuotoja. Ne on annettu taulukossa 2.3 Yhtälö E = B t H = J + D t D = ρ B = 0 Nimitys Faradayn laki Ampèren laki Gaussin laki sähkökentille Gaussin laki magneettikentille Taulukko 2.1: Maxwellin yhtälöt dierentiaalimuodossa. Yhtälö Ê = jω ˆB Ĥ = Ĵ + jω ˆD ˆD = ρ ˆB = 0 Nimitys Faradayn laki Ampèren laki Gaussin laki sähkökentille Gaussin laki magneettikentille Taulukko 2.2: Maxwellin yhtälöt aikaharmonisessa muodossa. 2.2 Väliaineyhtälöt Väliaineyhtälöt (2.1-2.3) kuvaavat kuinka sähkömagneettiset kentät riippuvat materiaaleista. Ne kuvaavat ilmiön kahta eri puolta (tiheys ja kenttä).

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 15 Yhtälö E dl = B n da S t S H dl = J n da + D n da S S t S D n da = ρ dv = Q V V B n da = 0 V Nimitys Faradayn laki Ampèren laki Gaussin laki sähkökentille Gaussin laki magneettikentille Taulukko 2.3: Maxwellin yhtälöt integraalimuodossa. J = σe (2.1) D = ɛe (2.2) B = µh (2.3) Tarkastellaan lyhyesti materiaaliparametreja ja yksinkertaisia kenttälausekkeita. Pitkän suoran johtimen aiheuttama magneettikenttä on H = 2πR, NI eli siinä ei näy materiaalista riippuvaa termiä µ. Kuitenkin se on oikealla puolella väliaineyhtälöissä. Vrt. varaustiheydestä aiheutuva sähkövuontiehys D(r) = 1 ρ 4π V (r r ) dv, joka on väliaineyhtälöissä vasemmalla puolella, vaikka siinä r r ei myöskään 3 näy materiaalista riippuvaa termiä ɛ. 2.3 Rajapintaehdot Rajapintaehdot voidaan antaa muodossa: n 2 E 1 = n 2 E 2 (2.4) n 2 (H 1 H 2 ) = J s (2.5)

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 16 n 2 (D 1 D 2 ) = ρ s (2.6) n 2 B 1 = n 2 B 2 (2.7) Aikariippuvassa, täydellisen johteen ja eristeen rajapinnalla johteen puolella on voimassa E 2t = 0, H 2t = 0, D 2n = 0 ja B 2n = 0. 2.4 Termien ja suuruusluokkien kertaus Mitä ovat H, B, E, D, J, ρ, Q, V, V, S, S,B n, V...da, jne... Kuparin johtavuus: σ Cu = 1 ρ Cu = 5, 96 10 7 Ωm. 1 Ilman permittiivisyys: ɛ 0 = 8, 85 10 12 m. F Eristeiden suhteellinen permittiivisyys 10, 100 tai ehkä jopa 1000. Ilman permeabiliteetti: µ 0 = 4π 10 7 N. A Raudan suhteellinen permeabiliteetti voi 2 olla tuhansia ja joillakin erikoisyhdisteillä jopa kymmeniä tuhansia. 2.5 Virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä Virtajohdin luo aina ympärilleen magneettikentän Biot-Savartin lain mukaan [2]. Ohuen virtasilmukan aiheuttama kenttä voidaan laskea kaavasta B = µ 0I 4π dl a R C R 2 et, (2.8) jossa C on virtasilmukan kiertämä polku, I silmukan virta ja dl dierentiaalinen polunpätkä. a R taas on yksikkövektori virtajohtimen polunpätkästä dl kentän pisteen suuntaan ja R et etäisyys näiden kahden paikan välillä. Toinen

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 17 vaihtoehto Biot-Savartin lain kuvaamiselle on käyttää yhtälöä B(r) = µ J(r ) (r r ) dv. (2.9) 4π V r r 3 Pitkälle suoralle johtimelle (ilmassa) voidaan johtaa yhtälö (peräisin Ampère- Maxwellista) B = µ 0I 2πr. (2.10) 2.6 Kirchhon virtalaki Kirchhon virtalaki tarkoittaa johtimien yhteydessä ns. staattisen virranjatkuvuusyhtälön V J n da = 0 (2.11) toteutumista. Tämä voidaan johtaa Ampère-Maxwellista staattisessa tapauksessa (tehty SMG kentissä ja aalloissa). Käytännössä aikamuutosten ollessa nopeita piirin kokoon nähden täytyy ottaa huomioon varaukseen ja aikamuutokseen liittyvä termi. Tähän asiaan palataan siirtolinjojen ja antennien yhteydessä. Kondensaattori ei sovi tähän ajatteluun, mutta se mallinnetaankin piiriteoriassa impedanssina. 2.7 Kirchhon jännitelaki Vastaavasti Kirchhon jännitelaki voidaan johtaa Faradayn laista. Tällöin koko piirille oletetaan, että S E dl = 0. (2.12)

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 18 Tässä yhteydessä on hyvä muistaa lähteiden ja passiivisten komponenttien etumerkkisäännöt, esim. jännitelähteelle ja vastukselle E U R = 0 E = RI, missä E on jännitelähteen lähdejännite ja U R = RI jännite vastuksen yli. Kela on periaatteessa pelkkää johdinta, mutta se mallinnetaan piiriteoriassa impedanssina. 2.8 Resistiivisyys, johdin ja vastus Piirianalyysissa vastus on komponentti, joka kuluttaa sähköistä tehoa lämmöksi. Yhtälöt 2.13 ja 2.14 kertovat vastuksen yli olevasta jännitteen, virran, resistanssin ja kuluvan tehon eri suhteet. Johtimen ominaisuuksia on selvitetty myös kuvassa 2.1. U = RI (2.13) P = UI (2.14) E dl 0 ɛ 0 σ E, J J n da Kuva 2.1: Johdin tai vastus fysikaalisesti. Fysiikan kannalta vastus ei eroa merkittävästi pelkästä johtimesta. Johtimella voi tosin olla huomattavasti suurempi johtavuus. Vastuksen resistanssia

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 19 voidaan approksimoida yhtälöllä R = l Aσ. (2.15) Resistanssi ei ole materiaalin ominaisuus, resistiivisyys on. Resistanssi liittyy lisäksi kytkentäpisteisiin (ja taajuuteen, lämpötilaan yms.). Lisäksi resistiivisyyttä on (melkein) kaikkialla, ei vain johtimessa ja vastuksessa. Vastuksessa ja johtimessa sähkökentän tehotiheys saadaan yhtälöstä W = V E J dv. (2.16) 2.9 Kapasitanssi ja kondensaattori Kysymys: Mitä tarkoittaa kapasitanssi? Vastaus: Suhdetta Q = CV. (2.17) Kapsitanssin ideaa on selvitetty kuvassa 2.2. Kuten edellä olevasta käy ilmi, kapasitanssissa varaus ja potentiaaliero kytkeytyvät toisiinsa (muista Gaussin laki sähkökentille). Huomaa, että sähköpiirien tapauksessa kapasitanssia on (melkein) kaikkialla, ei vain kondensaattorissa. Levykondensaattorille C = Q V 12 = ɛ S d. (2.18) Kapasitanssin perusidea on, että energiaa varastoituu sähkökenttään. Läh-

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 20 V : Q = V D n da C: C E dl = V 2 V 1 V(t) Kuva 2.2: Kapasitanssin idea kondensaattorin tapauksessa. tien kaavasta (s. 124 [2]) voidaan energialle johtaa muoto W e = 1 2 W e = 1 2 Energia voidaan myös ajatella muodossa V ρ v V dv (2.19) V D E dv. (2.20) W e = 1 2 CV 2. (2.21) Piiriteoriassa kondensaattorin ja resistanssin sarjaankytkennässä on voimassa ns. aikavakio τ = RC, joka kuvaa piirin käyttäytymistä transienttitilanteessa. (Kondensaattori latautuu.) Piiriin kytketyssä kondensaattorissa jännite nousee virran integraalina (va-

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 21 raus pakkautuu). Toisaalta siis i(t) = C du(t) dt. (2.22) Kapasitanssista aiheutuva impedanssi Z c = j ωc AC-virran kasvaessa. pienenee luonnostaan piirin 2.10 Induktanssi ja kela Kysymys: Mitä tarkoittaa induktanssi? Vastausta johdatellaan seuraavassa ([2] s.201). Ajatellaan kahta silmukkaa, joista ensimmäisen reunalla kulkee virta I. B 1 aiheutuu tästä ja kulkee toisen silmukan läpi. Tämä voidaan lausua matemaattisesti muodossa Φ 12 = B 1 n da. (2.23) S 2 Induktanssi kirjoitetaan virran ja toisen silmukan läpi kulkeneen vuon linkiksi muodossa Φ 12 N 2 = L 12 I 1. (2.24) Edellisessä yhtälössä N 2 kuvaa toisen silmukan kierroslukumäärää Induktanssi määritellään siis muodossa (vastaus kappaleen alun kysymykseen) L 12 = N 2 B 1 n da. (2.25) I 1 S 2 Tämä on ns. keskinäisinduktanssi. Itseisinduktanssi saadaan vastaavasti vaihtamalla kaikki kakkoset ykkösiksi indekseissä. Kuvassa 2.3 on esitetty itseisinduktanssin ideaa.

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 22 S 1 : Φ = S 1 B nda B S 1 I S 2 S 2 : S 2 H dl = I = S 2 J n da Kuva 2.3: Induktanssin idea itseisinduktanssin tapauksessa. Tässä kuvassa alaindeksit viittaavat eri pintoihin itseisinduktanssia määritettäessä. Induktanssin perusidea on, että energiaa varastoituu magneettikenttään (s. 212 [2]). Energiat voidaan ilmaista muodossa ja W e = 1 2 V H B dv (2.26) W e = 1 2 LI2. (2.27) Piiriteoriassa kelan ja resistanssin sarjaankytkennässä on ns. aikavakio τ = L R, joka kuvaa piirin käyttäytymistä transienttitilanteessa. (Kela latautuu.) Kelassa virta nousee jännitteen integraalina. Toisaalta siis u(t) = L di(t) dt. (2.28)

LUKU 2. TEORIAN KERTAUSTA 23 Induktanssista aiheutuva impedanssi Z l = jωl kasvaa luonnostaan piirin AC-virran kasvaessa. Sähköpiirien tapauksissa induktanssia on (melkein) kaikkialla, ei vain keloissa.

Luku 3 Piirit ja piirikomponentit Tässä luvussa tarkastellaan piirianalyysin komponenttien todellista käyttäytymistä. Lisäksi tarkastellaan komponenttien ja piirien keskinäistä kytkeytymistä, sekä kytkeytymisen välttämistä (suojausta). 3.1 Piirien ja piirikomponenttien epäideaalisuudesta Piiriteoriassa oletetaan johtimet häviöttömiksi. Lisäksi oletetaan vastuksen olevan puhtaasti resistiivinen, kondensaattorin kapasitiivinen ja kelan induktiivinen. Todellisuudessa kaikki piirikomponentit pitävät sisällään toistensa pääominaisuuksia ja lisäksi taajuus vaikuttaa merkittävästi ominaisuuksien välisiin voimasuhteisiin. Oletetaan toistaiseksi, että antennina toimiminen on heikkoa, ts. että l sys << λ sys. (3.1) 24

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 25 Muista yhtälöt f = c λ ja ω = 2πf. 3.1.1 Epäideaalinen johdin Staattisessa tapauksessa johtimien resistanssi voidaan summata vastuksiin, joten se ei ole ongelma. Johtimien resistanssi on usein myös melko pieni. Taajuuden kasvaessa resistanssi alkaa kuitenkin kasvaa. Tämä johtuu ns. tunkeutumissyvyyden pienentymisestä. Tunkeutumissyvyyteen palataan aaltojen yhteydessä. Yksinkertaistettuna tunkeutumissyvyyden idea on se, että korkeilla taajuuksilla virta kulkee johtimessa ainoastaan pinnalla. Tämä johtuu siitä, että nopeasti muuttuva magneettikenttä (peräisin Biot-Savartin laista) indusoi johtimeen sähkökentän. Tämä sähkökenttä muodostaa ns. pyörrevirtoja (Faraday), jotka muuttavat alkuperäisen virran jakaumaa. Kuvassa 3.1 esitetään idea siitä, kuinka pyörrevirta pienentää alkuperäistä virtaajakaumaa keskellä. Kasvaneen resistanssin vuoksi virta ei kasva reunalla, jos johtimen yli oleva jännite pidetään vakiona. Muuttuva sähkökenttä ei indusoi magneettikenttää, ennen kuin johdin alkaa toimia antennina (eli pysytään kvasistaattisessa tilanteeessa). Tähän palataan antenniosiossa. Tunkeutumissyvyyden yksinkertaistettu kaava hyvälle johtimelle on (hyvä muistaa) δ = 2 ωµσ = 1 πfµσ. (3.2) Syvyydellä δ johtimen pinnasta, virrantiheys on pienentynyt 1 e osaan alkuperäisestä pinnan virrantiheydestä. Virran kulkiessa vain johtimen pintakerroksessa (kuva 3.2) se kokee suuremman resistanssin, koska poikkipinta-ala pienenee. Resistanssi pituusyksikköä

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 26 I 2 I S dl H Virta on ylöspäin ja kasvaa ylöspäin H kasvaa siis myös Vuo pinnan S läpi kasvaa, jolloin sen reunalle indusoituu smv Faradayn lain mukaan Pinnan normaali n on samaan suuntaan kuin H. Positiivinen kiertosuunta pinnan ympäri on siis myötäpäivään kuvassa. Virta tulee siis vastapäivään Faradayn lain miinus merkin vuoksi. I 2 on smv:stä johteeseen muodostunut pyörrevirta, joka vähentää alkuperäistä virtaa keskellä. Kuva 3.1: Idea pyörrevirran vaikutuksesta johtimeen. kohti korkean taajuuden tapauksessa saadaan likipitäen yhtälöstä: r HF 1 σ(πr 2 w π(r w δ) 2 ), (3.3) missä r w on johtimen säde, σ on johtavuus ja δ on tunkeutumissyvyys. DC AC Kuva 3.2: Virran jakautuminen DC ja AC (HF) tilanteissa. Virran jakautumisesta voidaan tehdä seuraavanlaiset mallit (kuva 3.3): a) Oletetaan tasainen virta tunkeutumissyvyyden mukaisella alueella (ap-

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 27 x 10 5 x 10 5 x 10 5 10 10 10 Staattinen tilanne 8 6 4 AC tilanne, tasainen virtamalli 8 6 4 AC tilanne, todellinen tilanne 8 6 4 2 2 2 0 0 0.5 1 x 10 3 0 0 0.5 1 x 10 3 0 0 0.5 1 x 10 3 Kuva 3.3: Virranjakaumia eri tilanteissa. Kuparijohtimen pituus: 100 m, säde: 1 mm, tunkeutumissyvyys: 0.25 mm, jännite: 1 V. proksimaatio) b) Virta pienenee eksponentiaalisesti keskustaa kohti mentäessä (todellinen tilanne). Johtimella on resistiivyyden lisäksi oikeasti aina myös induktiivisia ominaisuuksia (pl. staattinen tapaus). Johtimen virta aiheuttaa aina magneettikentän ympärilleen. On selvää, että kun virta ja siten magneettikenttä muuttuvat, vuo silmukan läpi muuttuu. Tällöin voidaan ajatella, että virtasilmukassa on aina jonkinlainen induktanssi kuten kelassa. Induktanssin laskemista varten on olemassa laskimia käytännön tapauksille, esim. netissä [3]. Kaavoja löytyy myös kirjallisuudesta. Usein elektroniikassa puhutaan myös johtimen sisäinduktanssista (johto [4]

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 28 s. 434) yksikköpituutta kohti l i, DC = µ 0 8π = 0.5 10 7 (H/m). (3.4) Sisäinduktanssi muodostuu siis siitä osasta kenttää, jonka johdin luo sisälleen. Paluujohto on kuitenkin aina olemassa, koska virta kiertää silmukan, joten sisäinduktanssi ei esiinny yksinään. Kuten jo todettu, induktiivinen impedanssi kasvaa yleensä taajuuden funktiona. Kuitenkin ns. ulkoinen induktanssi pienenee, jos mukana on rautaa (muuten pysyy samana). Sisäinduktanssi pienenee, sillä tunkeutumissyvyys vaikuttaa myös magneettikenttään johtimessa. Korkeilla taajuuksilla sisäinduktanssi yksikköpituutta kohti voidaan antaa muodossa [4] l i, HF = 1 2πr w σδω = l i, DC 2δ r w. (3.5) Ulkoinduktanssi on kahdesta näistä induktanssityypistä usein dominoiva. Johtimien geometriasta riippuu kumpi on suurempi suurilla taajuuksilla, kokonaisinduktanssi vai resistanssi. Vrt. yhteenkieputettu parikaapeli vs. iso virtasilmukka. Johtimilla esiintyy myös kapasitanssia. Esim. rinnakkaiset kaapelit tai parikaapeli. Tähän palataan komponenttien käsittelyn yhteydessä. 3.1.2 Epäideaalinen vastus Kuten johdinten, myös vastusten käyttäytyminen korkeilla taajuuksilla riippuu paljon geometriasta. Seuraavassa on lueteltu erilaisia vastuksia (kuva 3.4 ylhäältä alas): Hiilimassavastus (carbon resistor, carbon-composition resistor)

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 29 - Massa - Päihin johdot - Epätarkka vastuksen arvo - Pieni induktanssi Lankaresistori (wire-wound resistor) on langasta kieputettu resistanssi. - Langan pituutta säätämällä säädetään vastus. - Suuri induktanssi. Ohutkalvovastus (thin-lm resistor) on - Tarkka menetelmä vastuksen valmistukseen. - Ei niin herkkä taajuudelle, tunkeutuminen ohueeseen liuskaan lähes aina hyvä. Vuotokapasitanssi tarkoittaa vastuksessa sisällä tapahtuvaa esim. johdinten välistä kapasitanssia ja se on usein merkittävämpää kuin johtimen kapasitanssi. Esim lankaresistorin eri kierrosten välinen kapasitiivinen kytkeytyminen. Vastuksen impedanssimallitaajuuden funktiona piiriteoriaa varten on esitetty kuvassa 3.5 (johtimien vaikutus mukana). Kuva 3.4: Erilaisia vastuksia.

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 30 L johdin R kela C johdin L Z Induktiiviset ominaisuudet Kapasitiiviset ominaisuudet Staattinen tilanne f Kuva 3.5: Vastuksen impedanssi taajuuden funktiona. Mallissa on huomioitu johtimien vaikutus. Vastuksen ja kelan käyrät ovat samantyyppiset, mutta eivät tietenkään absoluuttisesti samanlaiset. 3.1.3 Epäideaalinen kela Resistanssi kasvaa taajuuden funktiona, kuten johtimilla ja vastuksilla. Induktiivisen impedanssin kasvu on normaalia. Suurilla taajuuksilla kapasitiivinen impedanssi (vuotokapasitanssi) pienentää lopulta kokonaisimpedanssia taajuuden kasvaessa (kuva 3.6).

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 31 L johdin R kela C johdin L Z Induktiiviset ominaisuudet Kapasitiiviset ominaisuudet Staattinen tilanne f Kuva 3.6: Kelan impedanssi taajuuden funktiona. Mallissa on huomioitu johtimien vaikutus. Vastuksen ja kelan käyrät ovat samantyyppiset, mutta eivät tietenkään absoluuttisesti samanlaiset.

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 32 3.1.4 Epäideaalinen kondensaattori Induktiivinen ja resistiivinen impedanssi kasvavat taajuuden funktiona, mutta kapasitiivinen impedanssi ei kasva vaan pienenee. Oleellinen ero kondensaattorin ja kelan piiriteorian malleissa on se, että kondensaattoria mallinnettaessa komponentit ovat sarjassa. Kondensaattorin eristeen läpi kulkee myös pieni sähkövirta, eli kapasitanssin kanssa rinnan on iso vastus jo ilman, että taajuutta otetaan huomioon. Tätä ei ole otettu huomioon piiriteorian mallissa kuvassa 3.7. L johdin R johdin C Z Kapasitiiviset ominaisuudet Induktiiviset ominaisuudet f Kuva 3.7: Kondensaattorin impedanssi taajuuden funktiona. Johtimien vaikutus mukana.

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 33 3.1.5 Piirien epäideaalisuudesta Sähköpiirit koostuvat yksittäisistä epäideaalisisista komponenteista. Sen lisäksi ne toimivat myös yhdessä epäideaalisesti. Yksittäisille piireille ja piirikomponenteille tehdään piirianalyysissa se oletus, että niistä lähtevät kvasistaattiset sähkö- ja magneettikentät pysyvät omassa ympäristössään. Tällöin ulkopuolella olevat kentät ovat nollia (kuva 3.8). Vrt rajapintaehdot ja täydellisen johteen ja eristeen välinen rajapinta. Esim. keskinäisinduktanssin mallinnus poikkeaa tästä tietyssä mielessä. Tämän havainnon jälkeen kokonaiskuva piirien epäideaalisuudesta alkaa olla kasassa ja on aika tarkastella kytkeytymistapoja. n 2 B 2 = 0, n 2 D 2 = 0 Piiri tai yksittäinen komponentti n 2 H 2 = 0, n 2 E 2 = 0 Piiri tai yksittäinen komponentti Häviöttömät johtimet Piiri tai yksittäinen komponentti Kuva 3.8: Piirien ja komponenttien oletuskentät.

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 34 3.2 Piirien ja piirikomponenttien keskinäinen kytkeytyminen Tässä kappaleessa tarkastellaan erilaisia kvasistaattisia kytkeytymistilanteita. Tilanteet ovat yleistettävissä erilaisille geometrioille. Tämä liittyy siihen, että kapasitanssia ja induktanssia on tavallaan joka puolella sähköpiiriä. 3.2.1 Kapasitiivinen kytkeytyminen Tarkastellaan tilannetta, jossa maadoitettu ja jännitteeseen kytketty johdin on asetettu vierekkäin. Staattisessa tapauksessa sähkökenttä on johdinten välissä suuri, mutta kytkeytymistä ei tapahdu. Ts. virtaa ei kulje maadoitetussa johtimessa. Kun jännitettä vaihdellaan ensimmäisessä johtimessa, maadoitettuun johtimeen tulee vastaavat, mutta erimerkkiset varaukset. Tästä johtuu se, että toisessa johtimessa alkaa kulkemaan varauksia. Lopulta varaukset muodostavat virran joka kulkee toisesta johtimesta maahan. Tämä tapahtuma vähentää ensimmäisessä johtimessa kulkevaa virtaa (maadoitus ei siis enää toimi täysin). Q -Q 0 0 -Q Q dq dt = I Kuva 3.9: Kapasitiivinen kytkeytyminen kahden johtimen välillä. Ensimmäisessä johtimessa vaihtojännite, toinen johdin maadoitettu. Jos potentiaali suojakuorella on sama tai likipitäen sama ympäri kuoren, potentiaalin gradientti (eli sähkökenttä) on nolla kuoren sisällä. Käytännössä

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 35 suojaus ei toimi täydellisesti, vaan muodostuu kaksi kapasitiivista kytkeytymistä. Toinen ensimmäisestä johtimesta suojakuoreen ja toinen suojakuoresta maadoitettuun kakkosjohtimeen. Kokonaiskapasitanssi siis kuitenkin pienenee (sarjaan kytketyt kapasitanssit lasketaan yhteen kuten rinnan kytketyt vastukset). Piirien kapasitiivinen kytkeytyminen (kuva 3.10) on usein vaikutukseltaan vähäinen sähkökentän pienen energiatiheyden vuoksi. Kapasitanssi on käytännössä aina erittäin pieni. Lisäksi, jos varausta kasvatetaan jännitettä nostamalla, tulee jossain vaiheessa sähkökentällä läpilyöntitiheys vastaan ( 30 10 5 V/m). Kapasitiivinen kytkeytyminen D t 0 V I 1 I 3C2 R I 1 I 2 = t Pinta S on johtimien välissä (sähkökentän alue) Kuva 3.10: Kapasitiivinen kytkeytyminen kahden johtimen välillä. Ensimmäisessä johtimessa vaihtojännite, toinen johdin maadoitettu. I 2 I 4 C 1 S D n da = I 3 + I 4 Ajasta riippuva virranjatkuvuusyhtälö: V J n da = t V ρ dv Mikro- (tai nano-) elektroniikassa tulee vastaan mielenkiintoinen ilmiö, ns. Paschen ilmiö. Tällä mallinnetaan sitä, kuinka pienissä raoissa ei korkeasta sähkökentästä huolimatta pääse tapahtumaan läpilyöntiä. Tämä johtuu siitä, että ilman ionien ketjureaktio ei mahdu kehittymään. Tästä syystä sähköstaattiset toimilaitteet ovat pienessä mittakaavassa (mikromaailma) käyttökelpoisia ja suuressa mittakaavassa (makromaailma) tehottomia. Keinoja estää kapasitiivista kytkeytymistä:

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 36 - Maadoitettu suojakuori, hyvä eriste - Etäisyydet ja geometria yleensä. Kun Ampère-Maxwell on aikariippuva puhutaan usein aaltotilanteesta, mutta kapasitiivisessa kytkeytymisessä kyse ei kuitenkaan ole aalloista. Kysymys: Miksi aaltoja ei muodostukaan kapasitiivisessa kytkeytymisessä? Vastaus on kaksiosainen: 1. Kondensaattorin tapauksessa sähkökenttä pysyy melko hyvin levyjen välissä, toisin kuin jos kyseessä olisi antenni, jolloin kenttä karkaisi helpommin ympäröivään ilmaan. Johtimien tapauksessa kentät ja mahdollinen säteilyteho ovat tosin joka tapauksessa varsin vaatimattomia. 2. Geometria on käytännön tilanteissa mitoiltaan sellainen, että lineaarinen mitta on paljon pienempi kuin aallonpituus, jolloin rakenne toimii huonosti antennina. 3.2.2 Induktiivinen kytkeytyminen Faradayn laki laki määrää virran suunnan toisessa piirissä, kun ensimmäiseen kytketään vaihtovirta. Miinusmerkki Faradayn laissa kertoo indusoituvan virran suunnan (kuva 3.11). Kuvan tapauksessa B-kenttä kasvaa ajan suhteen B- kentän nuolien suuntaan (muutoin ei siis ole aikamuutosta, eikä toiseen piiriin indusoituvaa virtaa). Induktiivinen kytkeytyminen lisää jännitehäviöitä ensimmäisessä johtimessa. Huomaa, että staattinen magneettikenttä ei kytkeydy piiriin (ei kuluta virtaa, ei muuta jännitteitä), mutta muuttaa komponenttien ominaisuuksia. Keinoja estää induktiivista kytkeytymistä: - Pienet silmukat ja geometria yleensä - Suojakuoret, jotka erilaisia eri tapauksille (ylinnä paras rauta, alinna huonoin)

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 37 C R 2 I Induktiivinen kytkeytyminen B V R 1 Kuva 3.11: Induktiivinen kytkeytyminen kahden silmukan välillä. 1. Staattinen magneettikenttä, korkeapermeabiliteettinen suoja 2. Matalataajuinen magneettikenttä, monikerrossuoja 3. Kvasistaattinen kenttä, johtava suoja Huomaa, että matalataajuisia magneettikenttiä voi vain ohjailla, ei heijastaa. 3.3 Maadoitus Käsitellään lyhyesti maadoittamisesta tiettyjen fysikaalisten tosiasioiden toteamiseksi. Maadoituksen perusperiaate on, että jollakin johtavalla rakenteella kytketään laite kirjaimellisesti maahan, johon mahtuu paljon virtaa ja

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 38 jännitettä (vastaa maa- tai nollapotentiaalia). Maadoitus ei ole kuitenkaan niin yksinkertaista. Seuraavassa joitakin tärkeitä huomioita: 1. Ei ole yhdentekevää minkälaisella langalla maadoitus toteutetaan. E- simerkiksi yksipistemaadoituksessa on suuret silmukat, mutta pienet maavirrat. Monipistemaadoitukselle (kuva 3.12) on ominaista pienet silmukat (pieni induktiivinen kytkeytyminen) eli lyhyt matka maahan (ei toimi myöskään niin hyvin antennina), mutta suuret maavirrat. 2. Maapotentiaali ei ole aina nolla. Suunnittelijan täytyy varautua siihen, että toinen maapotentiaaliin kytketty laite (tai salama) voi kytkeytyä toiseen maahan kytkettyyn laitteeseen tätä kauttakin. 3. Maadoitukseen parantamiseen olemassa hienostuneita keinoja (optoeroitin, hybridimaadoitus jne.), mutta nämä eivät ole tämän kurssin asioita. Piiri1 Piiri2 Piiri3 Maavirta Kuva 3.12: Maan kautta piiristä toiseen kytkeytyvä häiriö.

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 39 3.4 Kuristin ja ferriittirenkaat Kuristin on piirikomponentti, joka toimii tehokkaana suojana yhteismuotoisia häiriöitä vastaan. Fysikaalisesti sen toimintaperiaate perustuu samansydämisiin käämeihin, jotka luovat vastakkaiset magneettivuot (kuva 3.13). Virtapulssi tekee suuren vuon oman silmukkansa ja toisen johtimen silmukan läpi => iso induktanssi ja iso keskinäisinduktanssi Φ Kuva 3.13: Kuristimen toimintaperiaate. Muista induktanssin ja induktiivisen impedanssin määritelmät. Mitä pienemmällä virralla suurempi vuo, sitä suurempi induktanssi. Toisaalta suurempitaajuinen pulssi kokee suuremman impedanssin. Ferriittirengas on vastaava piirikomponentti (kuva 3.14), mutta toimii nopeita transienttimuotoisia eli eromuotoisia häiriötä vastaan. Iso induktanssi estää virrankasvua tehokkaasti. Ferriittirengas estää johtoja toimimasta häiriösignaaleja lähettävinä antenneina lyhentämällä korkeataajuisten häiriöiden mahdollista kulkumatkaa. Ferriittirengas perustuu siis induktanssiin, kuten kuristinkin. Yhteismuotoinen häiriö on samaan suuntaan vierekkäisissä johtimissa etenevä häiriö. Eromuotoinen häiriö on yhden johtimen korkeataajuinen häiriö.

LUKU 3. PIIRIT JA PIIRIKOMPONENTIT 40 Φ, B Muista Faradayn laki! Suuri permeabiliteetti suuri vuon kasvu virran kasvaessa Suuri induktanssi ja suuri induktiivinen impedanssi korkeataajuiselle pulssille Kuva 3.14: Ferriittirenkaan toimintaperiaate. Muista induktanssin ja induktiivisen impedanssin määritelmät. Mitä pienemmällä virralla suurempi vuo, sitä suurempi induktanssi. Toisaalta suurempitaajuinen pulssi kokee suuremman impedanssin. Kysymys: Miksi häiriönestokomponentit toimivat induktanssilla kapasitanssin sijaan? Vastaus: Magneettikenttien energiatiheydet ovat varsinkin rautaa käytettäessä erittäin suuria, jolloin induktanssilla saadaan paljon suuremmat vaikutuksen kuin kapasitanssilla. Lisäksi, suuritaajuisille häiriölle induktiivinen impedanssi on suuri ja kapasitiivinen pieni.

Luku 4 Sähkömagneettiset aallot 4.1 SMG aallon synty Sähkömagneettisia aaltoja voi syntyä melkein mistä tahansa sähkölaitteesta, mikäli taajuus ja laitteen geometria eivät ole hyvin suunniteltuja (ei toivottu muodostuminen). Antenneissa luonnollisesti aallon syntyminen on toivottu ilmiö. Teoriassa aalto syntyy aina aikaharmonisesta syötteestä. Usein se vain on niin pieni, ettei sitä voida havaita. Aallon synty perustuu siihen, että tieto lähteen sammumisesta tai syttymisestä sähkömagneettisessä kentässä voi edetä vain valonnopeutta. Tällöin harmonisesti värähtelevällä piirillä on aina ns. lähikenttä, jonka energia ehtii palautua piiriin syklien välissä, ja kaukokenttä, joka pääsee ns. karkaamaan lähteestä ja synnyttää aallon. Lähi- ja kaukokentän käsitteisiin palataan antennien yhteydessä. 41

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 42 4.2 SMG aallon matemaattinen malli 4.2.1 Aaltoyhtälöt Yksinkertaisuuden vuoksi, käsitellään vain taso-aaltoja. Lisäksi aluksi oletetaan lähteetön ja johtamaton aine (ilma), jossa siis σ = 0 ja ρ = 0. Tällöin Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen ilman tiettyjä termejä (Maxwellin yhtälöistä kannatta muistaa vain perusmuoto, koska muut voi sitten taas johtaa siitä). Käyttämällä Faradayn lakia ja väliaineyhtälöitä (roottori puolittain Faradaysta) saadaan E = µ t ( H) = µɛ 2 E t 2. (4.1) Tässä kaavakokoelmaa hyväksi käyttäen saadaan E = ( E) 2 E = 2 E lähteettömyyden vuoksi, joten aaltoyhtälöksi tulee 2 E µɛ 2 E = 0. (4.2) t2 Täsmälleen samoilla askeleilla, lähtien Ampère-Maxwellista, saadaan magneettikentälle 2 H µɛ 2 H = 0. (4.3) t2 Aallon etenemiesnopeus on muotoa u p = 1 µɛ (4.4) ja tyhjiössä tai ilmassa c = 1 µ0 ɛ 0. (4.5)

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 43 Aikaharmonisista Maxwellin yhtälöistä lähtien päästään muotoon 2 Ē + ω2 Ē = 0. (4.6) u 2 p Tällöin merkitään usein suhdetta aaltoluvuksi ω2 k 2. k voidaan ilmaista myös u 2 p muodossa k = ω µɛ. Muista myös k = 2π. λ Sähkö- ja magneettikenttien amplitudien suhdetta aallossa sanotaan aaltoimpedanssiksi. Lähtien liikkeelle Faradayn laista saadaan ensin ja sitten E = Lopulta, koska E x(z) z a x a y a z 0 0 z E x (z) 0 0 = jωµ(a x H x + a y H y + a z H z ) (4.7) H y = 1 jωµ = z (E 0e jkz ) = jke x (z), saadaan E x (z). (4.8) z H = a y H y (z) = a y k ωµ E x(z) = a y 1 η E x(z). (4.9) Suuretta η = µ ɛ (eeta) kutsutaan siis aaltoimpedanssiksi. Tyhjiössä η = 377 Ω. Sähkökentän värähtelysuunnan ajatellaan siis olevan x-akselin suuntaan ja magneettikentän y-akselin suuntaan, kun aallon etenemissuunta on z-suunta. Animaatio internetissä osoitteessa: http://www.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/ Tutorial_files/Web-further-light.htm

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 44 4.2.2 Vaihe- ja vaimenemisvakiot Johdetaan ensin vaihe- ja vaimenemisvakiot yleisessä tapauksessa. Jos väliaineessa voi olla lähteitä ja sillä on johtavuus, aika-harmoninen Ampère- Maxwell tulee muotoon missä ɛ c = ɛ j σ ω. H = (σ + jωɛ)e = jω(ɛ + σ jω )E = jωɛ ce, (4.10) Nyt aaltoluvun k c avulla voidaan kirjoittaa etenemisvakio γ = jk c = jω µɛ c. (4.11) Etenemisvakiolla on kompleksinen ja reaalinen osansa eli Nyt aaltoyhtälöksi saadaan γ = α + jβ = jω ( µɛ 1 + σ ) 1/2. (4.12) jωɛ 2 E γ 2 E = 0. (4.13) Voidaan ajatella, että TEM-aallossa sähkökenttä on x-akselin suuntainen, magneettikenttä y-akselin suuntainen ja etenemissuunta z-suunta. Tällöin aaltoyhtälön ratkaisut ovat muotoa E x = E 0 e γz = E 0 e αz e jβz. (4.14) Kyseessä on aikaharmoninen tilanne, jolloin aikariippuvuus määrää vain aallon vaihekulman. Yhtälöistä 4.12 ja 4.14 voidaan tunnistaa vaimenemisvakio α ja vaihevakio β.

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 45 Yleisessä tapauksessa aaltoimpedanssi tulee muotoon jωµ η = σ + jωɛ. (4.15) 4.2.3 Aallon käyttäytyminen hyvässä johteessa, tunkeutumissyvyys Yhtälöstä 4.12 ( γ = α + jβ = jω ( ) 1/2 µɛ 1 + jωɛ) σ määritellään usein kaksi tapausta: hyvän johteen ja hyvän eristeen tapaukset. Hyvälle johteelle on voimassa (4.16) ja hyvälle eristeelle 1 << σ ωɛ 1 >> σ ωɛ. (4.17) Hyvällä eristeellä on EMC:n kannalta käyttöä vain staattisia sähkökenttiä vastaan. SMG-aaltoja vastaan taistellaan hyvillä johteilla. Käsitellään asia vain johteille, mutta vastaavat päätelmät (eri lopputulos) on tehtävissä myös eristeelle. Jos yhtälö 4.16 on voimassa (hyvä johde), yhtälö 4.12 menee muotoon ja lopulta γ jω σ µɛ jωɛ = jωµσ = 1 + j ωµσ. (4.18) 2 γ = α + jβ (1 + j) πfµσ. (4.19) Tästä nähdään että vaimennus ja vaihevakiot ovat samansuuruiset taajuudesta riippumatta eli α = β = πfµσ. Olennaista on kuitenkin se, että vaimennusvakio kasvaa kun taajuus kasvaa. Aallon kohdatessa hyvän johteen, puhutaan usein tunkeutumissyvyydestä (kuten edellä todettiin kva-

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 46 sistaattisessa tilanteessa). Tunkeutumissyvyyden δ määritelmä on yksinkertaisuudessaan (yhtälöitä 4.14 ja 4.19 peilaten) δ = 1 α = 1 πfµσ. (4.20) 4.3 Tasoaallolta suojaaminen Suojauksella on laitteessa kaksi tarkoitusta. Estää ulkopuolisen säteilyn pääsy sisään ja laitteen emittoiman säteilyn pääsy ulos. Suojausvaimennusta kuvataan usein desibeleinä, jotka saadaan yhtälöstä SE db = 10log Ei 2 Et 2 = 20log E i E t. (4.21) Seuraavassa johdetaan lauseke t:n paksuiselle suojalle tasoaallon tapauksessa. 4.3.1 Tehtävän esittely Suoja on kuvan 4.1 mukainen. Väliaine suojan molemmin puolin oletetaan vapaaksi tilaksi eli σ = 0, ɛ = ɛ 0 ja µ = µ 0. Muista yhtälöt γ = α + jβ = jω ( 1/2, µɛ 1 + jωɛ) σ H = E η, η = jωµ ja σ+jωɛ η 0 = µ0 ɛ 0.

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 47 z Ilma Suoja paksuus=t Ilma E i E 1 E t H i H 1 H t E r E 2 H r H 2 z=0 z=t Kuva 4.1: Johtava suoja ja smg-aallon käsittely. i=incident, r=reected, t=transmitted. Alaindeksi 1 vastaa ensimmäisestä pinnasta läpimennyttä aaltoa ja 2 toisesta pinnasta heijastunutta. Lähestyvät kentät ovat muotoa Suojasta heijastuvat kentät ovat muotoa E i = xe i e jβ 0z (4.22) H i = y E i η 0 e jβ 0z. (4.23) E r = xe r e jβ 0z (4.24) H r = yh r e jβ 0z. (4.25) Suojan ensimmäisestä reunasta läpimennyt aalto (suojan sisällä oikealle liik-

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 48 kuva aalto) on muotoa E 1 = xe 1 e γz (4.26) H 1 = y E 1 η e γz. (4.27) Toisesta rajapinnasta heijastunut aalto (suojan sisällä vasemmalle liikkuva aalto) on muotoa E 2 = xe 2 e γz (4.28) H 2 = y E 2 η eγz. (4.29) Koko metallisuojan läpäissyt aalto (joka liikkuu oikealle suojan oikealla puolella) on muotoa E t = xe t e jβ 0z (4.30) H t = y E t η 0 e jβ 0z. (4.31) Tähän mennessä ei ole tehty vielä mitään matemaattisesti suurta. Tehtävälle on vain annettu matemaattinen muoto. Seuraavassa aletaan käsittelemään tehtävää reunaehtojen avulla. 4.3.2 Reunaehdot Reunaehtoja tarvitaan tässä tapauksessa pinnoilla z=0 ja z=t. Numeerisessa laskennassa tarvittaisiin lisäksi ns. äärettömyys-ehdot äärilaidoissa. Sähkökentällä on tangentiaalinen jatkuvuus. Jos huomioidaan edeltävän formulaation tapaan vain yksi heijastus suojan sisällä (todellisuudessa ääretön määrä heijastumisia) saadaan sähkökentän reunaehdoista E i (z = 0) + E r (z = 0) = E 1 (z = 0) + E 2 (z = 0) (4.32)

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 49 ja E 1 (z = t) + E 2 (z = t) = E t (z = t). (4.33) Tästä seuraa yhtälöt E i + E r = E 1 + E 2 ja E 1 e γt + E 2 e γt = E t e jβ 0t. Magneettikentälle vastaavasti ja H i (z = 0) + H r (z = 0) = H 1 (z = 0) + H 2 (z = 0) (4.34) H 1 (z = t) + H 2 (z = t) = H t (z = t). (4.35) Tästä saadaa sähkökentälle kaksi lisäyhtälöä käyttämällä aaltoimpedanssia: E i η 0 E r η 0 = E 1 η E 2 η ja E 1 η e γt E 2 η eγt = E t η 0 e jβ 0t. Nyt meillä on siis neljä tuntematonta sähkökentän komponenttia (oletetaan tuleva aalto tunnetuksi siis) ja neljä yhtälöä. Tehtävä voidaan ratkaista, mutta se on melko tuskallista. Ratkaisua ei käydä sen tarkemmin läpi, vaan otetaan ainoastaan lopputulos esille.

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 50 4.3.3 Lopputulos Lopputulemana saadaan siis tulevan sähkökentän ja läpimenneen sähkökentän suhteena [ E i = (η ( ) ] 0 + η) 2 2 η0 η 1 e 2t δ e j2βt e t δ e jβt e jβ0t. (4.36) E t 4η 0 η η 0 + η Edellisessä yhtälössä δ = 1 α. Tämän jälkeen tarvitaan yksinkertaistuksia, jotta voidaan tehdä jatkopäätelmiä. Oletukset: 1. Oletetaan, että suoja on tehty hyvästä johteesta (σ >> 1 => η << η 0. Tästä seuraa, että termi η 0 η η 0 +η = 1. 2. Oletetaan, että taajuus on niin korkea, että δ << t => e γt = e αt e jβt = e t/δ e jβt << 1. Tällöin lauseketta 4.36 voidaan sieventää reilusti ja saadaan E i E t = (η 0 + η) 2 4η 0 η e t η 0 δ 4η e t δ. (4.37) Tästä päästään viimein kiinni konkreettiseen lausekkeeseen yhtälölle 4.21: SE db = 20 log η 0 4η + 20 log et/δ. (4.38) Tätä vastaava muoto on (termit samassa järjestyksessä kuin edellisessä kaavassa) SE db = R db + A db (+M db ), (4.39)

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 51 jossa R on heijastusvaimennus, A absorptiovaimennus ja M moninkertaisista heijastuksista aiheutunut vaimennus, jota ei siis ratkaistu. Sille saataisiin vielä tarkemmalla menettelyllä yhtälö M db = 20 log 1 ( ) 2 η0 η e 2t/δ e jβt ( 0). (4.40) η 0 + η Kysymys: Minne katosi käsittelyssä magneettikentän tangentiaalikomponentin pintavirran suuruinen hyppäys johteeseen tultaessa? Vastaus: Pintavirta ei ole mielekäs käsite muulloin kuin eristeen ja täydellisen johteen välisessä tapauksessa. Muussa tapauksessa magneettikenttä vaimenee pikkuhiljaa johteeseen edessään pyörrevirtojen vuoksi. Staattisessa tapauksessa ei ole pyörrevirtoja eikä edes käytännön tapauksissa pintavirtaakaan. Suojaustehokkuudella on tärkeä merkitys elektroniikkalaitteiden lisäksi myös sotateollisuudessa. 4.4 Poyntingin teoreema Piiriteoriassa sähkömagneettista säteilyä ei yleensä oteta huomioon. Tilannetta mallinnettaessa tämä näkyy parhaiten Poyntingin teoreemasta E H n da = ( 1 V t V 2 ɛe2 + 1 ) 2 µh2 dv J E dv. (4.41) V Piiriteoriassa ulompana oikella oleva termi kuvaa kaiken staattisessa tapauksessa. Positiivinen J E > 0 arvo tarkoittaa vastuksessa kuluvaa tehoa ja negatiivinen J E < 0 arvo tarkoittaa jännitelähteellä piiriin generoitua tehoa. Lisäksi piiriteoriassa voidaan jossain määrin ottaa huomioon aikariippuvien termien muodostamat osat, joissa sähkökenttään ja magneettikenttään varastoituu hetkellisesti tehoa.

LUKU 4. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 52 Uloimpana vasemmalla oleva termi kuvaa systeemistä säteilemällä poistunutta tehoa, tai systeemin ulkopuolelta säteilemällä tullutta tehoa. Tämä liittyy vahvasti siirtolinjoihin ja antenneihin. Termiä E H merkitään usein kirjaimella P tai S ja sanotaan Poyntingin vektoriksi. P:n lokaalit tulkinnat ovat joskus huteria, kuten kenttien ja aaltojen kurssilla usein osoitetaan. Integraali tilavuuden reunan yli on kuitenkin aina mielekäs. H tarkoittaa H:n kompleksikonjugaattia.

Luku 5 Siirtolinjat ja aaltoputket Siirtolinjojen tarkkaa matemaattiseta teoriaa ei käsitellä tällä kurssilla, koska sitä käsitellään monilla muilla (Sähkömagnetiikan) kursseilla. Sama pätee aaltoputkille ja resonaattoreille. 5.1 Milloin siirtolinja syntyy? Kun taajuudet kasvavat riittävän suuriksi, ei sähköistä piiriä voida enää käsitellä tavallisin piiriteorian keinoin. Tällöin yksittäisen johtimen pituus on lähellä aallonpituutta eli λ l (5.1) (tai λ l) ja johtimen virranjatkuvuusyhtälössä täytyy ottaa varauksen pakkautuminen huomioon. Virranjatkuvuusyhtälö menee muotoon V J n da = t V ρ dv. (5.2) Tavallinen johdinpari, meno- ja paluujohdin, saattaa alkaa toimimaan siir- 53

LUKU 5. SIIRTOLINJAT JA AALTOPUTKET 54 tolinjana samoilla ehdoilla. Tällöin teho etenee johtimissa TEM aallon muodossa johtimien välissä. Siirtolinjan tulee olla mitoiltaan sellainen, että vain yksi dimensio on suuri allonpituuteen nähden. Muutoin antennina toimiminen korostuu ja aalto karkaa siirtolinjalta. Siirtolinjoja käytetään viemään tehoa tai signaalia piiriltä toiselle. Erilaisia siirtolinjatyyppejä ovat mm. parikaapeli, levyjohtimet ja koaksiaalikaapeli (kuva 5.3). Näistä koaksiaalikaapeli on parhaiten eristetty ulkopuolisilta häiriöiltä ja toisaalta se myös tuottaa vähiten häiriöitä ulkopuolelleen. Huomaa, että siirtolinjana voi toimia myös siihen tarkoittamaton rakenne. Sen lisäksi ulkopuolisten häiriöden kytkeytyminen siirtolinjaan on mahdollista periaatteessa samalla tavalla kuin tavallisiin piireihinkin. Kuva 5.1: Siirtolinjatyyppejä: parikaapeli, levyjohtimet (liuskajohto) ja koaksiaalikaapeli. Aallon ajatellaan etenevän johdinten välissä (Poyntingin vektori). 5.2 Siirtolinja piirien yhteydessä Yhtälöitä ja sanotaan siirtolinjayhtälöiksi. V (z) z I(z) z = LI(z) (5.3) t = CV (z) (5.4) t

LUKU 5. SIIRTOLINJAT JA AALTOPUTKET 55 Yhtälöt V z = RI LI (5.5) t ja I z = GV CV (5.6) t taas puolestaan kuvaavat häviöllistä siirtolinjaa, jonka piiriteoreettinen sijaiskytkentä on esitetty kuvassa 5.2. r, l, g ja c on annettu yksikköpituutta kohti. R, L, G ja C saadaan kertomalla pituudella z. i(z, t) i(z + z, t) r z l z v(z, t) g z c z v(z + z, t) Kuva 5.2: Häviöllisen siirtolinjan piiriteoreettinen sijaiskytkentä. z Häviöllisen siirtolinjan energian siirtymisen idea on esitetty kuvassa 5.3. Häviöllisellä siirtolinjalla ei siis etene täysin puhdas TEM-aalto. Siirtolinja voidaan ajatella myös impedanssien avulla yksinkertaistetusti kuvan 5.4 mukaisena kytkentänä. Tällöin häviöllisen siirtolinjan karakteristinen impedanssi on Z 0 = R + jωl G + jωc. (5.7)

LUKU 5. SIIRTOLINJAT JA AALTOPUTKET 56 S Kuva 5.3: Häviöllisen siirtolinjan idea. Aaltojohdossa kulkevaa tehoa voidaan tarkastella Poyntingin vektorin S avulla. Häviöttömässä aaltojohdossa S on z:n suuntainen, häviöllisessä osa energiasta kuluu johtimien häviöihin kuvan mukaisesti. Koska S ei ole enää z:n suuntainen, E:llä tai H:lla pitää olla z:n suuntainen komponentti. Häviöllisessä aaltojohdossa ei voi siis edetä täysin puhdas TEM-aalto. Z 0 Z L Linjojen välinen etäisyys << λ pituus karkeasti: l λ Kuva 5.4: Siirtolinjan sijaiskytkentä 2, kun parametrit Z 0 ja Z L ovat tiedossa. Siirtolinjoilla voidaan muodostaan halutunlaisia impedansseja, kapasitiivisia tai induktiivisia. Tätä voidaan käyttää, jos taajuus on tiedossa ja se on liian korkea perinteisille piirikomponenteille. Tällöin siirtolinja joko jätetään päästään avoimeksi tai oikosuljetaan. Silloin ei siis itseasiassa kuljeteta tehoa tai signaalia piiriltä toiselle, mikä on siirtolinjan ensisijainen funktio. Se, minkälaisena impedanssina siirtolinja näkyy sitä syötettäessä, ei ole sama kuin Z 0 + Z L siirtolinjalla kulkevan aallon vuoksi. Häviöttömän siirtolinjan sisäänmenoimpedanssi voidaan antaa muodossa Z in (l) = Z 0 Z L cos(kl) + Z 0 jsin(kl) Z 0 cos(kl) + Z L jsin(kl), (5.8) jossa k on aaltoluku (k = 2π λ ) ja l linjan pituus. Erikoistapaukset:

LUKU 5. SIIRTOLINJAT JA AALTOPUTKET 57 1. Linjan pituus l on pieni => Z in (l 0) = Z L, jolloin kyseessä ei siis ole enää siirtolinja. 2. Siirtolinja on oikosuljettu päästään => Z L 0 => Z in (l) = Z 0 jtan(kl) (kuva 5.5). 3. Siirtolinja on jätetty avoimeksi päästään => Z L > => Z in (l) = Z 0 jcot(kl) (kuva 5.6). tan(kl) Z 0 Z L 0 π 2π kl Kuva 5.5: Päästään suljettu siirtolinja ja sen sisäänmenoimpedanssi. -cot(kl) Z 0 Z L > π 2π kl Kuva 5.6: Päästään avoimeksi jätetty siirtolinja ja sen sisäänmenoimpedanssi. Kuva 5.6 näyttää siirtolinjan impedanssikäyrän pituuden (kerrottuna k:lla) funktiona avoimelle ja 5.5 suljetulle siirtolinjalle. Termin Z 0 vaikutus on jätetty huomioimatta.

LUKU 5. SIIRTOLINJAT JA AALTOPUTKET 58 Siirtolinjojen kohdalla puhutaan usein ylikuuluvuudesta. Tämä tarkoittaa sitä, että siirtolinjassa kulkeva aalto kytkeytyy kapasitiivisesti ja induktiivisesti toiseen lähellä kulkevaan johtimeen ja saa aallon liikkumaan sielläkin. Koska siirtolinjassa energia kulkee aallon muodossa, se voi myös heijastua kuormasta. Tästä syystä siirtolinjoja suunniteltaessa tulee sovituksen olla kohdallaan. Siirtolinja on sovitettu silloin, kun siirtolinjan ja kuorman impedanssit ovat yhtä suuret. Tällöin heijastumista ei tapahdu. Jos heijastumista tapahtuu, se johtaa seisovaan aaltoon, joka on sitä voimakkaampi, mitä suurempi osa aallostaa heijastuu, eli mitä suurempi epäsovitus on. Epäsovitusta kuvaa ns. standing wave ratio, joka on maksimiamplitudin suhde minimiin. Tämä on myös mitattavissa. Kuvassa 5.7 on nähtävissä (osittain) seisova aalto ja täydellisesti sovitetun linjan jännitejakauma. Huomaa, että kentillä, virroilla ja jännitteillä on kuitenkin ajasta riippuva sinimuotoinen käyttäytyminen sovitetussakin tilanteessa. V V z Kuva 5.7: Standing wave eli seisova aalto ja täydellisen sovituksen mukainen aalto. z Käytännössä siirtolinjat ovat aina häviöllisiä. Siksi pitkissä siirtolinjoissa väliin tarvitaan vahvistimia. Siirtolinjan häviöt kasvavat taajuuden funkiona, kunnes siirtolinjasta tulee tehoton. Kysymys: Miksi siirtolinjan häviöt kasvavat taajuuden funktiona. Vastaus: Tunkeutumissyvyys kasvaa, joten resistanssi kasvaa. Lisäksi antennina toimiminen korostuu lopulta.